Biểu diễn dao động tử của đại số SU(3)

LỜI CẢM ƠN Trước tiên, lòng biết ơn sâu sắc, em xin chân thành cảm ơn thầy giáo GS TSKH Đào Vọng Đức – người hướng dẫn bảo tận tình cho em suốt thời gian học tập, nghiên cứu hoàn thành khóa luận Em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy cô khoa Vật Lí – Trường Đại học Sư phạm Hà Nội tạo điều kiện tốt để giúp em hoàn thành khóa luận Cuối cùng, em xin gửi lời cảm ơn tới tất bạn bè, người giúp đỡ, động viên em suốt trình nghiên cứu để hoàn thiện khóa luận Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 05 năm 2013 Sinh viên Nguyễn Thị Thu Hường LỜI CAM ĐOAN Trong trình nghiên cứu khóa luận: “Biểu diễn dao động tử đại số SU(3)” em thực cố gắng tìm hiểu, học tập nghiên cứu đề tài để hoàn thành khóa luận Em xin cam đoan khóa luận không trùng lặp với đề tài khác, hoàn thành nỗ lực thân em với hướng dẫn bảo tận tình GS TSKH Đào Vọng Đức Hà Nội, tháng 05 năm 2013 Sinh viên Nguyễn Thị Thu Hường MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN LỜI CAM ĐOAN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu CHƯƠNG 1: DAO ĐỘNG TỬ 1.1 Dao động tử điều hòa 1.1 Biểu diễn dao động tử vi tử SU(2) 1.2 Thống kê dao động tử điều hòa 13 CHƯƠNG 2: BIỂU DIỄN DAO ĐỘNG TỬ CỦA ĐAI SỐ SU(3) 2.1 Đại số SU(3) 16 2.2 Biểu diễn dao động tử đại số SU(3) 24 CHƯƠNG 3: SỰ GẦN ĐÚNG CỦA NHÓM ĐỐI XỨNG SU(3) 3.1 Đa tuyến nhóm SU(3) 31 3.2 Hệ thức khối lượng hạt 41 KẾT LUẬN 46 TÀI LIỆU THAM KHẢO 47 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong năm gần đây, việc nghiên cứu Vật lí vi mô nói chung lí thuyết hạt nói riêng tạo nên sở giới quan Vật lí để lý giải chất hạt vi mô mặt cấu trúc tính chất chúng Cùng với phát triển lịch sử loài người, Vật lí học trải qua nhiều giai đoạn phát triển đạt nhiều thành tựu quan trọng Ngày nay, Vật lí học đại với khuynh hướng thâm nhập sâu vào cấu trúc vi mô vật chất, người ta thấy quy luật tìm Vật lí cổ điển xuất quy luật Nghiên cứu Vật lí hạt cho phép hiểu nguyên lí tự nhiên hình thành phát triển vũ trụ Hạt thực thể Vật lí nhỏ tạo nên dạng thực thể Vật lí khác theo lí thuyết hành Các hạt tìm thấy e, p, n, photon Ngày nay, người ta biết 200 loại hạt số tiếp tục tăng lên Khi sâu vào nghiên cứu hạt bản, người ta thấy hạt chưa phải “thực bản” mà cấu tạo từ hạt quark Cho đến quark coi viên gạch xây dựng nên giới vật chất Sau hình thành mẫu quark, hiểu biết nhóm Lie trở thành cần thiết cho việc nghiên cứu Lí thuyết hạt Nhóm Lie trở thành công cụ chủ yếu Vật lí lí thuyết đại giải tích phức, phương trình vi phân riêng, lí thuyết nhóm vô hạn,… Đại số Lie xuất lâu song gần đòi hỏi ứng dụng nghiên cứu Vật lí mà V.I.Drinfeld lượng tử hóa đại số nhóm Lie, làm nảy sinh cấu trúc đại số biến dạng hay gọi đại số lượng tử Đề tài “Biểu diễn dao động tử đại số SU(3)” nằm hướng nghiên cứu này, với hy vọng góp phần hiểu biết đầy đủ giới xung quanh, đặc biệt giới hạt vi mô Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu dao động tử, đại số SU(3) biểu diễn dao động tử đại số SU(3) Đối tượng nghiên cứu Lí thuyết đối xứng, biểu diễn dao động tử đại số SU(3) Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu dao động tử, biểu diễn, tính thống kê dao động tử Nghiên cứu nhóm đối xứng SU(3), gần lí thuyết đối xứng SU(3), đại số SU(3) biểu diễn dao động tử đại số SU(3) Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp Vật lí lí thuyết - Phương pháp lí thuyết nhóm đối xứng CHƯƠNG DAO ĐỘNG TỬ 1.1 Dao động tử điều hòa Trước hết làm rõ định nghĩa toán tử a  , a, N hệ toán tử Boson Trong không gian Hilbert ta định nghĩa toán tử a thỏa mãn:  a, a    (1.1) Ta xây dựng toán tử N: N  a  a  N có tính chất :  N  N  Xác định dương   N , a   a  N , a    a   N   aa  (1.2) Gọi n véctơ riêng toán tử N với trị riêng n không gian Hilbert: Ta có: N n n n Na n   n  1 a n Na  n   n  1 a  n Trong đó: a toán tử hủy a+ toán tử sinh N toán tử số hạt Vậy: .a n , a n , n , a  n , a 2 n , dãy véctơ riêng toán tử N tương ứng với giá trị riêng: .n  2, n  1, n, n  1, n  2, Vì N toán tử xác định dương (các trị riêng phải không âm) nên dãy có kết thúc cận Giá trị riêng cận n  Vì ta định nghĩa vecto đặc biệt không gian Hilbert có tính chất sau: a 0 0 1 trạng thái chân không Ta có: N  nên véctơ riêng N với trị riêng không Dãy toán tử a+ tác dụng lên chân không , a  , a 2 , a  n , (1.3) Dãy (1.3) dãy véctơ riêng N ứng với trị riêng: 0, 1, 2, n,… Mỗi lần tác động toán tử a hay a+ lên dãy (1.3) ta lại phần tử khác dãy Có thể chuẩn hóa dãy (1.3) thành dãy véctơ riêng sau: n a   n! n n   nn n  (1.4) Tóm lại lấy không gian tác dụng toán tử boson a a+ không gian Hilbert số chiều gồm véctơ trực chuẩn (1.4) Các véctơ véctơ riêng toán tử số hạt N Tương tự, ta định nghĩa hệ toán tử boson: , ai  i  1, N  thỏa mãn: a , a i  j Định nghĩa toán tử số hạt: N i  ai Chân không:  0,0, ;    ij ; ;  , a j    N i , N j    Véctơ riêng trực chuẩn: n  n1 , n2 , , nN  n1 i a   . a N  n1 ! nN ! nN N i n  ni n 1.2 Biểu diễn dao động tử vi tử SU(2) Bây xét xem biểu diễn đại số Lie qua toán tử Boson không? Muốn ta giả sử có toán tử boson (i=1, 2)  , a j    ij (1.5)  , a j   Theo định nghĩa: N i  ai Các véctơ riêng: n1 , n2 ;  n1  N i , N j    n2 a  a   n1 !n2 ! (1.6) Xét toán tử: a    a1 a2  i     a2  Ji  Trong đó:  i  i  1, 2, 3 ma trận Pauli: 0 1  i   1  ;2   ;3      1 0 i   1 1   Nghĩa là: J1   a1 a2  a2 a1    a1 a2  a2 a1   J   a1 a2  a2 a1  J2  (1.7) Dựa vào hệ thức giao hoán (1.7) ta hệ thức giao hoán Ji:  J i , J j   i ijk J k Đây đại số Lie, biểu diễn đại số Lie qua toán tử Boson, tức (1.6) véctơ không gian Hilbert biểu diễn Vấn đề đặt từ không gian biểu diễn (1.6) ta tìm không gian bất khả quy Muốn ta xét toán tử Causimir: C  J12  J 22  J 32 Đặt: J  (1.8) 1  N1  N    a1 a1  a2 a2  2 (1.9) Ta được: C  J  J  1 (1.10) Đối với biểu diễn bất khả quy toán tử Causimir có giá trị xác định từ (1.9) ta thấy đặc trưng cho biểu diễn đại số Lie giá trị riêng toán tử J mà ta kí hiệu j Theo định nghĩa Ni từ (1.9): j   n1  n2  (1.11) Ta thấy j số nguyên tố bán nguyên, không âm Để xác định véctơ riêng không gian Hilbert (1.6) biểu diễn bất khả quy đại số Lie, ta nhận xét biểu diễn phải xác định giá trị riêng (do không gian chung xác định số n1 , n2 ) Ta nhận xét toán tử J giao hoán với toán tử J (tức có giá trị riêng xác định) Ta kí hiệu trị giá riêng m từ định nghĩa J ta có: m  n1  n2  (1.12) Vậy biểu diễn bất khả quy đại số Lie không gian véctơ sở (1.6) đặc trưng j m liên hệ với n1 , n2 sau: n1  j  m ; n2  j  m Từ không gian véctơ sở biểu diễn bất khả quy là:  j, m   jm a  a    j m  j  m ! j  m ! Từ (1.11) (1.12) ta thấy với j xác định m lấy j  giá trị: m  j , j  1, ,  j  1,  j Vậy không gian biểu diễn bất khả quy j  chiều Tiếp theo biểu điễn số hạt dao động từ điều hòa Hamiltonaian dao động tử điều hòa có dạng: ћ2 d 2 H   kx 2m dx 2 (1.13) Để thuận tiện cho việc viết công thức ta thay toán tử tọa độ x xung lượng i d toán tử tọa độ xung lượng tắc mới: dx i x  qˆ  mx d dx  pˆ  i  d m dx ˆ ˆ  qp ˆˆ Hệ thức giao hoán pˆ , qˆ là:  pˆ , qˆ   pq Mà pˆ  i d ; qˆ  mxˆ nên ta có: m dx i d d mxˆ  i  xˆ  dx m dx d  i d  ˆ ˆ  mxˆ   qp    ixˆ  dx m dx   ˆ ˆ  pq Thay vào ta có: d dx  pˆ , qˆ   i  xˆ    ixˆ  d   dx  d d  xˆ  xˆ  dx   dx  pˆ , qˆ   i    d  pˆ , qˆ   i  , x   i dx    1  ˆ ˆ  qp ˆ ˆ  i  Vậy : [pˆ , qˆ ]  pq (1.14) 10 Như ta biết có khả τ a sễ có nhiêu biểu diễn: i  M a ,Ψi   Ψ  j  τ a  j  Chọn τ a  λa ;λ a ma trận Gell – Manm Lúc hạt hợp thành biểu diễn sở nhóm SU(3) Đó hạt quark (u, d, s): i λ   M a ,Ψ   Ψ  a   j  i  Chọn τ a  Fa j  a  1,8;  Fa bc  if abc ; Với: Fa ma trận vuông cấp  Fa bc phần tử ma trận hàng b cột c Khi hạt lập thành biểu diễn quy SU(3) nếu: i  M a ,Ψi   Ψ  j  Fa  j Từ thực nghiệm ta thu đa tuyến sau:  Tuyến Baryon J   p p Σ 12 I I3 n 12 Σ0 Σ Ξ0 12 1 Ξ 12 λ 1 Y -1 S -1 -2 -1 36  Tuyến Meson với J p  0 K π π0 12 I I3 K0 12 °0 K π 12 1 K -1 12 η 1 Y -1 S -1 Đối với Meson B=0 nên Y=S Các đa tuyến biểu diễn khác nhóm đối xứng SU(3) (biểu diễn quy) 3.1.1 Biểu diễn hạt Baryon J   p Nếu hạt Baryon lập thành biểu diễn quy SU(3) hàm trường tương ứng chúng phải biến đổi sau: i  M a ,Ψi   Ψ  j  Fa  j  M a ,Ψi   Ψ  j  if aji    Biểu diễn Baryon: J  : p, n,   ,  ,   ,  ,   ,  p Các hàm sóng tương ứng với hạt:    i         i      1  i    0   p     i   0     i      1  i     8 ; n  ; ; ; Các hệ số đứng trước tìm từ điều kiện chuẩn hóa 37 Muốn chứng minh việc gán hoàn toàn hợp lí, ta dùng hàm trường vừa gán để tìm spin đồng vị siêu tích so sánh với thực nghiệm  Đối với proton: * Hàm sinh proton là:  p   4  i 5  Ta có:     M ,  p    M ,  4  i 5      i  M ,  4    M ,  5   2 j i    if3 j     j  if3 j  2 5 i    if 354    4  if345  2   1 i 1    i       4  i    2  2 2 1   4  i 5    p  2 Vậy thành phần thứ (I3) spin đồng vị (hình chiếu spin đồng vị) proton  Phù hợp với thực nghiệm *Tính siêu tích Ở ta đồng M với toán tử siêu tích nên ta viết M  c.Y Để tìm toán tử siêu tích Y ta phải tìm c Để tìm c ta công nhận hàm trường mô tả trạng thái sinh proton là:  p   4  i 5  công nhận siêu tích proton  Ta có:  M ,  p   c Y ,  p   c p 38 i    M ,  p    M ,  M ,  4    M ,  5   c p  4  i 5     2   j i    F8  j    j  F8  j  c p 2 j i    if8 j     j  if8i   c p 2 5 i    if854    4  if845   c p 2     i  4    i 5   c p  2 2 2   p  c p 3 c  M  cY  Y Y  M8 2   Đối với notron: Hàm trường mô tả trạng thái sinh notron là:  n  *Ta có:  6  i 7      M ,  n    M ,  6  i 7      i  M ,  6    M ,  7  2 j i    F3  j    j  F3  j 2 j i    if3 j     j  if j  2 7 i    if 376    6  if 367  2 1   6  i 7     n  2   1 Vậy hình chiếu Spin đồng vị notron     2 39 *Tính siêu tích: 2   Y ,  n    M ,  n   M8,  6  i 7     3   M ,  6   i  M ,  7   2    j  if8 j     j  if8 j  2   7  if876    6  if867            6   i        i 7   1. n  2  Siêu tích hạt notron Vậy giá trị hình chiếu Spin đồng vị siêu tích notron phù hợp với thực nghiệm  Đối với hạt Σ  : Hàm trường mô tả trạng thái sinh hạt Σ  là:     *Ta có:    M ,       M , 1  i 2      i  M , 1    M ,  2  2 j i    F3  j    j  F3  j 2 2 i    if 321    1  if312  2  1  i 2   1.     Vậy hình chiếu Spin đồng vị Σ  40 1  i 2   *Tính siêu tích: 2   Y ,       M ,      M8, 1  i 2     3   M , 1   i  M ,  2   2    j  if8 j1     j  if8 j  2      0.       Siêu tích hạt Σ  Vậy giá trị hình chiếu Spin đồng vị siêu tích Σ  phù hợp với thực nghiệm Tính toán hoàn toàn tương tự ta thấy giá trị hình chiếu Spin đồng vị siêu tích hạt lại phù hợp với thực nghiệm Vì hàm sóng  gán cho hạt hoàn toàn phù hợp  Baryon J  lập thành p biểu diễn quy nhóm SU(3) 3.1.2 Biểu diễn Meson J p   : K  , K , K  ,   ,  ,   , K , Hàm trường cho Meson gán sau:    i      i  K  K ;    i      i  K0  ;     ;     ;  1  i   3 K  1  i     Các hệ số đứng trước tìm từ điếu kiện chuẩn hóa 41  Đối với hạt K : Hàm trường mô tả trạng thái sinh hạt K là:  K  *Ta có:  6  i 7      M ,  K    M ,  6  i 7      i  M ,  6    M ,  7  2 j i    F3  j    j  F3  j 2 j i    if3 j     j  if j  2 7 i    if 376    6  if367  2  1 i  1    i      6  i     2 2  2 1   6  i 7     K  2   1 Vậy hình chiếu Spin đồng vị hạt K     2 *Tính siêu tích: Ở ta đồng M với toán tử siêu tích tìm hệ thức sau: M  Y Ta có: 2   Y ,  K    M ,  K   M ,  6  i 7     3   M ,  6   i  M ,  7   2    j  if8 j     j  if8 j      42   7  if876    6  if867        i   6         i 7   1. K  2  Siêu tích hạt K Vậy giá trị hình chiếu Spin đồng vị siêu tích hạt K phù hợp với thực nghiệm  Đối với hạt π  : Hàm trường mô tả trạng thái sinh hạt π  là:    1  i 2      M ,      M , 1  i 2     *Ta có: i  M , 1    M ,  2  2 j i    F3  j    j  F3  j 2 2 i    if321    1  if 312  2 1   i 2  1  1  i 2   1.   2  Vậy hình chiếu Spin đồng vị π  2    M ,     *Tính siêu tích: Y ,     M8, 1  i 2     3     M , 1   i  M ,  2    j  if8 j1     j  if8 j   0.       Siêu tích hạt π  43 Vậy giá trị I3, Y π  phù hợp với thực nghiệm Tính toán tương tự ta thấy giá trị I3, Y hạt lại phù hợp với thực nghiệm Vì hàm sóng gán cho hạt phù hợp  Meson J p  0 lập thành biểu diễn quy nhóm SU(3) 3.2 Hệ thức khối lượng hạt 3.2.1 Sự phá vỡ đối xứng SU(3) Nếu đối xứng SU(3) xác hạt đa tuyến Nếu gọi  toán tử khối lượng, ta có: M a ,     a  1,8 Nhưng thực tế hạt đa tuyến có khối lượng khác nhau, điều có nghĩa đối xứng SU(3) không hoàn toàn xác Lúc đối xứng SU(3) bị phá vỡ Khi đó:   inv    Trong   thành phần khối lượng vi phạm đối xứng 3.2.2 Hệ thức khối lượng lý thuyết đối xứng SU(3) Giả sử đối xứng SU(3) bị phá vỡ tối thiểu đối xứng SU(2) đúng, siêu tích bảo toàn Nghĩa là: SU(3) → SU(2)× UY (1) Lúc  thỏa mãn điều kiện nhóm SU(3) tức là: M i ,       1,3 M8,    (3.5) (3.6) Muốn   phải tỷ lệ với thành phần thứ bát tuyến  a Bát tuyến biểu diễn quy SU(3):  M a , b   i f abc  c ; 44  a, b, c  1,8 (3.7) Cách viết hàm trường thành ma trận: a  Sp  a   (3.8) Xét khối lượng hạt đa tuyến Baryon J   p Ta có hàm trường mô tả hạt  đại lượng sau vô hướng:   Sp a  ; biến đổi  a  (3.9)  Sp a ; biến đổi  a Với a  1,8 Từ (3.7) (3.9) suy ra:     (3.10)     (3.11)  M a , Sp b    i f abc Sp c     M a , Sp b   i f abc Sp c   Vì  thỏa mãn hệ thức (3.5), (3.6), (3.7),(3.10), (3.11) nên  tỉ lệ với thành phần thứ bát tuyến, tỉ lệ với Sp  Dạng bất biến toán tử khối lượng thỏa mãn SU(3):        C0 Sp   C1.Sp 8   C2 Sp 8  (3.12) Ta có:    1 0   0   0          0  8            0   0    0 2      8   Do đó:   l k Sp 8   m  8 l  mk  l k k  m  l   8 l  mk   Sp    m  3m   45  (3.13)   Tương tự: Sp 8  m Sp     3m   (3.14) Thay (3.13), (3.14) vào (3.12) ta được:     C0   m C1 C2  m  Sp   C    C   3m m 3  3   Đặt: m0  C0  C1 C2  3 m1   3C1 m2   3C2  m     m0 Sp   m1. m  3m  m2   3m (3.15)  Khối lượng Baryon:  Khối lượng protron: Hàm trường proton 13   1   m0  313  m2  313   m0  m2   313 Khối lượng proton m p   m0  m2   Khối lượng notron: Hàm trường notron  32   2   m0   32  m2   32   m0  m2    32 Khối lượng notron mn   m0  m2  Nhận xét: Khối lượng proton notron xét tương tác mạnh nên khối lượng chúng Khối lượng khác tương tác điện từ 46  Khối lượng 0 : Hàm trường 0 là:  0  1 1 1     0  1  2 2 2 2 1 2  m0 111  1 22   11    22 2  m0 111    22       m0 1    11   22    (Sử dụng tính chất trực giao hàm) Khối lượng 0 m0  m0 Tương tự ta tìm khối lượng hạt lại: m p  mn  m0  m2 m  m  m0  m0 m0  m  m0  m1 2 m  m0  m1  m2 3  Khối lượng Meson  Trường hợp Meson  hiểu toán tử bình phương khối lượng (vì khối lượng  - Meson nhỏ khối lượng Baryon) Từ việc so sánh bảng thực nghiệm số lượng tử khối lượng Baryon Meson ta thấy có tượng ứng hình chiếu Spin đồng vị siêu tích cặp  K p  ;  K n     ;       ;  K    K   ;            47 0 Hàm trường hạt Meson  viết dạng ma trận:  1           K     1    K  K    K       Từ nhận xét ta suy hệ thức khối lượng cho Meson  :   m   m02 Sp   m12  m 3m  m22   3m (3.16) Làm tương tự Baryon ta thu hệ thức khối lượng cho Meson  sau: mK2   mK2  m02  m22 m2   m2  m2   m02  m   m  m   m0 m  mK2   m02  m12 K 2 m2  m02  m12  m22 3 48 KẾT LUẬN Sau thời gian nghiên cứu hoàn thành khóa luận hướng dẫn tận tình thầy giáo GS TSKH Đào Vọng Đức, em thu số kết nghiên cứu sau đây:  Viết tổng quan dao động tử  Nghiên cứu biểu diễn dao động tử đại số SU(3)  Nghiên cứu phá vỡ đối xứng lý thuyết nhóm SU(3) để đưa hệ thức khối lượng hạt Baryon hạt Meson Qua nghiên cứu em hiểu rõ công cụ nghiên cứu tương tác mạnh hạt 49 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tạ Quang Bửu (1987), Hạt - Nxb Giáo dục Đào Vọng Đức (2011), Bài giảng lý thuyết hạt - Nxb Khoa học kĩ thuật Đặng Xuân Hải (1987), Bài giảng vật lý hạt nhân hạt Lê Chấn Hùng – Vũ Thanh Khiết (1989), Vật lý nguyên tử hạt nhân - Nxb Giáo dục Phạm Thúc Tuyền, Hạt - Nxb ĐHQG Hà Nội 50 [...]... i Trạng thái có n1 dao động tử mode 1, n2 dao động tử mode 2,…, được n mô tả bởi véctơ trạng thái riêng của toán tử số dao dộng tử N   N i có i 1 dạng: n  n1 , n2 , , nN  n1 1  n2 2  nN N  a   a   a   n1 !n2 ! nN ! 0  2.14  Tác dụng của toán tử N i lên véctơ trạng thái n là: N i n  ni n (2.15) Biểu diễn dao động tử của đại số SU(3) được thực hiện bởi hệ dao động tử hai mode ai  i... kê của dao động tử điều hòa Dao động tử Boson đơn mode được đặc trưng bởi hệ thức giao hoán (1.1) và toán tử N được biểu diễn theo các toán tử hủy dao động tử a và toán tử sinh dao động a  , thỏa mãn hệ thức giao hoán (1.2) Không gian Fock là không gian mà các véctơ cơ sở của nó là những trạng thái với số hạt xác định Trong không gian Fock trạng thái chân không 0 được định nghĩa là trạng thái có số. .. n  n Từ đây suy ra: 1 1  e   aa  1.26  1 e   1 18 (1.27) CHƯƠNG 2 BIỂU DIỄN DAO ĐỘNG TỬ CỦA ĐẠI SỐ SU(3) 2.1 Đại số SU(3) 2.1.1 Định nghĩa của nhóm đối xứng SU(3) Tập hợp tất cả các ma trận 3x3, Unita, có định thức bằng 1 và thỏa mãn tính chất nhóm tạo thành nhóm đối xứng SU(3) Bất kì một phần tử nào của SU(3) đều có thể viết dưới dạng: g  SU (3) : g  g  I  2.1  2 2  Det g  1... 2.1.2 Nhóm biến đổi SU(3) Đổi là nhóm các toán tử Unita phụ thuộc vào 8 thông số:  a  1,8 U a   eia M a Trong đó M a là các vi tử của nhóm biến đổi thỏa mãn điều kiện tương tự  a :  M a , M b   i  f abc M c Theo tính chất Unita thì U   U  I nên M a  M a thì nhóm biến đổi này gọi là nhóm biến đổi SU(3) 2.2 Biểu diễn dao động tử của đại số SU(3) Giả sử ta có các toán tử boson ai  i ... tỉ lệ với n  1 và do đó được đoán nhận là toán tử sinh lượng tử năng lượng Nếu tưởng tượng rằng lượng tử năng lượng là một hạt thì N sẽ là toán tử số hạt, aˆ sẽ là toán tử hủy hạt, aˆ  sẽ là toán tử sinh hạt Khi đó, trạng thái n với năng lượng En  n sẽ là trạng thái chứa n hạt Đó là biểu diễn số hạt của dao động tử điều hòa Cuối cùng, ta tính các hệ số tỉ lệ  n ,  n ,  n trong hệ thức: aˆ n ...  a,  a  n   n. a  n1   (1.22) Trong hình thức luận dao động tử điều hòa, toán tử tọa độ x và xung lượng p được định nghĩa: x   a  a  ; p  i a  a    2m 2m Chúng thỏa mãn hệ thức gian hoán:  p, x   i (1.24) (1.25) Toán tử Hamiltonian mô tả dao động tử điều hòa được biểu diễn theo các toán tử sinh hủy dao động như sau: 16 2 2 p2 1     H  m 2 x 2   a  a  a... hoán của các I a :  I a , Ib   ifabc Ic  a, b, c  1,2, ,8 (2.17) Trong đó f abc hoàn toàn phải đối xứng với các chỉ số và f123  1 Đây chính là đại số Lie SU(3) Vậy có thể biểu diễn đại số SU(3) qua các toán tử boson Để thuận tiện, người ta dùng các vi tử là tổ hợp của các vi tử trên như sau: 1   i  g E1  I1  iI 2    a1 a2  a2 a1    i    a1 a2  a2 a1   2  2  1   a1... trạng thái không chứa lượng tử nào; 1 là trạng thái chứa một lượng tử; 2 là trạng thái chứa hai lượng tử ; n là trạng thái chứa n lượng tử Toán tử N có giá trị riêng không âm cách nhau một đơn vị được đoán nhận là toán tử số lượng tử năng lượng Toán tử aˆ khi tác dụng lên n cho một trạng thái tỉ lệ với n  1 và do đó được đoán nhận là toán tử hủy lượng tử năng lượng Toán tử aˆ  khi tác dụng lên n cho... riêng của toán tử N nhưng ứng với trị riêng (n  1) Tương tự như vậy ta cũng dễ dàng chứng minh được aˆ 2 n , aˆ 3 n ;… cũng là các véctơ riêng của toán tử N ứng với trị riêng (n  2), (n  3) ,… Nếu n là một véctơ riêng của toán tử N ứng với trị riêng n thì với p  1,2,3, ta có aˆ p n cũng là một véctơ riêng của toán tử N ứng với trị riêng (n  p) và aˆ  p n cũng là một véctơ riêng của toán tử N... sử ta có các toán tử boson ai  i  1,2,3 thỏa mãn các hệ thức giao hoán sau:  ai , a j   ij  ai , a j   0 27 (2.9) Các dao động tử boson đa mode: ai a j   a j ai   ij (2.10)  ai , a j   0 Toán tử số dao dộng tử mode i biểu diễn theo các toán tử ai , a j qua công thức: N i  ai ai (2.11) Và tuân theo các hệ thức giao sau:  N i , N j   0  N i , a j    a j ij (2.12) ... cứu dao động tử, đại số SU(3) biểu diễn dao động tử đại số SU(3) Đối tượng nghiên cứu Lí thuyết đối xứng, biểu diễn dao động tử đại số SU(3) Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu dao động tử, biểu diễn, ... 1: DAO ĐỘNG TỬ 1.1 Dao động tử điều hòa 1.1 Biểu diễn dao động tử vi tử SU(2) 1.2 Thống kê dao động tử điều hòa 13 CHƯƠNG 2: BIỂU DIỄN DAO ĐỘNG TỬ CỦA ĐAI SỐ SU(3) 2.1 Đại. .. dao động tử, biểu diễn, tính thống kê dao động tử Nghiên cứu nhóm đối xứng SU(3), gần lí thuyết đối xứng SU(3), đại số SU(3) biểu diễn dao động tử đại số SU(3) Phương pháp nghiên cứu - Phương