Về liên thông pháp trên đa tạp con riemann

Bộ giáo dục đào tạo Tr-ờng đại học vinh đinh thị thúy nhung liên thông pháp đa tạp riemann Luận văn thạc sĩ toán học Vinh - 2010 Bộ giáo dục đào tạo Tr-ờng đại học vinh đinh thị thúy nhung liên thông pháp đa tạp riemann Chuyên ngành: Hình Học - Tôpô mà số: 60.46.10 Luận văn thạc sĩ toán học Ng-êi h-íng dÉn khoa häc: TS Ngun b×nh Vinh - 2010 MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU Chương 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ Liên thông Levi-Civita đa tạp Riemann Đa tạp Riemann Chuyển dịch song song đa tạp Riemann 15 Chương 2: LIÊN THÔNG PHÁP DẠNG TRÊN ĐA TẠP CON RIEMANN 20 Liên thông pháp dạng đa tạp Riemann 20 Chuyển dịch song song pháp 28 KẾT LUẬN 35 TÀI LIỆU THAM KHẢO 36 LỜI NÓI ĐẦU Hình học Riemann đời từ nửa kỉ 19 có nhiều ứng dụng học, vật lí học ngành khác kĩ thuật Lí thuyết liên thơng vấn đề hình học Riemann Lí thuyết trình bày số tài liệu [1], [2], [3], [5], [6], [7],… Trên đa tạp Riemann có loại liên thơng liên thơng tuyến tính, liên thông Riemann, liên thông Levi-Civita Nếu cho M đa tạp đa tạp Riemann M xuất liên thông pháp đa tạp M Với mục đích nghiên cứu liên thơng pháp đa tạp con, đưa khái niệm liên thông pháp đa tạp con, chứng minh tính chất liên thơng pháp, tính chất độ cong pháp, chuyển dịch song song pháp Với lý hướng dẫn thầy giáo TS Nguyễn Duy Bình chọn đề tài luận văn là: “Về liên thông pháp đa tạp Riemann” Luận văn chia làm hai chương: Chương Giới thiệu khái niệm tính chất liên thơng Levi-Civita đa tạp Riemann, liên thông Levi-Civita đa tạp Riemann, tenxơ độ cong, phép chuyển dịch song song Các khái niệm tính chất sở cho việc xây dựng lý thuyết chương Chương Bắt đầu từ việc xây dựng khái niệm liên thông pháp đa tạp Riemann từ nghiên cứu tính chất liên thơng pháp đa tạp Riemann, nghiên cứu số khái niệm tính chất liên quan đến liên thông pháp Trong mục đưa khái niệm liên thông pháp đa tạp Riemann từ nghiên cứu tính chất liên thông pháp đa tạp Riemann, nghiên cứu trường vectơ song song pháp siêu mặt, nghiên cứu số tính chất độ cong pháp Trong mục đưa khái niệm, tính chất đạo hàm pháp dạng trường vectơ dọc cung Từ tìm hiểu phép chuyển dịch song song pháp Luận văn thực hoàn thành khoa Sau Đại học trường Đại học Vinh hướng dẫn thầy giáo TS Nguyễn Duy Bình Nhân dịp xin chân thành cảm ơn thầy giáo TS Nguyễn Duy Bình tận tình hướng dẫn tơi q trình học tập nghiên cứu Tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy cô giáo khoa Sau Đại học, thầy cô giáo khoa Toán đồng nghiệp gia đình giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho tơi suốt q trình học tập hồn thành luận văn Vinh, tháng 12 năm 2010 Người thực Đinh Thị Thúy Nhung Chương KIẾN THỨC CƠ SỞ Liên thông Levi-Civita đa tạp Riemann 1.1 Liên thơng tuyến tính đa tạp 1.1.1 Định nghĩa Cho M đa tạp khả vi Liên thông tuyến tính M ánh xạ  :B  M   B  M   B  M   X,Y  XY thỏa mãn điều kiện sau: 1) X1 X2 Y  X1 Y  X2 Y; X1,X2 ,Y B  M  2) X Y  X Y; X,Y  B  M  ,  F  M  3) X  Y1  Y2   X Y1  X Y2 ; X,Y1,Y2  B  M  4) X  Y   X Y  X  Y; X,Y B  M  ,  F  M  X Y gọi đạo hàm thuận biến trường vectơ Y dọc theo trường vectơ X 1.1.2 Ví dụ Giả sử M đa tạp khả song n – chiều với trường mục tiêu E1,E , ,E n  Với n n i 1 i 1   X,Y  B  M  : X   Xi Ei ;Y   YE i i X i ,Yi  F  M  ; i  1,n n Ta đặt  X Y   X  Yi  Ei Khi đó,  liên thơng tuyến tính M i 1 Thật vậy, với  X,X',Y,Y'  B  M  ;   F  M  ta có: n 1) XX 'Y    X  X'  Yi  Ei i 1 n n i 1 i 1   X  Yi  Ei   X ' Yi  E i  X Y  X ' Y n 2)X  Y  Y'   X  Yi  Yi ' Ei i 1 n n i 1 i 1   X  Yi  Ei   X  Yi ' Ei  X Y  X Y' 3) X Y n    X   Yi  Ei i 1 n   X  Yi  Ei i 1   X Y n 4)  X  Y    X  Yi  E i i 1 n    X  Yi   Yi X Ei i 1 n n i 1 i 1   X  Yi  Ei  X   YE i i  X Y  X  Y 1.2 Liên thông Levi-Civita đa tạp Riemann 1.2.1 Định nghĩa Cho M đa tạp Riemann Liên thơng tuyến tính  M gọi liên thông Levi-Civita M thỏa mãn hai điều kiện sau: 1) Trường tenxơ xoắn T = Có nghĩa T  X,Y   X Y  Y X   X,Y  với X,Y  B M  2) g  Có nghĩa X  Y, Z   X Y, Z  Y, X Z ; X.Y, Z B  M  1.2.2 Ví dụ Giả sử M đa tạp khả song n – chiều với trường mục tiêu E1,E , ,E n  n n i 1 i 1   Với X, Y  B  M  : X   Xi Ei ; Y   YE i i X i ,Yi  F  M  ; i  1,n n Ta đặt  X Y   X  Yi  Ei Khi đó,  liên thơng Levi-Civita M i 1 Thật vậy, theo ví dụ 1.1.2 ta chứng minh  liên thông tuyến tính M Bây ta kiểm tra hai điều kiện liên thông Levi-Civita Với X,Y, Z  B  M  ;  F  M  ta có: 1)  X,Y  X Y   Y X   X  Y1E1   Yn E n   Y  X1E1   X nE n   n   n     X  Yi  Ei      Y  Xi  Ei    i1   i1    X Y    Y X    X,Y  X Y  Y X n n i 1 j1 2) Do X   Xi Ei ;Y   YjE j  X,Y   Xi Yj  Ei E j    Xi Yi n n i, j1 i 1 Ta có:  n  Z  X,Y   Z  Xi Yi   i1  n    Z Xi  Yi  Z Yi  Xi  i 1 n n i 1 i 1   Z Xi  Yi  Z Yi  Xi  Z X1  Y1  Z X  Y2   Z  X n  Yn  Z  Y1  X1  Z  Y2  X    Z Yn  X n n n n n i 1 i 1 i 1 i 1    Z Xi  Ei . YE i i    Z  Yi  E i . X i E i n n i 1 i 1    Z Xi  Ei .Y   Z Yi  Ei .X  ZX,Y  X,  ZY  Z  X,Y   ZX,Y  X,  ZY Vậy  liên thơng Levi-Civita M 1.2.3 Định lí Liên thơng Levi-Civita đa tạp Riemann M tồn Chứng minh + Sự tồn liên thông Levi-Civita M Giả sử X,Y  B(M) ta xác định X Y phương trình sau X Y, Z    X  Y, Z   Y  Z,X   Z  X,Y      Z,  X,Y   Y,  Z,X   X, Y, Z  Z trường vectơ tùy ý B(M) Khi đó, ánh xạ  : B M   B  M   B  M   X,Y  liên thơng tuyến tính X Y  (1) Ta chứng minh  liên thông Levi-Civita M Đặt T  X,Y   X Y  Y X   X,Y Do công thức (1) ta dễ dàng kiểm tra T  X,Y  , Z  0, Z  B  M  Suy ra, T(X,Y) =0 Bây giờ, ta chứng minh g  Thật vậy, với  X,Y, Z  B  M  ta có X Y, Z  Y, X Z  X  Y, Z  ( suy từ (1)) (2) hay g  Vậy  liên thông Levi-Civita M + Chứng minh tính  Để chứng minh tính  ta chứng tỏ X Y thỏa mãn điều kiện T(X,Y)=0 g   thỏa mãn phương trình (1) Thật với  X,Y, Z  B  M  ta có X  Y, Z   X Y, Z  Y, X Z (3) Y  X, Z   Y Z,X  Z, Y X (4) Z  X,Y   ZX,Y  X, ZY (5) Ta có X Z  ZX   X, Z   ZX  X Z   X, Z Y Z  ZY   Y, Z   ZY  Y Z   Y, Z Khi (5)  Z  X,Y   X Z,Y   X, Z,Y  X, Y Z  X, Y, Z (6) Ta có X Y  Y X   X,Y   Y X  X Y   X,Y (4)  Y  Z,X   Y Z,X  Z, X Y  Z, X,Y (7) 22 5) Với X B  M  ; Y, Z  B  M  ta có  X  Y, Z   X Y, Z  Y, X Z     Y     X Y T X   T  , Z  Y, X Z       Z T  X Y , Z  X Y , Z  Y, X Z  X  T   Y, X Z    X Y, Z  Y, X Z  X  Y, Z   X Y, Z  Y, X Z 1.3 Ví dụ Cho M đa tạp Riemann n+1 chiều với liên thông Levi-Civita  M siêu mặt M , định hướng trường vectơ pháp tuyến đơn vị n Gọi  trường vectơ tiếp xúc M Ta cần xác định  n  Ta có  n   n    n  T   Ta có n,n     n,n     n,n    n  n   n  B  M     n   n  T    n   0 Vậy  n =0 1.4 Định nghĩa Cho Y trường vectơ vng góc với M Y gọi trường vectơ song song pháp X Y  với X  B(M) 23 Ví dụ Trên siêu mặt trường vectơ pháp tuyến đơn vị trường vectơ song song pháp Thật vậy, từ ví dụ 1.3 ta có  n =0 với  trường vectơ tiếp xúc M, n trường vectơ pháp tuyến đơn vị M nên trường vectơ pháp tuyến đơn vị trường vectơ song song pháp 1.4 Định lí Cho M đa tạp Riemann n+1 chiều với liên thông Levi-Civita  M siêu mặt M , định hướng trường vectơ pháp tuyến đơn vị n Cho Y trường vectơ vng góc với M Khi đó, Y trường vectơ song song pháp Y=k.n, với k thành phần liên thông M Chứng minh Gọi X trường vectơ tiếp xúc M Ta có n trường vectơ pháp tuyến đơn vị nên n trường vectơ song song pháp - Giả sử Y = k.n với k thành phần liên thông M ta chứng minh Y trường vectơ song song pháp Thật vậy, ta có X Y  X  k.n   k.X n  X  k .n  Vậy, Y trường vectơ song song pháp - Giả sử Y trường vectơ song song pháp Ta chứng minh Y=k.n; với k thành phần liên thơng M Thật vậy, ta có Y n trường vectơ vng góc với M nên Y=k.n Chứng minh k thành phần liên thơng M Ta có X Y  X  k.n   k.X n  X  k .n Vì Y trường vectơ song song pháp nên X Y  với X  B(M)  k.X n  X  k .n  Mà n trường vectơ song song pháp nên X n  24 Suy X  k .n   X  k   với X  B(M) Vậy k thành phần liên thông M  Với X B  M  ; Y  B  M  ta có   X Y  X Y    Y    Y   T X  Đặt II  X,Y   X Y T X    X Y T  X Y  II  X,Y   X Y 1.5 Bổ đề Với X, Z  B  M  ; Y  B  M  ta có  II  X,Y  , Z   II  X, Z  ,Y Chứng minh Với X, Z  B  M  ; Y  B  M  ta có  X  Y, Z   X Y, Z  Y, X Z  II  X,Y   X Y, Z  Y,II  X, Z   X Z  II  X,Y  , Z  Y,II  X, Z  Mà X  Y, Z    II  X,Y  , Z   II  X, Z  ,Y 1.6 Định nghĩa Cho M đa tạp Riemann, M đa tạp M Ánh xạ R  : B M   B M   B M   B M    X,Y, Z   R XY Z   X Y Z   Y X Z  X,YZ gọi tenxơ độ cong pháp M 25 1.7 Tính chất Với X,Y  B  M  ; Z, U  B  M  ta có   1) R XY Z  R YX Z  2) R XY Z, U   R XY U, Z Chứng minh Ta cần chứng minh tính chất trường vectơ sở đồ địa phương tùy ý Khi đó,  X,Y  Ta có R XY Z  XY Z  Y X Z  X,YZ  X Y Z  Y X Z R YX Z  YX Z  XY Z  Y,XZ  Y X Z  X Y Z   R XY Z  R YX Z Vậy tính chất 1) chứng minh Để chứng minh tính chất 2) ta chứng tỏ R XY Z, Z  với X,Y  B  M  ; Z  B  M   Thật vậy, ta có X  Y Z, Z   XY Z, Z  Y Z, X Z  XY Z, Z  X  Y Z, Z   Y Z, X Z (1) Tương tự YX Z, Z  Y  X Z, Z   X Z, Y Z (2) Ta có Y  Z, Z   Y Z, Z  Z, YZ   YZ, Z   Y Z, Z  Y  Z, Z  (3) 26 Từ (1), (2) (3) ta có R XY Z, Z  XY Z, Z  Y X Z, Z  X  Y Z, Z   Y Z, X Z  Y  X Z, Z   X Z, Y Z 1  X  Y  Z, Z 2   1    Y  X  Z, Z  2      X,Y  Z, Z   (  X,Y  ) R XY Z, Z  với X,Y  B  M  ; Z  B  M  Vậy  Áp dụng (4) ta có với X,Y  B  M  ; Z, U  B M  (4)  R XY  Z  U  , Z  U    R XY  Z  U  , Z  R XY  Z  U, U      R XY Z, Z  R XY U, Z  R XY Z, U  R XY U, U    R XY Z, U   R XY U, Z Vậy tính chất 2) chứng minh 1.8 Định lí Với X,Y  B  M  ; Z, W  B  M  ta có  R XY Z, W  R XY Z, W  II  X, Z  ,II  Y, W   II  X, W  ,II  Y, Z  Chứng minh Ta có R XY Z, W  X Y Z  Y X Z  X,YZ, W  R XY Z, W  X Y Z, W  Y X Z, W  X,YZ, W   X Y Z, W  X II  Y, Z   Y Z , W (*) 27  X II  Y, Z  , W  XY Z, W    II X,II  Y, Z   X II  Y, Z , W  II  X, Y Z   XY Z, W    II X,II  Y, Z  , W  X II  Y, Z , W  II  X, Y Z  , W  XY Z, W    II X,II  Y, Z  , W  XY Z, W   II  X, W  ,II  Y, Z   XY Z, W ( Áp dụng bổ đề 1.5)  X Y Z, W   II  X, W  ,II  Y, Z   XY Z, W (1) Tương tự Y X Z, W   II  Y, W  ,II  X, Z   YX Z, W (2) Ta có X,YZ, W  II X,Y , Z   X,YZ, W  II  X,Y , Z  , W  X,YZ, W  X,Y Z, W  X,Y Z, W  X,YZ, W Thay (1), (2) (3) vào (*) ta có R XY Z, W  R XY Z, W  II  X, Z  ,II  Y, W   II  X, W  ,II  Y, Z   R XY Z, W  R XY Z, W  II  X, Z  ,II  Y, W   II  X, W  ,II  Y, Z  (3) 28 Chuyển dịch song song pháp 2.1 Một số khái niệm Cho M đa tạp Riemann M Đường cong  M xác định tham số hóa  : I  M t  t  Cho Y trường vectơ dọc đường cong  ln vng góc với M có nghĩa việc đặt tương ứng t  I với vectơ pháp M   t  Y:t Y t   T t   M   Đạo hàm trường vectơ Y dọc  M Y  Y dt Y Đạo hàm pháp dạng trường vectơ Y dọc  kí hiệu Y ' thành dt phần pháp Y 2.2 Định lí Y  II   ',Y   Y' Chứng minh n Gọi Ei i1 trường mục tiêu pháp dọc  Khi đó, Y   Yi Ei n i 1   n n dYi Y Ei   Yi Ei  i 1 dt i 1   Mà Ei    '  Ei   II   ',Ei   'Ei n n n dYi  Y Ei   Yi 'Ei  Yi II   ',Ei  i 1 dt i 1 i 1 n    Y' II   ',  Yi E i   i1  29  Y' II   ',Y   Y  Y' II   ',Y  2.3 Định lí Với X, Y, Z trường vectơ dọc đường cong  ln vng góc với M; h  F  I  ta có 1)  X  Y  '  X' Y' 2)  hY  '  hY' 3) dh Y dt d  Y, Z   Y', Z  Y, Z' dt Chứng minh             1)Ta có  X  Y  '    X  Y     X Y    X    Y   X' Y'         2)Ta có    dh dh dh  hY  '    hY     Y  h Y   Y  h  Y   Y  hY' dt dt       dt 3)Ta có d  Y, Z   Y, Z  Y, Z dt  II   ',Y   Y', Z  Y,II  ', Z   Z'  Y', Z  Y, Z'  d  Y, Z   Y', Z  Y, Z' dt 2.4 Định nghĩa Cho đường cong  M xác định tham số hóa : I  M t  t  30 Cho Y trường vectơ dọc đường cong  vng góc với M Trường vectơ Y gọi trường vectơ song song pháp dọc  Y ' =0 Ví dụ trường vectơ song song pháp dọc cung Cho M đa tạp Riemann n+1 chiều với liên thông Levi-Civita  M siêu mặt M , định hướng trường vectơ pháp tuyến đơn vị n Cho  đường cong xác định tham số hóa  : I  M M  M Ta có n    n    n  ,  n     n  ,  n      n    n   thành phần pháp  n     n  '  Vậy  n   trường vectơ song song pháp dọc  2.5 Nhận xét Nếu X,Y trường vectơ song song pháp dọc  aX+bY trường vectơ song song pháp dọc  với a,b số thuộc Chứng minh Ta có  aX+bY  '  aX  '  bY '  aX' da db X  bY' Y =0 dt dt ( Do X,Y trường vectơ song song pháp dọc  a,b số thuộc ) Vậy, aX+bY trường vectơ song song pháp dọc  31 2.6 Định lí Cho  : I  M tham số hóa đường cong  M  M ; a  I ; v vectơ pháp M   a  Khi đó, tồn trường vectơ song song pháp X dọc  lân cận   a  cho X  a   v Chứng minh Không làm tính tổng qt ta giả sử  (I) nằm tập mở V  M mà V có trường mục tiêu pháp Ei i1 dọc  Khi đó, ta đặt n n n n i 1 i 1 j1 X   fi Ei ; v   ci E i a ; E i'   h jiE j , i  1;n Từ đó, suy X song song pháp dọc   X'  n n      fi'   h ijf j Ei  i 1  j1  n  f   h ijf j  (*) ' i j1  f1;f ; f n nghiệm hệ phương trình (*) với điều kiện ban đầu fi(a) = ci Vậy X tồn 2.7 Định nghĩa Cho  : I  M tham số hóa đường cong  M  M Giả sử A    a  ; B    b  hai điểm đường cong  Ánh xạ  :  TA M    TBM           X  b  , X trường song song pháp dọc  cho   X  a  Khi đó,  gọi phép chuyển dịch song song pháp dọc  từ A đến B 32 2.8 Định lí Phép chuyển dịch song song pháp dọc  phép đẳng cấu tuyến tính trực giao Chứng minh Giả sử  : I  M tham số hóa đường cong  M  M ; A    a  ; B    b  hai điểm đường cong  ;  :  TA M    TBM  phép   chuyển dịch song song pháp dọc  từ A đến B Giả sử ;  '   TA M  có X, Y tương ứng trường vectơ song song pháp  dọc  cho   X  a  ;  '  Y  a  Ta có  X  Y  '  X' Y'  ( Do X, Y trường vectơ song song pháp dọc  ) Suy ra, X+Y trường vectơ song song pháp dọc  Giả sử  :  TA M    TBM          '    '   ' Trong   X  a  ;  '  Y  a  ;   X  b  ; '  Y  b  Khi đó, ta có      '    X  a   Y  a       X  Y  a     X  Y  b   X  b   Y  b      '          '       '          ' Với   (1) X trường vectơ song song pháp dọc  ta có X trường vectơ song song pháp dọc  33 Ta có        X  a       X  a     X  b   X  b     X  a                  (2) Ta có d X X X,X   ,X  X, 0  dt dt dt ( Vì X trường vectơ song song pháp dọc  ) Suy ra, X,X hàm dọc   X  a  ,Y  a   X  b  ,Y  b   ,  '      ,    '  ,  ' (3) Từ (1), (2) (3) ta suy phép đẳng cấu tuyến tính trực giao 2.9 Định nghĩa nhóm Hơlơmơni pháp Với x  M , kí hiệu C(x) tập hợp đường cong đóng có điểm đầu điểm cuối x Nếu 1; 2 tham số hóa đường cong thuộc C(x) 2 1 tham số hóa đường cong thuộc C(x) Ta có với đường cong  thuộc C(x), phép chuyển dịch song song pháp  tự đẳng cấu tuyến tính trực giao  Tx M  Tập hợp phép tự đẳng cấu  lập thành nhóm Nhóm gọi nhóm Hơlơmơni pháp M x 2.10 Định lí Trên siêu mặt nhóm Hơlơmơni pháp nhóm tầm thường Chứng minh Cho M đa tạp Riemann n+1 chiều với liên thông Levi-Civita  M siêu mặt M , định hướng trường vectơ pháp tuyến đơn vị n Cho 34  : I  M tham số hóa đường cong kín  M  M ; a,b  I ;   a     b   A điểm đường cong  Ánh xạ  :  TA M    TA M            n  b  , n trường song song pháp dọc  cho   n  a  phép chuyển dịch song song pháp dọc đường cong  Ta cần chứng minh    Thật vậy, ta có  vectơ pháp M   a  =A tồn trường vectơ song song pháp đơn vị n dọc  lân cận   a  cho n  a    Vì n trường vectơ pháp tuyến đơn vị siêu mặt M nên n  a   n  b  Suy    Vậy  tự đẳng cấu đồng Từ ta suy nhóm Hơlơmơni pháp siêu mặt nhóm tầm thường 35 KẾT LUẬN Những kết chủ yếu mà luận văn đạt là:  Chứng minh  X Y  T liên thông Levi – Civita với X,Y  B  M  (Định lí 2.2 chương 1) 2.Chứng minh tính chất liên thơng pháp đa tạp (Tính chất 1.2 chương 2) Chỉ ví dụ liên thơng pháp siêu mặt (Ví dụ 1.3 chương 2) Chứng minh định lí điều kiện cần đủ để trường vectơ vng góc với siêu mặt trường vectơ song song pháp (Định lí1.4 chương 2) Chứng minh tính chất tenxơ độ cong pháp (Định lí1.7; Định lí 1.8 chương 2) Chứng minh tính chất đạo hàm pháp dạng trường vectơ vng góc với M dọc đường cong (Định lí 2.3 chương 2) Chứng minh phép chuyển dịch song song pháp  phép đẳng cấu tuyến tính trực giao (Định lí 2.8 chương 2) Vấn đề đặt hướng nghiên cứu tìm mối liên hệ phép chuyển dịch song song pháp, phép chuyển dịch song song đa tạp phép chuyển dịch song song đa tạp 36 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Khu Quốc Anh, Nguyễn Doãn Tuấn ( 2005), Lý thuyết liên thơng hình học Riemann, NXB Đại học sư phạm [2] Trần Thị Lan Hương (2007), Về liên thông Levi-Civita đa tạp Riemann, Luận văn thạc sĩ, Đại học Vinh [3] Nguyễn Hữu Quang (2005), Bài giảng hình học Riemann, Đại học Vinh [4] Nguyễn Hữu Quang (2005), Bài giảng Đa tạp khả vi, Đại học Vinh [5] Nguyễn Hữu Quang, Ngơ Đình Quốc, Nguyễn Văn Bồng (2008), Hình học vi phân, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội [6] Đồn Quỳnh (2000), Hình học vi phân, NXB Giáo dục [7] Banrett, O’Neill (1983) , Semi – Riemanngeometry, Academic press New York London ... cho M đa tạp đa tạp Riemann M xuất liên thơng pháp đa tạp M Với mục đích nghiên cứu liên thông pháp đa tạp con, đưa khái niệm liên thông pháp đa tạp con, chứng minh tính chất liên thơng pháp, ...        20 Chương LIÊN THÔNG PHÁP DẠNG TRÊN ĐA TẠP CON RIEMANN Liên thông pháp dạng đa tạp Riemann 1.1 Định nghĩa Cho M đa tạp Riemann, M đa tạp M Liên thông pháp dạng M ánh xạ  : B... Liên thông Levi-Civita đa tạp Riemann Đa tạp Riemann Chuyển dịch song song đa tạp Riemann 15 Chương 2: LIÊN THÔNG PHÁP DẠNG TRÊN ĐA TẠP CON RIEMANN 20 Liên thông