Độ cong và độ xoắn trên đại số

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN HỮU NAM ĐỘ CONG VÀ ĐỘ XOẮN TRÊN ĐẠI SỐ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGHỆ AN - 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN HỮU NAM ĐỘ CONG VÀ ĐỘ XOẮN TRÊN ĐẠI SỐ CHUN NGÀNH: HÌNH HỌC -TƠPƠ MÃ SỐ: 60.46.01.05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS TS NGUYỄN HỮU QUANG NGHỆ AN - 2014 MỤC LỤC Trang LỜI NÓI ĐẦU Chương I ĐẠI SỐ 1.1 Đại số 1.2 Đại số Lie 1.3 Đồng cấu đại số 1.4 Ánh xạ ad 12 Chương II ĐỘ CONG VÀ ĐỘ XOẮN TRÊN ĐẠI SỐ 17 2.1 Đạo hàm đại số 17 2.2 Liên thơng tuyến tính đại số 22 2.3 Độ cong độ xoắn đại số 27 KẾT LUẬN 34 TÀI LIỆU THAM KHẢO 35 LỜI NĨI ĐẦU Hình học Riemann đời vào năm kỷ XIX, từ cơng trình chủ yếu Riemann kết luận án tiến sĩ (1851) giảng bảo vệ chức danh giáo sư (1859) Mối quan tâm Riemann độ cong không gian, mà chủ yếu độ cong điểm không gian Độ cong độ xoắn đại số khái niệm hình học đại, có nhiều ứng dụng toán học, vật lý ngành khoa học kỹ thuật khác, Chính vậy, độ cong độ xoắn đại số nhiều nhà toán học nước quan tâm, : W.Klingenberg, B.O.Neill, A.Ya.Sultanov, Đỗ Ngọc Diệp, Trong luận văn này, việc sử dụng cơng cụ liên thơng tuyến tính  đại số G, chúng tơi trình bày số khái niệm tính chất độ cong độ xoắn đại số G Luận văn mang tên: Độ cong độ xoắn đại số Luận văn trình bày hai chương: Chương I Đại số Trong chương này, chúng tơi trình bày khái niệm chứng minh chi tiết số tính chất quan trọng Đại số, đại số Lie, đồng cấu đại số Đây kiến thức sở chuẩn bị cho việc trình bày chương sau Chương I chia làm bốn phần: 1.1 Đại số, 1.2 Đại số Lie, 1.3 Đồng cấu đại số, 1.4 Ánh xạ ad Chương II Độ cong độ xoắn đại số Đây chương thể nội dung luận văn.Trong chương này, chúng tơi trình bày số khái niệm, tính chất đạo hàm đại số, liên thông tuyến tính đại số độ cong, độ xoắn đại số Chương II chia làm phần: 2.1 Đạo hàm đại số, 2.2 Liên thơng tuyến tính đại số, 2.3 Độ cong độ xoắn đại số Luận văn hoàn thành vào tháng 10 năm 2014, trường Đại học Vinh với hướng dẫn PGS - TS Nguyễn Hữu Quang Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy, người hướng dẫn tận tình tác giả suốt q trình học tập nghiên cứu Nhân dịp hồn thành luận văn, tác giả xin chân thành cảm ơn thầy giáo chun ngành Hình học – Tơpơ; thầy giáo khoa Tốn, khoa đào tạo Sau đại học trường Đại học Vinh, tận tâm giảng dạy, góp ý tạo điều kiện cho tác giả trình học tập thực luận văn Tác giả tỏ lòng biết ơn bạn lớp cao học 20, đồng nghiệp trường THPT Nam Đàn I, bạn bè gia đình động viên, giúp đỡ suốt trình học tập hoàn thành luận văn Vinh, tháng 10 năm 2014 Tác giả Chương I ĐẠI SỐ Trong chương này, chúng tơi trình bày số khái niệm tính chất đại số, đại số Lie đồng cấu đại số Cũng chương này, ta ln giả thiết K vành giao hốn có đơn vị e =  Một mô đun G K, nhóm cộng Aben với phép nhân: K  G  G ; (a, x ) a.x , thỏa mãn tiên đề : T1 ) a( x  y)  ax  ay ; a  K , x, y  G , T2 ) (a  b) x  ax  bx ; a, b  K , x  G , T3) (ab) x  a(bx) ; a, b  K , x  G , T4) 1.x  x ; x  G +) Ta ý rằng, trường hợp K trường G gọi không gian véc tơ K +) Ta thường viết ab thay cho a.b với a, b  G +) Giả sử M đa tạp khả vi thực, n chiều Ta ký hiệu : T (M) = {f : M  R f khả vi M} B (M) = { X X trường véc tơ khả vi M } Khi : T (M) vành giao hốn có đơn vị e M  R; p , p  M B(M) mơ đun T (M) với hai phép tốn:  X+Y: p X p  Y p ; p  M , X p ,Y p Tp M  fX f ( p) X p ; p M , f  T (M), X p  Tp M : p Chú ý: * Mỗi phần tử môđun G gọi véc tơ * Giả sử G’ tập G với phép toán G, mà G’ lập thành mơ đun K, ta nói G’ môđun G * Giao họ môđun G mô đun G * Giả sử {Gi} i  I họ mô đun G, thỏa mãn: i, j  I , tồn k, cho: Gi , G j  Gk Khi  Gi mơđun G iI 1.1 ĐẠI SỐ 1.1.1 Định nghĩa Giả sử G mô đun K, G gọi đại số K , G trang bị phép tốn ( phép tích trong) : G  G  G; ( g1, g ) g1 g , thỏa mãn tiên đề :  g1, g2 , g3  G T1) g1(g2 + g3) = g1g2 + g1g3 ; T2) ( g1  g2 ) g3  g1g3  g2 g3 ;  g1, g2 , g3  G T3) ( g1 ) g2  g1 ( g2 )   ( g1g2 ) ;   K , g1, g2  G Như vậy: Mỗi đại số G có phép tốn : phép cộng phần tử G; phép nhân G với K; phép tích 1.1.2 Ví dụ Ta ký hiệu Mn = { A A ma trận vuông thực cấp n}  A  (aij ), B  (bij )M n ,các phép toán ma trận xác định sau: * A + B = ( aij + bij ) , (1) *  A   (aij );   R , (2) n * A.B = (  aik bkj ) (3) k 1 Khi Mn đại số Thật vậy: Mn với phép toán (1) (2) không gian véctơ thực Ở ta kiểm tra tiên đề phép tích : T1) Giả sử A( B + C) = D, C = (cij ) , D = (dij )M n ma trận vuông cấp n n a dij  k 1 ik (bkj  ckj )  n  (a b k 1 ik kj  aik ckj )  n n a b  a k 1 ik kj k 1 c ik ki  D  AB  AC hay A( B + C) = AB +AC ( A +B)C = D, đó: T2) n D = (dij ) : d ij =  (aik  bik )ckj  k 1 n  aik ckj  k 1 n b c k 1 ik kj  D = AC + BC A(  B) = E , E ma trận vuông cấp n, E = (eij) : T3) n eij = a k 1 ik n n n k 1 k 1 k 1 (b jk )   ( aik )b jk    (aik b jk )    aik b jk  E =  (AB), hay A(  B) =  (AB) =(  A)B 1.1.3 Chú ý * Giả sử G đại số thỏa mãn : g1.g2 = g2.g1, g1, g2  G , G gọi đại số giao hoán Đại số G có tính chất : (g1g2)g3 = g1(g2g3); g1, g2 g3  G , G gọi đại số kết hợp * Mn đại số kết hợp khơng đại số giao hốn * Trong suốt luận văn này, ta giả thiết G đại số kết hợp K * M  G, M gọi đại số đại số G khép kín với phép tốn G 1.2 ĐẠI SỐ LIE 1.2.1 Định nghĩa Một đại số G K gọi đại số Lie phép tốn tích (phép tích kí hiệu : [,] ( móc Lie), , :G  G  G (a, b) [a, b] , thỏa mãn thêm hai tiên đề sau : a) [a, b] = - [b, a] ; a, b  G ( tính chất phản xứng móc Lie), b)  a, b, c   b, c , a   c, a , b   ; a, b, c G (hệ thức Jacobi móc Lie) Chú ý: * Mọi đại số tầm thường G( [a, b] = 0; a, b  G ) đại số Lie * Số chiều đại số Lie số chiều môđun G * Với G không gian véc tơ hữu hạn chiều trường R dim G= n, cấu trúc đại số Lie G xác định tích Lie cặp véc tơ thuộc sở { e1, e2, … , en} chọn trước G, sau : n ei , e j    cijk ek ;  i  j  n , cijk  R k 1 Các hệ số { cijk } gọi số cấu trúc đại số Lie G sở { e1,e2,…,en} 1.2.2 Ví dụ 1) Cho G đại số K , với tích Lie cho : a, b  ab  ba ; a , b G Khi đó, G đại số Lie Thật vậy: Ta biết G phép toán : phép cộng K; phép nhân G với K; phép tích đại số Ở đây, để chứng tỏ G đại số Lie, ta việc kiểm tra tính chất: phản xứng Jacobi tích Lie : + a, b  G , ta có: [a, b] = ab – ba = - ( ba – ab) = – [b,a] + a, b, c  G , ta có : [a, b], c  = [a, b].c  c.[a, b] = (ab – ba)c – c(ab – ba) = abc – bac – cab + cba (1) Tương tự ta có : [b, c], a [c, a], b = bca – cba – abc + acb (2) = cab – acb – bca + bac (3) Từ (1), (2), (3) ta có : [a, b], c + [b, c], a + [c, a], b = 2) Với G không gian véc tơ Ơclit thông thường chiều R 3, với [a,b] = a  b (  tích có hướng R3 ) Khi đó, G đại số Lie R Thật : * G = R3 môđun với phép tốn cộng nhân thơng thường * Phép tốn [a,b] = a  b ánh xạ song tuyến tính R3, với a, b, c  R3 : a(a1, a2, a3), b(b1, b2, b3), c(c1, c2, c3) dễ dàng kiểm tra : + a  (b + c) = a  b + a  c ; (a + b)  c = a  c + b  c + a  (  b) =  (a  b) ; (  a)  b =  (a  b) Suy G = R3 đại số * Tính phản xứng a, b  R3 , a  b  (b  a) * Bằng phép tính tốn trực tọa độ, ta có hệ thức Jacơbi :  a, b, c   b, c , a   c, a , b   (a  b)  c  (b  c)  a  (c  a )  b  Vậy R3 đại số Lie 3) Cho Mn (R) = {A A ma trận vuông cấp n R}, với tích Lie cho : [A, B] = A.B – B.A đại số Lie Thật vậy, với phép cộng phép nhân thông thường ma trận tích Lie định nghĩa Mn (R) đại số Bây ta kiểm tra tính chất tích Lie: * Tính phản xứng : A, BM n ( R) :  A, B  A.B  B A  ( B A  A.B)  [B, A] * Hệ thức Jacôbi: A, B, C  M n ( R)  A, B  , C    B, C , A  C , A, B    A.B  B A, C    B.C  C.B, A  C A  A.C , B   ( A.B  B A).C  C.( A.B  B A)  ( B.C  C.B) A  A.( B.C  C.B)  (C A  A.C ).B  B.(C A  A.C )  ABC  BAC  CAB  CBA  BCA  CBA  ABC  ACB  CAB  ACB  BCA  BAC  21 2.1.5 Định lý Giả sử G đại số Lie, đó: ánh xạ ad x : G  G y  x, y  , ánh xạ đạo hàm Chứng minh : * ad x ánh xạ tuyến tính: ( theo nhận xét 1.4.2.) * Ta có : ad x [y,z] = [ x , [y,z]] = - [[y,z], x ] Theo hệ thức Jacobi: [x, y], z   [y, z ], x  [z, x], y  ad x [y,z] = [x, y], z   [z,x],y = [x, y], z    y,[z, x] = [x, y], z    y, [x, z ] = [[ x ,y],z] + [y, [ x ,z]] = [ ad x y, z] + [y, ad x z ] ; y, z  G Vậy ad x ánh xạ đạo hàm 2.1.6 Mệnh đề Giả sử G đại số Lie K X phép đạo hàm từ G  G Khi ad X ( x ) =[X, ad x ]; x  G Chứng minh: y  G , ta có : [X, ad x ](y) = (X  ad x – ad x  X)(y) = X[ x ,y] – [ x , X(y)] = [X( x ),y] + [ x , X(y)] – [ x , X(y)] = [X( x ), y] = ad X ( x ) ( y ) ; y  G Vậy : [X, ad x ] = ad X ( x ) ; x  G Hệ quả: Kí hiệu Ga = ad x x  G , Ga Iđêan F Thật : Ta lấy tùy ý X  F ad x  Ga Ta có : 22 [X, ad x ] = ad X ( x )  [X, ad x ]  Ga  [F, Ga]  Ga Vậy Ga Iđêan F Ga gọi đại số liên kết đại sốLie G 2.2 LIÊN THƠNG TUYẾN TÍNH TRÊN ĐẠI SỐ Trong mục này, ta giả thiết G đại số giao hoán K G có đơn vị  Ta ý tới ánh xạ aX : G  G , x aX ( x)  a X ( x); a G, xG 2.2.1 Mệnh đề Giả sử G đại số kết hợp Khi với a  G , X  F aX  F Chứng minh : +) aX( x + y) = a.X( x + y) = a.(X( x ) + X(y)) = aX( x ) + aX(y) ; x, y  G +) aX ( x) = a X ( x) = a.  X ( x)  = a. X ( x) = .a X ( x) = .(aX)(x) ;  K ,  xG +) aX( x y) = a (aX( x y)) = a.(X( x ).y + x X (y)) = aX( x ).y + a x X(y) ( G kết hợp) = (aX) ( x) y + x (aX) ( y ) ; x, yG 2.2.2 Định nghĩa Ánh xạ  : F  F  F (X, Y) XY , gọi liên thông tuyến tính đại số G,  thỏa mãn tiên đề sau: 23 T1)  X (Y  Z )   X Y   X Z ; X ,Y , Z  F, T2)  X Y Z   X Z  Y Z ; X , Y , Z  F, T3) aX Y  a X Y ; X ,Y  F, a G , T4)  X aY  X [a].Y  a X Y ; X ,Y  F, a G Với X  F,  X Y gọi đạo hàm trường véc tơ Y theo X  2.2.3 Ví dụ 1) Cho G = T ( R n ) = { f f khả vi từ R n  R } Khi F = B( R n ) = { X X trường véc tơ khả vi R n } Ta xét  = D : F  F  F ( X, Y)  X Y = DXY =(X[Y1],…X[ Yn]), với Y (Y1,Y2 , ,Yn )B( R n ),  liên thơng tuyến tính đại số G Thật vậy, G đại số R ( thỏa tiên đề định nghĩa), ta kiểm tra tiên đề liên thông đại số : X ,Y , Z  F;   G T1)  X (Y  Z ) = DX (Y  Z ) =  X Y1  Z1 , X Y2  Z , X Yn  Z n  =  X [Y1 ],X[Y2 ], X[Yn ]   X [Z1 ],X[Z2 ], X[Zn ] = DX Y  DX Z T2)  X Y Z = DX Y Z =  ( X  Y )  Z1 ,( X  Y )  Z , ,( X  Y )  Z n  =  X  Z , X  Z , X  Z   Y  Z ,Y  Z , Y  Z  n = DX Z  DY Z T3 )  X Y = D XY =  X Y1 , X Y2 , , X Yn  = . X [Y1 ],X[Y2 ], X[Yn ] n 24 = .DX Y T4)  X (Y ) = DX (Y ) =  X [Y1 ],X[Y2 ], ,X[Yn ] = X [ ](Y1,Y2 , ,Yn )  . X[Y1 ],X[Y2 ], ,X[Yn ] = X [ ].Y+.DXY 2) Giả sử G = { f : Rn  R, f khả vi },  X Y  DX Y  S ( X ,Y ) , ánh xạ S: F  F  F song ánh Khi  liên thơng tuyến tính đại số G Chứng minh : X ,Y , Z F, ta kiểm tra tiên đề: T1)  X (Y  Z ) = DX (Y  Z )  S ( X , Y  Z ) = DX Y  DX Z  S ( X ,Y )  S ( X , Z ) = [DX Y  S ( X ,Y )]  [DX Z  S ( X , Z )] = XY  X Z , T2)  X Y Z = DX Y Z  S ( X  Y , Z ) = DX Z  DY Z  S ( X , Z )  S (Y , Z ) = [Dx Z  S ( X , Z )]  [DY Z  S (Y , Z )] =  X Z  Y Z , T3)  X Y = D X Y  S ( X ,Y ) = .DX Y  .S ( X ,Y ) =  ( DX Y  S ( X ,Y ) ) =  X Y ; T4)  X (Y )   G, = DX (Y )  S ( X ,Y ) = X [ ]Y   DX Y   S ( X ,Y ) = X [ ].Y   ( DX Y  S ( X ,Y ) ) = X [ ].Y   X Y ;   G 25 Vậy  liên thông tuyến tính đại số G Nhận xét : G = T(R3) = { f : R3  R, f khả vi } ,  X Y  DX Y  ( X  Y ) Khi  liên thơng tuyến tính đại số G 2.2.4 Định lý Cho 1 , 2 hai liên thông tuyến tính đại số G, đặt   a1  b2 Khi đó,  liên thơng tuyến tính đại số G, a  b   ; với a, b  G Chứng minh: * Điều kiện cần: Giả sử 1 , 2 hai liên thơng tuyến tính G   a1  b2 liên thông đại số G Ta chứng minh a  b   ; a, b  G Thật vậy: Với X ,Y F, c  G ; ta có:  X (cY ) =  a  b2  (cY ) X = (a1X  b2X )(cY ) = a1X (cY )  b2X (cY ) = a.( X [c].Y  c1X Y )  b.( X [c].Y  c2X Y ) =  a  b  X [c].Y  c  a1X Y  b2X Y  =  a  b  X [c].Y  c  X Y  (1) Vì  liên thơng tuyến tính, nên:  X (cY ) = X [c].Y  c X Y (2) Từ (1), (2) ta có a  b   ; a, b  G * Điều kiện đủ: Giả sử a  b   ; a, b  G , ta chứng minh   a1  b2 liên thông đại số G Thật vậy, Với X, X’, Y, Y’  F, ta kiểm tra tiên đề liên thông đại số: T1)  X (Y  Y ' ) = =  a  b2  (Y  Y ' ) X a1X (Y  Y ' )  b2X (Y  Y ' ) 26 T2) T3)  X  X 'Y cX Y T4)  X (cY ) = a1X Y  a1X Y '  b2X Y  b2X Y ' =  a = XY  XY ' , = (a1  b2 ) X  X ' Y = a1X  X 'Y  b2X  X 'Y =  a =  X Y   X 'Y , =  a = a1cX Y  bcX Y = c  a1  b2  Y = c X Y ; c  G , =  a  b2  Y   a1  b2  Y ' X X  b2  Y   a1  b  ' Y X X  b2  Y cX X  b2  (cY ) X = a1X (cY )  b2X (cY ) = a  X [c].Y  c1X Y   b  X [c].Y  c2X Y  = X [c].Y  c X Y ( a  b   ) ; c  G 2.2.5 Nhận xét * Tổng hai liên thông tuyến tính đại số chưa liên thơng tuyến tính đại số *Ta ý rằng:  X  (. ) X ;   K , X  F ta có 1  (1   )2 liên thông G, với 1 , 2 liên thông G * Với X  F  liên thơng G  X : Y đạo hàm mô đun F( F mô đun G)  X Y phép 27 2.3 ĐỘ CONG VÀ ĐỘ XOẮN TRÊN ĐẠI SỐ Trong mục này, chúng tơi trình bày số khái niệm tính chất độ cong độ xoắn đại số G 2.3.1 Định nghĩa Ánh xạ T : F  F  F  X ,Y  T ( X ,Y )   X Y  Y X   X ,Y  , gọi độ xoắn đại số G theo liên thông tuyến tính  2.3.2 Nhận xét : a) Với G = T( R n ) , F = B( R n )  = D Khi : T(X; Y) = DX Y  DY X   X ,Y   0; X ,Y  B( R n ) Như T = 0, ta nói khơng gian R n không xoắn b) G = T ( R ), F = B( R ),  X Y  DX Y  X  Y T(X, Y) =  X Y  Y X   X ,Y  Khi : =  DX Y  X  Y    DY X  Y  X    X ,Y  = 2.X  Y c) Giả sử  G cho  X Y   X Y  S ( X ,Y ); X ,Y  F ; S ánh xạ song tuyến tuyến tính đối xứng F  F  F  liên thơng tuyến tính G Ta có : T ( X ,Y ) =  X Y  Y X  [X,Y] = (  X Y  S ( X ,Y ))  (Y X  S (Y , X ))   X ,Y  =  X Y  Y X   X ,Y  = T ( X ,Y ); X ,Y  F Như : T = T (Ở T độ xoắn G theo  ) d) T(X, Y) = - T(Y, X) ; X ,Y  F 28 2.3.3 Mệnh đề Giả sử G đại số giao hốn Khi : T ánh xạ G – song tuyến tính Chứng minh : +) T(X+ X ' ,Y) =  X  X 'Y  Y ( X  X ' )   X  X ' , Y  = ( X Y  Y X   X , Y )  ( X ,Y  Y X '   X ' ,Y ) = T ( X , Y )  T ( X ' ,Y ) ; X , X ' ,Y  F +) T (aX,Y) = aXY  Y (aX) - aX, Y = a. X Y  Y [a].X  a.Y X  ((aX)Y - Y(aX)) = a X Y  Y [a].X  aY X  a.XY  Y [a]X  aYX = a   X Y  Y X   X ,Y  = a T(X, Y) ; a  G; X ,Y  F +) T(X, Y+ Y ' ) =  X (Y  Y ' )  Y Y ' X   X ,Y  Y '  =   X Y  Y X   X ,Y   ( X Y ' Y ' X   X ,Y ' ) = T(X, Y) + T(X, Y ' ) ; X ,Y ,Y '  F +) T(X, aY) =  X (aY )  aY X   X , aY  = X [a].Y  a. X Y  a.Y X  X (aY )  aYX = X [a].Y  a. X Y  a.Y X  X [a].Y  a XY  aYX = a   X Y  Y X   X ,Y  = a.T ( X ,Y ) ; a  G ; X ,Y  F 2.3.4 Định nghĩa Ánh xạ R : F  F  F  F (X, Y, Z) R( X ,Y , Z )   X Y Z  Y  X Z   X ,Y Z , gọi độ cong đại số G theo liên thông tuyến tính  29 2.3.5 Mệnh đề Với G = J ( R n ), F = B ( R n )   D Khi R(X, Y, Z) = ; X ,Y , Z  F Chứng minh: Thật vậy, ta giả sử Z ( z1, z2 , , zn ) B ( R n ), ta có : DX Z   X ( z1 ), X ( z2 ), , X ( zn )   DY DX Z  Y ( X ( z1 )), Y ( X ( z2 )), , Y ( X ( zn ))  Tương tự : DX DY Z   X Y ( z )  , X Y ( z )  , , X Y ( z )  n Do đó, DX DY Z  D Y DX Z =  X (Y ( z1 ))  Y ( X ( z1 )), , X (Y ( zn ))  Y ( X ( zn ))  =  X ,Y ( z ), X ,Y ( z ), , X ,Y ( z )  n = D X ,Y  Z Mặt khác, R(X,Y,Z) = DX DY Z  DY DX Z  D X ,Y Z = D X ,Y Z  D X ,Y Z  Từ định nghĩa R, ta suy nhận xét sau : a) R(X, Y, Z) = - R(Y, X, Z) ;  X , Y , Z  F Như R phản xứng X Y b) Với G = T ( R n ),  = D F = B ( R n ) Khi R(X, Y, Z) = Z trường véc tơ song song R n 2.3.6 Mệnh đề Độ cong R G theo  ánh xạ tam tuyến tính Chứng minh : +) R( X1  X ,Y , Z ) =  X1  X Y Z  Y  X1  X Z   X1  X ,Y Z =  X1Y Z   X Y Z  Y  X1 Z  Y  X Z   X1 ,Y Z   X ,Y Z 30    =  X1Y Z  Y  X1 Z   X1 ,Y Z   X Y Z  Y  X Z   X ,Y Z  = R( X1,Y , Z )  R( X ,Y , Z ) ; X1, X ,Y , Z  F +) R(aX, Y ,Z) = aXY Z  Y aX Z  aX,YZ = a. X Y Z  Y (a. X Z )  (aX).Y Y.(aX)  Z = a X Y Z  Y (a). X Z  aY  X Z  a.( XY YX) Z  Y (a). X Z  = a  X Y Z  Y  X Z   X ,Y Z  = a R(X,Y,Z) ; a  G; X ,Y , Z  F +) Chứng minh tương tự với biến Y, ta có : * R( X ,Y1  Y2 , Z )  R( X , Y1 , Z )  R( X , Y2 , Z ) * R(X,aY,Z) = aR(X,Y,Z) ; a  G ; X ,Y , Z  F +) Bây ta tiếp tục chứng minh R tuyến tính biến Z * R( X ,Y , Z1  Z )  X Y (Z1  Z )  Y  X (Z1  Z )   X ,Y  (Z1  Z )    =  X Y Z1  Y  X Z1   X ,Y Z1   X Y Z  Y  X Z   X ,Y Z  = R( X ,Y , Z1 )  R( X ,Y , Z ); X ,Y , Z1, Z  F * R(X, Y,aZ) =  X Y (aZ )  Y  X (aZ )   X ,Y  (aZ )  =  X Y (a).Z  aY Z   Y  X (a).Z  a X Z    X ,Y  (a).Z  a X ,Y Z =  XY (a) .Z  Y (a). X Z  X (a).Y Z  a. X Y Z   YX(a) .Z  X (a).Y Z  Y (a). X Z  a.Y  X Z   X , Y (a).Z  a. X ,Y Z   =  X ,Y  (a).Z  a  X Y Z  Y  X Z   X ,Y Z   X ,Y  (a).Z = a.R(X, Y, Z) ; a  G ; X ,Y , Z  F  31 Bây ta đặt  X , Y    X Y  Y  X ; X ,Y  F Khi ta có mệnh đề sau 2.3.7 Mệnh đề a) [X , Y ]( Z )   X ,Y Z  R( X ,Y , Z ) ; Z  F , a  G b)  X , Y  (aZ )   X ,Y  (a) .Z  a. X , Y ( Z ) ; a  G c) Trong trường hợp G = T ( R n ),   D  X , Y    X ,Y  Chứng minh : a) Theo định nghĩa R, ta có : R(X,Y,Z) =  X Y Z  Y  X Z   X ,Y Z =  X , Y  ( Z )   X ,Y Z  R( X ,Y , Z )   X ,Y Z   X , Y  ( Z ) ; Z  F Từ a), ta thường hay ký hiệu R( X ,Y )   X ,Y    X , Y  ; X ,Y  F b)  X , Y (aZ )  X Y (aZ )  Y  X (aZ ) =  X Y (a)Z  aY Z   Y  X (a)Z  a X Z  = X Y (a)  Z  Y (a) X Z  X (a)Y Z  a   X Y Z   Y  X (a)  Z  X (a)Y Z  Y (a) X Z  a  Y  X Z  =  X (Y (a))  Y ( X (a))  Z  a  X Y  Y  X  (Z ) =  X ,Y (a).Z  a. X , Y (Z ) ; Z  F c) Theo a), ta có :  DX , DY  (Z )  D X ,Y Z  R( X ,Y , Z ); X ,Y , Z  F Mặt khác R = 0, nên  DX , DY  (Z )  D X ,Y Z ; Z  F   DX , DY   D X ,Y  Từ (2.3.7.c), ta ký hiệu D ( R n ) = {DX X  B ( R n )} , ta trang bị cho D( R n ) phép toán sau : 32 1)  DX  DY  (Z )  DX Z  DY Z ; Z B ( R n ) , 2)   DX  ( Z ) = .DX (Z ) ;   R , 3)  DX , DY  (Z ) = D X ,Y Z ; Z B ( R n ) 2.3.8 Mệnh đề D ( R n ) ba phép lập thành đại số Lie R Chứng minh : * Rõ ràng với phép toán (1) (2) D ( R n ) mô đun R Bây ta kiểm tra tiên đề phép toán (3) +)  DX  DX ' , DY  (Z ) = D X  X ',Y  Z = D X ,Y Z  D X ',Y Z ; Z B ( R n )  DX  DX ' , DY  =  DX , DY    DX ' , DY  +) .DX , DY (Z ) = D X ,Y  Z = D X ,Y  Z ; Z  B ( R n )   DX , DY  =   DX , DY  Như phép tốn (3) có tính chất tuyến tính với DX Chứng minh tương tự phép tốn (3) có tính chất tuyến tính với DY Ta tiếp tục kiểm tra tính chất phản xứng Jacơbi phép tốn (3): +)  DX , DY  (Z ) = D X ,Y  Z =  DY , X Z ; Z  B ( R n )   DX , DY  =  DY , DX  ; DX , DY  D ( R n ) +)  DX , DY , DZ    DY , DZ , DX    DZ , DX , DY  =  D X ,Y  , DZ    DY ,Z  , DX    DZ , X  , DY        33 = D X ,Y ,Z   DY ,Z , X   DZ , X ,Y      = D[X, Y], Z  [Y, Z], X  [Z, X], Y = D0    34 KẾT LUẬN Trong luận văn làm số kết sau: 1) Trình bày hệ thống khái niệm tính chất đại số, đồng cấu đại số, chứng minh chi tiết tính chất đại số Lie đồng cấu Lie (mệnh đề 1.3.6., mệnh đề 1.4.5.) 2) Trình bày chứng chi tiết sốvà khái niệm tính chất đạo hàm đại số, liên thơng tuyến tính đại số, độ cong độ xoắn đại số 3) Phát biểu chứng minh tính chất đạo hàm ad X ( x ) ; X F , x  G (mệnh đề 2.1.6) ~ 4) Chứng minh nhận xét độ xoắn T đại số G ( nhận xét 2.3.2.c) 5) Phát biểu chứng minh tính chất đạo hàm Dx Rn (mệnh đề 2.3.7.c) 6) Phát biểu chứng minh tính chất đại số Lie d(Rn) (mệnh đề 2.3.8.) Trong thời gian tới, tiếp tục nghiên cứu tính chất hình học đại số Banach hữu hạn chiều 35 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt: [1] Khu Quốc Anh, Nguyễn Doãn Tuấn (2003),Lý thuyết liên thơng hình Hoc Riemann, Nxb Đại học Sư phạm [2] Đặng Thị Hạnh (2013), Đạo hàm Lie độ cong, độ xoắn đại số, Luận văn Thạc sĩ, Đại học Vinh [3] Nguyễn Hữu Quang (2005), Bài giảng Đại số Lie nhóm Lie, Đại học Vinh [4] Nguyễn Hữu Quang (2005), Mở đầu hình học Riemann, Đại học Vinh [5] Nguyễn Thị Diệu Thúy (2006), Về độ cong độ xoắn đa tạp Riemann,Luận văn thạc sĩ, Đại học Vinh [6] Đồn Quỳnh (2003), Hình học vi phân, Nxb Đại học Sư phạm [7] Lê Thị Thơm (2009), Độ cong độ xoắn đa tạp Riemann, Luận văn Thạc sĩ, Đại học Vinh [8] Đặng văn Thân (2012), Đạo hàm Lie độ cong độ xoắn, Luận văn thạc sĩ, Đại học Vinh Tiếng Anh: [9] A Ya Sultanov(2010), Derivations of linear algebras and linear connections, Journal of Mathematical Sciences, Vol.169, No.3 ... tuyến tính  đại số G, chúng tơi trình bày số khái niệm tính chất độ cong độ xoắn đại số G Luận văn mang tên: Độ cong độ xoắn đại số Luận văn trình bày hai chương: Chương I Đại số Trong chương... II Độ cong độ xoắn đại số Đây chương thể nội dung luận văn.Trong chương này, chúng tơi trình bày số khái niệm, tính chất đạo hàm đại số, liên thơng tuyến tính đại số độ cong, độ xoắn đại số Chương... I ĐẠI SỐ 1.1 Đại số 1.2 Đại số Lie 1.3 Đồng cấu đại số 1.4 Ánh xạ ad 12 Chương II ĐỘ CONG VÀ ĐỘ XOẮN TRÊN ĐẠI