Biểu diễn dao động của đại số Su(2)

MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Vật lý học môn khoa học nghiên cứu quy luật từ đơn giản đến tổng quát tự nhiên Trong thập kỷ gần khoa học nói chung vật lý học nói riêng thực bước phát triển ngoạn mục, đánh dấu vô số phát minh kỳ diệu, từ lĩnh vực lý thuyết trừu tượng đến lĩnh vực ứng dụng rộng rãi thực tế sản xuất đời sống Đặc biệt, vật lý hạt đạt thành tựu mang tính chất cách mạng, mặt lý thuyết lẫn thực nghiệm, việc nghiên cứu cấu trúc với chế tương tác hạt Đến số hạt phát lên tới hàng trăm, tương tác với theo quy luật phong phú đa dạng Tìm hiểu cấu trúc giới hạt vi mô với quy luật tác động để tạo giới xung quanh ta vấn đề cốt lõi vật lý học đại Sau phát triển mẫu quark lý thuyết Gauge không abelian tương tác mạnh tương tác yếu, hiểu biết nhóm Lie trở thành cần thiết cho việc nghiên cứu lý thuyết hạt Nhóm Lie ngày trở thành công cụ chủ yếu vật lý lý thuyết đại giải tích phức, phương trình vi phân riêng, lý thuyết nhóm vơ hạn… Việc nghiên cứu dao động tử mà toán tử sinh, hủy dao động tử tuân theo hệ thức giao hoán nhằm giải tốn phi tuyến tính quang học lượng tử, toán phi tuyến dao động mạng vật lý chất rắn, làm xác phong phú thêm hiểu biết giới hạt vi mô Gần việc mở rộng nghiên cứu biểu diễn dao động thu hút quan tâm nhiều nhà vật lý lý thuyết vật lý toán quan điểm ứng dụng chúng mẫu vật lý mối liên quan với lời giải phương trình vi phân phi tuyến Đề tài: “Biểu diễn dao động đại số SU(2)” nằm hướng nghiên cứu này, với hy vọng góp phần hiểu biết đầy đủ giới quanh ta, đặc biệt giới hạt vi mô từ “bức tranh” tổng quan vật lý học phần rõ Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu hình thức luận dao động tử điều hòa, đại số SU(2) biểu diễn dao động đại số SU(2) Nhiệm vụ nghiên cứu Để đạt mục đích nghiên cứu đề cần thực nhiệm vụ sau: - Nghiên cứu viết tổng quan dao động tử - Xây dựng đại số SU(2) - Biểu diễn dao động đại số SU(2) Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Nghiên cứu dao động tử lượng tử - Nghiên cứu đại số SU(2) biểu diễn dao động chúng Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp lý thuyết nhóm đối xứng - Phương pháp lý thuyết trường lượng tử - Các phương pháp giải tích CHƯƠNG 1: DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA 1.1 Dao động điều hòa Xét chuyển động chiều theo trục Ox hạt có khối lượng m chịu tác dụng lực đàn hồi F  kx ( k hệ số đàn hồi ) Trong Cơ học cổ điển: Chuyển động hạt diễn tả phương trình định luật II Newton F  ma d x   kx  m dt   kx  mx '' k  x '' x  m  x ''  x  Với   k m hay   k  tần số góc m Hạt thực dao động điều hòa quanh vị trí cân x  A.sin(t   ) Với A biên độ dao động  pha ban đầu dao động Ta có: Động T : T mv 2  mx 2 2  mA  cos (t   ) Thế V : V   kx 2 2  mA  sin (t   )   F d x Năng lượng toàn phần E hạt ETV 2 2 2  mA  cos (t  )  mA  sin (t  ) 2 2  m A Vậy ứng với giá trị  , lượng có giá trị liên tục, tỉ lệ thuận với biên độ A Ta có vận tốc hạt hàm tọa độ v dx  A sin(t   ) dy  A  Gọi   2  x A2 chu kì dao động  Xác suất mà hạt vĩ mô nằm khoảng từ x  x  dx với dx  vdt bằng: CD dw (x)  dt   dx 2 A  x A2 1.2 Biểu diễn tọa độ dao động điều hòa Hệ xét gọi dao động tử điều hòa Thế hạt là: 2 V (x)  kx  m x Tốn tử Hamiltonian có dạng ˆ ˆ ˆ pˆ 2 HTU  kx 2m 2 ћ d  kx2  Hˆ   2m dx2 Trạng thái lượng tử hạt với lượng E diễn tả hàm sóng  (x) thỏa mãn phương trình Schrodinger (phương trình chuyển động hạt vi mô) Hˆ (x)  E (x) 2  [  ћ d  kx 2 (x)]  E (x) 2m dx (1.1) Đặt: ( mk 2E  ћ ) 2 ;ћ ћm k m (*) 2E  ћ Dùng biến không thứ nguyên:    x Thay vào phương trình (1.1) ta được: d 2 m 2 x ] (x)   2mE  (x)  dx ћ2 d2 2m ћ ћ 2 [   x ] (x)    (x)    (x) 2 dx ћ 2 d  2 [    +  ] ( )    d( )  d2  [   + ]  ( )  d  (1.1) [ [ d d   + ]□ ( )  (1.2)  Với □ ( )   ( ) hữu hạn   giới nội     Dáng điệu □ ( ) lân cận  là: 2 □ ( ) □ exp( ) Nghiệm (1.2) có dạng:  □ ( )  v( ) exp( ) (1.3) Với v( ) hàm cần xác định Thay (1.3) vào (1.2) ta 2 [ d   + ]v( ) exp(  )  2 d    d  [v '( ) exp( )  v( ) exp( )]  (   )v( ) exp( )0 d 2 2  [v ''( )  v( )  v( )  2v '( )   v( )   v( )]exp(  v ''( )  2v '( )  (  1)v( )   2)  (1.4) Trong đó: v '( )  dv( ) ; d d v( ) v ''( )  d Ta tìm hàm v( dạng chuỗi ) v( )    an (a0  0) n n0  v '( )  (1.5)  n1 n  nan n0    v ''( )  n0  n0 (n  1)a (1.5')   n1 (n  1)na  n1  n1  n0 n2 (n  2)(n  1)a n  (1.5'') Thay (1.5), (1.5'), (1.5'') vào (1.4) ta được:  [(n  1)(n  2)a n0  n n2  2nan  (  1)an ]  0  [(n  1)(n  2)an2  (2n    1)an ] (1.6) n n0 Từ (1.7) ta có hệ thức truy toán an2 2n     (n  2)(n  1) an (1.7) Để □ ( giới nội    chuỗi v( ) ) phải bị ngắt bậc n hữu hạn  2n        2n  Và theo (*) lượng E dao động nhận giá trị gián đoạn E  En  (n  )ћ (n  0,1, ) Năng lượng thấp dao động tử điều hòa ứng với n  là: gọi lượng không E  ћ Sự tồn lượng thấp E0 giải thích sở lý thuyết lượng tử Thật vậy, gọi độ bất định lượng, xung lượng tọa độ E, p, x Sự tồn lượng E  gắn liền với hệ thức bất định tọa độ xung lượng hạt ћ p.x  Vì: E  p 2  kx  2m k px  m ћ Quy ước chọn gốc tính lượng trùng với lượng khơng E0 Khi lượng dao động tử điều hòa có lượng bội lượng ћ E  nћ Đó giả thuyết Planck: lượng dao động tử điều hòa bội nguyên lượng tử lượng ћ Để xác định dạng tường minh hàm sóng  (x) ta lưu ý với   2n  phương trình (1.4) trở thành v ''( )  2v '( )  2nv( ) Mặt khác đa thức Hermite lại thỏa mãn phương trình: H n ''( )  2 H n '( )  2nHn ( )  So sánh hai phương trình ta có: v( )  ( )  Nn H n ( ) Với Nn hệ số chuẩn hóa đó:  (x)   n (x)  N n Hn ( x) exp(  x2 ) Sử dụng điều kiện chuẩn hóa hàm  n (x) :     n (x) dx   Nn     H n( )e d   Đa thức Hermite có dạng tường minh  n  n  H (n )  (1) e e n   (2 )  n(n  1) n(n  1)(n  2)(n  3) n2 n4 (2 ) (2 )    1! 2! Đặt:   I   H n ( )e d  (**) Tính tích phân  n H ( )e2 Hd  (1)  I   n d ( ) d  e d n n n  Trong I  (1) n    ( ) d n1 e d n H n  Đặt u  H n  d n1 ( ); dv  d  e n1 d   du  Suy v d     H (n )d d d n1 d n1 e   n  I  (1)  d  d H n ( ) d n1 d n1 e  d Tích phân phần tích phân n lần ta thu được: n  I  (1) (1)  n   e  dn H n ( )d  n d (***) dn H n n n ( )  n(n  1)(n  2) 1.2  n! n d Áp dụng tích phân Poisson  I 2a    x2neax dx   2n1 (2n  1)  Thì:  e  d   Thay kết vào (***) ta được: n I  n!   2n.n!   m  Sp   Siêu tích hạt proton (Yp ) tính theo cơng thức: Yp  Bp  S p  Lp     Vậy siêu tích hạt proton 1: Yp =1  Điện tích hạt proton ( Qp ) B S L Qp  I  p p p Yp  I3  12   1 2 Vậy điện tích hạt proton +e  Hạt notron  Tìm hình chiếu spin đồng vị ( I3 ):  [I3 , n  ]=[I3 , j ]= 3 ( ) ( j  1, 2) j  0 1  Với:    1 0  Ta tìm được: (3 )1 = 0; ( 3)  1 Nên: 3  12 1   ( )2  ( 1 2 2  3 [I , ] (  ) ( ) 2 )      [I , ]  0.  (1).        Vậy hình chiếu spin đồng vị hạt notron là:  Spin hạt notron là: 2  Hạt notron hạt baryon nên số baryon hạt notron 1: Bn   Hạt notron không hạt lepton nên số lepton hạt notron 0: Ln   Hạt notron không hạt lạ nên số lạ hạt notron Sn  0:  Siêu tích hạt notron (Yn ) tính theo cơng thức: Yn  Bn  Sn  Ln     Vậy siêu tích hạt notron 1: Yn =1  Điện tích hạt notron ( Qn ) Qn  I  Bn  Sn  Ln  I Yn  1   0 2 Vậy hạt notron không mang điện 3.2 Các số lượng tử  -meson Như ta biết hạt  -meson lập thành biểu diễn quy SU(2)  I ,  (x)   j (x)(T )i a i a  1j            biến đổi Nếu hàm trường i );  ;   i 2)  2 sau tác dụng nhóm biến đổi SU(2): 1 '  i   Ui  U   e iaTa  i c Với (T a) b i  abc số cấu trúc nhóm SU(2) j [I ,  ]  (T )   (i )  i  a j i  [Ia , i ]     Hạt π + a i j j aij j i j ( j  1,3) aij (i aji ) (Ta ) j   ( j  1,3) Tìm hình chiếu spin đồng vị ( I3 ):  ]=[I   , ( +i )] [I , 3  =  311  ; ([I ,  ]  i[I ,  ]) 3 2 [I , 1 ]= j (i 3j1 )   1 (i311 )  2 ( j  1,3)  (i321 )  3  (i331 ) Với: 321  1;  331  Nên:  [I , 1 ]  0.1      i.2   0.3   i2 (1) [I ,2  ]= j (i 3j2 )  312  ; Với: 322  0; 332  Nên:   1 (i312 )  2  ( j  1,3) (i322 )  3  (i332 )   [I3 , 2 ]  i.1  0.2    i1 Từ (1), (2) ta suy ra:  [I ,     0.3  (2)   ,  ]  i[I , ]) ]= ([I  3 12    [i  i(i )] 2   = [  i ]2  =1.   Vậy hình chiếu spin đồng vị hạt  là:   Spin hạt  là:  Hạt  không hạt baryon nên số baryon hạt  0: B    Hạt  không hạt lepton nên số lepton hạt  0: L          Hạt  không hạt lạ nên số lạ hạt  0: S     Siêu tích hạt  (Y   ) tính theo cơng thức: Y B    S   L   000  Vậy siêu tích hạt    0: Y =0   Điện tích hạt  ( Q )   Q I  B Y     S    L 0  I3  Vậy điện tích hạt   +e     Hạt π  Tìm hình chiếu spin đồng vị ( I3 ):   [I3 ,  ]=[I ,  ]= j ( i ) 3 3j3     1 (i313 )  2  (i323 )  3 ( j  1,3) (i333 ) Với: 313  323  333  ; Nên: [I3 , 3 ]  0.    0.2   0.3    0.3    0.  Vậy hình chiếu spin đồng vị hạt  Spin hạt   Hạt   Hạt  0 là: là: không hạt baryon nên số baryon hạt  không hạt lepton nên số lepton hạt   Hạt   Siêu tích hạt  khơng hạt lạ nên số lạ hạt  0 (Y ) tính theo cơng thức: Y0B0S L 0     000  0 Vậy siêu tích hạt  0: Y =0  Điện tích hạt  (Q0) 0  I Q 0  0  0: B  0: L  0: S    0 0  B S Y L  I3  Vậy hạt  không mang điện 0     -  Hạt π :  Tìm hình chiếu spin đồng vị ( I3 ):   (  i )]  [I , ]=[I , 3  = 1 2 ([I ,  ]  i[I ,  ]) 3 Từ (1), (2) ta suy ra: [I ,   ]= ([I    , ]  i[I ,  ]) 3    [i  i(i )] 2   =   i ) 2 1      i  ) 2  =  1.   Vậy hình chiếu spin đồng vị hạt là: -1   Spin hạt  là:  Hạt  không hạt baryon nên số baryon hạt  0: B    Hạt  không hạt lepton nên số lepton hạt  0: L          Hạt  không hạt lạ nên số lạ hạt  0: S     Siêu tích hạt  (Y   ) tính theo cơng thức: Y B   S   000 L   0  Vậy siêu tích hạt    0: Y  =0   Điện tích hạt  ( Q )  BS   Q    I3   I3  Y   Vậy điện tích hạt  -e 51   L   1   1 KẾT LUẬN Khóa luận “Biểu diễn dao động đại số SU(2)” thực đạt kết sau: - Đã trình bày cách lơgic, đầy đủ hình thức luận dao động tử điều hòa - Đã đưa cách khái quát đại số SU(2) đưa biểu diễn dao động đại số lượng tử SU(2) Dựa vào hệ thức giao hoán chứng minh đại số SU(2) hệ đóng kín, cụ thể:  E, F   H ,  H , F   2E,  H , E  2F - Đã áp dụng lý thuyết nhóm đối xứng SU(2) tính số lượng tử hạt: p, n hạt  - meson Qua đề tài em bước đầu tìm hiểu thêm biểu diễn đại số lượng tử nghiên cứu hạt Đó sở tảng cho em tìm hiểu sâu hạt nói riêng vật lý lý thuyết nói chung TÀI LIỆU THAM KHẢO Tạ Quang Bửu (1987) , Hạt - Nxb Giáo dục Đào Vọng Đức (2011) , Bài giảng lý thuyết hạt - Nxb Khoa học kĩ thuật Đặng Xuân Hải (1987) , Bài giảng vật lý hạt nhân hạt Lê Chấn Hùng – Vũ Thanh Khiết (1989) , Vật lý nguyên tử hạt nhân - Nxb Giáo dục Hồng Ngọc Long, Nhập mơn lý thuyết trường mơ hình thống tương tác điện yếu PGS TS Nguyễn Thị Hà Loan, Bài giảng chuyên đề “Hạt bản” Phạm Thúc Tuyền, Hạt - Nxb ĐHQG Hà Nội ... dao động tử - Xây dựng đại số SU(2) - Biểu diễn dao động đại số SU(2) Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Nghiên cứu dao động tử lượng tử - Nghiên cứu đại số SU(2) biểu diễn dao động chúng Phương pháp... thức luận dao động tử điều hòa, đại số SU(2) biểu diễn dao động đại số SU(2) Nhiệm vụ nghiên cứu Để đạt mục đích nghiên cứu đề cần thực nhiệm vụ sau: - Nghiên cứu viết tổng quan dao động tử -... dx x2  A2 dwlt n (x)   (x) dx 1.3 Biểu diễn số hạt dao động điều hòa Phổ lượng dao động tử điều hòa tìm phương pháp đại số, sử dụng hệ thức giao hốn tắc biểu thức Hamiltonian ta có:  Hˆ 