Ánh xạ đạo hàm trên đại số lie

Bộ giáo dục đào tạo Trờng đại học vinh nguyễn thị huệ ánh xạ đạo hàm đại số lie Luận văn thạc sĩ toán học Vinh - 2010 Bộ giáo dục đào tạo Trờng đại học vinh nguyễn thị huệ ánh xạ đạo hàm đại số lie Chuyên ngành: Hình Học - Tôpô mã số: 60.46.10 Luận văn thạc sĩ toán học Ngời hớng dẫn khoa học: PGS TS Nguyễn hữu quang Vinh - 2010 MC LC Trang LI NểI U Chng i s Lie I i s Lie II i s Lie tớch, i s Lie thng v i s Lie na n III ng cu Lie Chng Phộp o hm trờn i s Lie I Phộp o hm trờn i s Lie II nh x ad trờn i s Lie na n KT LUN TI LIU THAM KHO LI M U Nh chỳng ta ó bit, s phỏt trin ca Toỏn luụn xy hai quỏ trỡnh song song, ú l s phõn chia thnh nhiu ngnh cú s nghiờn cu ngy cng sõu sc, mt khỏc cú s kt hp cỏc ngnh Toỏn hc khỏc cú nhng thnh tu ln Cú th núi: Lý thuyt nhúm Lie v i s Lie l s kt hp gia cỏc chuyờn ngnh Hỡnh hc Tụpụ, Gii tớch v i s Do ú i s Lie l mt b phn quan trng ca toỏn hc hin i v nú tr thnh mt cụng c hu hiu i vi cỏc nghiờn cu trờn a Vo cui th k 19 ó xut hin s kt hp lý thuyt nhúm v hỡnh hc Riemann cỏc cụng trỡnh ch yu ca Phờlix Klein (1849 1925) v Xụphux Lie (1842 1899) Lý thuyt nhúm Lie v i s Lie cng c ng dng nhiu cỏc nghiờn cu v lý thuyt h ng lc, vt lý lng t v cỏc ngnh khỏc ca toỏn hc Phộp o hm trờn i s Lie l mt nhng quan trng ca i s Lie Trờn c s mt s kt qu ca cỏc nh toỏn hc ln nh Serre, Helgason, v mt s ti liu nghiờn cu theo hng trờn, di s hng dn ca thy giỏo PGS TS Nguyn Hu Quang chỳng tụi nghiờn cu ti: nh x o hm trờn i s Lie Bi toỏn chỳng tụi t l nghiờn cu v phộp o hm trờn i s Lie Ni dung ch yu ca lun l hp mt cỏch h thng, trỡnh by v chng minh chi tit v i s Lie, v phộp o hm trờn i s Lie Lun c trỡnh by hai chng Chng i s Lie Trong chng ny, chỳng tụi trỡnh by cỏc khỏi nim c bn v mt s tớnh cht v i s Lie, i s Lie tớch, i s Lie thng, i s Lie na n v ng cu Lie Ni dung ca chng ny phc v cho vic trỡnh by ỏnh x o hm trờn i s Lie chng sau Chng Phộp o hm trờn i s Lie õy l chng th hin kt qu chớnh ca lun gm cỏc : Trỡnh by chi tit cỏc khỏi nim, tớnh cht, vớ d v phộp o hm trờn i s Lie; phỏt biu, chng minh mnh v phộp o hm trờn i s Lie na n, ng thi a mt s vớ d, h qu v phộp o hm trờn ú Lun c hon thnh vo thỏng 12 nm 2010 ti trng i hc Vinh di s hng dn ca thy giỏo PGS TS Nguyn Hu Quang Tỏc gi xin by t lũng bit n sõu sc n thy, ngi ó t bi toỏn v hng dn tỏc gi Tỏc gi xin chõn thnh cm n PGS TS Phm Ngc Bi, TS Nguyn Duy Bỡnh, PGS TS on Th Hiu, PGS TS Phan Thnh An v cỏc thy cụ giỏo Khoa o to Sau i hc Trng i hc Vinh ó ging dy, qun lớ v giỳp tỏc gi sut quỏ trỡnh hc tp, nghiờn cu Tỏc gi cng gi li cm n chõn thnh ti cỏn b giỏo viờn trng THPT Yờn Thnh 2, th K16 Hỡnh hc - Tụpụ, gia ỡnh, bn bố, ng nghip ó giỳp v ng viờn tỏc gi sut quỏ trỡnh hc Vinh, thỏng 12 nm 2010 Tỏc gi CHNG I I S LIE Trong chng ny, chỳng tụi trỡnh by cỏc nh ngha, vớ d v mt s tớnh cht ca i s, i s Lie, i s Lie con; v i s Lie tớch, i s Lie thng, i s Lie na n v ng cu Lie cựng mt s tớnh cht cú liờn quan I i s Lie 1.1.1 nh ngha (Xem [1]) Gi s G l mt khụng gian vộc t trờn trng K G c gi l mt i s trờn K nu ta trang b thờm vo G mt ỏnh x song tuyn tớnh : Gì G G (x, y) (x, y) Ta thng kớ hiu (x, y) = x.y ( c gi l phộp nhõn trong) 1.1.2 Vớ d 1) Ta ký hiu M n ( Ă ) l hp cỏc ma trn vuụng cp n trờn Ă , vi phộp cng l cng cỏc ma trn, phộp nhõn vụ hng l nhõn ma trn vi mt s, phộp nhõn l nhõn hai ma trn Khi ú M n ( Ă ) l mt i s trờn Ă 2) Gi s M l mt khụng gian vộc t trờn Ă Ta ký hiu End M l tt c cỏc ỏnh x tuyn tớnh ca M Ta a vo End M cỏc phộp toỏn: (f + g)(x) = f(x) + g(x); f, g End M ; x M ( f)(x) = f(x); f, g End M ; x M ; Ă (f.g)(x) = f(x).g(x); f, g End M; x M Khi ú End M l mt i s trờn Ă Chỳ ý: Nu phộp nhõn cú tớnh cht giao hoỏn thỡ G c gi l i s giao hoỏn Nu phộp nhõn cú tớnh cht kt hp thỡ G c gi l i s kt hp Nu a.b = ; a, b G, ta núi G l i s tm thng 1.1.3 nh ngha ( Xem [2] ) i s G vi phộp nhõn (x, y) = [x, y] c gi l i s Lie nu thừa cỏc iu kin sau: i) Vi mi x thuc G thỡ [x, x] = ii) Vi mi x, y, z thuc G, ta cú [x, [y, z]] + [y, [z, x]] + [z, [x, y]] = 0; (ng thc ny gi l ng thc Jacobi) 1.1.4 Vớ d 1) Xột G = M n ( Ă ) ( Tp hp cỏc ma trn vuụng cp n, phn t thc) Khi ú G = M n ( Ă ) l i s Lie vi ba phộp toỏn sau: Cng ma trn thụng thng Nhõn ma trn vi mt s thụng thng Phộp nhõn (A, B) [A, B] = AB BA Chng minh Ta cú G = M n ( Ă ) l mt khụng gian vộc t trờn Ă vi hai phộp toỏn cng ma trn v nhõn ma trn vi mt s thụng thng D dng chng minh c phộp nhõn cú tớnh cht song tuyn tớnh nờn G l mt i s õy ta ch kim tra cỏc iu kin ca i s Lie Vi mi A thuc M n ( Ă ), ta d dng nhn thy: [A, A] = A.A - A.A = Mt khỏc, vi mi A, B, C thuc M n ( Ă ), ta cú: [A, [B, C]] + [B, [C, A]] + [C, [A, B]] = [A, BC CB] + [B, CA AC] + [C, AB BA] = A(BC CB) (BC CB)A + B(CA AC) (CA AC)B + C(AB BA) (AB BA)C = ABC ACB BCA + CBA + BCA BAC CAB + ACB + CAB CBA ABC + BAC = ng thc Jacobi thừa Vy G = M n ( Ă ) l mt i s Lie vi tớch Lie [A, B] = AB BA 2) Ta xột G = Ă , vi [x, y] = x y ( l tớch cú hng ca hai vộc t Ă ) Khi ú G l i s Lie trờn Ă 3) Ta xột G = B ( Ă n ) l tt c cỏc trng vộc t kh vi Ă n Ta a vo G mt tớch Lie l [X, Y] = D X Y D Y X; X, Y B ( Ă n ) Khi ú G l mt i s Lie Chng minh Ta bit rng: B ( Ă n ) cựng vi hai phộp toỏn: (+) Phộp cng cỏc trng vộc t r r Vi X : p a X p ; Y : p a Yp , vi mi p thuc Ă X+Y:p X p + Y p , p Ă n n thỡ: (+) Phộp nhõn trng vộc t vi mt hm s kh vi trờn Ă Vi X : p a r Xp; : Ă n n Ă ; p Ă n p r thỡ: X : p a X p ; p Ă n , l khụng gian vộc t trờn trng Ă Mt khỏc, d dng chng minh c tớch Lie [X, Y] = D X Y D Y X cú tớnh cht song tuyn tớnh nờn B ( Ă n ) tr thnh mt i s õy ta ch kim tra cỏc iu kin ca i s Lie Vi mi X thuc B ( Ă n ), d thy [X, X] = D X X - D X X = Vi mi X, Y, Z thuc B ( Ă n ), mi f thuc F( Ă n ), xột [X, [Y, Z]] [f] = X[[Y, Z][f]] [Y, Z][X[f]] = X[Y[Z[f]]] X[Z[Y[f]]] Y[Z[X[f]]] + Z[Y[X[f]]] Hon ton tng t ta cú: [Y, [Z, X]][f] = Y[Z[X[f]]] Y[X[Z[f]]] Z[X[Y[f]]] + X[Z[Y[f]]] [Z, [X, Y]][f] = Z[X[Y[f]]] Z[Y[X[f]]] X[Y[Z[f]]] + Y[X[Z[f]]] Cng v theo v ta cú ng thc Jacobi Vy G = B ( Ă n ) l mt i s Lie Nhn xột 1.Trong nh ngha 1.1.3 ta cú th thay iu kin i) bi iu kin: [x, y] = [y, x] ; vi x, y G Cho G l i s Lie trờn trng K Khi ú vi mi x, y, z thuc G ta luụn cú: [x, [y, z]] = [[x, y], z] + [y, [x, z]] Tht vy, theo h thc Jacobi, vi mi x, y, z thuc G, ta cú: [x, [y, z]] + [y, [z, x]] + [z, [x, y]] = [x, [y, z]] = [y, [z, x]] [z, [x, y]] [x, [y, z]] = [[x, y], z] + [y, [x, z]] 1.1.5 Mnh (Xem [4] ) Gi s G l mt i s kt hp trờn trng K Ta t [a, b] = a.b b.a ; a, b G Khi ú G l i s Lie Chng minh õy ta ch kim tra tớnh cht phn xng v ng thc Jacobi Ta cú [a, a] = a.a a.a = V [a, [b, c]] + [b, [c, a]] + [c, [a, b]] = [a, bc cb] + [b, ca ac] + [c, ab ba] = abc acb bca + cba +bca bac cab +acb +cab cba abc + bac = Vy nu G l mt i s kt hp trờn trng K, vi [a, b] = ab ba; a, b G thỡ G l i s Lie 1.1.6 Mnh (Xem [6]) i s i ca mt i s Lie l mt i s Lie Chng minh Gi s G l i s Lie vi phộp nhõn (x, y) [x, y] Gi G l i s i ca i s Lie G Ta cn chng minh G l i s Lie vi phộp nhõn (x, y) [y, x] Vi mi x thuc G , d thy [x, x] = Vi mi x, y, z thuc G , ta cú: 10 x, [ y, z ] + y, [ z, x ] + z, [ x, y ] = [ y, z ] , x + [ z , x ] , y + [ x, y ] , z = x, y, z y, [ z , x ] z, [ x, y ] Do ú, ta cú h thc Jacobi G iu ny chng t G l i s Lie 1.1.7 nh ngha (Xem [2]) Gi s M v N l hai ca i s Lie G trờn trng K Ta ký hiu: [M, N] = < [ m, n] ; m M, n N > i) Mt khụng gian vộc t N G c gi l i s Lie ca G nu v ch nu [ N , N ] N ii) Mt khụng gian vộc t N ca G c gi l Idean ca G nu v ch nu [ G, N ] N iii) Mt Idean N cc i ca G thừa [ G, N ] = c gi l tõm ca G 1.1.8 Vớ d 1) Ta xột G = { ( x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ) x1 , x2 , x3 , x4 , x5 Ă Trờn G ta trang b phộp tớnh tớch Lie nh sau: Vi mi x, y thuc G thỡ [ x, y ] = ( x1 y2 x2 y1 ; 0; x4 y5 x5 y4 ; x5 y3 x3 y5 ; x3 y4 x4 y3 ) Xột N = { ( x1 , x2 , 0, 0, 0) x1 , x2 Ă } Khi ú N l i s Lie ca G Tht vy, d thy N l khụng gian vộc t ca G Vi mi x, y N, gi s x = ( x1 , x2 , 0, 0, 0) ; x1 , x2 Ă y = ( y1 , y , 0, 0, 0) ; y1 , y2 Ă } 23 = [ f ( x), y ] + [ x, f ( y ) ] Vy f = D1 + D2 l ỏnh x o hm ii) Vi x, y G; , K , ta cú : ( D1 oD2 D2 oD1 )( x + y ) = D1 ( D2 ( x + y )) D2 ( D1 ( x + y )) = D1 (D2 ( x) + D2 ( y )) D2 (D1 ( x) + D1 ( y )) = ( D1 D2 D2 D1 )( x) + ( D1 D2 D2 D1 )( y ) Mt khỏc, ( D1 oD2 D2 oD1 ) [ x, y ] = D1 ( D2 [ x, y ] ) D2 ( D1 [ x, y ] ) = D1 ( [ D2 ( x), y ] + [ x, D2 ( y ) ] ) D2 ( [ D1 ( x), y ] + [ x, D1 ( y ) ] ) = [ D1 oD2 ( x), y ] + [ D2 ( x), D1 ( y ) ] + [ D1 ( x), D1 oD2 ( y ) ] + [ x, D1 oD2 ( y )] [ D2 oD1 ( x ), y ] [ D1 ( x ), D2 ( y ) ] [ D2 ( x), D1 ( y ) ] x, D2 oD1 ( y ) = [ D1 oD2 ( x), y ] [ D2 oD1 ( x), y ] + [ x, D1 oD2 ( y ) ] [ x, D2 oD1 ( y )] = [ ( D1 oD2 D2 oD1 )( x), y ] + x, ( D1 oD2 D2 oD1 ( y ) Vy D1 D2 D2 D1 cng l ỏnh x o hm 2.1.4 Mnh (Xem [7]) Ta ký hiu DerG = { D D l ỏnh x o hm trờn G } Trờn DerG ta a vo ba phộp toỏn sau: ( D1 + D2 )( a) = D1 ( a) + D2 (a) ; a G ( D1 )( a) = D1 ( a) ; [ D1 , K , a G D2 ] = D1 oD2 D2 oD1 ; D1 , D2 DerG Khi ú DerG l mt i s Lie trờn trng K Chng minh Theo mnh 2.1.3 rừ rng ta thy ba phộp toỏn trờn xỏc nh DerG chng minh DerG l mt i s Lie trờn trng K ta cn chng minh: DerG vi hai phộp toỏn u l mt khụng gian vộc t trờn trng K 24 Chng minh DerG l mt i s, ngha l ta chng minh phộp toỏn tớch Lie [ D1 , D2 ] = D1 oD2 D2 oD1 cú tớnh cht song tuyn tớnh Chng minh DerG l i s Lie , ngha l ta chng minh phộp toỏn tớch Lie cú tớnh cht phn xng v tớnh Jacobi Tht vy: D thy DerG vi hai phộp toỏn u l mt khụng gian vộc t trờn trng K Vi mi D1 , D2 , D1 thuc DerG, ta cú D + D , D = ( D + D ) oD D o( D + D ) 1 2 1 = ( D1 D2 D2 D1 ) + ( D1 D2 D2 D1 ) = [ D1 , D2 ] + D1 , D2 v vi mi thuc K, mi D1 , D2 thuc DerG thỡ [ D1 , D2 ] = ( D1 ) oD2 D2 o( D1 ) = ( D1 oD2 D2 oD1 ) = [ D1 , D2 ] Hon ton tng t, vi mi thuc K, mi D1 , D2 , D2 thuc DerG ta d dng chng minh c: D , D + D = [ D , D ] + D , D 2 2 [ D1 , D2 ] = [ D1 , D2 ] T ú ta thy phộp toỏn tớch Lie cú tớnh cht song tuyn tớnh Vi mi D1 , D2 , D3 thuc DerG, ta nhn thy: +) [ D1 , D1 ] = D1 oD1 D1 oD1 = +) D1 , [ D2 , D3 ] + D2 , [ D3 , D1 ] + D3 , [ D1 , D2 ] = = [ D1 , D2 oD3 D3 oD2 ] + [ D2 , D3 oD1 D1 oD3 ] + [ D3 , D1 oD2 D2 oD1 ] 25 = D1 o( D2 oD3 D3 oD2 ) ( D2 oD3 D3 oD2 ) oD1 + D2 ( D3 D1 D1 D3 ) ( D3 D1 D1 D3 ) D2 + D3 ( D1 D2 D2 D1 ) ( D1 D2 D2 D1 ) D3 = D1 oD2 oD3 D1 oD3 oD2 D2 oD3 oD1 + D3 oD2 oD1 + D2 oD3 oD1 D2 oD1 oD3 D3 D1 D2 + D1 oD3 oD2 + D oD1 oD2 D3 oD2 oD1 D1 oD2 oD3 + D2 oD1 oD3 = Vy DerG vi tớch Lie [ D1 , D2 ] = D1 oD2 D2 oD1 l mt i s Lie trờn trng K 2.1.5 nh lý (Xem [4]) Gi s G l mt i s Lie trờn trng K Vi mi x thuc G, ta cú: i) ad x l mt ỏnh x o hm ( nh x ny c gi l vi phõn ca G sinh bi phn t x) ii) nh x f : G Der G x a l mt ng cu Lie f ( x) = ad x Chng minh i) Vi mi y, z thuc G, mi , thuc K, ta cú: ad x ( y + z ) = [ x, y + z ] = [ x, y ] + [ x , z ] = ad x ( y ) + ad x ( z ) Do ú ad x l mt ỏnh x tuyn tớnh Mt khỏc, ta li cú: ad x [ y, z ] = [ x, [ y, z ]] = [[ x, y ], z ] + [ y, [ x, z ]] = [ ad x ( y ), z ] + [ y , ad x ( z ) ] Vỡ vy ad x l mt ỏnh x o hm ii) nh x f : G Der G l mt ng cu Lie 26 f ( x) = ad x x Vi mi x, y thuc G, vi mi , thuc K, ta cú: f ( x + y ) = ad x + y Vi mi t thuc G, ta li cú: ad ( x + y) (t ) = [ x + y , t ] = [ x, t ] + [ y , t ] = ad x (t ) + ad y (t ) = ( ad x + ad y )(t ) Do ú ad x + y = ( ad x + ad y ) hay f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) Mt khỏc, f ( x, y ) = ad[ x , y] nờn vi mi t G, ta suy ad [ x , y ] (t ) = [[ x, y ], t ] = x, [ y, t ] y, [ x, t ] = [ x, ad y (t )] [ y, ad x (t )] = ad x (ad y (t ) ad y (ad x (t )) = (ad x oad y ad y oad x )(t ) T ú ta cú ad [ x , y ] = ad x ad y ad y ad x = [ad x , ad y ] Do ú f ( [ x, y ] ) = [ f ( x), f ( y )] Vy f l ng cu Lie 2.1.6 Mnh (Xem [8]) Nu D thuc DerG thỡ [ D, ad x ] = ad Chng minh Vi mi t thuc G, ta cú: [ D, ad x ] (t ) = ( D oad x ad x oD )(t ) = D(ad x (t )) ad x ( D(t )) = D ( [ x, t ] ) [ x, D (t ) ] D( x) ; x G 27 = [ D( x), t ] + x, D(t ) [ x, D (t ) ] = [ D( x), t ] = ad D ( x ) (t ) Vy [ D, ad x ] = ad D(x) vi x G 2.1.7 Nhn xột Ta ký hiu Ga = { ad a | a G} Th thỡ: i) Vi mi a, b thuc G thỡ ad a + ad b = ad a + b ii) Ga l mt Idean ca DerG Chng minh i) Vi mi t thuc G, ta cú: (ad a + ad b )(t ) = ad a (t ) + ad b (t ) = [ a, t ] + [ b, t ] = a + b, t = ad a + b (t ) Vy ad a + ad b = ad a + b ; a, b G ii) chng minh Ga l mt idean ca DerG ta cn chng minh Ga l khụng gian vộc t ca DerG v [DerG, G a ] G a Tht vy, vi K ; a, b G ta luụn cú: ad a + adb = ad a + b Ga v ad a Ga Vi D bt k thuc DerG, mi ad a thuc Ga Theo mnh 2.1.6 ta cú [ D, ad x ] = ad D ( x ) G a Vy Ga l mt Idean ca DerG 2.1.8 Mnh (Xem [4] ) Xột ỏnh x : G Ga x a ad x 28 Khi ú ta cú cỏc khng nh sau: i) l mt ton cu Lie ii) Ker l tõm ca G Chng minh i) l mt ton cu Lie Vi mi x, y thuc G; mi , thuc K, ta cú ( x + y ) = ad ( x + y ) Vi mi t thuc G, ta li cú: ad ( x + y) (t ) = [ x + y, t ] = [ x, t ] + [ y , t ] = ad x (t ) + ad y (t ) = ad x + ad y (t ) Do ú (x + y ) = ( x) + ( y ) Vi mi x, y thuc G, ta cn chng minh: [ x, y ] = [ ( x), ( y ) ] Vic chng minh ny tng ng vi vic chng minh ad [ x, y] = ad x , ad y Vi mi t thuc G, ta cú ad [ x , y ] (t ) = [[x, y], t] (*) Li cú ad x , ad y (t) = (ad x oad y ad y oad x )(t ) = ad x (ad y (t )) ad (ad x (t )) y = x, [ y , t ] y, [ x, t ] = [x, [y, t]] + [y, [t, x]] (**) Theo ng thc Jacobi v t (*) (**) ta cú l ng cu Lie Hin nhiờn ỏnh x : G Ga x a l ton ỏnh ad x T cỏc chng minh trờn ta thy l ton cu Lie ii) Chng minh Ker = T G 29 Ta ký TG = { hiu tõm ca G l TG v ta cng ó bit rng x G | [ x, y ] = 0; y G } Ta cú Ker = { x G | ( x) = 0} = { x G | ad x = } = { x G | ad x ( y) = 0; y G} = { x G | [ x, y ] = 0; y G } = TG Vy Ker = T G 2.1.9 Nhn xột Cho G l mt i s Lie trờn trng K Nu l mt t ng cu bt k ca G thỡ vi mi x thuc G ta luụn cú ad ( x ) = ad x Chng minh Ta chỳ ý ti s sau: G G Ga x ( x) ad ( x ) Vi mi y thuc G, ta cú ( oad x o )( y ) = ( oad x )( ( y )) = (ad x ( ( y ))) = x, ( y ) = [ ( x), y ] = ad ( x ) ( y ) Vy ad ( x ) = oad x o 2.1.10 Vớ d Mc ny c xem nh l vớ d v o hm ca i s Lie cỏc trng vộc t bt bin trỏi trờn nhúm Lie Gi s G l mt nhúm Lie thc hu hn chiu vi h bn ( U i , i ) iI 30 B (G) = { X | X l trng vộc t kh vi trờn G } G = { X B ( (G) | X l trng vộc t bt bin trỏi trờn G } Nh ta ó bit: Trng vộc t X kh vi trờn nhúm Lie G c gi l trng vộc t bt bin trỏi nu ( La ) * X = X ; a G ( La ) * | p ( X p ) = X a p ; p G ) (Ngha l Trong ú La l mt phộp tnh tin trỏi G Nhn xột (Xem [4] ) i) Mi trng vộc t bt bin trỏi hon ton c xỏc nh bi giỏ tr ca nú ti n v ii) dim G = dim G iii) Gi s X, Y l trng vộc t bt bin trỏi trờn G Khi ú [X, Y] cng l trng vộc t bt bin trỏi õy chỳng tụi ch chng minh tớnh cht iii) Vỡ ỏnh x La : G G l mt vi phụi nờn x ax (La)* [X , Y ] = [(La)* X , (La)*Y ] = [X , Y ] Vy [X , Y ] G Nhn xột X l trng vộc t bt bin trỏi trờn Ă n v ch X l trng vộc t song song trờn Ă n Chng minh Ta bit rng: Khụng gian vộct Euclid Ă n vi cu trỳc kh vi t nhiờn, v vi phộp cng thụng thng l mt nhúm Lie Xột trng hp G = Ă n Vi a Ă n thỡ La : G G p a + p l phộp tnh tin trỏi theo a 31 Gi s X l trng vộct bt bin trỏi trờn Ă n Khi ú theo nh ngha ta cú: (La)* X = X (La)* |p Xp = Xa+p p Ă Xp = Xa+p ; n X l trng vộc t song song trờn Ă n Vy X l trng vộc t bt bin trỏi trờn Ă n v ch X l trng vộc t song song trờn Ă n Nhn xột Tp G cỏc trng vộc t bt bin trỏi trờn nhúm Lie G l mt i s Lie v G c gi l i s Lie ca nhúm Lie G Bõy gi ta xột phộp o hm trờn i s Lie cỏc trng vộc t bt bin trỏi ca nhúm Lie G = Ă n Nh ta ó bit: Trng vộc t X Ă n c gi l song song nu DYX = ; Y B ( Ă n ) Ngha l nu X = ( X1, X2,, Xn) thỡ Xi ( i = 1,,n) l cỏc hm hng trờn Ă n V B ( Ă n ) l mt i s Lie vi tớch Lie [ X, Y] = DX Y DY X ; Ta ký hiu B~ ( Ă n ) = { X | X l trng vộc t song song trờn Ă n } Khi ú B~ ( Ă n ) l i s Lie ca nhúm Lie G = Ă n vi tớch Lie [X, Y ] = DXY DYX = v ad X : B~ ( Ă n ) B~ ( Ă n ) Y ad X (Y) = [X, Y] = Nh vy ad X = 0; X B~ ( Ă n ) II nh x ad trờn i s Lie na n 32 Theo nhn xột 2.1.7, ta bit rng Ga l mt Idean ca DerG Trong ú Ga = { ad a | a G } , G l i s Lie trờn trng K Vn t l no thỡ Ga = DerG Mnh sau khng nh iu ú s ỳng trng hp G l na n 2.2.1 Mnh (Xem [3]) Nu G l i s Lie na n thỡ Ga = DerG ~ Chng minh Xột ỏnh x tuyn tớnh :G G x ( x) = Tr (ad x D) Trong ú G~ l khụng gian i ngu cỏc hm tuyn tớnh xỏc nh trờn G D l mt ỏnh x o hm tựy ý ca G Vỡ dng Killing xỏc nh trờn G l khụng suy bin nờn vi mi x thuc G ta luụn tỡm c mt phn t a thuc G xỏc nh, thừa ng thc < a, x > = Tr (ad x oD) t E = D - ad a Khi ú ad x E = ad x D ad x ad a , x G T ú suy Tr (ad x E ) = Tr (ad x D) Tr (ad x ad a ) = < a , x > < x, a > = < a , x > < a, x > = Nh vy ta luụn cú Tr (ad x E ) = ; x G (1) Mt khỏc, vi mi y thuc G thỡ: < E ( x), y > = Tr (ad E ( x ) oad y ) = Tr ( [ E , ad x ] oad y ) = Tr ((E ad x ad x E ) ad y ) = Tr ( E ad x ad y ) Tr ( ad x E ad y ) = Tr ( E ad x ad y ) Tr ( E ad y ad x ) = Tr ( E ad [ x , y ] ) 33 = Tr (ad[ x , y ] oE ) = (Do (1)) Vỡ dng Killing trờn G l khụng suy bin nờn E(x) = ; x G Suy E = Do ú D = ad a Hay Ga = DerG T mnh ny ta rỳt c mt tớnh cht cc k quan trng v phộp o hm trờn i s Lie na n ú l: Mi ỏnh x o hm trờn i s Lie na n u l ỏnh x ad 2.2.2 H qu Nu G l i s Lie na n thỡ G DerG Chng minh Theo mnh 2.1.8 ta bit rng ỏnh x : G G a l mt x ad x ton cu Lie Do G l na n nờn Ga = DerG Vy nờn ỏnh x : G DerG x ad x l mt ton cu Lie Li cú, Ker = T G (Do mnh 2.1.8), v vỡ G l na n nờn G khụng cha Idean giao hoỏn khỏc khụng m T G l mt Idean giao hoỏn ca G Do ú T G = hay Ker = T ú ta cú ỏnh x : G Ga x ad x l ng cu Lie nờn G DerG 2.2.3 Vớ d Ta bit rng G = Ă , vi [ x, y ] = x y ; x, y Ă n Vi mi x Ă 3 l i s Lie na , ỏnh x ad x : Ă Ă y a l mt phộp o hm trờn Ă x y Chng hn, vi x = (1; 0; 1) Ă , ỏnh x ad x : Ă Ă 3 34 ( y1 ; y ; y ) ( y ; y1 y ; y ) l mt phộp o hm trờn Ă a b Theo chng 1, ta bit rng G = | a, b, c Ă vi tớch c a Lie [ A, B ] = AB BA; A, B G , l i s Lie na n Ly x = G Xột ỏnh x : ad x : G G y a a b ad x ( y ) = [ x, y ] = xy yx a a + 2b b a b Vi y = G Ta cú xy = 2a c 2b + a ; yx = c 2a c a 2b 2b Suy xy yx = G 4a 2c 2b ad x : G G Vy ỏnh x a b c a a 2b 2b 4a 2c 2b l mt phộp o hm trờn G 2.2.4 Nhn xột Trờn i s Lie na n G cú vụ s phộp o hm C mi phn t x thuc G sinh mt ỏnh x ad x Mi ỏnh x ad ú c gi l mt phộp o hm trờn G Vỡ G = Ă vi [ x, y ] = x y ; x, y Ă Ă DerG v Der( Ă ) = { ad x | x Ă 3 } Vi D , D Der( Ă ), bao gi cng tn ti x, y Ă D : ad x : Ă Ă l i s Lie na n nờn cho 35 D : ad y : Ă Ă Lỳc ú ta cú th nh ngha: D1 D2 = ad x ad y = [ ad x , ad y ] = ad x ad y ad y ad x = ad[ x , y] = ad x y Vy D1 D2 = ad x y 36 KT LUN Lun ó t c nhng kt qu chớnh sau: H thng cỏc khỏi nim c bn, cỏc tớnh cht v i s Lie Chng minh chi tit cỏc mnh v i s Lie ( Mnh 1.1.10, mnh 1.3.3, mnh 1.3.5 ) H thng cỏc khỏi nim c bn, cỏc tớnh cht v phộp o hm trờn i s Lie Chng minh chi tit cỏc mnh v phộp o hm trờn i s Lie ( Mnh 2.1.4, mnh 2.1.5 mnh 2.1.6, mnh 2.2.1) Phỏt biu v chng minh nhn xột 2.2.4 v tớch cú hng ca hai ỏnh x o hm khụng gian vộc t Euclid Ă Phỏt biu v chng minh h qu 2.2.2 v quan h ng cu Lie gia G v DerG Ch v chng minh cỏc vớ d 1.1.4, 1.1.8, 1.3.2, 2.1.2, 2.1.10, 2.2.3 Trong thi gian ti, chỳng tụi tip tc nghiờn cu sõu hn v phộp o hm trờn i s Lie ca cỏc nhúm Lie ma trn 37 TI LIU THAM KHO Ting Vit [1] Nguyn Vit Dng (1997), Lý thuyt i s Lie v nhúm Lie, i hc Vinh [2] Trn Vit Dng (1995), i s Lie, Bi ging chuyờn cao hc chuyờn ngnh Hỡnh hc Tụpụ, i hc Vinh [3] Nguyn Hong Phng (2004), Lý thuyt nhúm v ng dng vo vt lý lng t, Nh xut bn Khoa hc K thut [4] Nguyn Hu Quang (2005), Bi ging i s Lie v nhúm Lie, i hc Vinh [5] Nguyn Hu Quang (2005), a kh vi, i hc Vinh [6] Thỏi Vit Tho (2005), V i s Lie ly linh v i s Lie gii c, Lun thc s, i hc Vinh Ting Anh [7] Alexander A Kirillov (2008), An introduction to Lie groups and Lie Algebras, Cambridge University Prees [8] Nathan Jacobson (1971), Lie Algebras, Courier Dover Publications [...]... chương chúng tôi trình bày các định lý về ánh xạ ad trên đại số Lie nửa đơn I Phép đạo hàm trên đại số Lie 2.1.1 Định nghĩa (Xem [6]) Giả sử G là đại số Lie trên trường K D : G → G 1 Ánh xạ a  D(a) được gọi là ánh xạ đạo hàm trên G nếu và chỉ nếu D thõa mãn: i) D là ánh xạ tuyến tính ii) D [ a, b ] = [ D(a ), b ] + [ a, D (b) ] ; ∀ a, b ∈ G 2 Với x ∈ G, ánh xạ ad được xác định như sau: ad x : G → G... −1 Lại do ϕ là song ánh nên ϕ [ a, b ] = [ ϕ −1 (a), ϕ −1 (b)] Từ đó ta có ϕ −1 là đồng cấu Lie Do đó ϕ −1 là đẳng cấu Lie Vậy L lập thành một nhóm với phép nhân các ánh xạ thông thường CHƯƠNG II PHÉP ĐẠO HÀM TRÊN ĐẠI SỐ LIE 21 Trong chương này, chúng tôi trình bày các tính chất về phép đạo hàm trên đại số Lie và phép đạo hàm trên đại số Lie các trường véc tơ bất biến trái của nhóm Lie Cũng trong chương... → ¡ 3 y a ad x ( y ) = x ∧ y là một ánh xạ đạo hàm trên không gian véc tơ Euclid ¡ 3 2.1.3 Mệnh đề (Xem [4]) Ta ký hiệu D1, D2 là các ánh xạ đạo hàm trên G Khi đó ta có: i) αD1 + β D2 với mọi α , β thuộc K là một ánh xạ đạo hàm ii) D1  D2 − D2  D1 cũng là một ánh xạ đạo hàm Chứng minh i) Đặt f = αD1 + βD2 Ta cần chứng minh f là ánh xạ đạo hàm Dễ thấy f là ánh xạ tuyến tính Mặt khác, với mọi x, y... biến trái trên nhóm Lie G là một đại số Lie và G được gọi là đại số Lie của nhóm Lie G Bây giờ ta xét phép đạo hàm trên đại số Lie các trường véc tơ bất biến trái của nhóm Lie G = ¡ n Như ta đã biết: Trường véc tơ X trong ¡ n được gọi là song song nếu DYX = 0 ; ∀ Y ∈ B ( ¡ n ) Nghĩa là nếu X = ( X1, X2,…, Xn) thì Xi ( i = 1,…,n) là các hàm hằng trên ¡ n Và B ( ¡ n ) là một đại số Lie với tích Lie [ X,... (1)) Vì dạng Killing trên G là không suy biến nên E(x) = 0 ; ∀ x ∈ G Suy ra E = 0 Do đó D = ad a Hay Ga = DerG Từ mệnh đề này ta rút ra được một tính chất cực kỳ quan trọng về phép đạo hàm trên đại số Lie nửa đơn Đó là: Mọi ánh xạ đạo hàm trên đại số Lie nửa đơn đều là ánh xạ ad 2.2.2 Hệ quả Nếu G là đại số Lie nửa đơn thì G ≅ DerG Chứng minh Theo mệnh đề 2.1.8 ta biết rằng ánh xạ ϕ : G → G a là một... chất về đại số Lie • Chứng minh chi tiết các mệnh đề về đại số Lie ( Mệnh đề 1.1.10, mệnh đề 1.3.3, mệnh đề 1.3.5 ) • Hệ thống các khái niệm cơ bản, các tính chất về phép đạo hàm trên đại số Lie • Chứng minh chi tiết các mệnh đề về phép đạo hàm trên đại số Lie ( Mệnh đề 2.1.4, mệnh đề 2.1.5 mệnh đề 2.1.6, mệnh đề 2.2.1) • Phát biểu và chứng minh nhận xét 2.2.4 về tích có hướng của hai ánh xạ đạo hàm trong... là một đại số Lie 1.2.2 Đại số Lie thương (Xem [1]) Cho G là một đại số Lie trên trường K H là Idean của G Ta ký hiệu G H = { x + H|x ∈ G } Ta đưa vào G H các phép toán như sau: (x + H) + (y + H) = (x + y) + H α (x + H) = α x + H [x + H , y + H ] = [ x, y ] + H Khi đó G H trở thành đại số Lie trên trường K và được gọi là đại số Lie thương của G theo Idean H Chứng minh Giả sử G là đại số Lie trên trường... Do c ≠ 0 )  −c c  Vậy G là đại số Lie nửa đơn III Đồng cấu Lie 16 1.3.1 Định nghĩa (Xem [2] ) Giả sử G và G ′ là hai đại số Lie trên trường K Ánh xạ ϕ : G → G ′ được gọi là đồng cấu Lie nếu và chỉ nếu ϕ là ánh xạ tuyến tính và ϕ [ x, y ] = [ ϕ ( x), ϕ ( y ) ] ; ∀ x, y ∈ G 1.3.2 Ví dụ 1) Cho G là đại số Lie trên trường K Khi đó ánh xạ đồng nhất trên G là một đồng cấu Lie 2) Ta xét G = { (0, 0, x3... oD1 − D1 oD2 oD3 + D2 oD1 oD3 = 0 Vậy DerG với tích Lie [ D1 , D2 ] = D1 oD2 − D2 oD1 là một đại số Lie trên trường K 2.1.5 Định lý (Xem [4]) Giả sử G là một đại số Lie trên trường K Với mỗi x thuộc G, ta có: i) ad x là một ánh xạ đạo hàm ( Ánh xạ này được gọi là vi phân trong của G sinh bởi phần tử x) ii) Ánh xạ f : G → Der G x a là một đồng cấu Lie f ( x) = ad x Chứng minh i) Với mọi y, z thuộc G,... hệ đẳng cấu giữa các đại số Lie là một quan hệ tương đương ' '' Chứng minh Giả sử G, G , G là các đại số Lie trên trường K Ánh xạ ϕ : G → G là một đẳng cấu Lie nên ta luôn có G ≅ G Quan hệ đẳng a  ϕ (a) cấu có tính phản xạ Giả sử G ≅ G ' , khi đó tồn tại đẳng cấu Lie ϕ : G → G ′ Xét ϕ −1 : G ' → G Dễ thấy ϕ là song ánh nên ϕ −1 là song ánh ϕ là ánh xạ tuyến tính nên ϕ −1 là ánh xạ tuyến tính Mặt khác, ...Bộ giáo dục đào tạo Trờng đại học vinh nguyễn thị huệ ánh xạ đạo hàm đại số lie Chuyên ngành: Hình Học - Tôpô mã số: 60.46.10 Luận văn thạc sĩ toán học Ngời hớng dẫn... Chng i s Lie I i s Lie II i s Lie tớch, i s Lie thng v i s Lie na n III ng cu Lie Chng Phộp o hm trờn i s Lie I Phộp o hm trờn i s Lie II nh... 2010 Tỏc gi CHNG I I S LIE Trong chng ny, chỳng tụi trỡnh by cỏc nh ngha, vớ d v mt s tớnh cht ca i s, i s Lie, i s Lie con; v i s Lie tớch, i s Lie thng, i s Lie na n v ng cu Lie cựng mt s tớnh