Độ cong và độ xoắn trên đại số

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINHNGUYỄN HỮU NAM ĐỘ CONG VÀ ĐỘ XOẮN TRÊN ĐẠI SỐ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC... TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINHNGUYỄN HỮU NAM ĐỘ CONG VÀ ĐỘ XOẮN TRÊN ĐẠI SỐ CHUYÊN NGÀNH: HÌNH HỌC -TÔP

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN HỮU NAM

ĐỘ CONG VÀ ĐỘ XOẮN

TRÊN ĐẠI SỐ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGHỆ AN - 2014

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN HỮU NAM

ĐỘ CONG VÀ ĐỘ XOẮN

TRÊN ĐẠI SỐ

CHUYÊN NGÀNH: HÌNH HỌC -TÔPÔ

MÃ SỐ: 60.46.01.05

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

PGS TS NGUYỄN HỮU QUANG

NGHỆ AN - 2014

Trang

LỜI NÓI ĐẦU 1

Chương I ĐẠI SỐ 3

1.1 Đại số 4

1.2 Đại số Lie 5

1.3 Đồng cấu đại số 8

1.4 Ánh xạ ad 12

Chương II ĐỘ CONG VÀ ĐỘ XOẮN TRÊN ĐẠI SỐ 17

2.1 Đạo hàm trên đại số 17

2.2 Liên thông tuyến tính trên đại số 22

2.3 Độ cong và độ xoắn trên đại số 27

KẾT LUẬN 34

TÀI LIỆU THAM KHẢO 35

LỜI NÓI ĐẦU

Hình học Riemann ra đời vào những năm giữa thế kỷ XIX, từ các công trình chủ yếu của Riemann là kết quả chính trong luận án tiến sĩ (1851) và bài giảng bảo vệ chức danh giáo sư (1859) Mối quan tâm của Riemann là các độ cong của không gian, mà chủ yếu là độ cong hằng tại một điểm của không gian

Độ cong và độ xoắn trên đại số là một trong những khái niệm cơ bản của hình học hiện đại, nó có nhiều ứng dụng trong toán học, vật lý và các ngành khoa học kỹ thuật khác, Chính vì vậy, độ cong và độ xoắn trên đại

số được nhiều nhà toán học trong và ngoài nước quan tâm, như :

W.Klingenberg, B.O.Neill, A.Ya.Sultanov, Đỗ Ngọc Diệp,

trên đại số G, chúng tôi trình bày một số khái niệm và tính chất cơ bản về độ cong và độ xoắn trên đại số G

Luận văn được mang tên: Độ cong và độ xoắn trên đại số

Luận văn được trình bày trong hai chương:

Chương I Đại số

Trong chương này, chúng tôi trình bày các khái niệm và chứng minh chi tiết một số tính chất quan trọng của Đại số, đại số Lie, đồng cấu đại số Đây là những kiến thức cơ sở chuẩn bị cho việc trình bày của chương sau Chương I được chia làm bốn phần:

Chương II Độ cong và độ xoắn trên đại số

Đây là chương thể hiện nội dung chính của luận văn.Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm, tính chất cơ bản của đạo hàm trên đại số, liên thông tuyến tính trên đại số và độ cong, độ xoắn trên đại số Chương II được chia làm 3 phần:

2.1 Đạo hàm trên đại số,

2.2 Liên thông tuyến tính trên đại số,

2.3 Độ cong và độ xoắn của đại số

Luận văn được hoàn thành vào tháng 10 năm 2014, tại trường Đại học Vinh với sự hướng dẫn của PGS - TS Nguyễn Hữu Quang Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy, người đã hướng dẫn tận tình tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu

Nhân dịp hoàn thành luận văn, tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong chuyên ngành Hình học – Tôpô; các thầy cô giáo trong khoa Toán, khoa đào tạo Sau đại học của trường Đại học Vinh, đã tận tâm giảng dạy, góp

ý và tạo điều kiện cho tác giả trong quá trình học tập và thực hiện luận văn Tác giả cũng tỏ lòng biết ơn các bạn trong lớp cao học 20, các đồng nghiệp trường THPT Nam Đàn I, bạn bè và gia đình đã động viên, giúp đỡ trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn

Vinh, tháng 10 năm 2014

Tác giả

Chương I

ĐẠI SỐ

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm và tính chất cơ bản của đại số, đại số Lie và đồng cấu đại số Cũng trong chương này, ta luôn

Một mô đun G trên K, đó là một nhóm cộng Aben cùng với phép nhân:

+) Giả sử M là một đa tạp khả vi thực, n chiều

Khi đó : T (M) là một vành giao hoán có đơn vị e

Chú ý: * Mỗi phần tử của môđun G được gọi là một véc tơ

* Giao của một họ các môđun con của G cũng là một mô đun con của G.

Giả sử G là một mô đun trên K, G được gọi là một đại số trên K , nếu

G được trang bị một phép toán mới ( phép tích trong) :

n

ik kj k

được gọi là đại số giao hoán.

được gọi là đại số kết hợp.

* Trong suốt luận văn này, ta luôn giả thiết G là một đại số kết hợp

Một đại số G trên K được gọi là đại số Lie nếu phép toán tích trong

(phép tích trong được kí hiệu : [,] ( móc Lie),

( , )a b a [ , ]a b , thỏa mãn thêm hai tiên đề sau :

b) [ ]a b c, ,   + [ ]b c a, ,   + [ ]c a b, ,  =0 ;∀a b c G, , ∈ (hệ thức Jacobi của móc Lie)

Chú ý: * Mọi đại số tầm thường G( [a, b] = 0; ∀a b G, ∈ ) đều là đại số Lie

* Số chiều của đại số Lie là số chiều của môđun G

* Với G là không gian véc tơ hữu hạn chiều trên trường R và dim G= n, cấu trúc của đại số Lie G được xác định bởi tích Lie của từng cặp véc tơ thuộc

1) Cho G là đại số trên K , với tích Lie được cho bởi :

[ ]a b, =ab ba− ;∀a b G, ∈ Khi đó, G là một đại số Lie

Thật vậy: Ta đã biết G cùng 3 phép toán : phép cộng trên K; phép nhân

G với K; phép tích trong là một đại số

Ở đây, để chứng tỏ G là đại số Lie, ta chỉ việc kiểm tra 2 tính chất: phản xứng và Jacobi của tích Lie :

+ ∀a b G, ∈ , ta có: [a, b] = ab – ba = - ( ba – ab) = – [b,a]

+ ∀a b c G, , ∈ , ta có : [[ , ],a b c = [ , ].] a b c c a b− [ , ]

= (ab – ba)c – c(ab – ba)

= abc – bac – cab + cba (1)

Tương tự ta cũng có :

[[ , ],c a b = cab – acb – bca + bac ] (3)

Từ (1), (2), (3) ta có : [[ , ],a b c + ] [[ , ],b c a + ] [[ , ],c a b = 0 ]

Thật vậy :

với ∀a b c R, , ∈ 3 : a(a1, a2, a3), b(b1, b2, b3), c(c1, c2, c3) dễ dàng kiểm tra được :

được cho bởi : [A, B] = A.B – B.A là một đại số Lie

Thật vậy, với phép cộng và phép nhân thông thường các ma trận và tích

Bây giờ ta kiểm tra 2 tính chất của tích Lie:

ABC BAC CAB CBA BCA CBA ABC

ACB CAB ACB BCA BAC

1.2.3 Nhận xét Cho G là đại số Lie, khi đó ∀x y z G, , ∈ , thì :

đồng cấu đại số nếu : * f( g1+ g2) = f(g1)+f(g2) ; ∀g g1, 2∈G ,

* f(λg1) =λf(g1) ; ∀ ∈g1, G, λ∈K ,

Như vậy :

- Một đồng cấu đại số là một ánh xạ bảo tồn các phép toán trên đại số

- Một đồng cấu đại số f vừa là song ánh thì f được gọi là đẳng cấu đại số

- Nếu có một đẳng cấu từ G đến G’, khi đó ta nói G đẳng cấu với G’ và viết G ~ G’

1.3.2 Nhận xét Giả sử f là một đồng cấu đại số : G → G’, khi đó :

a) ker f ={g G f g∈ ( ) 0= } là iđêan của G

b) Im f ={g'∈G g' ' = f g( ),∀ ∈g G} là các đại số con của G’

= 1

1( ')

Giả sử N và H là hai tập con của G, ta ký hiệu [N, H] một mô đun con

- Một Iđêan N cực đại của G thỏa mãn [G, N] = 0, thì N được gọi là

tâm của G và được kí hiệu T(G)

Ta nhận thấy rằng : Mỗi Iđêan của G là một đại số Lie con của G

Đặc biệt T(G) là một đại số Lie con giao hoán của G

'

1.3.6.Mệnh đề

Giả sử V là không gian véc tơ trên trường số thực R Khi đó

Thật vậy :

* Rõ ràng EndV là một không gian véc tơ trên R.

* EndV là một đại số:

= f1 og – gof1 + f2 og – gof2 = [f1,g] + [f2,g] ,

Chương 2

ĐỘ CONG VÀ ĐỘ XOẮN TRÊN ĐẠI SỐ

2.1 ĐẠO HÀM TRÊN ĐẠI SỐ

Chú ý: Từ ví dụ này, ta nhận thấy rằng phép đạo hàm trên R không 3duy nhất.

[[X ,2 X3],X = 1] X X X2° 3° 1−X X X3° 2° 1−X X X1° 2° 3+ X X X1° 3° 2 (2)

[[X ,3 X X = 1], 2] X X X3° 1° 2 −X X X1° 3° 2 −X X X2° 3° 1+ X X X2° 1° 3 (3) Cộng từng vế của (1), (2), (3) :

[[X ,1 X2],X + 3] [[X ,2 X3],X + 1] [[X ,3 X X = 0 1], 2] W

2.1.5 Định lý

ya [ ]x y, , là ánh xạ đạo hàm.

Hệ quả: Kí hiệu Ga = {ad x G x ∈ } , thì Ga là một Iđêan của F

[X, ad ] = x ad X x( ) ⇒ [X, ad x]∈G a ⇒ [F, Ga] ⊂ Ga.

Ga được gọi là đại số liên kết của đại sốLie G.

2.2 LIÊN THÔNG TUYẾN TÍNH TRÊN ĐẠI SỐ.

Trong mục này, ta luôn giả thiết G là đại số giao hoán trên K và G có

2.2.1 Mệnh đề

Chứng minh : +) aX( x + y) = a.X( x + y)

Thật vậy, G là đại số trên R ( thỏa 3 tiên đề của định nghĩa), bây giờ ta

= ( X Y[ϕ 1],X[ Y ], ,X[ Y ]ϕ 2 ϕ n )

= X[ ](Y , , , )ϕ 1 Y2 Y n +ϕ X[Y ],X[Y ], ,X[Y ]( 1 2 n )

Nhận xét : G = T(R3) = { f : R3 →R, f khả vi } , ∇X Y =D Y X +(X Y∧ )

2.2.4 Định lý

∇ = ∇ + ∇ là liên thông đại số trên G

2.2.5 Nhận xét * Tổng của hai liên thông tuyến tính trên đại số chưa chắc

đã là một liên thông tuyến tính trên đại số đó

đạo hàm trên mô đun F( F là mô đun trên G)

2.3 ĐỘ CONG VÀ ĐỘ XOẮN TRÊN ĐẠI SỐ

Trong mục này, chúng tôi trình bày một số khái niệm và tính chất cơ bản của độ cong và độ xoắn trên đại số G

tuyến tính trên G

= ( o∇X Y S X Y+ ( , )) (− ∇o Y X +S Y X( , ))−[X Y, ] = o∇X Y − ∇o Y X −[ X Y, ]

= o ( , );T X Y ∀X Y F, ∈

3) [D D X, Y]( )Z = D[X Y, ]Z ; ∀ ∈Z B (R ) n

2.3.8 Mệnh đề

D (R ) cùng ba phép trên lập thành một đại số Lie trên R n

mô đun trên R

Bây giờ ta kiểm tra các tiên đề của các phép toán (3)

Ta tiếp tục kiểm tra tính chất phản xứng và Jacôbi của phép toán (3): +) [D D X, Y]( )Z = D[X Y, ]Z

KẾT LUẬN

Trong luận văn này chúng tôi đã làm được một số kết quả như sau:

1) Trình bày hệ thống các khái niệm và tính chất của đại số, đồng cấu đại

số, chứng minh chi tiết các tính chất của đại số Lie và đồng cấu Lie (mệnh đề 1.3.6., mệnh đề 1.4.5.)

2) Trình bày và chứng chi tiết một sốvà khái niệm tính chất về đạo hàm trên đại số, liên thông tuyến tính trên đại số, độ cong và độ xoắn trên đại số 3) Phát biểu và chứng minh tính chất về đạo hàm

X x

ad X F∈ ∀ ∈x G (mệnh đề 2.1.6).

2.3.7.c)

Trong thời gian tới, chúng tôi tiếp tục nghiên cứu các tính chất hình học trên đại số Banach hữu hạn chiều

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tiếng Việt:

[1] Khu Quốc Anh, Nguyễn Doãn Tuấn (2003),Lý thuyết liên thông và hình

Hoc Riemann, Nxb Đại học Sư phạm.

[2] Đặng Thị Hạnh (2013), Đạo hàm Lie của độ cong, độ xoắn trên đại số,

Luận văn Thạc sĩ, Đại học Vinh

[3] Nguyễn Hữu Quang (2005), Bài giảng Đại số Lie và nhóm Lie, Đại học

Vinh

[4] Nguyễn Hữu Quang (2005), Mở đầu hình học Riemann, Đại học Vinh [5] Nguyễn Thị Diệu Thúy (2006), Về các độ cong và độ xoắn trên đa tạp

Riemann,Luận văn thạc sĩ, Đại học Vinh.

[6] Đoàn Quỳnh (2003), Hình học vi phân, Nxb Đại học Sư phạm.

[7] Lê Thị Thơm (2009), Độ cong và độ xoắn trên đa tạp Riemann, Luận

văn Thạc sĩ, Đại học Vinh

[8] Đặng văn Thân (2012), Đạo hàm Lie của độ cong và độ xoắn, Luận văn

thạc sĩ, Đại học Vinh

Tiếng Anh:

connections, Journal of Mathematical Sciences, Vol.169, No.3.