Nếu α+β = 0 thì (eα, eβ) = 0 .
Chứng minh
một là môt giá trị riêng của adg , adeα.adeβ chuyển véc tơ eα thành vec tơ eα+β+γ .Nếu α+β = 06 thì eγ 6= eα+β+γ .
Thành thử , nếu chọn cơ sở của G gồm các véc xi và eα thì trong cơ sở này , các phần tử của đường chéo chính của adeα.adeβ sẽ bằng không khi α+β 6= 0 tức là heα, eβi = T r.(adeα.adeβ) = 0 .
Nói riêng α 6= 0, β = 0 thì < xi, eα >= 0 . 2
2.2.6 Hệ quả
Nếu α là nghiệm khác không của đại số Lie nửa đơn thì −α cũng là nghiệm và < eα, e−α >6= 0
Chứng minh
Thật vậy , trong trường hợp trái lại , tất cả các tổng α + β của các nghiệm đều khác khác không , từ định lý trên ta có < eα, e−α >= 0
,với mọi nghiệm β tức là < eα, G >= 0, eα 6= 0 .Nên mẫu thuẫn với tính chất không suy biến của dạng killing trên đại số G .Vậy −α cũng là nghiệm .
Cuối cùng vì tính chất không suy biến của dạng killing ta có :
(eα, e−α) 6= 0 . 2
2.2.7 Định lý. (Xem[3])
Nếu G là một đại số Lie nửa đơn, thì dạng Killing xác định trên đại số con Cartan H không suy biến.
Kết luận
Luận văn đã đạt được kết quả sau:
• Chứng các mệnh đề về đại số Lie nửa đơn (Mệnh đề 1.1.4, mệnh đề
1.1.5, mệnh đề 1.1.6, mệnh đề 1.1.7, mệnh đề 1.1.10, mệnh đề 1.1.13
• Chứng minh chi tiết các mệnh đề về dạng Killing (Mệnh đề 1.2.2, Mệnh đề 1.2.4, Mệnh đề 1.2.5, Mệnh đề 1.2.6, Mệnh đề 1.2.8)
• Nêu và chứng minh các ví dụ 1.1.2, 1.1.9. 1.1.11, 2.2.3
•Chứng minh các mệnh đề về ánh xạ ad của đại số Lie nửa đơn (Mệnh đề 2.1.1, 2.1.2, 2.1.5, ...)
• Chứng minh định lý, mệnh đề về giá trị riêng và véc tơ riêng của ánh xạ ad Mệnh đề 2.2.1, Mệnh đề 2.2.2, Định lí 2.2.4, Hệ quả 2.2.5.
• Phát biểu và chứng minh các mệnh đề 1.2.3, 2.1.3
Trong thời gian tới chúng tôi dự kiến tiếp tục nghiên cứu về nghiệm và hệ nghiệm của đại số Lie nửa đơn và mối quan hệ giữa các nghiệm.