Về đại số lie nửa đơn và đại số lie đơn

ộ ụ t rờ ọ r ề số số ó tt t sĩ t ọ ộ ụ t rờ ọ r ề số số ì ọ số ó tt t sĩ t ọ ọ P ễ ữ ụ ụ ụ ụ số số t tử ủ số ủ số số ợ số số số ị ý rt số ết ệ t ú t ết tr t trể ủ t ọ r q trì s s ó t ề ể ó ứ s s t ó ết ợ t ọ ể ó ữ t tự ố tế ỷ tr trì ủ P t ệ ết ợ ữ ý tết ó ì ọ ự ết ợ ợ ữ trì ủ ột ý tết ó ý tết ó số ì số ột ộ rt q trọ ủ t ọ ệ ó ợ ết ợ ữ ì ọ tí số ý tết ó số ợ ứ ụ ề tr ứ ề ý tết ệ ộ ự t ý ợ tử ủ t ọ ệt ó ợ ột ụ q trọ ể ứ tí t ì ọ tr t ệ ý tết số ợ trì tr ề t ệ ợ ết ề t ọ ổ tế rr s ột ủ ó ũ ợ trì tr ề số ó ọ ì ọ trờ ọ ụ í í ủ trì ột tết ó ệ tố ế tứ ề số tờ ố q ệ ữ ú q ị ý ổ tế ề tí t số t số từ ó tì t ứ ụ ủ số r ú t ò ổ s t ột số tí t ề số ộ í ủ ợ trì tr số r ú t trì ệ tí t ủ số số ợ ệt ợ trì tết ộ ủ ể ụ ụ ệ trì s số số trọ t ủ ệ trì ệ ề số số tí t ủ số ổ t ợ ữ số ợ số tờ ứ tết ị ý rt ị ý ề tí số trì số rt ủ số ợ t t trờ ọ ọ ủ t P ễ ữ tỏ í trọ ò ết s s ế t r sốt tờ ọ t ứ t trờ ọ t ợ q t ỉ ú ỡ t tì ủ t tộ ọ t trờ P tr trọ t ệt t tỏ ết ế t tr tổ ì ọ ữ trự tế t t ọ ị t ũ ế t ọ ì ọ ữ ù t ọ t ứ tr ổ tr sốt tờ q ợ ì t ọ ề ệ t ợ ể t t tốt ệ ụ t số r ụ t tết tr K t ết K ột trờ ó số G ột G ột số tr K ế t tr ị t G : G ì G G ột s tế tí (x, y) (x,y) tờ ý ệ (x,y) = x ã y ợ ọ é số ị ĩ ột số G é (x,y) = [x, y] ợ ọ số ế t ề ệ s ọ x G tì [x, x] = ọ x, y, z G t ó [x, [y, z]] + [y, [z, x] + [z, [x, y]] = tứ ợ ọ ệ tứ í ụ r é t t t tờ ủ é t ó ý ệ R3 ề R3 [x, y] tí ó trở t số Mn (R) {AA tr n tr R} tí [A, B] = AB BA ột số ệ ề G ột số ó ọ x, y, z [x, y] = [y, x] [x, [y, z]] = [[x, y], z] + [y, [x, z]] tộ G t ó số số t tí trự tế ủ số số số ố ủ số số sử ủ G ột số é G G0 (x, y) [x, y] tì số ố (x, y) [y, x] é DerG = { tt ủ G} ột số sử G ột số tr K D : G G ột tế tí ó tí t D(x.y) = y.D(x) + x.D(y) ọ ủ G t tử ủ số ị ĩ sử G G ọ ột ế số : G G ợ ột tế tí [x, y] = [(x) , (y) ] ú ý ế ột s tì ợ ọ ột số G G ợ ọ ế tồ t ột : G G ị ĩ ú ý tr t ễ ó ệ ột q ệ t ý ệ ó L = {| từ số ế số G } L ột ó é í ụ ét ét tr V3 x V3 ố ị x Dx : V3 V3 z xz = x z ệ ề G ý ệ D1 , D2 D1 + D2 , tộ tì Dx ột tr K ột G ó t ó D1 D2 D2 D1 ũ G ột số x G ị ĩ sử ị í adx : G G y adx (y) = [x, y] ó adx ột ò ó s adx tr ủ G x f : G DerG ị f(x) = adx ột số ế ị í D tộ DerG tì [D, adx ] = adDx x G ủ số sử A B t ủ số [A, B] = [a, b], a A, b B G tr trờ K t ý ệ ị ĩ ọ A ột ủ số ế[A, G] A sử N ế N ột ủ ự ét ế G ó N G A ợ ọ ủ ợ ọ t ủ G G ế ỉ [N, G] = A, B, C é t ủ G tì [A + B, C] [A, C] + [B, C] [A, B] = [B, A] [G, [A, B]] [[G, A], B] + [A, [G, B]] ệ ề ủ G ế A, B ủ số G tì [A, B] ũ ột ệ ề ó sử G G số ò : G G Ker() ột ủ G (Ker() = {x G|(x) = 0}) ệ ề ệ ề ý ệ Ga = {ada |a G} ế tì Ga ột ủ DerG ét : G Ga x adx ó t ó ị ột Ker() t ủ G (Ker() = TG ) ad(x) = .adx từ G ế G số ợ ị ĩ số G ột số số ủ G t G = A1 A2 An Ai ủ Ai /Ai+1 ị ĩ ợ ọ ợ ế ọ số Ai+1 i = 1, 2, , n, G ợ ọ số ợ ế tr G tồ t ợ ữ G = A1 A2 An = í ụ số số ỹ ề số ợ ì ú ề ó t ợ ữ sử V é t ữ ề tr K F = {V}ni=1 tr V ý ệ BF = {f EndV|f (Vi ) Vi1 } ó BF ệ ề sử G ột số ợ ột số ó ỉ t ủ G số ợ G ữ G D1G DnG = (D0G = G, D1G = [G, G], D2G = [G1 , G1 ], , DnG = [Gn1 , Gn1 ]) ét t r ế M, N ợ tr G tì M + N ũ ột ợ tr G ợ ứ ọ ợ ọ r ị ĩ sử G ột số tr trờ K : G ì G K (x, y) xy = T r(adx ady ) ó tí tr G ợ ọ tr G t ý ệ í t (x,y) = x, y x, y = y, x ; x, y G (x), y = x, y (x + y), z = x, z + y, z adx (y), z + y, adx (z) = ị í sử ự ĩ tồ tí ét ột G G ó trự í sử V ó t ế t ộ ủ ó ó ế ị tì ị í G é t GA rt é t ữ ề tr trờ K ó số G ột số ủ EndV ề ệ s t số ợ T r(x y) = 0; x G, y [G, G] ứ ị ý số số r ú t ó ề số ợ ột ệ trù ệ số ế số ợ ò tồ t số ó số ợ ọ số r ú t trì ệ tí t ủ số số ị ĩ số L ọ ế L ó í ụ é t ó ủ é t R3 t tờ ị ĩ[x, y] tí x y ó R3 trở t ột số ệ ề L số ỉ r ủ L ét ệ ề t t số ợ số ủ số ệ ề sử L số N r ủ L tì số t L/N ệ ề ó G= a b c a a, b, c R G số ét r ệ ề tr ế t t tết trờ R ột trờ K t ỳ tì G í ụ ế t R K trờ ó số tì G số ợ ó G t sử G1 , G2 số ý ệ G G1 ì G2 = {(g1 , g2 )|g1 G1 , g2 G2 } ự é t tr Pé ộ G s x G, y G x + y = (g1 + g1 , g2 + g2 ) g1 , g1 G1 g2 , g2 G2 Pé ột số x G ó k.x = (kg1 , kg2 ) Pé tr tí [x, y] = ([g1 , g1 ], [g2 , g2 ]) ó ó ệ ề ệ ề G é t tr ột số ứ ễ t G ột ét ứ G ột số í é í x = (g1 , g2 ) G y = (g1 , g2 ) G ì (1) (2) [x, y] = [g1 , g2 ], [g1 , g2 ]) G [g1 , g1 ] G1 , [g2 , g2 ] G2 í ứ [x, x] = ([g1 , g1 ], [g2 , g2 ]) = (0, 0) = G í t ị tứ x, y, z G ó [x, [y, z]] = [x, ([g1 , g1 ], [g2 , g2 ])] = ([g1 , [g1 , g1 ]], [g2 , [g2 , g2 ]]) tự [y, [z, x]] = ([g1 , [g1 , g1 ]], [g2 , [g2 , g2 ]]) [z, [x, y]] = ([g1 , [g1 , g1 ]], [g2 , [g2 , g2 ]]) r [x, [y, z]] + [y, [z, x]] + [z, [x, y]] = ([g1 , [g1 , g1 ]]+[g1 , [g1 , g1 ]]+[g1 , [g1 , g1 ]], [g2 , [g2 , g2 ]]+[g2 , [g2 , g2 ]]+[g2 , [g2 , g2 ]]) = [0, 0] í sử tr ó G ó ứ A = {(a1 , a2 )|a1 G1 , a2 G2 } t A1 = {a1 |(a1 , a2 ) A} A2 = {a2 |(a1 , a2 ) A} ó A1 ủ t G1 a1 A1 , g1 G1 ủ ét (g1 , g2 ) G ó [(a1 , a2 ), (g1 , g2 )] A ì A G ([a1 , g1 ], [a2 , g2 ]) A [a1 , g1 ] A1 , g1 G1 A ủ G s r [x, y] = 0, x A, y A [(a1 , a2 ), (a1 , a2 )] = 0, a1 , a1 A1 ; a2 , a2 A2 ([a1 , a1 ], [a2 , a2 ]) = [a1 , a1 ] = [a2 , a2 ] = a1 , a1 A1 ; a2 , a2 A2 r A1 ủ G1 s r ý ì G1 G số ị ý rt ị í ị ý rt ề ệ ủ ể ột số số G ị tr G s ế ị í ọ ủ số G ề ad ị í sử G ù trự ủ số N ột tr ố B N B G N s ế ó G = N N ét ọ số ề tí ợ t tổ trự tế ủ ột r ột số í ụ tr ị G = {(x1 , x2 , x3 , x4 , x5 )|x1 , x2 , x3 , x4 , x5 R} G é tí x G, y G [x, y] = (x1 y2 x2 y1 , 0, x4 y5 y4 x5 , x5 y3 y5 x3 , x3 y4 y3 x4 ) ó G tí ợ t tổ trự tế ủ ột r ột số M t t N = {(x1 , x2 , 0, 0, 0)|x1 , x2 R} M = {(0, 0, x3 , x4 , x5 )|x3 , x4 , x5 R} ó MG N ứ ễ t N r N số ủ G y G : y = (y1 , y2 , y3 , y4 , y5 ), a N : a = (a1 , a2 , 0, 0, 0) ó [y, a] = (y1 a2 a2 y1 , 0, 0, 0, 0) N N ủ G ó a N, b N [a, b] = (a1 b2 a2 b1 , 0, 0, 0, 0) [[a, b], [a, b]] = (0, 0, 0, 0, 0) N ợ ứ M số ễ t M số ủ G y G : y = (y1 , y2 , y3 , y4 , y5 ), a M : a = (0, 0, a3 , a4 , a5 ) [y, a] = (0, 0, y4 a5 y5 a4 , y5 a3 a5 y3 , y3 a4 a4 y3 ) M M ủ G ét : M R3 x = (0, 0, x3 , x4 , x5 ) (x) = (x3 , x4 , x5 ) ễ t R = M tí t ứ R3 M r í ụ t ứ ợ t ì G = NM ó ột ợ N tr G tí M N tể số ị ĩ số ứ tự G ợ ọ ế G G ét số G tì G ét í ụ [x, y] = x y ó R3 R3 t tờ ị ĩ ột số a b a c a, b, c R ét G = b c é tí [x, y] = xy yx ó G ột số ệ ề ị í í ủ số số ọ số G ề tí ợ t tổ trự tế ủ số trự từ ột trự t ự tí t ứ ổ ề ể ứ ị ý trớ ết t ó ổ ề s G N ột ủ G ó [N, N ] = I ủ N I ủ G ứ ó t ị ý G = N N N N = sử ó y [N, N ] y = [a, b] a N, b N [a, b], n + b, [a, n] = n N [a, n] N b, [a, n] = [a, b], n = n N [a, b] N (1) [a, b], m + b, [a, m] = m N [a, m] = m N [a, b], m = [a, b] N (2) (1) (2) G = g1 + g2 ó N N = [N, N ] = G = N N g G tì g1 N, g2 N y I tì [y, g] = [y, g1 + g2 ] = [y, g1 ] + [y, g2 ] I N [y1 , g2 ] = 0g2 N , [y, g1 ] Iì I ủ N [y, g] I I ủ G ứ ị ý ế G t s r ề ứ ế G sử G = N N ý t ó 0, N, N = t s r t N ủ r ó N N N G ó t ị ủ t sử [N, N ] = G N N ứ M ó t ổ ề tì M ủ ế N N N G s r ý t tế tụ q trì tí t ợ G = N1 N2 Nk [Ni , Nj ] = 0, Ni , Nj = i, j = 1, 2, 3, , ki ; i = j sử M1 M2 Ms ế Mt ọ ột tí ủ G t Ni (i = 1, k) tì [Mt , Ni ] Mt Ni = ĩ k Mt tộ t ủ G Mt = ì G ó G = Ni i=1 t ệ q A tì [A, A] = A G tì [G, G] = G ệ q G A ủ G = G/A ệ ề sử G= A A ọ ó ọ I tr G ề tổ trự tế ủ ột số A ó ệ ề G= A số S số ột t từ G S tì tồ t t ể r ó = |A G (A ) tr S S (A ) = S ột từ A S t ế ó ó số í ệ t tồ t ột ỉ số ể = ì A ứ tr A ột = (A ) = S [A , A ] = s r = [A , A ] = [(A ), (A )] = [S, S] = S ý t ể t ét số ệt ủ số ữ ó số rt G số ét adg : G G g G õ r adg tể ết G = G1 H sở ột tế tí ý ệ {e1 , e2 , , en } t tr ó s G1 tế tí {e1 , e2 , , el } H adg (e ) = e ; K H = ker(adg ) ó t ó t ó Im(adg ) {el+1 , el+2 , , en } G1 = 0, {1, 2, , l} 0, {l + 1, l + 2, , n} ệ ề H ột số ủ ọ G i = 1, l, = l + 1, n tì [ei , e ] ũ t r ủ adg ứ trị r t tí ủ [e , e ] q adg , {l + 1, l + 2, , n} ó [g, [e , e ]] = [e , [e , g]] [e , [g, e ]] ọ = = [e , e ] [e , e ] = ( + )[e , e ] [e , e ] ũ t r ủ adg ó r + = [e , e ] r e ộ tế ó ứ [e , e ] = K .e ; C C ế ế l i i=1 C ei + = s r = [e , e ] = + t trị r ủ adg tì [e , e ] = [g, g] = g H ó t ó [ei , ej ] = 0; i, j = 1, 2, , l ó t ó ệ s [ei , ej ] = 0; i, j = 1, 2, , l [ei , e ] = Ci. e ; i = 1, 2, , l [e , e ] = C e = e ; {l + 1, l + 2, , n}, = + [e , e ] = + trị r ý ệ ọ = l + 1, l + 2, , n (ei ) = Ci. (ei ) ệ ủ số ệ (ei ) tờ ợ ý ệ t ệ ứ ị ĩ ét G ợ G t e ợ ọ (ei ) số H ủ G ợ ọ số rt ủ G t ứ ợ r số rt ủ ột số ợ ị s ột é ệ ề ị í ế ế số rt + = tì e , e = e , e = G H ột số tì ị tr ủ ó s ế ết t ợ ữ ết q s rì ột ệ tố t tử ủ số ứ tí t ủ ị ý ệ ề ứ tí t ị ý ề í ụ ứ ệ ề Pt ể tự ứ ệ ề ự í ụ ó tí số t tổ trự tế ủ ột r ột số Pt ể í ụ r ệ ề ề số Pt ể ứ ợ ệ q ệ ề r tờ tớ ú t ự ế tế tụ ứ số rt ủ số ệ t ễ ệt ũ ọ ệ t ọ r ệt ũ ố ề ọ ì ọ ễ ữ ố ó ọ ễ P ý tết ó ứ ụ t ý ọ ợ tử Claude Chevally r rs Prt rst rss Helgason rt tr rs t r Prss r Knapp A W r trt Prrss tt Serre rs t rs r [...]... ề tr trờ K ó số G ột số ủ EndV ề ệ s t số ợ T r(x y) = 0; x G, y [G, G] ứ ị ý số ử số r ú t ó ề số ợ ột ệ trù ệ số ế ớ số ợ ò tồ t ớ số ó ớ số ợ ọ ớ số ử r ú t sẽ trì ệ tí t ủ ớ số ử số ử ị ĩ số L ọ ử ế L ó í ụ é t ít ó ớ ủ é t R3 t tờ ớ ị ĩ[x, y] tí x y ó R3 trở t ột số ử ệ ề L số ử ỉ r... t t số ợ số ử ớ ủ số ệ ề sử L số N r ủ L tì số t L/N ử ệ ề ó G= a b c a a, b, c R G số ử ét r ệ ề tr ế t t tết trờ R ở ột trờ K t ỳ tì G ử í ụ ế t R ở K trờ ó số tì G số ợ ó G ử ờ t sử G1 , G2 số ử ý ệ G G1 ì G2 = {(g1 , g2 )|g1 G1 , g2 G2 } ự é t tr Pé ộ G s x G, y G x + y = (g1 + g1 , g2 + g2 ) ớ g1 , g1 G1 g2 , g2 G2 Pé ớ ột số x... t ứ ợ ớ t ì G = NM ó ột ợ ớ N tr G ớ tí M N ử tể số ị ĩ số ứ tự sự G ợ ọ ế G G ét số G tì G ử ét í ụ [x, y] = x y ó R3 R3 t tờ ớ ị ĩ ột số 0 a b a 0 c a, b, c R ét G = b c 0 ớ é tí [x, y] = xy yx ó G ột số ệ ề ị í í ủ số số ọ số ử G ề tí ợ t tổ trự tế ủ số trự từ ột trự t ự tí t ứ ổ ề ể ứ ị ý trớ ết t... ớ ọ ó ọ I tr G ề tổ trự tế ủ ột số A ó ệ ề G= A số ử S số ột t từ G S tì tồ t t ể r ó = |A G (A ) tr S S (A ) = S ột từ A S t ế ó ó số í ệ t tồ t ột ỉ số ể = 0 ì A ứ tr A ột = (A ) = S [A , A ] = 0 s r 0 = [A , A ] = [(A ), (A )] = [S, S] = S ý t ể ờ t ét số ệt ủ số ữ ó số rt G số ử ét adg : G G ớ g G õ r adg... ) ệ ủ số ử ệ (ei ) tờ ợ ý ệ t ệ ứ ớ ị ĩ ét G ợ G t e ợ ọ (ei ) số H ủ G ợ ọ số rt ủ G ờ t ứ ợ r số rt ủ ột số ử ợ ị s ột é ệ ề ị í ế ế số rt + = 0 tì e , e = 0 e , e = 0 G H ột số ử tì ị tr ủ ó s ế ết t ợ ữ ết q s rì ột ệ tố t tử ủ số ứ tí t ủ ị ý ệ ề ứ tí t ị ý ề í ụ ứ ệ ề Pt ể tự ứ ệ ề ự í ụ ó sự tí số t tổ trự... ệ ề ó sử G G số ò : G G ồ Ker() ột ủ G (Ker() = {x G|(x) = 0}) ệ ề ệ ề ý ệ Ga = {ada |a G} ế tì Ga ột ủ DerG ét : G Ga x adx ó t ó ị ột ồ Ker() t ủ G (Ker() = TG ) ad(x) = .adx 1 ớ từ G ế G số ợ ị ĩ số G ột số số ủ G t G = A1 A2 An Ai ủ Ai /Ai+1 ị ĩ ợ ọ ợ ế ớ ọ số Ai+1 i = 1, 2, , n, G ợ ọ số ợ ế tr G tồ t ợ ữ ... An = 0 í ụ số số ỹ ề số ợ ì ú ề ó t ợ ữ sử V é t ữ ề tr K F = {V}ni=1 ờ tr V ý ệ BF = {f EndV|f (Vi ) Vi1 } ó BF ệ ề sử G ột số ợ ột số ó ỉ t ủ G số ợ G ữ G D1G DnG = 0 (D0G = G, D1G = [G, G], D2G = [G1 , G1 ], , DnG = [Gn1 , Gn1 ]) ét t r ế M, N ợ tr G tì M + N ũ ột ợ tr G ợ ứ ọ ợ ọ r ị ĩ sử G ột số tr trờ K : G... a1 ] = 0 [a2 , a2 ] = 0 ớ a1 , a1 A1 ; a2 , a2 A2 r A1 ủ G1 s r ý ì G1 ử G số ử ị ý rt ị í ị ý rt ề ệ ủ ể ột số số G ử ị tr G s ế ị í ọ ủ số ử G ề ad ị í sử G ù trự ủ số ử N ột tr ố ớ B N B G N s ế ó G = N N ét ọ số ề tí ợ t tổ trự tế ủ ột r ột số ử í ụ tr ị G = {(x1 , x2 , x3 , x4 , x5 )|x1 , x2 , x3 , x4 , x5 R} G é tí x G,... trự tế ủ ột r ột số ử M t t N = {(x1 , x2 , 0, 0, 0)|x1 , x2 R} M = {(0, 0, x3 , x4 , x5 )|x3 , x4 , x5 R} ó MG N ứ ễ t N r N số ủ G y G : y = (y1 , y2 , y3 , y4 , y5 ), a N : a = (a1 , a2 , 0, 0, 0) ó [y, a] = (y1 a2 a2 y1 , 0, 0, 0, 0) N N ủ G ó a N, b N [a, b] = (a1 b2 a2 b1 , 0, 0, 0, 0) [[a, b], [a, b]] = (0, 0, 0, 0, 0) N ợ ứ M số ử ễ t M số ủ G y G : y =... rì ột ệ tố t tử ủ số ứ tí t ủ ị ý ệ ề ứ tí t ị ý ề í ụ ứ ệ ề Pt ể tự ứ ệ ề ự í ụ ó sự tí số t tổ trự tế ủ ột r ột số ử Pt ể í ụ r ệ ề ề số Pt ể ứ ợ ệ q ệ ề r tờ tớ ú t ự ế sẽ tế tụ ứ số rt ủ số ử ệ t ễ ệt ũ ọ ệ t ọ r ệt ũ ố ề ọ ì ọ ễ ữ ố ó ọ ễ P ý tết ó ứ ụ t ý ọ ợ tử Claude Chevally r rs Prt ... số r ú t trì ệ tí t ủ số số ợ ệt ợ trì tết ộ ủ ể ụ ụ ệ trì s số số trọ t ủ ệ trì ệ ề số số tí t ủ số ổ t ợ ữ số ợ số ... K ó số G ột số ủ EndV ề ệ s t số ợ T r(x y) = 0; x G, y [G, G] ứ ị ý số số r ú t ó ề số ợ ột ệ trù ệ số ế số ợ ò tồ t số ó số ... số số t tử ủ số ủ số số ợ số số số