Một số tích chất của độ cong theo phương hai chiều và độ cong ricci

2 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH phạm thị mai anh số tính chất độ cong theo ph-ơng hai chiều độ cong ricci Chuyên ngành: Hình Học - Tôpô mà số: 60.46.10 Luận văn thạc sĩ toán học Ng-ời h-ớng dẫn khoa học: PGS TS Ngun H÷u Quang Vinh - 2011 MỤC LỤC Trang LỜI NÓI ĐẤU CHƢƠNG I : ĐA TẠP RIEMANN I.Đa tạp Riemann II Phép đẳng cự 19 CHƢƠNG II:CÁC ĐỘ CONG CƠ BẢN TRÊN ĐA TẠP RIEMANN 21 I.Tenxơ độ cong 21 II Độ cong Ricci 32 KẾT LUẬN 35 TÀI LIỆU THAM KHẢO 36 LỜI NĨI ĐẦU Hình học Rimann đời từ năm 1850 xem mở rộng tự nhiên hình học Lobasevsky, nhà tốn học Rimann xây dựng Từ đến nay, hình học Rimann với phép tính tenxơ nghiên cứu rộng rãi nhà toán học Trong đó, ta khơng thể khơng nhắc tới cơng trình nghiên cứu Ricci Levi-Civita đặc biệt nghiên cứu tính chất độ cong độ xoắn đa tạp Riemann Chọn đề tài ‘‘Một số tính chất độ cong theo phương hai chiều độ cong Ricci ” muốn làm rõ số tính chất độ cong theo phương hai chiều độ cong Ricci đa tạp Riemann để phần hiểu sâu hình học Riemann Độ cong theo phương hai chiều độ cong Ricci đa tạp Riemann có nhiều ứng dụng Vật lý, Toán học nhiều ngành khoa học khác Luận văn trình bày hai chương: Chương I Đa tạp Riemann Trong chương này, chúng tơi trình bày khái niệm chứng minh chi tiết số tính chất quan trọng đa tạp Riemann phép đẳng cự Đây kiến thức sở chuẩn bị cho việc trình bày chương sau Chương I chia làm hai phần: I Đa tạp Riemann II Phép đẳng cự Chương II Các độ cong đa tạp Riemann Trong chương này, chúng tơi trình bày số tính chất tenxơ độ cong, độ cong theo phương chiều, độ cong Ricci đa tạp Riemann ứng dụng Chương II chia làm phần: I Tenxơ độ cong II Độ cong Ricci Luận văn hoàn thành vào tháng 12 năm 2011 Trường Đại học Vinh với hướng dẫn PGS TS Nguyễn Hữu Quang Nhân dịp này, tác giả xin chân thành gửi lời cảm ơn sâu sắc tới Thầy, người hướng dẫn tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Nhân dịp hoàn thành luận văn, tác giả xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo mơn Hình học - Tơpơ, thầy giáo khoa Tốn, khoa đào tạo Sau Đại học - Trường Đại học Vinh, nhiệt tình giảng dạy, góp ý tạo điều kiện cho tác giả trình học tập thực luận văn Cũng này, tác giả xin chân thành cảm ơn bạn bè, gia đình động viên, giúp đỡ tác giả suốt q trình học tập hồn thành luận văn Vinh, tháng 12 năm 2011 Tác gỉả CHƢƠNG ĐA TẠP RIEMANN Trong chương này, chúng tơi trình bày khái niệm chứng minh chi tiết số tính chất quan trọng đa tạp Riemann phép đẳng cự Đây kiến thức sở chuẩn bị cho việc trình bày chương sau I Đa tạp Riemann 1.1 Định nghĩa: (xem [1;3]) Giả sử M đa tạp khả vi lớp Ck, k ≥ có sở đếm với cấu trúc khả vi {Uα , φα}α Một trường mêtric g khả vi M gọi ngắn gọn mêtric (hay mêtric Riemann M) , thoả mãn hai điều kiện sau: i) gp tích vơ hướng TpM ; với  p  M ( Ở TpM không gian véc tơ tiếp xúc với M p ) ii) g khả vi phụ thuộc vào p M (nghĩa g(X,Y) khả vi với X,Y B(M) Ở B(M) môđun trường véc tơ khả vi M) Thay cho viết g(X,Y), ta thường viết (hoặc X.Y) Đa tạp khả vi M với tenxơ mêtric g xác định gọi đa tạp Riemann ký hiệu (M,g) M 1.2 Chú ý - Từ nay, ta ký hiệu M đa tạp Riemann n- chiều có sở đếm   - Tp(M) =   p /  p tiếp xúc với M p - B(M) =  X/ X tr-ờng véc tơ tiếp xúc kh vi M - F(M) vành hàm số khả vi M 1.3 Ví dụ a) Giả sử S mặt R3=Oxyz Với p  S, ta đặt gP(XP,YP) = XP.YP Khi S đa tạp Riemann (Trong đó: XP.YP tích vơ hướng thơng thường XP YP TPR3) b) Giả sử φ hàm số khả vi dương Rn Ta đặt: g(X,Y) = φ X.Y Khi (Rn,g) đa tạp Riemann Thật vậy: - gP(XP,YP) = φ(p).XP.YP;  XP,YP  TPRn tích vô hướng TpM;  p  M - Do φ khả vi X, Y hàm khả vi Rn nên φ.X.Y = φ  X i Yi i Ở X Y tương ứng có tọa độ X(X1,…, Xn), Y(Y1,…, Yn) - Vậy (Rn,g) đa tạp Riemann - Trong trường hợp riêng H = A(x,y) y >0; AOxy  φ(x,y) = } y2 Vậy (H, g) đa tạp Riemann c) Giả sử N đa tạp Riemann với mêtric g, M đa tạp khả vi f: MN dìm Khi h(X,Y) = g(f*X, f*Y);  X,Y  B(M), xác định mêtric Riemann M Thật vậy: Rõ ràng hp ánh xạ song tuyến tính đối xứng, với p  M, (do gp song tuyến tính đối xứng, với p  M) Ta có: hp(XP,YP) =  gp(f* p (Xp), f*(Yp)) =  f* p (Xp) = f*(Yp) =  Xp = Yp = 0; p  M (do f dìm) Vậy (M,g) đa tạp Riemann 1.4 Mệnh đề: (xem [3]) Trên đa tạp khả vi M, tồn mêtric g Chứng minh: Ở điểm p  M p  Uα Từ mêtric tắc En, xây dựng mêtric Uα cảm sinh φα , ký hiệu ~g p ( ~g p (XP,YP) = φα* p (Xp) φ* p (Yp);  p Up ) Uα Xp M φα Rn Giả sử (ψα) phân hoạch đơn vị ứng với cấu trúc khả vi Uαα Ta xét: ~    (q).g q ( X q , Yq ) (gα(X,Y)) q =   0 Đặt : q U p q U p g   g  Khi g mêtric M 1.5 Định nghĩa: (xem [3]) a) Giả sử  đường cong đa tạp Riemann xác định bởi:  : a,b  M t   (t) b Khi độ dài  là: l p    ' (t ) dt a b) Khoảng cách d(A,B) ký hiệu: d(A,B) xác định bởi: d(A,B) = inf l (: đường cong nối A B )  1.6 Mệnh đề: (xem [3]) Độ dài đường cong  đa tạp Riemann không phụ thuộc vào việc chọn tham số  Tức là: b d a c   ' (t ) dt   r ' (s) ds Chứng minh: Giả sử r tham số hóa  tương đương với ρ; với r: [c,d]→M, ρ = r  λ Trong λ vi phơi từ [a,b] →[c,d] ; λ(t) = s,  t [a,b] Ta có ρ’(t) = (r  λ)’(t) = r’(s) λ’(t) Do λ vi phôi, nên λ’(t) > 0;  t [a,b] λ’(t) < 0;  t [a,b] Trường hợp 1: λ’(t) > 0;  t [a,b] Ta có: b b a a   ' (t ) dt   r ' (s)  ' (t )dt b =  r ' (s) d (t ) a d =  r ' (s) ds c Trường hợp 2: λ’(t) < 0; Ta có:  t [a,b] b b a a   ' (t ) dt   r ' (s)  ' (t )dt b =   r ' ( s) d (t ) a c =   r ' ( s) ds = d d  r ' (s) ds c 10 1.7 Ví dụ a) Giả sử đường cong  H cho tham số hóa: ρ: 1,2  H t  (3; 2t +1) Khi đó:  ’(t) = ( ; 2)   ’  ’ = Vậy , ta có : l   '. 'dt y2   dt 2t   ln 2t  1  ln b) Ta xét đường cong  H cho tham số hóa:    :( ; )  H t (cos 3t ;sin 3t ) Ta có:  ’(t) = (-3sin3t; 3cos3t)   ’(t)  ’(t) = 9sin23t + 9cos23t = Vậy:  l      '. '.dt y2   4   9.dt sin 3t   dt sin t   3.sin 3t dt 3t   sin 11  d (cos 3t )      cos t   2   du  1 u2 2 1 1 u (  )du  ln 1 u 1 u 1 u 2 2  ln 2 1.8 Định nghĩa: (xem [3]) Ánh xạ: : B (M) x B (M)  B (M) (X,Y)  xY , thỏa mãn tính chất sau: Với X,Y,Z  B(M) với f  F(M) , ta có: 1) X(Y+Z) = XY + XZ 2) X+YZ = XZ + YZ 3) XY =  XY 4) X (Y) = X.Y +  XY gọi liên thơng tuyến tính XY gọi đạo hàm thuận biến trường véctơ Y dọc trường véctơ X Toán tử X: Y  XY gọi đạo hàm thuận biến dọc trường véctơ X 1.9 Nhận xét 1- M = Rn,  =D: B (Rn) x B (Rn)  B (Rn) (X,Y)  DxY = (XY1, , XYn) Trong Y có toạ độ (Y1,,Yn) Khi liên thông tuyến tính Rn Thật vậy, thoả mÃn điều kiện định nghĩa liên thông tuyến tính: 1) X(Y+Z) = DX (Y+Z) = DXY + DXZ 2) X+YZ = DX+YZ = DXZ + DYZ 24    y x      DX  , , X Y   DX  z z  z   z  z T       DX   X  DX   z   z   2  2  y x   x z  y z         Y Y  X   X  X    z   z     2  2 x  X    y  x z  y z     Y  (1) +) Y  X Z  DY  DX Z   DY  X Z1  , X Z  , X Z  T T         DY   y x X  y x  x y  x y     Y             Y  y x X  Y  y x  Y  x  y  x  y               y x X  y x   z  x y  z  x y  Y     2  2   2  2   y x X   y  x   Y  x  z  y  z  x  z  y  z     (2) +)  X ,Y   DX Y  DY X   DX Y    DY X   T T D X ,Y  Z  Suy ra: (3) Mặt khác: R  X ,Y  Z   X Y Z  Y  X Z   X ,Y Z (4) Thay (1), (2), (3) vào (4) ta thu kết quả: R  X , Y  Z   X Y Z  Y  X Z   X ,Y Z  2.3 Mệnh đề: (xem [1]) Giả sử M đa tạp khả song E1, , Ei  trường mục tiêu khả vi M Với biểu diễn: Ei E j   ijk Ek ; [ Ei , E j ]  C ijr Er R( Ei , E j , Es )   Rijsk Ek ; đó: k Rijks    irk isr  kjr isr  krsCijr   Ei kjs   E j isk  r k 25 Chứng minh: Theo định nghĩa, ta có:     R  Ei , E j  Es  Ei E j Es  E j Ei Es   E ,E  Es  i j      Ei   kjs Ek   E j   isk Ek    Cijr krs Ek  k   k  k ,r (1) Mặt khác:   Ei   kjs Ek    Ei  kjs  Ek   isr irk Ek k ,r  k  k     E j   isk Ek    E j  isk  Ek    rjs kjr Ek k ,r  k  k    E ,E  Es   Cijr krs Ek  i j k ,s Thay ba đẳng thức vào (1) ta có:     R  Ei , E j  Es   Ei  kjs  Ek   isr irk Ek   E j  isk  Ek    rjskjr Ek   Cijr krs Ek k k ,r k k ,r k ,r     Rijks Ek     isr irk Ek   rjskjr Ek   Cijr krs Ek    Ei kjs  Ek   E j isk  Ek k k  r r r k  k         Rijks Ek     isr irk    rjs kjr   Cijr krs .Ek   Ei  kjs   E j isk  Ek k k  r r r k     Rijks    isr irk  rjs kjr  Cijr krs   Ei  kjs   E j  isk  r k 2.4 Hệ quả: M  Rn ,   D Khi Rijs  0; i, j, s, k  1, , n Chứng minh : n Thật vậy, DE E j = 0, (Ở Ei  trường mục tiêu tự nhiên R ) i nên ijk  k Vì vậy, Rijs  0; i, j, s, k  1, , n 26 2.5 Mệnh đề: (xem [3]) Giả sử  M , g  đa tạp Riemann U , x  đồ địa phương M    Với i, j, k , l  1, , m ta đặt:  X i   , Rijkl  g  R  X i , X j  X k , X l  với  xi   liên thông Levi - Civita M Khi đó: m   sjk iks    g sl     rjk irs  ikr  sjr  ; Ở gsl = g(Xs, Xl)  xi  x j r 1 s 1   m Rijkl Chứng minh : Thật vậy:  X i , X j   , có:   R  X i , X j  X k   X i  X j X k   X j  X i X k    X i   sjk X s    X j  iks X s  m s 1 m   s m m   s    jk X s    sjk X s isr  ik X s   iks X s  rjs    x j s 1  xi r 1 r 1  m   sjk iks       rjk irs  ikr  sjr X s   x j r 1 s 1  xi  m Từ đó, ta suy cơng thức mệnh đề 2.6 Mệnh đề: (xem [3]) Giả sử  M , g  đa tạp Riemann X ,Y , Z trường vectơ M Khi đó, ta có: i) 6R  X ,Y  Z  R  X ,Y  Z Y  Z   R  X ,Y  Z Y  Z    R  X  Z , Y  X  Z   R  X  Z ,Y  X  Z  ii) R  X ,Y  Z  R  Z , X Y  R Y , Z  X  Chứng minh: i) Với X ,Y , Z thuộc M ta có: R  X ,Y  Z   X Y Z  Y  X Z   X ,Y Z Do đó, ta có: 27 +) R  X ,Y  Z Y  Z    X Y Z Y  Z   Y Z  X Y  Z    X ,Y Z  Y  Z    X Y ZY   X Y Z Z  Y Z  X Y  Y Z  X Z   X ,Y Z Y   X ,Y Z Z   X Y Y   X Z Y   X Y Z   X Z Z  Y  X Y  Z  X Y  Y  X Z Z  X Z   X ,Y Y   X ,Z Y   X ,Y Z   X ,Z Z   X ZY   X Y Z  Z  X Y  Y  X Z   X ,Z Y   X ,Y Z +) R  X ,Y  Z Y  Z    X Y Z Y  Z   Y Z  X Y  Z    X ,Y Z  Y  Z    X Y ZY   X Y Z Z  Y Z  X Y  Y Z  X Z   X ,Y Z Y   X ,Y Z Z   X Y Y   X Z Y   X Y Z   X Z Z  Y  X Y  Z  X Y  Y  X Z Z  X Z   X ,Y Y   X ,Z Y   X ,Y Z   X ,Z Z   X ZY   X Y Z  Z  X Y  Y  X Z   X ,Z Y   X ,Y Z +) R  X  Z ,Y  X  Z    X Z Y  X  Z   Y  X Z  X  Z    X Z ,Y   X  Z    X Z Y X   X Z Y Z  Y  X Z X  Y  X Z Z   X Z ,Y  X   X Z ,Y Z   X Y X  Z Y X   X Y Z  Z Y Z  Y  X X  Y Z X  Y  X Z Y Z Z   X ,Y  X  Y ,Y  X   X ,Y Z  Z ,Y Z  Z Y X   X Y Z  Y Z X  Y  X Z   Z ,Y  X   X ,Y Z +) R  X  Z ,Y  X  Z    X Z Y  X  Z   Y  X Z  X  Z    X Z ,Y   X  Z    X Z Y X   X Z Y Z  Y  X Z X  Y  X Z Z   X Z ,Y  X   X Z ,Y Z   X Y X  Z Y X   X Y Z  Z Y Z  Y  X X  Y  Z X  Y  X Z Y Z Z   X ,Y  X   Z ,Y  X   X ,Y Z  Z ,Y Z  Z Y X   X Y Z  Y Z X  Y  X Z   Z ,Y  X   X ,Y Z Khi , ta có : R(X,Y+Z)(Y+Z)- R(X,Y-Z)(Y-Z)+R(X+Z,Y)(X+Z)-R(X-Z,Y)(X-Z)   X ZY   X Y Z  Z  X Y  Y  X Z   X ,Z Y   X ,Y Z   X Z Y   X Y Z  Z  X Y  Y  X Z   X ,Z Y   X ,Y  Z   Z Y X   X Y Z  Y  Z X 28 Y  X Z  Z ,Y  X   X ,Y Z  Z Y X   X Y Z  Y Z X  Y  X Z  Z ,Y  X   X ,Y Z  2 X Z Y  2Z  X Y  2 X ,Z Y  4 X Y Z  4Y  X Z  4 X ,Y  Z  2 Z Y X 2Y Z X  2 Z ,Y  X  2R  X , Z Y  4R  X ,Y  Z  2R  Z ,Y  X  R  X , Y  Z  2R  Z , X Y  2R Y , Z  X  2 R  X , Y  Z  2R  Z , X Y  2R Y , Z  X  6R  X ,Y  Z  2  R  X , Y  Z  R  Z , X Y  R Y , Z  X   6R  X ,Y  Z  2.0  6R  X , Y  Z  6R  X , Y  Z = 6R(X,Y)Z Vậy 6R  X ,Y  Z  R  X ,Y  Z Y  Z   R  X ,Y  Z Y  Z   R  X  Z , Y  X  Z   R  X  Z ,Y  X  Z  ii) Ta có: R  X , Y  Z   X Y Z  Y  X Z   X ,Y Z R  Z , X  Y  Z  X Y   X ZY   Z , X Y R Y , Z  X  Y Z X  Z Y X  Y ,Z  X Do M đa tạp Riemann nên:  X ,Y Z  Z , X Y  Y ,Z  X  Cộng ba đẳng thức ta thu kết quả: R  X , Y  Z  R  Z , X Y  R Y , Z  X   Nhận xét: Nếu X  Y từ mệnh đề trên, ta có R(X,Y)Z = Thật vậy, X  Y ta có: 6R Y , Y  Z  R Y , Y  Z Y  Z   R Y , Y  Z Y  Z   R Y  Z ,Y Y  Z   R Y  Z ,Y Y  Z   Y Y Z Y  Z   Y Z Y Y  Z   Y ,Y Z  Y  Z   Y Y Z Y  Z   29 Y Z Y Y  Z   Y ,Y Z  Y  Z   Y Z Y Y  Z   Y Y Z Y  Z   Y Z Y Y  Z   Y Z Y Y  Z   Y Y Z Y  Z   Y Z ,Y  Y  Z   Y ,Y Z  Y  Z   Y ,Y Z  Y  Z   Y ,Y Z  Y  Z   Y ,Y Z  Y  Z   Vậy 6R Y ,Y  Z  Hay R(Y,Y)Z = Bây ta xét ánh xạ R : B  M   B  M   B  M   B  M   F  M   X ,Y , Z , T  R  X , Y  Z T Khi R ánh xạ bốn tuyến tính 2.7 Mệnh đề: (xem [4]) Giả sử  liên thông Levi - Civita Khi i) R  X ,Y , Z , T    R Y , X , Z , T   R ( X ,Y , Z ,T )  ii) Cicl ( X ,Y , Z ) Chứng minh: i) Chúng ta có R  X ,Y  Z   R Y , X  Z nên R  X , Y , Z , T   R  X ,Y  Z T   R Y , X  Z T  R Y , X , Z , T  ii)  R ( X ,Y , Z ,T )  R ( X ,Y , Z ,T )  R (Y , Z , X ,T )  R (Y , X , Z ,T ) Cicl ( X ,Y , Z )  R  X ,Y  Z T  R Y , Z  X T  R Y , X  Z T Mà R  X ,Y  Z  R Y , Z  X  R Y , X  Z  nên  R  X ,Y  Z  R Y , Z  X  R Y , X  Z  T  0.T  Vậy :  R ( X ,Y , Z ,T )  Cicl ( X ,Y , Z ) 2.8 Mệnh đề: (xem [4]) Giả sử  liên thông Levi – Civita, với  X , Y   0, X , Y  B  M  Khi đó: R  X ,Y , Z , T    R  X ,Y , T , Z  30 Mệnh đề 2.6 chứng minh trực tiếp qua sở tính chất bốn tuyến tính R Trong luận văn này, ta áp dụng bổ đề sau để chứng minh mệnh đề 2.6 2.9 Bổ đề Giả sử  X , Y   0, X , Y  B  M    X Y Z  Z   Y  X Z  Z , Z  B  M  Thật vậy: Do  X , Y   0, X , Y  B  M  , nên Z  B  M  ta có: [X,Y][Z.Z] =  X[Y[Z.Z]] - Y[X[Z.Z]] =  X[Y[Z.Z]] = Y[X[Z.Z]]  X[2[  YZ]Z] = Y[2[  XZ]Z]  2(  X  Y Z)Z = 2(  Y  X Z)Z    X Y Z  Z  Y  X Z  Z  Trở lại chứng minh mệnh đề 2.6, ta cần chứng minh ánh xạ:  :  Z , T   R  X , Y , Z  T phản xứng Do  song tuyến tính Z T, nên ta cần chứng minh:   Z , Z   0, Z  B  M  Thật vậy:   Z , Z   R  X ,Y  Z Z     X Y Z  Y  X Z   X ,Y  Z Z    X Y Z  Y  X Z  Z    X Y Z  Z   Y  X Z  Z Áp dụng bổ đề 2.7, ta suy   Z , Z   0, Z  B  M  Vậy mệnh đề 2.6 chứng minh  2.10 Mệnh đề: (xem [4]) Với X , Y , Z , T  B  M  , ta có: R  X , Y , Z , T   R  Z , T , X , Y  31 Chứng minh: Ta đổi chỗ T cho X, Y 2.5, ta được: R  X , Y , Z , T   R Y , Z , X , T   R  Z , X , Y , T   R (T,Y,Z,X) + R (Y,Z,T,X) + R (Z,T,Y,X)=0 R  X , T , Z , Y   R T , Z , X , Y   R  Z , X , T , Y   Cộng vế với vế ba đẳng thức ta có: R  X , Y , Z , T   R Y , Z , X , T   R  Z , X ,Y , T   R T ,Y , Z , X   R Y , Z , X , T   R  Z , T , Y , X   R  X , T , Z , Y   R T , Z , X , Y   R  Z , X , Y , T    R  X , Y , Z , T   R  Z , T , Y , X   R T , Y , Z , X   R  X , T , Z , Y   (*) Mặt khác, ta có: R  X , Y , T , Z   R Y , T , X , Z   R T , X , Y , Z     R  X , Y , Z , T   R Y , T , X , Z   R T , X , Y , Z   (**) Lấy  trừ  vế với vế ta được:  R  X , Y , Z , T   R Y , T , X , Z   R T , X , Y , Z   R  X , Y , Z , T   R  Z , T , Y , X   R T , Y , Z , X   R  X , T , Z , Y    2 R  Z , T , Y , X   R  X , Y , Z , T    R  X ,Y , Z , T   R  Z , T ,Y , X   Hay: R  X ,Y , Z , T    R  Z , T ,Y , X   R  Z , T , X ,Y  Vậy: R  X ,Y , Z , T   R  Z , T , X ,Y  * Từ khái niệm tính chất tenxơ cong xây dựng chứng minh , ta có định nghĩa số tính chất độ cong theo phương hai chiều 32 2.11.Nhận xét: (xem [1;3]) Bây , ta xét ánh xạ k: B(M) x B(M)  F(M) xác định công thức: k ( X , Y )  R(X, Y)Y), X Ta dễ thấy k ánh xạ song tuyến tính, đối xứng (nghĩa là: k(X,Y) = k(Y,X) Mặt khác, với ký hiệu: k1(X,Y) = detGr(X,Y) = X , X X ,Y X ,Y Y ,Y ; Ở = g Khi với p  M, v, w hai véc tơ tùy ý độc lập tuyến tính thuộc TpM, k1(v,w) > ~} Gọi là không gian véc tơ TpM sinh {v, w} giả sử { v~, w sở , ta có biểu diễn : v~  11v  12w ~ w   21v   22w    11 12  Ta đặt      21  22  Khi ta có : k (v~, w~)  (det  )2 k (v, w) , k1 (v~, w~)  (det  )2 k1 (v, w) Từ nhận xét này, ta có định nghĩa sau đây: 2.12.Định nghĩa : (xem [1; 3]) Đặt K(v,w) = k (v, w) , K hàm xác định phẳng k1 (v, w) chiều  không gian tiếp xúc với M p không phụ thuộc vào việc chọn sở  Ta ký hiệu K() = K(v,w) 33 Số thực K() gọi độ cong thiết diện TpM p theo phương  (hay độ cong Riemann M p theo phương ) Như vậy: K  R(v, w) w, v v w  v, w 2 Ở {v,w} sở tùy ý  2.13 Chú ý : (xem [1; 3]) * K() không phụ thuộc vào việc chọn sở  * Nếu K() số tất phẳng chiều  TpM với điểm p  M, M gọi khơng gian có độ cong 2.14 Định lý: (xem [1; 3]) Giả sử M đa tạp Riemann liên thông dimM  Nếu độ cong thiết diện K() ,  phẳng hai chiều TpM, phụ thuộc vào điểm p  M, M khơng gian có độ cong Chứng minh: Xét trường tenxơ M theo công thức R1 ( X , Y )Z  Y, Z X  X, Z Y (1) Khi k1 ( X , Y )  R1 (X, Y)Y X Do K() phụ thuộc vào điểm p  M, ký hiệu Kp, nên K p  (với X, Y độc lập tuyến tính p) k ( X ,Y ) k1 ( X , Y )  k = K.k1 Từ R(X,Y)Z = K.R1(X,Y,Z) Ta ý : (R1)(U,X,Y,Z) = (UR1)(X,Y,Z) = (UR1)(X,Y,Z) - R1(UX,Y,Z) - R1(X,UY,Z) - R1(X,Y,UZ) Khi R1 = Và với U  V(M) thì: UR = U(KR1) = U[K]R1 + K(UR1) = U(K)R1 , 34 nghĩa X, Y, Z  V(M) , ta có (UR)(X,Y,Z) = U(K).R1(X,Y)Z Do đồng thức Bianchi (UR)(X,Y,Z) + (XR)(Y,U)Z + (YR)(U,X,Z) = (2) Ta có : U[K].R1(X,Y)Z + X[K].R1(Y,U,Z) + Y[K].R1(U,X,Z) = tức : U[K]( Y, Z X - X, Z Y)  X[K]( U, Z Y - Y, Z U)  Y[K]( X, Z U - U, Z X)  với X, Y, Z, U  B(M) Với X tùy ý, ta chọn Y, Z, U cho X, Y, Z trực giao, U = Z Z , Z  (Điều làm dimM  3) Từ ta có: X[K]Y – Y[K]X = Vì X, Y độc lập tuyến tính nên: X[K] = Y[K] = ; X tùy ý B(M) Như K hàm địa phương Vì M liên thơng nên K hàm M, tức M khơng gian có độ cong II Độ cong Ricci: (xem [1; 3]) Giả sử M đa tạp Riemann với liên thông Levi – Civita  Tenxơ Ricci trường tenxơ hai lần hiệp biến, ký hiệu S(X,Y), xác định sau : S(X,Y) p : Trace(Zp  R(X,Y)Zp ) ; X, Y, Z  B(M) Xét dạng toàn phương tương ứng với S       v  T M , v  0) v  S ( v , v ) S: ( với p 2.15 Định nghĩa: (xem [1; 3])    S (v , v )  Số thực r (v )   gọi độ cong Ricci M theo v v 35 2.16 Nhận xét: + S(X,Y) p = S(Y,X) p   + r (k.v )  r (v ) ; với k      + Với v  r (v )  s(v , v )   + Giả sử e1 , , en là sở trực chuẩn TpM  Khi : r (e j )  n      R(e , e , e ).e 1 i  j i j j i 2.17 Định lý : (xem [1; 3]) Giả sử g tenxơ mêtric S tenxơ Ricci đa tạp Rimann liên thông M dimM  Nếu S  g ,  hàm M ,  hàm Bây giờ, ta ứng dụng độ cong Ricci vào khảo sát đa tạp Anhstanh 2.18 Định nghĩa: (xem [1; 3])   Đa tạp Riemann có độ cong Ricci r (v ) với  v  TpM; p M gọi đa tạp Anhstanh 2.19 Mệnh đề: (xem [1; 3]) Nếu M đa tạp Anhstanh chiều khơng gian có độ cong Chứng minh:    Giả sử  phẳng hai chiều TpM u , v , w sở trực chuẩn       TpM cho: u  , v  Giả sử  sinh u , w  sinh v , w phẳng tọa độ Khi đó:    r (u ) = S (u , u )  K ( )  K ( ) ,    r (v ) = S (v , v )  K ( )  K ( ) ,    r (w) = S (w, w)  K ( )  K ( ) , với K(), K(), K() độ cong thiết diện theo phương , ,  tương ứng với p 36             Từ đó: S (u , u )  S (v , v )  S (w, w)  2K ( ) Bởi vì: S (u , u )  S (v , v )  S (w, w)   Nên K ( )   Tương tự cách tính , ta có: K (  )   Do K ( p)  ; p  M Vậy M có độ cong  , K ( )   37 KẾT LUẬN Luận văn đạt kết sau:  Chứng minh chi tiết số tính chất đa tạp Riemann (Mệnh đề 1.6)  Chứng minh số tính chất liên thơng tuyến tính liên thơng Levi – Civita đa tạp Riemann (Mệnh đề 1.10; mệnh đề 1.17 )  Chứng minh tính chất tenxơ độ cong, độ cong theo phương hai chiều độ cong Ricci đa tạp Riemann (Mệnh đề 2.6; mệnh đề 2.10 )  Chỉ số ví dụ độ dài đường cong đa tạp; liên thơng tuyến tính; tenxơ độ cong (ví dụ 1.7; 1.9; 2.2; ) Trong thời gian tới, chúng tơi tiếp tục nghiên cứu sâu tính chất độ cong Ricci việc ứng dụng độ cong Ricci đa tạp Riemann số đa tạp khác 38 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt: [1] Khu Quốc Anh, Nguyễn Doãn Tuấn (2003), Lý thuyết liên thơng hình học Riemann, Nxb Đại học Sư phạm [2] Nguyễn Hữu Quang (2004), Đa tạp khả vi, Đại học Vinh [3] Nguyễn Hữu Quang (2005), Mở đầu hình học Riemann, Đại học Vinh [4] Đồn Quỳnh (2003), Hình học vi phân, Nxb Đại học Sư phạm Tiếng Anh: [5] Chern S.S, Chen W.H, Lam K.S - Lectures on Differential Geometry, Copyright @2000 by World Scientific [6] O’ Neill.B (1966), Elementary Differential Geometry, Academic Press, New - York and London [7] Sigmundur Gudmundsson (2009), An Introduction to Riemannian Geometry, Lund University ... cứu Ricci Levi-Civita đặc biệt nghiên cứu tính chất độ cong độ xoắn đa tạp Riemann Chọn đề tài ‘? ?Một số tính chất độ cong theo phương hai chiều độ cong Ricci ” muốn làm rõ số tính chất độ cong theo. .. tính chất tenxơ độ cong, độ cong theo phương hai chiều độ cong Ricci đa tạp Riemann (Mệnh đề 2.6; mệnh đề 2.10 )  Chỉ số ví dụ độ dài đường cong đa tạp; liên thơng tuyến tính; tenxơ độ cong. .. làm hai phần: I Đa tạp Riemann II Phép đẳng cự Chương II Các độ cong đa tạp Riemann Trong chương này, chúng tơi trình bày số tính chất tenxơ độ cong, độ cong theo phương chiều, độ cong Ricci