Luận văn Trò chơi bốc các vật

Hai cạnh cung a, b được gọi là kề nhau nếu chúng khác nhau và chúng có đỉnh chung nếu a, b ỉà cung, thì không phụ thuộc vào đỉnh chung đó là đỉnh đầu hay đỉnh cuối của cung a, đỉnh đầu h

Trang 1

M ục lục

1.1 Các khái niệm cơ bản về đồ t h ị 6

1.1.1 Định nghĩa đồ t h ị 6

1.1.2 Biểu diễn đồ thị bằng hình h ọ c 7

1.2 Nhân của đồ t h ị 9

1.2.1 Tầp ổn định trong và tập ổn định n g o à i 9

1.2.2 Nhân của đồ thị 10

1.2.3 Điều kiện có nhân của đồ th ị 11

1.3 Tổng D ig it 13

1.3.1 Định nghĩa 13

1.3.2 Tính chất của tổng D i g i t 14

2 TRÒ CHƠI ĐƠN 15 2.1 Định nghĩa trò chơi đ ơ n 15

2.2 Cách giải quyết trò chơi đ ơ n 15

2.2.1 Giải quyết trò chơi đơn bằng cách dùng nhân của đồ t h ị 15

2.2.2 Giải quyết trò chơi đơn sử dụng đồng dư 18

2.3 Ví dụ minh h ọ a 19

2.4 Bài tập tương tự .30

3 TRÒ CHƠI H Ợ P 31 3.1 Định nghĩa trò chơi h ợ p 31

3.2 Cách giải quyết trò ch ơ i 31

Trang 2

3.2.1 Xây dựng hàm Grundy của trò c h ơ i 31

3.2.2 Thuật toán cho người đi đầu thắng c u ộ c 32

3.3 Ví dụ minh h ọ a 34

3.4 Bài tập tương t ự 47

Trang 3

Lời mở đầu

Từ thời cổ đại hay trong các bài toán thi olympic có những bài toán có nội dung trò chơi, chẳng hạn bài toán bốc một hay nhiều đống vật, một hay nhiều đống bi Hai đấu thủ lần lượt thay nhau bốc các vật với quy ước.

1 Người đi đầu được xác định ngẫu nhiên bằng gieo đồng tiền hoặc gắp thăm.

2 Mỗi người đến lượt phải bốc ít nhất một vật và không được bốc quá

số lượng quy định.

3 Trong trường hợp có nhiều đống vật, thì người đến lượt chỉ được bốc

ở một trong những đống còn vật.

4 Người nào bốc được vật cuối cùng sẽ thắng cuộc.

Tùy thuộc vào số lượng đống vật mà trò chơi được chia thành hai dạng:

1 Trường hợp có một đống vật trò chơi được gọi là trò chơi đơn và có hai cách giải quyết tương ứng là dùng đồng dư và dùng nhân của đồ thị.

2 Trường hợp có từ hai đống vật trở lên trò chơi được gọi là trò chơi hợp và giải quyết bằng cách dùng hàm Grundy.

o Chương 1: Trình bày một số kiến thức cơ bản cần thiết cho các chương

sau Đó là đồ thị, nhân của đồ thị và tổng Digit.

o Chương 2: Trình bày về trò chơi đơn và hai cách giải quyết tương ứng

là dùng đồng dư và dùng nhân của đồ thị.

Trang 4

o Chương 3: Trình bày về trò chơi hợp và giải quyết bằng cách dùng

hàm Grundy.

Mặc dù đã cố gắng hết sức nhưng do thời gian thực hiện luận văn không nhiều nên trong luận văn không tránh khỏi những hạn chế và sai sót Em rất mong nhận được những góp ý và sự chỉ bảo của các thầy cô

Em xin chân thành cảm ơn!

Trang 5

Chương 1

MỘT SỐ KIẾN THỨC c ơ BẢN

1.1 C á c khái niệm cơ bản về đồ th ị

1.1.1 Định nghĩa đồ thị

Định nghĩa 1.1 Tập hợp 1 / 0 các đối tượng và bộ E các cặp sắp thứ

tự và không sắp thứ tự các phần tử của X được gọi là một đồ thị đồng thời được ký hiệu bằng G (x , E ) hoặc bằng G — (X , E ) hoặc bằng G (X ).

Định nghĩa 1.2 Các phần tử của X được gọi là các đỉnh Cặp đỉnh không sắp thứ tự được gọi là cạnh, cặp đỉnh sắp thứ tự được gọi là cạnh có hướng hay cung.

Định nghĩa 1.3 Đồ thị chỉ chứa các cạnh được gọi là đồ thị vô hướng, còn đồ thị chỉ chứa các cung được gọi là đồ thị có hướng Nếu đồ thị chứa

cả cạnh lẫn cung gọi là đồ thị hỗn tạp.

Một cặp đỉnh có thể được nối với nhau bằng hai hay nhiều hơn hai cạnh ( hai hoặc nhiều hơn hai cung cùng một hướng) Các cạnh ( cung) này được gọi là các cạnh (cung ) bội.

Một cung( hay một cạnh) có thể bắt đầu và kết thúc tại cùng một đỉnh Cung hay cạnh loại này được gọi là khuyên hay nút.

Định nghĩa 1.4 Cặp đỉnh X, y được nối với nhau bằng cạnh (cung) a, thì

x ,y được gọi là các đỉnh hay hai đầu của cạnh (cung) a và a được gọi là cạnh (cung) thuộc đỉnh X và đỉnh y.

Nếu cung b xuất phát từ đỉnh u và đi vào đỉnh V, thiu được gọi là đỉnh đầu, còn V được gọi là đỉnh cuối của cung b.

Trang 6

Định nghĩa 1.5 Cặp đỉnh x ,y được gọi ỉà hai đỉnh kề nhau, nếu X Ỷ y

và ỉà hai đầu của cùng một cạnh hay một cung.

Định nghĩa 1.6 Đối với mọi đỉnh X của đồ thị G (X ,E ) Ta dùng kí hiệu:

D {x) để chỉ tập đỉnh, mà mỗi đỉnh này được nối với X bằng ít nhất một cạnh.

D + (x) để chỉ tập đỉnh, mà mỗi đỉnh này từ X có cung đi tới.

D ~{x) để chỉ tập đỉnh, mà mỗi đỉnh này có cung đi tới X.

Định nghĩa 1.7 Hai cạnh (cung) a, b được gọi là kề nhau nếu chúng khác nhau và chúng có đỉnh chung( nếu a, b ỉà cung, thì không phụ thuộc vào đỉnh chung đó là đỉnh đầu hay đỉnh cuối của cung a, đỉnh đầu hay đỉnh cuối của cung b).

1 1 2 B iểu diễn đồ thị bằng hình học

Giả sử có đồ thị G (X , E ).

Biểu diễn đỉnh : Lấy các điểm trên mặt phẳng hay trong không gian

tương ứng với các phần tử thuộc tập X và dùng ngay ký hiệu các phần tử

này để ghi trên các điểm tương ứng.

Biểu diễn cạnh: Nếu cạnh a với hai đỉnh đầu là X, y, thì nó được biểu

diễn bằng một đoạn thẳng hay đoạn cong nối giữa hai điểm X, y và không

đi qua các điểm tương ứng trung gian khác.

Biểu diễn cung: Nếu cung a có đỉnh đầu là X, đỉnh cuối là y, thì nó

được biểu diễn bằng một đoạn thẳng hay đoạn cong định hướng đi từ X

sang y và không đi qua các điểm tương ứng trung gian khác.

Hình nhận được gọi là dạng biểu diễn hình học của đồ thị G (X ,E )

Đôi khi người ta cũng gọi dạng biểu diễn hình học là một đồ thị.

Ví dụ 1.1 Cho đồ thị hỗn hợp G (X ,E ).

Đồ thị G(x, E ) với tập đỉnh

X — X3, X4, X ạ , X5, iCß}

Tập cạnh và cung:

Trang 7

E = ị x i x 2; X 2X 3 ] X 4X G; x 5Xß] X i , x 6 ; x 3 , x 5 ; x 4 , x 5 }

= {ữi, a2, a3, a4, bi, b2, 63}

a i,a 2,a 3, a4 là các cạnh, òi, Ò2, b3 các cung.

Ví dụ 1.2 Cho đồ thị sau: Tập cạnh và cung

Hình 1.2: Đồ thị

E = { x i , x 2\ x 2 , x 3 ] x 3 , X i }

= {a>l, 0>2, ^3}

a\,a2,a 3 là các cung.

Trang 9

Kỉ hiệu H {G ) là họ các tập ổn định trong của đồ thị G.

Nhận xét : Nếu A là tập ổn định trong thì mọi tập con của A đều là

tập ổn định trong.

Định nghĩa 1.9 Tập A c Xđược gọi là tập ổn định trong cực đại nếu

A là tập ổn định trong và nếu thêm vào một đỉnh X bất kì ta đều có tập

A u {a;} đều không là tập ổn định trong.

Định nghĩa 1.10 Tập B c Xđược gọi là tập ổn định ngoài nếu với mọi đỉnh X ị B đều có đỉnh y e B để hoặc có cạnh nối X và y, hoặc có cung

từ X vào y.

B được gọi là tập ổn định ngoài ^ Vx ệ B thì 3y e B sao cho

y E D (x) u D + (x)

Kí hiệu K (G )là họ các tập ổn định ngoài của đồ thị G.

Nhận xét : Nếu B là tập ổn định ngoài thì mọi tập chứa B đều là tập

Khái niệm nhân là một khái niệm quan trọng trong lý thuyết đồ thị

Nó được sử dụng rất nhiều trong lý thuyết đồ thị và lý thuyết trò chơi đặc biệt là trong luận văn này.

Trang 10

Đ ịnh nghĩa 1.12 Cho đồ thị G(x, ETập c được gọi là nhân của

đồ thị G nếu s vừa là tập ổn định trong, vừa là tập ổn định ngoài Tức là

s thỏa mãn 2 điều kiện:

• Từng cặp đỉnh X, y thuộc s không có cạnh hoặc cung nối X v à y ;

• Mọi đỉnh X không thuộc s đều có đỉnh y thuộc s đ ể hoặc có cạnh

hoặc cung nối X và y;

1.2 3 Đ iều kiện có nhân củ a đồ th ị

Khi ứng dụng lý thuyết đồ thị vào trò chơi thì việc xác định nhân của

đồ thị rất quan trọng Việc đồ thị có nhân hay không quyết dịnh trò chơi

tương ứng có thể tìm được thế thắng hay không Các định lý và hệ quả

sau đây sẽ giúp ta biết khi nào một đồ thị có nhân khi nào một đồ thị

không có nhân

ỗn định ngoài của G thì đồ thị G không có nhân.

Chứng minh Ta chứng minh định lý bằng phương pháp phản chứng.

Đ ịnh lý 1.2 ( 4 ) Nếu s là nhăn của đồ thị G(x, E )th ì nó cũng là tập

ổn định trong cực đại của G

Trang 11

Chứng minh Giả sử X là một phần tử bất kì của tập X \ s.

Xét tập S U {æ}

Do s là nhân của đồ thị G nên slà tập ổn định ngoài của G

Mà x E X \ S E ^ x Ệ S ^ 3 y E S sao cho y D {x) u

—)■ tập S u { 4 không là tập ổn định trong.

Đ ịnh lý 1.3 (4) Trong đồ thị vô hướng không có khuyên, mọi tập ổn định

trong cực đại của G đều là nhân của đồ thị G

Chứng minh Xét G(x, E) là đồ thị vô hướng không có khuyên

Giả sử B là tập ổn định trong cực đại của G.

Mà G đồ thị vô hướng không có khuyên — sao cho có cạnh nối X

và y.

—y B là tập ổn định ngoài của G

—y B là nhân của đồ thị G

Hệ quả 1.1 Mọi đồ thị hữu hạn vô hướng không có khuyên đều có nhân

Trang 12

• Đồ thị không có khuyên nên mỗi tập gồm 1 đỉnh của đồ thị là một tập ổn định trong.

Ta viết c trong hệ nhị phân là: ckck~ 1 (?Ò Ta cũng gọi (c1, c2, , ck)

là dạng khai triển nhị phân của c.

Kí hiệu [n](2) là số dư khỉ chia n cho 2.

Ví dụ 1.5 6 viết trong hệ nhị phân là 110, dạng khai triển nhị phân là (0; 1; 1).

[ % ) = 0; [11](2) = 1

Trang 13

Định nghĩa 1.14 Cho n số tự nhiên Cl, c2; ; cn có dạng khai triển nhị phân tương ứng là Ck = (cị‘, c|; c|; ).

3 Tồn tại phần tử trung hòa 0: a-j-0 = 0-j-a = a

4 Với mọi a tồn tại phần tử đối — a : a + (—a) = o

Trang 14

Chương 2

TRÒ CHƠI ĐƠN

2 1 Đ ịnh n gh ĩa tr ò chơi đơn

Định nghĩa 2.1 Giả sử n, k là hai số tự nhiên Có một đống gồm n vật (đá, diêm, .) Hai đấu thủ (A) và (B) tiến hành trò chơi theo quy tắc sau:

• Người đi đầu được xác định ngẫu nhiên bằng gieo đồng xu hoặc gắp thăm.

• Hai người lần lượt bốc, đến lượt của ai thì người đó phải bốc ít nhất

1 vật, nhiều nhất k vật (1 < k < n).

• Người nào bốc được vật cuối cùng là người thắng cuộc.

Vấn đề đặt ra khi giải quyết trò chơi là tìm ra thuật toán để người đi trước đảm bảo thắng cuộc, tức là bốc được vật cuối cùng.

2 2 C ách giải q u yết tr ò chơi đơn

2 2 1 Giải quyết trò chơi đơn bằng cách dùng nhân củ a đồ thị

Xây dựng đồ thị có hướng G (X ,E ) mô tả diễn biến trò chơi như sau:

+)Đỉnh :

• Mỗi đỉnh tương ứng với số lượng vật có thể có.

X = {n; n — 1; n — 2 ; ; 2; 1; 0}

Trang 15

• Đỉnh n được thừa nhận là đỉnh xuất nên, được đặt trong khuyên tròn

có mũi tên đi vào.

• Từng cặp đỉnh thuộc N không có cung nối với nhau;

• Với các số nguyên l,m tùy ý (0 < l < 1 < m < k) Đỉnh / ( &+1) + m không thuộc N và từ đỉnh / ( &+1) + m vào đỉnh / ( &+1) thuộc N có cung.

Có khả năng xảy ra như sau:

Khả năng 1: nếu n không chia hết cho (k + 1)) thì người đi trước thực

hiện thuật toán sau để thắng cuộc:

Trang 16

Đến lượt mình người đi trước phải xuất phát từ đỉnh s(k + 1) — ỉ đi theo cung nhãn k + 1 — l , l < k + l — l < k , tức là bốc k + 1 — l vật để

đi tới đỉnh (s — 1)(Ả: + 1) thuộc nhân N.

Cứ như vậy người đi trước đạt đỉnh k + 1 thuộc nhân Người đi sau xuất phát từ đỉnh k + 1 đi theo cung nhãn P, 1 < p < k để đi đến đỉnh

k + 1 — p không thuộc nhân N.

Đến lượt mình người đi trước phải xuất phát từ đỉnh k + 1 — p đi theo cung nhãn k + 1 — p hay bốc k + 1 — p để đạt đỉnh 0 và là người thắng

cuộc.

Khả năng 2: nếu n chia hết cho (k + 1 ) thì người đi sau thực hiện thuật

toán trên để thắng cuộc, hay người đi trước thua cuộc.

NHẬN XÉT: Nếu yêu cầu của trò chơi thay đổi thành điều kiện người bốc được vật cuối cùng là thua cuộc thì thuật toán cần thay đổi như sau

để đảm bảo người đi trước thắng cuộc:

Đồ thị có hướng G (x , E ) vẫn được xây dựng như trên.

+)Đỉnh :

X = {n; n — 1; n — 2 ; ; 2; 1; 0}

• Đỉnh n được thừa nhận là đỉnh xuất nên, được đặt trong khuyên tròn

Trang 17

Cung nhãn c xuất phát từ đỉnh a sẽ đi đến đỉnh a — c.

Nhân của đồ thị G là tập:

N = {0; k + 1; 2(k + 1 ) ; ; s(k + 1)}, s(k + 1) < n

Vì:

• Từng cặp đỉnh thuộc s không có cung nối với nhau;

• Với các số nguyên l,m tùy ý (0 < l < [¿rfy], 1 < m < k) Đỉnh

l ( k + 1) + 771 không thuộc N và từ đỉnh 1) + 771 vào đỉnh 1)

thuộc N có cung.

Có khả năng xảy ra như sau:

Khả năng 1: nếu n — 1 không chia hết cho (Ả: + 1)) thì người đi trước thực

hiện thuật toán sau để thắng cuộc:

đi theo cung nhãn k-\-l — l, 1 < k + 1 — l < k, tức là bốc k + l — l vật để

đi tới đỉnh (s — 1)(Ả: + 1) + 1 Cứ như vậy người đi trước đạt đỉnh k + 2 Người đi sau xuất phát từ đỉnh k + 2 đi theo cung nhãn P, 1 < p < k

để đi đến đỉnh k + 2 — p Đến lượt mình người đi trước phải xuất phát từ đỉnh k + 2 — p đi theo cung nhãn k + 1 — p hay bốc k + 1 — p để đạt đỉnh

1 và người đi sau xuất phát từ đỉnh 1 đi theo cung nhãn 1 tức bốc 1 vật cuối cùng và thua cuộc Hay người đi trước thắng cuộc.

Khả năng 2: nếu 71—1 chia hết (A: H- 1) thì người đi sau thực hiện thuật toán trên để thắng cuộc, hay người đi trước thua cuộc.

2 2 2 Giải quyết trò chơi đơn sử dụng đồng dư

Giả sử 771 = 71 mod (k + 1).

Trang 18

Người đi trước thực hiện thuật toán sau để thắng cuộc:

+ ) Người đi trước bốc m vật khi đó còn n — m vật chia hết cho (Ả; + 1) + ) Tiếp theo nếu người đi sau bốc t : 1 < t < k vật thì người đi trước bốc

k + l — t vật để luôn còn lại số vật chia hết (k + 1).

Tiếp tục quá trình tương tự như trên giả sử người đi sau bốc s : 1 <

s < k vật thì người đi trước bốc k + 1 — s vật để luôn còn lại số vật chia

+ ) Người đi trước bốc m — 1 vật khi đó còn n — m + 1 vật n — m + 1 = 1 mod (k + 1).

+ ) Tiếp theo nếu người đi sau bốc t : 1 < t < k vật thì người đi trước bốc

k + l — t vật để luôn còn lại số vật đồng dư với 1 mod (k + 1).

+ ) Tiếp tục quá trình tương tự như trên giả sử người đi sau bốc s : 1 <

s < k vật thì người đi trước bốc k + 1 — s vật để luôn còn lại số vật đồng

dư với 1 mod (k + 1).

+ ) Cuối cùng còn k + 2 vật người đi sau bốc ít nhất 1 vật nên số còn lại không ít hơn 2 và không nhỏ hơn k + 1, người đi trước bốc ít nhất lvật hoặc nhiều nhất k vật sao cho chỉ còn lại 1 vật, người đi sau bốc 1 vật còn

lại sẽ là người thua cuộc hay người đi trước thắng cuộc.

Trang 19

• Mỗi người đến lượt bốc ít nhất 1 que diêm và không được quá 3 que diêm.

• Người bốc que diêm cuối cùng là thắng cuộc Hay ai đến lượt mình mà không còn diêm để bốc là người thua cuộc.

Xác định thuật toán để người đi trước thắng cuộc.

Giải:

Bài toán này chính là trò chơi đơn với n = 9, k = 3.

Ta có 9 không chia hết cho 3 + 1 thì người đi trước thực hiện thuật toán sau để thắng cuộc:

Cách 1: Giải quyết trò chơi dùng nhân của đồ thị Xây dựng đồ thị có hướng G( x , E ) cho trò chơi như sau:

+)Đỉnh :

X = { 9 ; 8 ; 7 ; ; 2 ; 1 ; 0 }

• Đỉnh 9 được thừa nhận là đỉnh xuất nên, được đặt trong khuyên tròn

• Đỉnh 1 có các cung duy nhất đi tới các đỉnh 0.

Cung nhãn c xuất phát từ đỉnh a sẽ đi đến đỉnh a — c.

Nhân của đồ thị G là tập:

N — {0; 4; 8}

Trang 20

• Các đỉnh nằm ngoài N đều có cung đi đến một đỉnh thuộc N.

Thuật toán:

9 = 4.2 + 1 Người đi trước phải xuất phát từ đỉnh 9, đi theo cung nhãn

1 ( tức là bốc 1 que diêm) để đi tới đỉnh 8 thuộc nhân N.

Trang 21

Tiếp theo nếu người đi sau xuất phát từ đỉnh 8 và đi theo một trong

ba cung thuộc đỉnh này Chẳng hạn người đó đi theo cung nhãn 2, tức bốc

2 que diêm, để đi đến đỉnh 6 không thuộc nhân N.

Người đi trước phải xuất phát từ đỉnh 6, đi theo cung nhãn 2 ( tức là

bốc 2 que diêm) để đi tới đỉnh 4 thuộc nhân N.

Tiếp theo nếu người đi sau xuất phát từ đỉnh 4 và đi theo một trong

ba cung thuộc đỉnh này Chẳng hạn người đó đi theo cung nhãn 3, tức bốc

Người đi trước phải xuất phát từ đỉnh 1, đi theo cung duy nhất nhãn

1 ( tức là bốc 1 que diêm) để đi tới đỉnh 0 thuộc nhân N.

Người đi trước là người bốc que diêm cuối cùng và thắng cuộc.

Cách 2: Giải quyết trò chơi dùng đồng dư.

Ta có 1 = 9 mod 4.

+ ) Người đi trước bốc 1 que diêm khi đó còn 8 que diêm chia hết cho

• Người đi đầu xác định bằng gắp thăm.

• Mỗi người đến lượt bốc ít nhất 1 que diêm và không được quả 2 que diêm.

Trang 22

Cách 1: Giải quyết trò chơi dùng nhân của đồ thị.

Vì 9 chia hết cho 3 nên không có thuật toán cho người đi đầu thắng cuộc Người đi đầu bốc bất kì ta có thuật toán cho người đi sau bốc thắng cuộc.

Giả sử người đi đầu bốc 1 vật còn lại 8 vật.

Xây dựng đồ thị có hướng G ( X ,E ) cho trò chơi như sau:

+)Đỉnh :

X = { 8 ; 7 ; ; 2 ; 1 ; 0 }

• Đỉnh 8 được thừa nhận là đỉnh xuất nên, được đặt trong khuyên tròn

• Các đỉnh 6, 3, 0 được đặt trong các ô chữ nhật.

+ ) Cung:

• Tại mỗi đỉnh x(x ^ 2)có các cung đi tới các đỉnh X — 1; X — 2 Với

các nhãn tương ứng bằng các số 1; 2.

• Đỉnh 1 có các cung duy nhất đi tới các đỉnh 0.

Cung nhãn c xuất phát từ đỉnh a sẽ đi đến đỉnh a — c.

Nhân của đồ thị G là tập:

N = { 0 ; 3 ; 6 }

Vì:

• Các đỉnh nằm ngoài N đều có cung đi đến một đỉnh thuộc N.

Ta có 8 = 2.3 + 2

Người đi sau phải xuất phát từ đỉnh 8, đi theo cung nhãn 2( tức là bốc

2 que diêm) để đi tới đỉnh 6 thuộc nhân N.

Trang 23

11 8 1 2

Hình 2.2: Đồ thị

Tiếp theo nếu người đi trước xuất phát từ đỉnh 6và đi theo một trong hai cung thuộc đỉnh này Chẳng hạn người đó đi theo cung nhãn 2, tức bốc

Người đi sau phải xuất phát từ đỉnh 4, đi theo cung nhãn 1 ( tức là bốc

1 que diêm) để đi tới đỉnh 3 thuộc nhân N.

Tiếp theo nếu người đi trước xuất phát từ đỉnh 3 và đi theo một trong hai cung thuộc đỉnh này Chẳng hạn người đó đi theo cung nhãn 1, tức bốc

Người đi sau phải xuất phát từ đỉnh 2, đi theo cung duy nhất nhãn 2

( tức là bốc 2 que diêm) để đi tới đỉnh 0 thuộc nhân N.

Người đi sau là người bốc que diêm cuối cùng và thắng cuộc.

Cách 2: Giải quyết trò chơi dùng đồng dư.

Ta có 0 = 9 mod 3.

Trang 24

Nên không có thuật toán cho người đi đầu thắng cuộc Người đi đầu bốc bất kì ta có thuật toán cho người đi sau bốc thắng cuộc.

Giả sử người đi đầu bốc 1 vật còn lại 8 vật.

Người đi sau thực hiện thuật toán sau để thắng cuộc:

Ta có 2 = 8 mod 3.

+ ) Người đi sau bốc 2 vật khi đó còn 6 vật chia hết cho 3.

+ ) Tiếp theo nếu người đi trước bốc t, 1 < t < 2 vật thì người đi trước sau bốc 3 — t vật để luôn còn lại số vật chia hết cho 3.

+)Người đi trước bốc s, 1 < s < 2 vật thì người đi sau bốc 3 — s vật để

luôn còn lại số vật chia hết cho 3.

+ ) Cuối cùng còn 3 vật người đi trước bốc ít nhất 1 vật nên số còn lại không ít hơn 1 và không nhỏ hơn 2, người đi sau bốc hết sẽ là người thắng cuộc.

Tương tự người đi đầu bốc 2 vật còn lại 7 vật T cũng có thuật toán để người đi sau thắng cuộc.

Ví dụ 2.3 Có một đống diêm gồm 17 que Hai đấu thủ A và B lần lượt bốc diêm theo quy tắc sau đây:

• Người đi đầu xác định bằng gắp thăm.

• Mỗi người đến lượt bốc ít nhất 1 que diêm và không được quá 4 que diêm.

Định dạng
Số trang	49
Dung lượng	1,57 MB