một số tính chất địa phương và toàn cục của mặt đối chiều hai trong không gian lorentz-minkowski bản tóm tắt tiếng việt

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH ĐẶNG VĂN CƯỜNG MỘT SỐ TÍNH CHẤT ĐỊA PHƯƠNG VÀ TOÀN CỤC CỦA MẶT ĐỐI CHIỀU HAI TRONG KHÔNG GIAN LORENTZ-MINKOWSKI Chuyên ngành: Hình học và Tôpô Mã số: 62 46 10 01 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGHỆ AN – 2013 Công trình được hoàn thành tại: Trường Đại Học Vinh Người hướng dẫn khoa học: 1. PGS. TS . ĐỒN THẾ HIẾU 2. TS. NGUYỄN DUY BÌNH Phản biện 1: Phản biện 2: Phản biện 3: Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp trường họp tại vào hồi……… ….giờ…………phút, ngày………tháng……….năm Có thể tìm hiểu luận án tại thư viện: DANH MỤC CÔNG TRÌNH CỦA NGHIÊN CỨU SINH LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN [1] Binh Ng. D, Cuong. D. V , Hieu. D. Th (2013), “Hyperplanarity of surfaces in four dimensional spaces”, pre-print. [2] Cuong. D. V (2008), “The flatness of spacelike surfaces of codimension two in 1  n  '', Vinh university Journal of science.,37 (2A), 11-20. [3] Cuong. D. V (2009), “The umbilicity of spacelike surfaces of codimension two in 1  n  '', Vinh university Journal of science., 38 (3A), 5-14. [4] Cuong. D. V (2010), “On general Gauss maps of surfaces”, East- West J. of Mathematics., 12 (2), 153-162. [5] Cuong. D. V (2012), “ r LS -valued Gauss maps and pacelike surfaces of revolution in 4 1  '', App. Math. Sci., 6 (77), 3845 - 3860. [6] Cuong. D. V and Hieu. D. Th (2012), “ r HS -valued Gauss maps and umbilic spacelike sufaces of codimension two”, submitted. [7] Cuong. D. V (2013), “Surfaces of Revolution with constant Gaussian curvature in four-Space”, Asian-Eur. J. Math., DOI 10.1142/S1793557113500216. [8] Cuong. D. V (2012), “The bi-normal fields on spacelike surfaces in 4 1  ”, submitted. 1 Mở đầu 1. Lý do chọn đề tài 1.1 Việc nghiên cứu các tính chất địa phơng và toàn cục của mặt là một trong những vấn đề cơ bản của hình học vi phân. Tính chất địa phơng của mặt là những tính chất liên quan đến tham số hóa địa phơng của mặt, còn tính chất toàn cục là những tính chất thể hiện trên toàn bộ mặt mà không chịu sự chi phối của tham số hóa địa phơng. Chúng ta đã biết, trong hình học vi phân cổ điển, một trong những công cụ cơ bản để nghiên cứu các tính chất địa phơng của mặt là ánh xạ Gauss. ánh xạ Gauss đa đến các khái niệm độ cong bao gồm: độ cong Gauss; độ cong trung bình; độ cong chính,. . . . Với các mặt đối chiều một, mặt trong R 3 và siêu mặt trong R n , ánh xạ Gauss đã chứng tỏ là một công cụ hữu hiệu để nghiên cứu tính chất địa phơng của chúng. Chẳng hạn, dựa vào tính chất của độ cong chúng ta nhận đợc kết quả: một mặt chính quy trong R 3 là mặt rốn khi và chỉ khi nó là (một phần của) một mặt cầu hoặc (một phần của) một mặt phẳng. Đối với các tính chất toàn cục của mặt, một trong những công cụ để tìm đợc mối liên hệ giữa tính chất địa phơng với tính chất toàn cục là trờng Jacobi dọc theo một đờng trắc địa. Thông qua công cụ này một số tính chất toàn cục của mặt trong R 3 đã đợc đa ra trong lý thuyết hình học vi phân cổ điển. Chẳng hạn, một mặt chính quy trong R 3 có độ cong Gauss đồng nhất bằng không khi và chỉ khi nó là mặt kẻ khả triển. Việc tìm hiểu các kết quả thể hiện các tính chất hình học của lớp mặt kiểu không gian đối chiều hai trong không gian Lorentz-Minkowski, tơng tự nh trờng hợp của mặt trong R 3 , là một trong những vấn đề đợc chúng tôi quan tâm. 1.2 Hình học của mặt trong R 4 đã đợc quan tâm nghiên cứu bởi một số nhà toán học nh Romero Fuster, Izumiya, Pei, Little, Ganchev, Milou- sheva, Weiner, . . . . Chúng ta có thể điểm lại một số kết quả chính đã đạt đợc trong lĩnh vực này nh sau. Vào năm 1969, Little đã xây dựng các bất biến hình học, chẳng hạn nh elip độ cong, để nghiên cứu tính kỳ dị của đa tạp con đối chiều hai trong không gian Ơ-clít. Cũng trong bài báo này tác giả đã chỉ ra đợc rằng mặt trong R 4 thoả mãn điều kiện mọi trờng vectơ pháp là trờng trùng pháp khi và chỉ khi nó là một mặt kẻ khả triển. Đến năm 1995, Mochida và một số tác giả khác đa ra một số điều kiện cần và đủ về sự tồn tại trờng trùng pháp của 2 mặt trong R 4 . Trong bài báo này các tác giả đã khẳng định điều kiện cần và đủ để mặt trong R 4 chấp nhận đúng hai trờng trùng pháp là lồi ngặt địa phơng. Các kết quả này đợc mở rộng lên mặt đối chiều hai trong R n+2 bởi Mochida và một số tác giả khác vào năm 1999. Hớng nghiên cứu này đợc tiếp tục bởi Romero-Fuster và Sánchez-Brigas vào năm 2002, để nghiên cứu khái niệm rốn trên mặt. Trong bài báo này, các tác giả đã chỉ ra mối quan hệ tơng đơng giữa các lớp mặt: -rốn, tồn tại hai phơng tiệm cận trực giao với nhau tại mọi điểm, nửa rốn và độ cong pháp đồng nhất bằng không. Đến năm 2010, Nu no-Ballesteros và Romero-Fuster xây dựng khái niệm quỹ tích độ cong (curvature locus), nó là một mở rộng của khái niệm elip độ cong cho mặt đối chiều hai trong R n+2 , để nghiên cứu tính chất của các đa tạp con đối chiều hai. Trong bài báo này các tác giả cũng đã chuyển một số kết quả về mặt trong R 4 lên đa tạp con đối chiều hai trong R n+2 . Việc phát triển các kết quả nghiên cứu về mặt trong R 4 lên mặt kiểu không gian đối chiều hai trong không gian Lorentz-Minkowski cũng là một trong những vấn đề chúng tôi quan tâm nghiên cứu. 1.3 Những năm gần đây một số kết quả nghiên cứu mặt kiểu không gian đối chiều hai trong không gian Lorentz-Minkowski đã đợc công bố. Chúng ta điểm qua một số kết quả chính cho lĩnh vực này nh sau. Bằng cách sử dụng tính chất của độ cong liên kết với một trờng vectơ pháp để nghiên cứu mặt kiểu không gian đối chiều hai, vào năm 2004 Izumiya và một số tác giả khác đã chỉ ra rằng nếu mặt chứa trong một giả cầu thì nó là mặt -rốn, trong đó là trờng vectơ vị trí của mặt. Với chiều ngợc lại của mệnh đề này, các tác giả đã bổ sung thêm giả thiết song song của để mặt -rốn chứa trong một giả cầu. Trong bài báo này các tác giả cũng đã trình bày lại cách xây dựng khái niệm elip độ cong cho mặt kiểu không gian hai chiều trong không gian Lorentz-Minkowski số chiều lớn hơn 3 và chỉ ra mối liên hệ giữa mặt -rốn và mặt nửa rốn, nó là mặt mà elip độ cong suy biến thành một đoạn thẳng. Xuất phát từ tính chất mặt phẳng pháp của một mặt kiểu không gian đối chiều hai là một 2-phẳng kiểu thời gian, dễ dàng chỉ ra đợc rằng nó có một cơ sở giả trực chuẩn với một vectơ kiểu không gian và một vectơ kiểu thời gian. Bằng cách sử dụng tổng và hiệu của hai vectơ trong cơ sở này của mặt phẳng pháp, vào năm 2007 Izumiya và một số tác giả khác đã xây dựng khái niệm ánh xạ Gauss nón ánh sáng và nghiên cứu khái niệm dẹt trên các mặt kiểu không gian đối chiều hai. Tìm cách xác định một trờng vectơ pháp trên mặt kiểu không gian đối chiều hai, xem nh ánh xạ Gauss, thuận tiện cho việc nghiên cứu các 3 tính chất hình học của mặt, cũng là một trong những vấn đề chúng tôi quan tâm. 1.4 Nghiên cứu tính phẳng, điều kiện chứa trong mặt phẳng, của một đờng cong trong R 3 là một bài toán cổ điển của hình học vi phân. Tính phẳng của đờng cong phụ thuộc vào độ xoắn của đờng cong, đờng cong là phẳng khi và chỉ khi độ xoắn của nó đồng nhất bằng không. Điều này tơng đơng với trờng vectơ trùng pháp của đờng cong là trờng vectơ hằng. Ngoài ra một số tính chất của mặt phẳng mật tiếp của đờng cong cũng cho chúng ta một số điều kiện đủ để đờng cong phẳng. Tìm kiếm các điều kiện đủ để một mặt kiểu không gian trong R 4 1 chứa trong một siêu phẳng cũng là một trong những vấn đề chúng tôi quan tâm. 1.5 Việc nghiên cứu các lớp mặt đặc biệt trong không gian, chẳng hạn mặt kẻ, mặt tròn xoay, . . . , cũng là một trong những vấn đề đợc các nhà hình học quan tâm. Khi xây dựng một công cụ nào đó để nghiên cứu các lớp mặt, công cụ đó thực sự có giá trị nếu nó có thể đa ra một phân loại cho các lớp mặt đặc biệt này. Chúng tôi cũng mong muốn đa ra các định lí phân loại cho các lớp mặt đặc biệt, chẳng hạn nh mặt kẻ cực đại, mặt tròn xoay cực đại hay khảo sát khái niệm rốn trên các lớp mặt này. Bởi các lý do nêu ở trên, tôi chọn đề tài Một số tính chất địa phơng và toàn cục của mặt đối chiều hai trong không gian Lorentz- Minkowski" làm đề tài luận án tiến sĩ. 2. Mục đích nghiên cứu Trong luận án này chúng tôi nghiên cứu một số tính chất hình học của mặt đối chiều hai trong không gian Lorentz-Minkowski với các mục đích sau. (1) Xây dựng một số công cụ hữu hiệu để có thể nghiên cứu các tính chất hình học của mặt kiểu không gian đối chiều hai. (2) Nghiên cứu các khái niệm rốn trên mặt kiểu không gian đối chiều hai, đa ra một số kết quả phân loại mặt kiểu không gian -rốn đối chiều hai và mặt kiểu không gian rốn đối chiều hai. (3) Nghiên cứu mối quan hệ giữa mặt -rốn và mặt -phẳng. 4 (4) Nghiên cứu các điều kiện chứa trong siêu phẳng của mặt trong không gian R 4 sau đó mở rộng lên mặt kiểu không gian trong R 4 1 . (5) Sử dụng các kết quả đạt đợc theo hớng nghiên cứu để ứng dụng vào việc khảo sát tính chất hình học của một số lớp mặt kiểu không gian đặc biệt trong không gian Lorentz-Minkowski R 4 1 , đó là mặt kẻ và mặt tròn xoay. 3. Đối tợng nghiên cứu Đối tợng nghiên cứu của luận án bao gồm: mặt kiểu không gian đối chiều hai; các công cụ nghiên cứu mặt kiểu không gian đối chiều hai; các tính chất hình học của mặt kiểu không gian đối chiều hai trong không gian Lorentz-Minkowski. Vậy nên, nếu không đợc nhắc lại, đối tợng mặt trong luận án đợc hiểu là mặt kiểu không gian đối chiều hai. 4. Phạm vi nghiên cứu Trong luận án này chúng tôi nghiên cứu một số tính chất địa phơng và toàn cục trên mặt kiểu không gian đối chiều hai, nghiên cứu một số lớp mặt kiểu không gian đối chiều hai đặc biệt trong không gian Lorentz-Minkowski. 5. Phơng pháp nghiên cứu Chúng tôi sử dụng phơng pháp lý thuyết trong quá trình thực hiện đề tài. Bằng cách sử dụng các công cụ là các độ cong trên mặt, chẳng hạn độ cong liên kết với một trờng vectơ pháp; elip độ cong; độ cong Gauss, chúng tôi tìm kiếm các tính chất hình học của mặt đối chiều hai thỏa mãn tơng ứng các điều kiện của các độ cong này cũng nh mối liên hệ giữa các lớp mặt đó. 6. ý nghĩa khoa học và thực tiển 6.1 Luận án góp phần giải quyết các bài toán của mặt đối chiều hai trong không gian Lorentz-Minkowski sau: 5 (1) Đa ra hai phơng pháp để xác định một trờng vectơ pháp khả vi trên phân thớ pháp của mặt đối chiều hai, đó là một cặp trờng vectơ pháp kiểu không gian và một cặp trờng vectơ pháp kiểu ánh sáng. (2) Sử dụng trờng vectơ pháp (đợc xác định ở trên) vào việc nghiên cứu khái niệm dẹt trên mặt và đa ra một số định lí thể hiện đợc tính chất hình học của mặt -dẹt. (3) Đa ra một số định lí có tính phân loại đối với các mặt chứa trong một giả cầu thoả mãn điều kiện -rốn hoặc mặt thoả mãn điều kiện rốn. (4) Đa ra một tiêu chuẩn để kiểm tra một trờng vectơ pháp là trờng trùng pháp. Xác định quan hệ giữa mặt -rốn và mặt -phẳng. (5) Đa ra các điều kiện đủ để mặt trong không gian 4-chiều (R 4 và R 4 1 ) chứa trong một siêu phẳng. (6) Đa ra các định lí thể hiện tính chất hình học của một số mặt kiểu không gian đặc biệt trong R 4 1 bao gồm: mặt kẻ cực đại; mặt tròn xoay (kiểu hypecbolic và kiểu eliptic) cực đại; mặt tròn xoay (kiểu hypecbolic và kiểu eliptic) rốn. Chỉ ra số lợng trờng trùng pháp trên mặt kẻ, mặt tròn xoay (kiểu hypecbolic hoặc eliptic). Đa ra các điều kiện tơng ứng với số lợng trờng trùng pháp trên mặt tròn xoay với kinh tuyến phẳng. Xác định các trờng vectơ pháp trên mặt kẻ và mặt tròn xoay để chúng là mặt -rốn. 6.2 Luận án có thể làm tài liệu tham khảo cho sinh viên, cho học viên cao học và nghiên cứu sinh theo hớng nghiên cứu này. 7. Tổng quan và cấu trúc luận án 7.1. Tổng quan luận án Phần kiến thức cơ sở của luận án đợc giới thiệu trong chơng 1. Đây là khối kiến thức rất căn bản nhng nó đợc sử dụng nhiều trong luận án nên không thể bỏ qua. Đóng góp của luận án đợc trình bày trong các chơng 2, 3 và 4. Trong chơng 2, chúng tôi đa ra hai phơng pháp để xác định một cặp trờng vectơ pháp khả vi trên mặt, một cặp kiểu không gian và một cặp kiểu ánh sáng, đồng thời ứng dụng các trờng 6 vectơ pháp này để nghiên cứu tính chất hình học của mặt -rốn, mặt rốn. Chơng 3 đa ra một tiêu chuẩn để kiểm tra một trờng vectơ pháp trên mặt là trờng trùng pháp, nghiên cứu mối quan hệ giữa mặt -rốn và mặt -phẳng đồng thời xác định số lợng trờng trùng pháp trên mặt -rốn. Trong Chơng 3 chúng tôi cũng nghiên cứu các điều kiện đủ để một mặt trong không gian 4-chiều, R 4 và R 4 1 , chứa trong một siêu phẳng. Trong chơng 4, chúng tôi khảo sát một số tính chất hình học của hai lớp mặt đặc biệt trong R 4 1 , đó là mặt kẻ kiểu không gian và mặt tròn xoay kiểu không gian. 7.1.1 Việc nghiên cứu lớp mặt -rốn đối chiều hai, trớc hết cần kể đến các tác giả Izumiya, Pei, Romero-Fuster,. . . . Các tác giả đã giả sử trên mặt tồn tại một trờng vectơ pháp (kiểu không gian, kiểu thời gian hoặc kiểu ánh sáng), xây dựng các độ cong liên kết với trờng vectơ pháp , sau đó đa ra một số tính chất hình học của mặt -rốn. Tuy nhiên, sự tồn tại các trờng vectơ pháp nh thế nào thì cha đợc nhắc đến. Điều này có ý nghĩa về mặt lý thuyết nhng lại khó khăn khi thực hành tính toán trên các mặt cụ thể. Cho đến thời điểm này, khi cho một mặt dới dạng tham số hoá, việc xác định một trờng vectơ pháp trên mặt đồng thời kiểm soát đợc thuộc tính (kiểu không gian, kiểu thời gian hoặc kiểu ánh sáng) của nó vẫn đang là vấn đề cha đợc nghiên cứu cụ thể. Trong Chơng 2 của luận án này chúng tôi đa ra hai phơng pháp để xác định hai cặp trờng vectơ pháp trên một mặt đợc cho dới dạng tham số, đó là một cặp trờng vectơ pháp kiểu không gian và một cặp trờng vectơ pháp kiểu ánh sáng. Điều này có ý nghĩa về mặt thực hành, khi cho một mặt tham số chúng ta sẽ xác định đợc trờng vectơ pháp cụ thể trên mặt (kiểu không gian hoặc kiểu ánh sáng) từ đó ta tính đợc các độ cong liên kết với nó để nghiên cứu các tính chất hình học của mặt. Quá trình này đợc tổng quan lại nh sau: Với mỗi điểm p M, mặt phẳng pháp N p M của M tại p là một 2-phẳng kiểu thời gian, nó sẽ cắt n-không gian hypebolic tâm v = (0, 0, . . . , 0, 1) bán kính R = 1 (t nón ánh sáng) theo một hypebol (t hai tia). Với một số thực r > 0, siêu phẳng x n+1 = r cắt hypebol (t hai tia) theo đúng hai vectơ, ký hiệu là n r (t l r ). Chúng ta chứng minh đợc các trờng vectơ n r (t l r ) là các trờng vectơ kiểu không gian (t kiểu ánh sáng) khả vi (Định lí 3.1.3) và vì vậy có thể tính toán các độ cong liên kết với chúng để tiến hành nghiên cứu mặt n r -rốn và mặt l r -rốn. Không cần giả thiết n r là trờng vectơ pháp song song, M là mặt n r -dẹt khi và chỉ khi n r là trờng vectơ hằng, điều này tơng đơng với M chứa trong một siêu phẳng kiểu thời gian không chứa trục x n+1 (Định lí 2.1.5). Chúng tôi cũng đa ra một 7 số điều kiện tơng đơng để các mặt chứa trong một giả cầu hypebolic là mặt n r -rốn (Định lí 2.1.12). Vì n r không là trờng vectơ pháp song song nên nếu M là mặt n r -rốn thì nói chung (ngay cả khi M chứa trong một giả cầu) hàm độ cong n r -chính không là hàm hằng. Định lí 2.1.14 cho chúng ta các tính chất hình học của mặt chứa trong giả cầu hypebolic thỏa mãn điều kiện n r -rốn và n r -độ cong chính là hàm hằng. Với mặt không giả thiết chứa trong giả cầu, điều kiện n r -rốn và n r song song tơng đơng với điều kiện M chứa trong giao của một giả cầu hypebolic với một siêu phẳng x n+1 = c (Định lí 2.1.15). Chúng tôi cũng đa ra một điều kiện tơng đơng với điều kiện song song của n r (Định lí 2.1.16). Để có một phân lớp giữa mặt -rốn, mặt rốn, mặt chứa trong giả cầu và mặt -rốn với hàm độ cong hằng chúng tôi đa ra các ví dụ trong mục 2.1.4. Các kết quả nhận đợc là tơng tự khi sử dụng trờng vectơ pháp l r để nghiên cứu mặt l r -rốn. Điều này đợc thể hiện trong các Định lí 2.2.7, 2.2.8 và 2.2.9. Điều đáng lu ý ở đây là ánh xạ l r -Gauss thực sự hữu dụng với lớp mặt chứa trong giả cầu de Sitter, nơi mà sử dụng ánh xạ n r -Gauss có phần không thuận lợi trong việc khảo sát khái niệm rốn của mặt. Tổng hợp các kết quả về mặt -rốn và kết hợp với sự tồn tại trờng mục tiêu gồm các trờng vectơ song song trên một liên thông dẹt, chúng tôi nhận đợc đặc trng hình học của mặt rốn đối chiều hai trong Định lí 2.3.2. 7.1.2. Trong Chơng 3 của luận án chúng tôi đa ra một điều kiện để kiểm tra một trờng vectơ pháp là trờng trùng pháp, nghiên cứu mối quan hệ giữa mặt -rốn và mặt -phẳng và phát triển một số kết quả về mặt trong R 4 lên mặt trong R 4 1 , nghiên cứu các điều kiện đủ đểm mặt trong R 4 chứa trong một siêu phẳng và phát triển lên mặt kiểu không gian trong R 4 1 . Trớc hết, sử dụng tích ngoài của 3 vectơ, chúng tôi đa ra một điều kiện để kiểm tra một trờng vectơ pháp có phải là trờng trùng pháp hay không (Mệnh đề 3.1.2). Về quan hệ bao hàm giữa mặt -rốn và mặt -phẳng, Định lí 3.1.3 chỉ ra rằng trên mặt -rốn (không -dẹt) luôn tồn tại ít nhất 1 và nhiều nhất 2 trờng trùng pháp, tức nó là một mặt -phẳng. Hơn thế, chúng tôi cũng cho các ví dụ để chỉ ra sự tồn tại các mặt -phẳng nhng trên nó không tồn tại bất kỳ trờng vectơ pháp nào để nó là mặt -rốn. Điều này có nghĩa lớp mặt -rốn chứa trong lớp mặt -phẳng, nhng chiều ngợc lại thì không đúng. Ngoài ra, Mệnh đề 3.1.10 cho chúng ta một điều kiện cần và đủ để mặt hoàn toàn phẳng. Tiếp theo chúng tôi nghiên cứu một số điều kiện đủ để một mặt trong không gian bốn chiều chứa trong một siêu phẳng. Trớc hết, chúng tôi [...]... của không gian Lorentz-Minkowski và các đối tợng cơ bản của nó; một số công cụ cơ bản để nghiên cứu mặt đối chiều cao; mặt -rốn đối chiều hai; mặt -phẳng đối chiều hai; mặt kẻ và mặt tròn xoay kiểu không gian trong không gian R4 Các kết quả chính của luận án là: 1 (1) Bằng cách giải một hệ phơng trình đại số, chúng tôi xác định đợc cặp trờng vectơ pháp, đồng thời kiểm soát đợc thuộc tính của nó trên... không gian trong R4 Khi trờng vectơ pháp là trờng vectơ kiểu không 1 gian hoặc kiểu thời gian thì các kết quả tính chất của mặt trong trong R4 và mặt kiểu không gian trong R4 nói chung là trùng nhau Sự khác 1 biệt về tính chất của mặt kiểu không gian trong R4 với mặt trong R4 thể 1 hiện khi trờng vectơ pháp của mặt là trờng kiểu ánh sáng Các Mệnh đề 3.2.13 và 3.2.15 đa ra các điều kiện phẳng của mặt. .. hiện tính chất toàn cục trên mặt Chơng 3 nghiên cứu tính chất hình học của mặt -phẳng và điều kiện chứa trong siêu phẳng của mặt trong không gian 4 -chiều, bao gồm 3 mục Mục 3.1 đa ra một tiêu chuẩn để kiểm tra một trờng vectơ pháp là trờng trờng trùng pháp và xác định mối quan hệ giữa mặt -rốn, mặt -phẳng và mặt rốn Mục 3.2 trình bày nghiên cứu các điều kiện đủ để mặt trong không gian 4 -chiều chứa trong. .. để nghiên cứu và đa ra đợc một số tính chất hình học của mặt n -rốn đối chiều hai, đặc biệt với mặt r chứa trong giả cầu hypebolic (2) Đa ra một phơng pháp để xác định đợc cặp trờng vectơ pháp kiểu ánh sáng khả vi, l , trên mặt đối chiều hai, đồng thời sử dụng r trờng vectơ pháp này để nghiên cứu và đa ra đợc một số tính chất hình học của mặt l -rốn đối chiều hai, đặc biệt với mặt chứa r trong giả cầu... chất toàn cục trên mặt Chơng 4 trình bày một số tính chất của mặt kẻ và mặt tròn xoay trong R4 , bao gồm 2 mục Mục 4.1 trình bày một số tính chất hình học 1 của mặt kẻ kiểu không gian trong R4 Mục 4.2 trình bày một số tính chất 1 hình học của mặt tròn xoay trong R4 , bao gồm: Mục a) trình bày các 1 kết quả nghiên cứu về mặt tròn xoay kiểu hypebolic, Mục b) trình bày các kết quả nghiên cứu về mặt tròn... tục nghiên cứu mặt đối chiều hai để làm rõ cấu trúc hình học của mặt -rốn đối chiều hai, -phẳng, (2) Tìm hiểu và xây dựng các công cụ hữu hiệu để nghiên cứu mặt kiểu thời gian và kiểu ánh sáng đối chiều cao trong không gian Lorentz-Minkowski (3) Xây dựng khái niệm mặt helicoid trong R4 và nghiên cứu các tính 1 chất hình học của nó (4) Nghiên cứu lý thuyết mật độ (density) lên không gian LorentzMinkowski... điều kiện đủ để đờng cong trong R3 chứa trong một siêu phẳng lên mặt trong trong không gian 4 -chiều chứa trong một siêu phẳng nói chung là không đúng (Ví dụ 3.2.1, 3.2.2) Từ tính chất của các mặt phẳng tiếp xúc, Mệnh đề 3.2.5 cho chúng ta hai điều kiện đủ để một mặt là mặt -dẹt Mở rộng lên tính chất của siêu phẳng -pháp trên mặt Mệnh đề 3.2.6 cho các điều kiện để để mặt là mặt -phẳng Tuy vậy, các điều... tuyến tính 1 , 2 sao cho M là 16 mặt đồng thời 1 -dẹt và 2 -phẳng 3.2 Tính phẳng của mặt trong không gian 4 -chiều Việc nghiên cứu các điều kiện đủ để một đờng cong trong không gian chứa trong một siêu phẳng là một trong những bài toán rất tự nhiên của hình học vi phân cổ điển Tính phẳng của đờng cong đợc đặc trng bởi độ xoắn của nó Nh chúng ta đã biết, một đờng cong là chứa trong một siêu phẳng khi và. .. chúng tôi đa ra một tiêu chuẩn để kiểm tra một trờng vectơ pháp có phải là trờng trùng pháp hay không (2) Xác định đợc số lợng trờng trùng pháp trên một mặt -rốn, xác định đợc mối quan hệ giữa các lớp mặt -dẹt; -rốn và -phẳng (3) Đa ra đợc một số điều kiện đủ để một mặt trong không gian 4 -chiều chứa trong một siêu phẳng Đây là các kết quả thể hiện tính chất toàn cục trên mặt trong R4 và trong R4 1 (4)... gồm hai mục nhỏ Mục a) nghiên cứu các điều kiện đủ để mặt trong R4 chứa trong siêu phẳng và Mục b) mở rộng các kết quả vừa đạt đợc trong R4 lên mặt kiểu không gian trong R4 Mục 3.3 trình bày một số ví dụ về mặt 1 -phẳng và một số phản ví dụ cho các phát biểu trong chơng này Các kết quả trong mục 3.1 thể hiện các tính chất địa phơng trên mặt, riêng các kết quả trong mục 3.2 thể hiện đợc tính chất toàn . cứu của luận án bao gồm: mặt kiểu không gian đối chiều hai; các công cụ nghiên cứu mặt kiểu không gian đối chiều hai; các tính chất hình học của mặt kiểu không gian đối chiều hai trong không gian. tôi nghiên cứu một số tính chất địa phơng và toàn cục trên mặt kiểu không gian đối chiều hai, nghiên cứu một số lớp mặt kiểu không gian đối chiều hai đặc biệt trong không gian Lorentz-Minkowski. 5 các tính chất địa phơng và toàn cục của mặt là một trong những vấn đề cơ bản của hình học vi phân. Tính chất địa phơng của mặt là những tính chất liên quan đến tham số hóa địa phơng của mặt,