Đạo hàm của đại số tensor

Bộ giáo dục đào tạo Tr-ờng đại học vinh phan mạnh tr-ờng đạo hàm đại số tenSOR CHUYấN NGÀNH: HÌNH HỌC - TƠPƠ Mã số: 60.46.10 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS TS NGUYỄN HỮU QUANG VINH - 2011 MỤC LỤC Mở đầu……………………………………………………………………….1 Chƣơng I:Trƣờng Tensor đại số I.Đại số ……………………………………………………………… II.Tensor đại số …………………………………………………………7 Chƣơng II: Đạo hàm đại số tensor 15 I Đạo hàm đại số B……………………………………………………15 II Đạo hàm đại sô tensor ImB…………………………………………19 2.2.1 Đại số tensor ImB…………………………………………………….19 2.2.2 Đạo hàm ImB……………………………………………………20 III Liên thơng tuyến tính mơdun đạo hàm……………………… 25 IV.Ứng dụng ………………………………………………………………30 A.Ứng dụng 1………………………………………………………………30 B.Ứng dụng 2………………………………………………………………35 Kết luận ……………………………………………………………………38 Tài liệu tham khảo …………………………………………………… .39 MỞ ĐẦU Như biết phép tính tensor nghiên cứu năm 1900 qua cơng trình Ricci Levi-Civita,đại số tensor có nhiều nhà tốn học nghiên cứu Chúng ta biết đạo hàm Lie đạo hàm hiệp biến, thuận biến sử dụng rộng rãi lý thuyết chuyển động không gian Riemann, không gian afin không gian xạ ảnh liên kết Một vấn đề để nghiên cứu biến thiên trường véctơ, trường tensor mặt nói riêng đa tạp nói chung cần dựa vào phép tịnh tiến song song, để giải vấn đề lý thuyết liên thơng đời Liên thơng tuyến tính hình học giới thiệu H.Weyl vào năm 1918 không gian afin liên kết dạng tổng quát định nghĩa E.Cartan Toán tử đạo hàm Lie ứng dụng cho trường vec tơ trường ten xơ lần xem xét Van Danzig, Slebodzinski, Davis, Schouten Van Campen Các kết lý thuyết đạo hàm Lie không gian tổng quát V.V.Vagner tìm Kĩ thuật đạo hàm Lie ứng dụng cho không gian phân tử giới thiệu chi tiết B.L.Laptev Một đóng góp quan trọng cho lý thuyết đạo hàm Lie đa tạp trơn xem xét tảng cách sử dụng phép nhúng p: E M đưa B.N Shapukov Mục tiêu luận văn mở rộng toán tử đạo hàm Lie đạo hàm hiệp biến, thuận biến cho phần tử xác định mô đun đạo hàm đại số Luận văn trình bày cách có hệ thống vấn đề đại số, tensor đại số đạo hàm tensor đại số Trên sở tham khảo tài liệu có điều kiện nay, hướng dẫn tận tình PGS.TS.Nguyễn Hữu Quang, tác giả chọn đề tài nghiên cứu : Đạo hàm đại số tensor Luận văn gồm hai chương: Chƣơng 1: Là chương sở nêu số kiến thức đại số tensor đại số Gồm nội dung : I Đại số: Các kiến thức đại số II Tensor đại số Chƣơng 2: Đạo hàm đại số tensor Gồm nội dung : I Đạo hàm đại số B II Đại số tensor ImB III Liên thơng tuyến tính đại số B IV Ứng dụng: A Ứng dụng : Áp dụng kết vào đa tạp M B Ứng dụng : Áp dụng kết vào đại số đa thức Luận văn hoàn thành vào tháng 12 năm 2011 trường Đại Học Vinh hướng tận tình chu đáo PGS.TS Nguyễn Hữu Quang Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc kính trọng tới thầy Nhân dịp tác giả xin chân thành cảm ơn tới TS.Nguyễn Duy Bình , TS Kiều Phương Chi - Đại Học Vinh, Th.s Bùi Cao Vân - Sở GD&ĐT Quảng Ngãi, Th.s Nguyễn Viết Sơn - Đại Học Hồng Đức, Thầy hội đồng đánh giá luận văn, thầy khoa Tốn, khoa Sau Đại học, anh chị học viên CH 17 chuyên ngành Hình Học tạo điều kiện thuận lợi giúp tác giả hoàn thành luận văn Nhân dịp tác giả xin chân thành cảm ơn Sở GD&ĐT Hà Tĩnh, trường THPT Nguyễn Văn Trỗi, Lộc Hà, Hà Tĩnh, gia đình bạn bè tạo điều kiện thuận lợi giúp đỡ tác giả hồn thành khóa học Xin chân thành cảm ơn ! Tác giả CHƢƠNG I TRƢỜNG TENSOR TRÊN ĐẠI SỐ Trong chương này, ta giả thiết K vành giao hốn có đơn vị ( nghĩa phép nhân vành có tính chất giao hốn có đơn vị giả thiết khác 0; đơn vị nhóm cộng K ) Như ta biết modun G K nhóm cộng Abel với phép nhân: K G  G (a, x) a.x thỏa mãn tiên đề sau: a(x+y) = ax+ay ; a  K ; x, y  G (a+b)x =ax+bx ; a, b  K ; x  G (ab)x =a(bx) ; a, b  K ; x  G 1.x =x ; x G Rõ ràng K trường G không gian véc tơ K I Đại số 1.1.1 Định nghĩa G gọi đại số K G modun G trang bị phép toán nhân :  : GG  G (a, b) a.b thỏa mãn : a.(b  c)  a.b  a.c (a  b).c  a.c  b.c ( a).b   (a.b) Với a, b, c  G;  K 1.1.2 Chú ý Nếu phép nhân giao hốn G gọi đại số giao hốn Nếu phép nhân có tính chất kết hợp G gọi đại số kết hợp Nếu a.b = với a, b  G G gọi đại số tầm thường [a,b]  [b,a] a, b, c  G [[a,b], c]  [[b,c], a]  [[c,a], b]  Nếu tích thỏa mãn:  K trường G gọi đại số Lie Trong trường hợp tích a.b viết [a,b] ([ , ] gọi móc Lie ) Giả sử G đại số Lie n - chiều trường K ei i 1 sở G n n n i 1 i 1 Khi với a   ei ; b   bi ei ta có biểu diễn :  a, b   aib j ei , e j    aib j gijk ek ( i, j i , j ,k n ei , e j    gijk ek ) k 1 Bộ số  gijk  gọi số cấu trúc đại số Lie G 1.1.3 Ví dụ Ta kí hiệu M n ={A | A ma trận vuông thực cấp n} Với phép A  B toán sau : k A với A,B  M n , k   A.B  Khi M n thành đại số kết hợp khơng giao hốn có đơn vị Thật : - Ta dễ dàng kiểm tra tính chất sau :  a(A+B) = aA+aB ; a  ; A,B  M n  (a+b)A =aA+bA ; a, b  ; A  M n ,  (ab)A =a(bA) ; a, b  ; A  M n , - Và tính chất tích :  A(B+C) = AB+AC  (A+B)C =AC+BC  (a.A)B =a.(AB) với a  ; A,B,C  M n Hồn tồn tương tự ta kiểm tra ví dụ sau đại số Giả sử M đa tạp khả vi F (M) tập hàm thực khả vi M với phép tốn thơng thường F (M) đại số giao hốn, kết hợp có đơn vị G= số Lie với phép tốn thơng thường, [a,b]=a  b G đại Giả sử L (G) tập hợp tất dạng tuyến tính thực Rmơđun.Ta đưa vào L (G) phép toán sau :   f  g  ( x)  f ( x)  g ( x) ; với  f , g  L (G) ,  x  G  (kf )( x)  k f ( x) ; với  f  L (G) ,  x  G,  k   ( fg )( x)  f ( x).g ( x) ; với  f , g  L (G) ,  x  G  Khi L (G) đại số 1.1.4 Nhận xét Giả sử G đại số kết hợp trường K Ta đặt tích a, b  ab  ba Khi G đại số Lie Giả sử G đại số Lie ,với số cấu trúc  gijk  ta có : a gij  g ji  k k b gij g ks  g js g ki  g si g kj  k l k l k l II Tensor đại số Trong mục này, ta ln giả thiết A đại số giao hốn, kết hợp trường P có đơn vị e, dimA = n Gọi A* đối ngẫu A Bây ta xét phép toán sau : Phép toán  : A*  A  A* ( f , a) f a thỏa mãn : ( fa)(c)  f (ac) Phép nhân A*  A*  A* ( f , g) Ta có nhận xét sau : f g mà : f g ( x)  f ( x).g ( x)  f (a  c)  fa  fc  ( f  g )a  fa  ga  f (ac)  ( fa)c  ( f )a   ( fa)  f (a) với a, c  A; f  A* ;   P Thật : ta chứng minh nhận xét : Với dA ta có ( f (a  c))(d )  f  (a  c)d   f (ad  cd )  f (ad )  f (cd )  ( fa)(d )  ( fc)(d )  ( fa  fc)(d ) nên f (a  c)  fa  fc Tương tự ta chứng minh tính chất Rõ ràng ta thấy A* với hai phép toán lập thành đại số A (Và đại số P có số chiều n) 1.2.1 Định nghĩa : Giả sử B đại số P Một tensor kiểu ( r;s ) A lấy giá trị B ánh xạ ( r + s ) - tuyến tính : T : A*  A* A*  A  A A  B r ( T : Asr  B ) s ( f1 , , f r , x1, , xs ) T ( f1, , f r , x1, , xs ) 1.2.2.Ví dụ : A= n ,B= f  ( n * ) tensor kiểu (0 ;1) 25 = ( DT1  T2  T1  DT2 )(1 , , r ,1, , p , Y1, , Ys , Z1, , Zq ) với i , j  F * Yi , Z j  F Vậy: D(T1  T2 )  DT1  T2  T1  DT2 III Liên thông tuyến tính mơdun đạo hàm - Trên mơdun đạo hàm đại số B ta có phép tốn hai ngơi:  : F  F  F thỏa mãn :     fX  gY X Z  f  X Z  g Y Z ( fY  gZ )  ( Xf )Y  ( Xg )Z  f  XY  gYZ với X , Y , Z F , f , g B 2.3.1.Định nghĩa: - Ánh xạ  xác định gọi liên thông tuyến tính - Ánh xạ :  X : F  F mà thỏa mãn Y  X Y gọi đạo hàm hiệp biến đạo hàm Y theo hướng X - Các ánh xạ T : F  F  F xác định T ( X , Y )   X Y  Y X   X , Y  R :F  F  F  F xác định R( X , Y , Z )   X Y Z  Y  X Z   X ,Y  Z Được gọi tensor xoắn tensor cong B liên thơng tuyến tính  2.3.2 Nhận xét : Các ánh xạ T R B - đa tuyến tính 26 Chứng minh :  Ta chứng minh T B - đa tuyến tính + T ( fX1  gX , Y )   fX  gX Y  Y ( fX1  gX )   fX1  gX , Y  =  fX Y   gX Y  (Yf ) X1  (Yg ) X  f Y X1  gY X 2 -  f  X1 , Y   g  X , Y   (Yf ) X1  (Yg ) X  = f   X Y  Y X1   X1 , Y   g   X Y  Y X   X , Y  = fT ( X1 , Y )  gT ( X , Y ) + Tương tự T ( X , fY1  gY2 ) = fT ( X , Y1 )  gT ( X , Y2 )  Ta chứng minh R B - đa tuyến tính + R( fX , Y , Z )   fX Y Z  Y  fX Z   fX ,Y Z = f  X (Y Z )  Y ( f  X Z )   f  X ,Y (Yf ) X Z = f  X (Y Z )  (Yf ) X Z  f Y ( X Z )  f  X ,Y Z  (Yf ) X Z = f   X Y Z  Y  X Z   X ,Y  Z  = fR( X , Y , Z ) + R( X , Y , fZ )   X Y ( fZ )  Y  X ( fZ )   X ,Y  fZ =  X  (Yf )Z  f Y Z   Y  ( Xf )Z  f  X Z    X , Y  f  Z  f  X ,Y Z = X (Yf )Z  (Yf ) X Z  ( Xf )Y Z  f  X Y Z - Y ( Xf )Z  ( Xf )Y Z  (Yf ) X Z  f Y  X Z - 27 -  X (Yf )  Y ( Xf )  Z  f  X ,Y Z = f   X Y (Z )  Y  X (Z )   X ,Y  Z  = fR( X , Y , Z ) - Bây với a  A ,  đơn vị đại số A Do F đại số A nên ta xác định ánh xạ : a  :F  F  F  X Y  a X Y  (  a)  Y X   X , Y  a ( X ,Y ) 2.3.3 Mệnh đề : a  liên thông tuyến tính Chứng minh : Với f , g  B X , Y , Z F ta có : 1/  fX  gY Z  a fX  gY Z  (  a)  Z ( fX  gY )   fX  gY , Z  a = a  f  X Z  gY Z  + (  a) (Zf ) X  (Zg )Y  f Z X  gZY  f  X , Z   g Y , Z   (Zf ) X  (Zg )Y  = f a X Z  (  a)  Z X   X , Z  + g aY Z  (  a)  Z Y  Y , Z  a a = f  X Z  g Y Z 2/  X ( fY  gZ )  a X ( fY  gZ )  (  a)   fY  gZ X   X , fY  gZ  a = a  ( Xf )Y  ( Xg )Z  f  X Y  g X Z  + + (  a)  f Y X  gZ X  ( Xf )Y  ( Xg )Z  f  X , Y   g  X , Z  28 = f a X Y  (  a)  Y X   X , Y  + + g a X Z  (  a)  Z X   X , Z   ( Xf )Y  ( Xg )Z a a = f  X Y  g  X Z ( Xf )Y  ( Xg )Z a Vậy  liên thông tuyến tính a a a 2.3.4 Nhận xét : Giả sử T ( X , Y )   X Y  Y X   X , Y  tensor xoắn a a liên thông  Khi ta có : T ( X , Y )  (2a   )T ( X , Y ) Thật : Với X,Y F , ta có : a a a T ( X , Y )   X Y  Y X   X , Y  = a X Y  (  a)  Y X   X , Y  -( aY X  (  a)   X Y  Y , X  ) -  X ,Y  = (2a   )   X Y  Y X   X , Y  = (2a   )T ( X , Y ) 2.3.5 Định nghĩa : Đạo hàm D ImB gọi đạo hàm theo hướng X liên kết với liên thông  thỏa mãn :  D f = X f ; f  B  DY =  X Y với Y  F Ta kí hiệu đạo hàm D  X 2.3.6 Mệnh đề : Đạo hàm  X thỏa mãn tính chất sau : 29  X (Y )   X (( X ))  ( X (Y ))  X K (1 , r , Y1, , Ys )  r =  X ( K (1 , r , X1 , X s ))   K (1 , ,  X i , , r , Y1, , Ys ) i 1 s -  K ( , ,  , Y , ,  i 1 r Y , , Ys ) X i  X (T1  T2 )   X T1  T2  T1  X T2 Chứng minh : Ta dễ dàng chứng minh tính chất dựa vào mệnh đề : 2.2.3 2.2.4 2.3.7 Mệnh đề :  X , Y  f   X ,Y  f  X , Y  Z   X ,Y  Z  R( X , Y )Z  X , Y    X ,Y    R( X , Y ) : R( X , Y ) : F  F Z R( X , Y ) Z Chứng minh:  X , Y  f   X (Y f )  Y ( X f )  X (Yf )  Y ( Xf )   X ,Y ( f )   X ,Y  f  X , Y  Z   X Y Z  Y  X Z Và  : F  B 30   X ,Y  Z  R( X , Y ) Z  X , Y (Z )   X , Y  ((Z ))    X , Y  Z  với Z  F    X ,Y  ( ( Z ))    X ,Y  Z  R( X , Y )Z     X ,Y  ( ( Z ))    X ,Y  Z     R( X , Y ) Z   X ,Y  (Z )   R( X , Y )( Z ) với Z  F Suy :  X , Y    X ,Y    R( X , Y ) 2.3.8 Mệnh đề : Cho K  Ts0 với X , X1 , , X s  F ta có : s ( X K )( X1 , , X s )  X  K ( X 1, , X s )    K ( X 1, ,  X X i , , X s ) i 1 Chứng minh :- Theo mệnh đề 2.2.3 ta có s  X K ( X1 , , X s )   X ( K ( X1 , X s ))  K ( X , ,  X X i , , X s ) i 1 Do K ( X1 , , X s )  B nên theo định nghĩa  X ta có s ( X K )( X1 , , X s )  X  K ( X1 , , X s )    K ( X1 , ,  X X i , , X s ) i 1 IV.Ứng dụng : A.Ứng dụng 1.Trong mục ta kí hiệu M đa tạp khả vi thực n - chiều với liên thơng tuyến tính  Và ta đặt A = = đại số trường P Khi ta có kết sau :  B = F ( M ) = { f :M  , khả vi } đại số A = 31  F = B ( M ) = { tập trường véc tơ khả vi M }  F* = 1 ( M ) 1- dạng vi phân khả vi M Với  X định nghĩa định nghĩa 2.3.5,  k-dạng M tức  Mk tensor loại (0;k) tương tự mệnh đề 2.2.3 ta có : k ( X  )( X1 , , X k )   X ( X1, , X k )    ( X 1, ,  X X i , , X k ) lúc i 1  X gọi đạo hàm k-dạng  M dọc theo X Mặt khác dễ dàng nhận theo định nghĩa 2.3.5  ( X1 , , X k )  F ( M ) nên : k ( X  )( X1 , , X k )  X ( X 1, , X k )    ( X 1, ,  X X i , , X k ) i 1 Trong X , X1 , , X k B ( M ) 2.4.1.Ví dụ 1.Trong cho X=(x,1,y) ;Y=(1,z,x) ;  =xdy+ydz ,   D thơng thường Tính   X   (Y ) 2.Cho  2 ;    xdx  dy, ydy  dz, zdz  dx  ; X1 ( x,1,1); X (1, y,1); X ( x, y, z) cịn   D thơng thường Tính :   X   ( X1 , X ) Giải : Theo ta có   X   (Y ) = X (Y )     X Y  Khi ta có :  (Y )  xdy(Y )  ydz (Y )  xz  yx  X  (Y )  xz  xy  x   X Y  DX Y   X Y1  , X Y2  , X Y3   (0, y, x)     X Y   xdy  X Y   ydz  X Y  32  2xy  Cuối ta có :   X   (Y ) = X (Y )     X Y   xz  x Ta có :  X ( X1; X )   X ( X1, X )     X X1, X     X1 ,  X X    X   xdx  dy, ydy  dz, zdz  dx  X1 , X   - -  xdx  dy, ydy  dz, zdz  dx   X X1 , X  -  xdx  dy, ydy  dz, zdz  dx  X1 ,  X X  Đặt : A   X   xdx  dy, ydy  dz, zdz  dx  X1 , X   B   xdx  dy, ydy  dz, zdz  dx   X X1 , X  C   xdx  dy, ydy  dz, zdz  dx  X1 ,  X X  Ta có : A   X   ( xdx  dy)( X1 , X ),( ydy  dz)( X1 , X ),( zdz  dx)( X1 , X )   Trong :  ( xdx  dy)( X1 , X )  xdx( X1 ).dy( X )  xdx( X ).dy( X1 )  x2 y  x  ( ydy  dz)( X1 , X )  ydy( X1 ).dz( X )  ydy( X ).dz( X1 )  y  y2  ( zdz  dx)( X1 , X )  zdz( X1 ).dx( X )  zdz( X ).dx( X1 )  z  xz Khi A  (3x2 y  x; y  y ; 2 xz  z) Tương tự ta có : B  ( x y;0;  xz ) C  ( x y; y ;0) Do :   X   ( X1 , X )   x2 y  x; y  y ; 3xz  z  33 Như ta biết (M ; ) đa tạp Rieman, ánh xạ f : M  M khả vi ta xác định ánh xạ đối tiếp xúc f : f * : Mk  Mk  f * xác định : ( f * )( X1 , , X k )  ( f* X1 , , f* X k ) có mệnh đề sau: 2.4.2.Mệnh đề : Cho (M ; ) đa tạp Rieman ,ánh xạ f : M  M khả vi, f * ánh xạ đối tiếp xúc nó,  k- dạng vi phân M ta có :  X ( f *)  f * ( X ) Chứng minh :- Ta thấy f * k- dạng vi phân tensor kiểu (0;k) nên với X1 , , X k B ( M ), theo mệnh đề 2.2.3, ta có :   k  X ( f * )( X1 , , X k )   X f * ( X1 , , X k )   f *  X1 , ,  X X i , , X k  i 1 k   X  ( f* X1 , , f* X k )      f* X1 , , f* X X i , , f* X k  i 1 Mà : f * ( X )( X1 , , X k )   X   f* X1 , , f* X k  k   X  ( f* X1 , , f* X k )      f* X1 , , f* X X i , , f* X k  i 1 (Do  tensor loại (0;k) nên áp dụng mệnh đề 2.2.3) Vậy :  X ( f *)  f * ( X ) 2.4.3 Định nghĩa : D gọi đạo hàm Lie ứng với trường véctơ X thỏa mãn :  D đạo hàm ImB tức D  Der(ImB)  D f = X f ; f  B 34  DY = [X,Y] với X trường véc tơ cho trước - Khi ta ký hiệu D LX 2.4.4.Chú ý (Xem [1]): Ta định nghĩa đạo hàm Lie dựa nhóm tham số chứng minh : + D f = X f ; f  F ( M ) +DY = [X,Y] với X trường véc tơ cho trước 2.4.5 Mệnh đề (Xem [8] ):  LX , LY   L X ,Y  Chứng minh : Ta chứng minh theo hai ý : + Với f  F ( M )  LX , LY  ( f )  LX ( LY f )  LY ( LX f ) = X (Yf )  Y ( Xf ) =  X ,Y  f = L X ,Y  f + Với Z  B ( M )  LX , LY  (Z )  LX ( LY Z )  LY ( LX Z ) =  X , Y , Z   Y ,  X , Z  =  X , Y , Z   Y ,  Z , X  =   Z ,  X , Y  =  X , Y  , Z  = L X ,Y  Z 2.4.6 Mệnh đề : Với  liên thơng tuyến tính F = B ( M ) ta có : LX (Y , Z )  LX (Y Z )  Y ( LX Z )   X ,Y Z Chứng minh : Theo mệnh đề 2.2.3 ta có : LX (Y , Z )  LX ((Y , Z ))  ( LX Y , Z )  (Y , LX Z ) 35 LX (Y Z )  Y ( LX Z )   X ,Y  Z = (Theo định nghĩa liên thơng tuyến tính ) Ta có điều phải chứng minh 2.4.7 Chú ý : Ánh xạ : LX  : F  F  F thỏa mãn : LX (Y , Z )  LX (Y Z )  Y ( LX Z )   X ,Y Z gọi đạo hàm Lie liên thơng tuyến tính  2.4.8 Ví dụ : Trong R2 ,với X( 2x ; y ) ,Y( x ; xy ) Z( xy , x2y ) Tính LX (Y , Z ) với  = D thông thường Giải : Áp dụng công thức  = D ,  X Y  DX Y ,  X , Y   DX Y  DY X + DX Y   X Y1  , X Y2  với LX D(Y , Z )  LX ( DY Z )  DY ( LX Z )  D X ,Y Z =  X , Y Z    X ,Y  Z  Y ( X , Z ) Thì ta có : + DY Z = ( xy + x2y ; 2x2y + x3 ) nên  X , Y Z  =( xy + 3x2y ; 8x2y + 6x3y ) +  X , Y  = ( ; 2x ) nên  X ,Y  Z = ( x2 y + xy ; 2x3y ) +  X , Z  = ( xy ; 4x2 y) nên Y ( X , Z ) = ( xy+x2y ; 8x2 y + 4x3y) Vậy : LX (Y , Z )  B.Ứng dụng 2.Trong mục ta xét :  B = P  x  P  x1, x2 , , xn  đại số đa thức n biến x1 , x2 , , xn trường đóng đại số P  Ký hiệu F ={tập tất đạo hàm B} F với phép tốn thơng thường B- module Trên F xét đạo hàm Di (i  1, n) 36 thỏa mãn: Di ( x j )   i j Ta có được: {Di }i 1,n B - sở F  dim B F  n  Đặt F* B- đối ngẫu F, có sở đối ngẫu với sở Di i 1,n F sở D j  j 1,n ( D j ( Di )  i j ) Ta xây dựng tích Lie sau [X,Y] :BB  X , Y  ( f )  X (Y ( f ))  Y ( X ( f )) f Và có tính chất :  Di , D j   aDi , bD j    gDi , hD j  ( f )  gDi (hD j ( f ))  (hD j )( gDi ( f )) = g ( Di h.D j f  hDi ( D j f ))  h( D j g.Di f  gD j (Di f )) = ( gDi h.D j f  hD j g.Di f )  gh(Di D j f  D j Di f ) = ( gDi h.D j f  hD j g.Di f )  = ( gDi h.D j f  hD j g.Di f ) n n i 1 j 1 Từ ta có nhận xét sau : Nếu X   xi Di ; Y   y j D j ( xi ; y j  B) : n n j 1 i 1  X , Y    (  xi ( Di y j )  y j ( Di xi ) ).D j Ta dễ dàng chứng minh dựa vào định nghĩa tích Lie 2.4.9 Mệnh đề : Với đạo hàm D đại số tensor ImB, n n k 1 i 1 D( Di )   ik Dk đạo hàm X  F , X   xi Di , ta có : 37 n n   DX    Dxi  xi  ik .Dk k 1  i 1  Chứng minh : Ta có : n n n i 1 i 1 i 1 D( X )  D( xi Di )   ( Dxi ).Di   xi D( Di ) n n n n n     ( Dxi ).Di   xi ( ik Dk ) =   Dxi  xi  ik .Dk k 1  i 1 i 1 i 1 k 1  2.4.10 Mệnh đề (Xem [7]): Đạo hàm Lie thoả mãn điều kiện n n n i 1 j 1 LX f   xi Di ( f ) ( X   xi Di ; Y   y j D j ) i 1   LX Y    ( xi ( Di y j )  y j ( Di xi )) .D j j 1  i 1  n n Chứng minh : Chúng ta xem tài liệu [7] 38 KẾT LUẬN Luận văn đạt đƣợc kết sau :  Làm rõ, hệ thống hóa vấn đề : đại số, tensor đại số, đạo hàm đại số,đạo hàm đại số ImB vấn đề liên thông tuyến tính mơđun đạo hàm, đạo hàm theo hướng sinh liên thơng tuyến tính  Chứng minh chi tiết mệnh đề 2.3.2, mệnh đề 2.4.2 mệnh đề 2.4.5  Phát biểu chứng minh chi tiết mệnh đề 2.3.3 , mệnh đề 2.3.8 mệnh đề 2.4.9  Nêu vài ứng dụng cụ thể đa tạp khả vi thực, ứng dụng đại số đa thức Trong thời gian tới tiếp tục nghiên cứu tiếp ứng dụng đại số đa thức : Đạo hàm Lie đại số đa thức, liên thơng tuyến tính đại số đa thức 39 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1.Tiếng Việt : [1] Khu Quốc Anh (2005), Liên thơng tuyến tính đa tạp Rieman, NXB Đại Học Sư Phạm [2] Nguyễn Thị Hường(2007), Về trường tensor khơng gian n , Luận văn thạc sỹ tốn học, Đại học Vinh [3] M.Xpivak(1985), Giải tích tốn học đa tạp, NXB đại học trung học chuyên nghiệp [4] Nguyễn Hữu Quang(2005), Bài giảng đại số Lie nhóm Lie, Đại học Vinh [5] Nguyễn Hữu Quang(2007), Bài giảng đa tạp khả vi, Đại học Vinh [6] Đồn Quỳnh(2001), Hình học vi phân, NXB giáo dục [7] Nguyễn Viết Sơn(2011), Đạo hàm đại số Đa thức, Tạp chí khoa học,Đại học Hồng Đức 2.Tiếng Anh : [8] A.Ya.Sultanov, Derivations of linear algebras and linear connections, Journal of Mathematical Sciences, Vol.169, No.3, 2010 [9] Bronson Lim (2009), A Spanning Set for Algerbraic Covariant Derivative Curvature Tensor, http://www.math.csusb.edu/reu/bl09.pdf ... I:Trƣờng Tensor đại số I .Đại số ……………………………………………………………… II .Tensor đại số …………………………………………………………7 Chƣơng II: Đạo hàm đại số tensor 15 I Đạo hàm đại số B……………………………………………………15 II Đạo hàm đại sô tensor. .. : Đạo hàm đại số tensor Luận văn gồm hai chương: Chƣơng 1: Là chương sở nêu số kiến thức đại số tensor đại số Gồm nội dung : I Đại số: Các kiến thức đại số II Tensor đại số Chƣơng 2: Đạo hàm. .. rộng toán tử đạo hàm Lie đạo hàm hiệp biến, thuận biến cho phần tử xác định mô đun đạo hàm đại số Luận văn trình bày cách có hệ thống vấn đề đại số, tensor đại số đạo hàm tensor đại số Trên sở