Đạo hàm Lie của độ cong và độ xoắn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH -@&? - ĐẶNG VĂN THÂN ĐẠO HÀM LIE CỦA ĐỘ CONG VÀ ĐỘ XOẮN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGHỆ AN - 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH -@&? - ĐẶNG VĂN THÂN ĐẠO HÀM LIE CỦA ĐỘ CONG VÀ ĐỘ XOẮN CHUYÊN NGÀNH: HÌNH HỌC - TÔ PÔ Mã số: 60.46.10 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS TS NGUYỄN HỮU QUANG NGHỆ AN - 2012 MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU……………………………………………………………….…………………………………….… CHƯƠNG I ĐỘ CONG VÀ ĐỘ XOẮN TRÊN ĐA TẠP KHẢ VI … I Đa tạp khả vi…………………………….………………………………………………………………….……… II Liên thông tuyến tính đa tạp khả vi………………………………….…………………… III Độ cong độ xoắn đa tạp khả vi…………………………………….……… ……… CHƯƠNG II ĐẠO HÀM LIE CỦA ĐỘ CONG VÀ ĐỘ XOẮN…….… I Đạo hàm Lie liên thông tuyến tính………………………………………………………… II Đạo hàm Lie độ cong độ xoắn………………………….……………………… ……… KẾT LUẬN……………………………………………………………………………………….…………………… TÀI LIỆU THAM KHẢO………………………………………………………………………………… Trang 3 13 22 22 26 32 33 LỜI NÓI ĐẦU Như ta biết, đạo hàm công cụ quan trọng việc khảo sát toán cực trị hình học đạo hàm Lie công cụ quan trọng để nghiên cứu tính chất hình học đa tạp khả vi Trong thập niên gần đây, nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu có nhiều tài liệu viết đạo hàm Lie độ cong độ xoắn như: Khu Quốc Anh - Nguyễn Doãn Tuấn với tài liệu - Lý thuyết liên thông hình học Riemann; Đoàn Quỳnh với tài liệu Hình học vi phân, Nguyễn Hữu Quang với tài liệu - Bài giảng Đại số Lie nhóm Lie; Sultanov.A.Ya với tài liệu - Derivations of linear algebras and lianear connections Mục đích luận văn trình bày chi tiết có hệ thống số kiến thức đạo hàm Lie độ cong đạo hàm Lie độ xoắn đa tạp khả vi Do luận văn mang tên: “ Đạo hàm Lie độ cong độ xoắn” Luận văn trình bày hai chương: Chương Độ cong độ xoắn đa tạp Trong chương này, trình bày định nghĩa, ví dụ số tính chất đa tạp khả vi, liên thông tuyến tính độ cong độ xoắn đa tạp Đây kiến thức sở để chuẩn bị cho việc trình bày chương sau Chương I chia làm ba phần I Đa tạp khả vi II Liên thông tuyến tính đa tạp khả vi III Độ cong độ xoắn Chương Đạo hàm Lie độ cong độ xoắn Chương nội dung luận văn Trong chương này, trình bày chi tiết khái niệm tính chất, ví dụ đạo hàm Lie liên thông tuyến tính đạo hàm Lie độ cong đạo hàm Lie độ xoắn Chương II chia làm phần I Đạo hàm liên thông tuyến tính II Đạo hàm Lie độ cong độ xoắn Luận văn hoàn thành vào tháng 10 năm 2012 trường Đại học Vinh hướng dẫn PGS – TS Nguyễn Hữu Quang Tác giả xin bày tỏ long biết ơn sâu sắc tới Thầy, người hướng dẫn tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Nhân dịp hoàn thành luận văn, tác giả xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo môn Hình học - Tôpô, thầy cô khoa Toán, khoa đào tạo Sau đại học - Trường Đại học Vinh, nhiệt tình giảng dạy, góp ý tạo điều kiện cho tác giả trình học tập thực luận văn Cũng này, tác giả xin chân thành cảm ơn bạn bè, gia đình động viên, giúp đỡ tác giả suốt trình học tập hoàn thành luận văn./ Vinh, tháng 10 năm 2012 Tác giả CHƯƠNG I ĐỘ CONG VÀ ĐỘ XOẮN TRÊN ĐA TẠP Trong chương này, trình bày số tính chất độ cong độ xoắn đa tạp khả vi I.Đa tạp khả vi 1.1 Định nghĩa Giả sử M T2 - không gian với sở đếm được, U tập mở M, V tập mở Rn ánh xạ ϕ : U → V đồng phôi ( U,ϕ ) gọi đồ M Chú ý: - Với p ∈ U, ϕ ( p ) = ( x1 , x2 , , xn ) Khi ( x1 , x2 , , xn ) gọi tọa độ địa phương p ( U,ϕ ) ( ( U,ϕ ) gọi hệ tọa độ địa phương M) - Một điểm p thuộc nhiều đồ M, p có nhiều tọa độ địa phương khác 1.2 Ví dụ 2 Trong ¡ , ta lấy M = S1 = { ( x; y ) | x + y = 1} Ta xét U1 = { ( x; y ) | y > 0} ; Rõ ràng U1 tập mở S1 V1 = (-1;1) tập mở ¡ Trong ϕ1 : U1 → V1 ánh xạ đồng phôi (x; y ) a x Như vậy, ( U,ϕ ) đồ S1 Thật vậy: - ϕ1 song ánh: • Ta lấy hai điểm A, B thuộc U1 với A(x1; − x12 ),B(x2 ; − x22 ) với A ≠ B, ta suy x1 ≠ x2 ϕ (A) ≠ ϕ (B) Vậy ϕ1 đơn ánh • Với x ∈ V1 , ta xét điểm A(x; − x ) ∈ U1 , ta có ϕ (A) = x Vậy ϕ1 toàn ánh - Vì ϕ1 phép chiếu lên trục hoành nên ϕ1 liên tục −1 Mặt khác ϕ1 : V1 → U1 x a ( x; − x ) −1 Ta có: ϕ1 = ( ψ 1;ψ ) với ψ ( x) = x ψ ( x) = − x , ∀x ∈ ( −1;1) −1 Từ ψ , ψ liên tục, ta suy ϕ1 liên tục Vậy (U, ϕ ) đồ S1 1.3 Định nghĩa Giả sử (U1, ϕ1 ) (U2, ϕ ) hai đồ M W1 = ( U1 ∩ U ) ≠ φ Khi −1 (U1, ϕ1 ) (U2, ϕ ) gọi phù hợp ánh xạ ϕ 2°ϕ1 vi phôi M W ϕ1 W1 ϕ2 W2 Chú ý: • Ta ký hiệu W1 = ϕ1 (W), W2 = ϕ (W) Khi (U1, ϕ1 ) (U2, ϕ ) phù −1 hợp ánh xạ ϕ 2°ϕ1 : W1 → W2 vi phôi • Nếu U1 ∩ U2 = φ , ta quy ước (U1, ϕ1 ) (U2, ϕ ) phù hợp { U = { ( x; y ) ∈ S1 | x > 0}  V = ( −1;1) Trở lại ví dụ (1.2) xét thêm đồ  ϕ2 : U → V2  ( x; y ) a y  Ta kiểm tra tính phù hợp (U1, ϕ1 ) (U2, ϕ )  W = U1 ∩ U = { ( x; y ) ∈ S1 | x > 0, y > 0} ≠ φ  Ta xét  W1 = ϕ1 (W) = (0;1)  W = ϕ (W) = (0;1)  −1 Khi ta có f = ϕ 2°ϕ1 : W1 → W2 xa − x song ánh khả vi Mặt khác, với y ∈ (0;1) , ta có f −1 ( y ) = ( ϕ 2°ϕ1 ) ( y ) = ( ϕ1°ϕ −1 ) ( y ) = ϕ1 (ϕ −1 ( y )) −1 Vậy f vi phôi hay (U1, ϕ1 ) (U2, ϕ ) hai đồ phù hợp S1 1.4 Định nghĩa i) Giả sử M T2 – không gian Α = { ( U i ;ϕi ) i∈I họ đồ M} Nếu Α thỏa mãn: a) UU i∈I i =M b) ( U i ;ϕi ) ( U j ;ϕ j ) phù hợp, với i ≠ j ta nói Α Atlat M ii) Hai Atlat Α = ( U i ;ϕi ) i∈I , Β= ( V j ;ψ j ) j∈J gọi phù hợp ( U i ;ϕi ) ( V ;ψ ) phù hợp với ∀i; j j j 1.5 Định nghĩa i) Nếu Α Atlat cực đại M (tức Α không nằm bất cứa Atlat nào) Α gọi cấu trúc khả vi M ii) Một T2 – không gian M có cấu trúc khả vi gọi đa tạp khả vi n – chiều Chú ý Trong trình khảo sát tính khả vi đa tạp, ta cần Atlat thích hợp Ta tiếp tục xét M = S1, thêm đồ sau: Trở lại với ví dụ 1.4, ta đặt:  U = { ( x; y ) ∈ S1 | x < 0}  V3 = (−1;1)  ϕ3 : U → V3   ( − − y ; y) a y   U = { ( x; y ) ∈ S1 | y < 0}  V4 = (−1;1)  ϕ : U → V4   (x; − − x ) a x  dễ thấy U Uα = M α =1 hai đồ phù hợp Do ( Uα ;ϕα ) α =1 cấu trúc khả vi S1 Vậy S1 đa tạp khả vi – chiều II Liên thông tuyến tính Trong mục này, ta giả thiết M đa tạp khả vi thực với hệ đồ (U α ;φ α ) α∈ I tôpô M có sở đếm Ta ký hiệu: F(M) = { f : U → R , f khả vi} B(M) = {X| X trường véc tơ tiếp xúc, khả vi M} TpM = { Không gian véc tơ tiếp xúc với M p∈ M} 1.6 Định nghĩa Ánh xạ ∇ : B(M) × B(M) → B(M) (X,Y) a ∇ X Y gọi liên thông tuyến tính M ∇ thỏa mãn điều kiện sau: T1 ∇ X (Y+Z) = ∇ X Y + ∇ X Z; ∀ X, Y, Z ∈ B(M) T2 ∇ X+Y Z = ∇ X Z + ∇ Y Z; ∀ X, Y, Z ∈ B(M) T3 ∇ϕ X Y = ϕ∇ X Y; ϕ ∈ F(M), ∀ X, Y ∈ B(M) T4 ∇ Xϕ Y = X [ ϕ ] Y + ϕ ∇ X Y, ϕ ∈ F(M), ∀ X, Y ∈ B(M) ∇ X Y gọi đạo hàm trường véc tơ Y dọc theo X ∇ 1.7 Ví dụ M đa tạp khả song với trường mục tiêu { E 1, E2, …En} giả sử Y= n n ∑ X [ Y ]E Khi ∇ liên thông tuyến tính ∑ Yi E i , ta đặt ∇ X Y = i=1 i i=1 i Thật vậy: Để chứng minh ∇ liên thông tuyến tính, ta cần chứng minh ∇ thỏa mãn tính chất liên thông tuyến tính T1: ∇ X (Y+Z) = = ∑ ( X [ Y +Z ] ) E n i=1 i i n ∑ (X [ Y ]E +X [ Z ] E ) i=1 = i i i i n n i=1 i=1 i ∑ X [ Yi ]E i +∑ X [ Zi ]E i = ∇ X Y + ∇ X Z; ∀ X, Y, Z ∈ B(M) T2: ∇ X+Y Z = n ∑ (X+Y) [ Z ]E i=1 n i i = ∑ (X [ Zi ] E i +Y [ Zi ] E i ) i=1 19 T1: ∇ (X + X') Y = ∇ (X + X') Y - T(X + X', Y) = ∇ X Y + ∇ X'Y = ∇ X Y + ∇ X'Y - 1 ∇ X + X' Y + ∇ Y (X + X') + [ X + X', Y ] 2 1 1 1 ∇ X Y - ∇ X' Y+ ∇ Y X + ∇ Y X' + [ X, Y ] + [ X', Y ] 2 2 2 = ∇XY - 1 1 1 ∇ X Y + ∇ Y X + [ X, Y ] + ∇ X'Y- ∇ X' Y + ∇ Y X' + [ X', Y ] 2 2 2 = ∇XY - 1 (∇ X Y - ∇ Y X - [ X, Y ] )+ ∇ X'Y- (∇ X' Y - ∇ Y X' - [ X', Y ] ) 2 = ∇XY - 1 T(X, Y) + ∇ X'Y- T(X' , Y) 2 Vậy: ∇ (X + X') Y = ∇ X Y - 1 T(X, Y) + ∇ X'Y- T(X' , Y) 2 = ∇ X Y + ∇ X' Y T2: ∇ X (Y + Y') = ∇ X (Y + Y') - T(X, Y + Y') = ∇ X Y + ∇ X Y' = ∇ X Y + ∇ X Y' = ∇XY - 1 T(X, Y) - T(X, Y') 2 1 (∇ X Y - ∇ Y X - [ X, Y ] ) - (∇ X Y' - ∇ Y'X - [ X, Y'] ) 2 1 (∇ X Y - ∇ Y X - [ X, Y ] ) + ∇ X Y' - (∇ X Y' - ∇ Y'X - [ X, Y'] ) 2   =  ∇ X Y - T(X, Y) ÷ +      ∇ X Y' - T(X, Y') ÷   = ∇ X Y + ∇ X Y' T3: ∇ X (φY) = ∇ X (φY) - T(X, φY) 20 = X[ φ ]Y + φ∇ X Y - φT(X, Y)   = X[ φ ]Y + φ  ∇ X Y - T(X, Y) ÷   = X[ φ ]Y + φ∇ X Y Vậy: ∇ X (φY) = X[ φ ]Y + φ∇ X Y Vậy ∇ liên thông tuyến tính M Cuối ta tính T = 0, ta có: T(X, Y) = ∇ X Y - ∇ Y X - [ X, Y ]   =  ∇ X Y - T(X, Y) ÷     =  ∇ X Y - (∇ X Y - ∇ Y X - [ X, Y ] ) ÷      ∇ Y X - T(X, Y) ÷ - [ X, Y ]      ∇ Y X - (∇ Y X - ∇ X Y - [ X, Y ] ÷   - [ X, Y ] 1   =  ∇ X Y - ∇ X Y + ∇ Y X + [ X, Y ] ) ÷ 2   1    ∇ Y X - ∇ Y X + ∇ X Y + [ X, Y ] ÷ 2   - [ X, Y ] = ∇XY - 1 1 1 ∇ X Y + ∇ Y X + [ X, Y ] ) - ∇ Y X + ∇ Y X - ∇ X Y - [ X, Y ] 2 2 2 - [ X, Y ] = ∇XY - ∇YX + ∇ YX - ∇XY + D XX - DYY = Do T = Vậy ∇ liên thông tuyến tính cần tìm 21 CHƯƠNG II ĐẠO HÀM LIE CỦA ĐỘ CONG VÀ ĐỘ XOẮN I Đạo hàm Lie liên thông tuyến tính 2.1 Định nghĩa Cho X, Y, Z ∈ B(M) a) LX(Y) : = [X, Y] b) Ánh xạ L X∇ : B(M) × B(M) → B(M) gọi đạo hàm Lie liên thông tuyến tính ∇ ( LX ∇ )(Y, Z) = LX( ∇ Y Z) - ∇ Y ( LXZ) - ∇[ X , Y] Z 2.2 Ví dụ Trong R2, với X(2x; y), Y(x; xy) Z(xy, x2y) Tính (LX∇)(Y,Z) với ∇= D thông thường Giải: Áp dụng công thức ∇ = D, ∇XY = DXY, [X,Y] = DXY - DYX DXY = (X[Y1], X[Y2]) với (LXD)(Y,Z) = LX(DYZ) – DY(LXZ) – D[X,Y]Z = [X, ∇YZ] – DY[X,Z] - D[X,Y]Z Ta có: 22 + DYZ = (xy +x2y; 2x2y + x3y) nên [X, ∇yZ] = (xy +3x2y; 8x2y + 6x3y) + [X, Y] = (0; 2xy) nên D[X,Y]Z = (2x2y; 2x3y) + [X, Z] = (xy; 4x2y) nên DY([X,Z]) = (x2y + xy; 8x2y + 4x3y) Vậy: (LX∇)(Y,Z) = 2.3 Nhận xét M = Rn, ∇ = D (LXD)(Y, Z) = Thật vậy: Ta có, theo định nghĩa 2.1 ta có: (L X D)(Y,Z) = L X (D Y Z) - D Y (L X Z) - D[ X,Y] Z = [X,D Y Z] - D Y [X,Z] - D[ X,Y] Z = D X (D Y Z) - D D Z X - D Y (D X Z - D Z X) - D (D Y XY - D Y X) Z = D X (D Y Z) - D Y (D Z X) - D Y (D X Z) + D Y (D Z X) - D D Y Z + D D X Z X Y = D X (D Y Z) - D Y (D Z X) - D Y (D X Z) + D Y (D Z X) - D X (D Y Z) + D Y (D Z Z) = 2.4 Mệnh đề (xem [2]) Đạo hàm Lie LX∇ thỏa mãn điều kiện: a) ( LX∇) ánh xạ song tuyến tính b) L αX+βY∇ =αL X∇ +βL X∇ với ∀X, Y ∈ B(M); α, β ∈ R Chứng minh a) (LX∇)(Y,Z) tuyến tính thực ∀ Y, Z ∈ B(M) +) Ta kiểm tra LX∇ tuyến tính Y * ∀ Y, Y’, Z ∈ B(M) Ta có: 23 (LX∇)(Y+Y’, Z) = LX(∇Y+Y’Z) - ∇Y+Y’(LXZ) - ∇[X,Y+Y’]Z = LX(∇YZ+∇Y’Z) - ∇Y(LXZ) - ∇Y’(LXZ) - ∇[X,Y]Z -∇[X,Y’]Z = [X, ∇YZ+∇Y’Z] - ∇Y(LXZ) - ∇Y’(LXZ) - ∇[X,Y]Z -∇[X,Y’]Z =[X, ∇YZ] + [X,∇Y’Z] - ∇Y(LXZ) - ∇Y’(LXZ) - ∇[X,Y]Z -∇[X,Y’]Z = LX(∇YZ) + LX(∇Y’Z)- ∇Y(LXZ) - ∇Y’(LXZ) - ∇[X,Y]Z -∇[X,Y’]Z = LX(∇YZ) - ∇Y(LXZ) - ∇[X,Y]Z + LX(∇Y’Z) - ∇Y’(LXZ) -∇[X,Y’]Z = (LX∇)(Y, Z) + (LX∇)(Y’,Z) * ∀Y, Z∈B(M), λ ∈ R Ta có: (LX∇)(λY, Z) = LX(∇λYZ) - ∇λY(LXZ) - ∇ [X, λY]Z = LX(λ∇YZ) - λ∇Y(LXZ) - ∇λ [X,Y]Z = [X, λ∇YZ] - λ∇Y(LXZ) - λ∇ [X,Y]Z = [X, λ∇YZ] - λ∇Y(LXZ) - λ∇ [X,Y]Z = λ [X, ∇YZ] - λ∇Y(LXZ) - λ∇ [X,Y]Z = λ (LX∇)(Y, Z) +) Ta kiểm tra LX∇ tuyến tính Z * ∀Y, Z, Z’∈B(M) Ta có: (LX∇)(Y, Z+Z’) = LX(∇Y(Z+Z’)) - ∇Y(LX(Z+Z’)) - ∇[X,Y](Z+Z’) = LX(∇YZ+∇Y Z’) - ∇Y[X,Z+Z’] - ∇[X,Y]Z - ∇[X,Y]Z’ = [X,∇YZ+∇Y Z’] - ∇Y[X,Z+Z’] - ∇[X,Y]Z - ∇[X,Y]Z’ = [X,∇YZ]+[X,∇Y Z’] - ∇Y[X,Z] - ∇Y[X, Z’] - ∇[X,Y]Z - ∇[X,Y]Z’ = [X,∇YZ] - ∇Y[X,Z] - ∇[X,Y]Z +[X,∇Y Z’]] - ∇Y[X, Z’] - ∇[X,Y]Z’ = LX(∇YZ) - ∇Y[X,Z] - ∇[X,Y]Z + LX(∇YZ’) - ∇Y[X, Z’] - ∇[X,Y]Z’ = (LX∇)(Y, Z) + (LX∇)(Y,Z’) * ∀Y, Z ∈ B(M), λ ∈ R Ta có: 24 (LX∇)(Y, λZ) = LX(∇YλZ) - ∇Y(LXλZ) - ∇ [X, Y] λZ = LXλ(∇YZ) - ∇Y(λLXZ) - λ∇[X,Y]Z = λLX(∇YZ) - λ∇Y(LXZ) - λ∇[X,Y]Z = λ(LX(∇YZ) - ∇Y(LXZ) - ∇[X,Y]Z) = λ(LX∇)(Y,Z) b) (LαX+βY∇)(Z,W) = LαX+βY(∇ZW) - ∇Z(LαX+βYW) - ∇[αX+βY,Z]W = [αX+βY, ∇ZW] - ∇Z[αX+βY,W] - ∇[αX,Z]W -∇[βY,Z]W = [αX, ∇ZW] - ∇Z[αX,W] + [βY, ∇ZW] - ∇Z[βY,W]- ∇[αX,Z]W -∇[βY,Z]W = [αX, ∇ZW] - ∇Z[αX,W] - ∇[αX,Z]W + [βY, ∇ZW] - ∇Z[βY,W] -∇[βY,Z]W = α ([X, ∇ZW] - ∇Z[X, W] - ∇[X,Z]W) + β([Y, ∇ZW] - ∇Z[Y,W] -∇[Y,Z]W) = α(LX∇) + β(LY∇) 2.5 Mệnh đề (xem [2]) (LX∇)(Y, Z) = R(X,Y, Z) + ∇Y (T(X, Z)) - ∇∇Y Z X - T(X,∇ Y Z) + ∇ Y (∇ Z X) Chứng minh Ta có: [Y, Z] = ∇ Y Z - ∇ Z Y - T(Y, Z) R(X,Y,Z) = ∇X (∇ Y Z) - ∇Y (∇X Z) - ∇[X,Y]Z Suy ra: (LX∇)(Y, Z) = LX (∇ Y Z) - ∇ Y (LX Z) - ∇[X,Y]Z =[X, ∇Y Z] - ∇ Y [X, Z] - ∇[X, Y]Z = ∇X (∇Y Z) - ∇∇Y ZX - T(X, ∇ Y Z) - ∇ Y (∇ X Z - ∇ ZX - T(X,Z)) - ∇[X,Y] Z = (∇ X (∇Y Z) - ∇Y (∇ X Z) - ∇[X, Y]Z) + ∇ Y (T(X, Z)) - ∇∇Y ZX - T(X, ∇Y Z) + ∇Y (∇ ZX) 25 = R(X, Y, Z)+∇Y (T(X, Z)) - ∇∇Y ZX - T(X, ∇ Y Z) + ∇ Y (∇ Z X) Như ta biết, với ∀ Y, Z ∈ B(M) : (LX T)(Y,Z) = LX (T(Y,Z)) - T(Y,L X Z)- T(L X Y,Z) Từ đó, ta có mệnh đề sau: 2.6 Mệnh đề (xem [2]) (LX T)(Y, Z) = (LX∇)(Y, Z) - (LX∇)(Z, Y) Chứng minh (LX T)(Y, Z)) = LX (T(Y, Z)) - T(LX Y, Z) - T(Y, LX Z) = LX (∇Y Z - ∇ ZY - [Y,Z]) - ∇[X,Y]Z + ∇ Z (L X Y) + [[X, Y], Z] - ∇ Y (L X Z) + ∇[X,Z]Y + [Y, [X, Z]] = LX ( ∇Y Z ) - L X (∇ ZY) - L X ([Y, Z]) - ∇[X, Y]Z + ∇ Z[X, Y] + [[X, Y], Z] - ∇ Y [X, Z] + ∇[X, Z]Y + [Y, [X,Z]] = (L X ( ∇Y Z ) - ∇Y [X, Z] - ∇[X, Y]Z) - (LX (∇Z Y) - ∇ Z[X, Y] - ∇[X, Z]Y) + ([[X, Y], Z] + [[Y, Z], X] + [[Z, X], Y]) = (L X∇)(Y, Z) - (LX∇)(Z, Y) II Đạo hàm Lie độ cong độ xoắn 2.7 Định nghĩa a) Cho Ω (M) mô đun – dạng vi phân đa tạp M Khi ° : Ω1 (M) × B(M) × B(M) → F(M) ánh xạ T ° ( θ, X, Y ) a T(θ,X,Y) ; ° T(θ,X,Y) = θ (T(X,Y)); với ∀θ ∈Ω1 (M), ∀ X, Y ∈ B(M) gọi hàm độ xoắn đa tạp M 26 ° : Ω1 (M) × B(M) × B(M) → F(M) b) Ánh xạ LX T ° ( θ, X, Y ) a L X T(θ,X,Y); với ° )( θ,Y,Z ) = X[ T ° ( θ,Y,Z )] - T ° ( LθX ,Y,Z) - T ° (θ ,[X,Y],Z) - T ° (θ ,Y,[X,Z]), (LX T ∀θ ∈ Ω1 (M); ∀ X,Y ∈ B(M), ° đa tạp M (Ở LX gọi đạo hàm Lie hàm độ xoắn T θ(H) = X[θ(H)] − θ([X, H]); ∀H ∈ B(M)) 2.8 Mệnh đề ° ánh xạ tam tuyến tính T Chứng minh ° T(θ,X,Y) = θ (T(X,Y)) ° tuyến tính biến θ • Ta chứng minh T +) Với ∀θ, θ' ∈ Ω1 (M), ∀ X, Y ∈ B(M) Ta có ° + θ ' , X, Y) = ( θ + θ ' ) ( T(X, Y) ) T(θ = θ ( T(X, Y)θ) + T(X, ( Y) ' ) ° ° ' ,X, Y) X, Y) + T(θ = T(θ, +) Với ∀θ ∈ Ω1 (M), ∀X, Y ∈ B(M), ∀ϕ ∈ F(M): ° T(φθ, X, Y) = φθ ( T(X, Y) ) ° X, Y) = φT(θ, • ° tuyến tính X Bây ta chứng minh T +) Với ∀θ ∈ Ω1 (M), ∀X, X’, Y ∈ B(M), ' ° T(θ, X + X ' , Y) = θT(X+ X ,Y) 27 ' ' = θ ( ∇ X + X Y − ∇ Y (X + X ) − X+X , Y  ) ' ' ' = θ ( ∇ X Y + ∇ X Y − ∇ Y X − ∇ Y X − [ X, Y ] −  X , Y  ) ' ' ' = θ ( ∇ X Y − ∇ Y X − [ X, Y ] + ∇ X Y − ∇ Y X − X ,Y  ) ' ' = θ ( T ( X,Y ) +T ( X ,Y ) ) ' = θT ( X,Y ) + θT ( X ,Y ) °( )+ T° θ,X = Tθ,X,Y ( ,Y' ) +) Với ∀θ ∈ Ω1 (M), ∀X, Y ∈ B(M), ∀ϕ ∈ F(M): ° − ∇ Y φX,Y −[ T(θ, φX, Y) = θ ( T(φX, Y) ) = θ ( ∇ φX Y φX ]) X) − (DY Y − D φX) ) = θ ( φ∇ X Y − (Y[φ].X + φ∇ YφX = θ ( φ∇ X Y − Y[φ].X − φ∇ Y X − φD X Y + (Y[φ].X + φD Y X) ) = θ ( φ∇ X Y − Y[φ].X − φ∇ Y X − φD X Y + Y[φ].X + φD Y X) ) = θ ( φ∇ X Y − φ∇ Y X − Y[φ].X − φD X Y +Y[φ].X + φD Y X) ) = φθ ( ∇ X Y − ∇ Y X − (D X Y − D Y X) ) = φθ ( ∇ X Y − ∇ Y X − [X,Y]) = φθ ( T(X, Y) ) ° = φT(θ, X, Y) ° tuyến tính Y Tương tự, ta kiểm tra T ° ánh xạ tam tuyến tính Vậy, T 2.9 Mệnh đề (xem [7]) Với ∀θ ∈ Ω1 (M), ∀ X, Y ∈ B(M) Ta có: ° )( θ, Y, Z ) = θ (LXT(Y,Z)) (LX T 28 Chứng minh Với ∀θ ∈ Ω1 (M), ∀ X, Y ∈ B(M), ta có ° )( θ, Y, Z ) = X[ T ° ( θ, Y, Z )] - T ° ( LθX ,Y,Z) - T ° ( θ ,[X,Y],Z) - T ° ( θ ,Y, +) (LX T [X,Z]) (1) Mặt khác ta có: ° ( LθX ,Y,Z) = LθX (T(Y, Z) T Z)) ] −θ ( X, [ [ T(Y,Z) = Xθ(T(Y, ]) ° Z)  − θ ( [ X, T(Y,Z)] ) thay vào (1) ta được: = X T(θ,Y, ° )( θ, Y, Z ) = θ ( [ X, T(Y,Z) ] ) - T ° ( θ ,[X,Y],Z) - T ° ( θ ,Y,[X,Z]) (LX T +) (2) θ (LXT(Y,Z)) = θ ( ( [ X, T(Y,Z) ] ) − T([ X,Y ] , Z) − T(Y, [ X, Z ] ) ) = θ ( [ X, T(Y,Z) ] ) − θ ( T([ X,Y ] , Z) ) − θ ( T(Y, [ X, Z ] ) ) ° [ X,Y ] , Z) − T ° ( θ,Y, [ X, Z ] ) = θ ( [ X, T(Y,Z) ] ) − T(θ, (3) ° )( θ, Y, Z ) = θ (LXT(Y,Z)) Từ (2) (3), ta có: (LX T 2.10 Định nghĩa a) Cho Ω (M) mô đun – dạng vi phân đa tạp M Khi ° : Ω1 (M) × B(M) × B(M) × B(M) → F(M) ánh xạ R ° ( θ, X, Y ,Z) a R(θ,X,Y,Z); ° R(θ,X,Y,Z) = θ (R(X,Y,Z)), với ∀θ ∈Ω1 (M), ∀ X, Y, Z ∈ B(M); gọi hàm độ cong đa tạp M ° : Ω1 (M) × B(M) × B(M) × B(M) → F(M) b) Ánh xạ: L X R ° ( θ, Y, Z, T ) a R(θ,Y, Z, T) ; 29 ° )( θ, Y, Z, T ) = X[ R ° ( θ, Y, Z, T )] - R ° ( LθX ,Y, Z, T) - R ° (θ ,[X,Y],Z,T) với (LX R ° ( θ ,Y,[X,Z],T) - R ° ( θ ,Y,Z,[X,T]), -R với ∀θ ∈ Ω1 (M), ∀ X, Y, Z, T ∈ B(M); Được gọi đạo hàm Lie hàm độ cong đa tạp khả vi M 2.11 Mệnh đề ° ánh xạ tuyến tính theo biến Ánh xạ R Chứng minh ° R(θ, X,Y, Z) = θ (R(X, Y, Z)) ° tuyến tính biến θ • Ta chứng minh R +) Với ∀θ, θ' ∈ Ω1 (M), ∀ X, Y, Z ∈ B(M) Ta có ° + θ ' , X, Y, Z) = ( θ + θ ' ) ( R(X,Y, Z) ) R(θ = θ ( R(X,Y, Z)θ) + R(X, ( Y, Z) ' ) ° ° ' , X, Y, Z) X,Y, Z) + R(θ = R(θ, +) Với ∀θ ∈ Ω1 (M), ∀X, Y, Z ∈ B(M), ∀ϕ ∈ F(M): ° R(φθ, X, Y, Z) = φθ ( R(X, Y, Z) ) ° X, Y, Z) = φ R(θ, • ° tuyến tính X Bây ta chứng minh R +) Với ∀θ ∈ Ω1 (M), ∀X, X’, Y , Z∈ B(M), ' ° R(θ, X + X ' , Y, Z) = θ ( R(X+ X ,Y, Z) ) ( = θ ∇ X + X ∇ Y Z − ∇ Y∇ X + X Z − ∇ X + X ,Y  Z ( ' '  '  ) = θ ∇ X∇ Y Z + ∇ X ∇ Y Z − ∇ Y (∇ X Z + ∇ X' Z) − (∇[ X,Y] Z +∇[ X',Y] Z ) ' ) 30 ( = θ ∇ X∇ Y Z − ∇ Y∇ X Z − ∇[ X,Y] Z + ∇ X ∇ Y Z + ∇ Y∇ X' Z − ∇[ X',Y] Z ' ) ' = θ ( R ( X,Y, Z ) +R ( X ,Y, Z ) ) ° ( X, Y, Z )+ R° θ, = Rθ, ( X', Y, Z ) +) Với ∀θ ∈ Ω1 (M), ∀X, Y, Z ∈ B(M), ∀ϕ ∈ F(M): ( ° R(θ, φX, Y, Z) = θ ( T(φX, Y, Z) ) = θ ∇ φX∇ Y Z − ∇ Y∇ φX Z − ∇[ φX, Y] Z ( = θ φ∇ X∇ Y Z − ∇ Y (φ∇ X Z) − ∇ ( D φX Y − DφX) Y Z ) ( = θ φ∇ X∇ Y Z − (Y[φ]∇ X Z + φ∇ Y∇ X Z) − ∇ ( D = θ ( φ∇ X∇ Y Z − Y[φ]∇ X Z − φ∇ Y∇ X Z − ∇ (φD Ta có: ∇ (φD XY −Y[φ].X - φD YX) ) φX Y − DφX) Y Z ) Z) (1) Z = φ∇D Y Z − Y[φ]∇X Z − φ∇D X Z (2) XY −Y[φ].X - φD YX) X Y thay (2) vào (1) ° ta được: R(θ, φX, Y, Z) = θ ( φ∇ X∇ Y Z − φ∇ Y∇ X Z − φ∇ D Y Z + φ∇ D X Z ) X Y = φθ ( ∇ X∇ Y Z − ∇ Y∇ X Z − ∇ D Y Z + ∇ D X Z ) X = φθ ( ∇ X∇ Y Z − ∇ Y∇ X Z − ∇ (D ( X Y- Y DY X ) = φθ ∇ X∇ Y Z − ∇ Y∇ X Z − ∇[ X,Y] Z Z) ) = φθ ( R(X, Y, Z) ) ° X, Y, Z) = φT(θ, ° tuyến tính Y, Z, T ∈ B(M) Tương tự , ta kiểm tra R ° ánh xạ đa tuyến tính Vậy, R 2.12 Mệnh đề (xem [7]) ° )( θ, Y, Z, T ) = θ (LXR(Y, Z, T)) Ta có: (LX R 31 Chứng minh ° ( LθX ,Y, Z, T) Trước hết, ta tính: R ° ( LθX ,Y, Z, T) = X[θ (R( Y, Z, T ))] - θ [X, R( Y, Z, T )] Ta có: R Từ định nghĩa (2.10 b) ta có: ° )( θ, Y, Z, T ) = θ [X, R( Y, Z, T )]- R ° (θ ,[X,Y],Z,T) (LX R ° ( θ ,Y,[X,Z],T) - R ° ( θ ,Y,Z,[X,T]), (1) -R Mặt khác: θ (LXR(Y,Z,T)) = θ ( [ X, R(Y, Z, T) ] − R( [ X, Y ] , Z, T) − R(Y, [ X, Z ] ,T) − R(Y, Z, [ X, T ] ) ) = θ [ X, R(Y, Z, T) ] − θ ( R( [ X, Y ] , Z, T) ) −θ ( R(Y, [ X, Z] ,T) ) − θ ( R(Y, Z, [ X, T ] ) ) ° ( θ, [ X, Y ] , Z, T ) − ±Rθ,Y, [ Z ,T ] = θ [ X, R(Y, Z, T) ] − R ( X, ) ° ( − Rθ,Y, Z, X, [ T ° )( θ, Y, Z, T ) = θ (LXR(Y, Z, T)) Từ (1) (2) ta có: (LX R ]) (2) 32 KẾT LUẬN Luận văn đạt kết sau: - Chứng minh chi tiết số tính chất liên thông tuyến tính, độ cong độ xoắn đa tạp khả vi (mệnh đề: 1.8; 1.9; 1.10; 1.12; 1.15; 1.19) - Chỉ ví dụ liên thông tuyến tính (ví dụ: 1.7; 1.14) - Chứng minh chi tiết tính chất đạo hàm liên thông tuyến tính đa tạp khả vi (mệnh đề 2.4; 2.5; 2.6, ví dụ 2.2) - Chứng minh công thức đạo hàm Lie hàm độ xoắn đa tạp khả vi (Mệnh đề: 2.9) - Chứng minh công thức đạo hàm Lie hàm độ cong đa tạp khả vi (Mệnh đề: 2.12) Trong thời gian tới tiếp tục nghiên cứu đạo hàm Lie dạng vi phân đa tạp khả vi M 33 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt : [1] Khu Quốc Anh - Nguyễn Doãn Tuấn ( 2004), Lý thuyết liên thông hình học Rieman, NXB Đại học Sư phạm [2] Tạ Thị Thanh Liên (2011), Đạo hàm Lie liên thông tuyến tính, Luận văn thạc sĩ Toán học, Đại học Vinh [3] Nguyễn Hữu Quang (2007), Bài giảng Đa tạp khả vi, Đại học Vinh [4] Nguyễn Hữu Quang (2000), Bài giảng Đại số Lie nhóm Lie, Đại học Vinh [5] Đoàn Quỳnh ( 2003), Hình học vi phân, NXB Đại học Sư phạm [6] Lê Thị Thơm (2009), Độ cong độ xoắn đa tạp Rieman, Luận văn thạc sĩ Toán học, Đại học Vinh Tiếng Anh : [7] A.Ya.Sultanov(2010), Derivations of linear algebras and linear onnections, Journal of Mathematical Sciences, Vol.169, No.3,2010 [...]... Chứng minh công thức về đạo hàm Lie của hàm độ xoắn của đa tạp khả vi (Mệnh đề: 2.9) - Chứng minh công thức về đạo hàm Lie của hàm độ cong của đa tạp khả vi (Mệnh đề: 2.12) Trong thời gian tới chúng tôi tiếp tục nghiên cứu về đạo hàm Lie của các dạng vi phân trên đa tạp khả vi M 33 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt : [1] Khu Quốc Anh - Nguyễn Doãn Tuấn ( 2004), Lý thuyết liên thông và hình học Rieman, NXB... liên thông tuyến tính cần tìm 21 CHƯƠNG II ĐẠO HÀM LIE CỦA ĐỘ CONG VÀ ĐỘ XOẮN I Đạo hàm Lie của liên thông tuyến tính 2.1 Định nghĩa Cho X, Y, Z ∈ B(M) a) LX(Y) : = [X, Y] b) Ánh xạ L X∇ : B(M) × B(M) → B(M) gọi là đạo hàm Lie của liên thông tuyến tính ∇ nếu ( LX ∇ )(Y, Z) = LX( ∇ Y Z) - ∇ Y ( LXZ) - ∇[ X , Y] Z 2.2 Ví dụ Trong R2, với X(2x; y), Y(x; xy) và Z(xy, x2y) Tính (LX∇)(Y,Z) với ∇= D thông... Y], Z] + [[Y, Z], X] + [[Z, X], Y]) = (L X∇)(Y, Z) - (LX∇)(Z, Y) II Đạo hàm Lie của độ cong và độ xoắn 2.7 Định nghĩa 1 a) Cho Ω (M) là mô đun các 1 – dạng vi phân trên đa tạp M Khi đó ° : Ω1 (M) × B(M) × B(M) → F(M) ánh xạ T ° ( θ, X, Y ) a T(θ,X,Y) ; ° trong đó T(θ,X,Y) = θ (T(X,Y)); với ∀θ ∈Ω1 (M), ∀ X, Y ∈ B(M) được gọi là hàm độ xoắn trên đa tạp M 26 ° : Ω1 (M) × B(M) × B(M) → F(M) b) Ánh xạ LX... học Sư phạm [2] Tạ Thị Thanh Liên (2011), Đạo hàm Lie của liên thông tuyến tính, Luận văn thạc sĩ Toán học, Đại học Vinh [3] Nguyễn Hữu Quang (2007), Bài giảng Đa tạp khả vi, Đại học Vinh [4] Nguyễn Hữu Quang (2000), Bài giảng Đại số Lie và nhóm Lie, Đại học Vinh [5] Đoàn Quỳnh ( 2003), Hình học vi phân, NXB Đại học Sư phạm [6] Lê Thị Thơm (2009), Độ cong và độ xoắn trên đa tạp Rieman, Luận văn thạc sĩ... Z, T ) = θ (LXR(Y, Z, T)) Từ (1) và (2) ta có: (LX R ]) (2) 32 KẾT LUẬN Luận văn đã đạt được những kết quả sau: - Chứng minh chi tiết một số tính chất cơ bản của liên thông tuyến tính, độ cong và độ xoắn của đa tạp khả vi (mệnh đề: 1.8; 1.9; 1.10; 1.12; 1.15; 1.19) - Chỉ ra các ví dụ về liên thông tuyến tính (ví dụ: 1.7; 1.14) - Chứng minh chi tiết tính chất về đạo hàm của liên thông tuyến tính trên... (M), ∀ X, Y, Z ∈ B(M); được gọi là hàm độ cong trên đa tạp M ° : Ω1 (M) × B(M) × B(M) × B(M) → F(M) b) Ánh xạ: L X R ° ( θ, Y, Z, T ) a R(θ,Y, Z, T) ; 29 ° )( θ, Y, Z, T ) = X[ R ° ( θ, Y, Z, T )] - R ° ( LθX ,Y, Z, T) - R ° (θ ,[X,Y],Z,T) với (LX R ° ( θ ,Y,[X,Z],T) - R ° ( θ ,Y,Z,[X,T]), -R với ∀θ ∈ Ω1 (M), ∀ X, Y, Z, T ∈ B(M); Được gọi là đạo hàm Lie của hàm độ cong trên đa tạp khả vi M 2.11 Mệnh... Từ mệnh đề (1.12) ta có nhận xét rằng: Tổng của hai liên thông tuyến tính không phải là một liên thông tuyến tính III Độ cong và độ xoắn trên đa tạp 1.13 Định nghĩa Giả sử ∇ là một liên thông tuyến tính trên đa tạp M và ∀X,Y, Z ∈ B(M) Khi đó ánh xạ R: B(M) × B(M)xB(M) → B(M) (X,Y,Z) a R(X,Y,Z); với R(X,Y,Z) = ∇ X∇ Y Z - ∇ Y∇ X Z - ∇[ X,Y] Z , được gọi là độ cong trên đa tạp M 1.14 Ví dụ Giả sử S là mặt... T(X,Y) 1.19 Mệnh đề (xem [6]) Trên mỗi đa tạp khả vi M luôn tồn tại một liên thông tuyến tính mà độ xoắn của nó bằng 0 Chứng minh Giả sử M là liên thông tuyến tính ∇ và T là độ xoắn ứng với ∇ Đặt ∇ : B(M) × B(M) → B(M) (X; Y) a ∇ X Y = ∇ X Y - 1 T(X, Y) 2 Khi đó, ∇ là liên thông tuyến tính trên M có độ xoắn T = 0 Thật vậy: Trước tiên ta chứng minh ∇ là liên thông tuyến tính trên M 19 T1: ∇ (X + X')... θ, X, Y ) a L X T(θ,X,Y); với ° )( θ,Y,Z ) = X[ T ° ( θ,Y,Z )] - T ° ( LθX ,Y,Z) - T ° (θ ,[X,Y],Z) - T ° (θ ,Y,[X,Z]), (LX T ∀θ ∈ Ω1 (M); ∀ X,Y ∈ B(M), ° trên đa tạp M (Ở đây LX được gọi là đạo hàm Lie của hàm độ xoắn T θ(H) = X[θ(H)] − θ([X, H]); ∀H ∈ B(M)) 2.8 Mệnh đề ° là ánh xạ tam tuyến tính T Chứng minh ° T(θ,X,Y) = θ (T(X,Y)) ° tuyến tính đối với biến θ • Ta chứng minh T +) Với ∀θ, θ' ∈ Ω1 (M),... X Y ) − ( D Y X ) = 0 ⇒ D[ X,Y] Z = 0 Mặt khác R(X,Y)Z = ∇ X∇ Y Z − ∇ Y∇ X Z − ∇[ X,Y] Z (2) (3) (4) thay (1), (2), (3) vào (4) ta thu được kết quả: R(X,Y)Z = ∇ X∇ Y Z − ∇ Y∇ X Z − ∇[ X,Y] Z = 0 Vậy R|S = 0 1.15 Mệnh đề (xem [6]) Độ cong R là ánh xạ tam tuyến tính Chứng minh a) Độ cong R là ánh xạ tam tuyến tính Thật vậy, ta kiểm tra R tam tuyến tính đối với X + ∀ X, Y, Z ∈ B(M) Ta có R(X+X’, Y, Z) ... Liờn thụng tuyn tớnh trờn a kh vi. III cong v xon trờn a kh vi. CHNG II O HM LIE CA CONG V XON. I o hm Lie ca liờn thụng tuyn tớnh II o hm Lie ca cong v xon. KT LUN. TI LIU THAM KHO Trang... nim v tớnh cht, vớ d v o hm Lie ca liờn thụng tuyn tớnh v o hm Lie ca cong v o hm Lie ca xon Chng II c chia lm phn 2 I o hm ca liờn thụng tuyn tớnh II o hm Lie ca cong v xon Lun c hon thnh... thng mt s kin thc v o hm Lie ca cong v o hm Lie ca xon trờn a kh vi Do ú lun c mang tờn: o hm Lie ca cong v xon Lun c trỡnh by hai chng: Chng cong v xon trờn a Trong chng ny, chỳng tụi