Luận văn thạc sĩ toán học: Đề tài cấu trúc của đại số LIE nữa đơn đối xứng . Đề tài nhằm tìm hiểu và làm rõ một số vấn đề cụ thể liên quan đến đại số LIE nữa đơn đối xứng, từ đó ứng dụng để mô tả cấu trúc một số đại số lie cụ thể
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TRẦN HIỀN SƠN CẤU TRÚC CỦA ĐẠI SỐ LIE NỬA ĐƠN ĐỐI XỨNG Chuyên ngành: ĐẠI SỐ - LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60.46.01.04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học PGS.TS TRẦN ĐẠO DÕNG Huế, Năm 2014 i LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tôi, số liệu kết nghiên cứu nêu luận văn trung thực, đồng tác giả cho phép sử dụng chưa cơng bố cơng trình khác Trần Hiền Sơn ii LỜI CẢM ƠN Luận văn hồn thành hướng dẫn nhiệt tình, tận tâm, chu đáo Thầy giáo, PGS.TS Trần Đạo Dõng Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc Thầy giành nhiều thời gian trao đổi khoa học góp ý quý báu q trình hồn thành luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu Trường Đại học Sư phạm Huế, q Thầy Cơ giáo Khoa Tốn Trường Đại học Sư phạm Huế, Phòng Đào tạo Sau đại học Trường Đại học Sư phạm Huế, Thầy Cô giáo tham gia giảng dạy Cao học Khóa 21 Tôi xin chân thành cảm ơn người thân, bạn bè, anh chị học viên cao học Toán K21 Trường Đại học Sư phạm Huế tạo điều kiện giúp đỡ, động viên tơi q trình học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Trần Hiền Sơn iii MỤC LỤC Trang phụ bìa i Lời cam đoan ii Lời cảm ơn iii Mục lục LỜI MỞ ĐẦU Chương Giới thiệu đại số Lie nửa đơn 1.1 Đại số Lie 1.2 Đại số Lie giải đại số Lie lũy linh 1.3 Đại số Lie nửa đơn 1.4 Đại số Cartan 11 1.5 Hệ nghiệm đại số Lie nửa đơn chẻ 14 Chương Cấu trúc đại số Lie nửa đơn đối xứng 22 2.1 Đại số Lie nửa đơn đối xứng 22 2.2 Cấu trúc số đại số Lie nửa đơn đối xứng cụ thể 34 Kết luận 62 Tài liệu tham khảo 63 LỜI MỞ ĐẦU Việc mô tả cấu trúc đại số Lie nửa đơn nội dung lý thuyết Lie khơng gian đối xứng Đóng vai trị quan trọng việc khảo sát tính nửa đơn tiêu chuẩn Cartan xây dựng từ dạng Killing đại số Lie đại số Cartan, tức lớp đại số Lie lũy linh trùng với chuẩn tắc hóa Trong số đại số Lie nửa đơn, lớp đại số Lie nửa đơn đối xứng tức đại số Lie cho tồn tự đồng cấu đối hợp nhiều nhà toán học quan tâm khảo sát, có mối liên hệ mật thiết với không gian đối xứng nửa đơn Trong khuôn khổ luận văn thạc sĩ, mong muốn tìm hiểu làm rõ số vấn đề cụ thể liên quan đến đại số Lie nửa đơn đối xứng, từ ứng dụng để mơ tả cấu trúc số đại số Lie cụ thể: sl(n, R), so(p, q), su(p, q) Được gợi ý PGS.TS Trần Đạo Dõng, chọn đề tài "Cấu trúc đại số Lie nửa đơn đối xứng" làm đề tài nghiên cứu luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn chia làm hai chương: Trong chương I chúng tơi trình bày số khái niệm đại số Lie liên quan đến đề tài Nội dung chủ yếu chương khảo sát khái niệm, tính chất đại số Cartan, hệ nghiệm đại số Lie nửa đơn chẻ Các tính chất tập nghiệm làm rõ để góp phần khảo sát tính chất, khái niệm chương sau Trong chương II chúng tơi trình bày đại số Lie nửa đơn đối xứng, phân tích đối xứng đại số Lie thơng qua tự đồng cấu đối hợp, không gian Cartan, tồn không gian Cartan đại số Lie nửa đơn đối xứng, phân tích Iwasawa, số tính chất, định lí liên quan áp dụng khảo sát số đại số Lie cụ thể sl(n, R), so(p, q), su(p, q) để làm rõ lý thuyết trình bày Mặc dù tác giả có nhiều cố gắng việc trình bày luận văn khó tránh khỏi sai sót Tác giả mong muốn nhận ý kiến đóng góp thầy đồng nghiệp dành cho luận văn CHƯƠNG Giới thiệu đại số Lie nửa đơn Trong chương chúng tơi trình bày số kiến thức đại số Lie nửa đơn, đại số Cartan hệ nghiệm đại số Lie nửa đơn chẻ Các khái niệm kết chủ yếu tham khảo từ tài liệu [4], [6] [9] 1.1 Đại số Lie Định nghĩa 1.1 Cho g khơng gian véc tơ trường k Khi g gọi đại số Lie k tồn phép tốn [, ] : g×g −→ g (X, Y ) −→ [X, Y ] cho a) [, ] tuyến tính biến; b) [X, X] = 0, ∀X ∈ g; c) Thỏa mãn đồng thức Jacobi, tức [[X, Y ], Z] + [[Y, Z], X] + [[Z, X], Y ] = 0, ∀X, Y, Z ∈ g Số chiều không gian véc tơ g gọi chiều đại số Lie g, kí hiệu dimk g, [, ] gọi tích Lie k = R : g gọi đại số Lie thực k = C : g gọi đại số Lie phức Đại số Lie g gọi giao hoán [X, Y ] = 0, ∀X, Y ∈ g Nhận xét 1.1 1) Mỗi không gian véctơ V trường k đại số Lie giao hốn với tích Lie: [X, Y ] = 0, ∀X, Y ∈ V 2) Cho g đại số Lie, a không gian véc tơ g Đặt Ng (a) = {X ∈ g|[X, Y ] ∈ a, ∀Y ∈ a} đại số Lie con, gọi chuẩn tắc hóa a g Và Zg (a) = {X ∈ g|[X, Y ] = 0, ∀Y ∈ a} đại số Lie g, gọi Tâm hóa a g Dựa vào tính chất song tuyến tính tích Lie ta suy Ng (a), Zg (a) không gian vectơ g Rõ ràng Zg (a) ⊂ Ng (a) Đặc biệt a = g ta kí hiệu Zg = Zg (g) gọi tâm g 3) Cho g đại số k (không thiết kết hợp) Khi g đại số Lie với tích Lie xác định: [, ] : g×g −→ g (X, Y ) −→ [X, Y ] = XY − Y X 4) Cho V không gian vectơ hữu hạn chiều trường k EndV = {ϕ : V −→ V tự đồng cấu tuyến tính} đại số k Khi đó, gl(V ) := Endk V đại số Lie với tích Lie: [X, Y ] = X ◦ Y − Y ◦ X, ∀X, Y ∈ gl(V ) 5) gl(n, k) := Mat(n, k) = {A = (aij )n |aij ∈ k} đại số Lie với tích Lie: [A, B] = AB − BA, ∀A, B ∈ gl(n, k) Định nghĩa 1.2 Cho g đại số Lie trường k 1) h ⊆ g gọi đại số Lie h không gian véc tơ bảo tồn tích Lie 2) h ⊆ g gọi iđêan g h không gian véc tơ ∀X ∈ g, H ∈ h ta có [X, H] ∈ h Nhận xét 1.2 1) Mỗi iđêan đại số Lie Điều ngược lại nói chung khơng 2) Kí hiệu [a, b] không gian véc tơ bé chứa a, b với a, b ⊂ g Cho h không gian véc tơ g Khi đó: a) h đại số Lie ⇔ [h, h] ⊆ h b) h iđêan ⇔ [h, g] ⊆ h Định nghĩa 1.3 Cho g đại số Lie, h iđêan g Khi khơng gian vectơ thương g/h = {X + h|X ∈ g} đại số Lie với phép toán [X + h, Y + h] = [X, Y ] + h đại số Lie thương g theo h Định nghĩa 1.4 Cho g, h đại số Lie trường k 1) Ánh xạ ϕ : g → h gọi đồng cấu đại số Lie ϕ ánh xạ tuyến tính bảo tồn tích Lie cho: ϕ([X, Y ]) = [ϕ(X), ϕ(Y )], ∀X, Y ∈ g 2) Đồng cấu đại số Lie ϕ gọi đơn (toàn, đẳng) cấu ϕ đơn (toàn, song) ánh 3) Đại số Lie g gọi đẳng cấu với h tồn ϕ : g → h đẳng cấu đại số Lie, ta viết g ∼ = h Gọi Kerϕ = {X ∈ g|ϕ(X) = 0} nhân ϕ, Imϕ = {ϕ(X)|X ∈ g} ảnh ϕ Ví dụ 1.1 1) Cho g đại số Lie trường k ad : g −→ gl(g) = Endk (g) X −→ g −→ g adX : Y −→ (adX)(Y ) = [X, Y ] Khi ad đồng cấu đại số Lie, gọi biểu diễn liên hợp g 2) Cho V không gian vectơ n chiều trường k Khi gl(V ) ∼ = gl(n, k) 1.2 Đại số Lie giải đại số Lie lũy linh Định nghĩa 1.5 Cho g đại số Lie hữu hạn chiều trường k Khi g gọi giải chuỗi hoán tử: g0 = g, g1 = [g0 , g0 ], , gl+1 = [gl , gl ], tồn l ∈ N cho gl = {0} Định nghĩa 1.6 1) Cho g đại số Lie hữu hạn chiều trường k V không gian véc tơ trường K, k ⊂ K ⊂ C EndK V xét k−không gian véc tơ kí hiệu (EndK V )k Khi ánh xạ: σ : g −→ (EndK V )k gọi biểu diễn g V σ đồng cấu đại số Lie Để đơn giản ta thường viết σ : g → EndK V Không gian véc tơ U ⊆ V gọi không gian ổn định σ(g)U ⊆ U 2) Cho π : g −→ EndK V biểu diễn liên hợp g V U ⊆ V không gian bất biến, tức π(g)U ⊆ U Khi đó: π|U : g −→ EndK U X −→ π|U (X) : U −→ U Y −→ π|U (X)(Y ) = π(X)(Y ) biểu diễn g U gọi biểu diễn g 3) Cho π biểu diễn g không gian vectơ hữu hạn chiều V U ⊆ V khơng gian bất biến Khi đó: π ∗ : g −→ EndK V /U X −→ π ∗ (X) : V /U −→ V /U v + U −→ π ∗ (X)(v + U ) = π(X)v + U biểu diễn g V /U gọi biểu diễn thương g Định nghĩa 1.7 Cho biểu diễn g V , h đại số Lie g λ ∈ h∗ , với h∗ không gian đối ngẫu h Ta kí hiệu Vλ = {v ∈ V | (x)v = λ(x)v, ∀x ∈ h}, tập Vλ không gian vectơ V ổn định qua |h Nếu Vλ = λ([h, h]) = Ta kí hiệu V λ = {v ∈ V |( (x) − λ(x))n = 0, ∀x ∈ h với n đủ lớn}, tập V λ không gian vectơ V V λ ⊃ Vλ Với x ∈ h, V λ chứa nilspace (x) − λ(x), nilspace (x) − λ(x) Ker( (x) − λ(x))n n Ứng dụng khái niệm tính chất biểu diễn đại số Lie ta thu đặc trưng đại số Lie giải hữu hạn chiều thể định lí Lie Định lý 1.2.1 (Định lý Lie, [6], Theorem 1.25) Cho g đại số Lie hữu hạn chiều giải trường k, V K−không gian véc tơ khác 0, k ⊂ K ⊂ C Xét σ : g → EndK V biểu diễn g Khi đó: (a) Nếu K đóng đại số tồn v ∈ V, v = cho v véc tơ riêng σ(X), ∀X ∈ g (b) Trường hợp tổng quát K, tồn v ∈ V \{0} véc tơ riêng σ(X), ∀X ∈ g giá trị riêng σ(X) thuộc vào K Hệ 1.2.2 ([6], Corollary 1.29) Cho g, V, k, K, σ giả thiết Định lý 1.2.1 Khi đó, tồn dãy không gian véc tơ con: V = V0 ⊇ V1 ⊇ · · · ⊇ Vm = {0} cho Vi ổn định qua tác động σ(g) dim(Vi /Vi+1 ) = 1, i = 0, , m − Suy g tồn sở cho ma trận σ(g) có dạng tam giác Định lý 1.2.3 ([4],Theorem 1.3.12) Cho g giải được, V không gian vectơ hữu hạn chiều biểu diễn g V Nếu với x ∈ g, (x) tam giác hóa tam giác hóa Định nghĩa 1.8 Cho g đại số Lie hữu hạn chiều trường K Khi g gọi lũy linh chuỗi tâm g0 = g, g1 = [g0 , g], , gl+1 = [gl , g], tồn l ∈ N cho gl = {0} Nhận xét 1.3 1) Mỗi gl , l ∈ N Ideal g 2) Nếu g Abel g lũy linh 3) Nếu g đại số Lie lũy linh g giải được, chiều ngược lại nói chung khơng (1) a đại số Lie giao hoán: Kiểm tra trực 0 Xét A = 0 tiếp ta có a số Lie đại 0 ··· p ··· t 0 ··· 0 ··· 0 , B = 0 ··· 0 ··· 0 t ··· 0 [A, B] = AB − BA = 0 0 0 Vậy a đại số Lie giao hoán (2) a ⊂ p: 0 ··· t Xét A = g ∈ a, ta có: p ··· 0 ··· 0 ··· 0 − ··· 0 0 · · · ··· 0 0 = ··· 0 · · · ··· 0 ··· 0 ∈ a, ta có JAJ = 0 ··· 0 t ··· 0 −t · · · −t ··· ··· 0 ··· = −A 0 Suy A ∈ p Hay a ⊂ p (3) a khả quy g: ad : a −→ gl(g) A −→ adg (A) : g −→ g Ta thấy với A ∈ a ma trận đối xứng Suy adg A đối xứng Do adg A chéo hóa Hay adg A nửa đơn Vậy a khả quy g (4) Zp (a) = a: Ta có a ⊂ Zp (a) (vì a giao hốn) Ta chứng minh Zp (a) ⊂ a, thật vậy: Zp (a) = {X ∈ p|[X, A] = 0, ∀A ∈ a} 49 Xét X ∈ Zp (a), X = x1,p+1 · · · x1,n x12 · · · x1p −x12 ··· ··· −x1p ··· 0 ··· x1,p+1 ··· ··· x1n ··· 0 ··· ta chứng minh X ∈ a Với A = 0 ··· t ··· 0 ··· 0 t ··· 0 [X, A] = ⇐⇒ XA − AX = ⇐⇒ XA = AX ⇐⇒ tx1n · · · 0 ··· 0 ··· ··· −tx12 ··· 0 ··· −tx1p ··· · · · tx1,p+1 ··· 0 ··· tx1n = x1j ∈ R, , j n ∈ a, ta có: tx1n · · · 0 ··· ··· ··· ··· 0 ··· 0 ··· ··· · · · tx1p tx1,p+1 · · · tx1n ⇐⇒ tx1,j = 0, ≤ j ≤ n − 1, ∀t ∈ R ⇐⇒ x1,j = 0, ≤ j ≤ n − Suy X ∈ a Hay Zp (a) ⊂ a Vậy Zp (a) = a Gọi m tâm hóa a k, ta có: m = Zk (a) = {X ∈ k|[X, A] = 0, ∀A ∈ a} 0 ··· 0 ··· Với X ∈ Zk (a), X = ··· x2p x2,p+1 ··· x2n xp,p+1 ··· xp,n −x2,p+1 · · · x2,p+1 x2,n · · · xp,p+1 ··· xp,n 50 · · · xp+1,n −xp+1.n · · · Với A = tx2n tx p.n ⇐⇒ txp+1.n txn−1.n ··· ··· 0 ··· t ∈ a, ta có X ∈ Zk (a) ⇔ [X, A] = 0, ∀A ∈ a 0 ··· 0 t ··· 0 ⇔ XA = AX, ∀A ∈ a ··· 0 0 ··· ··· 0 ··· 0 ··· ··· 0 ··· ··· 0 ··· ··· 0 ··· = 0 tx2n ··· txp.n −txn−1.n ··· −txn−1.n 0 ··· 0 ··· 0 ··· 0 ··· 0 ··· 0 ··· 0 0 ··· ··· ⇐⇒ txi,n = 0, ≤ i ≤ n − 1, ∀t ∈ R ⇐⇒ xi,n = 0, ≤ i ≤ n − Vậy m = 0 ··· 0 ··· x2p −x2,p+1 · · · x2,p+1 0 ··· x2,p+1 · · · xp,p+1 · · · 0 · · · xp,p+1 ··· ··· ··· 0 xij ∈ R, i, j n−1 Xét ánh xạ: α : a −→ R A −→ α(A) = t Ta có α ánh xạ tuyến tính Khi α ∈ a∗ nghiệm thu hẹp g lên a, ta có: gα = {X ∈ g|(adA)X = α(A)X = tX, ∀A ∈ a} = {0} 51 Giả sử X = x12 ··· x1p x1,p+1 x1,p+2 ··· x1n −x12 ··· x2p x2,p+1 x2,p+2 ··· x2n −x1p −x2p ··· xp,p+1 xp,p+2 ··· xpn x1,p+1 x2,p+1 · · · xp,p+1 x1,p+2 x2,p+2 · · · xp,p+2 −xp+1,p+2 x1n Với A = ··· x2n 0 ··· t ··· 0 ··· 0 xp+1,p+2 · · · xp+1,n −xp+1,n xpn · · · xp+2,n −xp+2,n · · · ∈ g, ∈ a, ta có: t ··· 0 X ∈ g ⇐⇒ [A, X] = α(A)X ⇐⇒ AX − XA = tX, ∀A ∈ a, ∀t ∈ R α tx2n · · · txpn −tx ··· 2n −tx ··· pn ⇐⇒ −txp+1,n ··· ··· −txn−1,n ··· tx12 · · · tx1p x12 · · · x1p −x · · · x2p 12 −x −x2p · · · 1p = t x1,p+1 x2,p+1 · · · xp,p+1 x1,p+2 x2,p+2 · · · xp,p+2 x1n x2n · · · xpn −txp+1,n · · · −xn−1,n 0 ··· tx12 ··· tx1p ··· −tx1,p+1 ··· −tx1,n−1 tx1,p+1 ··· tx1,n−1 x1,p+1 x1,p+2 ··· x1n x2,p+1 x2,p+2 ··· x2n xp,p+1 xp,p+2 ··· xpn −xp+1,p+2 −xp+1,n x1j = xin , i,j p x = −x , p + j n - 1j in ⇐⇒ x1n = xn1 = xij = 0, i,j n - 52 xp+1,p+2 · · · xp+1,n · · · xp+2,n −xp+2,n · · · = Ta đặt x = (x12 , x13 , x1,n−1 ) = (xn2 , xn3 , xn,n−1 ) y = (x21 , x31 , , xn−1,1 ) = −(x2n , x3n , , xn−1,n ) n−2 x, y ∈ R x α Do g = y −y x : ma trận dòng y :ma trận cột x Tính tốn tương tự ta có: x, y ∈ Rn−2 x x : ma trận dòng g−α = y y y : ma trận cột −x Vậy tập hợp nghiệm thu hẹp g lên a R(a, g) = {±α}, tập hợp nghiệm dương thu hẹp g lên a R+ (a, g) = {α} Khi ta có phân tích Iwasawa đại số Lie g g = k ⊕ a ⊕ n, x x, y ∈ Rn−2 n= gα = gα = y −y x : ma trận dòng α∈R+ x y :ma trận cột đại số Lie lũy linh g 2.2.3 Cấu trúc đại số Lie su(p, q) Cho p > 1, q ≥ số tự nhiên đặt n = p + q Giả sử p ≥ q ta xét t đại số Lie nửa đơn thực g = su(p, q) = X ∈ gl(n, C)| X.Ip,q + Ip,q X = 0, T rX = Trong Ip,q = Ip 0p,q , với 0p,q 0q,p ma trận cấp (p, q) 0q,p −Iq t a b a t (q, p) Giả sử X = , với a, b, c, d khối Ta có X = t c d b t t a tc I 0p,q a −t c p = Suy t X.Ip,q = t t b td 0q,p −Iq b −t d Ip 0p,q a b a b = Ip,q X = c d −c −d 0q,p −Iq Do X ∈ g ⇐⇒ tX.Ip,q + Ip,q X= t ⇐⇒ t a −c t b −t d + a b −c −d 53 =0 t t c d ⇐⇒ t a+ a t t b− c b − c −d − t d =0 a = −t a t d = −t d a=−a ⇐⇒ ⇐⇒ d = −t d t b= c c = t b c = tb Do đại số Lie g viết dạng: a b a = −t a, d = −t d, T + T rd = g= tb d Xét ánh xạ θ : g −→ g X −→ θ(X) = −t X tự đồng cấu đại số Lie g Ta có θ2 (X) = θ(θ(X)) = θ(−t X) = −t (−t X) = X, ∀X ∈ g Suy θ2 = Khi (g, θ) đại số Lie đối xứng xác định phép đối hợp θ Ta có g = k ⊕ p, đó: k = {X ∈ g|θ(X) = X} = X ∈ g| − t X = X a 0p,q ,X ∈ g = X= 0q,p d p = {X ∈ g|θ(X) = −X} = X ∈ g| − t X = −X = X ∈ g|t X = X 0p,p b = X= ,X ∈ g t b 0p,p Khi g = k ⊕ p phân tích đối xứng g xác định θ 54 Xét tập a = A = 0 0 a1 a1 aq ∈ R, i aq q Khi a khơng gian Cartan (g, θ) Thật vậy: (1) a đại số Lie giao hốn: Kiểm tra trực tiếp ta có a đại số Lie g Xét: A= , B = 0 aq a1 a1 0 0 bq b1 b1 aq ∈ a bq Ta có: [A, B] = AB − BA = − 0 aq bq a1 b1 a1 b1 0 aq bq Vậy a đại số Lie giao hoán (2) a ⊂ p: 55 0 a q bq a1 b1 a1 b1 0 aq bq =0 Xét A = 0 0 a1 a1 aq ∈ a, ta có: t A = A =⇒ A ∈ p aq Hay a ⊂ p (3) a khả quy g: ad : a −→ gl(g) A −→ adg (A) : g −→ g Ta thấy với A ∈ a ma trận đối xứng Suy adg A đối xứng Do adg A chéo hóa Hay adg A nửa đơn Vậy a khả quy g (4) Zp (a) = a Ta có a ⊂ Zp (a) (do a giao hoán) Ta chứng minh Zp (a) ⊂ a Thật vậy: Zp (a) = {X ∈ p|[X, A] = 0, ∀A ∈ a} Xét X ∈ Zp (a), ta có: X= ¯b1,p+1 · · · ¯bp−q,p+1 ¯b1,n · · · ¯bp−q,n 0 b1,p+1 ··· bp−q,p+1 ··· 56 bp−q,n bp−q+1,p+1 · · · bp−q+1,n bp,p+1 ¯bp−q+1,p+1 · · · ¯bp,p+1 ¯bp−q+1,n · · · ¯bp,n b1,n ··· bp,n , Ta chứng minh X ∈ a Với A = 0 0 a1 a1 aq ∈ a, aq ta có[X, A] = ⇐⇒ XA − AX = ⇐⇒ XA = AX ⇐⇒ aq b1,n ··· aq bp−q,n ··· 0 a1 b1,p+1 a1 bp−q,p+1 aq bp−q+1,n · · · a1 bp−q+1,p+1 ··· aq bp,n a1 bp,p+1 a1¯bp,p+1 · · · aq ¯bp−q+1,p+1 a1¯bp,n ··· aq ¯bp−q+1,n = a ¯b q 1,n = a1¯b1,p+1 ··· ··· aq ¯bp−q,n aq ¯bp−q+1,n a1¯bp−q,p+1 a1¯bp−q+1,p+1 ··· aq ¯bp,n ··· a1¯bp,p+1 aq bp,p+1 0 aq bp−q+1,p+1 57 ··· aq bp,n ··· aq bp−q+1,n ⇐⇒ aq ¯bp−q+1,n aq ¯bp−q+1,p+1 a1 bp,p+1 aq bp−q+1,p+1 aq ¯bp,n aq bp−q+1,n · · · a1 bp−q+1,p+1 = · · · a1¯bp,p+1 aq bp,n ··· a1 bp,p+1 ··· a1 bp,n a1¯bp,p+1 · · · aq ¯bp−q+1,p+1 = · · · aq bp−q+1,n a1¯bp,n · · · aq ¯bp−q+1,n aq bq,n · · · a1 b1,p+1 =0 aq bp−q,n · · · a1 bp−q,p+1 a1 b1,n · · · a1 bp,n =0 a1¯b1,p+1 · · · a1¯bp−q,p+1 ··· b ∈ R(p − q + ij ⇐⇒ bij = 0(1 i i p; p + p − q; p j j n) n) Do X = 0 0 bp−q+1,n bp,n bp,n bp−q+1,n Hay Zp (a) ⊂ a Vậy Zp (a) = a Gọi m tâm hóa a k, ta có: m = Zk (a) = {X ∈ k|[X, A] = 0, ∀A ∈ a} Với X ∈ k, A ∈ a ta có X ∈ Zk (a) ⇔ [X, A] = 0, ∀A ∈ a ⇔ XA = AX, ∀A ∈ a 58 ∈ a ⇐⇒ 0 ··· aq xn,p+1 ··· aq xn,p+1 ··· a1 xp,p−q+1 aq xp−q+1,p−q+1 a1 xp+1,n a1 xp,p aq xn,n 0 = ··· aq xp−q+1,p = ⇐⇒ 0 a1 xp−q+1,p ··· ··· aq xn,n ··· a1 xn,p+1 xij ∈ C(1 p − q) i, j xii = xjj ∈ iR(p − q + aq xp,p−q+1 a1 xp+1,p+1 aq xp−q+1,p−q+1 a1 xp,p aq xp+1,n ··· 0 Do i p; p + j n) xij = (trong trường hợp lại) X= Y 0 ωq ω1 ω1 ωq 59 , với Y ∈ su(p − q), ωj ∈ iR, j q Vậy: m= Y ∈ su(p − q), ωj ∈ iR, j q ωq Y 0 ωq ω1 ω1 Xét ánh xạ: fi : a −→ R A −→ fi (A) = Khi tập hợp nghiệm thu hẹp g lên a là: {±f ± f (i = j)} ∪ {±2f } ∪ {±f } , p > q i j i i R = R(a, g) = {±fi ± fj (i = j)} ∪ {±2fi } , p = q Thật vậy: Ta có fi ánh xạ tuyến tính Khi α ∈ a∗ nghiệm thu hẹp g lên a, ta có: gα = {X ∈ g|(adA)X = α(A)X, ∀A ∈ a} = {0} Giả sử X ∈ g x11 xp−q,1 x p−q+1,1 X= xp,1 xp+1,1 xn,1 ··· ··· ··· x1,p−q x1,p−q+1 ··· xp−q,p−q xp−q,p−q+1 ··· xp−q+1,p−q xp−q+1,p−q+1 ··· xp,p−q xp,p−q+1 ··· xp,p xp,p+1 ··· xp,n ··· xp+1,p−q xp+1,p−q+1 ··· xp+1,p xp+1,p+1 ··· xp+1,n xn,p−q xn,p−q+1 xn,p xn,p+1 ··· x1,p x1,p+1 ··· xp−q,p xp−q,p+1 ··· xp−q,n ··· xp−q+1,p xp−q+1,p+1 ··· xp−q+1,n ··· 60 x1n ··· xnn Ta có gfi +fj = {X ∈ g|(adA)X = (fi + fj ) (A)X = (ai + aj )X, ∀A ∈ a} Do đóX ∈ gfi +fj ⇐⇒ [A, X] = (ai + aj )X ⇐⇒ AX − XA = (ai + aj )X xp−i+1,p−j+1 = xp−i+1,p+j = xp+j,p−i+1 = xp+j,p+i = z xp−j+1,p+i = xp+i,p−j+1 = −z ⇐⇒ xp−j+1,p−i+1 = xp+i,p+j = −¯ z xi,j = (trong trường hợp lại) Tương tự ta tính cho: gfi −fj , g−fi +fj , g−fi −fj , g±2fi , g±fi Từ suy tập hợp nghiệm dương thu hẹp g lên a là: {fi ± fj (i < j)} ∪ {2fi } , p = q R+ = R+ (a, g) = {fi ± fj (i < j)} ∪ {2fi } ∪ {fi } , p > q Khi ta có n = ⊕ gα đại số Lie lũy linh g ta thu α∈R+ phân tích Iwasawa đại số Lie g g = k ⊕ a ⊕ n 61 KẾT LUẬN Trong luận văn này, chúng tơi tập trung tìm hiểu đại số Lie nửa đơn đối xứng ứng dụng để khảo sát số đại số Lie nửa đơn đối xứng cụ thể thơng qua phân tích Iwasawa Trên sở kết J.Dixmier, Kosters, VanDijk, Knapp trình bày tài liệu [4], [6], [8] Chúng tổng quan thể tường minh kiến thức, kết liên quan Các kết luận văn sau: 1) Khảo sát thể tường minh số kết liên quan đến đại số Cartan (mục 1.4), hệ nghiệm đại số Lie nửa đơn chẻ (mục 1.5) 2) Khảo sát cấu trúc đại số Lie nửa đơn đối xứng thể qua việc xác định không gian Cartan, hệ nghiệm thu hẹp, phân tích Iwasawa (mục 2.1) Từ ứng dụng để khảo sát số đại số Lie nửa đơn đối xứng cụ thể sl(n, R), so(p, q), su(p, q) (mục 2.2) Các kết đạt luận văn khiêm tốn góp phần giúp thân hiểu thêm cấu trúc đại số Lie nửa đơn, đặc biệt đại số Lie nửa đơn đối xứng Mặc dù tác giả cố gắng nhiều trình làm luận văn, nhiên thời gian lực cịn hạn chế nên khơng tránh khỏi thiếu sót luận văn Tác giả mong q thầy bạn đọc góp ý để luận văn hoàn thiện Tác giả xin chân thành cảm ơn! 62 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Trần Đạo Dõng, Nguyễn Nhẫn (2001), "Một số kết cấu trúc không gian đối xứng nửa đơn SL(n, R)/SOe (1, n − 1)", Tạp chí khoa học, Đại học Huế, số 7, 67-78 [2] Trần Đạo Dõng, Võ Văn Minh (2001), "Về cấu trúc tựa Riemann khơng gian Hyperbolic thực", Tạp chí khoa học, Đại học Huế, số 4(40), 103-111 Tiếng Anh [3] Van den Ban E.P (2003), Lie Groups, Lecture Notes, MRI, University of Utrecht, Holland [4] Dixmier Jacques (1977), Enveloping Algebras , North-Holland Publishing Company, University of Paris VI, France [5] Humphreys James E (1972), Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Graduate Texts in Mathematics, Springer [6] Knapp Anthony W (2002), Lie Groups Beyond an Introduction, Progress in Mathematics, New York [7] Kosters W.A (1985), "Eigenspaces of Laplace-Beltrami-operator on SL(n, R)/S(GL(1)×GL(n−1))", Mathematical Institute, University of Leiden, Vol 88, 99-123 [8] Kosters M.T and Van Dijk G (1986), "Spherical Distributions on the PseudoRiemannian Space SL(n, R)/GL(n − 1, R)", Journal of Functional Analysis, Vol 68, No.2, 168-213 [9] Kirillov Alexander Jr (2005), Introduction to Lie Groups and Lie Algebras, Department of Mathematics, SUNY at Stony Brook, New York, USA 63 ... 14 Chương Cấu trúc đại số Lie nửa đơn đối xứng 22 2.1 Đại số Lie nửa đơn đối xứng 22 2.2 Cấu trúc số đại số Lie nửa đơn đối xứng cụ thể ... trình bày đại số Lie nửa đơn đối xứng, phân tích đối xứng đại số Lie thông qua tự đồng cấu đối hợp, không gian Cartan, tồn không gian Cartan đại số Lie nửa đơn đối xứng, phân tích Iwasawa, số tính... đề tài "Cấu trúc đại số Lie nửa đơn đối xứng" làm đề tài nghiên cứu luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn chia làm hai chương: Trong chương I chúng tơi trình bày số