Khoá luận tốt nghiệp nghiên cứu tính chất đàn hồi của bán dẫn có cấu trúc kim cương và cấu trúc zns bằng phương pháp thống kê mô men

TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT LÝ NGUYỄN THỊ THANH HUYỀN NGHIÊN CỨU TÍNH CHÁT ĐÀN HỒI CỦA BÁN DẪN CÓ CẤU TRÚC KIM CƯƠNG VÀ CẤU TRÚC ZnS BẰNG PHƯƠNG PHÁP THỐNG KÊ MÔ MEN Chuy

TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA VẬT LÝ

NGUYỄN THỊ THANH HUYỀN

NGHIÊN CỨU TÍNH CHÁT ĐÀN HỒI CỦA BÁN DẪN CÓ CẤU TRÚC KIM CƯƠNG

VÀ CẤU TRÚC ZnS BẰNG PHƯƠNG PHÁP

THỐNG KÊ MÔ MEN

Chuyên ngành: Vật lí lí thuyết

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Người hướng dẫn khoa học

TS PHẠM THỊ MINH HẠNH

LỜ I C ẢM ƠN

Được sự phân công của khoa Vật lý Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2,

và sự đồng ý của Cô giáo hướng dẫn TS Phạm Thị Minh Hạnh tôi đã thực

hiện đề tài: "Nghiên cứu tính chất đàn hồi của bán dân có cấu trúc kim cương

và cấu trúc ZnS bằng phương pháp thong kê mô men

Đe hoàn thành khoá luận này, tôi xin cảm ơn các thầy (cô) giáo đã tận tình hướng dẫn, giảng dạy trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu ở Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

Cũng xin chân thành cảm ơn cô Phạm Thị Minh Hạnh đã tận tình, chu đáo hướng dẫn tôi thực hiện khóa luận này

Mặc dù đã cố gắng hết sức để thực hiện, song tôi cũng không tránh khỏi nhũng sai sót mà bản thân không thấy được Tôi rất mong các quý thầy (cô)

và các bạn đóng góp để tôi hoàn thành khóa luận này

Tôi xin chân thành cảm ơn

Hà Nội, ngày tháng 05 năm 2015

Sinh viên

Nguyễn Thị Thanh Huyền

LỜI C A M Đ O A N

Khóa luận của tôi được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của cô giáo TS Phạm Thị Minh Hạnh cùng với sự cố gắng của bản thân trong suốt quá trình nghiên cứu và thực hiện khóa luận

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi có sự tham khảo của các tài liệu khác và có dẫn nguồn tài tiệu tham khảo

Hà Nội, ngày tháng 05 năm 2015

Sinh viên

Nguyễn Thị Thanh Huyền

MỤC LỤC

MỞ Đ À U 1

1 Lí do chọn đề tà i 1

2 Mục tiêu nghiên cứ u 2

3 Nhiệm vụ nghiên c ú n 2

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứ u 2

5 Phương pháp nghiên cú n 2

CHƯƠNG I: S ơ LƯỢC VỀ CHẤT BÁN D Ẫ N 3

1.1 Mạng tinh thể vật r ắ n 3

1.1.1 Mạng Bravais 3

1.1.2 Mạng đ ả o 9

1.2 Cấu trúc tinh thể bán dẫn 11

1.3 Các ứng dụng quan trọng của vật liệu bán d ẫ n 12

1.4 Các khuyết tật trong bán dẫn 13

1.4.1 Khuyết tật đ iể m 13

1.4.2 Khuyết tật đư ờng 14

1.4.3 Khuyết tật m ặ t 15

1.4.4 Khuyết tật k h ố i 15

Kết luận chương 1 16

CHƯƠNG II: NGHIÊN c ú u TÍNH CHẤT ĐÀN HỒI CÙA BÁN DẪN CÓ CẤU TRÚC KIM CƯƠNG VÀ CẤU TRÚC ZnS BẰNG PHƯƠNG PHÁP THÓNG KÊ MÔ M E N 17

2.1 Phương pháp thống kê mô m en 17

2.1.1 Các công thức tổng quát về mô m en 17

2.1.2 Công thức tổng quát tính năng lượng tự d o 21

2.2 Phương pháp thống kê mô men trong nghiên CÚ01 bán dẫn có cấu trúc

kim cương và cấu trúc ZnS 22

2.2.1 Độ dịch chuyển của nguyên tử khỏi nút m ạng 22

2.2.2 Năng lượng tự d o 28

2.2.3 Tính chất đàn hồi của vật r ắ n 31

2.2.4 Nghiên cún tính chất đàn hồi của bán dẫn bằng phương pháp thống kê mô m e n 37

Ket luận chương 2 46

KẾT LU Ậ N 47

TÀI LIỆU THAM KHẢO 48

M Ở ĐÀU

1 Lí do chọn đề tài

Tính đàn hồi là tính chất đặc trưng của nhiều chất như: chất dẻo, kim loại, họp kim Nó đặc trưng cho sự chống lại nguyên nhân biến dạng của vật chất Chính vì vậy tính đàn hồi có ý nghĩa to lớn trong đời sống và trong kĩ thuật Do đó nó đã thu hút nhiều nhà khoa học nghiên cún Các nhà khoa học

đã có nhiều thành tựu khi nghiên CÚ01 về các vật liệu có tính đàn hồi như: chất dẻo, kim loại, họp kim Tuy nhiên họ chưa quan tâm đúng mức đến việc nghiên cún tính chất đàn hồi của chất bán dẫn Chính vì vậy tôi đề cập đến tính chất đàn hồi của chất bán dẫn trong khóa luận này để giúp mọi người hiểu hơn về tầm quan trọng của chất bán dẫn đối với đời sống và kĩ thuật

Có rất nhiều phương pháp nghiên cún bán dẫn như: Các phương pháp ab-initio, phương pháp liên kết chặt, phương pháp thế kinh nghiệm, phương pháp mô hình hóa máy tính, Các phương pháp trên đều thu được kết quả đáng kể, tuy nhiên chưa có phương pháp nào thực sự hoàn hảo Các tính toán còn hạn chế, kết quả thu được có độ chính xác chưa cao, có phương pháp đòi hỏi giới hạn ứng dụng của phương pháp cho hệ tương đối nhỏ Như vậy, nghiên cứu tính chất đàn hồi của chất bán dẫn nói riêng vẫn hấp dẫn các nhà khoa học Trong khoảng 30 năm trở lại đây, một phương pháp thống kê mới

ra đời được gọi là phương pháp thống kê mô men đã áp dụng nghiên cún thành công đối với các tính chất nhiệt động và tính đàn hồi của tinh thể có cấu trúc kim cương và cấu trúc ZnS Phương pháp này đã sử dụng hiệu quả để nghiên cún về các hiện tượng khuếch tán trong kim loại và hợp kim có cấu trúc lập phương tâm diện và lập phương tâm khối Với các lí do đó, chúng tôi

chọn đề tài nghiên cứu: “Nghiên cứu tính chất đàn hồi của bản dẫn cỏ cấu

trúc kim cương và cấu trúc ZnS bang phương pháp thống kê mô men

2 Mục tiêu nghiên cứu

Xây dựng biểu thức giải tích xác định các mô đun đàn hồi của bán dẫn

có cấu trúc kim cương và cấu trúc ZnS bằng phương pháp thống kê mô men

3 Nhiệm vụ nghiên cửu

-Tìm hiểu một số lí thuyết nghiên cứu về bán dẫn

-Tìm hiểu phương pháp thống kê mô men và áp dụng phương pháp thống kê mô men để nghiên cứu tính chất đàn hồi của bán dẫn có cấu trúc kim cương và cấu trúc ZnS

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu tính chất đàn hồi của bán dẫn có cấu trúc kim cương và cấu trúc ZnS

5 Phương pháp nghiên cửu

- Phương pháp phân tích

- Phương pháp thống kê

- Phương pháp tổng hợp

CHƯƠNG I: S ơ LƯỢC VÊ CHẤT BÁN DẪN 1.1 Mạng tinh thể vật rắn

1.1.1 M ạng Bravais

/ / / / Nhóm tịnh tiến

Hình ỉ ỉ:S ự sắp xếp các nguyên tử cùng loại trong một mạng tinh thế hai chiều

Ta bắt đầu từ việc nghiên cún tính chất đối xứng (bất biến) của tinh thể

đối với nhóm tịnh tiến Phép chuyển động của vật rắn mà trong đó điểm r bất

kì chuyển thành điểm R + r gọi là phép tịnh tiến 1 đoạn R, kí hiệu T(R) ta viết tắt phép tịnh tiến như sau:

T ( R ) : r ^ > C r + R ) ; với mọi r

Ta có thể nói rằng, một tinh thể có tính chất đối xứng với phép tịnh tiến

một đoạn ea theo hướng trục O a, nghĩa là đối với T (ea ) nếu phép tịnh tiến

này mỗi nguyên tử dời chỗ đến vị trí của một nguyên tử khác cùng loại, còn tinh thể sau khi dịch chuyển sang một vị trí trùng khít với vị trí cũ Hình 1.1 diễn tả thí dụ về sự sắp xếp các nguyên tử cùng loại trong mạng tinh thể hai chiều Ta có thể nói tinh thể như trên có tính chất tuần hoàn theo hướng Oa.Mọi tinh thể trong không gian có tính chất bất biến (đối xứng) đối với

phép tịnh tiên T(ea),T{ep),T{eỵ) theo ba hướng nào đó Oa, op, Oy, nghĩa là

có tính chất tuần hoàn theo ba hướng khác này bằng nhiều cách khác nhau (xem hình 1.2 với tinh thế hai chiều)

Hình 1.2 : Tỉnh thế hai chiểu.

Vì tinh thể gián đoạn cho nên trong số tất cả các véc tơ ea ( ep ’ ey ) theo

mỗi hướng tuần hoàn tinh thể có một véc tơ ngắn nhất ũ ^ a ^ a ^ ) và

ea ~ n \a \ ; ep ~ n 2 a 2 ; er = n 3a 3 với ni, n2, n3 là số nguyên

Tinh thể có tính đối xứng (bất biến) đối với tất cả phép tịnh tiến T(R)mà:

Các phép tịnh tiến này tạo thành một nhóm tịnh tiến, với quy tắc nhân sau đây:

T ( R ,) J ( R 2) = T ( R 2 + J 3) 1.1.1.2 Định nghĩa mạng Bravais

Tập họp tất cả các điểm có bán kính véc tơ R xác định bởi công thức (1.1) tạo thành một mạng không gian gọi là Bravais Mỗi điểm gọi là nút

mạng không gian Các véc tơ CLv a 2, a 3 gọi là véc tơ cơ sở của mạng Bravais.

1.1.1.3 Ô cơ sở

Bộ ba véc tơ a v a 2,a 3 gọi là véc tơ cơ sở, chiều dài của chúng được

gọi là hằng số mạng Hình hộp được tạo bởi các véc tơ cơ sở gọi là ô đơn vị hay ô cơ sở

Ô cơ sở là một thể tích không gian có các tính chất sau:

i Khi thực hiện tất cả phép tịnh tiến tạo thành mạng Bravais, nghĩa là tất cả phép tịnh tiến có dạng (1.1), thì tập họp tất cả các ô thu được từ ô ban đầu sẽ lấp đầy toàn bộ không gian, không để lại khoảng trống nào

ii Hai ô khác nhau chỉ có thể có các điểm chung nằm trên mặt phân cách của chúng

iii Ồ cơ sở có thể tích:

V = ữ ị [ a 2 A a 3 ]

1.1.1.4 Ỏ nguyên tố Wigner- Seitz

Có nhiều cách chọn ô cơ sở Các ô cơ sở mà các nút mạng chỉ nằm ở đỉnh hộp gọi là ô nguyên tố như ví dụ trong hình 1.3 Ồ nguyên tố có thể tích nhỏ nhất và trong mỗi ô chỉ chưa một nút mạng

Hình 1.3 Ỏ nguyên tố lập phương đơn giản.

Bao giờ cũng có thể chọn ô nguyên tố để sao cho nó có đầy đủ tính chất đối xúng của mạng Bravais Cách chọn nối tiếng là chọn ô Wigner-Seilz, được xây dựng như sau: Lấy một nút o xác định trên mạng Bravais, tìm nút

lân cận theo tất cả các phương, vẽ mặt phẳng trục giao với đoạn thẳng nối o với tất cả các nút lân cận đó tại trung điểm của đoạn này Khoảng không gian giới hạn bởi các mặt đó là ô nguyên to Wigner - Seitz (hình 1.4).

Hình 1.4 Ô nguyên tố Wigner- Seitz của mạng lập phương tâm khối.

I ỉ 1.5 Phân loại các mạng Bravaỉs của vật ran

Mạng Bravais là một tập họp các điểm tạo thành từ một điểm duy nhất theo các bước rời rạc xác định bởi các véc tơ cơ sở Trong không gian ba chiều có tồn tại 14 mạng Bravais (phân biệt với nhau bởi các nhóm không gian) Tất các vật liệu có cấu trúc tinh thể đều thuộc vào một trong các mạng Bravais này (không tính đến các giả tinh thể) 14 mạng tinh thể được phân theo các hệ tinh thể khác nhau được trình bày ở phía bên dưới:

Hệ tinh thể Mạng tinh thể

Ba nghiêng

a,p,Ỵ * 90*

ế

1.1.1.6 cấ u trúc tinh thế

Trong một số tinh thể vật lý, mỗi ô cơ sở của mạng Bravais có thể chứa nhiều nguyên tử cùng loại hoặc khác loại nằm ở các điểm có véc tơ bán kính xác định Mạng Bravais cùng với tập hợp các véc tơ bán kính của tất cả các nguyên tử trong ô cơ sở tạo thành một cấu trúc tinh thể Ta thường gặp các cấu trúc tinh thể như sau :

i Cấu trúc loại kim cương: gồm hai mạng Bravais lập phương tâm diện lồng vào nhau, nút của một mạng nằm trên đường chéo không gian của mạng kia

và xê dịch đi một đoạn bằng đường chéo Ô cơ sở chứa hai nguyên tử cùng loại nằm ở các điểm có tọa độ là o và nằm ở các điếm có tọa độ là

— (/+ } + &) Cấu trúc này đươc mô tả như hình 1.5a

4

ii Cấu trúc loại kẽm pha: gồm hai loại nguyên tử khác nhau với số lượng bằng nhau nằm trên hai mạng lập phương tâm diện lồng vào nhau giống như mạng kim cương, do đó mỗi nguyên tử có 4 nguyên tử loại khác nằm ở 4 nút lân cận gần nhất

iii Cấu trúc loại muối ăn: gồm hai nguyên tử khác nhau (Na và C1 chang hạn)

có số lượng bằng nhau nằm xen kẽ trên các nút của mạng lập phương đơn, do

đó mỗi nguyên tử có 6 nguyên tử khác loại khác nằm ở các nút lân cận gần nhất Các nguyên tử thuộc mỗi loại nằm ở các nút mạng lập phương tâm diện, hai mạng này lồng vào nhau, mạng nọ xê dịch đi so với mạng kia một đoạn bằng véc tơ cơ sở của mạng lập phương tâm diện của mỗi loại nguyên tử chứa

2 nguyên từ một nguyên tử loại đã cho ở điểm có tọa độ o và nguyên tử loại

a ~ - T

kia ở điêm —ụ + J + k ) Câu trúc này được mô tả như hình 1.5b.

Hình 1.5 a Cấu trúc tinh thê kim cương.

Mạng thuận là mạng không gian được xác định từ ba véc tơ cơ sở

d ị, a 2, a 3 ? vị trí của mỗi nút mạng được xác định bởi véc tơ:

r = n]a ] + n 2a 2 +

trong đó: dị ,a 2,a 3 là các véc tơ cơ sở; ni, n2, n3 là các số nguyên.

Mạng đảo là mạng không gian được xác định từ ba véc tơ Ь\,Ь2,ЬЪ

được xác định như sau:

với Ьл, z?2 , b 3 là các véc tơ cơ sở của mạng đảo

Vị trí của mỗi nút mạng được xác định bởi véc tơ mạng đảo G :

Tính chất 2: Độ lớn của véc tơ mạng đảo có thứ nguyên của nghịch đảo của chiều dài:

1— _ -1

1

h j_ -* -

ai

Tính chất 3: Hình hộp chữ nhật dựng nên từ ba véc tơ cơ sở của mạng đảo được gọi là ô sơ cấp của mạng đảo và có thế tích:

vuông góc với mặt phang (hkl) của mạng thuận.

Tính chất 5 (định lý 2): Khoảng cách d(hkl) giữa hai mặt phẳng liên tiếp nhau thuộc họ mặt phang (hkl) bằng nghịch đảo của độ dài véc tơ mạng đảo GỢikl)

nhân với 2ti

Đối với các bán dẫn hợp chất AmBv hoặc AnBVI, như GaAs hay ZnS, thường kết tinh dưới dạng lập phương kiếu giả kẽm (Zinc Blend-ZnS), gồm hai phân mạng lập phương tâm diện lồng vào nhau, phân mạng này nằm ở % đường chéo chính của phân mạng kia, mạng thứ nhất cấu tạo từ một loại nguyên tử, Ga chẳng hạn, thì mạng thứ hai cấu tạo từ một loại nguyên tử khác, As chẳng hạn

Hình 1.6: Tinh thể GaAs.

Trong tinh thể GaAs, mỗi nguyên tử Ga là tâm của hình tứ diện đều, cấu tạo từ bốn nguyên tử As xung quanh Ngược lại, mỗi nguyên tử As lại là tâm của một hình tứ diện đều, cấu tạo từ bốn nguyên tử Ga xung quanh

1.3 Các ứng dụng quan trọng của vật liệu bán dẫn

Vật liệu bán dẫn được nghiên cứu và ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khoa học, kĩ thuật và công nghệ [5] Tuy nhiên, ứng dụng quan trọng nhất và phổ biến nhất của chúng là dùng để chế tạo các linh kiện điện tử Chúng ta đang sống trong thời kì công nghệ thông tin Một lượng lớn thông tin có thể thu thập được qua internet và cũng có thể thu được một cách nhanh chóng qua những khoảng cách xa bằng hệ thống truyền thông vệ tinh Sự phát triển của các bán dẫn như điốt, transistor và mạch tích hợp đã dẫn đến khả năng đáng kinh ngạc này IC thâm nhập sâu vào hầu hết mọi mặt của đời sống hàng ngày chan hạn như đầu đọc CD, máy Fax, máy Scan laser tại các siêu thị và điện thoại di động Photodiot là một loại công cụ không thể thiếu trong thông tin

quang học và trong ngành kĩ thuật tự động hóa Điốt phát quang được dùng trong các bộ hiển thị, đèn báo, làm các màn hình quảng cáo và làm các nguồn sáng Pin nhiệt điện bán dẫn được ứng dụng đế chế tạo các thiết bị làm lạnh gọn nhẹ, hiệu quả cao dùng trong khoa học, y học

1.4 Các khuyết tật trong bán dẫn

Cấu trúc tinh thể được trình bày ở trên là cấu trúc tinh thể lý tưởng vì khi xét đã bỏ qua dao động nhiệt và các khuyết tật trong trật tự sắp xếp của nguyên tử, những khuyết tật đó được gọi là khuyết tật mạng tinh thể [4]

Phụ thuộc vào kích thước ba chiều trong không gian, khuyết tật mạng tinh thế chia thành: khuyết tật điểm, khuyết tật đường, khuyết tật mặt và khuyết tật khối

Sau khi rời khỏi nút mạng, nguyên tử có thể sang vị trí giữa các nút (cơ chế tạo nút trống Frenkel) tạo ra khuyết tật điếm dạng nguyên tử xen kẽ Cơ chế thứ hai gọi là cơ chế tạo nút Schottky, khi nguyên tử rời vị trí cân bằng ra

bề mặt tinh thể

1.4.1.2 Nguyên tử tạp chất

Trong thực tế hầu như không có vật liệu hoặc kim loại sạch tuyệt đối, các công nghệ nấu, luyện hiện đại nhất trong phòng thí nghiệm cũng chỉ cho phép đạt độ sạch nhất 99,999% hoặc cao hơn một chút phụ thuộc vào kích

thước các nguyên tử nguyên tử tạp chất thay thế ở nút mạng hoặc xen kẽ giữa các nút.

Hình 1.7: Các dạng khuyết tật điếm: nút trống và nguyên tử tự xen kẽ (a) và

các nguyên tử tạp chất (b).

M ật độ nút trống phụ thuộc vào nhiệt độ theo hàm số mũ, nên tăng rất nhanh theo nhiệt độ và có giá trị lớn nhất khi sắp chảy lỏng Nút trống có ảnh hưởng lớn đến cơ chế và tốc độ khuếch tán của bán dẫn ở chế độ trạng thái rắn

1.4.2 Khuyết tật đường

Các khuyết tật điểm cũng như nút trống, nguyên tử xen kẽ Neu chúng nằm liền nhau trên một đường, chúng tạo khuyết tật đường Chúng có những dạng hình học nhất định và tính ổn định cao Người ta phân biệt những loại khuyết tật đường sau đây: lệch đường thẳng (lệch biên), lệch xoắn và lệch hỗn hợp

Hình 1.8: Khuyết tật đưòng lệch xoắn.

CHƯƠNG II: NGHIÊN c ứ u TÍNH CHÁT ĐÀN HÒI CỦA BÁN DẪN

CÓ CẤU TRỦC KIM CƯƠNG VÀ CẤU TRỦC ZnS BẰNG PHƯƠNG

2.1 Phương pháp thống kê mô men

2.1.1 Các công thức tổng quát về mô men

Trong lí thuyết xác suất và trong vật lí thống kê, mô men được định nghĩa như sau:

Giả sử có một tập hợp các biến cố ngẫu nhiên qi, q2, qn tuân thủ theo quy tắc thống kê, được mô tả bởi hàm phân bố co(qi, qn)- Hàm này phải thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa Trong lí thuyết xác suất người ta định nghĩa

mô men cấp m như sau:

Mô men này còn được gọi là mô men gốc Ngoài ra còn có định nghĩa

mô men trung tâm cấp m:

U q - < q , > r ) = 1 - \ ( q , - { q Ị))m(o{qì,q 2, ,q n)dqv A qn (2.2)

Như vậy đại lượng trung bình thống kê <q> chính là mô men cấp một

và phương sai <{qị- < q ị >)2 > là mô men trung tâm cấp hai Vì thế nếu biết hàm phân bố co(q^q2, ,qn) ta có thế xác định được các mô men.

Trong vật lí thống kê cũng có các định nghĩa tương tự Riêng đối với hệ

lượng tử, được mô tả bởi toán tử thống kê p , các mô men xác định như sau:

PHÁP THỐNG KÊ MÔ MEN

ở đây là dấu ngoặc Poisson lượng tử

Như vậy, nếu biết toán tử thống kê P thì có thể tìm được mô men Tuy nhiên việc tính các mô men không phải là bài toàn đon giản Ngay đối với hệcân bằng nhiệt động, dạng của P thường đã biết (phân bố chính tắc, hoặc chính tắc lớn, v.v ), nhưng việc tìm các mô men cũng rất phức tạp

Giữa các mô men có mối quan hệ với nhau Mô men cấp cao có thể biểu diễn qua mô men cấp thấp hơn Việc xây dựng tổng quát đối với hệ lượng tử để tìm hệ thức liên hệ giữa các mô men đã được xây dựng trong [6] Các hệ thức đó đóng vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu tính chất đàn hồi của bán dẫn có cấu trúc kim cương và cấu trúc ZnS nên ở đây xin trình bày vắn tắt việc xây dựng chúng:

Xét một hệ lượng tử, chịu tác động của ngoại lực không đổi aj theo hướng tọa độ suy rộng Qj Như vậy Hamiltonian của hệ có dạng:

với Hữlà Hamiltonian của hệ khi không có ngoại lực tác dụng

Bằng một phép biến đổi kì diệu các tác giả đã thu được hệ thức tổng quát, chính xác biểu thị mối quan hệ giữa toán tử bất kì F và tọa độ suy rộng

Qk của hệ Hamiltonial H:

o

(2.4)

trong đó 0 = kBT , kB là hằng số Boltzman, T là nhiệt độ tuyệt đối, B2n là hệ số

Becmouli và ( ) biểu thị trung bình tập họp cân bằng thống kê với Hamiltonian H

Hệ thức này cho phép xác định sự tương quan giữa đại lượng F và tọa

Trong trường hợp đặc biệt, F = Qk , ta thu được biểu thức chính xác

đối với phương sai:

trong đó < > biểu thị trung bình theo tập hợp cân bằng với Hamiltonian Hữ

Trong đó nhiều công trình nghiên cứu các tác giả thu được hệ thức chính xác khác:

Công thức (2.4) còn được sử dụng để viết công thức truy chứng đối với

mô men cấp cao [16] Muốn vậy, tác giả đưa vào định nghĩa toán tử tương quan cấp n:

2.1.2 Công thức tong quát tỉnh năng lượng tự do

Trong vật lý thống kê, khi biết năng lượng tự do ta sẽ có thông tin đầy

đủ về tính chất nhiệt động của hệ, vì vậy việc xác định nó đóng vai trò quan trọng Trong vật lý thống kê năng lượng tự do liên kết với tổng trạng thái qua

hệ thức:

Tuy nhiên, việc tìm y/ không đon giản Đối với một số hệ đơn giản có

thể tìm được biểu thức chính xác của năng lượng tự do, còn nói chung chỉ có thể tìm được dưới dạng gần đúng Trong [6] phương pháp mô men đã được áp dụng để xác định công thức tổng quát tính năng lượng tự do:

Xét một hệ lượng tử đặc trung bởi Hamiltonian có dạng:

với a là thông sô và V là toán tử tùy ý Dựa vào biêu thức đã thu được băng phương pháp mô men đối với hệ cân bằng nhiệt động: