Độ cong và độ xoắn trên đa tạp riemann

Bộ giáo dục đào tạo Tr-ờng đại học vinh lê thị thơm độ cong độ xoắn đa tạp riemann Luận văn thạc sĩ toán học Vinh - 2009 Bộ giáo dục đào tạo Tr-ờng đại học vinh lê thị thơm độ cong độ xoắn đa tạp riemann Chuyên ngành: Hình Học - Tôpô mà số: 60.46.10 Luận văn thạc sĩ toán học Ng-ời h-ớng dÉn khoa häc: PGS TS Ngun h÷u quang Vinh - 2009 MỤC LỤC Trang LỜI NÓI ĐẦU CHƢƠNG I ĐỘ CONG VÀ ĐỘ XOẮN TRÊN ĐA TẠP RIEMANN I Độ cong đa tạp Riemann II Độ xoắn đa tạp Riemann 11 CHƢƠNG II VI PHÂN CỦA ĐỘ CONG VÀ ĐỘ XOẮN TRÊN ĐA TẠP RIEMANN 18 I k - dạng vi phân theo giá trị vectơ 18 II Đạo hàm theo hướng k - dạng vi phân 19 III Vi phân độ cong độ xoắn đa tạp Riemann 31 KẾT LUẬN 35 TÀI LIỆU THAM KHẢO 36 LỜI NĨI ĐẦU Hình học Riemann đời từ năm 1850 nói rằng, hình học Riemann xem mở rộng tự nhiên hình học Ơclit nhiều chiều Các độ cong đa tạp Riemann vấn đề nhiều tác giả nước quan tâm, chẳng hạn Khu Quốc Anh, Nguyễn Doãn Tuấn, Nguyễn Hữu Quang, O’Neill.B, Sigmundur Gudmundsson nhiều tác giả khác Độ cong đa tạp Riemann có nhiều ứng dụng Vật lý, Toán học nhiều ngành khoa học khác Trong luận văn này, chúng tơi trình bày tính chất độ cong độ xoắn đa tạp Riemann Luận văn mang tên: Độ cong độ xoắn đa tạp Riemann Luận văn trình bày hai chương: Chƣơng I Độ cong độ xoắn đa tạp Riemann Trong chương này, chúng tơi trình bày khái niệm chứng minh chi tiết số tính chất quan trọng độ cong độ xoắn đa tạp Riemann Đây kiến thức sở chuẩn bị cho việc trình bày chương sau Chương I chia làm hai phần: I Độ cong đa tạp Riemann II Độ xoắn đa tạp Riemann Chƣơng II Vi phân độ cong độ xoắn đa tạp Riemann Trong chương này, chúng tơi trình bày số tính chất k dạng vi phân theo giá trị vectơ đa tạp Riemann M, đạo hàm theo hướng dạng vi phân xét độ cong độ xoắn đa tạp Riemann Chương II chia làm phần: I k - dạng vi phân theo giá trị vectơ II Đạo hàm theo hướng k - dạng vi phân III Vi phân độ cong độ xoắn đa tạp Riemann Luận văn hoàn thành vào tháng 12 năm 2009 Trường Đại học Vinh với hướng dẫn PGS TS Nguyễn Hữu Quang Nhân dịp này, tác giả xin chân thành gửi lời cảm ơn sâu sắc tới Thầy, người hướng dẫn tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Nhân dịp hoàn thành luận văn, tác giả xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo mơn Hình học - Tơpơ, thầy giáo khoa Toán, khoa đào tạo Sau Đại học - Trường Đại học Vinh, nhiệt tình giảng dạy, góp ý tạo điều kiện cho tác giả trình học tập thực luận văn Cũng này, tác giả xin chân thành cảm ơn bạn bè, gia đình động viên, giúp đỡ tác giả suốt q trình học tập hồn thành luận văn Vinh, tháng 12 năm 2009 Tác giả CHƢƠNG I ĐỘ CONG VÀ ĐỘ XOẮN TRÊN ĐA TẠP RIEMANN Trong chương này, chúng tơi trình bày khái niệm chứng minh chi tiết số tính chất quan trọng độ cong độ xoắn đa tạp Riemann I Độ cong đa tạp Riemann Trong chương ta giả thiết M đa tạp khả vi thực, có sở đếm với hệ đồ U , X  I Ta ký hiệu F U   f / f : U   , f khả vi tập mở U M,  liên thơng tuyến tính M, B  M  tập trường vectơ khả vi Như biết: Ánh xạ g : B M  B M  F M   X ,Y  g  X ,Y  gọi metric Riemann M, đặt tương ứng với p  M tích vơ hướng g p TpM; cho tích vơ hướng phụ thuộc vào p cách khả vi (Nghĩa  X , Y B  M  hàm số g  X , Y  : p g p  X p , Yp  khả vi ) Một đa tạp khả vi M trang bị cấu trúc metric Riemann g gọi đa tạp Riemann 1.1.1 Định nghĩa Ánh xạ R: B  M   B  M   B  M   B  M   X ,Y , Z  R  X ,Y  Z xác định bởi: R  X , Y  Z   X Y Z  Y  X Z   X ,Y Z R gọi độ cong đa tạp Riemann M 1.1.2 Nhận xét  Giả sử S mặt trụ R3 cho tham số hóa  u, v  Khi R S   x  cos u   y  sin u ,  u, v   R  zv  Thật vậy, ta đặt: X  ru    sin u,cos u,0    y, x,0  Y  rv   0,0,1  0,0,1 Với X ,Y  B  S  giả sử Z  B  S  , Z cho Z   X  Y    y , x ,    Z1, Z , Z3  Ta có: +)  X Y Z  DX  DY Z   DX Y  Z1  ,Y Z  ,Y Z3  T T (T thành phần tiếp xúc  X Y Z mặt trụ)    y x      DX  , , X Y   DX  z z  z   z  z T       DX   X  DX   z   z        Y Y  X   X  X    z   z     2  2   2  2  y x X   y  x     x z  y  z   y z    x z   Y  (1) +) Y  X Z  DY  DX Z   DY  X Z1  , X Z  , X Z  T T T          DY  y   x  xy ,  yx   y  x2 ,y x y x y x y   x         DY   y x X  y x  x y  x y     Y             Y  y x X  Y  y x Y  x y  x y              y x X  y x   z  x y  z  x y  Y     2  2   2  2   y x X   y  x   Y xz yz  yz    xz (2) +)  X ,Y   DX Y  DY X   DX Y    DY X   T T Suy D X ,Y Z  (3) Mặt khác: R  X ,Y  Z   X Y Z  Y  X Z   X ,Y Z (4) Thay (1), (2), (3) vào (4) ta thu kết quả: R  X , Y  Z   X Y Z  Y  X Z   X ,Y Z   Giả sử M đa tạp khả song E1, , Ei  trường mục tiêu khả vi M Ta có biểu diễn: Ei E j   ijk Ek k     Ei E j Es   Ei   kjs Ek   k  R  Ei , Ei , Ei    Rijsk Ek k  E ,E  Es   Cijr krs Ek  j i k ,s Khi đó, ta có: Rijks    irk isr  kjr isr  krsCijr   Ei kjs   E j isk  r Thật vậy, theo định nghĩa ta có:     R  Ei , E j  Es  Ei E j Es  E j Ei Es   E ,E  Es  i j      Ei   kjs Ek   E j   isk Ek    Cijr krs Ek  k   k  k ,r (1) Mặt khác:   Ei   kjs Ek    Ei  kjs  Ek   isr irk Ek k ,r  k  k     E j   isk Ek    E j  isk  Ek    rjs kjr Ek k ,r  k  k    E ,E  Es   Cijr krs Ek  i j k ,s Thay ba đẳng thức vào (1) ta có:     R  Ei , E j  Es   Ei  kjs  Ek   isr irk Ek   E j  isk  Ek    rjskjr Ek   Cijr krs Ek k k ,r k k ,r k ,r     Rijks Ek     isr irk Ek    rjs kjr Ek   Cijr krs Ek    Ei  kjs  Ek   E j  isk  Ek k k  r r r k  k         Rijks Ek     isr irk    rjs kjr   Cijr krs .Ek   Ei  kjs   E j isk  Ek k k  r r r k  k r k r k r k k k  Rijs    is ir   js jr  Cij  rs   Ei   js   E j  is    r Trong trường hợp riêng M  Rn ,   D Ei  trường mục tiêu tự nhiên R n Khi Rijsk  0; i, j, s, k  1, , n  Giả sử  M , g  đa tạp Riemann U , x  đồ địa phương M  Với i, j, k , l  1, , m ta đặt:  X i      , Rijkl  g R  X i , X j  X k , X l với  liên xi    thông Levi - Civita M ta thu được: m m   s   s Rijkl   g sl  jk  ik   rjk irs  ikr  sjr   xi  x j r 1 s 1   Thật vậy: Vì  X i , X j   , có:   R  X i , X j  X k   X i  X j X k   X j  X i X k    X i   sjk X s    X j  iks X s  m s 1 m   s m m   s    jk X s    sjk X s isr  ik X s   iks X s  rjs    x j s 1  xi r 1 r 1  m   s m   s    jk  ik   rjk irs  ikr  sjr X s   x j r 1 s 1  xi  1.1.3 Mệnh đề Cho  M , g  đa tạp Riemann trơn, nhẵn X ,Y , Z trường vectơ M , ta có: i) 6R  X ,Y  Z  R  X ,Y  Z Y  Z   R  X ,Y  Z Y  Z    R  X  Z , Y  X  Z   R  X  Z ,Y  X  Z  ii) R  X ,Y  Z  R  Z , X Y  R Y , Z  X  Chứng minh: i) Với X ,Y , Z thuộc M ta có: R  X ,Y  Z   X Y Z  Y  X Z   X ,Y Z Do đó, ta có: +) R  X ,Y  Z Y  Z    X Y Z Y  Z   Y Z  X Y  Z    X ,Y Z  Y  Z    X Y ZY   X Y Z Z  Y Z  X Y  Y Z  X Z   X ,Y Z Y   X ,Y Z Z   X Y Y   X ZY   X Y Z   X Z Z  Y  X Y   Z X Y  Y  X Z  Z  X Z   X ,Y Y   X ,Z Y   X ,Y Z   X ,Z Z   X ZY   X Y Z  Z  X Y  Y  X Z   X ,Z Y   X ,Y Z +) R  X ,Y  Z Y  Z    X Y Z Y  Z   Y Z  X Y  Z    X ,Y Z  Y  Z    X Y ZY   X Y Z Z  Y Z  X Y  Y Z  X Z   X ,Y Z Y   X ,Y Z Z   X Y Y   X ZY   X Y Z   X Z Z  Y  X Y   Z X Y  Y  X Z  Z  X Z   X ,Y Y   X ,Z Y   X ,Y Z   X ,Z Z   X ZY   X Y Z  Z  X Y  Y  X Z   X ,Z Y   X ,Y Z +) R  X  Z ,Y  X  Z    X Z Y  X  Z   Y  X Z  X  Z    X Z ,Y   X  Z    X Z Y X   X Z Y Z  Y  X Z X  Y  X Z Z   X Z ,Y  X   X Z ,Y Z   X Y X  Z Y X   X Y Z  Z Y Z  Y  X X  Y  Z X  Y  X Z  Y Z Z   X ,Y  X  Y ,Y  X   X ,Y Z   Z ,Y Z  Z Y X   X Y Z  Y Z X  Y  X Z   Z ,Y  X   X ,Y Z +) R  X  Z ,Y  X  Z    X Z Y  X  Z   Y  X Z  X  Z    X Z ,Y   X  Z    X Z Y X   X Z Y Z  Y  X Z X  Y  X Z Z   X Z ,Y  X   X Z ,Y Z   X Y X  Z Y X   X Y Z  Z Y Z  Y  X X  Y  Z X  Y  X Z  Y Z Z   X ,Y  X   Z ,Y  X   X ,Y Z  Z ,Y Z  Z Y X   X Y Z  Y Z X  Y  X Z   Z ,Y  X   X ,Y Z Khi đó: Vế phải i)   X ZY   X Y Z  Z  X Y  Y  X Z   X ,Z Y   X ,Y Z   X ZY   X Y Z  Z  X Y  Y  X Z   X ,Z Y   X ,Y Z  Z Y X   X Y Z  Y Z X  Y  X Z   Z ,Y  X   X ,Y Z  Z Y X   X Y Z  Y Z X  Y  X Z   Z ,Y  X   X ,Y Z 22 2.2.4 Định nghĩa Ánh xạ đối tiếp xúc f ký hiệu f  xác định sau: f  : k  M    k  M   f  Với f   X1, , X k     f X1, , f X k  ; X i  B  M  2.2.5 Ví dụ Cho f : R3  R3 ;  x, y, z   x, xy, yz     xdy  dz, dx  dy, dx  dz  Tính f   ? f Lời giải: Ta có 2  R3   2  R3   f   X ,Y     f X , f Y  , X ,Y  B  R      J f  X  , J f Y     0   X   0  Y1       xdy  dz, dx  dy , dx  dz    y x   X  ,  y x  Y2           z y   X   z y  Y    3    3    xdy  dz, dx  dy, dx  dz    X 1, yX  xX , zX  yX  , Y1, yY1  xY2 , zY2  yY3     xdy  dz   X , yX 1  xX , zX  yX  , Y1, yY1  xY2 , zY2  yY3   ,  dx  dy    X1, yX1  xX , zX  yX  , Y1, yY1  xY2 , zY2  yY3   ,  dx  dz    X1, yX  xX , zX  yX  , Y1, yY1  xY2 , zY2  yY3      xdy   X 1, yX  xX , zX  yX  dz Y1, yY1  xY2 , zY2  yY3    xdy  Y1, yY1  xY2 , zY2  yY3  dz  X 1, yX  xX , zX  yX   ,  dx  X , yX 1  xX , zX  yX  dy Y1, yY1  xY2 , zY2  yY3     dx Y1, yY1  xY2 , zY2  yY3  dy  X , yX  xX , zX  yX   ,  dx  X , yX 1  xX , zX  yX  dz Y1, yY1  xY2 , zY2  yY3     dx Y1, yY1  xY2 , zY2  yY3  dz  X 1, yX  xX , zX  yX    23   x  yX  xX  zY2  yY3   x  yY1  xY2  zX  yX  ,  X  yY  xY   Y  yX  1  xyzX Y  xy X Y  x zX Y 2 2  xX   ,  X  zY2  yY3   Y1  zX  yX     x yX 2Y3  xyzY1 X  xy 2Y1 X  x zY2 X  x yY2 X  ,  yX1Y1 +xX1Y2  yY1 X1  xY1 X  ,  zX1Y2 +yX1Y3  zY1 X  yY1 X     xyz  X 1Y2  Y1 X   xy  X 1Y3  Y1 X   x y  X 2Y3  Y2 X  , x  X 1Y2  Y1 X  , z  X 1Y2  Y1 X   y  X 1Y3  Y1 X     xyzdx  dy  xy 2dx  dz  x yd  dz, xdx  dy, zdx  dy  ydx  dz   X ,Y  ; X , Y  B  R3  Vậy f    xyzdx  dy  xy 2dx  dz  x yd  dz, xdx  dy, zdx  dy  ydx  dz  2.2.6 Nhận xét f  có tính chất tuyến tính Thật vậy, xét ánh xạ f : M  M ; f  : k  M   k  M  ta có: f   X1, , X k     f X 1, , f X k  ; X i  B  M  +) Với X i  B  M  , ta có: f     '   X 1, , X k      '   f X , , f X k     f X 1, , f X k     f X 1, , f X k     f X 1, , f X k   '  f X 1, , f X k   f   X1, , X k   f '  X 1, , X k    f   f '   X 1, , X k  ;   X 1, , X k  Vậy f    '   f   f  ' +) Với   F  M  , ta có: f    X 1, , X k     f X 1, , f X k       f X 1, , f X k     f   X 1, , X k  ;   X 1, , X k  24 Vậy f       f  Từ ta kết luận f  có tính chất tuyến tính  2.2.7 Mệnh đề Giả sử M đa tạp Riemann f , g ánh xạ khả vi từ M  M Khi đó, ta có:  g f   f  g   Chứng minh: Ta có: f  : k  M    k  M  g  : k  M    k  M  Khi g  f  : k  M   k  M  Giả sử  k  M  với X1, , X k  B  M  Ta có: g f    X 1, , X k      g f  X 1, ,  g f  X k      g  f X  , , g  f X k    g   f X 1, , f X k    g  f     X 1, , X k  ; X 1, , X k  B  M  ;  k  M  Vậy  g f   f  g    2.2.8 Mệnh đề Giả sử M đa tạp Riemann,  liên thơng tuyến tính M , ánh xạ khả vi f : M  M Khi với  k  M  ta có:  X  f    f    X   Chứng minh: Với X1, , X k  B  M  , ta có:  X  f    X , , X k    X  f   X 1, , X k     f   X 1, ,  X X i , , X k  k i 1     X   f  X , , f  X k     f  X 1, ,  X f  X i , , f  X k  k i 1 25 Mặt khác, với X1, , X k  B  M  , ta có: f    X   X 1, , X k    X   f X 1, , f X k      X   f  X , , f  X k     f  X 1, ,  X f  X i , , f  X k  k i 1 Vậy  X  f    X1, , X k   f    X   X 1, , X k  , X 1, , X k  B  M  Suy  X  f    f    X    2.2.9 Định nghĩa Vi phân d liên kết với   (q+1) - dạng M, lấy giá trị B  M  , ta ký hiệu d , xác định bởi: i  d   X , , X q     1  X   X , , X i , , X q  q i i 0      1   X i , X j  , X , , X i , , X j , , X q i j i j Ở X i  B  M  , X i có nghĩa khơng có phần tử Xi biểu thức,  q - dạng M lấy giá trị B  M  Chú ý: Trong R n , cho  - dạng vi phân Khi d  X ,Y    X  Y    Y   X      X ,Y  , với X , Y  B  R n  2.2.10 Ví dụ Với q  ta xét  2  R3  ,    dx  dy, dy  dz, dz  dx  Giả sử   D Cho X  x,1,1 ; X1 1, y,1 ; X 1,1, z  Khi ta có:  d  X , X1, X    X   X1, X     X   X , X     X   X , X     X , X  , X     X , X  , X     X 1, X , X    X   dx  dy, dy  dz, dz  dx  X 1, X     X1   dx  dy, dy  dz, dz  dx  X , X    X   dx  dy, dy  dz, dz  dx  X , X     dx  dy, dy  dz, dz  dx   X , X  , X    dx  dy, dy  dz, dz  dx   X , X  , X    dx  dy, dy  dz, dz  dx   X 1, X  , X  26   X  dx  dy  X 1, X  E1  dy  dz  X 1, X  E2  dz  dx  X 1, X  E3   X1  dx  dy  X , X  E1  dy  dz  X , X  E2  dz  dx  X , X  E3   X  dx  dy  X , X  E1  dy  dz  X , X1  E2  dz  dx  X , X  E3         dx  dy  X , X  , X  E1  dy  dz  X , X  , X  E2  dz  dx  X , X , X  E3  dx  dy  X , X  , X  E1  dy  dz  X , X  , X  E2  dz  dx  X , X  , X  E3  dx  dy  X 1, X  , X  E1  dy  dz  X 1, X  , X  E2  dz  dx  X 1, X  , X  E3 Ta đặt: A   X  dx  dy  X 1, X  E1  dy  dz  X 1, X  E2  dz  dx  X , X  E3  ; B   X1  dx  dy  X , X  E1  dy  dz  X , X  E2  dz  dx  X , X  E3  ; C   X  dx  dy  X , X  E1  dy  dz  X , X  E2  dz  dx  X , X .E3  ;       E  dx  dy  X , X  , X  E1  dy  dz  X , X , X .E2  dz  dx  X , X , X .E3 ; F  dx  dy  X , X  , X  E1  dy  dz  X , X , X  E2  dz  dx  X , X , X .E3 ; G  dx  dy  X 1, X  , X  E1  dy  dz  X 1, X , X .E2  dz  dx  X 1, X , X .E3 Khi đó:  d  X , X1, X   A  B  C  E  F  G (*) Bây ta tính: +) A   X  dx  dy  X1, X  E1  dy  dz  X1, X  E2  dz  dx  X 1, X  E3   X0  dx  X  dy  X   dx  X  dy  X1   E1   dy  X1  dz  X   dy  X  dz  X1   E2    dz  X  dx  X   dz  X  dx  X   E3   X  1  y  E1   yz  1 E2  1  z  E3  +) B   X  dx  dy  X , X  E1  dy  dz  X , X  E2  dz  dx  X , X  E3    X1  dx  X  dy  X   dx  X  dy  X   E1   dy  X  dz  X   dy  X  dz  X   E2   dz  X  dx  X   dz  X  dx  X   E3    X1   x  1 E1   z  1 E2  1  xz .E3  27 +) C   X  dx  dy  X , X1  E1  dy  dz  X , X1  E2  dz  dx  X , X1  E3   X2  dx  X  dy  X1   dx  X1  dy  X   E1   dy  X  dz  X1   dy  X1  dz  X   E2   dz  X  dx  X   dz  X  dx  X   E3    X   xy  1 E1  1  y  E2  1  x  E3  +) E   dx  dy  X , X1  , X  E1  dy  dz  X , X1 , X  E2  dz  dx  X , X1 , X  E3     dx  X , X  dy  X   dx  X  dy  X , X  E1       dy  X , X  dz  X   dy  X  dz  X , X  E2  dz  X , X  dx  X   dz  X  dx  X , X  E3    x  y  E1   z  xz  xy  1 E2   xy  yz   z  E3  +) F   dx  dy  X , X  , X1  E1  dy  dz  X , X , X1  E2  dz  dx  X , X , X1  E3     dx  X , X  dy  X   dx  X  dy  X , X  E1       dy  X , X  dz  X   dy  X  dz  X , X  E2  dz  X , X  dx  X   dz  X  dx  X , X  E3    zy  y  xz  1 E1   y   xz  xy  E2   x  z  E3  +) G   dx  dy  X1, X , X  E1  dy  dz  X1, X , X  E2  dz  dx  X1, X , X  E3     dx  X 1, X  dy  X   dx  X  dy  X , X  E1       dy  X 1, X  dz  X   dy  X  dz  X , X  E2  dz  X 1, X  dx  X   dz  X  dx  X , X  E3    yz  x  xz  1 E1   y  z  E2  1  x  yz  yx .E3  Ta tính E  F  G  (*) trở thành:  d  X , X1, X    X  1  y  E1   yz  1 E2  1  z  E3   X1   x  1 E1   z  1 E2  1  xz  E3   X   xy  1 E1  1  y  E2  1  x  E3  (**) 28 Thay   D vào (**) ta có:  d  X , X1, X   DX  1  y  E1   yz  1 E2  1  z  E3   DX1   x  1 E1   z  1 E2  1  xz .E3   DX   xy  1 E1  1  y  E2  1  x  E3  Tính tốn trực tiếp ta có kết quả:  d  X , X1, X    x  y  2, y  z  2, x  z   2.2.11 Nhận xét d ánh xạ tuyến tính Thật vậy: Giả sử , ' k  M  +) Với X i  B  M  , i  0, , q , ta có:   d    '   X , , X q     1  X i    '  X , , X i , , X q q i i 0   1 i j ' i i j q       X , X j  , X , , X i , , X j , , X q    q        1  X i  X , , X i , , X q    1  X i  ' X , , X i , , X q i i 0 i i 0        1   X i , X j  , X , , X i , , X j , , X q i j i j    1  '  X i , X j  , X , , X i , , X j , , X q i j i j q         1  X i  X , , X i , , X q    1   X i , X j  , X , , X i , , X j , , X q i i 0 q      1  X i  ' X , , X i , , X q i 0 i i j i j     1 i j i j    '  X i , X j  , X , , X i , , X j , , X q  d  X , , X q   d'  X , , X q  ;   X , , X q   B  M  Vậy d   '   d  d ' , với , ' q  M  +) Với   F  M  , X i  B  M  , i  0, , q , ta có:  29 q   d    X , , X q     1  X i  X , , X i , , X q i 0    1 i j i j q i     X i , X j  , X , , X i , , X j , , X q        1  X i  X , , X i , , X q i 0 i       1    X , X  , X , , X , , X , , X     q i      1  X i  X , , X i , , X q  i 0 i j i i j j i j q     1    X , X  , X , , X , , X , , X   i j i j i j i j q    d   X , , X q  ;   X , , X q   B  M  Vậy d      d  , với  q  M  ,  F  M  Từ ta kết luận d ánh xạ tuyến tính  2.2.12 Mệnh đề Nếu  1  M  dạng vi phân lớp C n , n  X ,Y , Z  B  M  d  d  X ,Y , Z   R  X ,Y    Z    R Y , Z    X    R  Z , X   Y   Chứng minh: Với X ,Y , Z  B  M  ta có: d  d  X , Y , Z    X  d Y , Z    Y  d  X , Z    Z  d  X ,Y   d  X ,Y  , Z   d Y , Z , X   d  X , Z ,Y    X Y   Z     X Z  Y     X  Y , Z   Y  X   Z    Y Z   X    Y   X , Z   Z  X  Y    Z Y   X    Z  X , Y    X ,Y    Z    Z  X , Y     X , Y , Z    X ,Z   Y    Y   X , Z     X , Z , Y   Y ,Z    X     X  Y , Z    Y , Z , X    X Y   Z    Y  X   Z     X ,Y    Z    Y Z   X    Z Y   X   Y ,Z    X    Z  X  Y     X Z  Y     Z , X   Y    R  X , Y    Z    R Y , Z    X    R  Z , X   Y   Vậy d  d  X ,Y , Z   R  X ,Y    Z    R Y , Z    X    R  Z , X   Y    30 2.2.13 Mệnh đề Cho M tạp Riemann,  q  M  , ánh xạ khả vi f : M  M , ta có: f   d   d  f   Chứng minh: Ta có f : M  M ; f  : q  M   q  M  Với X i  B  M  , i  0, , q ta có: f   d   X , , X q    d   f  X , , f  X q  q      1  X i  f X , , f X i , , f X q i i 0     1  f  X i , X j  , f X , , f X i , , f X j , , f X q i j i j q      1  X i f X , , X i , , X q i i 0    1 i j i j    f  X i , X j  , X , , X i , , X j , , X q   d  f    X , , X q  ;   X , , X q  Vậy f   d   d  f    2.2.14 Nhận xét Giả sử  M , g  đa tạp Riemann, f : M  N hàm khả vi, df 1dạng M Gọi  liên thông Levi- Civita  M , g  Xét df 2- dạng cho công thức: df  X ,Y     X df Y   X Yf   df   XY  Khi biểu thức df tọa độ địa phương là: n  df     ij f   ijk  k f k 1   i j dx  dx  Thật vậy, xét đồ U ,  M trường mục tiêu sở     X i  i  , i  n, n  dim M x   Ta có:  df   X i , X j   X i  X j  f    df  X X j  i 31  2 f  n k   df   ij X k  x i x j  k 1   n 2 f f  ijk k  i j x x x k 1  n   k 1  Như df     ij f   ijk  k f dx i  dx j III Vi phân độ cong độ xoắn đa tạp Riemann Gọi I 1- dạng M lấy giá trị B  M  , xác định bởi: X  B  M  , I  X   X Xem T tenxơ xoắn M lấy giá trị B  M  , R :  X ,Y  R  X ,Y  2- dạng lấy giá trị L TM , TM  Khi đó, ta có Mệnh đề sau: 2.3.1 Mệnh đề Gọi d vi phân ngồi kết hợp với liên thơng tuyến tính  thì: i) dR  ii) dI  T iii) dT  R  I Chứng minh: i) Với X ,Y , Z  B  M  , ta có:   dR  X , Y , Z U     X  R Y , Z   U   R  X ,Y  , Z  U  cicl      X  R Y , Z U   R Y , Z   XU   R  X , Y , Z  U  cicl      X Y  ZU   Z Y U  Y ,Z U cicl     Y  Z   Z Y  Y ,Z    X U    X ,Y  ZU   Z  X ,Y U    X Y ,Z U     X Y ZU   X Z Y U   X Y ,Z U cicl  32 Y Z  XU  Z Y  X U  Y ,Z  X U   X ,Y ZU  Z  X ,Y U   X ,Y ,Z U   Mặt khác:  X Y Z   Y Z  X ; cicl  X X Z Y   Z Y  X ; cicl Y ,Z U   Z  X ,Y U ; cicl  cicl cicl cicl    XU    X ,Y ZU Y ,Z  cicl cicl   X ,Y , Z   cicl Suy dR  X ,Y , Z U   ii) Với X ,Y  B  M  ta có: dI  X , Y    X  I Y    Y  I  X    I  X ,Y    X Y  Y X   X , Y   T  X ,Y  Vậy dI  X ,Y   T  X ,Y  , X ,Y  B  M  Hay dI = T iii) Với X ,Y , Z  B  M  ta có:   dT  X , Y , Z   d  dI  X , Y , Z     X   dI Y , Z    dI  X ,Y  , Z  cicl        X T Y , Z     X ,Y   I  Z    Z  I  X , Y   I  X , Y , Z  cicl    X  Y Z  ZY  Y , Z    X ,Y Z  Z  X , Y    X , Y , Z  cicl      X Y Z   X Z Y   X ,Y Z cicl Mặt khác ta có:  R  I  X ,Y , Z   R  X ,Y  I  Z   R  X , Z  I Y   R Y , Z  I  X   R  X ,Y  Z  R  X , Z Y  R Y , Z  X       X Y  Y  X   X ,Y  Z   X Z  Z  X   X ,Z  Y    Y Z  Z Y  Y ,Z  X 33      X Y Z   X Z Y   X ,Y Z cicl  Từ suy điều phải chứng minh 2.3.2 Mệnh đề Giả sử M đa tạp khả vi với liên thông tuyến tính  Khi với X , Y , Z  B  M  , ta có: i)   R Y , Z   R T  X ,Y  , Z   X Cicl ii)   T Y , Z   R  X ,Y  Z  T T  X ,Y  , Z   X Cicl Chứng minh: i) Theo Mệnh đề 2.2.1 có dR  , nên với X ,Y , Z  B  M  ta có:    dR  X , Y , Z     X  R Y , Z    R  X , Y  , Z  cicl         X R Y , Z   R   X Y , Z   R Y ,  X Z   R  X ,Y , Z  cicl     X R Y , Z   R   X Y , Z   R   X Z , Y   R  X ,Y  , Z  cicl       X R Y , Z   R T  X ,Y  , Z  cicl Vậy   R Y , Z   R T  X ,Y  , Z   X cicl ii) Theo Mệnh đề 2.3.1iii), ta có: dT  X , Y , Z    R  I  X ,Y , Z   R  X ,Y  Z  R  X , Z Y  R Y , Z  X   R  X ,Y Z cicl Mặt khác:   dT  X , Y , Z     X T Y , Z    T  X , Y  , Z  cicl         X T Y , Z   T   X Y , Z   T Y ,  X Z   T  X ,Y , Z  cicl     X T Y , Z   T   X Y , Z   T   X Z ,Y   T  X ,Y , Z  cicl 34       X T Y , Z   T T  X ,Y  , Z  cicl Suy   T Y , Z   T T  X ,Y  , Z    R  X ,Y Z X cicl Vậy cicl   T Y , Z   R  X ,Y  Z  T T  X ,Y  , Z   X  cicl 2.3.3 Hệ Nếu liên thơng tuyến tính  có độ xoắn T  đồng thức Mệnh đề 2.3.2 có dạng:    R Y , Z   iii) X Cicl iv)  R  X ,Y  Z  Cicl Chứng minh: iii) Theo Mệnh đề 2.3.2i)   R Y , Z   R T  X ,Y  , Z   X cicl Với T    R Y , Z   R 0  X ,Y  , Z  X cicl    X R Y , Z   R  0, Z   cicl Vậy    R Y , Z   X Cicl iv) Theo Mệnh đề 2.3.2i)   T Y , Z   R  X ,Y  Z  T T  X ,Y  , Z   X cicl Với T    0Y , Z   R  X ,Y  Z  0  X ,Y  , Z  X cicl  0  R  X , Y  Z  0  cicl Vậy  R  X ,Y  Z  Cicl  35 KẾT LUẬN Luận văn đạt đƣợc kết sau:  Trình bày chứng minh chi tiết số tính chất quan trọng độ cong độ xoắn đa tạp Riemann  Trình bày chứng minh chi tiết số tính chất đạo hàm theo hướng k - dạng vi phân  Phát biểu chứng minh Mệnh đề 2.2.8 mối liên hệ f    Phát biểu chứng minh Mệnh đề 2.2.12 đạo hàm vi phân d liên kết với   Trình bày chứng minh chi tiết số tính chất vi phân độ cong độ xoắn Trong thời gian tới, tiếp tục nghiên cứu sâu tính chất đạo hàm k - dạng vi phân ứng dụng việc khảo sát độ cong đa tạp Riemann 36 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt: [1] Khu Quốc Anh, Nguyễn Dỗn Tuấn (2003), Lý thuyết liên thơng hình học Riemann, Nxb Đại học Sư phạm [2] Nguyễn Hữu Quang (2004), Các dạng vi phân, Bài giảng chuyên đề cao học chun ngành Hình học - Tơpơ Đại học Vinh [3] Nguyễn Hữu Quang (2004), Đa tạp khả vi, Đại học Vinh [4] Nguyễn Hữu Quang (2005), Mở đầu hình học Riemann, Đại học Vinh [5] Đồn Quỳnh (2003), Hình học vi phân, Nxb Đại học Sư phạm [6] Thái Thị Minh Thu (2007), k - dạng vi phân với giá trị vectơ, Luận văn Thạc sĩ, Đại học Vinh Tiếng Anh: [7] Chern S.S, Chen W.H, Lam K.S - Lectures on Differential Geometry, Copyright @2000 by World Scientific [8] O’ Neill.B (1966), Elementary Differential Geometry, Academic Press, New - York and London [9] Sigmundur Gudmundsson (2009), An Introduction to Riemannian Geometry, Lund University ... CHƢƠNG I ĐỘ CONG VÀ ĐỘ XOẮN TRÊN ĐA TẠP RIEMANN I Độ cong đa tạp Riemann II Độ xoắn đa tạp Riemann 11 CHƢƠNG II VI PHÂN CỦA ĐỘ CONG VÀ ĐỘ XOẮN TRÊN ĐA TẠP RIEMANN ... tơi trình bày tính chất độ cong độ xoắn đa tạp Riemann Luận văn mang tên: Độ cong độ xoắn đa tạp Riemann Luận văn trình bày hai chương: Chƣơng I Độ cong độ xoắn đa tạp Riemann Trong chương này,... trọng độ cong độ xoắn đa tạp Riemann Đây kiến thức sở chuẩn bị cho việc trình bày chương sau Chương I chia làm hai phần: I Độ cong đa tạp Riemann II Độ xoắn đa tạp Riemann Chƣơng II Vi phân độ cong