Biểu diễn dao động của đại số su(2)

MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Vật lý học môn khoa học nghiên cứu quy luật từ đơn giản đến tổng quát tự nhiên Trong thập kỷ gần khoa học nói chung vật lý học nói riêng thực bước phát triển ngoạn mục, đánh dấu vô số phát minh kỳ diệu, từ lĩnh vực lý thuyết trừu tượng đến lĩnh vực ứng dụng rộng rãi thực tế sản xuất đời sống Đặc biệt, vật lý hạt đạt thành tựu mang tính chất cách mạng, mặt lý thuyết lẫn thực nghiệm, việc nghiên cứu cấu trúc với chế tương tác hạt Đến số hạt phát lên tới hàng trăm, tương tác với theo quy luật phong phú đa dạng Tìm hiểu cấu trúc giới hạt vi mô với quy luật tác động để tạo giới xung quanh ta vấn đề cốt lõi vật lý học đại Sau phát triển mẫu quark lý thuyết Gauge không abelian tương tác mạnh tương tác yếu, hiểu biết nhóm Lie trở thành cần thiết cho việc nghiên cứu lý thuyết hạt Nhóm Lie ngày trở thành công cụ chủ yếu vật lý lý thuyết đại giải tích phức, phương trình vi phân riêng, lý thuyết nhóm vô hạn… Việc nghiên cứu dao động tử mà toán tử sinh, hủy dao động tử tuân theo hệ thức giao hoán nhằm giải toán phi tuyến tính quang học lượng tử, toán phi tuyến dao động mạng vật lý chất rắn, làm xác phong phú thêm hiểu biết giới hạt vi mô Gần việc mở rộng nghiên cứu biểu diễn dao động thu hút quan tâm nhiều nhà vật lý lý thuyết vật lý toán quan điểm ứng dụng chúng mẫu vật lý mối liên quan với lời giải phương trình vi phân phi tuyến Đề tài: “Biểu diễn dao động đại số SU(2)” nằm hướng nghiên cứu này, với hy vọng góp phần hiểu biết đầy đủ giới quanh ta, đặc biệt giới hạt vi mô từ “bức tranh” tổng quan vật lý học phần rõ Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu hình thức luận dao động tử điều hòa, đại số SU(2) biểu diễn dao động đại số SU(2) Nhiệm vụ nghiên cứu Để đạt mục đích nghiên cứu đề cần thực nhiệm vụ sau: - Nghiên cứu viết tổng quan dao động tử - Xây dựng đại số SU(2) - Biểu diễn dao động đại số SU(2) Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Nghiên cứu dao động tử lượng tử - Nghiên cứu đại số SU(2) biểu diễn dao động chúng Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp lý thuyết nhóm đối xứng - Phương pháp lý thuyết trường lượng tử - Các phương pháp giải tích CHƯƠNG 1: DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA 1.1 Dao động điều hòa Xét chuyển động chiều theo trục Ox hạt có khối lượng m chịu tác dụng lực đàn hồi F   kx ( k hệ số đàn hồi ) Trong Cơ học cổ điển: Chuyển động hạt diễn tả phương trình định luật II Newton F  ma d 2x   kx  m dt   kx  mx '' k  x ''  x  m  x ''   x  Với   k k hay    tần số góc m m Hạt thực dao động điều hòa quanh vị trí cân x  A.sin( t   ) Với A biên độ dao động  pha ban đầu dao động Ta có: Động T : T  mv 2  mx 2  mA2 cos ( t   ) Thế V : V    Fdx  kx 2  mA2 sin ( t   ) Năng lượng toàn phần E hạt E  T V 1  mA2 cos ( t   )  mA2 sin ( t   ) 2  m A2 Vậy ứng với giá trị  , lượng có giá trị liên tục, tỉ lệ thuận với biên độ A Ta có vận tốc hạt hàm tọa độ v dx  A sin( t   ) dy x2  A  A Gọi   2  chu kì dao động  Xác suất mà hạt vĩ mô nằm khoảng từ x  x  dx với dx  vdt bằng: dwCD ( x )  dt   dx x2 2 A  A 1.2 Biểu diễn tọa độ dao động điều hòa Hệ xét gọi dao động tử điều hòa Thế hạt là: 1 V ( x)  kx  m x 2 Toán tử Hamiltonian có dạng pˆ 2 ˆ ˆ ˆ H  T U   kx 2m ћ2 d 2 ˆ  H   kx 2m dx 2 Trạng thái lượng tử hạt với lượng E diễn tả hàm sóng  ( x) thỏa mãn phương trình Schrodinger (phương trình chuyển động hạt vi mô) Hˆ ( x)  E ( x ) ћ2 d 2 [   kx  ( x)]  E ( x) 2m dx 2 (1.1) Đặt: mk 14 m  ( )  ; ћ ћ  (*) 2E m 2E  ћ k ћ Dùng biến không thứ nguyên:    x Thay vào phương trình (1.1) ta được: d  m2 2mE (1.1)  [  x ] ( x )    ( x) dx ћ ћ d 2m ћ  [   x ] ( x )    ( x )   2 ( x ) dx ћ 2 d  [   2 + 2 ] ( )    d ( )2  [ d2    + ] ( )  d  d2  [   + ] ( )  d (1.2)   Với  ( )   ( ) hữu hạn   giới nội    Dáng điệu  ( ) lân cận  là:  ( ) exp(  2 ) Nghiệm (1.2) có dạng:  ( )  v( )exp( 2 ) (1.3) Với v( ) hàm cần xác định Thay (1.3) vào (1.2) ta d2 2 [   + ] v ( )exp( )  d d 2 2 2  [v '( )exp(  )  v ( ) exp( )]  (   )v( )exp( )  d 2 2  [v ''( )  v( )  v ( )  2v '( )   v ( )   v( )]exp( 2 )0  v ''( )  2v '( )  (  1)v( )  (1.4) Trong đó: v '( )  dv( ) ; d v ''( )  d 2v( ) d Ta tìm hàm v( ) dạng chuỗi  v ( )   an n ( a0  0) (1.5) n0  v '( )   nan n0  n 1   ( n  1)an 1 n (1.5') n 0   v ''( )   ( n  1)nan1 n 1   ( n  2)(n  1) an 2 n n 0 n 0 (1.5'') Thay (1.5), (1.5'), (1.5'') vào (1.4) ta được:  [(n  1)(n  2)a n  2nan  (  1) an ] n  n0   [( n  1)(n  2) an 2  (2n    1)an ] n  (1.6) n0 Từ (1.7) ta có hệ thức truy toán an   2n    an (n  2)(n  1) (1.7) Để  ( ) giới nội    chuỗi v( ) phải bị ngắt bậc n hữu hạn  2n        2n  Và theo (*) lượng E dao động nhận giá trị gián đoạn E  En  (n  )ћ (n  0,1, ) Năng lượng thấp dao động tử điều hòa ứng với n  là: E0  ћ gọi lượng không Sự tồn lượng thấp E0 giải thích sở lý thuyết lượng tử Thật vậy, gọi độ bất định lượng, xung lượng tọa độ E, p, x Sự tồn lượng E0  gắn liền với hệ thức bất định tọa độ xung lượng hạt p.x  ћ Vì: E  p k ћ  k x  px  2m m Quy ước chọn gốc tính lượng trùng với lượng không E0 Khi lượng dao động tử điều hòa có lượng bội lượng ћ E  nћ Đó giả thuyết Planck: lượng dao động tử điều hòa bội nguyên lượng tử lượng ћ Để xác định dạng tường minh hàm sóng  ( x) ta lưu ý với   2n  phương trình (1.4) trở thành v ''( )  2 v '( )  2nv( ) Mặt khác đa thức Hermite lại thỏa mãn phương trình: H n ''( )  2 H n '( )  2nH n ( )  So sánh hai phương trình ta có: v ( )  ( )  N n H n ( ) Với N n hệ số chuẩn hóa đó:  ( x )   n ( x)  N n H n (  x) exp(   x2 ) Sử dụng điều kiện chuẩn hóa hàm  n ( x) :     n ( x) dx   Nn    H n2 ( )e  d    Đa thức Hermite có dạng tường minh  n  H n ( )  (1) e e  n n(n  1) n( n  1)(n  2)( n  3)  (2 )  (2 ) n 2  (2 )n4  1! 2! n 2 Đặt:  I   H n2 ( )e  d  (**) Tính tích phân   n I   H ( )e   d n  d   ( 1)  H n ( ) n e d  d  n  d n 1  Trong I  (1)  H n ( ) n e d  n  d n 1   Đặt u  H n ( ); dv  d  n 1 e   d  du  Suy v d H n ( )d d d n 1  e d n1  d d n1   I  ( 1)  H n ( ) n 1 e d d d  n Tích phân phần tích phân n lần ta thu được:   I  ( 1) n (1) n  e   dn H n ( )d  d n (***) dn H n ( )  n( n  1)(n  2) 1.2n  2n.n! n d Áp dụng tích phân Poisson  I2a  x n  ax e dx   (2n  1)  2n 2n 1  Thì: e  d    Thay kết vào (***) ta được: I  n.n!    m  Thay I vào (**) ta có: N n  n   n n!      n! Có  n ( x)  N n H n (  x).e   2x2 m  m   x  m  2  H n  x   n e    n!    Như lượng E dao động tử điều hòa với (n  0,1,2 ) bị lt lượng tử hóa, lượng nhỏ Emin   khác với lý thuyết cổ điển CD Emin  Xác suất dwlt n ( x) hạt có lượng En tìm thấy khoảng từ x  x  dx là: dwlt n ( x)   ( x) dx Vậy ta có dwCD ( x )  dt   2 A dx 1 x2 A2 dwlt n ( x )   ( x ) dx 1.3 Biểu diễn số hạt dao động điều hòa Phổ lượng dao động tử điều hòa tìm phương pháp đại số, sử dụng hệ thức giao hoán tắc biểu thức Hamiltonian ta có: 2 d 2 Hˆ    kx 2m dx 2 (1.8) Để thuận tiện hơn, thay toán tử tọa độ x xung lượng i toán tử tọa độ xung lượng tắc mới: 10 d dx Theo định nghĩa toán tử số dao động tử N i , từ công thức  2.21 có: J n jn ,  N1  N  n  j n ,  n1  n2  n  j n  2.23 Từ suy ra: j  n1  n2   2.24  Trong n1 , n2 số nguyên, suy j số nguyên bán nguyên, không âm Để xác định véctơ riêng không gian không gian Hilbert  2.14 , tức biểu diễn bất khả quy đại số SU(2) ta nhận xét biểu diễn phải xác định hai giá trị riêng (do không gian chung xác định hai số n1 n2 ) Ta nhận xét toán tử J giao hoán với J tức có giá trị riêng xác định Ta kí hiệu trị riêng m từ định nghĩa J  2.15  ta có: m  (n1  n2 )  2.25 Vậy biểu diễn bất khả quy SU(2) không gian véctơ sở  2.14 đặc trưng j m liên hệ với n1 n2 sau: n1  j  m,  2.26  n2  j  m Từ không gian véctơ sở biểu diễn bất khả quy là: j, m  j m a  a    j m  j  m ! j  m ! 29  2.27  Từ  2.24   2.25  ta thấy với giá trị j xác định m có j  giá trị sau: m  j , j  1, ,  j  1,  j  2.28 Do không gian biểu diễn bất khả quy có j  chiều Tác dụng toán tử a1 , a2 , a1 , a2 lên véctơ trạng thái j , m sau: a1 j , m  1 j  m 1 j  ,m  , 2 a2 j , m  1 j  m 1 j  ,m  , 2 a1 j , m  1 j  m j  ,m  , 2 a2 j , m  1 j  m j  ,m  2 (2.29) Từ công thức  2.29  tính tác dụng toán tử a1 a1 lên véctơ trạng thái j , m sau: a1 a1 j , m   j  m  j , m  2.30  Do ta có phương trình: N1 j , m  n1 j , m  2.31 Tương tự, tác dụng toán tử a2 a2 lên véctơ trạng thái j , m sau: a2 a2 j , m   j  m  j , m  2.32  Do suy N j , m  n2 j , m  2.33 Hơn từ biểu thức: J  ( N1  N ) 30  2.34  Chúng ta suy vi tử J , J  , J  đại số SU(2) tác dụng lên véctơ trạng thái j , m không gian biểu diễn bất khả quy theo phương trình sau: J  j, m   j  m  1 j  m  j, m , J  j, m   j  m  1 j  m  j, m , J j, m  m j, m 31  2.35 CHƯƠNG 3: ÁP DỤNG LÝ THUYẾT NHÓM ĐỐI XỨNG SU(2) ĐỂ TÍNH SỐ LƯỢNG TỬ CỦA CÁC HẠT 3.1 Các số lượng tử proton notron Như ta biết hạt proton notron lập thành biểu diễn sở SU(2)  I a , i  ( x)     j ( x)(Ta )ij Nếu hàm trường  p   ;  n   biến đổi sau tác dụng nhóm biến đổi SU(2):  i   i'  U  i U 1  eiaTa  Với Ta  i a  a (a  1,3) ma trận Pauli: 0 1 1 ;   i  2   ; i   1  3     1  1   Có: [I a , i ]  (Ta )ij j  ( a [I a , i  ]    j (Ta )ij    j ( 32 )ij j ( j  1, 2) a ( j  1,2) )ij  Hạt proton:  Tìm hình chiếu spin đồng vị ( I ): [I , p  ]=[I , 1 ]=  j (  [I , 1 ]  ( 3 3 )1j )11 1  ( ( j  1,2) 3 )12   ( )11 1  ( )12   1  Với:      1  Ta tìm được: ( )11  1; ( )12  Nên: [I , 1 ]  1. 1  0.     1 Vậy hình chiếu spin đồng vị hạt proton là:  Spin hạt proton là:  Hạt proton hạt baryon nên số baryon hạt proton 1: B p   Hạt proton không hạt lepton nên số lepton hạt proton 0: Lp   Hạt proton không hạt lạ nên số lạ hạt proton 0: S p  33  Siêu tích hạt proton ( Yp ) tính theo công thức: Yp  B p  S p  L p     Vậy siêu tích hạt proton 1: Yp =1  Điện tích hạt proton ( Q p ) Qp  I3   I3  Bp  S p  Lp Yp 1   1 2 Vậy điện tích hạt proton +e  Hạt notron  Tìm hình chiếu spin đồng vị ( I ): [I , n  ]=[I ,  ]=  j (  [I ,  ]  ( 3 3 )2j )12 1  ( ( j  1,2) 3 ) 22  2  ( )12 1  ( ) 22   1  Với:      1  Ta tìm được: ( )12 = 0; ( ) 22  1 Nên: 34 1 [I , 1 ]  0. 1  (1).       2 Vậy hình chiếu spin đồng vị hạt notron là:   Spin hạt notron là:  Hạt notron hạt baryon nên số baryon hạt notron 1: Bn   Hạt notron không hạt lepton nên số lepton hạt notron 0: Ln   Hạt notron không hạt lạ nên số lạ hạt notron 0: Sn   Siêu tích hạt notron ( Yn ) tính theo công thức: Yn  Bn  S n  Ln     Vậy siêu tích hạt notron 1: Yn =1  Điện tích hạt notron ( Qn ) Bn  Sn  Ln Y  I3  n 1   0 2 Qn  I  Vậy hạt notron không mang điện 3.2 Các số lượng tử  -meson Như ta biết hạt  -meson lập thành biểu diễn quy SU(2)  I a , i  ( x)    j ( x)(Ta )ij Nếu hàm trường    1 1  i2 );   3 ;    1  i2 ) biến đổi 2 sau tác dụng nhóm biến đổi SU(2): 35 i  i'  U i U 1  e  iaTa  i Với (Ta )bc  i abc  abc số cấu trúc nhóm SU(2) [I a , i ]  (Ta )ij j  ( i aij )j  i aijj ( j  1,3) [I a , i  ]   j (Ta )ij   j ( i aji ) ( j  1,3)  Hạt π+  Tìm hình chiếu spin đồng vị ( I ): [I ,    ]=[I , = (1 +i2  )] ([I , 1 ]  i[I , 2  ]) [I , 1 ]= j (i 3j1 ) ( j  1,3)  1 (i 311 )  2  ( i 321 )  3 (i 331 ) Với:  311  ;  321  1;  331  Nên: [I , 1 ]  0.1  i.2   0.3    i2  [I , 2  ]= j (i 3j2 ) (1) ( j  1,3)  1 (i 312 )  2  (i 322 )  3 (i 332 ) Với:  312  ;  322  0;  332  Nên: 36 [I , 2  ]   i.1  0.2   0.3    i1 (2) Từ (1), (2) ta suy ra: ([I3 , 1 ]  i[I , 2  ])  [i2   i (i1 )]  = [1  i2  ] =1.   [I ,    ]= Vậy hình chiếu spin đồng vị hạt   là:  Spin hạt   là:  Hạt   không hạt baryon nên số baryon hạt   0: B    Hạt   không hạt lepton nên số lepton hạt   0: L    Hạt   không hạt lạ nên số lạ hạt   0: S    Siêu tích hạt   ( Y  ) tính theo công thức: Y   B   S   L  000  Vậy siêu tích hạt   0: Y  =0  Điện tích hạt   ( Q  ) Q   I   I3  B   S   L  Y  Vậy điện tích hạt   +e 37     Hạt π  Tìm hình chiếu spin đồng vị ( I ): [I ,   ]=[I , 3 ]= j (i 3j3 ) ( j  1,3)  1 (i 313 )  2  ( i 323 )  3  ( i 333 ) Với:  313   323   333  ; Nên: [I , 3  ]   0.1  0.2   0.3    0.3   0.  Vậy hình chiếu spin đồng vị hạt  là:  Spin hạt  là:  Hạt  không hạt baryon nên số baryon hạt  0: B   Hạt  không hạt lepton nên số lepton hạt  0: L   Hạt  không hạt lạ nên số lạ hạt  0: S   Siêu tích hạt  ( Y ) tính theo công thức: Y  B  S  L 000  Vậy siêu tích hạt  0: Y =0  Điện tích hạt  ( Q ) Q  I   I3  B  S  L Y Vậy hạt  không mang điện 38     Hạt π- :  Tìm hình chiếu spin đồng vị ( I ): [I ,    ]=[I , = (1  i2  )] ([I , 1 ]  i[I3 , 2  ]) Từ (1), (2) ta suy ra: ([I , 1 ]  i[I , 2  ])  [i2   i ( i1 )] = 1  i2  )   1  i2  ) =  1.   [I ,    ]= Vậy hình chiếu spin đồng vị hạt   là: -1  Spin hạt   là:  Hạt   không hạt baryon nên số baryon hạt   0: B    Hạt   không hạt lepton nên số lepton hạt   0: L    Hạt   không hạt lạ nên số lạ hạt   0: S    Siêu tích hạt   ( Y  ) tính theo công thức: Y   B   S   L  000  39 Vậy siêu tích hạt   0: Y  =0  Điện tích hạt   ( Q  ) Q   I   I3  B   S   L  Y  Vậy điện tích hạt   -e 40  1   1 KẾT LUẬN Khóa luận “Biểu diễn dao động đại số SU(2)” thực đạt kết sau: - Đã trình bày cách lôgic, đầy đủ hình thức luận dao động tử điều hòa - Đã đưa cách khái quát đại số SU(2) đưa biểu diễn dao động đại số lượng tử SU(2) Dựa vào hệ thức giao hoán chứng minh đại số SU(2) hệ đóng kín, cụ thể:  E, F   H ,  H , F   2E,  H , E   2F - Đã áp dụng lý thuyết nhóm đối xứng SU(2) tính số lượng tử hạt: p, n hạt  - meson Qua đề tài em bước đầu tìm hiểu thêm biểu diễn đại số lượng tử nghiên cứu hạt Đó sở tảng cho em tìm hiểu sâu hạt nói riêng vật lý lý thuyết nói chung 41 42 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tạ Quang Bửu (1987) , Hạt - Nxb Giáo dục Đào Vọng Đức (2011) , Bài giảng lý thuyết hạt - Nxb Khoa học kĩ thuật Đặng Xuân Hải (1987) , Bài giảng vật lý hạt nhân hạt Lê Chấn Hùng – Vũ Thanh Khiết (1989) , Vật lý nguyên tử hạt nhân - Nxb Giáo dục Hoàng Ngọc Long, Nhập môn lý thuyết trường mô hình thống tương tác điện yếu PGS TS Nguyễn Thị Hà Loan, Bài giảng chuyên đề “Hạt bản” Phạm Thúc Tuyền, Hạt - Nxb ĐHQG Hà Nội 43 [...]... mô tả bởi véctơ trạng thái riêng của toán tử số dao động tử N   N i có i 1 dạng: 25 n  n1 , n2 , , nN  n1 1  n2 2 a  a    a N  n1 !n2 ! nN ! nN 0  2.11 Tác dụng của toán tử N i lên véctơ trạng thái n là:  2.12  N i n  ni n Biểu diễn dao động tử của đại số SU(2) được thực hiện bởi hệ dao động tử hai mode ai  i  1,2  như sau Các vi tử của đại số SU(2) J1, J 2 , J 3 được xây dựng... meson (   ,  0 ,   ) lập thành một biểu diễn chính quy của SU(2) Hàm trường của   là:    1 (1  i2 ) 2 Hàm trường của  0 là:  0  3 Hàm trường của   là:    24 1 (1  i2 ) 2 2.2 Biểu diễn dao động của đại số SU(2) Giả sử ta có các toán tử boson ai  i  1,2  thoả mãn các hệ thức giao hoán:  ai , a j   ij ,  ai , a j   0 Các dao động tử boson đa mode: ai a j  (... 17 ( n  0) ( n  0) CHƯƠNG 2: ĐẠI SỐ SU(2) 2.1 Đại số SU(2) 2.1.1 Định nghĩa Tập hợp tất cả các ma trận 2  2 , Unita, có định thức bằng 1, thỏa mãn các tính chất của nhóm tạo thành nhóm đối xứng SU(2) Mọi phần tử g của nhóm đối xứng SU(2) đều biểu diễn dưới dạng: g SU(2): gg   I (2.1) det g  1 (2.2) 2.1.2 Nhóm biến đổi SU(2) Nhóm đối xứng SU(2) phụ thuộc vào 3 tham số thực Nếu a là vô cùng bé...  j ( x)(Ta )ij    j ( x)( 23 2 )ij Hai hạt proton và notron (p, n) lập thành một biểu diễn cơ sở của SU(2) Hàm trường của proton là:  1 Hàm trường của notron là:  2  Nếu số chiều của ma trận Ta bằng số thông số thực của nhóm SU(2) ( r  n 2  1  3 ) thì 3 hạt lập thành một biểu diễn chính quy của nhóm SU(2) Ta chọn: (Ta )bc  i abc  i111  T1   i121  i  131  i 211  T2 ... thức giao hoán  2.7  ta tìm được hệ thức giao hoán của các J i  2.16  Ji , J j   iijk Jk trong đó ijk hoàn toàn phải đối xứng với các chỉ số và 123 1 Đây chính là đại số Lie SU(2) Vậy có thể biểu diễn đại số SU(2) qua các toán tử boson Biểu thức (2.11) chính là các véctơ trong không gian Hilbert của biểu diễn Ta hãy thử không gian biểu diễn (2.11) tìm ra các không gian con bất khả quy Để... 2.14 , tức biểu diễn bất khả quy của đại số SU(2) ta nhận xét rằng biểu diễn này phải được xác định bởi hai giá trị riêng (do không gian chung được xác định bởi hai số n1 và n2 ) Ta nhận xét rằng toán tử J 3 giao hoán với J tức là nó có giá trị riêng xác định Ta kí hiệu trị riêng này là m và từ định nghĩa của J 3 ở  2.15  ta có: 1 m  (n1  n2 ) 2  2.25 Vậy biểu diễn bất khả quy của SU(2) trong... cho biểu diễn SU(2) bởi các giá trị riêng của toán tử J 28 Theo định nghĩa của toán tử số dao động tử N i , từ công thức  2.21 chúng ta có: J n jn , 1  N1  N 2  n  j n , 2 1  n1  n2  n  j n 2  2.23 Từ đây chúng ta suy ra: j 1  n1  n2  2  2.24  Trong đó n1 , n2 là các số nguyên, suy ra j là một số nguyên hoặc bán nguyên, không âm Để xác định các véctơ riêng của không gian con của. .. các vi tử là tổ hợp của các vi tử trên như sau: 27 E  J  J1  i J2  a1a2 , F  J  J1 i J2  a2a1,  2.17 H  2J3  a1a1  a2a2  N1  N2 Các vi tử trên thực hiện đại số SU(2) đóng kín có dạng như sau:  E, F   H ,  H , F   2E,  H , E   2 F  2.18 Không gian của biểu diễn SU(2) là không gian Fock với các cơ sở là các véctơ trạng thái riêng của toán tử số dao động tử N: n  n1 ,... suy ra các vi tử J 3 , J  , J  của đại số SU(2) tác dụng lên véctơ trạng thái j , m trong không gian con của biểu diễn bất khả quy theo các phương trình sau: J  j, m   j  m  1 j  m  j, m , J  j, m   j  m  1 j  m  j, m , J 3 j, m  m j, m 31  2.35 CHƯƠNG 3: ÁP DỤNG LÝ THUYẾT NHÓM ĐỐI XỨNG SU(2) ĐỂ TÍNH SỐ LƯỢNG TỬ CỦA CÁC HẠT 3.1 Các số lượng tử của proton và notron Như ta đã biết... Đó là biểu diễn số hạt của dao động tử điều hòa Trong Cơ học lượng tử, trạng thái dừng của một dao động tử điều hòa có thể coi là tập hợp của nhiều hạt, mỗi hạt có năng lượng  Khái niệm “hạt” đưa vào đây chỉ để cho tiện Thực chất, đó là các “giả hạt”, một khái niệm quan trọng và hữu hiệu khi nghiên cứu các trạng thái kích thích trong Vật lý các môi trường đông đặc Cuối cùng, ta tính các hệ số tỉ ... dao động tử - Xây dựng đại số SU(2) - Biểu diễn dao động đại số SU(2) Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Nghiên cứu dao động tử lượng tử - Nghiên cứu đại số SU(2) biểu diễn dao động chúng Phương pháp... luận Biểu diễn dao động đại số SU(2) thực đạt kết sau: - Đã trình bày cách lôgic, đầy đủ hình thức luận dao động tử điều hòa - Đã đưa cách khái quát đại số SU(2) đưa biểu diễn dao động đại số. .. toàn phải đối xứng với số 123 1 Đây đại số Lie SU(2) Vậy biểu diễn đại số SU(2) qua toán tử boson Biểu thức (2.11) véctơ không gian Hilbert biểu diễn Ta thử không gian biểu diễn (2.11) tìm không