Trong mục này chúng tôi xác định đ−ợc các điều kiện của các kinh tuyến của mặt tròn xoay với kinh tuyến nằm trên một 2-phẳng t−ơng ứng với số l−ợng tr−ờng trùng pháp trên mặt.
Kết luận Ch−ơng 4
Trong ch−ơng này, chúng tôi giải quyết đ−ợc những vấn đề sau:
(1) Giới thiệu khái niệm mặt kẻ kiểu không gian và mặt kẻ kiểu không gian khả triển, xác định đ−ợc số l−ợng tr−ờng trùng pháp cũng nh− tr−ờng
vectơ pháp ν trên mặt kẻ để nó ν-rốn và đ−a ra đ−ợc đặc tr−ng của mặt kẻ cực đại.
(2) Giới thiệu mặt tròn xoay kiểu hypebolic và kiểu eliptic, xác định đ−ợc tr−ờng trùng pháp và tr−ờng vectơν để các mặt tròn xoay nàyν-rốn, xác định đ−ợc ph−ơng trình tham số hóa của mặt tròn xoay kiểu hypebolic và kiểu eliptic cực đại cũng nh− khi chúng là mặt rốn.
(3) Giới thiệu khái niệm mặt tròn xoay với kinh tuyến phẳng trong R41,
đ−a ra các điều kiện t−ơng ứng với số l−ợng tr−ờng trùng pháp trên các lớp mặt này.
Kết quả của Ch−ơng 4 đ−ợc trình bày trong các bài báo [6], [7] và [8].
Kết luận và kiến nghị
1 Kết luận
Trong luận án này chúng tôi nghiên cứu mặt kiểu không gian đối chiều hai trong không gian Lorentz-Minkowski, bao gồm: Cấu trúc của không gian Lorentz-Minkowski và các đối t−ợng cơ bản của nó; một số công cụ cơ bản để nghiên cứu mặt đối chiều cao; mặt ν-rốn đối chiều hai; mặt
ν-phẳng đối chiều hai; mặt kẻ và mặt tròn xoay kiểu không gian trong không gianR41.Các kết quả chính của luận án là:
(1) Bằng cách giải một hệ ph−ơng trình đại số, chúng tôi xác định đ−ợc cặp tr−ờng vectơ pháp, đồng thời kiểm soát đ−ợc thuộc tính của nó trên phân thớ pháp của mặt đối chiều hai, sau đó sử dụng cặp tr−ờng vectơ pháp này khảo sát đ−ợc một số tính chất hình học của mặtν-rốn (Định lí 2.1.5, 2.1.12, 2.1.14, 2.1.15, 2.1.16, 2.1.17, 2.2.8, 2.2.9). Kết hợp các kết quả về mặt ν-rốn để đ−a ra định lí thể hiện tính chất của mặt rốn (Định lí 2.3.2). Chúng tôi cũng đ−a ra các ví dụ với các tính toán chi tiết nhằm làm rõ các kết quả đã đạt đ−ợc. Các kết quả này đ−ợc trình bày trong các bài báo [5], [6] và [9].
(2) Đ−a ra một điều kiện để kiểm tra một tr−ờng vectơ pháp là tr−ờng trùng pháp (Mệnh đề 3.1.2). Xác định đ−ợc số l−ợng tr−ờng trùng pháp trên một mặt ν-rốn đồng thời tìm ra đ−ợc mối quan hệ bao hàm giữa các lớp mặtν-rốn và ν-phẳng (Định lí 3.1.3). Dựa vào tính chất của các mặt phẳng tiếp xúc chúng tôi đ−a ra đ−ợc các điều kiện đủ để mặtν-dẹt (Mệnh đề 3.2.5). Dựa vào điều kiện ràng buộc của các ν-siêu phẳng, chúng tôi đ−a ra đ−ợc các điều kiện đủ để mặtν-phẳng (Mệnh đề 3.2.6).
Nghiên cứu tính phẳng của mặt trong không gian4-chiềuR4 từ đó đ−a ra một số điều kiện đủ để chúng chứa trong siêu phẳng (Mệnh đề 3.2.7). Khi phát triển các kết đạt đ−ợc vềν-phẳng và điều kiện chứa trong siêu phẳng của mặt trong R4 lên mặt kiểu không gian trong R41, chúng tôi nhận thấy rằng các kết quả trong R4 nói chung cũng đúng trong R41.Sự khác biệt xuất hiện khiν là tr−ờng vectơ pháp kiểu ánh sáng. Với tr−ờng vectơ pháp kiểu ánh sáng ν, mặc dù giảm bớt các giả thiết trong Mệnh đề 3.2.7 chúng ta vẫn nhận đ−ợc các điều kiện đủ để mặt chứa trong một siêu phẳng kiểu ánh sáng (Mệnh đề 3.2.13, 3.2.15). Các kết quả này đ−ợc trình bày trong các bài báo [2] và [8].
(3) Đ−a ra một khảo sát chi tiết về mặt kẻ trongR4
1 bao gồm: xác định số l−ợng ph−ơng trùng pháp tại mỗi điểm (Mệnh đề 4.1.3); xác định điều kiện ν-rốn và xác định tính chất hình học của mặt kẻ cực đại (Mệnh đề 4.1.5). Nghiên cứu đ−ợc đ−ợc các tính chất hình học cơ bản của mặt tròn xoay kiểu hypebolic và kiểu eliptic trongR41 bao gồm: xác định đ−ợc các tr−ờng trùng pháp trên mặt và xác định đ−ợc tr−ờng vectơ pháp ν trên mặt để nó ν-rốn (Mệnh đề 4.2.8, 4.2.14); xác định đ−ợc ph−ơng trình tham số của mặt rốn và mặt cực đại (Định lí 4.2.4, 4.2.10, 4.2.6, 4.2.12); xác định đ−ợc điều kiện để mặt có độ cong Gauss hằng (Định lí 4.2.16). Đ−a ra đ−ợc các điều kiện t−ơng ứng với số l−ợng tr−ờng trùng pháp trên mặt tròn xoay trongR41 với kinh tuyến phẳng và cho các ví dụ t−ơng ứng cho từng tr−ờng hợp. Các kết quả này đ−ợc trình bày trong các bài báo [6], [7] và [8].
2 Kiến nghị
Trong thời gian tới, chúng tôi mong muốn tiếp tục nghiên cứu những vấn đề sau.
(1) Tiếp tục nghiên cứu mặt đối chiều hai để làm rõ cấu trúc hình học của mặtν-rốn đối chiều hai, ν-phẳng,. . . .
(2) Tìm hiểu và xây dựng các công cụ hữu hiệu để nghiên cứu mặt kiểu thời gian và kiểu ánh sáng đối chiều cao trong
không gian Lorentz-Minkowski.
(3) Xây dựng khái niệm mặt helicoid trong R4
1 và nghiên cứu các tính chất hình học của nó.
(4) Nghiên cứu lý thuyết mật độ (density) lên không gian Lorentz- Minkowski.