Ánh xạ vị tự trên đa tạp nửa riemann

0 giáo dục đào tạo Tr-ờng đại học vinh ==== ==== Nguyễn Thị Tố Tâm ánh xạ vị tự Đa tạp nửa riemann Luận văn thạc sĩ toán học Chuyên ngành: hình học - tôpô MÃ số: 60.46.10 Ng-êi h-íng dÉn khoa häc: TS Ngun B×nh Vinh - 2009 MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU Chương: KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Đa tạp nửa Riemann 1.2 Liên thông Lêvi – Civita Đa tạp nửa Riemann 1.3 Các độ cong Đa tạp nửa Riemann 10 1.4 Định nghĩa cung trắc địa Đa tạp nửa Riemann 17 Chương 2: ÁNH XẠ VỊ TỰ 19 2.1 Định nghĩa tính chất ánh xạ vị tự 19 2.2 Liên thông độ cong qua ánh xạ vị tự 24 KẾT LUẬN 32 TÀI LIỆU THAM KHẢO 33 MỞ ĐẦU Đa tạp nửa Riemann tên gọi chung cho đa tạp Riemann đa tạp giả Riemann Việc nghiên cứu yếu tố liên quan đa tạp nội dung quan trọng hình học vi phân Ánh xạ vị tự Đa tạp nửa Riemann giới thiệu khảo sát số tài liệu với mức độ khác Trên sở kết số nhà toán học khảo sát ánh xạ đẳng cự để từ chúng tơi tìm kiếm kết ánh xạ tổng quát ánh xạ vị tự Mục đích luận văn nghiên cứu vấn đề cách có hệ thống, bổ sung phép chứng minh cần thiết cho số định lý mà tài liệu khác chưa trình bày số vấn đề liên quan Đa tạp nửa Riemann khảo sát tính liên thơng độ cong qua ánh xạ vị tự Với lý trên, hướng dẫn TS Nguyễn Duy Bình chúng tơi chọn tên đề tài luận văn là: “Ánh xạ vị tự Đa tạp nửa Riemann” Nội dung luận văn chia làm chương Chương 1: Giới thiệu khái niệm Đa tạp nửa Riemann số khái niêm Đa tạp nửa Riemann như: Liên thông Lêvi – Civita, độ cong, đường trắc địa số tính chất liên quan đến khái niệm để làm sở cho chương Chương 2: Sau đưa khái niệm ánh xạ vị tự Đa tạp nửa Riemann luận văn chứng minh tính chất: Mệnh đề 1.4 Khẳng định rằng: i Ánh xạ đồng Đa tạp nửa Riemann phép vị tự ii Tích phép vị tự phép vị tự ii Nghịch đảo phép vị tự phép vị tự Sau nghiên cứu tính liên thơng độ cong qua ánh xạ vị tự Định lý 2.1 Khẳng định rằng: Liên thông Lêvi – Civita bất biến qua ánh xạ vị tự Trên sở để nghiên cứu bất biến độ cong qua ánh xạ vị tự: Định lý 2.3 Khẳng định rằng: Độ cong Riemann bất biến qua ánh xạ vị tự Định lý 2.4 Khẳng định: Độ cong Ricci bảo tồn qua ánh xạ vị tự Định lý 2.5 Khẳng định: Ánh xạ vị tự không bảo tồn độ cong tiết diện Chương nội dung luận văn Luận văn thực Khoa sau Đại học - Trường Đại học Vinh hướng dẫn TS Nguyễn Duy Bình Nhân dịp hồn thnh lun tác giả xin chõn thnh cm n Thầy, cảm ơn Thầy giáo tổ hình học giảng dạy dẫn vấn đề có liờn quan n ti nghiờn cu Tác giả xin chân thành cảm ơn tới thầy giáo, cô giáo làm việc Khoa sau Đại học, đồng nghiệp, bạn bè gia đình tạo điều kịên thuận lợi cho chúng tơi hồn thành luận văn Vinh, tháng 12 năm 2009 Tác giả Chương KIẾN THỨC CƠ SỞ Trong chương này, giới thiệu khái niệm Đa tạp nửa Riemann số khái niÖm Đa tạp nửa Riemann như: Liên thông Lêvi – Civita, độ cong, đường trắc địa số tính chất liên quan đến khái niệm 1.1 Đa tạp nửa Riemann 1.1.1 Định nghĩa đa tạp khả vi M không gian tôpô Hausdorff, n số nguyên không âm Một atlas A (lớp Ck, k > 0) n - chiều M họ (U,x), U tập mở M, x đông phôi từ U lên tập mở x(U) Rn x: U  x(U) p (x1(p), x2(p), …, xn(p)) = (xi(p)) in (U,x) gọi đồ địa phương thuộc atlas A M U gọi miền xác định đồ địa phương đó, cho:  Mỗi điểm M thuộc miền xác định đồ địa phương thuộc A ’  Nếu (U,x),(U ,x) hai đồ địa phương thuộc atlas A mà Ũ = U  U’  ánh xạ từ x(Ũ) lên x’(Ũ) xác định x(p)  x’(p) (với p  Ũ) mà ta ký hiệu là: x’.x-1: x(Ũ)  x’(Ũ) (xi(p)) (xi’(p)) vi phôi từ lớp Ck tập mở x(Ũ), x’(Ũ) R n Atlas A gọi tối đại atlas B M (cùng lớp Ck) mà B  A B = A Một cấu trúc đa tạp khả vi (lớp Ck) n - chiều M atlas (lớp Ck) n - chiều tối đại M Dễ thấy atlas (lớp Ck) n - chiều xác định cấu trúc đa tạp khả vi (lớp Ck) n - chiều M hai atlas B, A xác định cấu trúc đa tạp khả vi (lớp Ck) n - chiều M khi: (U,x)  A , (U’,x)  A mà Ũ = U  U’   x’.x-1 x.x’-1 khả vi lớp Ck Không gian tô pô Hausdorff M với cấu trúc đa tạp khả vi (lớp Ck) n - chiều M gọi đa tạp khả vi (lớp Ck) n - chiều Thường ký hiệu tắt đa tạp M (khi cấu trúc đa tạp khả vi rõ ràng) Khi k = , đa tạp gọi nhẵn 1.1.2 Định nghĩa Đa tạp nửa Riemann Một tenxơ mêtric g đa tạp khả vi M trường tenxơ không suy biến kiểu (0,2) với số M tức g phép đặt p  M với dạng song tuyến tính đối xứng không suy biến với số gp: TpM  TpM  R phụ thuộc vào p cách khả vi, nghĩa với cặp trường véc tơ khả vi X, Y  B(M), hàm g(X,Y)  F(M) xác định g(X,Y)(p) = gp(Xp,Yp) hàm khả vi  Khi số gp với  p  M, tức gp xác định dương g cịn gọi Riemann  Khi số gp k > g cịn gọi giả Riemann 1.2 Liên thông Lêvi – Civita Đa tạp nửa Riemann Trong phần này, ta ký hiệu (M,g) Đa tạp nửa Riemann 1.2.1 Đạo hàm hàm số theo véc tơ tiếp xúc Cho f: M  R hàm khả vi  : I  M, t  (t) đường cong M Với p =  (t0), Xp =  ’(t0) ta định nghĩa: Xp[f] = d f  (t) dt t=t 1.2.2 Đạo hàm hàm số theo trường véc tơ Cho X trường véc tơ khả vi đa tạp M f  F(M) Khi đạo hàm hàm số f theo trường véc tơ X hàm số xác định bởi: X [f](p) = X(p) [f] ; với p  M 1.2.3 Định nghĩa liên thơng tuyến tính Ánh xạ : B(M)  B(M) (X, Y) B(M) gọi liên thông tuyến tính  XY (đạo hàm hiệp biến trường véc tơ Y dọc trường véc tơ X) M  thỏa mãn điều kiện: (1) X(Y + Z) = XY + XZ ;  X,Y,Z  B(M), (2) X + YZ = XZ + YZ; ,X,Y,Z  B(M), (3) fXY = f XY;  f  F(M), X,Y  B(M), (4) X(fY) = f XY + (Xf )Y;  f  F(M), X,Y  B(M) 1.2.4 Định nghĩa trường ten xơ xoắn Cho liên thơng tuyến tính  đa tạp M, trường tenxơ T kiểu (2,1) gọi trường tenxơ xoắn liên thơng xác định bởi: T(X,Y) = XY - YX – [X,Y]; X,Y  B(M) 1.2.5 Định nghĩa liên thông Lêvi – Civita Cho M Đa tạp nửa Riemann Liên thơng tuyến tính  gọi liên thơng Lêvi – Civita  thỏa mãn tiên đề sau: (1) Trường ten xơ xoắn T = (nghĩa [X,Y] = XY - YX ; X,Y  B(M)) (2) Với trường véc tơ X, Y, Z M X[g(Y, Z)] = g(XY, Z) + g(Y, XZ); X,Y, Z  B(M) 1.2.6 Định lý: Giả sử M Đa tạp nửa Riemann Khi tồn liên thông Lêvi – Civita M xác định công thức sau (công thức Koszul) g(XY, Z) = (X[g(Y, Z)] + Y[g(Z, X)] – Z[g(X, Y)] – g(X,[Y, Z]) + g(Y,[Z, X]) + g(Z,[X, Y])); với X, Y, Z  B(M) (*) Chứng minh: Để chứng minh định lý ta phải sử dụng bổ đề sau: Bổ đề: Giả sử M Đa tạp nửa Riemann  : B(M)  F(M) - dạng M Khi tồn trường véc tơ A  B(M) cho:  (Z) = g(A, Z) ;  Z  B(M) (a) Chứng minh: Ta cần chứng minh tồn A lân cận điểm tuỳ ý p  M Giả sử {Ei } in trường mục tiêu đồ địa phương (U,x) Khi với A  B(M) ta có biểu diễn: n A=  E i 1 i i ;  i  F(M) (i = 1,n ) Đẳng thức (a) tương đương với:  ( E j )  g ( A, E j )   j gij ( Ei , E j ) j   ( E j )   j gij ; với gij = EiEj (i,j = 1,n ) (b) j Từ (b) ta có hệ gồm n phương trình ẩn  i Vì tích vơ hưóng g khơng suy biến nên với q  U ta có det(gij) q  Do từ (b) xác định  j chúng biểu thị qua hàm khả vi  (Ej) gij   j khả vi Như trường véc tơ A khả vi A xác định cách thoả mãn (a) Bây ta chứng minh định lý:  Tính : Để chứng minh tính  ta giả sử : B(M)  B(M)  B(M) liên thông Lêvi – Civita tức thoả mãn hai điều (X, Y) XY kiện (1), (2) định nghĩa 2.5 thoả mãn phương trình (*) Thật từ (2) định nghĩa 2.5 ta có: X[g(Y, Z)] = g(XY, Z) + g(Y, XZ) (c) Y[g(Z, X)] = g(YZ, X) + g(Z, YX) (d) Z[g(X, Y)] = g(ZX, Y) + g(X, ZY) (e) Do T(X, Y) = XY - YX - [X, Y] = nên: YX = XY - [X, Y] ZX = XZ - [X, Z] ZY = YZ - [Y, Z] Suy ra: Y[g(Z, X)] = g(YZ, X) + g(Z, XY) – g(Z, [X, Y]) (f) Z[g(X, Y)] = g(XZ, Y) - g([Z, X], Y) + g(X, YZ) – g(X, [Y, Z]) (h) Cộng vế với vế (c) (f) trừ vế với vế cho (h) ta thu được: X[g(Y, Z)] + Y[g(Z, X)] - Z[g(X, Y)] = g(XY, Z) + g(Y, XZ) + g(YZ, X) + g(Z, XY) – g(Z, [X, Y]) - g(XZ, Y)+ g([Z, X], Y) - g(X, YZ) + g(X, [Y, Z])  X[g(Y, Z] + Y[g(Z, X)] - Z[g(X, Y)] = 2g(XY, Z) + g(X, [Y, Z]) - g(Y, [Z, X] - g(Z, [X, Y])  2g(XY, Z) = X[g(Y, Z)] + Y[g(Z, X)] - Z[g(X, Y)] - g(X, [Y, Z]) + g(Y, [Z, X] + g(Z, [X, Y]) Đây cơng thức (*) Bây ta giả sử có liên thơng tuyến tính khác  ’ thoả mãn điều kiện (1), (2) định nghĩa 2.5 Khi từ (*) suy ra: g(’XY, Z) = g(XY, Z)  g(’XY - XY, Z) = 0; X,Y,Z  B(M) ’   XY - XY = ’   XY = XY ’   =  Vậy tính  chứng minh  Sự tồn : Với X,Y  B(M) cố định, xét ánh xạ:  : B(M)  F(M) Z  (Z) ; Z  B(M) đó:  (Z) = (X[g(Y, Z)] + Y[g(Z, X)] – Z[g(X, Y)] – g(X, [Y, Z]) + g(Y, [Z, X]) + g(Z, [X, Y]) Khi  ánh xạ F(M) tuyến tính Thật vậy, ta dễ dàng kiểm tra tính cộng tính  biến Z Mặt khác:  (  Z) = (X[g(Y,  Z)] + Y[g(  Z, X)] –  Z[g(X, Y)] – g(X,[Y,  Z]) + g(Y,[  Z, X]) + g(  Z,[X, Y]) 21  (gN)(u, u) = c.gM (u, u)  gN( * (u), * (u)) = c.gM (u, u) * (1) Nếu M, N đa tạp Riemann thì: gN( * (u), * (u)) > gM (u, u) > Suy đẳng thức (1) vô lý 2.1.3 Ví dụ Cho Đa tạp nửa Riemann (M, g) M khơng gian R g tenxơ mêtric M xác định: g(x, y) = - x1y1 + x2y2 với x(x1, x2), y(y1, y2)  R2 Ánh xạ:  : M  M xác định x(x1, x2) x’(x2, x1) y(y1, y2) y’(y2, y1) g(x’, y’) = - x2y2 + x1y1 Khi đó: g(x, y) = - x1y1 + x2y2 = - (- x2y2 + x1y1) = - g(x’, y’) Vậy  phép vị tự với hệ số c = -1 2.1.4 Mệnh đề i Ánh xạ đồng Đa tạp nửa Riemann phép vị tự ii Tích phép vị tự phép vị tự iii Nghịch đảo phép vị tự phép vị tự Chứng minh: i Cho (M, g) Đa tạp nửa Riemann Ánh xạ f: M  M phép vị tự x x với hệ số c = (hay f phép đẳng cự) Thật với  ,   Tp M ; p  M Ta có: f * g ( ,  )  g ( f* ( ), f* (  )) = g ( ,  ) * Vậy f g  g ii Cho (M1, gM ), (M2, gM ), (M3, gM ) Đa tạp nửa Riemann Các ánh xạ 22 f: M1  M2 g: M2  M3 phép tự với hệ số theo thứ tự c1, c2 Để chứng minh ánh xạ h = g f: M1  M3 phép vị tự ta phải chứng minh: h* ( g M3 )  cg M1 với c  Do f: M1  M2 phép vị tự với hệ số c1 nên ta có: f * ( g M )  c1 g M1 ; c1  hay với  ,   Tp M1 , p  M1 ta có: f * g M ( ,  )  g M ( f* ( ), f* (  ))  c1g M1 ( ,  ) ) (1) g: M2  M3 phép vị tự với hệ số c2 nên ta có: g * ( g M3 )  c2 g M ; c2  hay với  ,   Tp M1 , p  M1 f* ( ), f* (  )  Tf ( p ) M ), f(p)  M2 ta có: g * g M3 ( f* ( ), f* (  ))  g M3 ( g* ( f* ( )), g* ( f* (  ))) = c2 g M ( f* ( ), f* (  )) (2) h* ( g M3 ) ,   g M3 (h* ( ), h* ( )) ) Ta có: = g M3 (( g f )* ( ),( g f )* ( )) = g M3 ( g* ( f* ( )), g* ( f* (  ))) = c2 g M ( f* ( ), f* (  )) (theo (2)) = c2.c1.gM (  ,  ) (theo (1)) Đặt c = c1 c2 c  * Vậy: h ( g M3 )( ,  )  cg M1 ( ,  ) với  ,   Tp M1 , p  M1 * Hay: h (gM ) = c.gM 23 iii Cho (M, gM), (N, gN) Đa tạp nửa Riemann Ánh xạ f: M  N phép vị tự với hệ số c Để chứng minh f -1: N  M phép vị tự ta phải chứng minh: (f -1)* gM = c1 gN ; c1  Do f: M  N phép vị tự với hệ số c nên ta có: f*(gN) = c gM Hay với  ,   Tp M , p  M thì: f*gN(  ,  ) = gN(f*(  ), f*(  )) = c gM(  ,  ) Với  ,   TpM, p  M f*(  ), f*(  )  Tf(p)N , f(p)  N Ta có: (f -1)* gM (f*(  ), f*(  )) = gM(f-1*(f*(  ), f-1*(f*(  ))) = gM (( f 1 f ) ( ), ( f 1 f) ( )) * * = gM(  ,  ) = Đặt c1 = gN(f*(  ), f*(  )) c c1  c Vậy (f -1)* gM = c1 gN 2.1.5 Định lý a Độ dài cung qua ánh xạ vị tự với hệ số c tăng lên c lần b Thể tích đa tạp compăc k chiều qua ánh xạ vị tự với hệ số c tăng c k lần Chứng minh: Cho ánh xạ  : M  N ánh xạ vị tự với hệ số c, gM, gN thứ tự tenxơ mêtric Đa tạp nửa Riemann M, N 24 a Với cung nhẵn khúc  : [a, b]  M, t  (t) đa tạp (M, gM), độ dài cung là: b L(  )   g M (  , (t ),  , (t )) dt a Qua ánh xạ vị tự  cung  biến thành cung   : [a, b]  N  t  (t) đa tạp (N, gN) có độ dài là: b L(  )   g N ((  ) '(t ), (  ) '(t )) dt a b =  c.g M (  ' (t ),  ' (t )) dt a b = c  g M (  ' (t ),  ' (t )) dt a = c L(  ) b Với S đa tạp compăct k-chiều Đa tạp nửa Riemann M Trước tiên xét trường hợp S = r (W), r: U  Rk  M (u1,u2,…,uk) Trong (r(U), r-1 ’ r (U ) r(u1,u2,…,uk) ) đồ M W compăc, W  U ’ Ta có { r u , …., r u k } trường mục tiêu tiếp xúc S g11 g1k Vol(S) =  W g 21 g k det gij du1… duk với gij = gM(r’u , r’u ), det(gij) = j i Qua ánh xạ vị tự  : M  N S g k g kk  (S) = S’, S’ = r (W) với 25 r =  r:  W  r (u1,u2,…,uk) (u1,u2,…,uk) ’ với r u i =  * r’u i , ’ r u1 , N ……, ’ r u k trường mục tiêu tiếp xúc S’ Khi đó: Vol(S’) =  det( gij ) du1… duk với g ij W = gN( r u i ’, ruj ’ ) = g N (  * r u i , * r u j ) = c gM(r’u i , r’u j ) = c gij det( gij ) = g 11 g 1k cg11 cg1k g 21 g k cg 21 cg k = g k g kk Vol(S’) =  = ck det(gij) cg k cg kk det( gij ) du1… duk = W  c k det gij du1… duk W = ck  det gij du1… duk W = c k Vol(S) Đối với S đa tạp compăct k- chiều, sử dụng phép phân hoạch đơn vị kết miền thuộc đồ M kiểm tra ta nhận được: Vol(S’) = c k Vol(S) với S’ =  (S) 2.2 Liên thông độ cong qua ánh xạ vị tự 2.2.1 Định lý Liên thông Lêvi – Civita bất biến qua ánh xạ vị tự Chứng minh: 26 Cho M, N Đa tạp nửa Riemann , ’ theo thứ tự liên thông Lêvi – Civita M, N Giả sử f: M  N ánh xạ vị tự.Ta phải chứng minh: f*XY = ’f * Xf*Y Đặt  XY = f 1 * ’f * Xf*Y (1) với X, Y  B(M) Ta chứng minh  liên thơng Riemann M Trước hết ta chứng minh liên thơng tuyến tính, muốn ta kiểm tra có thoả mãn điều kiện liên thơng tuyến tính khơng? Với X1, X2, Y1, Y2  B(M),   F(M)   X(Y1+Y2) = f 1 * ’f * Xf*(Y1+Y2) = f 1 * [(’f * Xf*Y1) + (’f * Xf*Y2)] 1 * = f (’f * Xf*Y1) + f 1 * (’f * Xf*Y2) =  XY1 +  XY2 1 * ’f * (X +X )f*Y   X +X Y = f = f =  X1 Y +  X Y    XY = f 1 * 1 * (’f * X f*Y) + f 1 * (’f * X f*Y) ’f * (  X)f*Y =  f 1 * ’f * Xf*Y =   XY  Vì  X (  Y) = f 1 * ’f * Xf*(  Y) ’f * Xf*(  Y) = ’f * X(  f-1) f*Y = f*X[(  f-1)]f*Y + (  f-1) ’f * Xf*Y   X (  Y) = f 1 * = f ’f * Xf*(  Y) 1 * (f*X[(  f-1)]f*Y) + f 1 * ((  f-1) ’f * Xf*Y) 27 = X[  ]Y +   XY Vậy  thoả mãn điều kiện liên thơng tuyến tính  liên thơng tuyến tính Bây ta kiểm tra  thoả mãn hai điều kiện liên thơng Lêvi – Civita:  Ta có: T(X, Y) =  XY -  YX - [X, Y] (2) Thay (1) vào (2) ta có: T(X, Y) = f 1 * ’f * Xf*Y - f ’f * Yf*X - [X, Y] 1 *  f*T(X, Y) = f*(f *1 ’f * Xf*Y - f 1 * ’f * Yf*X - [X, Y]) = ’f * Xf*Y - ’f * Yf*X - [f*X, f*Y] = T(f*X, f*Y) =  T(X, Y) = (vì f* đơn ánh)  Vì ’ liên thơng Lêvi – Civita N nên: f*Z [gN(f*X, f*Y)] = gN(’f * Zf*X, f*Y) + gN(f*X, ’f * Zf*Y) Ta có: gN(f*X, f*Y) (f(p)) = gN(f*X(f(p)), f*Y(f(p))) = c gM(X(p), Y(p)) = c gM(X, Y)(p) = c gM(X, Y) f-1(f(p))  gN(f*X, f*Y) = c gM(X, Y) f Mà: -1 f*Z [gN(f*X, f*Y)](f(p)) = f*Z(f(p)) [gN(f*X, f*Y)] = f*p(Z(p)) [gN(f*X, f*Y)] = Z(p) [gN(f*X, f*Y) f ] = Z(p) [c gM(X, Y) f -1 f ] = c Z(p) [gM(X, Y)] (3) 28 = c Z [gM(X, Y)](p) Khi từ (3) ta suy ra: c.Z [gM(X, Y)] = c.gM(f  Z[gM(X, Y)] = gM(f 1 * ’f * Zf*X, f*-1 f*Y) + c.gM(f*-1 f*X, f*-1 ’f * Zf*Y) 1 * ’f * Zf*X, Y) + gM(X, f 1 * ’f * Zf*Y) = gM(  ZX, Y) + gM(X,  ZY) Vậy  liên thông Lêvi – Civita M, mà M liên thông Lêvi – Civita nên  =  Do đó: XY =  XY = f *1 ’f * Xf*Y  f*(XY) = f*(f *1 ’f * Xf*Y) = ’f * Xf*Y Vậy f*(XY) = ’f * X f*Y 2.2.2 Hệ quả: Qua ánh xạ vị tự cung trắc địa biến thành cung trắc địa Chứng minh: Cho cung trắc địa  Đa tạp nửa Riemann M Ánh xạ f: M  N ánh xạ vị tự, f(  ) cung trắc địa Đa tạp nửa Riemann N Thật vậy, theo định nghĩa  cung trắc địa Đa tạp nửa Riemann M nên  '  ' = ' Ta có:  f f  ' = ' f* f* = f*(  '  ) = (Do  bất biến qua ánh xạ ' ' vị tự) ' Hay  f ' f  ' = Vậy f(  ) cung trắc địa N 2.2.3 Định lý: Độ cong Riemann bất biến qua ánh xạ vị tự 29 Chứng minh: Cho  : M  N phép vị tự, , ’ theo thứ tự liên thông Lêvi – Civita M, N Ta phải chứng minh:  * (R(X, Y, Z)) = R( * (X),  * (Y),  * (Z)) ; với X, Y, Z  B(M) Theo định nghĩa độ cong Riemann ta có: R(X, Y, Z) = XYZ - YXZ -  [X,Y]Z R( * (X),  * (Y),  * (Z)) = ’ * X ’ * Y * Z -’ * Y ’ * X * Z - ’ [ * X, * Y] * Z =  * XYZ -  * YXZ -  *  [X,Y]Z (do  bất biến qua ánh xạ vị tự) =  * (XYZ - YXZ -  [X,Y]Z) =  * (R(X, Y, Z)) Vậy * (R(X, Y, Z)) = R( * (X),  * (Y),  * (Z)) 2.2.4 Định lý: Độ cong Ricci bảo tồn qua ánh xạ vị tự Chứng minh: Cho ánh xạ  : M  N phép vị tự với hệ số c, gM, gN theo thứ tự ten xơ mêtric M N Khi ta phải chứng minh: RicM(X, Y) = RicN( * X , *Y ) với X, Y  B(M) Do  ánh xạ vị tự với hệ số c nên ta có:  * gN = c gM với  ,   Tp M , p  M thì:  * g N ( ,  )  g N ( * ( ), * ( ))  cgM ( ,  ) Theo định nghĩa độ cong Ricci ta có: (1) 30 RicM(X, Y) =  m gM(R(X, Em, Y), Em) m với {Em } trường mục tiêu trực chuẩn xác định địa phương M  m = gM (Em, Em) RicN( * X , *Y ) =  m gN(R( * X , Am , *Y ), Am) m với {Am } trường mục tiêu trực chuẩn xác định địa phương N  m = gN (Am, Am) Am= c  * (Em) Ta có: RicN( * X , *Y ) =  m gN(R( * X , Am , *Y ), Am) m =  gN(Am, Am) gN(R( * X , Am , *Y ), Am) m =  gN( m =  m =  m = = c2  c  * (Em), c  * (Em)) gN(R( * X , c  * (Em), *Y ), 1 gN( * (Em),  * (Em)).gN( R( * X ,  * (Em),  *Y ), c c 1 gN( * (Em),  * (Em)) gN( * (R(X, Em,Y),  * (Em)) c c  c gM(Em, Em) c gM(R(X, Em,Y), Em) (do (1)) m gM(Em, Em) gM(R(X, Em,Y), Em) m =   m gM(R(X, Em,Y), Em) m = RicM(X, Y) Vậy: RicM(X, Y) = RicN( * X , *Y ) 2.2.5 Định lý Ánh xạ vị tự không bảo tồn độ cong tiết diện Chứng minh: c c  * (Em))  * (Em)) 31 Cho ánh xạ  : M  N phép vị tự với hệ số c, gM, gN theo thứ tự ten xơ metric M N Giả sử  hai phẳng không gian tiếp xúc TpM, qua ánh xạ  * có khơng gian véc tơ hai chiều  * (  ) Khi theo định nghĩa độ cong tiết diện ta có: KM(  ) = g M ( R( ,  ,  ),  ) g M ( ,  ) g M ( ,  )  g M ( ,  ) ; với  ,  sở  KN( * (  )) = g N ( R(v, w, w), v) (*) ; với v,w sở  * (  ) g N (v, v) g N (w, w)  g N (v, w) Trong đó: v = c  * ( ) , w = Ta có: R(v, w, w) = R( = = c c c c c c  * ( ) ,  * ( ) c  * ( ) ,  * ( ) ) c R( * ( ) ,  * (  ) ,  * (  ) ) (theo (e) định lí 3.2) 1  * R(  ,  ,  ) Nên: gN(R(v, w, w), v) = gN( c c (theo định lí 2.4)  * R(  ,  ,  ), c  * ( ) ) = gN( * R(  ,  ,  ),  * ( ) ) c2 = c gM(R(  ,  ,  ),  ) c2 = gM(R(  ,  ,  ),  ) c gN(v, v) = gN( = c c  * ( ) , c (1)  * ( ) ) gN( * ( ) ,  * ( ) ) c = cgM(  ,  )= gM(  ,  ) (2) 32 gN(w, w) = gM(  ,  ) (3) gN(v, w) = gM(  ,  ) (4) Thay (1), (2), (3) (4) vào (*) ta có: g M ( R( ,  ,  ),  ) c KN( * (  )) = g M ( ,  ).g M (  ,  )  g M ( ,  ) g M ( R( ,  ,  ),  ) g M ( ,  ).g M (  ,  )  g M ( ,  ) = c = KM(  ) c Vậy qua ánh xạ vị tự f: M  N với hệ số c thì: KN( * (  )) = KM(  ) c Nhận xét: Nếu ánh xạ vị tự f: M  N có hệ số c = (f ánh xạ đẳng cự) độ cong tiết diện bảo tồn qua ánh xạ f KN( * (  )) = KM(  ) 2.2.6 Hệ Độ cong vô hướng đa tạp giả Riemann không bảo tồn qua ánh xạ vị tự Chứng minh: Theo định nghĩa độ cong vơ hướng ta có: SM =  KM(Ei, Ej) ; với Ei, Ej véc tơ sở M i j SN =  KN(Ak, Al) ; với Ak, Al véc tơ sở N k l đó: Ak = 1  * (Ei), Al =  * (Ej) c c Khi đó: SN =  k l KN(Ak, Al) =  i j = = c KM(Ei, Ej) c  i j SM c KM(Ei, Ej) 33 KẾT LUẬN Nhìn lại cách tổng thể luận văn, nhận thấy luận văn đạt kết sau: - Trình bày cách có hệ thống chi tiết khái niệm, tính chất Đa tạp nửa Riemann chứng minh chi tiết tính chất Định lý 1.2.6, 1.3.2, 1.3.4 - Trình bày định nghĩa, lấy ví dụ ánh xạ vị tự chứng minh cách chi tiết số tính chất ánh xạ vị tự Mệnh đề 2.1.4, Định lý 2.1.5 - Trình bày chứng minh chi tiết tính bất biến liên thơng Lêvi -Civita, cung trắc địa, độ cong Riemann, độ cong Ricci, không bất biến độ cong tiết diện, độ cong vô hướng qua ánh xạ vị tự Định lý 2.2.1, 2.2.3, 2.2.4, 2.2.5, Hệ 2.2.2, 2.2.6 34 Do điều kiện thời gian, nhiều vấn đề liên quan đến ánh xạ vị tự Đa tạp nửa Riemann mà chưa khảo sát Trong thời gian tới, tiếp tục nghiên cứu ánh xạ vị tự với hệ số hàm số Tác giả cố gắng kiểm tra lỗi tả nhiều lần sửa chữa ý diễn đạt trước hoàn thành luận văn, cịn nhiều thiếu sót nên tác giả mong Thầy, bạn đóng góp ý kiến để tác giả hoàn thiện Tác giả xin chân thành cảm ơn Thầy, bạn góp ý cho tác giả quan tâm đến luận văn TÀI LIỆU THAM KHẢO Tài liệu tiếng Việt [1] Nguyễn Thị Vân Anh, Về điểm rốn đa tạp không gian Lorentz - Minkowski, Luận văn thạc sĩ, Đại học Vinh, 2001 [2] Nguyễn Thị Lệ Hằng, Ánh xạ đẳng cự đa tạp Riemann, Luận văn thạc sĩ, Đại học Vinh, 2001 [3] Nguyễn Hữu Quang, Đa tạp kha vi, Bài giảng chuyên đề cao học thạc sĩ, Đại học vinh, 2005 [4] Nguyễn Hữu Quang (2005), Hình học Riemann, Bài giảng chuyên đề cao học thạc sĩ [5] Đồn Quỳnh, Hình học vi phân, Nhà xuất Đại học sư phạm, 2001 [6] Đồn Quỳnh, Trần Đình Viện, Trương Đức Hinh, Nguyễn Hữu Quang Bài tập hình học vi phân, NXB Giáo dục, 1989 35 Tài liệu tiếng Anh [7] Barett Oneill- SemiRiemann geometry,Academic press–Newyork London, 1983 ... niệm ánh xạ vị tự Đa tạp nửa Riemann luận văn chứng minh tính chất: Mệnh đề 1.4 Khẳng định rằng: i Ánh xạ đồng Đa tạp nửa Riemann phép vị tự ii Tích phép vị tự phép vị tự ii Nghịch đảo phép vị tự. .. phép vị tự với hệ số c = -1 2.1.4 Mệnh đề i Ánh xạ đồng Đa tạp nửa Riemann phép vị tự ii Tích phép vị tự phép vị tự iii Nghịch đảo phép vị tự phép vị tự Chứng minh: i Cho (M, g) Đa tạp nửa Riemann. .. Hệ quả: Qua ánh xạ vị tự cung trắc địa biến thành cung trắc địa Chứng minh: Cho cung trắc địa  Đa tạp nửa Riemann M Ánh xạ f: M  N ánh xạ vị tự, f(  ) cung trắc địa Đa tạp nửa Riemann N Thật