Đạo hàm Lie của độ cong, độ xoắn trên đại số

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH - - ĐẶNG THỊ HẠNH ĐẠO HÀM LIE CỦA ĐỘ CONG, ĐỘ XOẮN TRÊN ĐẠI SỐ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Nghệ An, ngày 19 – 10 – 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH - - ĐẶNG THỊ HẠNH ĐẠO HÀM LIE CỦA ĐỘ CONG, ĐỘ XOẮN TRÊN ĐẠI SỐ CHUYÊN NGÀNH: HÌNH HỌC VÀ TÔ PÔ Mã số: 60.46.10 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS TS NGUYỄN HỮU QUANG Nghệ An, ngày 19 – 10 – 2013 MỤC LỤC Trang LỜI NÓI ĐẦU……………………………………………………………….…………………………………….… CHƢƠNG I ĐẠI SỐ …………………………………………………….…………………………………… I Đại số…………………………….………………………………………………………………….…………………… II Phép đạo hàm đại số………………………………………………………….…………………… III Liên thông tuyến tính đại số……………………………………………….……… ……… 12 CHƢƠNG II ĐẠO HÀM LIE CỦA ĐỘ CONG, ĐỘ XOẮN TRÊN ĐẠI SỐ…………………………………………………….…………………………………….……….… 16 I Đạo hàm Lie liên thông tuyến tính đại số…………………………………… 16 II Liên thông tuyến tính cảm sinh đại số……………….……………………… ……… 20 III Đạo hàm Lie độ cong, độ xoắn đại số…………………………………… 24 KẾT LUẬN………………………………………………………………………………….………………………… 35 TÀI LIỆU THAM KHẢO………………………………………………………………………………… 36 LỜI MỞ ĐẦU Như biết, năm gần có nhiều nhà toán học nước nghiên cứu tính chất hình học đại số; chẳng hạn, tài liệu [1], [5], [7]…Phép đạo hàm Lie đại số công cụ hữu hiệu để khảo sát tính chất hình học ấy, chẳng hạn khảo sát hàm độ cong độ xoắn đại số Trong luận văn này, việc sử dụng công cụ đạo hàm Lie, trình bày số tính chất đạo hàm Lie hàm độ cong, độ xoắn đại a số G theo liên thông tuyến tính ∇ ; a  G Vì vậy, luận văn này, khảo sát phép đạo hàm Lie độ cong độ xoắn đại số Nội dung chủ yếu luận văn tập hợp chứng minh chi tiết số tính chất phép đạo hàm Lie độ cong, độ xoắn đại số đề xuất vài tính chất chúng Luận văn trình bày hai chương: Chƣơng I Đại số Trong chương này, trình bày khái niệm, tính chất đại số, đại số Lie, đồng cấu đại số, phép đạo hàm đại số, liên thông tuyến tính đại số Nội dung chương phục vụ cho việc trình bày phép đạo hàm Lie độ cong, độ xoắn đại số chương sau Chương gồm ba phần sau: I Đại số II Phép đạo hàm đại số III Liên thông tuyến tính đại số Chƣơng II Đạo hàm Lie độ cong, độ xoắn đại số Đây chương thể nội dung luận văn gồm vấn đề: trình bày chi tiết khái niệm, tính chất liên thông tuyến tính cảm sinh đại số, phép đạo hàm Lie độ cong, độ xoắn đại số Chương gồm ba phần sau: I Đạo hàm Lie liên thông tuyến tính đại số II Liên thông tuyến tính cảm sinh đại số III Đạo hàm Lie độ cong, độ xoắn đại số Luận văn hoàn thành vào tháng 10 năm 2013 trường Đại học Vinh hướng dẫn thầy giáo PGS TS Nguyễn Hữu Quang Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy - Người đặt toán hướng dẫn tác giả Tác giả xin chân thành cảm ơn PGS TS Phạm Ngọc Bội, PGS TS Nguyễn Huỳnh Phán, TS Nguyễn Duy Bình, PGS.TS Phan Thành An thầy cô giáo Khoa Đào tạo Sau Đại học Trường Đại học Vinh giảng dạy, quản lí giúp đỡ tác giả suốt trình học tập, nghiên cứu Tác giả gửi lời cảm ơn chân thành tới cán giáo viên trường THPT Yên Thành II, tập thể K19 Hình học – Tô pô, gia đình, bạn bè, đồng nghiệp giúp đỡ động viên tác giả suốt trình học tập hoàn thành luận văn Nghệ An, tháng 10 năm 2013 Tác giả CHƢƠNG I ĐẠI SỐ Trong chương này, trình bày số tính chất đại số, đại số Lie, đồng cấu đại số, phép đạo hàm đại số liên thông tuyến tính đại số Trong suốt chương này, ta giả thiết G không gian véc tơ ℝ I Đại số 1.1 Định nghĩa (Xem ) G gọi đại số ℝ ta trang bị thêm G phép toán song tuyến tính 𝜑 ∶𝐺×𝐺 ⟶𝐺 (𝑥, 𝑦) ⟼ 𝜑(𝑥, 𝑦) Ta kí kiệu 𝜑 𝑥, 𝑦 = 𝑥 𝑦 (𝜑 gọi phép nhân trong) 1.2 Ví dụ: a) Giả sử 𝑀𝑛 ℝ tập hợp ma trận vuông, thực, cấp n, với phép cộng, phép nhân với vô hướng, phép nhân 𝜑 𝐴 𝐵 = 𝐴 𝐵 Khi 𝑀𝑛 ℝ đại số ℝ Thật vậy, +) Với hai phép toán cộng nhân với vô hướng 𝑀𝑛 ℝ không gian véc tơ ℝ +) Dễ thấy tích ánh xạ song tuyến tính Thật vậy, 𝐴 𝐵 + 𝐶 = 𝐴𝐵 + 𝐴𝐶; ∀𝐴, 𝐵, 𝐶 ∈ 𝑀𝑛 ℝ 𝐴 + 𝐵 𝐶 = 𝐴𝐶 + 𝐵𝐶; ∀𝐴, 𝐵, 𝐶 ∈ 𝑀𝑛 ℝ 𝐴 𝜆𝐵 = 𝜆𝐴 𝐵 = 𝜆𝐴𝐵; ∀𝐴, 𝐵 ∈ 𝑀𝑛 ℝ , 𝜆 ∈ ℝ b) Giả sử V không gian véc tơ trường ℝ Ta kí hiệu G tập tất ánh xạ tuyến tính từ 𝑉 ⟶ ℝ Ta đưa vào G phép toán sau: 1) 𝑓 + 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 ; ∀ 𝑓, 𝑔 ∈ 𝐺; ∀ 𝑥 ∈ 𝑉 2) 𝜆𝑓 𝑥 = 𝜆𝑓 𝑥 ; ∀ 𝑓 ∈ 𝐺; ∀ 𝑥 ∈ 𝑉; ∀ 𝜆 ∈ ℝ 3) 𝑓 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 ; ∀ 𝑓, 𝑔 ∈ 𝐺; ∀ 𝑥 ∈ 𝑉 Khi G đại số ℝ Thật vậy, +) Với hai phép toán 1) 2) G không gian véc tơ ℝ +) Ta có: ∗) 𝑓 𝑔 + 𝑕 𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑔 + 𝑕 (𝑥) = 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 + 𝑕(𝑥) = 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 + 𝑓 𝑥 𝑕(𝑥) = 𝑓𝑔 𝑥 + 𝑓𝑕 (𝑥) = 𝑓𝑔 + 𝑓𝑕 𝑥 ; ∀ 𝑥 ∈ 𝑉, ∀ 𝑓, 𝑔, 𝑕 ∈ 𝐺 ⟹ 𝑓 𝑔 + 𝑕 = 𝑓𝑔 + 𝑓𝑕 ∗) 𝑓 𝜆𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 𝜆𝑔 (𝑥) = 𝑓 𝑥 𝜆𝑔(𝑥) = 𝜆 𝑓𝑔 𝑥 ; ∀ 𝑥 ∈ 𝑉, ∀ 𝑓, 𝑔 ∈ 𝐺, ∀ 𝜆 ∈ ℝ ⟹ 𝑓 𝜆𝑔 = 𝜆 𝑓𝑔 1.3 Chú ý :  Nếu phép nhân có tính chất giao hoán G gọi đại số giao hoán  Nếu phép nhân có tính chất kết hợp G gọi đại số kết hợp  Nếu 𝑎 𝑏 = ∀ 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺 ta nói G đại số tầm thường  Giả sử N không gian véc tơ G, N.N  G N gọi đại số G, G.N  N N gọi Idean G G.N = N gọi tâm G 1.4 Định nghĩa (Xem ) Giả sử G là đại số phép toán ta ký hiệu [ , ], thõa mãn thêm hai tiên đề: +) 𝑎, 𝑏 = − 𝑏, 𝑎 (tính phản xứng); +) 𝑎, 𝑏 , 𝑐 + 𝑏, 𝑐 , 𝑎 + 𝑐, 𝑎 , 𝑏 = (tính chất Jacobi); ∀ 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐺 Khi G gọi đại số Lie ([ , ] gọi tích Lie) Chẳng hạn: Giả sử 𝐺 = ℝ3 , với tích Lie 𝑥, 𝑦 = 𝑥 ∧ 𝑦 Khi G đại số Lie Thật vậy, dễ thấy G đại số Ở đây, ta cần kiểm tra hai điều kiện tích Lie  Hiển nhiên 𝑎 ∧ 𝑏 = −𝑏 ∧ 𝑎  𝑎 ∧ 𝑏 ∧ 𝑐 + 𝑏 ∧ 𝑐 ∧ 𝑎 + 𝑐 ∧ 𝑎 ∧ 𝑏 = Thật vậy, giả sử ∀𝑎 𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 ∈ 𝐺, ∀𝑏 𝑏1 , 𝑏2 , 𝑏3 ∈ 𝐺, ∀𝑐 𝑐1 , 𝑐2 , 𝑐3 ∈ 𝐺; ta có: 𝑎 ∧ 𝑏 ∧ 𝑐 = 𝑎3 𝑏1 𝑐3 − 𝑎1 𝑏3 𝑐3 − 𝑎1 𝑏2 𝑐2 + 𝑎2 𝑏1 𝑐2 , 𝑎1 𝑏2 𝑐1 − 𝑎2 𝑏1 𝑐1 − 𝑎2 𝑏3 𝑐3 + 𝑎3 𝑏2 𝑐3 , 𝑎2 𝑏3 𝑐2 − 𝑎3 𝑏2 𝑐2 − 𝑎3 𝑏1 𝑐1 + 𝑎1 𝑏3 𝑐1 , 𝑏 ∧ 𝑐 ∧ 𝑎 = 𝑎3 𝑏3 𝑐1 − 𝑎3 𝑏1 𝑐3 − 𝑎2 𝑏1 𝑐2 + 𝑎2 𝑏2 𝑐1 , 𝑎1 𝑏1 𝑐2 − 𝑎1 𝑏2 𝑐1 − 𝑎3 𝑏2 𝑐3 + 𝑎3 𝑏3 𝑐2 , 𝑎2 𝑏2 𝑐3 − 𝑎2 𝑏3 𝑐2 − 𝑎1 𝑏3 𝑐1 + 𝑎1 𝑏1 𝑐3 , 𝑐 ∧ 𝑎 ∧ 𝑏 = 𝑎1 𝑏3 𝑐3 − 𝑎3 𝑏3 𝑐1 − 𝑎2 𝑏2 𝑐1 + 𝑎1 𝑏2 𝑐2 , 𝑎2 𝑏1 𝑐1 − 𝑎1 𝑏1 𝑐2 − 𝑎3 𝑏3 𝑐2 + 𝑎2 𝑏3 𝑐3 , 𝑎3 𝑏2 𝑐2 − 𝑎2 𝑏2 𝑐3 − 𝑎1 𝑏1 𝑐3 + 𝑎3 𝑏1 𝑐1 Cộng vế theo vế ba đẳng thức ta được: 𝑎 ∧ 𝑏 ∧ 𝑐 + 𝑏 ∧ 𝑐 ∧ 𝑎 + 𝑐 ∧ 𝑎 ∧ 𝑏 = 0,0,0 = Bây ta xét M đa tạp khả vi thực, với B(M)= 𝑋 𝑋 trường véc tơ tiếp xúc M khả vi }, F(M)= 𝑓 𝑓 khả vi : 𝑀 ⟶ ℝ } tích Lie B(M) cho bởi: 𝑋, 𝑌 𝑓 = 𝑋 𝑌 𝑓 − 𝑌 𝑋 𝑓 ; ∀ 𝑓 ∈ F(M), 𝑋, 𝑌 ∈ B(M) 1.5 Mệnh đề a) F(M) đại số ℝ b) B(M) đại số Lie ℝ Chứng minh: a) Rõ ràng F(M) không gian véc tơ thực phép nhân có tính chất song tuyến tính Vậy F(M) đại số ℝ b) Ta biết rằng, B(M) với hai phép toán:  Phép cộng trường véc tơ Với 𝑋 ∶ 𝑝 ⟼ 𝑋𝑝 ; 𝑌: 𝑝 ⟼ 𝑌𝑝 với ∀ 𝑝 ∈ 𝑀 thì: 𝑋 + 𝑌: 𝑝 ⟼ 𝑋𝑝 + 𝑌𝑝 ; ∀ 𝑝 ∈ 𝑀  Phép nhân trường véc tơ với số Với 𝑋 ∶ 𝑝 ⟼ 𝑋𝑝 ; ∀ 𝑝 ∈ 𝑀; 𝜆 ∈ ℝ thì: 𝜆𝑋: 𝑝 ⟼ λ𝑋𝑝 ; ∀ 𝑝 ∈ 𝑀; 𝜆 ∈ ℝ Do B(M) không gian véc tơ trường ℝ Mặt khác, tích Lie 𝑋, 𝑌 có tính chất song tuyến tính thực nên B(M) trở thành đại số ℝ Ở ta kiểm tra điều kiện đại số Lie +) Với ∀ 𝑋 ∈ B(M), ∀𝑓 ∈ F(M), ta có: 𝑋, 𝑌 𝑓 = 𝑋 𝑋 𝑓 − 𝑌 𝑋 𝑓 =− 𝑌 𝑋 𝑓 −𝑋 𝑌 𝑓 Suy ra, 𝑋, 𝑌 = − 𝑌, 𝑋 = − 𝑌, 𝑋 𝑓 +) Với ∀ 𝑋, 𝑌, 𝑍 ∈ B(M), ∀ 𝑓 ∈ F(M), ta có: 𝑋, 𝑌 , 𝑍 𝑓 = 𝑋, 𝑌 𝑍 𝑓 − 𝑍 𝑋, 𝑌 𝑓 =𝑋 𝑌 𝑍 𝑓 −𝑌 𝑋 𝑍 𝑓 −𝑍 𝑋 𝑌 𝑓 +𝑍 𝑌 𝑋 𝑓 (1) Tương tự ta có : 𝑌, 𝑍 , 𝑋 𝑓 = 𝑌, 𝑍 𝑋 𝑓 − 𝑋 𝑌, 𝑍 𝑓 =𝑌 𝑍 𝑋 𝑓 −𝑍 𝑌 𝑋 𝑓 −𝑋 𝑌 𝑍 𝑓 +𝑋 𝑍 𝑌 𝑓 ; (2) +𝑌 𝑋 𝑍 𝑓 ; (3) 𝑍, 𝑋 , 𝑌 𝑓 = 𝑍, 𝑋 𝑌 𝑓 − 𝑌 𝑍, 𝑋 𝑓 =𝑍 𝑋 𝑌 𝑓 −𝑋 𝑍 𝑌 𝑓 −𝑌 𝑍 𝑋 𝑓 Cộng vế theo vế (1) (2) (3) ta được: 𝑋, 𝑌 , 𝑍 𝑓 + 𝑌, 𝑍 , 𝑋 𝑓 + 𝑍, 𝑋 , 𝑌 𝑓 = 0; ∀ 𝑓 ∈ F(M) Suy ra: 𝑋, 𝑌 , 𝑍 + 𝑌, 𝑍 , 𝑋 + 𝑍, 𝑋 , 𝑌 = Vậy B(M) đại số Lie 1.6 Định nghĩa (Xem ) Giả sử G G’ đại số ℝ Ánh xạ 𝜑: 𝐺 ⟶ 𝐺′ gọi đồng cấu đại số 𝜑 ánh xạ tuyến tính 𝜑 𝑎𝑏 = 𝜑 𝑎 𝜑 𝑏 1.7 Nhận xét (Xem ) Giả sử G G ' đại số ℝ Ánh xạ 𝜑: 𝐺 ⟶ 𝐺′ đồng cấu đại số Khi đó: a) 𝐼𝑚𝜑 đại số G ' b) 𝐾𝑒𝑟𝜑 iđean G Thật vậy, a) Để chứng minh 𝐼𝑚𝜑 đại số G ' , ta cần chứng minh 𝐼𝑚𝜑 không gian véc tơ G ' 𝐼𝑚𝜑𝐼𝑚𝜑 ⊂ 𝐼𝑚𝜑 Giả sử 𝑎′ , 𝑏 ′ ∈ 𝐼𝑚𝜑 Khi tồn 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺 cho: = 𝐿𝑋 ∇ 𝑌, 𝑍 2.8 Mệnh đề (Xem ) Giả sử 𝑋, 𝑌, 𝑍 ∈ 𝐹 ∇ liên thông tuyến tính G, ta có: 𝐿𝑋 ∇ 𝑌, 𝑍 = 𝐿𝑋 ∇ 𝑍, 𝑌 Chứng minh: Ta lấy 𝑋, 𝑌, 𝑍 ∈ 𝐹 Ta có: 𝐿𝑋 ∇ 𝑌, 𝑍 = 𝐿𝑋 ∇𝑌 𝑍 − ∇𝑌 𝐿𝑋 𝑍 − ∇ 𝑋,𝑌 𝑍 = 𝐿𝑋 ∇𝑍 𝑌 + 𝑌, 𝑍 − ∇ 𝑋,𝑍 𝑌 − 𝑌, 𝑋, 𝑍 − ∇𝑍 𝐿𝑋 𝑌 − 𝑋, 𝑌 , 𝑍 = 𝐿𝑋 ∇𝑍 𝑌 + 𝐿𝑋 𝑌, 𝑍 − ∇ 𝑋,𝑍 𝑌 − 𝑌, 𝑋, 𝑍 − ∇𝑍 𝐿𝑋 𝑌 − 𝑋, 𝑌 , 𝑍 = 𝐿𝑋 ∇𝑍 𝑌 + 𝑋, 𝑌, 𝑍 − ∇ 𝑋,𝑍 𝑌 − 𝑌, 𝑋, 𝑍 − ∇𝑍 𝐿𝑋 𝑌 − 𝑋, 𝑌 , 𝑍 = 𝐿𝑋 ∇𝑍 𝑌 − ∇𝑍 𝐿𝑋 𝑌 − ∇ 𝑋,𝑍 𝑌 − 𝑋, 𝑌 , 𝑍 + 𝑌, 𝑍 , 𝑋 + 𝑍, 𝑋 , 𝑌 = 𝐿𝑋 ∇𝑍 𝑌 − ∇𝑍 𝐿𝑋 𝑌 − ∇ 𝑋,𝑍 𝑌 = 𝐿𝑋 ∇ 𝑍, 𝑌 2.9 Mệnh đề Giả sử 𝑋, 𝑌, 𝑍 ∈ 𝐹; ∀𝜑 ∈ 𝐺 ∇ liên thông tuyến tính G, ta có: 𝑎) 𝐿𝑋 ∇ 𝑌 + 𝑌 ′ , 𝑍 = 𝐿𝑋 ∇ 𝑌, 𝑍 + 𝐿𝑋 ∇ 𝑌 ′ , 𝑍 𝑏) 𝐿𝑋 ∇ 𝜑𝑌, 𝑍 = 𝜑 𝐿𝑋 ∇ 𝑌, 𝑍 𝑐) 𝐿𝑋 ∇ 𝑌, 𝑍 + 𝑍′ = 𝐿𝑋 ∇ 𝑌, 𝑍 + 𝐿𝑋 ∇ 𝑌, 𝑍′ 𝑑) 𝐿𝑋 ∇ 𝑌, 𝜑𝑍 = 𝜑 𝐿𝑋 ∇ 𝑌, 𝑍 Chứng minh : 𝑎) ∀ 𝑌, 𝑌 ′ , 𝑍 ∈ 𝐹, ta có: 𝐿𝑋 ∇ 𝑌 + 𝑌 ′ , 𝑍 = 𝐿𝑋 ∇𝑌+𝑌′ 𝑍 − ∇𝑌+𝑌′ 𝐿𝑋 𝑍 − ∇ 𝑋,𝑌+𝑌′ 𝑍 = 𝐿𝑋 ∇𝑌 𝑍 + ∇𝑌′ 𝑍 − ∇𝑌 𝐿𝑋 𝑍 − ∇𝑌′ 𝐿𝑋 𝑍 − ∇ 𝑋,𝑌 𝑍 − ∇ 𝑋,𝑌′ 𝑍 = 𝑋, ∇𝑌 𝑍 + ∇𝑌′ 𝑍 − ∇𝑌 𝐿𝑋 𝑍 − ∇𝑌′ 𝐿𝑋 𝑍 − ∇ 𝑋,𝑌 𝑍 − ∇ 𝑋,𝑌′ 𝑍 22 = 𝑋, ∇𝑌 𝑍 + 𝑋, ∇𝑌′ 𝑍 − ∇𝑌 𝐿𝑋 𝑍 − ∇𝑌′ 𝐿𝑋 𝑍 − ∇ 𝑋,𝑌 𝑍 − ∇ 𝑋,𝑌′ 𝑍 = 𝐿𝑋 ∇𝑌 𝑍 + 𝐿𝑋 ∇𝑌′ 𝑍 − ∇𝑌 𝐿𝑋 𝑍 − ∇𝑌′ 𝐿𝑋 𝑍 − ∇ 𝑋,𝑌 𝑍 − ∇ 𝑋,𝑌′ 𝑍 = 𝐿𝑋 ∇𝑌 𝑍 − ∇𝑌 𝐿𝑋 𝑍 − ∇ 𝑋,𝑌 𝑍 + 𝐿𝑋 ∇𝑌′ 𝑍 − ∇𝑌′ 𝐿𝑋 𝑍 − ∇ 𝑋,𝑌′ 𝑍 = 𝐿𝑋 ∇ 𝑌, 𝑍 + 𝐿𝑋 ∇ 𝑌 ′ , 𝑍 𝑏) ∀ 𝑌, 𝑍 ∈ 𝐹; ∀𝜑 ∈ 𝐺 Ta có: 𝐿𝑋 ∇ 𝜑𝑌, 𝑍 = 𝐿𝑋 ∇𝜑𝑌 𝑍 − ∇𝜑𝑌 𝐿𝑋 𝑍 − ∇ 𝑋,𝜑 𝑌 𝑍 = 𝐿𝑋 𝜑∇𝑌 𝑍 − 𝜑∇𝑌 𝐿𝑋 𝑍 − ∇𝜑 𝑋,𝑌 +𝑌.𝑋 𝜑 𝑍 = 𝑋, 𝜑∇𝑌 𝑍 − 𝜑∇𝑌 𝐿𝑋 𝑍 − 𝜑∇ 𝑋,𝑌 𝑍 − 𝑋 𝜑 ∇𝑌 𝑍 = 𝜑 𝑋, ∇𝑌 𝑍 + 𝑋 𝜑 ∇𝑌 𝑍 − 𝜑∇𝑌 𝐿𝑋 𝑍 − 𝜑∇ 𝑋,𝑌 𝑍 − 𝑋 𝜑 ∇𝑌 𝑍 = 𝜑 𝑋, ∇𝑌 𝑍 − ∇𝑌 𝐿𝑋 𝑍 − ∇ 𝑋,𝑌 𝑍 = 𝜑 𝐿𝑋 ∇𝑌 𝑍 − ∇𝑌 𝐿𝑋 𝑍 − ∇ 𝑋,𝑌 𝑍 = 𝜑 𝐿𝑋 ∇ 𝑌, 𝑍 𝑐) ∀ 𝑌, 𝑍, 𝑍′ ∈ 𝐹 Ta có: 𝐿𝑋 ∇ 𝑌, 𝑍 + 𝑍′ = 𝐿𝑋 ∇𝑌 (𝑍 + 𝑍 ′ ) − ∇𝑌 𝐿𝑋 (𝑍 + 𝑍 ′ ) − ∇ 𝑋,𝑌 (𝑍 + 𝑍 ′ ) = 𝐿𝑋 ∇𝑌 𝑍 + ∇𝑌 𝑍′ − ∇𝑌 𝐿𝑋 (𝑍 + 𝑍 ′ ) − ∇ 𝑋,𝑌 𝑍 − ∇ 𝑋,𝑌 𝑍′ = 𝑋, ∇𝑌 𝑍 + ∇𝑌 𝑍′ − ∇𝑌 𝑋, 𝑍 + 𝑍′ − ∇ 𝑋,𝑌 𝑍 − ∇ 𝑋,𝑌 𝑍′ = 𝑋, ∇𝑌 𝑍 + 𝑋, ∇𝑌 𝑍′ − ∇𝑌 𝑋, 𝑍 − ∇𝑌 𝑋, 𝑍′ − ∇ 𝑋,𝑌 𝑍 − ∇ 𝑋,𝑌 𝑍′ = 𝐿𝑋 ∇𝑌 𝑍 + 𝐿𝑋 ∇𝑌 𝑍′ − ∇𝑌 𝐿𝑋 𝑍 − ∇𝑌 𝐿𝑋 𝑍′ − ∇ 𝑋,𝑌 𝑍 − ∇ 𝑋,𝑌 𝑍′ = 𝐿𝑋 ∇𝑌 𝑍 − ∇𝑌 𝐿𝑋 𝑍 − ∇ 𝑋,𝑌 𝑍 + 𝐿𝑋 ∇𝑌 𝑍′ − ∇𝑌 𝐿𝑋 𝑍′ − ∇ 𝑋,𝑌 𝑍′ = 𝐿𝑋 ∇ 𝑌, 𝑍 + 𝐿𝑋 ∇ 𝑌, 𝑍′ 𝑑) ∀ 𝑌, 𝑍 ∈ 𝐹; ∀𝜑 ∈ 𝐺 Ta có: 𝐿𝑋 ∇ 𝑌, 𝜑 𝑍 = 𝐿𝑋 ∇𝑌 𝜑𝑍 − ∇𝑌 𝐿𝑋 𝜑𝑍 − ∇ 𝑋,𝑌 𝜑𝑍 = 𝐿𝑋 𝜑∇𝑌 𝑍 + 𝑌 𝜑 𝑍 − ∇𝑌 𝜑 𝑋, 𝑍 + 𝑋 𝜑 𝑍 − 𝜑∇ 𝑋,𝑌 𝑍 − 𝑋, 𝑌 𝜑 𝑍 23 = 𝑋, 𝜑∇𝑌 𝑍 + 𝑋, 𝑌 𝜑 𝑍 − ∇𝑌 𝜑 𝑋, 𝑍 − ∇𝑌 𝑋 𝜑 𝑍 − 𝜑∇ 𝑋,𝑌 𝑍 − 𝑋, 𝑌 𝜑 𝑍 = 𝜑 𝑋, ∇𝑌 𝑍 + 𝑋 𝜑 ∇𝑌 𝑍 + 𝑋, 𝑌 𝜑 𝑍 − 𝜑∇𝑌 𝑋, 𝑍 − 𝑌 𝜑 𝑋, 𝑍 − 𝑋 𝜑 ∇𝑌 𝑍 − 𝑌 𝑋 𝜑 𝑍 − 𝜑∇ 𝑋,𝑌 𝑍 − 𝑋, 𝑌 𝜑 𝑍 = 𝜑 𝑋, ∇𝑌 𝑍 −∇𝑌 𝑋, 𝑍 − ∇ 𝑋,𝑌 𝑍 + 𝑋, 𝑌 𝜑 𝑍 − 𝑌 𝜑 𝑋, 𝑍 − 𝑌 𝑋 𝜑 𝑍 − 𝑋, 𝑌 𝜑 𝑍 = 𝜑 𝐿𝑋 ∇ 𝑌, 𝑍 + 𝑌 𝜑 𝑋, 𝑍 + 𝑋 𝑌 𝜑 𝑍 − 𝑌 𝜑 𝑋, 𝑍 − 𝑌 𝑋 𝜑 𝑍 − 𝑋, 𝑌 𝜑 𝑍 = 𝜑 𝐿𝑋 ∇ 𝑌, 𝑍 + 𝑋 𝑌 𝜑 𝑍 − 𝑌 𝑋 𝜑 𝑍 − 𝑋, 𝑌 𝜑 𝑍 = 𝜑 𝐿𝑋 ∇ 𝑌, 𝑍 + 𝑋, 𝑌 𝜑 𝑍 − 𝑋, 𝑌 𝜑 𝑍 = 𝜑 𝐿𝑋 ∇ 𝑌, 𝑍 III Đạo hàm Lie độ cong, độ xoắn đại số 2.10 Định nghĩa (Xem ) a) Độ cong đại số G ánh xạ 𝑅: 𝐹 × 𝐹 × 𝐹 ⟶ 𝐹 (𝑋, 𝑌, 𝑍) ⟼ 𝑅(𝑋, 𝑌, 𝑍) với 𝑅 𝑋, 𝑌, 𝑍 = ∇𝑋 ∇𝑌 𝑍 − ∇𝑌 ∇𝑋 𝑍 − ∇ 𝑋,𝑌 𝑍; ∀ 𝑋, 𝑌, 𝑍 ∈ 𝐹 b) Xét ánh xạ 𝐿𝑋 𝑅: 𝐹 × 𝐹 × 𝐹 ⟶ 𝐹 (𝑌1 , 𝑌2 , 𝑌3 ) ⟼ 𝐿𝑋 𝑅(𝑌1 , 𝑌2 , 𝑌3 ) với 𝐿𝑋 𝑅 𝑌1 , 𝑌2 , 𝑌3 = 𝐿𝑋 𝑅 𝑌1 , 𝑌2 , 𝑌3 − 𝑅 𝐿𝑋 𝑌1 , 𝑌2 , 𝑌3 − 𝑅 𝑌1 , 𝐿𝑋 𝑌2 , 𝑌3 −𝑅 𝑌1 , 𝑌2 , 𝐿𝑋 𝑌3 ; ∀ 𝑋, 𝑌1 , 𝑌2 , 𝑌3 ∈ 𝐹 Khi 𝐿𝑋 𝑅 gọi đạo hàm Lie độ cong R đại số G c) Độ xoắn đại số G ánh xạ T: 𝐹 × 𝐹 ⟶ 𝐹 24 (𝑋, 𝑌) ⟼ 𝑇(𝑋, 𝑌) với 𝑇 𝑋, 𝑌 = ∇𝑋 𝑌 − ∇𝑌 𝑋 − 𝑋, 𝑌 ; ∀ 𝑋, 𝑌 ∈ 𝐹 d) Xét ánh xạ 𝐿𝑋 𝑇: 𝐹 × 𝐹 ⟶ 𝐹 (𝑌, 𝑍) ⟼ 𝐿𝑋 𝑇(𝑌, 𝑍) với 𝐿𝑋 𝑇 𝑌, 𝑍 = 𝐿𝑋 𝑇 𝑌, 𝑍 − 𝑇 𝑌, 𝐿𝑋 𝑍 − 𝑇 𝐿𝑋 𝑌, 𝑍 ; ∀ 𝑋, 𝑌, 𝑍 ∈ 𝐹 Khi 𝐿𝑋 𝑇 gọi đạo hàm Lie độ xoắn T đại số G 2.11 Nhận xét Giả sử ∀ 𝑋, 𝑌, 𝑍 ∈ 𝐹, ta có: a) 𝑅 𝑋, 𝑌, 𝑍 = −𝑅 𝑌, 𝑋, 𝑍 ; b) 𝑇 𝑋, 𝑌 = −𝑇 𝑌, 𝑋 ; Thật : a) Từ định nghĩa độ cong ta có: 𝑅 𝑋, 𝑌, 𝑍 = ∇𝑋 ∇𝑌 𝑍 − ∇𝑌 ∇𝑋 𝑍 − ∇ 𝑋,𝑌 𝑍 = −(∇𝑌 ∇𝑋 𝑍 − ∇𝑋 ∇𝑌 𝑍 + ∇ 𝑋,𝑌 𝑍) = −(∇𝑌 ∇𝑋 𝑍 − ∇𝑋 ∇𝑌 𝑍 − ∇ 𝑌,𝑋 𝑍) = −𝑅 𝑌, 𝑋, 𝑍 ; ∀ 𝑋, 𝑌, 𝑍 ∈ 𝐹 b) Ta có: 𝑇 𝑋, 𝑌 = ∇𝑋 𝑌 − ∇𝑌 𝑋 − 𝑋, 𝑌 = ∇𝑋 𝑌 − ∇𝑌 𝑋 + 𝑌, 𝑋 = −(∇𝑌 𝑋 − ∇𝑋 𝑌 − 𝑌, 𝑋 ) = −𝑇 𝑌, 𝑋 ; ∀ 𝑋, 𝑌 ∈ 𝐹 2.12 Mệnh đề (Xem [3]) Giả sử ∀ 𝑋, 𝑌, 𝑍 ∈ 𝐹 ∇ liên thông tuyến tính G Khi đó: 𝐿𝑋 ∇ 𝑌, 𝑍 = 𝑅 𝑋, 𝑌, 𝑍 + ∇𝑌 𝑇 𝑋, 𝑍 − ∇∇𝑌 𝑍 𝑋 − 𝑇 𝑋, ∇𝑌 𝑍 + ∇𝑌 ∇𝑍 𝑋 Chứng minh: ∀ 𝑋, 𝑌, 𝑍 ∈ 𝐹, ta có: 𝑌, 𝑍 = ∇𝑌 𝑍 − ∇𝑍 𝑌 − 𝑇 𝑌, 𝑍 , 𝑅 𝑋, 𝑌, 𝑍 = ∇𝑋 ∇𝑌 𝑍 − ∇𝑌 ∇𝑋 𝑍 − ∇ 𝑋,𝑌 𝑍, 25 𝐿𝑋 ∇ 𝑌, 𝑍 = 𝐿𝑋 ∇𝑌 𝑍 − ∇𝑌 𝐿𝑋 𝑍 − ∇ 𝑋,𝑌 𝑍 = 𝑋, ∇𝑌 𝑍 − ∇𝑌 𝑋, 𝑍 − ∇ 𝑋,𝑌 𝑍 = ∇𝑋 ∇𝑌 𝑍 − ∇∇𝑌 𝑍 𝑋 − 𝑇 𝑋, ∇𝑌 𝑍 − ∇𝑌 ∇𝑋 𝑍 − ∇𝑍 𝑋 − 𝑇 𝑋, 𝑍 = (∇𝑋 ∇𝑌 𝑍 − ∇𝑌 ∇𝑋 𝑍 − ∇ 𝑋,𝑌 𝑍) − ∇𝑌 𝑇 𝑋, 𝑍 − ∇ 𝑋,𝑌 𝑍 − ∇∇𝑌 𝑍 𝑋 −𝑇 𝑋, ∇𝑌 𝑍 + ∇𝑌 ∇𝑍 𝑋 = 𝑅 𝑋, 𝑌, 𝑍 + ∇𝑌 𝑇 𝑋, 𝑍 − ∇∇𝑌 𝑍 𝑋 − 𝑇 𝑋, ∇𝑌 𝑍 + ∇𝑌 ∇𝑍 𝑋 Từ định nghĩa đạo hàm Lie độ cong độ xoắn ta rút mệnh đề sau: 2.13 Mệnh đề (Xem ) Giả sử ∀ 𝑋, 𝑌, 𝑍, 𝑌1 , 𝑌2 , 𝑌3 ∈ 𝐹 ∇ liên thông tuyến tính G Khi đó: a) 𝐿𝑋 𝑇 𝑌, 𝑍 = 𝐿𝑋 ∇ 𝑌, 𝑍 − 𝐿𝑋 ∇ 𝑍, 𝑌 ; ∀ 𝑋, 𝑌, 𝑍 ∈ 𝐹 b) 𝐿𝑋 𝑅 𝑌1 , 𝑌2 , 𝑌3 = −𝐿𝑋 ∇ 𝑌1 , 𝑌2 , 𝑌3 + 𝐿𝑋 ∇ Y1 , ∇𝑌2 𝑌3 + ∇𝑌1 𝐿𝑋 ∇ 𝑌2 , 𝑌3 −𝐿𝑋 ∇ Y2 , ∇𝑌1 𝑌3 − ∇𝑌2 𝐿𝑋 ∇ 𝑌1 , 𝑌3 ; ∀ 𝑋, 𝑌1 , 𝑌2 , 𝑌3 ∈ 𝐹 Chứng minh: a) Với ∀ 𝑋, 𝑌, 𝑍 ∈ 𝐹, ta có: 𝐿𝑋 𝑇 𝑌, 𝑍 = 𝐿𝑋 𝑇 𝑌, 𝑍 − 𝑇 𝐿𝑋 𝑌, 𝑍 − 𝑇 𝑌, 𝐿𝑋 𝑍 = 𝐿𝑋 ∇𝑌 𝑍 − ∇𝑍 𝑌 − 𝑌, 𝑍 − ∇ 𝑋,𝑌 𝑍 + ∇𝑍 𝐿𝑋 𝑌 + 𝑋, 𝑌 , 𝑍 −∇𝑌 𝐿𝑋 𝑍 + ∇ 𝑋,𝑍 𝑌 + 𝑌, 𝑋, 𝑍 = 𝐿𝑋 ∇𝑌 𝑍 − 𝐿𝑋 ∇𝑍 𝑌 − 𝐿𝑋 𝑌, 𝑍 − ∇ 𝑋,𝑌 𝑍 + ∇𝑍 𝑋, 𝑌 + 𝑋, 𝑌 , 𝑍 − ∇𝑌 𝑋, 𝑍 + ∇ 𝑋,𝑍 𝑌 + 𝑌, 𝑋, 𝑍 = 𝐿𝑋 ∇𝑌 𝑍 − ∇𝑌 𝑋, 𝑍 − ∇ 𝑋,𝑌 𝑍 − 𝐿𝑋 ∇𝑍 𝑌 − ∇𝑍 𝑋, 𝑌 − ∇ 𝑋,𝑍 𝑌 +( 𝑋, 𝑌 , 𝑍 + 𝑌, 𝑍 , 𝑋 + 𝑍, 𝑋 , 𝑌 ) = 𝐿𝑋 ∇ 𝑌, 𝑍 − 𝐿𝑋 ∇ 𝑍, 𝑌 26 b) Lấy 𝑋, 𝑌1 , 𝑌2 , 𝑌3 ∈ 𝐹, ta có: 𝐿𝑋 𝑅 𝑌1 , 𝑌2 , 𝑌3 = 𝐿𝑋 𝑅 𝑌1 , 𝑌2 , 𝑌3 − 𝑅 𝐿𝑋 𝑌1 , 𝑌2 , 𝑌3 −𝑅 𝑌1 , 𝐿𝑋 𝑌2 , 𝑌3 − 𝑅 𝑌1 , 𝑌2 , 𝐿𝑋 𝑌3 Trong đó: ∗ 𝐿𝑋 𝑅 𝑌1 , 𝑌2 , 𝑌3 = 𝐿𝑋 ∇𝑌1 ∇𝑌2 𝑌3 − ∇𝑌2 ∇𝑌1 𝑌3 − ∇ 𝑌1 ,𝑌2 𝑌3 = 𝐿𝑋 ∇𝑌1 ∇𝑌2 𝑌3 − 𝐿𝑋 ∇𝑌2 ∇𝑌1 𝑌3 − 𝐿𝑋 ∇ 𝑌1 ,𝑌2 𝑌3 ∗ 𝑅 𝐿𝑋 𝑌1 , 𝑌2 , 𝑌3 = 𝑅 𝑋, 𝑌1 , 𝑌2 , 𝑌3 = ∇ 𝑋,𝑌1 ∇𝑌2 𝑌3 − ∇𝑌2 ∇ 𝑋,𝑌1 𝑌3 − ∇ 𝑋,𝑌1 ,𝑌2 𝑌3 ∗ 𝑅 𝑌1 , 𝐿𝑋 𝑌2 , 𝑌3 = ∇𝑌1 ∇ 𝑋,𝑌2 𝑌3 − ∇ 𝑋,𝑌2 ∇𝑌1 𝑌3 − ∇ 𝑌1 , 𝑋,𝑌2 𝑌3 ∗ 𝑅 𝑌1 , 𝑌2 , 𝐿𝑋 𝑌3 = ∇𝑌1 ∇𝑌2 𝑋, 𝑌3 − ∇𝑌2 ∇𝑌1 𝑋, 𝑌3 − ∇ 𝑌1 ,𝑌2 𝑋, 𝑌3 ⇒ 𝐿𝑋 𝑅 𝑌1 , 𝑌2 , 𝑌3 = (−𝐿𝑋 ∇ 𝑌1 ,𝑌2 𝑌3 + ∇ 𝑋,𝑌1 ,𝑌2 𝑌3 + ∇ 𝑌1 , 𝑋,𝑌2 𝑌3 +∇ 𝑌1 ,𝑌2 𝑋, 𝑌3 )+( 𝐿𝑋 ∇𝑌1 ∇𝑌2 𝑌3 − ∇ 𝑋,𝑌1 ∇𝑌2 𝑌3 − ∇𝑌1 ∇ 𝑋,𝑌2 𝑌3 − ∇𝑌1 ∇𝑌2 𝑋, 𝑌3 ) − 𝐿𝑋 ∇𝑌2 ∇𝑌1 𝑌3 − ∇ 𝑋,𝑌2 ∇𝑌1 𝑌3 − ∇𝑌2 ∇ 𝑋,𝑌1 𝑌3 − ∇𝑌2 ∇𝑌1 𝑋, 𝑌3 Do 𝑋, 𝑌1 , 𝑌2 = 𝑋, 𝑌1 , 𝑌2 + 𝑌1 , 𝑋, 𝑌2 ; Ta có: +) – 𝐿𝑋 ∇ 𝑌1 ,𝑌2 𝑌3 + ∇ 𝑋,𝑌1 ,𝑌2 𝑌3 + ∇ 𝑌1 , 𝑋,𝑌2 𝑌3 + ∇ 𝑌1 ,𝑌2 𝑋, 𝑌3 = −𝐿𝑋 ∇ 𝑌1 ,𝑌2 𝑌3 + ∇ 𝑋, 𝑌1 ,𝑌2 𝑌3 + ∇ 𝑌1 ,𝑌2 𝑋, 𝑌3 = −𝐿𝑋 ∇ 𝑌1 , 𝑌2 , 𝑌3 +) 𝐿𝑋 ∇𝑌1 ∇𝑌2 𝑌3 − ∇ 𝑋,𝑌1 ∇𝑌2 𝑌3 − ∇𝑌1 ∇ 𝑋,𝑌2 𝑌3 − ∇𝑌1 ∇𝑌2 𝑋, 𝑌3 = 𝐿𝑋 ∇𝑌1 ∇𝑌2 𝑌3 − ∇𝑌1 𝑋, ∇𝑌2 𝑌3 − ∇ 𝑋,𝑌1 ∇𝑌2 𝑌3 + ∇𝑌1 𝑋, ∇𝑌2 𝑌3 − ∇𝑌1 ∇ 𝑋,𝑌2 𝑌3 − ∇𝑌1 ∇𝑌2 𝑋, 𝑌3 = 𝐿𝑋 ∇ Y1 , ∇𝑌2 𝑌3 + ∇𝑌1 𝑋, ∇𝑌2 𝑌3 − ∇ 𝑋,𝑌2 𝑌3 − ∇𝑌2 𝑋, 𝑌3 = 𝐿𝑋 ∇ Y1 , ∇𝑌2 𝑌3 + ∇𝑌1 𝐿𝑋 ∇ 𝑌2 , 𝑌3 +) 𝐿𝑋 ∇𝑌2 ∇𝑌1 𝑌3 − ∇ 𝑋,𝑌2 ∇𝑌1 𝑌3 − ∇𝑌2 ∇ 𝑋,𝑌1 𝑌3 − ∇𝑌2 ∇𝑌1 𝑋, 𝑌3 27 = 𝐿𝑋 ∇𝑌2 ∇𝑌1 𝑌3 − ∇ 𝑋,𝑌2 ∇𝑌1 𝑌3 − ∇𝑌2 𝑋, ∇𝑌1 𝑌3 + ∇𝑌2 𝑋, ∇𝑌1 𝑌3 − − ∇𝑌2 ∇ 𝑋,𝑌1 𝑌3 − ∇𝑌2 ∇𝑌1 𝑋, 𝑌3 = 𝐿𝑋 ∇ Y2 , ∇𝑌1 𝑌3 + ∇𝑌2 𝐿𝑋 ∇ 𝑌1 , 𝑌3 Vậy: 𝐿𝑋 𝑅 𝑌1 , 𝑌2 , 𝑌3 = −𝐿𝑋 ∇ 𝑌1 , 𝑌2 , 𝑌3 + 𝐿𝑋 ∇ Y1 , ∇𝑌2 𝑌3 + ∇𝑌1 𝐿𝑋 ∇ 𝑌2 , 𝑌3 −𝐿𝑋 ∇ Y2 , ∇𝑌1 𝑌3 − ∇𝑌2 𝐿𝑋 ∇ 𝑌1 , 𝑌3 2.14 Mệnh đề (Xem ) Giả sử ∀ 𝑋, 𝑌, 𝑍 ∈ 𝐹 ∇ liên thông tuyến tính G Khi đó: ∇𝑋 𝑌 = ∇𝑋 𝑌 − 𝑇 𝑋, 𝑌 Chứng minh: Từ định nghĩa độ xoắn T, ta có: 𝑋, 𝑌 = ∇𝑋 𝑌 − ∇𝑌 𝑋 − 𝑇 𝑋, 𝑌 ⟺ ∇𝑌 𝑋 + 𝑋, 𝑌 = ∇𝑋 𝑌 − 𝑇 𝑋, 𝑌 ⟺ ∇𝑋 𝑌 = ∇𝑋 𝑌 − 𝑇 𝑋, 𝑌 ; ∀ 𝑋, 𝑌 ∈ 𝐹 Nhận xét ∇= ∇ Thật vậy, ∀ 𝑋, 𝑌 ∈ 𝐹, ta có: ∇𝑋 𝑌 = ∇𝑋 𝑌 − 𝑇(𝑋, 𝑌) = ∇𝑌 𝑋 + 𝑋, 𝑌 − ∇𝑋 𝑌 + ∇𝑌 𝑋 + 𝑋, 𝑌 = ∇𝑌 𝑋 + 𝑋, 𝑌 − ∇𝑌 𝑋 − 𝑋, 𝑌 + ∇𝑋 𝑌 + 𝑌, 𝑋 = 𝑋, 𝑌 + ∇𝑋 𝑌 − 𝑋, 𝑌 − 𝑋, 𝑌 = ∇𝑋 𝑌 ⟹ ∇= ∇ 2.15 Mệnh đề (Xem ) Giả sử ∀ 𝑋, 𝑌, 𝑍 ∈ 𝐹 ∇ liên thông tuyến tính G Độ xoắn 𝑇 độ cong 𝑅 liên thông ∇ đại số G xác định bởi: 𝑎) 𝑇 𝑋, 𝑌 = −𝑇 𝑋, 𝑌 , 𝑏) 𝑅 𝑋, 𝑌, 𝑍 = 𝑅 𝑋, 𝑌, 𝑍 − ∇𝑋 𝑇 𝑌, 𝑍 + ∇𝑌 𝑇 𝑋, 𝑍 + 𝜎𝑇 𝑋, 𝑇 𝑌, 𝑍 , 28 ∇𝑋 𝑇 𝑌, 𝑍 = ∇𝑋 (𝑇 𝑌, 𝑍) − 𝑇 ∇𝑋 𝑌, 𝑍 − 𝑇 𝑌, ∇𝑋 𝑍 𝜎𝑇 𝑋, 𝑇 𝑌, 𝑍 = 𝑇 𝑋, 𝑇 𝑌, 𝑍 + 𝑇 𝑌, 𝑇 𝑍, 𝑋 + 𝑇 𝑍, 𝑇 𝑋, 𝑌 Chứng minh: a) ∀ 𝑋, 𝑌 ∈ 𝐹, ta có: 𝑇 𝑋, 𝑌 = ∇𝑋 𝑌 − ∇𝑌 𝑋 − 𝑋, 𝑌 = ∇𝑋 𝑌 − 𝑇 𝑋, 𝑌 − ∇𝑌 𝑋 + 𝑇 𝑌, 𝑋 − 𝑋, 𝑌 = ∇𝑋 𝑌 − ∇𝑌 𝑋 − 𝑋, 𝑌 − 𝑇 𝑋, 𝑌 + 𝑇 𝑌, 𝑋 = 𝑇 𝑋, 𝑌 − 𝑇 𝑋, 𝑌 + 𝑇 𝑌, 𝑋 = −𝑇 𝑋, 𝑌 b) Tương tự, ∀ 𝑋, 𝑌, 𝑍 ∈ 𝐹, ta có: 𝑅 𝑋, 𝑌, 𝑍 = ∇𝑋 ∇𝑌 𝑍 − ∇𝑌 ∇𝑋 𝑍 − ∇ 𝑋,𝑌 𝑍 = ∇𝑋 ∇𝑌 𝑍 − 𝑇 𝑌, 𝑍 − ∇𝑌 ∇𝑋 𝑍 − 𝑇 𝑋, 𝑍 = ∇𝑋 ∇𝑌 𝑍 − ∇𝑋 𝑇 𝑌, 𝑍 − ∇ 𝑋,𝑌 𝑍 + 𝑇 𝑋, 𝑌 , 𝑍 − ∇𝑌 ∇𝑋 𝑍 + ∇𝑌 𝑇 𝑋, 𝑍 − ∇ 𝑋,𝑌 𝑍 + 𝑇 ∇𝑋 𝑌 − ∇𝑌 𝑋 − 𝑇 𝑋, 𝑌 , 𝑍 = ∇𝑋 ∇𝑌 𝑍 − 𝑇 𝑋, ∇𝑌 𝑍 − ∇𝑋 𝑇 𝑌, 𝑍 + 𝑇 𝑋, 𝑇 𝑌, 𝑍 − ∇𝑌 ∇𝑋 𝑍 + 𝑇 𝑌, ∇𝑋 𝑍 + ∇𝑌 𝑇 𝑋, 𝑍 − 𝑇 𝑌, 𝑇 𝑋, 𝑍 − ∇ 𝑋,𝑌 𝑍 + 𝑇 ∇𝑋 𝑌, 𝑍 − 𝑇 ∇𝑌 𝑋, 𝑍 − 𝑇 𝑇 𝑋, 𝑌 , 𝑍 = ∇𝑋 ∇𝑌 𝑍 − ∇𝑌 ∇𝑋 𝑍 − ∇ 𝑋,𝑌 𝑍 − ∇𝑋 (𝑇 𝑌, 𝑍) − 𝑇 ∇𝑋 𝑌, 𝑍 − 𝑇 𝑌, ∇𝑋 𝑍 + ∇𝑌 𝑇 𝑋, 𝑍 + 𝑇 𝑋, 𝑇 𝑌, 𝑍 − 𝑇 ∇𝑌 𝑋, 𝑍 − 𝑇 𝑋, ∇𝑌 𝑍 + 𝑇 𝑌, 𝑇 𝑍, 𝑋 + 𝑇 𝑍, 𝑇 𝑋, 𝑌 = 𝑅 𝑋, 𝑌, 𝑍 − ∇𝑋 𝑇 𝑌, 𝑍 + ∇𝑌 𝑇 𝑋, 𝑍 + 𝜎𝑇 𝑋, 𝑇 𝑌, 𝑍 Nhận xét Ta xét ℝ𝑛 , 𝐺 =F ( ℝ𝑛 ) = { 𝑓 khả vi : ℝ𝑛 ⟶ ℝ } ∇= 𝐷 Khi 𝑇 = 0, 𝑅 = Thật vậy, 29 +) ∀ 𝑋, 𝑌 ∈ 𝐹, ta có: 𝑇 𝑋, 𝑌 = ∇𝑋 𝑌 − ∇𝑌 𝑋 − 𝑋, 𝑌 = ∇𝑌 𝑋 + 𝑋, 𝑌 − ∇𝑋 𝑌 − 𝑌, 𝑋 − 𝑋, 𝑌 = ∇𝑌 𝑋 − ∇𝑋 𝑌 − 𝑌, 𝑋 = 𝐷𝑌 𝑋 − 𝐷𝑋 𝑌 − 𝐷𝑌 𝑋 + 𝐷𝑋 𝑌 = ⟹ 𝑇 = +) ∀𝑋 𝑋1 , … , 𝑋𝑛 ∈ 𝐹, 𝑌 𝑌1 , … 𝑌𝑛 ∈ 𝐹, 𝑍 𝑍1 , … , 𝑍𝑛 ∈ 𝐹, ta có: 𝑅 𝑋, 𝑌, 𝑍 = 𝑅 𝑋, 𝑌, 𝑍 − ∇𝑋 𝑇 𝑌, 𝑍 + ∇𝑌 𝑇 𝑋, 𝑍 + 𝜎𝑇 𝑋, 𝑇 𝑌, 𝑍 = 𝑅 𝑋, 𝑌, 𝑍 = ∇𝑋 ∇𝑌 𝑍 − ∇𝑌 ∇𝑋 𝑍 − ∇ 𝑋,𝑌 𝑍 = 𝐷𝑋 𝐷𝑌 𝑍 − 𝐷𝑌 𝐷𝑋 𝑍 − 𝐷 𝑋,𝑌 𝑍 = 𝑋 𝑌 𝑍1 , … , 𝑋 𝑌 𝑍𝑛 − 𝑌 𝑋 𝑍1 , … , 𝑌 𝑋 𝑍𝑛 − 𝑋, 𝑌 𝑍1 , … , 𝑋, 𝑌 𝑍𝑛 = 𝑋 𝑌 𝑍1 − 𝑌 𝑋 𝑍1 , … , 𝑋 𝑌 𝑍𝑛 − 𝑌 𝑋 𝑍𝑛 − 𝑋, 𝑌 𝑍1 , … , 𝑋, 𝑌 𝑍𝑛 = 𝑋, 𝑌 𝑍1 , … , 𝑋, 𝑌 𝑍𝑛 − 𝑋, 𝑌 𝑍1 , … , 𝑋, 𝑌 𝑍𝑛 = ⟹ 𝑅 = Từ đẳng thức đạo hàm Lie T: 𝐿𝑋 𝑇 𝑌, 𝑍 = 𝐿𝑋 ∇ 𝑌, 𝑍 − 𝐿𝑋 ∇ 𝑍, 𝑌 ; ∀ 𝑋, 𝑌, 𝑍 ∈ 𝐹 ta suy được: 𝐿𝑋 𝑇 𝑌, 𝑍 = 𝐿𝑋 ∇ 𝑌, 𝑍 − 𝐿𝑋 ∇ 𝑍, 𝑌 ; ∀ 𝑋, 𝑌, 𝑍 ∈ 𝐹 Khi ta có mệnh đề: 30 2.16 Mệnh đề Giả sử ∀ 𝑋, 𝑌, 𝑍 ∈ 𝐹 ∇ liên thông tuyến tính G, ta 𝐿𝑋 𝑇 𝑌, 𝑍 = 𝐿𝑋 ∇ 𝑍, 𝑌 − 𝐿𝑋 ∇ 𝑌, 𝑍 ; ∀ 𝑋, 𝑌, 𝑍 ∈ 𝐹 có: Chứng minh: ∀ 𝑋, 𝑌, 𝑍 ∈ 𝐹, ta có: 𝐿𝑋 𝑇 𝑌, 𝑍 = 𝐿𝑋 ∇ 𝑌, 𝑍 − 𝐿𝑋 ∇ 𝑍, 𝑌 = 𝐿𝑋 ∇ 𝑍, 𝑌 − 𝐿𝑋 ∇ 𝑌, 𝑍 Từ mệnh đề 2.12 ta suy được: 𝐿𝑋 𝑅 𝑌1 , 𝑌2 , 𝑌3 = −𝐿𝑋 ∇ 𝑌1 , 𝑌2 , 𝑌3 + 𝐿𝑋 ∇ Y1 , ∇𝑌2 𝑌3 + ∇𝑌1 𝐿𝑋 ∇ 𝑌2 , 𝑌3 −𝐿𝑋 ∇ Y2 , ∇𝑌1 𝑌3 − ∇𝑌2 𝐿𝑋 ∇ 𝑌1 , 𝑌3 Ta có mệnh đề: 2.17 Mệnh đề Giả sử 𝑋, 𝑌1 , 𝑌2 , 𝑌3 ∈ 𝐹 ∇ liên thông tuyến tính G, ta có: 𝐿𝑋 𝑅 𝑌1 , 𝑌2 , 𝑌3 = −𝐿𝑋 ∇ 𝑌3 , 𝑌1 , 𝑌2 + 𝐿𝑋 ∇ ∇𝑌3 𝑌2 + 𝑌2 , 𝑌3 , Y1 −𝐿𝑋 ∇ ∇𝑌3 𝑌1 + 𝑌1 , 𝑌3 , 𝑌2 + ∇𝑌1 𝐿𝑋 ∇ 𝑌3 , 𝑌2 −∇𝑌2 𝐿𝑋 ∇ 𝑌3 , 𝑌1 − 𝑇 𝑌1 , 𝐿𝑋 ∇ 𝑌3 , 𝑌2 + 𝑇 𝑌2 , 𝐿𝑋 ∇ 𝑌3 , 𝑌1 Chứng minh: Với ∀ 𝑋, 𝑌1 , 𝑌2 , 𝑌3 ∈ 𝐹, ta có: 𝐿𝑋 𝑅 𝑌1 , 𝑌2 , 𝑌3 = −𝐿𝑋 ∇ 𝑌1 , 𝑌2 , 𝑌3 + 𝐿𝑋 ∇ 𝑌1 , ∇𝑌2 𝑌3 + ∇𝑌1 𝐿𝑋 ∇ 𝑌2 , 𝑌3 −𝐿𝑋 ∇ 𝑌2 , ∇𝑌1 𝑌3 − ∇𝑌2 𝐿𝑋 ∇ 𝑌1 , 𝑌3 = −𝐿𝑋 ∇ 𝑌3 , 𝑌1 , 𝑌2 + 𝐿𝑋 ∇ ∇𝑌2 𝑌3 , Y1 + ∇𝑌1 𝐿𝑋 ∇ 𝑌3 , 𝑌2 − 𝐿𝑋 ∇ ∇𝑌1 𝑌3 , 𝑌2 − ∇𝑌2 𝐿𝑋 ∇ 𝑌3 , 𝑌1 = −𝐿𝑋 ∇ 𝑌3 , 𝑌1 , 𝑌2 + 𝐿𝑋 ∇ ∇𝑌3 𝑌2 + 𝑌2 , 𝑌3 , Y1 +∇𝑌1 𝐿𝑋 ∇ 𝑌3 , 𝑌2 31 −𝑇 𝑌1 , 𝐿𝑋 ∇ 𝑌3 , 𝑌2 − 𝐿𝑋 ∇ ∇𝑌3 𝑌1 + 𝑌1 , 𝑌3 , 𝑌2 − ∇𝑌2 𝐿𝑋 ∇ 𝑌3 , 𝑌1 + 𝑇 𝑌2 , 𝐿𝑋 ∇ 𝑌3 , 𝑌1 a Bây giờ, với phần tử a đại số G, ta xét ánh xạ  : 𝐹 × 𝐹 ⟶ 𝐹 thõa mãn: a a  X Y = 𝑎∇𝑋 𝑌 + (𝑒 − 𝑎)∇𝑋 𝑌 theo mệnh đề (1.15)  liên thông tuyến tính Ta có mệnh đề sau: a a 2.18 Mệnh đề (Xem [7]) Giả sử ∀ 𝑋, 𝑌 ∈ 𝐹, độ xoắn T liên thông  a đại số G thõa mãn: T ( X , Y ) = (2𝑎 − 𝑒)𝑇 𝑋, 𝑌 Chứng minh: Ta lấy 𝑋, 𝑌 ∈ 𝐹, ∀ 𝑎, 𝑒 ∈ 𝐺 Ta có: a a a T ( X , Y )  X Y  Y X   X , Y  = 𝑎∇𝑋 𝑌 + 𝑒 − 𝑎 ∇𝑋 𝑌 − 𝑎∇𝑌 𝑋 − 𝑒 − 𝑎 ∇𝑌 𝑋 − 𝑋, 𝑌 = 𝑎∇𝑋 𝑌 + 𝑒 − 𝑎 ∇𝑌 𝑋 + 𝑋, 𝑌 − 𝑎∇𝑌 𝑋 − 𝑒 − 𝑎 ∇𝑋 𝑌 + 𝑌, 𝑋 − 𝑋, 𝑌 = 𝑎∇𝑋 𝑌 + 𝑒 − 𝑎 ∇𝑌 𝑋 + 𝑒 − 𝑎 𝑋, 𝑌 − 𝑎∇𝑌 𝑋 − 𝑒 − 𝑎 ∇𝑋 𝑌 + 𝑒 − 𝑎 𝑋, 𝑌 − 𝑋, 𝑌 = 2𝑎 − 𝑒 ∇𝑋 𝑌 − 2𝑎 − 𝑒 ∇𝑌 𝑋 − (2𝑎 − 𝑒) 𝑋, 𝑌 = 2𝑎 − 𝑒 (∇𝑋 𝑌 − ∇𝑌 𝑋 − 𝑋, 𝑌 ) = 2𝑎 − 𝑒 𝑇 𝑋, 𝑌 2.19 Nhận xét a 0 Trong số liên thông  , T liên thông tuyến tính  đại số G định nghĩa phần tử 𝑎 = 𝑒 độ xoắn tự thõa mãn T = 0 Thật vậy, T ( X , Y )   X Y  Y X   X , Y  32 = ∇𝑋 𝑌 + ∇𝑋 𝑌 − ∇𝑋 𝑌 + ∇𝑋 𝑌 − 𝑋, 𝑌 1 = 𝑇 𝑋, 𝑌 + 𝑇(𝑋, 𝑌) 2 = 𝑇 𝑋, 𝑌 + 𝑇 𝑋, 𝑌 = 𝑇 𝑋, 𝑌 − 𝑇 𝑋, 𝑌 = 0 ⟹ T = 2.20 Mệnh đề Giả sử 𝑋, 𝑌, 𝑍 ∈ 𝐹 ∇ liên thông tuyến tính G, ta có: a ( LX )(Y , Z ) = 𝑎𝐿𝑋 ∇ 𝑌, 𝑍 + 𝑒 − 𝑎 𝐿𝑋 ∇ 𝑍, 𝑌 Chứng minh: Với ∀ 𝑋, 𝑌, 𝑍 ∈ 𝐹, 𝑒, 𝑎 ∈ 𝐺 Ta có: a a a a ( LX )(Y , Z )  LX (Y Z )  Y ( LX Z )   X ,Y  Z = 𝐿𝑋 𝑎∇𝑌 𝑍 + (𝑒 − 𝑎)∇𝑌 𝑍 − 𝑎∇𝑌 𝐿𝑋 𝑍 − 𝑒 − 𝑎 ∇𝑌 𝐿𝑋 𝑍 − 𝑎∇ 𝑋,𝑌 𝑍 − (𝑒 − 𝑎)∇ 𝑋,𝑌 𝑍 = 𝑎𝐿𝑋 ∇𝑌 𝑍 + 𝑒 − 𝑎 𝐿𝑋 ∇𝑍 𝑌 + 𝑋, 𝑌, 𝑍 − 𝑒 − 𝑎 ∇𝐿𝑋 𝑍 𝑌 + 𝑌, 𝑋, 𝑍 − 𝑎∇𝑌 𝐿𝑋 𝑍 − 𝑎∇ 𝑋,𝑌 𝑍 − 𝑒 − 𝑎 ∇𝑍 𝐿𝑋 𝑌 + 𝑋, 𝑌 , 𝑍 = 𝑎 𝐿𝑋 ∇𝑌 𝑍−∇𝑌 𝐿𝑋 𝑍 − ∇ 𝑋,𝑌 𝑍 + 𝑒 − 𝑎 𝐿𝑋 ∇𝑍 𝑌 − ∇𝑍 𝐿𝑋 𝑌 − ∇𝐿𝑋 𝑍 𝑌 + 𝑒−𝑎 𝑋, 𝑌, 𝑍 + 𝑌, 𝑍, 𝑋 + 𝑍, 𝑋, 𝑌 = 𝑎𝐿𝑋 ∇ 𝑌, 𝑍 + 𝑒 − 𝑎 𝐿𝑋 ∇ 𝑍, 𝑌 a Đạo hàm Lie độ xoắn T xác định công thức: a a a ( LX T )(Y , Z )  ( LX )(Y , Z )  ( LX )( Z , Y ) Ta có mệnh đề: 33 2.21 Mệnh đề Giả sử ∀ 𝑋, 𝑌, 𝑍 ∈ 𝐹 ∇ liên thông tuyến tính G, ta có: a 𝐿𝑋 T 𝑌, 𝑍 = 2𝑎 − 𝑒 𝐿𝑋 ∇ 𝑍, 𝑌 − 𝐿𝑋 ∇ 𝑌, 𝑍 Chứng minh: Với ∀ 𝑋, 𝑌, 𝑍 ∈ 𝐹; ∀ 𝑎, 𝑒 ∈ 𝐺, ta có: a a a ( LX T )(Y , Z )  ( LX )(Y , Z )  ( LX )( Z , Y ) = 𝑎𝐿𝑋 ∇ 𝑌, 𝑍 + 𝑒 − 𝑎 𝐿𝑋 ∇ 𝑍, 𝑌 − 𝑎𝐿𝑋 ∇ 𝑍, 𝑌 − (𝑒 − 𝑎)𝐿𝑋 ∇ 𝑌, 𝑍 = 2𝑎 − 𝑒 𝐿𝑋 ∇ 𝑌, 𝑍 − 2𝑎 − 𝑒 𝐿𝑋 ∇ 𝑍, 𝑌 = (2𝑎 − 𝑒)𝐿𝑋 ∇ 𝑌, 𝑍 − 𝐿𝑋 ∇ 𝑍, 𝑌 = 2𝑎 − 𝑒 𝐿𝑋 ∇ 𝑍, 𝑌 − 𝐿𝑋 ∇ 𝑌, 𝑍 34 KẾT LUẬN Trong luận văn trình bày nội dung sau: 1) Chứng minh chi tiết số tính chất đại số liên thông tuyến tính đại số (mệnh đề (1.5), mệnh đề (1.12), mệnh đề (1.14), mệnh đề (1.15)) 2) Phát biểu chứng minh mệnh đề (1.15) hệ thức hai liên thông tuyến tính đại số 3) Chứng minh chi tiết số tính chất đạo hàm Lie liên thông tuyến tính đại số (mệnh đề (2.3), mệnh đề (2.4), mệnh đề (2.7), mệnh đề (2.8), mệnh đề (2.9), mệnh đề (2.12), mệnh đề (2.20)) 4) Phát biểu chứng minh mệnh đề (2.16) đạo hàm Lie 𝑇 5) Phát biểu chứng minh mệnh đề (2.17) đạo hàm Lie 𝑅 a 6) Phát biểu chứng minh mệnh đề (2.20) đạo hàm Lie  a 7) Phát biểu chứng minh mệnh đề (2.21) đạo hàm Lie T Trong thời gian tới tiếp tục nghiên cứu đạo hàm Lie độ cong đối a với liên thông  đại số 35 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt : [1] Khu Quốc Anh - Nguyễn Doãn Tuấn ( 2004), Lý thuyết liên thông hình học Rieman, NXB Đại học Sư phạm [2] Ngô Thúc Lanh (1982), Đại số - Giáo trình sau đại học, Nhà xuất giáo dục [3] Tạ Thị Thanh Liên (2011), Đạo hàm Lie liên thông tuyến tính, Luận văn thạc sĩ Toán học, Đại học Vinh [4] Nguyễn Hữu Quang (2007), Bài giảng Đa tạp khả vi, Đại học Vinh [5] Nguyễn Hữu Quang (2005), Bài giảng Đại số Lie nhóm Lie, Đại học Vinh [6] Đặng Văn Thân (2012), Đạo hàm Lie độ cong độ xoắn, Luận văn thạc sĩ Toán học, Đại học Vinh Tiếng Anh : [7] A.Ya.Sultanov(2010), Derivations of linear algebras and linear connections, Journal of Mathematical Sciences, Vol.169, No.3, pp 376 – 391 36 [...]... trên G: ∇= 𝜑∇1 + 𝜓∇2 khi và chỉ khi 𝜑 + 𝜓 = 1 Thật vậy, ta xét: 𝑒 = 1 ∶ ℝ𝑛 → ℝ, 𝑥 ↦1 thì 𝑒 là đơn vị của G 15 CHƢƠNG II ĐẠO HÀM LIE CỦA ĐỘ CONG, ĐỘ XOẮN TRÊN ĐẠI SỐ Nội dung của chương này là nội dung chính của luận văn bao gồm: một số khái niệm, tính chất cơ bản, ví dụ về đạo hàm Lie của liên thông tuyến tính, liên thông tuyến tính cảm sinh trên đại số, phép đạo hàm Lie của độ cong, độ xoắn trên đại. .. 𝑌2 , 𝑌3 ∈ 𝐹 Khi đó 𝐿𝑋 𝑅 được gọi là đạo hàm Lie của độ cong R trên đại số G c) Độ xoắn trên đại số G đó là ánh xạ T: 𝐹 × 𝐹 ⟶ 𝐹 24 (𝑋, 𝑌) ⟼ 𝑇(𝑋, 𝑌) với 𝑇 𝑋, 𝑌 = ∇𝑋 𝑌 − ∇𝑌 𝑋 − 𝑋, 𝑌 ; ∀ 𝑋, 𝑌 ∈ 𝐹 d) Xét ánh xạ 𝐿𝑋 𝑇: 𝐹 × 𝐹 ⟶ 𝐹 (𝑌, 𝑍) ⟼ 𝐿𝑋 𝑇(𝑌, 𝑍) với 𝐿𝑋 𝑇 𝑌, 𝑍 = 𝐿𝑋 𝑇 𝑌, 𝑍 − 𝑇 𝑌, 𝐿𝑋 𝑍 − 𝑇 𝐿𝑋 𝑌, 𝑍 ; ∀ 𝑋, 𝑌, 𝑍 ∈ 𝐹 Khi đó 𝐿𝑋 𝑇 được gọi là đạo hàm Lie của độ xoắn T trên đại số G 2.11 Nhận xét Giả sử ∀ 𝑋, 𝑌, 𝑍... Lie của độ cong, độ xoắn trên đại số Trong suốt chương này, ta giả thiết G là đại số giao hoán, kết hợp, có đơn vị e và ∇ là liên thông tuyến tính trên G Ta ký hiệu 𝐹 = 𝑋 𝑋 là đạo hàm trên đại số G} và 𝐿𝑋 𝑌 = 𝑋, 𝑌 I Đạo hàm Lie của liên thông tuyến tính trên đại số 2.1 Định nghĩa (Xem [7]) Giả sử 𝑋, 𝑌, 𝑍 ∈ 𝐹 Với 𝑋 ∈ 𝐹, ánh xạ 𝐿𝑋 ∇ : 𝐹 × 𝐹 ⟶ 𝐹 được gọi là đạo hàm Lie của liên thông tuyến tính ∇ theo... đơn vị của 𝐴𝑢𝑡 𝐺 Ta lấy bất kỳ 𝜑 ∈ 𝐴𝑢𝑡 𝐺, tức là 𝜑 đẳng cấu đại số: 𝐺 ⟶ 𝐺 Theo chứng minh trên thì 𝜑 −1 là đẳng cấu đại số: 𝐺 ⟶ 𝐺 và 𝜑𝜑 −1 𝑥 = 𝑥 = 𝑒 𝑥 ; ∀ 𝑥 ∈ 𝐺 hay 𝜑𝜑 −1 = 𝑒 Do đó 𝜑 −1 là phần tử nghịch đảo của 𝐴𝑢𝑡 𝐺 II Phép đạo hàm trên đại số 1.9 Định nghĩa ( Xem 7 ) Giả sử G là đại số trên ℝ Ánh xạ 𝑋: 𝐺 ⟶ 𝐺 𝑎 ⟼ 𝑋(𝑎) được gọi là đạo hàm trên G nếu và chỉ nếu X thoã mãn: a) X là ánh xạ tuyến tính:... 𝑋, 𝑍 + 𝑋 𝑌 𝜑 𝑍 − 𝑌 𝜑 𝑋, 𝑍 − 𝑌 𝑋 𝜑 𝑍 − 𝑋, 𝑌 𝜑 𝑍 = 𝜑 𝐿𝑋 ∇ 𝑌, 𝑍 + 𝑋 𝑌 𝜑 𝑍 − 𝑌 𝑋 𝜑 𝑍 − 𝑋, 𝑌 𝜑 𝑍 = 𝜑 𝐿𝑋 ∇ 𝑌, 𝑍 + 𝑋, 𝑌 𝜑 𝑍 − 𝑋, 𝑌 𝜑 𝑍 = 𝜑 𝐿𝑋 ∇ 𝑌, 𝑍 III Đạo hàm Lie của độ cong, độ xoắn trên đại số 2.10 Định nghĩa (Xem 7 ) a) Độ cong trên đại số G đó là ánh xạ 𝑅: 𝐹 × 𝐹 × 𝐹 ⟶ 𝐹 (𝑋, 𝑌, 𝑍) ⟼ 𝑅(𝑋, 𝑌, 𝑍) với 𝑅 𝑋, 𝑌, 𝑍 = ∇𝑋 ∇𝑌 𝑍 − ∇𝑌 ∇𝑋 𝑍 − ∇ 𝑋,𝑌 𝑍; ∀ 𝑋, 𝑌, 𝑍 ∈ 𝐹 b) Xét ánh xạ 𝐿𝑋 𝑅: 𝐹 × 𝐹 × 𝐹 ⟶ 𝐹 (𝑌1 ,... 𝑋1 (𝑦) = (𝑋1 ∘ 𝑋2 − 𝑋2 ∘ 𝑋1 ) 𝑥 𝑦 + 𝑥 (𝑋1 ∘ 𝑋2 − 𝑋2 ∘ 𝑋1 ) 𝑦 Bây giờ ta ký hiệu 𝐹 = 𝑋 𝑋 là đạo hàm trên đại số G} và ta xét 𝑋1 , 𝑋2 = 𝑋1 ∘ 𝑋2 − 𝑋2 ∘ 𝑋1 ; ∀𝑋1 , 𝑋2 ∈ 𝐹 Như vậy với phép toán này thì F là một đại số Khi đó ta có mệnh đề sau: 1.12 Mệnh đề F là một đại số Lie Chứng minh: Để chứng minh F là đại số Lie, ở đây, ta kiểm tra 2 tính chất sau: +) Với ∀ 𝑋1 , 𝑋2 ∈ 𝐹, ta có: 𝑋1 , 𝑋2 = 𝑋1 ∘ 𝑋2 − 𝑋2... Khi đó ∇ được gọi là một liên thông tuyến tính trên đại số G và ∇𝑋 𝑌 được gọi là đạo hàm của trường véc tơ Y dọc theo X đối với  1.14 Mệnh đề (Xem [1]) Giả sử G = F(ℝ𝑛 ), F = B(ℝ𝑛 ), và ∇ là liên thông tuyến tính trên đại số G, S là ánh xạ song tuyến tính từ: 𝐹 × 𝐹 ⟶ 𝐹 Khi đó ∇ + 𝑆 là liên thông tuyến tính trên đại số G Chứng minh: Ta kiểm tra các tiên đề của một liên thông tuyến tính: T1: ∇𝑋 𝑌 + 𝑍... đại số trên trường ℝ * Ta có 𝐺 ≅ 𝐺 vì có 𝜑 = 𝑖𝑑 * Giả sử 𝐺 ≅ 𝐺′ , với đẳng cấu đại số 𝜑 ∶ 𝐺 ⟶ 𝐺 ′ Khi đó 𝜑 −1 : 𝐺′ ⟶ 𝐺 cũng là một đẳng cấu Do đó 𝐺′ ≅ 𝐺 * Giả sử 𝐺 ≅ 𝐺′, với đẳng cấu đại số 𝜑 ∶ 𝐺 ⟶ 𝐺′, 𝐺 ≅ 𝐺′′, với đẳng cấu đại số 𝜓 ∶ 𝐺 ′ ⟶ 𝐺 ′′ Ta có 𝜙 = 𝜓°𝜑 là một đẳng cấu đại số 𝐺 ⟶ 𝐺′′ b) * Tích các ánh xạ có tính chất kết hợp * Ta có : 𝑒 = 𝑖𝑑 , 𝑖𝑑 ∶ 𝐺 ⟶ 𝐺 𝑎⟼𝑎 Như vậy id là phần tử đơn vị của. .. iđean của G Chú ý:  𝜑 được gọi là đẳng cấu đại số nếu và chỉ nếu 𝜑 là một đồng cấu đại số và 𝜑 là một song ánh  Hai đại số G và G’ được gọi là đẳng cấu với nhau nếu tồn tại một đẳng cấu đại số 𝜑: 𝐺 ⟶ 𝐺 ′ Trong trường hợp này ta viết 𝐺 ≅ 𝐺′ 1.8 Mệnh đề ( Xem 5 ) a) Quan hệ đẳng cấu giữa các đại số là một quan hệ tương đương b) 𝐴𝑢𝑡 𝐺 = { 𝜑 | 𝜑 tự đẳng cấu đại số 𝐺 ⟶ 𝐺 ′ } lập thành một nhóm với phép... (𝑋3 ∘ 𝑋1 − 𝑋1 ∘ 𝑋3 ) = 𝑋3 ∘ 𝑋1 ∘ 𝑋2 − 𝑋1 ∘ 𝑋3 ∘ 𝑋2 − 𝑋2 ∘ 𝑋3 ∘ 𝑋1 + 𝑋2 ∘ 𝑋1 ∘ 𝑋3 (6) Cộng vế theo vế của (4), (5) và (6) ta được: 𝑋1 , 𝑋2 , 𝑋3 + 𝑋2 , 𝑋3 , 𝑋1 + 𝑋3 , 𝑋1 , 𝑋2 = 0 III Liên thông tuyến tính trên đại số Ta ký hiệu 𝐹 = 𝑋 𝑋 là đạo hàm trên đại số G} 1.13 Định nghĩa (Xem 1 ) Giả sử G là đại số giao hoán, có đơn vị và ∇ là một ánh xạ: 𝐹 × 𝐹 ⟶ 𝐹 (𝑋, 𝑌) ⟼ ∇𝑋 𝑌 thõa mãn các điều kiện sau: T1 ∇𝑋 ... đại số, phép đạo hàm Lie độ cong, độ xoắn đại số Chương gồm ba phần sau: I Đạo hàm Lie liên thông tuyến tính đại số II Liên thông tuyến tính cảm sinh đại số III Đạo hàm Lie độ cong, độ xoắn đại. .. cụ đạo hàm Lie, trình bày số tính chất đạo hàm Lie hàm độ cong, độ xoắn đại a số G theo liên thông tuyến tính ∇ ; a  G Vì vậy, luận văn này, khảo sát phép đạo hàm Lie độ cong độ xoắn đại số. .. chất đại số, đại số Lie, đồng cấu đại số, phép đạo hàm đại số, liên thông tuyến tính đại số Nội dung chương phục vụ cho việc trình bày phép đạo hàm Lie độ cong, độ xoắn đại số chương sau Chương