Khoá luận tốt nghiệp một số tính chất địa phương của đường cong

TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN TRẦN THỊ HẠNH VÁN ĐÈ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT TRONG KHÔNG GIAN OXYZ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC •••• Chuyên ngành: Hình học Người hướng dẫn khoa học ThS.NGUYẺN VĂN VẠN HÀ NỘI-2015 Trong trình tìm hiếu, nghiên cún khóa luận không khỏi lúng túng bỡ ngỡ Nhưng dự giúp đỡ, bảo tận tình Ths Nguyễn Văn Vạn bước tiền hành hoàn thành khóa luận với đề tài “Vấn đề lớn nhất, nhỏ không gian Oxyz” Qua xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy tất thầy cô khoa Toán học giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi để hoàn thành khóa luận Mặc dù có cố gắng tìm tòi định, song khóa luận không tránh khỏi thiếu sót Tôi mong nhận ý kiến đóng góp tất thầy cô bạn sinh viên LỜI CẢM ƠN Hà Nội, thảng năm 2015 Sinh viên Khóa luận hoàn thành hướng dẫn trực tiếp Ths Nguyễn Văn Vạn Tôi xin cam đoan rằng: - Khóa luận kết nghiên cún, tìm tòi riêng Trần Thị Hạnh - Những tư liệu trích dẫn khóa luận trung thực - Ket nghiên cứu trùng khít với công trình nghiên cứu tác giả công bố trước Neu sai, xin hoàn toàn chịu trách nhiệm Hà Nội, tháng năm 2015 Sinh viên MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN Trần Thị Hạnh cực trị hình học không gian MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Trong chương trình hình học giải tích lớp 12, bên cạnh dạng toán thường gặp như: viết phương trình mặt phang, viết phương trình đường thẳng hay viết phương trình mặt cầu, ta bắt gặp toán tìm vị trí điểm, đường thẳng hay mặt phang liên quan đến điều kiện cực trị Có thể nói cực trị hình học phương pháp tọa độ không gian dạng toán khó, đòi hỏi học sinh vừa phải biết tư hình học, vừa phải biết kết hợp sử dụng phương pháp tọa độ không gian Trong trình học tập nghiên cứu Toán học, thấy dạng toán không khó mà hay, lôi học sinh giỏi Neu ta biết sử dụng linh hoạt, khéo léo kiến thức hình học túy, vectơ, phương pháp tọa độ, giải tích đưa toán toán quen thuộc Chính lí trên, định sâu vào nghiên cứu đề tài “Vấn đề lớn nhất, nhỏ không gian Oxyz” nhằm mở cách nhìn nhận toán cực trị hình học không gian Đồng thời mong muốn rằng, thông qua việc nghiên cún đem lại cho kinh nghiệm quý báu phục vụ cho công tác giảng dạy sau Mục đích nghiên cứu Khóa luận cung cấp cho bạn đọc phương pháp giải số dạng - Rèn luyện kĩ sử dụng linh hoạt, sáng tạo tính chất hình học túy để giảm bới tính toán - Đồng thời khóa luận giúp bạn đọc giải tốt toán khác hình học giải tích, có nhìn dạng toán Nhiệm vụ nghiên cứu - Tuyển chọn xếp dạng toán theo trình tụ’ hợp lí để bạn đọc tiếp nhận chúng cách dễ dàng, tạo hứng thú gặp toán - Đưa cách tiếp cận lời giải góc độ chất hình học Đối tượng phạm vi nghiên cứu 4.1 Đối tượng nghiên cứu Trong phạm vi khóa luận này, chủ yếu nghiên cứu dạng toán cực trị thường gặp đề thi đại học, cao đẳng, trung cấp chuyên nghiệp, phương pháp giải ví dụ minh họa 4.2 Phạm vi nghiên cứu Như biết sử dụng công cụ giải tích để xét biến thiên tìm cực trị đại lượng như: góc, khoảng cách, độ dài toán tọa độ không gian Mặc dù cách làm rõ ràng trình tính toán phức tạp Trong khóa luận này, chủ yểu xét số toán cực trị với chất hình học nó, từ đề xuất phương pháp giải công cụ túy hình học nhằm giảm bớt tính toán trình giải Phưong pháp nghiên cứu - Phương pháp tổng hợp vấn đề lí thuyết - Phương pháp thống kê toán học cực trị hình học không gian - Phương pháp thực nghiệm - Phương pháp nghiên cứu tài liệu - Phương pháp phân tích, tống hợp NỘI DUNG CHƯƠNG 1: Cơ SỞ LÝ THUYẾT 1.1.Tích có hướng hai vecto’ 1.1.1 Hệ tọa độ không gian - Trong không gian, xét ba trục tọa độ Ox, Oy, 0z có chung điểm gốc đội vuông góc với gọi hệ trục tọa độ vuông - Trên trục Ox, Oy, 0z hệ tọa độ vuông góc Oxyz, xét vectơ đơn vị 7, J , K hướng với trục tương ứng Khi thay viết hệ trục Oxyz, ta kí hiệu trục ( O ,7 , J , K ) - Điêm gọi gốc tọa độ, Ox gọi trục hoành, Oy gọi trục tung, 0z gọi trục cao - Các mặt phang qua hai ba trục tọa độ gọi mặt phang tọa độ, ta kí hiệu chúng (Oxy), (Oyz), (Ozx) - Ta cần ý thức sau: i i = j k = k i = 1.1.2 Tọa độ vectơ - Trong không gian, xét hệ trục tọa độ Oxyz Khi với vectơ U tồn số (x; y; z) cho: U = X Ì + Y J + z.ĩc Bộ số (x; y; z) gọi tọa độ vectơ U kí hiệu U = - ỊX;Ỵ;Z) hay U ( X ; Y ; Z ) Từ định nghĩa tọa độ vectơ, ta dễ dàng suy tính chất sau: Cho vectơ U \ ( X ; Y ; Z ), U I ( X ; Y ; Z ) số k tùy ý, ta có: T T 1) Uị =U2 x] =x2,yt = y2,Zị = z2 2) ui±u2=(xì±x2;yỊ±y2;zì±zĩ) T 3) k Mị = ( k x Ị ;k y ì ; k z ] ) 4) u l M =x l x ĩ + y i y ĩ + z i z 5) \ u ] = Jx *T y f + z * 7) u x ư2 U ị ,u =0 < ^ > JCjJc2 + + ZịZ =0 cực trị hìnhđiểm học không gian 1.1.3 Tọa độ - Trong không gian tọa độ Oxyz, điêm M hoàn toàn xác định vectơ O M Tọa độ điêm M định nghĩa tọa độcủavectơ O M Như vậy: M ( x; y ; z) < ^ > O M = x i + y j + z k có: Xét hai điểm A(xa; Ỵa; Z ), B(xb; yB; ZB) số thực k, k Ỷ 1, ta ÃB = (x A - XB; y A - y B ; Z A - ZB) A |^ổ| = y j { x A -) + ( y A - y B f + (z A - ^ ? M chia đoạn AB theo tỉ số k M A = K M B , đó: l-k y.4 ~ky» —k Z A ~kZ H ìk M trung điểm đoạn AB M ^ 1.1.4 X A+XB yẠ+yB ,ZA+ZB Tích có hướng hai vecto' - Tích có hướng (hay tích vectơ) hai vectơ U ( A ; B ; C ) V(A';B';C') vectơ, kí hiệu Ị U , V ~ Ị hay U AV xác định toa đô sau: B C ị bCc 'A- b ' Ac ;Bc a\ c ' a \ a b ' - a ' b ) R —1 / L«,VJ = V B'C ' C'A ' A'B ' / cực trị hình học không gian 118.6 Bài toán 119 ♦♦♦ Bài toán : 120 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) tâm I (a ; b; c) bán kính R có phương trình (S) : (x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 = R2 Mặt phẳng (P) : Ax + By + Cz + D = Tìm điểm M, N thuộc mặt cầu cho: • khoảng cách từ M đến (P) lớn nhất? • khoảng cách từ N đến (P) nhỏ nhất? • Phương pháp: 121 ^ Cách ; Sử dụng tính chất hình học - Xét vị trí tương đối mặt cầu (S) mặt phang (P) cách so sánh R với d (I; (P)) • Neu d (I, (P)) > R (S) (P) điểm chung Gọi (PỊ), (P2) mặt phẳng song song với (P) tiếp xúc với mặt 122 cầu (S) Mọi điểm thuộc mặt cầu (S) thuộc miền giới hạn hai mặt phẳng (P|), (P2) nên điểm cần tìm tiếp điểm mặt cầu (S) mặt phang (P|), (P2) Các điếm giao đường thẳng d với mặt cầu (S), d đường thẳng qua I vuông góc với (P) • Neu d (I, (P)) = R (P) tiếp xúc với (S) +) Giá trị nhỏ d (N, (P)) N điêm tiếp xúc (P) 123 (S) +) Giá trị lớn d (N, (P)) bang 2R M điểm đối xứng với 124 N qua I • Neu d (I, (P)) < R (S) n (P) = (C) đường tròn 125 +) Giá trị nhở d (N, (P)) N nằm đường tròn (C) 126 +) Tìm d n (S) có hai điểm, tính khoảng cách từ hai điểm đến (P), khoảng cách lớn điếm tương ứng điêm M 127 50 128 ^ Cách 2: Thuần túy tọa độ 129 Có thể giải toán cách sử dụng bất đẳng thức tam giác bất đẳng thức Bunyakovsky cho hai ba số 130 ( a x + b y + c z )2 < ( a + b + c ) ( X + y + z ) Dấu đẳng thức có - = — = 131 132 Xyz ❖ Ví du: 133 C/7Ơ mặt cầu (S): (X - ỉ)2 + V' + (z - 2/ = mặt phang (P) có phương trình X - 2y + 2z + = Tìm tọa độ điếm M, N thuộc (S) cho khoảng cách từ M đến mặt phang (P) lớn nhất, khoảng cách từ N đến mặt phăng (P) nhỏ 134 Lời giải Mặt cầu (S) có tâm I (1; 0; 2), bán kính R = 135 136 ^ Cách 1: 137 _ , , , ^ |l-2.0 + 2.2 + 71 138 Ta có: j(/,(p)) = i — = >3 Do mặt phang (P) điểm chung với mặt cầu (S) 139 Tất điểm thuộc mặt cầu (S) nằm miền giới hạn hai mặt phang song song với (P) tiếp xúc với mặt cầu, nên điểm có khoảng cách lớn nhất, nhỏ giao điểm đường thẳng d với mặt cầu (S) Trong đường thẳng d qua ĩ vuông góc với (P) 140 61 141 thẳng d: Phương trình đường Jt = + t y = -2t , (t G z = + 2t 142 Gọi J = d n (S) 143 Ta có: J thuộc d nên J (1 + t; - t ; 2+2t) 144 Mặt khác J thuộc (S) nên 145 146 147 (1 + í-l)2 + (-2í)2 +(2 + 2í-2)2 = t 148 Suy hai điểm thỏa mãn J| (0; 2; 0), J2 (2; -2; 4) Khoảng cách từ điểm Jj, J2 đến (P) là: 149 d(J„(P))=l,d(J , (P)) = Vậy điểm cần tìm M (2; -2; 4), N 150 (0; 2; 0) ìâ* Cách 2: Gọi J (a; b; c) điếm thuộc mặt cầu (S) 151 152 Ta có: (a - 1)2+ b2 + (c- 2)’-= 153 Khoảng cách từ J đến mặt phắng (P) là: = \ t = -1 154 d(j, (P)) = \ “2b+2c+7 155 \ Bài toán trở thành: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức 156 T — I a — 2b + 2c + 7| Trong a, b, c số thực thỏa mãn điều kiện: 157 158 (a- )2 + b2 + (c - Ỵ = Ta có: T = 112 + (a - ) - 2b + 2(c - 159 2)1 Sử dụng bat đẳng thức tam giác với 160 m, n thuộc R ta có: 161 |m| - |n| < |m + n| < |m| + |n| Nên 12 - |(a - 1) - 2b + 2(c - 2)1 162 < T < 12 + |(a - 1) - 2b + 2(c - 2)1 Theo bất đẳng thức Bunyakovsky : |(a - 1) - 2b + 2(c- 2)1 < Y Ị Ĩ + (-2)2 + 163 Ỹ Ậ A -1)2 + /r + (c - Ĩ ) Hay |(a - 1) - 2b + 2(c - 2)1 < suy 3< T < 21 < d (J, (P)) < • Giá trị lớn d(J, (P)) 7, đạt : 164 165 166 ( a- ỉ ) +b + ( c - 2) = a -ỉ b _ c- 167 a = 168 12( a - ỉ ) - 2b + ( c - 2) > = -2 M(2;-2;4) c = Giá trị nhỏ d(J, (P)) 1, đạt : 169 170 171 ( a- l ) +b +( c - ) = a- \ b c - 172 -2 2( a - ỉ ) b + 2( c - 2) < a = ò = 2[...]... giao điếm của các đường, mặt trong không gian, chẳng hạn: • Giao điểm của đường thẳng và đường thang, của đường thang và mặt phang, của đường thẳng và mặt cầu • Giao điểm của ba mặt phang, giao điểm của hai mặt phang và một đường thẳng, giao điểm của hai mặt phẳng và một mặt cầu - Trên qua điểm Đại số thì chúng ta cần tìm ba phương trình để chúng ta thiết lập hệ ba phương trình ba ẩn 1.3.Các phương. .. độ của điểm, phương trình của một đường hay một mặt để một biểu thức hình học nào đó đạt giái trị lớn nhất hay nhỏ nhất Khi gặp bài toán này, ta thường sử dụng hai phương pháp sau: ♦ Cách 1: Sử dụng các tính chất hình học đê giảm bớt tính toán ♦ Cách 2: Sử dụng thuần túy tọa độ, áp dụng các phương pháp đại số để giải 1.2.5 Bài toán xác định tọa độ điếm, vecto’ trong không gian Muốn xác định tọa độ một. .. cực trị của hàm số Đăc biẽt: Neu hàm số liên tục trên D = [a, b] và phương trình y’ = 0 có các nghiệm C|, c2, cn thì: Max f(x) = max (f(a), f(b), f(C|), Min f(x) = min {f(a), f(b), f(c,), Phưong pháp miền giá trị của hàm số 1.3.3 - f(cn)} f(cn)} Với bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên D Ta gọi Ỵ0 là một giá trị bất kì của hàm số y = f(x) trên miền đã cho Khi đó phương trình... (P): Ax + By + Cz + D = 0 cắt mặt cầu (S) với phương trình (S): ( X - A ) 2 +( Y - B )2 + ( Z - C ) 2 = R 2 thì giao tuyến là một đường tròn Phương trình đường tròn có dạng: (C )• í ( x ~ a ) 2 + ( y ~ b ) 2 + { z ~ c ) 2 = r : Ị Ax + B y + C z + D = 0 +) Tâm J của đường tròn (C) là hình chiếu của tâm I của mặt cầu (S) trên mặt phang (P) +) Bán kính của đường tròn (C) là R = V/?2 -IJ2 = \ Ị R 2 - D... COSỊM,,M2Ì Hai đường thăng vuông góc với nhau khi và chỉ khi M, U 2 = 0 Khoảng cách từ điểm M(x0; y0; z0) đến một đường thẳng A| d(M,A,) = Khoảng cách giữa hai đường thẳng song \uA song , 11,] |M2M M , d(A|, À2) — d(M2, A|) = 1 8 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau 1 9 d(A], A2) — • Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau là đường thắng cắt và vuông góc với cả hai đường thắng đó... hàm số có cực trị: Neu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x0 và đạt cực trị tại điểm đó thì F ( X O ) = 0 - Điều kiện đủ để hàm số có cực trị: Neu hàm số y = f(x) có đạo hàm trên một lân cận của điểm x0 (có thể trừ điểm Xo) thì: • Neu qua Xo đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương thì hàm số đạt cực tiểu tại x0 • Neu qua Xo đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm thì hàm số đạt cực đại tại Xo - Trong trường hợp phương. .. ứng khác nhau thì có phương trình: y - y A IZ1A X • B~XA y B y A ZB~ZÂ Một số vấn đề về đường thẳng và mặt phang Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phang Xét mặt phẳng (a): Ax + By + Cy + D = 0, A 2 + B2 + c2 > 0, có vectơ pháp tuyến N (A; B; C) và đường thẳng d qua M(x 0; y0; z0) có vectơ chỉ phương U (a; b; c) +) Đường thang d cắt mặt phang (a) khi và chỉ khi N U = 0 +) Đường thẳng d song song... song với nhau thì góc giữa hai mặt phang đó bằng 0° - Đường thẳng d đi qua điểm M 0 ( X 0 -, Y 0 - , Z 0 ) và có vectơ chỉ phương u ị a \ b \ c ) có phương trình tham số là: X = Jt0 +at < y = y 0 + b t ’ (íeK) z = z0+ct - Trong trường hợp A B C * 0 bằng cách khử t từ phương trình tham số ta được phương trình chính tắc: 1 4 *-*0 _ Y - Y Ữ _z~z0 a - b c Đường thắng d đi qua hai điểm phân B \ È T A ( X A...- Tính chất của tích có hướng: 1) Vectơ [«,v] vuông góc với cả hai vectơ M vàv, tức là: vj U = p,v].v = 0 2) Ị U A v| = |m|.|v|.SĨIiỊm, vj 3) p,;] = õ khi và chỉ khi hai vectơ « và V cùng phương - ứng dụng của tích có hướng: 1) Tính diện tích hình bình hành ABCD 2) Tính diện tích tam giác ABC [AB,ACị SARC 3) Thể tích khối tứ diện ABCD [AB,AC^ị.AD 4) Tính thể tích khối hộp ABCDA^C^D’... nhưng ta không xét được dấu của y’, khi đó ta sử dụng định lí sau: “Neu hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục tới cấp 2 tại điểm X() và f (x0) =0 và f ’(x0) Ỷ 0 thì Xo là điểm cực trị của hàm số Hơn nữa: • Neu f ’(Xo) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại x0 • Neu f”(xo) > 0 thì hàm số đạt cực tiêu tại Xo.” - Các bước tìm cực trị: Bước 1 : Tìm tập xác định Bước 2: Tính y’, giải phương trình y’ = 0 Bước 3: Tìm ... cứu Khóa luận cung cấp cho bạn đọc phương pháp giải số dạng - Rèn luyện kĩ sử dụng linh hoạt, sáng tạo tính chất hình học túy để giảm bới tính toán - Đồng thời khóa luận giúp bạn đọc giải tốt toán... Khoảng cách hai đường thẳng chéo d(A], A2) — • Đường vuông góc chung hai đường thẳng chéo đường thắng cắt vuông góc với hai đường thắng Gọi H|, H2 giao điếm đường vuông góc chung với hai đường thắng... thẳng d mặt phẳng (ot) ịu.nị si n • Đường thắng d vuông góc với mặt phắng (a) - - ,- a b c u = kn — = — = — ABC Một số vấn đề hai đường thẳng Xét hai đường thẳng có phương trình: X = x2 + a u X =