đề tài luận văn nghiệm viscosity của phương trình Hamilton Jacobi và áp dụng vào trò chơi vi phân giúp chúng ta tìm hiểu thêm về nghiệm viscosity của phương trình Hamilton Jacobi cùng với ứng dụng của nó trong trò chơi vi phân
B GIO DC V O TO I HC HU TRNG I HC S PHM TRNG QUANG PH NGHIM VISCOSITY CA PHNG TRèNH HAMILTON-JACOBI V P DNG VO TRề CHI VI PHN Chuyờn ngnh: TON GII TCH Mó s : 60 46 01 02 LUN VN THC S TON HC Cỏn b hng dn khoa hc: PGS.TS NGUYN HONG Hu, Nm 2014 LI CAM OAN Tụi xin cam oan õy l cụng trỡnh nghiờn cu ca riờng tụi, cỏc s liu v kt qu nghiờn cu ghi lun l trung thc, c cỏc ng tỏc gi cho phộp s dng v cha tng cụng b mt cụng trỡnh nghiờn cu no khỏc Trng Quang Phỳ LI CM N Lun ny c hon thnh di s hng dn nhit tỡnh v chu ỏo ca thy giỏo PGS TS Nguyn Hong Tụi xin phộp c gi n thy s kớnh trng v lũng bit n sõu sc v s tn tõm ca thy khụng nhng thi gian hng dn tụi thc hin lun m cũn quỏ trỡnh ging dy cỏc chuyờn Tụi xin c by t lũng bit n chõn thnh ti cỏc thy cụ giỏo, ngi ó em li cho tụi nhng kin thc b tr, vụ cựng cú ớch nhng nm hc va qua Tụi cng xin gi li cỏm n chõn thnh ti Ban Giỏm hiu, Phũng o to sau i hc v Khoa Toỏn, i hc S Phm Hu, ó to iu kin thun li cho tụi quỏ trỡnh hc v thc hin lun ca mỡnh Cui cựng, tụi cng xin c gi li cm n dn ngi thõn, bn bố, v th cỏc anh ch lp Cao hc Toỏn K21 ó quan tõm ng viờn giỳp tụi thi gian thc hin lun cng nh quóng ng hc va qua Trng Quang Phỳ Mc lc Mc lc Phn m u Phn ni dung Nghim viscosity ca phng trỡnh Hamilton-Jacobi 1.1 nh ngha, v cỏc tớnh cht v nghim viscosity 1.1.1 nh ngha nghim viscosity 1.1.2 Cỏc tớnh cht c bn ca nghim viscosity 1.2 Cụng thc kiu Hopf xỏc nh nghim viscosity vi Hamiltonian l hm khụng li 5 18 Lý thuyt trũ chi vi phõn 2.1 Chin lc 2.2 Hm giỏ tr, s tn ti v c trng ca nú 2.2.1 Hm giỏ tr 2.2.2 S tn ti v c trng ca hm giỏ tr 2.2.3 Biu din hm giỏ tr theo cụng thc kiu Hopf 2.3 Chi tr cõn bng cho trũ chi vi phõn tng khỏc khụng 2.3.1 Chi tr cõn bng Nash 2.3.2 c trng ca chi tr cõn bng Nash 2.3.3 S tn ti ca chi tr cõn bng Nash 26 26 29 29 38 43 44 45 46 49 p dng trũ chi vi phõn vo thc t 3.1 Cụng thc xỏc nh cú th t c trỏnh va chm 3.1.1 Tp cú th t c (The Reachable Set) 3.1.2 Vn trỏnh va chm 3.2 Mc cnh bỏo d liu ci tin h thng qun lớ giao thụng (ETMS) 52 52 52 59 63 3.2.1 3.2.2 3.2.3 3.2.4 Chớnh xỏc húa thụng s t d liu ETMS Chn la thi gian, tớnh toỏn thi gian La chn chin lc Phng phỏp phỏt hin xung t 63 64 65 66 Phn kt lun 69 Ti liu tham kho 70 PHN M U Xut x, ý ngha v lớ chn ti Phng trỡnh Hamilton-Jacobi ó c nghiờn cu bng cỏc phng phỏp c in t rt lõu v ó em li nhiu kt qu quan trng Tuy nhiờn, bn cht phi tuyn ca mt s bi toỏn vt lớ v ng dng thỡ cỏc nghim a phng t kộm hiu qu vỡ ngi ta mun nhn c nhng thụng tin y hn Trc nhng yờu cu ca thc t ú, nhng nghiờn cu v nghim ton cc ca phng trỡnh Hamilton-Jacobi i, in hỡnh l cỏc cụng trỡnh nghiờn cu ca Lax, Hopf, Oleinik, Fleming, Benton, v gn õy l Crandall, Lions, Evans, Subbotin, Ishii, nú ó thu hỳt s quan tõm ln ca cỏc nh toỏn hc trờn th gii Xó hi ngy mt phỏt trin nờn nhu cu ng dng lý thuyt phng trỡnh Hamilton-Jacobi vo cỏc lnh vc nh lý thuyt iu khin ti u, lý thuyt trũ chi vi phõn, lý thuyt súng, ngy cng tng Do ú, vic nghiờn cu nghim ton cc ca phng trỡnh Hamilton-Jacobi tr nờn cn thit T nm 1983 tr i mt lot cỏc bi bỏo ca Crandall, Lions, Evans, Ishii xut hin ú ó cp n khỏi nim nghim viscosity, vi khỏi nim ny vic nghiờn cu phng trỡnh Hamilton-Jacobi tr nờn hiu qu hn Thay vỡ buc nghim tha phng trỡnh hu khp ni thỡ õy ta ch ũi hi nghim phi liờn tc v tha cp bt ng thc vi phõn thụng qua cỏc hm th trn, hoc thụng qua khỏi nim trờn vi phõn, di vi phõn S xut hin ca khỏi nim nghim viscosity ó thỳc y nhiu lnh vc khỏc ca toỏn hc phỏt trin, ú cú lý thuyt trũ chi vi phõn Trong trũ chi vi phõn ngi ta xõy dng hm giỏ tr cho i tng thụng qua khỏi nim hm giỏ tr trờn, hm giỏ tr di; hm giỏ tr cho i tng s tn ti v nht nu hm giỏ tr trờn v hm giỏ tr di bng Do ú cú th núi s tn ti ca hm giỏ tr cho i tng tham gia trũ chi v c trng ca nú nh l s tn ti v nht nghim viscosity ca phng trỡnh Hamilton-Jacobi-Isaacs Lý thuyt trũ chi vi phõn l mt cỏc lnh vc toỏn hc khỏ thỳ v v cú s ng dng khỏ mnh thc tin c bit l lnh vc kinh t Do ú, nú ó v ang thu hỳt s quan tõm ca mt lng ln cỏc nh toỏn hc, theo ú cỏc bi bỏo cng xut hin ngy mt nhiu in hỡnh nh cỏc bi bỏo ca Cardaliaguet Pierre, Fleming, Soner, Barron, Subbotin, Mc du mi tip xỳc vi nghim viscosity qua chuyờn "Phng trỡnh o hm riờng phi tuyn cp 1" nhng tụi ó b thu hỳt bi cỏc tớnh cht v ng dng ca nú trũ chi vi phõn Vi mong mun tỡm hiu thờm v nghim viscosity ca phng trỡnh Hamilton-Jacobi cựng vi ng dng ca nú trũ chi vi phõn v c s hng dn ca thy giỏo PGS.TS Nguyn Hong tụi chn ti "Nghim viscosity ca phng trỡnh Hamilton-Jacobi v ỏp dng vo trũ chi vi phõn" lm ti nghiờn cu cho lun Ni dung nghiờn cu Ni dung ca lun gm ba chng Chng mt, tụi kho sỏt tng quan tớnh cht nghim viscosity ca phng trỡnh Hamilton-Jacobi, c bit l nghiờn cu v trỡnh by tng minh cụng thc Hopf cho nghim ca phng trỡnh Hamilton-Jacobi trng hp Hamiltonian l hm khụng li Chng hai, tụi trỡnh by tng quan cỏc khỏi nim chin lc, hm giỏ tr trũ chi vi phõn v cỏc ng dng ca nghim viscosity vo lý thuyt trũ chi vi phõn Chng ba, tụi tỡm hiu bi toỏn thc t ng dng lớ thuyt trũ chi vi phõn gii quyt Chng Nghim viscosity ca phng trỡnh Hamilton-Jacobi 1.1 nh ngha, v cỏc tớnh cht v nghim viscosity 1.1.1 nh ngha nghim viscosity nh ngha 1.1.1 Cho O Rm l m khỏc trng, u : O R l mt hm s v x0 O Khi ú D+ u(x0 ) = p Rm | lim sup xx0 u(x) u(x0 ) p.(x x0 ) x x0 c gi l trờn vi phõn ca hm u ti x0 v D u(x0 ) = p Rm | lim inf xx0 u(x) u(x0 ) p.(x x0 ) x x0 c gi l di vi phõn ca hm u ti x0 Nhn xột 1.1.1 Nu u kh vi ti x0 O thỡ D+ u(x0 ) = D u(x0 ) = {Du(x0 )}, õy Du(x0 ) = u u (x0 ), , m (x0 ) x x Cỏc D+ u(x0 ), D u(x0 ) cú th bng trng Nu D+ u(x0 ) D u(x0 ) = thỡ u kh vi ti x0 T nh ngha, ta cú th d thy rng D+ (u)(x) = D u(x), D (u)(x) = D+ u(x) Cho F : O ì R ì Rm R liờn tc Xột phng trỡnh o hm riờng phi tuyn cp F (y, u(y), Du(y)) = trờn O (1.1.1) nh ngha 1.1.2 Hm u C(O) c gi l mt nghim di viscosity ca phng trỡnh (1.1.1) trờn O nu y O, p D+ u(y) : F (y, u(y), p) Hm u C(O) c gi l mt nghim trờn viscosity ca phng trỡnh (1.1.1) trờn O nu y O, p D u(y) : F (y, u(y), p) Hm u C(O) c gi l mt nghim viscosity ca phng trỡnh (1.1.1) trờn O nu u va l nghim trờn viscosity va l nghim di viscosity ca phng trỡnh (1.1.1) Nhn xột 1.1.2 Nu u l mt nghim viscosity ca phng trỡnh F (x, u, Du) = thỡ v = u cng l mt nghim viscosity ca phng trỡnh F (x, v, Dv) = vi x O Tht vy, nu u l mt nghim di viscosity ca phng trỡnh F (x, u, Du) = thỡ vi mi p D+ u(x) ta cú F (x, u, p) Vi mi q D v(x) = D (u)(x) = D+ u(x) v ch q D+ u(x), ta cú F (x, v, q) F (x, v, q) Vy v = u l nghim trờn viscosity ca phng trỡnh F (x, v, Dv(x)) = Tng t, u l nghim trờn ca F (x, u, Du) = thỡ v = u cng l nghim di viscosity ca F (x, v, Dv) = nh lớ 1.1.3 [1] Hm s u C(O) l mt nghim di viscosity ca phng trỡnh (1.1.1) v ch C (O) cho u t cc i a phng ti x0 O thỡ F (x0 , u(x0 ), D(x0 )) Hm s u C(O) l mt nghim trờn viscosity ca phng trỡnh (1.1.1) v ch C (O) cho u t cc tiu a phng ti x0 O thỡ F (x0 , u(x0 ), D(x0 )) Nhn xột 1.1.3 Trong nh lớ trờn, cỏc hm C (O) c dựng cỏc bt ng thc kim tra nghim di viscosity, nghim trờn viscosity c gi l hm th nh lớ 1.1.3 l mt dng nh ngha khỏc ca nghim viscosity nú tng ng vi nh ngha 1.1.1 Trong cỏc chng minh, kim tra mt hm liờn tc u(t, x) cú phi l nghim viscosity hay khụng, ngi ta thng s dng nh lớ 1.1.3 Thụng thng, ngi ta xột bi toỏn Cauchy vi iu kin u nh sau u + H(t, x, u ) = 0, (t, x) (0, T ) ì Rn , t x (1.1.2) u(0, x) = (x), x Rn vi ux (t, x) = u u (t, x), , n (t, x) Tuy nhiờn, cỏc ng dng vo lý x x thuyt trũ chi vi phõn ngi ta thng xột bi toỏn Cauchy vi iu kin cui sau v + H(t, x, v ) = 0, (t, x) (0, T ) ì Rn , t x (1.1.3) v(T, x) = g(x), x Rn Bng cỏch i bin v(t, x) = u(T t, x) ta cú th a bi toỏn Cauchy vi iu kin cui v bi toỏn Cauchy vi iu kin u p dng nh ngha 1.1.2 ta cú cỏc nhn xột sau: u(t, x) l nghim di viscosity ca bi toỏn (1.1.3) nu (p, q) D+ u(t, x) thỡ ta cú p + H(t, x, q) u(t, x) l nghim trờn viscosity ca bi toỏn (1.1.3) nu (p, q) D u(t, x) thỡ ta cú p + H(t, x, q) u(t, x) l nghim viscosity ca bi toỏn (1.1.3) nu ng thi l nghim trờn viscosity v nghim di viscosity Mt cỏch tng t nh lớ 1.1.3 thỡ ta cng cú: Hm s u C((0, T ) ì Rn ) l mt nghim di viscosity ca phng trỡnh (1.1.3) v ch C ((0, T )ì Rn ) cho u t cc i a phng ti (t0 , x0 ) (0, T )ì Rn thỡ t (t0 , x0 )+H(t0 , x0 , x (t0 , x0 )) Hm s u C((0, T ) ì Rn ) l mt nghim trờn viscosity ca phng trỡnh (1.1.3) v ch C ((0, T )ì Rn ) cho u t cc tiu a phng ti (t0 , x0 ) (0, T )ì Rn thỡ t (t0 , x0 )+H(t0 , x0 , x (t0 , x0 )) Ngi c nu quan tõm ny cú th xem Mnh 2.2 [3] Trong chng phn ln ta s dng nhn xột ny chng minh 1.1.2 Cỏc tớnh cht c bn ca nghim viscosity Nghim viscosity l mt loi nghim suy rng ca ca phng trỡnh HamiltonJacobi, nú cng cú cỏc tớnh cht tt nh l tớnh tng thớch, tớnh n nh, c th hin hai nh lớ sau Nhn xột 3.1.2 Theo B 2.2.8 thỡ ta cú (x, t) l nghim viscosity ca phng trỡnh (x, t) + H(x, (x, t)) = 0, vi t [T, 0], x Rn , t x (3.1.10) (x, 0) = g(x), x Rn õy H(x, p) = max p, f (x, a, b) aA bB (3.1.11) B 3.1.2 [5] Vi mi t [T, 0], hm giỏ tr (x, t) xỏc nh bi (3.1.9) mụ t cú th t c G( ) {x Rn | (x, t) < 0} G( ) {x Rn | (x, t) 0} (3.1.12) Chng minh Ta chng minh G( ) {x Rn | (x, t) 0} Gi s rng x G( ) v (x, t) > 0, ta s ch mõu thun Ta cú (x, t) = inf sup C(x, t, a(ã), [a](ã)) > (t) a(ã)A(t) > 0, (t), sup C(x, t, a(ã), [a](ã)) > > 0, (3.1.13) a(ã)A(t) > 0, (t), a A(t), C(x, t, a(ã), [a](ã)) > > Bõy gi xột x G( ) T (3.1.3), tn ti (t) cho vi a(ã) t (3.1.13) v b(ã) = [a](ã) tn ti s [t, 0] cho f (s, x, t, a(ã), b(ã)) G0 T gi thit th 3, g(f (s, x, t, a(ã), b(ã))) Chn du hiu d liu úng bng 1, vi r [t, s]; b(r) = 0, vi r [s, 0] T hp b(ã) vi b(ã) chn la trờn c b(ã), d liu vo s to qu o (r, x, t, a(ã), b(ã)) vi r [t, s]; f (r, x, t, a(ã), b(ã)) f f (s, x, t, a(ã), b(ã)) vi r [s, 0] c bit, f (0, x, t, a(ã), b(ã)) = f (r, x, t, a(ã), b(ã)) v nh vy ta cú C(x, t, a(ã), b(ã))g(f (0, x, t, a(ã), b(ã))) T b(ã) = [a](ã) v b(ã) rừ rng l chin lc khụng oỏn trc, b(ã) l chin lc khụng oỏn trc v nh vy ta cú C(x, t, a(ã), b(ã)) C(x, t, a(ã), [a](ã)) (mõu thun) 57 Vy G( ) {x Rn | (x, t) 0} Tip theo ta s chng minh {x Rn | (x, t) < 0} G( ) Gi s (x, t) < 0, c nh > cho (x, t) < < T (3.1.9) thỡ tn ti (t) cho sup a(ã)A(t) C(x, t, a(ã), b(ã)) = sup a(ã)A(t) g(f (0, x, t, a(ã), b(ã))) < < õy b(ã) = [a](ã) Do ú ta cú, vi mi a(ã) A(t), g(f (0, x, t, a(ã), b(ã))) < < 0, tng ng vi f (0, x, t, a(ã), b(ã)) G0 Chn tựy ý a(ã) A(t) Ly [a](r) = b(r) = [b(r), b(r)] , vi r [t, 0] v chỳ ý rng b(ã) l chin lc khụng oỏn trc, b(ã) cng l chin lc khụng oỏn trc Ta xột nh (3.1.5) Thỡ theo B 3.1.1 ta cú, f ((0), x, t, a( (ã)), b( (ã))) = f (0, x, t, a(ã), b(ã)) G0 Nh vy, vi tựy ý a(ã) A(t) thỡ tn ti chin lc khụng oỏn trc b(ã) B(t) v s = (0) [t, 0] cho f (s, x, t, a(ã), b(ã)) G0 T (3.1.3), ta cú x G( ), ú {x Rn | (x, t) < 0} G( ) nh lớ 3.1.3 [5] Ly v : Rn ì [T, 0] R l nghim viscosity ca phng trỡnh Hamilton-Jacobi-Isaacs vi iu kin cui v + min{0, H(x, D v)} = t x (3.1.14) v(x, 0) = g(x) õy H(x, p) = max p, f (x, a, b) aA bB (3.1.15) thỡ ú nu mc di khụng ca g mụ t i tng G0 thỡ mc di ca v c mụ t cú th t c lựi G( ) = {x Rn | v(x, t) 0} 58 (3.1.16) Chng minh Ta ó bit thỡ hm giỏ tr ca trũ chi vi phõn l nghim viscosity ca phng trỡnh (3.1.10) Nu khụng phỏt trin c vựng giỏ tr hng ti thi im mc khụng thỡ G( ) l úng theo Nhn xột 3.1.1 v t B 3.1.2 ta cú G( ) = {x Rn | (x, t) 0} Mt iu kin nhng khụng phi iu kin cn trỏnh vựng giỏ tr hng ú l Dx luụn tn ti v Dx = Ngoi ta cng cú H(x, p) = max p, f (x, a, b) aA bB = max min p, bf (x, a, b) aA bB b[0,1] = max min b p, f (x, a, b) aA bB b[0,1] = b max p, f (x, a, b) b[0,1] aA bB = 0, max p, f (x, a, b) aA bB = [0, H(x, p)] Suy hai phng trỡnh (3.1.10) v (3.1.14) l nh nhau, v ú l nghim viscosity ca phng trỡnh (3.1.14) Nhn xột 3.1.3 Tp cú th t c ch m rng tng, tc l vi mi , , m T thỡ ta cú G( ) G( ) (Xem nh lớ [5]) 3.1.2 Vn trỏnh va chm Xột cp mỏy bay (a, b) ang hot ng khụng gian bay, mi mỏy bay bit ranh gii thụng qua ngi iu khin nú Tớnh toỏn cỏc v trớ tng i v nh hng cho a, v b t tt c nhng ngi iu khin cú th c ca mỏy bay a (tng ng b), tn ti mt s khụng chc chn iu khin u vo ca mỏy bay b (tng ng a) biu hin l s nh hng n mt tỏch (loss of separation) õy l bi toỏn ui bt, vớ d ta gi s mỏy bay th nht sai lm, v trung tõm kim soỏt khụng lu gi liờn lc vi mỏy bay th hai Hn na, hai ny cn c nghiờn cu, v nú cng hp lớ vi s mt thụng tin Th nht, ly k hoch bay ca mỏy bay a v mỏy bay b, ú l cỏc hỡnh dng tng i ca mỏy bay a v b, t ú s tn ti khụng chn chn d liu vo ca b cú 59 phi l nguyờn nhõn gõy mt tỏch? Th hai, ly hai mỏy bay a v b, cỏc v trớ tng i ca a v b t ú hai mỏy bay cng tỏc cú th to s mt tỏch? Kch bn trỏnh va chm s dng vi mi cp mỏy bay l mt dng ca trũ chi ca hai chuyn ng ng nht Trũ chi ny ó c gii bng phng phỏp gii tớch bi Merz vi vi thụng s c bit v ó hon thnh tõm im ca nghiờn cu Mitchell v mt s nh toỏn hc khỏc ó cung cp phng phỏp toỏn hc gii quyt mt s (v trũ chi vi phõn khỏc) mt vi trng hp tng quỏt, c s l cụng thc ban u ca Tomlin v mt s nh toỏn hc cng tỏc Cụng vic ca chỳng ta khai trin cụng thc ny cho trng hp hai chuyn ng khụng ng nht, cú nhiu kh nng khỏc Hỡnh 3.1: H ta tng i vi gc l mỏy bay trn thoỏt H thng gm hai mỏy bay c mụ hỡnh húa vi h ng lc s dng bỡnh thng, rt n gin Trng thỏi ca mi chic c biu din nh v mt phng xy v mt gúc lch tng i so vi trc x S tin húa ca trng thỏi ny chu s chi phi ca tc v v tc gúc w x v cos d y = v sin dt w (3.1.17) Vn tc di v ca mi mỏy bay l mt s c nh Vn tc gúc w c phộp thay i, v õy c xem l u vo ca mỏy bay Trong thc t, mỏy bay cú th thay i tc ca nú, hu ht cỏc xung t ca nghiờn cu dng ny c gii quyt bng cỏch iu chnh gúc lch ca mi mỏy bay, iu ú giỳp ta gi s tc hng s hp lớ Cỏch gii quyt xung t ny bao gm s thay i 60 tc c chỳ ý thc tin, nhng vi trng hp ny, cỏch gii quyt mõu thun l rt cht ch v liờn kt vi s lp chng trỡnh õy l mt c bn khỏc v s dng k thut toỏn hc khỏc gii Hai mỏy bay cú chuyn ng xỏc nh bi (3.1.17) vi cỏc bin l v , w S dng k thut ca trũ chi vi phõn, chỳng ta nh ngha mỏy bay trn thoỏt l a, v mỏy bay ui bt l b Vn tc gúc ca mi mỏy bay c gii hn bi hiu sut ca mi mỏy bay Ta kớ hiu A = [wa , wa ] l phm vi tc gúc cú th cú ca mỏy bay a, tng t nh vy B = [wb , wb ] l phm vi tc gúc cú th cú ca mỏy bay b Chỳng ta núi rng mt s mt tỏch xy nu mỏy bay th hai di phm vi khong cỏch d ca mt mỏy bay khỏc Nhim v ca chỳng ta l xỏc nh cỏc trng thỏi m ú mỏy bay truy ui cú th lm cho s mt tỏch xy Ta t G0 l cỏc trng thỏi m ú mỏy bay th hai di khong cỏch d ca mt mỏy bay khỏc, ta cng kớ hiu G( ) l m mỏy bay ui bt cú th gõy s mt tỏch mt n v thi gian tip theo mc dự nhng c gng nht ca mỏy bay trn thoỏt Chỳng ta cú th n gin h thng hai mỏy bay n h ba chiu bng cỏch lm vic h ta tng i thun tin tớnh toỏn ta kớ hiu: xr , yr l v trớ tng i hng bay ca mỏy bay trn thoỏt v v trớ tng ng n ca mỏy bay trn thoỏt, r l gúc lch tng i (0 r 2), Vect z = (xr , yr , r ) l vect trng thỏi, wa A, wb B l tc gúc ca mỏy bay trn thoỏt, mỏy bay ui bt, va , vb l tc di ca cỏc mỏy bay trn thoỏt v ui bt, d l khong cỏch chia tỏch an ton nh nht, d=5nautical miles(nm) (nm l n v o di, 1nm=1852m), G0 l xy mt tỏch {(xr , yr , r ) | x2r + yr2 d2 } Chỳng ta c nh mỏy bay trn thoỏt ti gc ta , chiu dng dc theo trc xr (xem Hỡnh 3.1) Khi ú, mụ t a phng ca mỏy bay ui bt bng h thng ng lc l: xr vb cos r va + yr wa z = y r = vb sin r xr wa zr wb wa 61 = f (z, wa , wb ) (3.1.18) Va chm cú th xy ti mi gúc lch tng i, ớch G0 ch ph thuc vo xr v yr v bao gm c nhiu trng thỏi vi khong cỏch ca gc ta phng: (3.1.19) G0 = {z R3 | x2r + yr2 d2 } chỳng ta cú th chuyn thnh hm du hiu khong cỏch x2r + yr2 d (z) = (3.1.20) Tp G0 c xỏc nh bi G0 = {z R3 | (z) 0} Theo nh lớ 3.1.3 thỡ cú th t c G( ) c xỏc nh bi G( ) = {z R3 | (z, ) 0} vi l nghim viscosity ca phng trỡnh Hamilton-Jacobi-Isaacs (z, t) + min{0, H (z, Dz (z, t))} = t (3.1.21) vi t 0, v tha iu kin cui (3.1.22) (z, 0) = (z) ú H l Hamiltonian ca h thng v c xỏc nh bi H (z, p) = max p, f (z, wa , wb ) , wa A wb B p = (p1 , p2 , p3 ) (3.1.23) vi p, f (z, wa , wb ) = p1 va + vb (p1 cos r + p2 sin r ) + wa (p1 yr p2 xr p3 ) + wb p3 t wa + wa wa wa wa = + sgn(p1 yr p2 xr p3 ) wb = wa + wa wa wa sgn(p3 ) 2 Bng cỏc tớnh toỏn n gin ta cú c H (z, p) = p, f (z, wa , wb ) = p1 va +vb (p1 cos r +p2 sin r )+wa (p1 yr p2 xr p3 )+wb p3 Khi ú, wa A c gi l d liu vo ti u v wb B c gi l s nhiu lon ti t cho mỏy bay a Nh vy, phng trỡnh (3.1.21) hon ton c xỏc nh v ph thuc vo bin z v bin p Theo Nhn xột 3.1.2 v nh lớ 3.1.3 thỡ ta cú cỏc trng thỏi m mỏy bay ui bt cú th gõy s mt tỏch thi im tip theo nh sau: G( ) = {z = (xr , yr , r ) R3 | (z, ) 0} = {z = (xr , yr , r ) R3 | inf sup (ã)( ) wa (ã)A( ) f (0, z, , wa (ã), [wa ](ã)) 0} (3.1.24) 62 õy A( ) = { : [, 0] A = [wa , wa ]}, B( ) = { : [, 0] B = [wb , wb ]} v ( ) = { : A B ì [0, 1] l chin lc khụng oỏn trc } Nu (xr , yr , r ) G( ) thỡ mỏy bay ui bt cú th gõy s mt tỏch mt n v thi gian tip theo Cũn nu (xr , yr , r ) / G( ) thỡ mỏy bay ui bt khụng th gõy c iu gỡ v ú mỏy bay trn thoỏt cú th trỏnh c s mt tỏch Trong trng hp, A = B thỡ iu ny cú ý ngha thc t hn i n s thc hnh ca chỳng ta, m chỳng ta s chng minh cỏc chuyn i ca c cho cỏc chuyn ng khụng ng nht Cú th gii thớch iu ny rng mỏy bay a cú th trn thoỏt theo vũng trũn, mỏy bay b nhanh hn iu ny ó c ch bi bỏo ca Saint-Pierre cho bt gi tng t Chỳ ý rng dng ca thnh phn hai chiu ca G( ) thay i nh thay i gúc lch 3.2 3.2.1 Mc cnh bỏo d liu ci tin h thng qun lớ giao thụng (ETMS) Chớnh xỏc húa thụng s t d liu ETMS Ta gii thiu v d liu ci tin h thng qun lớ giao thụng (ETMS) D liu ETMS bao gm tt c cỏc thụng tin v k hoch bay h thng khụng phn quc gia (NAS): thi gian, s chyn bay, loi mỏy bay, phm vi, v , kinh , tc , phm vi, gúc lch, k hoch bay D liu ny c hp t ton b cỏc mỏy bay cú mt NAS vi k hoch bay ca chỳng ó c sp t D liu ETMS c gi t Trung tõm h thng giao thụng quc gia Volpe tham gia ng kớ thụng tin in t thụng qua mỏy ch ca Aircraft Situation Display to Industry (ASDI) Cc hng khụng Liờn bang (FAA) s dng d liu theo dừi tớnh hu hiu ca Chng trỡnh l trỡnh quc gia (National Route Program), ú cng ng ngi dựng linh hot ngh, la chn tuyn bay cú chi phớ hiu qu nh l mt s thay th cỏc tuyn bay ó cụng b Chỳng ta tin hnh tớnh toỏn cú th t c G( ) t G0 vi cỏc chn la va , vb , cỏc phm vi A, B ca cỏc tc gúc wa , wb Xột cp mỏy bay nh mụ t d liu ETMS, v tựy ý ch nh mỏy bay trn thoỏt (mỏy bay a) v mỏy bay ui bt (mỏy bay b) T d liu ETMS, chỳng ta cú tc va ca mỏy bay trn thoỏt, chỳng ta cng xỏc nh c phm vi A ca tc gúc wa u tiờn xp x ca ng lc ca mỏy bay a xõy dng theo phng trỡnh vi lc 63 nõng L, trng lng W = mg , gúc nghiờng , lng m, bỏn kớnh quay Ra : L cos = W v L sin = mva2 , Ra (3.2.25) chỳng ta cú th tớnh Ra theo cụng thc Ra = va2 g tan (3.2.26) va2 , g tan max v õy max = 45 Bỏn kớnh quay cú mi liờn h vi tc gúc bi wa = a v Ra va va va wa = , nh vy ta cú A = , , tng t nh vy ta cng tỡm c Ra Ra Ra B S dng mi quan h ny, cỏc thụng s ca chuyn ng tng i (3.1.18) T õy ta cú th rỳt chn di ca Ra l s xỏc nh bi Ra = ca hai mỏy bay hon ton c nh ngha gii c bi toỏn (3.1.21) ta cn mụ t hm : G0 c la chn l hỡnh tr cú bỏn kớnh d = 5nm phự hp vi quy nh ca FAA 3.2.2 Chn la thi gian, tớnh toỏn thi gian Chỳng ta cn xỏc nh thi gian cho vic tớnh toỏn G( ) La chn ny xỏc nh bi mc thi gian ca bi toỏn vt lớ: mt chuyn ng trỏnh xung t din khong vi phỳt, kh nng oỏn trc ca nhõn viờn iu khin khụng lu l khong vi phỳt Do ú chỳng ta chn thi gian = phỳt Khong cỏch bay vi tc 500kts (kts l n v o tc tng ng 1hi lý/gi hay 1852m/h) phỳt l 25nm, khong cỏch ny to mt s e da va chm vi mỏy bay khong 50nm vi mỏy bay khỏc Ngay c 50nm cú v l quỏ nhiu thỡ la chn thi gian ớt nht l phỳt cn thit Trong thc t, tớnh hi t s hc c quan sỏt cho thi gian phỳt S xỏc nhn tớnh thớch hp ca la chn: tớnh hi t s hc cho phỳt gi ý khong thi gian trỏnh c xung t chuyn ng (t c mỏy bay a chn wa lm d liu vo sut chuyn ng) l ca a Vic tớnh toỏn G( ) khụng th thc hin trc tuyn Ta cn xp x phỳt tớnh toỏn G(3 phỳt )(trờn mỏy tớnh xỏch tay chun) trng hp A = B , hai mỏy bay ang tc 500kts Tuy nhiờn, ta cú th m th vin ca G(3 phỳt) vi A, B khỏc Phng phỏp ny l phng phỏp phỏt hin xung t ngang v t ú ỏp dng n mỏy bay khong 2000ft (1ft=0,3048m) ca mỏy bay khỏc, chỳng ta cú th s dng phm vi ca va , vb l tng i nh Phm vi tc gúc l nh 64 3.2.3 La chn chin lc Cụng thc trũ chi vi phõn (3.1.21), (3.1.22) cho phộp nghiờn cu nhiu kch bn, iu ny dnh cho iu khin khụng lu cú liờn quan Cú ba ỏp dng cú th thc hin c ca phng phỏp lun ny Mt liờn lc vi ngi phm sai lm Tỡnh hỡnh ny l mt dng ca trũ chi vi phõn Nú c mụ hỡnh húa bng thit lp trũ chi vi phõn ó c phỏt trin t trc ú Cỏc sai lm cú th xy iu khin khụng lu bi vỡ li chuyn ng hoc li ngi Mụ hỡnh kch bn ca tỡnh ny m ú cú mỏy bay phm sai lm ng ngn v kim soỏt viờn cũn d liờn lc vi cỏc mỏy bay khỏc Thit lp ny bao gm trng hp phm sai lm ti t, gúc lch vi mỏy bay khỏc Mt liờn lc vi c hai mỏy bay s hin din ca mt ngi phm sai lm v mt mỏy bay mự (blind aircraft) iu khin khụng lu b mt thụng tin vi c hai mỏy bay Trong trng hp tng quỏt, mt thụng tin, mỏy bay ũi hi phi i theo ng i gc ca h cho n thụng tin c lp li Mụ hỡnh kch bn ca tỡnh ny m ú mt chic mỏy bay ang bay ng ban u ca nú thỡ mt mỏy bay khỏc phm sai lm Trng hp xu nht vi kch bn ny l mỏy bay ui bt c gng gõy s mt tỏch trc tip mỏy bay trn thoỏt trng thỏi b mự (tc l mt liờn lc) tc l i theo ng ban u iu ny c mụ hỡnh húa bng thit lp A = {0} Chin lc hp tỏc va chm Bi vỡ hiu lm truyn thụng tin vi nhõn viờn iu khin khụng lu hoc li quy trỡnh theo dừi, c hai mỏy bay cú th hp tỏc (khụng mong mun) dn n s mt tỏch Trng hp xu nht ca kch bn cho s hp tỏc va chm l c hai mỏy bay cú cựng gúc lch vi mt mỏy khỏc t v trớ ban u ca chỳng iu ú cú th mụ hỡnh húa bng cỏch chnh sa Hamiltonian xỏc nh t (3.1.23) thnh H (z, p) = min H(z, p, wa , wb ) wa A wb B Trong cụng thc trc, hai mỏy bay úng gúp gõy mt tỏch, nh cú th nhỡn thy min-min thay vỡ max-min C ng trỏnh xy xung t thng gim trng hp (trng hp khụng cú sai lm l cha ng trng hp sai lm ti t) Hn na, mt trng 65 ă hp nh l tai nn gia khụng trung trờn Uberligen (c) gia Boeing 757-200 (DHX 611) ca hóng chuyn DHL v chic Tupolev 154 ca hóng Hng khụng Bashkirian (BTC 2937) vo ngy 1/7/2002 lm 71 ngi cht, nguyờn nhõn c xỏc nh l hnh ng ng thi ca hai phi cụng (xem [11]) Chic DHX 611 nhn lnh t h thng cnh bỏo va chm mỏy bay (TCAS) chic BTC 2937 nhn lnh (sai) ca i kim soỏt khụng lu, hp tỏc va chm (khụng mong mun) thay vỡ trỏnh xung t Nú cng cú th thuc vo loi hoc ph thuc vo thụng tin ghi li ca v tai nn c gii thớch Ba kch bn ny c quan tõm mt cỏch bỡnh ng bi i kim soỏt khụng lu, s liờn quan n cỏc cú th t c khỏc iu ú l trc quan thy c bao hm thc sau Gkch bn Gkch bn Gkch bn Trong phn cũn li ca nghiờn cu ny, chỳng ta s trung cho kch bn 1: ú l gi s rng Trung tõm kim soỏt khụng lu cú th truyn thụng tin tt vi cỏc mỏy bay Chỳng ta s s dng kch bn ny to khong cỏch cho s phỏt hin xung t 3.2.4 Phng phỏp phỏt hin xung t Chỳng ta ỏp dng phng phỏp trc cho cao bay iu khin khụng lu, s dng d liu ETMS ó ghi li trc ú Mc tiờu ca chỳng ta l phỏt trin k thut cỏi m cú th phc v nh l mt cụng c t cho iu khin khụng lu, phng phỏp ny c thit k lm vic thi gian thc vi cỏc thụng tin c cung cp ti mt mc nht nh Vi trng hp ny, mc cp nht d liu ETMS l phỳt, nhng s dng tớnh toỏn trc, phng phỏp lm vic ca chỳng ta lm tt vi mc cao hn, vớ d nh 15 giõy, ú l th t giỏm sỏt hin thi hin th mt mc h thng iu khin giao thụng ng khụng Phng phỏp ca chỳng ta l: 66 3 Ti thi im t, chn tt c cỏc mỏy bay cú liờn h tỏch dc khong 2000ft Vi mi cp mỏy bay, ly va , vb , tớnh A, B theo cụng thc (3.2.25), (3.2.26) Tớnh toỏn G( ) vi yờu cu thi gian Gn li kớ hiu mỏy bay a, mỏy bay b Tớnh toỏn G( ) Tớnh toỏn xr , yr , r t d liu ETMS ti t Vi G( ) ca hoc kim tra nu (xr , yr , r ) G( ) Nu (xr , yr , r ) G( ) vi hoc , s mt tỏch tim tng l cú th c phỏt hin vi mt n v thi gian no ú Quay tr li bc vi tt c cỏc cp mỏy bay ó hon thnh kim tra i d liu cp nht tip theo v quay li bc Bõy gi chỳng ta mụ t cỏc bc ca phng phỏp trờn Chn tt c cỏc mỏy bay cú th ang hot ng th cụng hoc t ng Mt la chn th cụng cho phộp trung tõm iu khin khụng lu trc tip chn la cp mỏy bay v kim tra mi e da mt tỏch iu ú l d dng vi th tc t ng, kim tra ht mi khớa cnh ca tt c cỏc cp mỏy bay v hin th ch nhng mi e da V mt k thut thỡ tt c cỏc cp mỏy bay nờn c la chn lp i lp li Nú s d dng gii thiu c s cỏch tỡm ny l tỏch v nhúm, loi b tng thnh phn ca chỳng iu ny cho phộp ta gim bt thi gian tớnh toỏn theo phng phỏp T d liu ETMS ta cú th c c tc di, v tớnh toỏn cỏc A, B theo cỏc cụng thc (3.2.25), (3.2.26) Tớnh toỏn G( ) c thc hin thụng qua vic gii phng trỡnh HamiltonJacobi-Isaacs, nh ó mụ t phn trc Cú th thc hin vi tựy ý vic chn a v b, v tớnh toỏn vi mỏy bay a cú th l phm sai lm hoc mỏy bay b Ti bc , thỡ a hoc b o ngc v trớ, cho mt phm sai lm ca mỏy bay a cng c tớnh toỏn V trớ tng i ca hai mỏy bay cú th tớnh toỏn thc hin theo kinh v v ca mi mỏy bay Chỳng ta c tỡnh b qua cong ca trỏi t vi xung t, t ln ca cú th t c vi mt tớnh toỏn him vt quỏ 50nm Gúc lch r cú th c thc hin tớnh toỏn t d liu ETMS Trong thc tin, vic kim tra (xr , yr , r ) G( ) cú th c t ng s dng phng phỏp mc ú l mt ỏnh giỏ tc thi v bao gm ỏnh giỏ t vic s dng mt chng trỡnh ni suy 67 Nu (xr , yr , r ) G( ), cú mt s mt tỏch tim tng vi mt n v thi gian no ú Phng phỏp ca chỳng ta s cho phộp kim tra nu (xr , yr , r ) G( ) \ G( ), õy Trong trng hp ny, nu ln i lờn hoc i xung thp nht, mt s mt tỏch cú th trỏnh c bng vic thay i cao Mt cp mỏy bay phi c kim tra mi s e da tim tng Cp nht tc ca d liu ETMS l khong phỳt Sau õy, ta phõn tớch v uy hip an ton bay gn õy Vit Nam Lỳc 15h 17 (gi a phng) ngy 7/8/2014, mỏy bay HVN1203 ca VNA trờn hnh trỡnh t H Ni-Cn Th c cp hun lnh h thp mc bay LH320 (3200ft) v mỏy bay VJ320 ca VJA hnh trỡnh Cn Th- Nng ang bay mc bay FL310 (3100ft) Tuy nhiờn, s sai sút ca c trng, c phú HVN1203 dn n mỏy bay HVN1203 ct ngang ng bay ca VJ320, lm cho h thng cnh bỏo va chm (TCAS) kớch hot, lỳc ny hai mỏy bay cỏch khong 12km (xem [12]) Theo khuyn cỏo ca FAA, thỡ hai mỏy bay nu di khong cỏch 5nm 9.26km thỡ xy mt tỏch, kh nng xy va chm rt cao, nờn c xp vo nhúm nguy c nghiờm trng Trong trng hp ca hai mỏy bay ó núi trờn thỡ mỏy bay HVN1203 ang vựng cú th t c ca mỏy bay VJ320, tc l v trớ ca HVN1203 thuc vo G(3phỳt) ca VJ320, vựng c xem l cú nguy c gõy mt tỏch Thi gian x lớ tỡnh ny trỏnh s mt tỏch ch cú th din vũng cha y phỳt V vic x lớ nhng tỡnh th ny thng nm d liu ETMS m cỏc h thng cnh bỏo va chm trờn cỏc mỏy bay c cp nht v ngoi cũn cú s iu khin trc tip t cỏc kim soỏt viờn khụng lu vic x lớ hiu qu Hin nay, an ton bay ang l cú tớnh thi s sau cú hng lot cỏc tai nn mỏy bay, uy hip an ton bay xy Vit Nam cng nh trờn th gii thi gian qua Hi vng rng, nhng nột tng quan v iu khin bay trỏnh va chm trờn, bn c cú th hiu thờm v h thng cnh bỏo va chm v nhng h thng d liu i kốm vi nú, v cú th nghiờn cu úng gúp vic iu khin bay trỏnh va chm c hiu qu hn 68 PHN KT LUN Qua lun ny, tụi ó trỡnh by nhng kt qu sau: Trong chng 1, tụi ó c hiu, trỡnh by li cỏc kt qu t c v nghim viscosity ca phng trỡnh Hamilton-Jacobi C th, phn th nht tụi ó trỡnh by nh ngha, cỏc tớnh cht v nghim viscosity v a mt s nhn xột; trỡnh by s tn ti v nht nghim ca bi toỏn Cauchy vi iu kin u ca phng trỡnh Hamilton-Jacobi [4] Trong phn th hai, tụi trỡnh by cỏc kt qu v cụng thc kiu Hopf cho nghim viscosity ca phng trỡnh Hamilton-Jacobi vi Hamiltonian khụng li [8], [9] Trong trng hp tng quỏt, cụng thc kiu Hopf cho nghim viscosity vi Hamiltonian khụng li núi chung cha thit lp y , nhiờn vi mt s lp hm Hamiltonian c bit thỡ ta cú th tỡm c cụng thc kiu Hopf cho nghim viscosity v õy cũn l m Trong lun ny, mt kt qu mi v cụng thc kiu Hopf cho vic biu din nghim viscosity i vi lp hm Hamiltonian mi c thit lp Trong chng 2, tụi tỡm hiu lý thuyt trũ chi vi phõn [10] v trỡnh by li cỏc nh ngha v chin lc, hm giỏ tr, chi tr cõn bng Nash, dựng cỏc kin thc v nghim viscosity chng chng minh s tn ti v nht ca hm giỏ tr, tớnh c trng, s tn ti ca chi tr cõn bng Nash Trong chng 3, da vo cỏc bi bỏo [5], [6], [7] ca Ian Mitchell v cng s, tụi trỡnh by mt ng dng ca trũ chi vi phõn iu khin bay trỏnh va chm Phn u tiờn tụi trỡnh by v cú th t c, phn th hai trỡnh by mc cnh bỏo h thng ci tin d liu ETMS dựng cnh bỏo va chm, cỏc la chn v chin lc, thi gian v phng phỏp phỏt hin xung t va chm Cỏc ng dng ca trũ chi vi phõn vo ng lc hoc, iu khin bay ang l thi s, v cũn nhiu ũi hi cn nghiờn cu Nu cú c hi, tụi s tip tc nghiờn cu nhng m núi trờn Mc du, ó c gng nhng thi gian v trỡnh cũn hn ch, nờn khụng th trỏnh mt s thiu sút Tụi rt mong nhn c nhng gúp ý chõn thnh t cỏc thy cụ v cỏc bn lun c hon thin hn 69 Ti liu tham kho [1] Nguyn Hong, Bi ging Phng trỡnh o hm riờng phi tuyn cp 1, Khoa Toỏn, i hc S Phm Hu, 2013 [2] Hunh Th Phựng, C s gii tớch li, Nh xut bn giỏo dc Vit Nam, 2012 [3] E.N Barron, P Cannarsa, R.Jensen, C Sinestrari, Regularity of HamiltonJacobi Equations when Forward is Backward, Research by E.N.Barron and R.Jensen was supported in part by grant DMS-9532030 from the National Science Foundation, and a grant from Loyola University-Chicago, page 385409, February 6, 1999 [4] Hitoshi Ishii, Uniqueness of Unbounded Viscosity Solution of HamiltonJacobi Equations, Indiana University Mathematics Journal, Vol.33, No.5, page 721-748, 1984 [5] I.M.Mitchell, Application of level set methods to control and reachability problems in continuous and hybrid systems, Ph.D dissertation, Scientific Computing and Computational Mathematics Program, Stanford University, August 2002 [6] Ian M Mitchell, A.M Bayen, C.J Tomlin, S Santhanam, A differential game formulation of alert levels in ETMS data for high altitude traffic, AIAA 2003-5341, Guidance, Navigation, and Control Conference and Exhibit 11-14 August 2003, Austin, Texas [7] Ian M Mitchell, A.M Bayen, C.J Tomlin, A time-dependent HamiltonJacobi formulation of reachable sets for continuous dynamic games , Automatic Control IEEE Transactions on, vol 50, page 947 - 957, July 2005 [8] Nguyen Hoang, Hopf-type formula defines viscosity solytion for HamiltonJacobi equation with t-dependence Hamiltonian, Nonlinear Analysis 75 (2012),page 3543-3551 70 [9] Nguyen Hoang, Nguyen Mau Nam, Layered viscosity solutions of nonautonomous Hamilton-Jacobi equations: Semiconvexity and relations to characteristics, Journal of Mathematical Analysis and Applications 410 (2014), page 687-698 [10] Pierre Cardaliaguet, Introduction to differential game, Universitộ de Brest, September 21 2010 [11] H.F (theo BBC, Reuters) Vit Bỏo, http://vietbao.vn/The-gioi/Hai-maybay-dam-nhau-tren-do-cao-11.000-met/10777148/159/, 02/7/2002 [12] Hong Lc, http://giaoduc.net.vn/kinh-te/vietnam-airlines-giai-trinh-su-comay-bay-suyt-dam-nhau-tren-khong-post148756.gd, 16/08/2014 71 [...]... nếu |x| ≥ 2|t2 − t|, t ∈ [1, 2] 25 Chương 2 Lý thuyết trò chơi vi phân Chương này trình bày những kiến thức về trò chơi vi phân "đuổi bắt-trốn thoát" Trò chơi vi phân "đuổi bắt-trốn thoát" được xác định bởi một hệ động lực và một tập đích: hệ động lực ở đây chính là phương trình vi phân được điều khiển bởi hai đối tượng tham gia (ta sẽ gọi là người chơi) dX = f (X(t), u(t), v(t)) dt ở đây u = u(t) thuộc... của người chơi thứ nhất; v = v(t) thuộc vào tập điều khiển V và là sự lựa chọn của người chơi thứ hai Các tập điều khiển U, V là các tập con của các không gian metric nào đó Trạng thái X(t) nằm trong RN và chúng ta luôn giả sử rằng f : RN × U × V → RN là hàm trơn và bị chặn để cho nghiệm của phương trình vi phân trên được xác định trên [0, +∞) Tập đích C là một tập con của RN Trong trò chơi "đuổi... U(t0 ) = U(t0 , +∞) (hoặc nếu trò chơi có thể cố định ngang bởi T thì ta đặt U(t0 ) = U(t0 , T )) Mỗi phần tử của U(t0 ) được gọi là một vòng điều khiển mở của người chơi thứ nhất Tương tự như trên ta cũng kí hiệu tập V(t0 , t1 ) là tập các ánh xạ bị chặn và đo được Lebesgue v : [t0 , t1 ] → V Từ đây ta giả thiết rằng người chơi thứ nhất là người chơi điều khiển u, người chơi thứ hai điều khiển v Nếu... 2.2 2.2.1 Hàm giá trị, sự tồn tại và đặc trưng của nó Hàm giá trị Ta kí hiệu T > 0 là chặn trên của biến thời gian trong trò chơi; tức là trò chơi chấm dứt tại thời điểm T > 0 cố định nào đó Động lực: Cố định vị trí ban đầu (t0 , x0 ) ∈ [0, T ] × RN chúng ta xét phương trình vi phân dX = f (t, X(t), u(t), v(t)) t ∈ [t0 , T ], dt (2.2.3) X(t ) = x , 0 0 29 và chúng ta giả sử rằng (i) U và V... (1.1.25) Nếu W là nghiệm dưới viscosity của phương trình (1.1.23) trên [0, T ] × Rn (tương ứng: là nghiệm trên viscosity của phương trình (1.1.23) trên [0, T ] × Rn ) thì với mỗi (t0 , x0 ) ∈ [0, T ) × Rm , W vẫn là nghiệm dưới viscosity (tương ứng: nghiệm trên viscosity) trên nón Ct0 ,x0 = {(t, x) ∈ [t0 , T ] × Rn , x − x0 ≤ C(t − t0 )}, (1.1.26) tức là: nếu với mỗi hàm thử khả vi liên tục φ sao cho W −... nghiên cứu trò chơi khi mà người chơi thứ nhất cố gắng giữ trạng thái của hệ thống miễn là có thể ở bên ngoài tập đích C , trong khi người chơi thứ hai muốn đạt được tập đích C ngay khi có thể Xét bài toán dX = f (X(t), u(t, X(t)), v(t, X(t))), dt (2.0.1) X(0) = x , x ∈ RN 0 0 2.1 Chiến lược Định nghĩa 2.1.1 (Chiến lược phản hồi (Feedback strategies)) Một chiến lược phản hồi của người chơi thứ... p với mọi (t, x) ∈ [0, T ] × Rn , thì nghiệm viscosity ta có thể tìm được bằng công thức Hopf-Lax với một số giả thiết Trong trường hợp tính lồi của hàm Hamiltonian thay đổi (ví dụ: lồi trên O1 và lõm trên O2 ) thì ta có thể áp dụng nghiệm phân tầng để tính toán nghiệm viscosity của bài toán Định lí 1.2.7 là đã dùng cách phân tầng nghiệm để chỉ ra nghiệm viscosity tường minh của bài toán với Hamiltonian... u, người chơi thứ hai điều khiển v Nếu u1 , u2 ∈ U(t0 ) và t1 ≥ t0 , ta vi t u1 ≡ u2 nếu u1 , u2 trùng nhau mọi nơi trên [t0 , t1 ] Một chiến lược của người chơi thứ nhất là ánh xạ α : V(t0 ) → U(t0 ) Nghĩa là người chơi thứ nhất đáp ứng mỗi điều khiển của người chơi thứ hai bằng điều khiển u = α(v) ∈ U(t0 ) Hơn nữa, không người chơi nào đoán trước được chiến lược tương lai của người kia nên chúng ta... U(t0 ) của người chơi thứ nhất, B(t0 ) là tập các chiến lược không đoán trước β : U(t0 ) → V(t0 ) của người chơi thứ hai Để đưa trò chơi về dạng chuẩn ta có thể nói rằng, với mọi cặp chiến lược không đoán trước (α, β) ∈ A(t0 ) × B(t0 ) có duy nhất một cặp (u, v) ∈ U(t0 ) × V(t0 ) sao cho α(v) = u và β(u) = v Cặp (u, v) sẽ là câu trả lời tự nhiên cho cặp chiến lược (α, β) của người chơi Đáng tiếc là...Định lí 1.1.4 [1] (Tính tương thích của nghiệm viscosity) 1 Nếu u ∈ C 1 (O) là nghiệm cổ điển của phương trình (1.1.1) thì u cũng là nghiệm viscosity 2 Nếu u là nghiệm viscosity của phương trình (1.1.1) và u khả vi tại x0 ∈ O thì F (x0 , u(x0 ), Du(x0 )) = 0 Định lí 1.1.5 [1] (Tính ổn định của nghiệm viscosity) Cho O là tập mở trong Rm và Fn : O × R × Rm → R là dãy các hàm ... thức vi phân thông qua hàm thử đủ trơn, thông qua khái niệm vi phân, vi phân Sự xuất khái niệm nghiệm viscosity thúc đẩy nhiều lĩnh vực khác toán học phát triển, có lý thuyết trò chơi vi phân Trong... trị trò chơi vi phân ứng dụng nghiệm viscosity vào lý thuyết trò chơi vi phân • Chương ba, tìm hiểu toán thực tế ứng dụng lí thuyết trò chơi vi phân để giải vấn đề Chương Nghiệm viscosity phương... nghiệm viscosity phương trình (1.1.1) O u vừa nghiệm viscosity vừa nghiệm viscosity phương trình (1.1.1) Nhận xét 1.1.2 Nếu u nghiệm viscosity phương trình F (x, u, Du) = v = −u nghiệm viscosity