Về đại số lie nửa đơn

về đại số lie nửa đơn Giáo viên huớng dẫn:PGS.TS:Nguyễn Hữu Quang Ngày 18 tháng 12 năm 2008 Mục lục Lời nói đầu Chương Đại số Lie nửa đơn 1.1 Đại số nửa đơn 1.2 Dạng Killing 12 Chương ánh xạ ad đại số Lie nửa đơn 2.1 ánh xạ ad 19 19 2.2 Giá trị riêng véc tơ riêng ánh xạ ad đại số Lie nửa đơn 25 Kết luận 30 Tài liệu tham khảo 31 mở đầu Vào cuối kỷ 19 công trình Xôphux Lie (18421899) Phêlix klein (1849-1925) xuất kết hợp lý thuyết nhóm hình học Riemann Sự kết hợp xem công trình mở đầu lý thuyết , lý thuyết nhóm Lie đại Lie Sự đời lý thuyết nhóm Lie đại số Lie liên kết chuyên ngành Hình học-Tôpô , Giải tích Đại số Do đại số Lie phận toán học đại Lý thuyết nhóm Lie đại số Lie ứng dụng nhiều nghiên cứu lý thuyết hệ động lực , vật lý lượng tử ngành khác toán học Đặc biệt xem công cụ quan trọng để nghiên cứu tính chất hình học đa tạp Riemann Hiện lý thuyết đại số Lie trình bày tài liệu viết nhà toán học tiếng Serre , Helgason , phần mở đầu trình bày giảng đại số Lie nhóm Lie cho lớp cao học chuyên ngành Hình học -Tôpô trường đại học Nội dung luận văn trình bày chi tiết tính chất đại số Lie nửa đơn Luận văn chia làm chương Chương Đại số Lie nửa đơn Trong chương này, trình bày số tính chất ánh xạ ad đại số Lie nửa đơn Chương chia làm hai phần: 1.1 Nêu tính chất đại số Lie nửa đơn 1.2 Nêu định nghĩa số tính chất dạng Killing Chương ánh xạ ad đại số Lie nửa đơn Nội dung chương 2, trình bày chứng minh chi tiết số tính chất Nội dung chương chia làm hai phần 2.1 Ánh xạ ad 2.2 Véc tơ riêng giá trị riêng ánh xạ ad đại số Lie nửa đơn Luận văn hoàn thành khoa sau đại học Đại học Vinh , hướng dẫn khoa học thầy giáo pgs ts nguyễn hữu quang Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng lòng biết ơn sâu sắc đến thầy với giúp đỡ , bảo thầy trình học tập nghiên cứu trường Trong suốt thời gian học tập, nghiên cứu trường đại học Vinh tác giả nhận quan tâm, bảo giúp đỡ thầy, cô thuộc khoa Toán khoa sau đại học, thầy giáo cô giaó trường THPT Bán công Cửa Lò, giúp đỡ tác giả hoàn thành khóa học, chân thành cảm ơn tập thể học viên cao học 14 Hình học giúp đỡ để hoàn thành khóa học Vinh, tháng 12 năm 2008 Tác giả Chương Đại số Lie nửa đơn 1.1 Đại số Lie nửa đơn 1.1.1 Định nghĩa Đại Số Lie G gọi nửa đơn G Iđêan giao hoán khác không 1.1.2 Ví dụ 1) Không gian vectơ Euclide R3 thông thường với định nghĩa [x, y] tích có hướng hai vectơ x y Khi không gian R3 trở thành đại số Lie nửa đơn Ở đây, tính nửa đơn R3 Giả sử I Iđêan giao hoán khác không R3 , ta có ∀a ∈ I; b ∈ I [a, b] = a ∧ b = Từ tính chất tích có hướng ta suy a, b phụ thuộc tuyến tính hay b = ka(∀x ∈ R Do I Iđêan R3 suy [a, x] = a∧x ∈ I; ∀x ∈ R3 Bây ta chọn x cho x = x ∈ / I : m = [a, x] = a ∧ x⊥a Hay m∈ / I, suy mâu thuẫn 2) Cho        a b   G=   |a, b, c ∈ R     c −a G đại số Lie nửa đơn Thật vậy: Chứng minh • G đại số Lie Ta biết Mn (R) đại số Lie, để chứng minh G đại số Lie ta chứng minh G khép kín với phép toán     x y  a b  ∀A =  ;B =   ∈ G, k ∈ R : z −x c −a     b+y   kx ky   a+x kA =   ∈ G; A + B =   ∈ G; [A, B] = kz −kx c + z _(a + x) AB − BA =        x y  a b   a b  x y  =  −   z −x c −a c −a z −x      ax + cy bx − ay   ax + bz ay − bx  = −  az − cx cx + ax cx − ay cy + ax    cy − bz 2bx − 2ay  = ∈G 2az − 2cx bz − cy • G nửa đơn Thật vậy, giả sử G có Iđêan giao hoán khác không ∀A ∈ I, A = 0; ∀B ∈ I ⇒ [A, B] = AB − BA = ⇒ B = kA(k ∈ R) Do I Iđêan G nên ∀X ∈ G [X, A] ∈ I Chọn     0 0 0 0 X= ⇒A= ;c = c Khi chọn    −1  X1 =  /I  ∈ G ⇒ [X, A] ∈ −1 Vô lý Vậy G đại số Lie nửa đơn 1.1.3 Định nghĩa a) Gọi A môđun đại số Lie G, A gọi Iđêan G [A, G] ⊂ A b) Giả sử N Iđêan G Khi N gọi tâm G N Iđêan cực đại [N, G] = c) Một Iđêan giải lớn gọi Rađican kí hiệu r 1.1.4 Mệnh đề Giả sử L đại số Lie N radican L đại số thương L/N nửa đơn Chứng minh ϕ : L −→ L/N phép chiếu tự nhiên Gọi S Iđêan khác không, giải L/N Đặt S¯ = ϕ−1 (S) Từ ϕ(N ) = nên ¯ Đại số S/N ¯ N ⊆ S N giải suy S¯ giải chứa N điều mâu thuẫn với N cực đại Do S = Nghĩa L/N không chứa Iđêan giao hoán nên có nửa đơn 1.1.5 Mệnh đề Nếu A, B hai Iđêan đại số Lie G [A, B] Iđêan G Chứng minh • Có [A, B] môđun đại số Lie G • Có [[A, B], G] ⊂ [[A, G], B] + [A, [B, G]] Mà A, B Iđêan có: [A, G] ⊂ A, [B, G] ⊂ B Suy ra: [[A, G], B] ⊂ [A, B] [A, [B, G]] ⊂ [A, B] Vậy [[A, B], G] ⊂ [A, B] Hay: [A, B] Iđêan G 1.1.6 Mệnh đề (Xem [2]) Cho G1 , G2 đại số Lie nửa đơn, ký hiệu G = G1 × G2 = {(g1 , g2 |g1 ∈ G1 , g2 ∈ G2 } Với phếp toán G sau: • Phép cộng: x ∈ G, y ∈ G =⇒ x + y = (g1 + g1 ; g2 , g2 + g2 ) với g1 , g1 ∈ G1 , g2 , g2 G2 • Phép nhân với số: ∀x ∈ G; k ∈ K ta có kx = (kg1 , kg2 ) • Phép nhân (tích Lie): [x, y] = ([g1 , g1 ]; [g2 , g2 ]) Khi G đại số Lie nửa đơn Chứng minh Dễ thấy G không gian vectơ Ta chứng minh G đại số Lie nửa đơn • Tính khép kín: Ta có: x = (g1 , g2 ) ∈ G (1) y = (g1 , g2 ) ∈ G (2) Từ (1) (2) ta suy [x, y] = ([g1 , g1 ], [g2 , g2 ]) ∈ G Vì ([g1 , g1 ] ∈ G1 , [g2 , g2 ] ∈ G2 • Tính phản xứng: [x, x] = [g1 , g1 ], [g2 , g2 ] = (0, 0) = ∈ G Thỏa mãn đẳng thức Jacôbi: ∀x, y, z ∈ G ⇒ [x, [y, z]] = [g , [g1 , g1 ]; [g2 , g2 ]] = ([g1 , [g1 , g1 ]], [g2 , [g2 , g2 ]]) Tương tự [y, [z, x]] = ([g1 , [g1 , g1 ]], [g2 , [g2 , g2 ]])[z, [x, y]] = ([g1 , [g1 , g1 ]], [g2 , [g2 , g2 ]]) ⇒ [x, [y, z]] + [y, [z, x]] + [z, [x, y]] = ([g1 , [g1 , g1 ]] + [g1 , [g1 , g1 ]] + [g1 , [g1 , g1 ]]; [g2 , [g2 , g2 ]] + [g2 , [g2 , g2 ]] + [g2 , [g2 , g2 ]]) = [0, 0] = Trong x = (g1 g2 ), y = (g1 , g2 ), z = (g”1 , g”2 ) • Tính nửa đơn Giả sử G có Iđêan giao hoán khác 0, ta có A = {(a1 , a2 )|a1 ∈ G1 , a2 ∈ G2 } Đặt: A1 = {a1 |(a1 , a2 )|a1 ∈ A} A2 = {a2 |(a1 , a2 )|a1 ∈ A} Ta có: A1 Iđêan củaG1 Thật ∀a1 ∈ A1 , ∀g1 ∈ G1 xét (g1 , g2 ) ∈ G ta có ; [(a1 , a2 ); (g1 , g2 )] ∈ A A Iđêan G ⇒ ([a1 , g1 ], [a2 , g2 ]) ∈ A ⇒ [a1 , g1 ] ∈ A1 , ∀g1 ∈ G1 Do A giao hoán G suy [x, y] = 0, ∀x ∈ A; y ∈ A Thay [(a1 , a2 ), (a1 , a2 )] = 0, ∀a1 , a1 ∈ A1 , a2 , a2 ∈ A2 Suy A1 Iđêan giao hoán G1 suy vô lý (vì G1 đại số Lie nửa đơn) Vậy G đại số Lie nửa đơn 1.1.7 Chú ý G nửa đơn r= Thật vậy, ta chứng minh G đại số Lie nửa đơn Rađican G k−1 k−1 k Nếu r = DG = [DG , DG ], , DG = r Iđêan G n−1 n−1 n = DG Iđêan giao hoán khác Vậy DG = DG G điều vô lý G nửa đơn Ngược lại, giả sử G không đại số Lie nửa đơn G chứa Iđêan giao hoán N = mà iđêan giao hoán giải Vậy N giải suy r = suy vô lý = T r(ad[x+y] ◦ adz ) = T r((adx ady − ady adx ) ◦ adx ) = T r(adx ady adz ) − T r(ady adz adx ) < y, adx (z) >=< y, [x, z] >=< [x, z], y > = T r(ady ◦ ad[x,z] ) = T r(ady adx adz ) − T r(ady adz adx ) Vậy: < adx (y), z > + < y, adx (z) > = T r(ady adx adz ) − T r(ady adz adx ) = (vì T r(ABC) = T r(CAB)) 1.2.8 Mệnh đề (Xem [1]) Mọi đại số Lie nửa đơn G phân tích thành tổng trực tiếp đại số Lie đơn trực giao đôi (trực giao theo dạng Killing) phân tích Chứng minh Nếu G đại số Lie nửa đơn ta suy điều phải chứng minh Nếu G không đại số Lie nửa đơn, giả sử N Iđêan khác không G ta có: G = N ⊕ N ⊥ Trong N, N ⊥ Iđêan G [N, N ⊥ ] = 0; < N, N ⊥ = > Ta thấy N N ⊥ nửa đơn Thật vậy, giả sử N không nửa đơn ta suy N chứa Iđêan giao hoán M khác không, M Iđêan giao hoán G suy vô lý 17 Vậy N N ⊥ chưa đơn ta tiếp tục trình phân tích được: G = N1 ⊕ N2 ⊕ · · · ⊕ NK ; [Ni , Nj ] = 0; < Ni , Nj >= 0; ∀i, j = 1, 2, 3, · · · , k; i = j Bây giả sử M1 ⊕ M2 ⊕, · · · , ⊕Ms phân tích khác thành Iđêan đơn Nếu Mt khác Ni (i = 1, , k) [Mt , Ni ] ⊂ Mt ∩Ni = nghĩa Mt thuộc tâm G nên Mt = (vì G nửa đơn) Nói khác k G = ⊕ Ni i=1 18 Chương Ánh xạ ad đại số Lie nửa đơn 2.1 Ánh xạ ad Như biết với G đại số Lie , với x ∈ G ta xét ánh adx : G −→ G xạ adx , xác định là: y −→ adx (y) = [x, y] 2.1.1 Mệnh đề (Xem [2]) Adx ánh xạ vi phân G (Ta nói adx vi phân G sinh x) Chứnh minh Theo định nghĩa với ∀y, z, ∈ G, α, β ∈ K ta có : adx (αy + βz) = [x, αy + βz] = [x, αy] + [x, βy] = α[x, y] + β[x, y] = αadx (y) + βadx (z) Vậy adx ánh xạ tuyến tính 19 Ta có adx ([y, z] = [x, [y, z]]) = [[x, y], y] + [y, [x, z]] = [adx (y), y] + [y, adx (z)] Vậy ánh xạ adx ánh xạ đạo hàm 2.1.2 ✷ Mệnh đề (Xem [8]) Ánh xạ f : G −→ DerG xác định f (x) = adx đồng cấu đại số Lie Chứng minh Với ∀x, y ∈ G, α, β ∈ K ta có f(αx+βy) = ad(αx+βy tuyến tính Thật ∀t ∈ G ta có ad(αx+βy) (t) = [αx + βy, t] = [αx, t] + [βy, t] = α[x, t] + β[y, t] = αadx (t) + βady (t) = (αadx + βady )(t) Suy ad(αx+βy) = αadx + βady Mặt khác ad[x,y](t) = [[x, y], t] = [x, [y, t]] − [y, [x, t]] = [x, ady (t)] − [y, adx (t)] = adx (ady (t)) − ady (adx (t)) = adx ady − ady adx Suy f ([x, y]) = ad[x,y] = adx ady −ady adx = [adx , ady ] = [f (x), f (y)] ✷ Vậy f đồng cấu Lie 20 2.1.3 Mệnh đề Nếu D ∈ DerG [D, adx ] = adDx , ∀x ∈ G Chứng minh ∀x ∈ G ta có : [D, adx ]t = (Dadx − adx D)t = D[x, t] − [x, Dt ] = [x, Dt ] + [Dx , t] − [x, Dt ] = [Dx , t] = adDx (t) ✷ Vậy [D, adx ] = adDx 2.1.4 Mệnh đề (Xem [2]) Ga = {adx |a ∈ G} Ga iđêan DerG Chứng minh LấyD , D ∈ DerG ada ∈ Ga , ∀a ∈ G Ta có [D, ada ] ∈ Ga (theo định lý 2.1.3) Vậy Ga iđêan DerG 2.1.5 Mệnh đề (Xem [2]) Xét ánh xạ ϕ : G −→ Ga x −→ adx Khi ta có khẳng định sau: i.ϕ đồng cấu Lie ii.Kerϕ tâm G(Kerϕ = TG ) iii.adψ(x) = ψ.adx ψ −1 với ψ đẳng cấu từ G đến G 21 ✷ Chứng minh i.Ta ϕ đồng cấu Lie ∗ Ta có ϕ ánh xạ tuyến tính Thật : ϕ(x + y) = ad(x+y) (z) = [x + y, z] = [x, z] + [y, z] = adx (z) + ady (z) = (adx + ady )(z) Suy ϕ(x + y) = ϕ(x) + ϕ(y) Với λ ∈ R, x, y ∈ G ta có ϕ(λ.x)(y) = adx (y) = [λx, y] ⇒ ϕ(λx)(y) = λ[x, y] = λ.adx (y) = λ.ϕ(x)(y) ∗Ta chứng minh ϕ đồng cấu Thật ta cần ∀z ∈ G : ad[x,y] (z) = [adx , ady ]z ⇔ [[x, y], z] = (adx , ady − ady adx )(z) = adx ([y, z]) − ady ([x, z]) = [x, [y, z]] − [y, [x, z]] ⇔ [[x, y], z] = [x, [y, z]] − [y, [x, z]] ⇔ [x, [y, z]] = [[x, y], z] + [y, [x, z]] ii.Ta có Kerϕ = {x ∈ G|adx = 0} 22 ✷ = {x ∈ G|adx (y) = 0, ∀y ∈ G} = {x ∈ G|[x, y] = 0, ∀y ∈ G} = TG ψ ✷ ad iii Xét G − →G− → Ga x → ψ(x) → adψ(x) Ta có ψ.adx ψ −1 (y) = ψ[x, ψ −1 (y)] = [ψ(x), ψ(ψ −1 (y))] = [ψ(x), y] = adψ(x)(y) ✷ Suy adϕ(x) = ψ.adx ψ −1 Bây gời ta nhắc lại tính chất đại số tuyến tính Nếu M ma trận trường đầy đủ K M phân tích M = N +S N luỹ linh , S nửa đơn thoả mãn SN = NS N ,S gọi phần tử luỹ linh , nửa đơn M Sự phân tích Phân tích gọi phân tích Jordan ma trận M 2.1.6 Định lý (Xem [4]) Nếu x ∈ End(V ) x = xs + xn phân tích Jordan adx = ad(xs ) + ad(xn ) phân tích Jordan End(EndV) Chứng minh Chọn sở V {v1 , v2 , } cho xs viết dạng ma trận chéo xs = diag(a1 , a2 , an ) Lấy sở tắc End(V ) eij tương ứng với sở V , Tức eij (vk ) = δij Dể dàng thử lại ad(xs ) = (ai −aj )eij ad(xs ) nửa đơn [ad(xs ), ad(xn )] = 23 ✷ ad[xs , xn ] = 2.1.7 Mệnh đề (Xem [2]) Mọi ánh xạ đạo hàm đại số Lie nửa đơn ánh xạ ad Chứng minh Ta xét ánh xạ tuyến tính : ϕ : G −→ G x −→ ϕ(x) = T radx D Trong G không gian đối ngẫu hàm tuyến tính xác định G , D ánh xạ đạo hàm tuỳ ý G Vì dạng killing xác định G không suy biiến , nên với x ∈ G tìm phần tử a ∈ G xác định mâu thuẫu vơi dẳng thức [a, x] = T radx D Đặt E = D- ad ta có : T radx E = T radx D − T radx ada = [a, x] − [a, x] = T radx E = 0, ∀x ∈ G (1) Khi với ∀x, y ∈ G ta có : [Ex, y] = T radx Ex.ady = T r[adx , E]ady = T r[adx E.ady − E.adx ady ] = T rE(adx ady − adx ady ) = T rEad[x,y] = 0, ∀y ∈ G theo (1) Vì dạng killing G không suy biến nen ta phải có Ex = 0, ∀x ∈ G⇒E=0 24 Mặt kkhác E = D − ada nên D = ada với ánh xạ đạo hàm D G Tức ánh xạ đạo hàm đại số Lie nửa đơn ánh xạ ad ✷ 2.2 Giá trị riêng véc tơ riêng ánh xạ ad đại số Lie nửa đơn Cho G đại số Lie nửa đơn, xét ánh xạ: adg : G −→ G với g ∈ G x −→ adg (x) = [g, x] Thì adg ánh xạ tuyến tính xét toán giá trị riêng adg adg (xk ) = [g, xk ] = ak xk ; ak∈K Trong ak giá trị riêng adg xk véc tơ tương ứng Cartan ta chứng minh đại số Lie nửa đơn G có giá trị riêng a=0 suy biến Gỉa sử giá trị riêng suy biến có bậc l l gọi bậc đại số Lie nửa đơn (l ≥ 1) adg (g) = 0.g = Ánh xạ adg có bậc n , nên lại n-l khác không α Vậy ta viết adg (xi ) = [g, xi ] = 0, (i = i l) adg (xi ) = [g, eα ] = αi eα , (α = n − l) Trong xi véc tơ riêng tương ứng với giá trị riêng , eα véc tơ riêng tương ứng với giá trị riêng không suy biến αi 25 2.2.1 Mệnh đề (Xem [3]) Nếu xi véc tơ riêng tương ứng với giá trị riêng eα giá trị riêng tương ứng với véc tơ α Thì [xi , eα ] vec tơ riêng tương ứng với giá trị riêng α Chứng minh Ta có : adg [xi , eα ] = [g, [xi , eα ]] = −[xi , [eα , g]] − [αe , [g, xi ]] = −[xi , αeα ] − [αe , 0] = [xi , eα ] = α[xi , eα ] Hay [xi , eα ] véc tơ riêng tương ứng với giá trị riêng α , giá trị riêng α không suy biến , nên ta phải có [xi , eα ] = α(xi )eα (i = l) Hay [xi , eα ] = Ci.α eα (i = l) với Ci.α ∈ K 2.2.2 ✷ Mệnh đề (Xem [3]) Cho eα , eβ hai giá trị riêng ứng với hai giá trị riêng không suy biến α β xi , xj hai giá trị riêng tương ứng với giá trị riêng băng , : a [xi , xj ] = α b [xi , eα ] = Ci.α eα = α(xi )eα α c [eα , e−α ] = Ci.α eα với (α = , n − l; i = 1, , l) α+β d [eα , eβ ] = Cα,β eα+β α+β Với Cα,β = α + β giá tri riêng adg 26 Chứng minh Ta có: adg ([eα , eβ ) = −[eα , [eβ , g]] − [eβ , [g, eα ]] = [eα , αeβ ] + [αeα , eβ ] = α[eα , eβ ] + β[eα , eβ ] = (α + β)[eα , eβ ] Nếu (α + β) = ⇔ β = −α adg ([eα , eβ ]) = i Hay [eα , eβ ] = Cα,−α ei ](i = 1, l, α = 1, n − l) Mặt khác g véc tơ riêng tương ứng với giá trị riêng α = Vậy g = λi χi suy ✷ [xi , xj ] = 0(i, j = 1, l) 2.2.3 Định nghĩa Các đại lượng α(xi ) gọi nghiệm khác không đại số Lie nửa đơn G viết tắt α Tập hợp nghiệm khác không α G thường ký hiệu (G) , phần tử eα gọi vec tơ nghiệm tương ứng với nghiệm α Đại số sinh véc tơ xi , i = 1, n gọi đại số Cartan đại số Lie nửa đơn G kí hiệu H 2.2.4 Ví dụ Cho đại số Lie nửa đơn K với tích Lie tích có hướng hai véc tơ Cho x = (1; 0; 1) Xét ánh xạ: adx : K −→ K y −→ adx (y) = [x, y] = x y Cho sở K e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1) 27 Ta có: adx (e1 ) = (0, −1, 0) adx (e2 ) = (1, 0, 1) adx (e3 ) = (0, −1, 0) Ma  trận ánh xạ adx là:  −1     A=  1    −1   −λ −1  Ta có: |A − λI| =   −λ  −1 −λ     = −λ3 − 2λ = −λ(λ2 + 2)   √ adx có giá trị riêng λ = 0, λ = ± 2.i ứng với giá trị riêng λ = có véc tơ riêng x1 = (1, 0, −1) √ √ ứng với giá trị riêng λ = 2.i có véc tơ riêng x2 = (1, 2.i, 1) √ √ ứng với giá trị riêng λ = − 2.i có véc tơ riêng x3 = (1, − 2.i, 1) √ √ √ Ta có: [x1 , x2 ] = ( 2.i, −2, 2.i) = 2.i.x2 √ √ √ [x1 , x3 ] = (− 2.i, −2, − 2.i) = − 2.i.x3 √ Vậyadx có nghiệm là: ± 2.i tương ứng với véc tơ nghiệm x2 , x3 Không gian sinh {x2 , x3 } không gian nghiệm adx 2.2.5 Định lý (Xem[3]) Nếu α + β = (eα , eβ ) = Chứng minh α+β α+β Ta biết [eα , eβ ] = Cα.β = với Cα+β = α + β 28 môt giá trị riêng adg , adeα adeβ chuyển véc tơ eα thành vec tơ eα+β+γ Nếu α + β = eγ = eα+β+γ Thành thử , chọn sở G gồm véc xi eα sở , phần tử đường chéo adeα adeβ không α + β = tức eα , eβ = T r.(adeα adeβ ) = Nói riêng α = 0, β = < xi , eα >= 2.2.6 ✷ Hệ Nếu α nghiệm khác không đại số Lie nửa đơn −α nghiệm < eα , e−α >= Chứng minh Thật , trường hợp trái lại , tất tổng α + β nghiệm khác khác không , từ định lý ta có < eα , e−α >= ,với nghiệm β tức < eα , G >= 0, eα = Nên mẫu thuẫn với tính chất không suy biến dạng killing đại số G Vậy −α nghiệm Cuối tính chất không suy biến dạng killing ta có : ✷ (eα , e−α ) = 2.2.7 Định lý (Xem[3]) Nếu G đại số Lie nửa đơn, dạng Killing xác định đại số Cartan H không suy biến Chứng minh định lí dựa vào định lý 2.2.5 29 Kết luận Luận văn đạt kết sau: • Chứng mệnh đề đại số Lie nửa đơn (Mệnh đề 1.1.4, mệnh đề 1.1.5, mệnh đề 1.1.6, mệnh đề 1.1.7, mệnh đề 1.1.10, mệnh đề 1.1.13 • Chứng minh chi tiết mệnh đề dạng Killing (Mệnh đề 1.2.2, Mệnh đề 1.2.4, Mệnh đề 1.2.5, Mệnh đề 1.2.6, Mệnh đề 1.2.8) • Nêu chứng minh ví dụ 1.1.2, 1.1.9 1.1.11, 2.2.3 • Chứng minh mệnh đề ánh xạ ad đại số Lie nửa đơn (Mệnh đề 2.1.1, 2.1.2, 2.1.5, ) • Chứng minh định lý, mệnh đề giá trị riêng véc tơ riêng ánh xạ ad Mệnh đề 2.2.1, Mệnh đề 2.2.2, Định lí 2.2.4, Hệ 2.2.5 • Phát biểu chứng minh mệnh đề 1.2.3, 2.1.3 Trong thời gian tới dự kiến tiếp tục nghiên cứu nghiệm hệ nghiệm đại số Lie nửa đơn mối quan hệ nghiệm 30 Tài liệu tham khảo [1]Trần Việt Dũng (1995), Đại số Lie, Bài giảng chuyên đề cao học chuyên nghành Hình Học- Topô, Đại học Vinh [2] Nguyễn Hữu Quang (2005), Bài giảng đại số Lie nhóm Lie, Đại học Vinh [3] Nguyễn Hoàng Phương (2004), Lý thuyết nhóm ứng dụng vào Vật lý lượng tử Nhà xuất khoa học kĩ thuật [4] Ben Baker, Daniel Boer, (2008), Repnesentations of Lie Groups and Lie Algebras, Amsterdam [6] Nathan Jacobson (1971), Lie Algebras, Courier Dover Publications [7] E.J Postma (2006), Lie Algebras Generatied by Extremal Elements, Eindhovel [8] Serre (1965), Lie Algebas and Lie groups, Benjamin, Newyork 31 [...]... 2.2.3 Định nghĩa Các đại lượng α(xi ) gọi là các nghiệm khác không của đại số Lie nửa đơn G viết tắt là α Tập hợp các nghiệm khác không α của G thường ký hiệu là (G) , các phần tử eα gọi là vec tơ nghiệm tương ứng với các nghiệm α Đại số con sinh bởi các véc tơ xi , i = 1, n gọi là đại số con Cartan của đại số Lie nửa đơn G kí hiệu là H 2.2.4 Ví dụ Cho đại số Lie nửa đơn K 3 với tích Lie là tích có hướng... adz adx ) = 0 (vì T r(ABC) = T r(CAB)) 1.2.8 Mệnh đề (Xem [1]) Mọi đại số Lie nửa đơn G đều phân tích thành tổng trực tiếp của các đại số Lie đơn trực giao từng đôi một (trực giao theo dạng Killing) và sự phân tích đó là duy nhất Chứng minh Nếu G là đại số Lie nửa đơn ta suy ra điều phải chứng minh Nếu G là không là đại số Lie nửa đơn, giả sử N là Iđêan khác không của G ta có: G = N ⊕ N ⊥ Trong đó... Dễ thấy ϕ là đẳng cấu Lie suy ra R3 ∼ = M , với tích Lie tương ứng mà R3 với tích Lie là nửa đơn Vậy M là nửa đơn 1.1.10 Định nghĩa Đại số Lie G được gọi là đơn nếu G không giao hoán và G không có Iđêan thực sự 1.1.11 Ví dụ    0 a b    Xét: G = { −a 0 c   |a, b, c ∈ R}   −b −c 0 Phép lấy tích Lie [x, y] = xy − yx Ta có G là một đại số Lie đơn Dễ thấy G là một đại số Lie Giả sử G có Iđêan... của đại số Lie nửa đơn đều là ánh xạ ad ✷ 2.2 Giá trị riêng và véc tơ riêng và của ánh xạ ad của đại số Lie nửa đơn Cho G là đại số Lie nửa đơn, xét ánh xạ: adg : G −→ G với g ∈ G x −→ adg (x) = [g, x] Thì adg là ánh xạ tuyến tính xét bài toán giá trị riêng của adg adg (xk ) = [g, xk ] = ak xk ; ak∈K Trong đó ak là giá trị riêng của adg và xk là các véc tơ tương ứng Cartan ta chứng minh rằng ở đại số. .. Nhận xét (Xem [2]) Mọi đại số Lie đều phân tích được tổng trực tiếp của một Rađicăn và một đại số Lie nửa đơn 1.1.9 Ví dụ G = {(x1 , x2 , x3 , x4 , x5 )|x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ∈ R} Trang bị cho G phép tính tích Lie: ∀x ∈ G, y ∈ G[x, y] = (x1 y2 − x2 y1 , 0, x4 y5 , x5 y3 − y5 x3 , x3 y4 − y3 x4 ) Khi đó G phân tích được thành tổng trực tiếp của một Rađicăn và một đại số Lie nửa đơn M Thật vậy: Đặt N... Định lý (Xem[3]) Nếu G là một đại số Lie nửa đơn, thì dạng Killing xác định trên đại số con Cartan H không suy biến Chứng minh định lí này dựa vào định lý 2.2.5 29 Kết luận Luận văn đã đạt được kết quả sau: • Chứng các mệnh đề về đại số Lie nửa đơn (Mệnh đề 1.1.4, mệnh đề 1.1.5, mệnh đề 1.1.6, mệnh đề 1.1.7, mệnh đề 1.1.10, mệnh đề 1.1.13 • Chứng minh chi tiết các mệnh đề về dạng Killing (Mệnh đề 1.2.2,... [e1 , e2 ] = e3 không 11 thuộc I Nếu I là một chiều có cơ sở e1 thì [e1 , e2 ] = e3 không thuộc I Vậy G không có Iđêan thực sự, hay G là đại số Lie đơn 1.1.12 Nhận xét (Xem [2]) Đại số Lie G là đơn thì G là nửa đơn 1.2 1.2.1 Dạng Killing Định nghĩa Giả sử G là đại số Lie trên trường K ánh xạ: ϕ : G × G −→ K (x; y) −→ ϕ(x; y) = T r(adx ◦ ady ) Khi đó ϕ là tích vô hướng trong G và được gọi là dạng Killing... Chứng minh các mệnh đề về ánh xạ ad của đại số Lie nửa đơn (Mệnh đề 2.1.1, 2.1.2, 2.1.5, ) • Chứng minh định lý, mệnh đề về giá trị riêng và véc tơ riêng của ánh xạ ad Mệnh đề 2.2.1, Mệnh đề 2.2.2, Định lí 2.2.4, Hệ quả 2.2.5 • Phát biểu và chứng minh các mệnh đề 1.2.3, 2.1.3 Trong thời gian tới chúng tôi dự kiến tiếp tục nghiên cứu về nghiệm và hệ nghiệm của đại số Lie nửa đơn và mối quan hệ giữa... theo tiêu chuẩn Cartan ta có A giải được trong N , mà A là Iđêan trong G suy ra A = 0 vì G nửa đơn Vậy N ∩ N ⊥ = 0 Từ đó ta có G = N ⊕ N ⊥ 14 1.2.6 Mệnh đề (Định lí Cartan) (Xem [2]) Điều kiện cần và đủ để một đại số Lie G nửa đơn là dạng Killing xác định trên đại số Lie G không suy biến Chứng minh Giả sử G là nửa đơn, xét N = {x| < x, y >= 0, ∀y ∈ G} Ta chứng minh N là Iđêan của G Thật vậy: Dễ thấy N... (1995), Đại số Lie, Bài giảng chuyên đề cao học chuyên nghành Hình Học- Topô, Đại học Vinh [2] Nguyễn Hữu Quang (2005), Bài giảng đại số Lie và nhóm Lie, Đại học Vinh [3] Nguyễn Hoàng Phương (2004), Lý thuyết nhóm và ứng dụng vào Vật lý lượng tử Nhà xuất bản khoa học kĩ thuật [4] Ben Baker, Daniel Boer, (2008), Repnesentations of Lie Groups and Lie Algebras, Amsterdam [6] Nathan Jacobson (1971), Lie Algebras, ... đầu Chương Đại số Lie nửa đơn 1.1 Đại số nửa đơn 1.2 Dạng Killing 12 Chương ánh xạ ad đại số Lie nửa đơn 2.1 ánh xạ ad 19 19 2.2 Giá trị riêng véc tơ riêng ánh xạ ad đại số Lie nửa đơn 25 Kết... chất đại số Lie nửa đơn Luận văn chia làm chương Chương Đại số Lie nửa đơn Trong chương này, trình bày số tính chất ánh xạ ad đại số Lie nửa đơn Chương chia làm hai phần: 1.1 Nêu tính chất đại số. .. Suy A1 Iđêan giao hoán G1 suy vô lý (vì G1 đại số Lie nửa đơn) Vậy G đại số Lie nửa đơn 1.1.7 Chú ý G nửa đơn r= Thật vậy, ta chứng minh G đại số Lie nửa đơn Rađican G k−1 k−1 k Nếu r = DG = [DG