NGHIÊN CỨU, TÌM HIỂU CÁC CÔNG CỤ TOÁN HỌC DÙNG CHO VẬT LÝ NÓI CHUNG VÀ VẬT LÝ LÝ THUYẾT NÓI RIÊNG

Dive của trường vecto trong hệ tọa độ cong trực giao .... Để biểu diễn hình học trường vectơ ta dùng các đường vectơ, là các đường trong không gian mà các điểm của nó vecto A nằm dọc the

MỤC LỤC

PHẦN I MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 1

3 Đối tượng nghiên cứu 2

4 Phương pháp nghiên cứu 2

5 Cấu trúc khóa luận 2

PHẦN II NỘI DUNG 3

CHƯƠNG 1 PHÉP BIỂN ĐỔI LAPLACE TRONG HỆ TỌA ĐỘ DESCARTES 3

1.1 Gradient của trường vô hướng 3

1.1.1 Khái niệm trường vô hướng 3

1.1.2 Gradien của trường vô hướng 3

1.2.Dive của trường vectơ 6

1.2.1 Khái niệm trường vecto-đường vectơ 6

1.2.1.1 Trường vecto-đường vecto 6

1.2.1.2 Thông lượng của trường vecto qua một mặt 7

1.2.2 Dive của trường vectơ 9

1.2.2.1 Dive của trường vectơ 9

1.2.2.2 Trường hình ống: 11

1.2.2.3 Ý nghĩa vật lý của dive 12

1.3 Rota của trường vectơ 12

1.3.1 Lưu thông trường vectơ theo chu tuyến 12

1.3.2 Rota của trường vectơ 13

1.3.3 Định lý Stokes dưới dạng vecto 15

1.3.4 Ý nghĩa vật lý của rota 15

1.4 Các phép toán đối với dive và rote 15

1.5.Toán tử nabla và toán tử vi phân cấp 2 17

1.5.1.Toán từ nabla: 17

1.6 Các định lí tích phân 18

KẾT LUẬN CHƯƠNG 1 19

CHƯƠNG 2.PHÉP BIỂN ĐỔI LAPLACE TRONG HỆ TỌA ĐỘ CONG 20 2.1 Hệ tọa độ cong 20

2.1.1 Định nghĩa 20

2.1.2 Các ví dụ 21

2.1.2.1 Hệ tọa độ cực 21

2.1.2.3Hệ tọa độ cầu 22

2.1.3.Hệ tọa độ cong trực giao 22

2.1.3.1.Khái niệm 22

2.1.3.2.Hệ số Lame 23

2.1.3.3 Hệ tọa độ cong trực giao ,điều kiện cần và đủ để hệ tọa độ cong trực giao 24

2.1.4 Các toán tử gradient,dive,rota,laplace trong hệ tọa độ cong trực giao 27

2.1.4.1 Gradient của trường vô hướng trong hệ tọa độ cong trực giao 27

2.1.4.2 Dive của trường vecto trong hệ tọa độ cong trực giao 29

2.1.4.3 Rota của trường vecto trong hệ tọa độ cong trực giao 32

2.1.4.4 Biểu thức toán tử Laplace trong hệ tọa độ cong trực giao 35

KẾT LUẬN CHƯƠNG 2 36

CHƯƠNG 3 BÀI TẬP 37

PHẦN 3 KẾT LUẬN 45

TÀI LIỆU THAM KHẢO 46

PHẦN I MỞ ĐẦU

1.Lý do chọn đề tài

Tính chất cơ bản của vật lý học là thực nghiệm Nhưng muốn trình bày những định luật định lượng của vật lý học một cách chính xác ta phải sử dụng các phương pháp toán học Phương pháp toán học dã được sử dụng rất lâu trong vật lý Nó là sự giao thoa giữa toán học và vật lý học Toán học là một công cụ

hỗ trợ hữu ích giúp phát triển các môn khoa học khác và đặc biệt đóng vai trò hết sức quan trọng trong vật lý học

Những quy luật đơn giản đã được vật lý cổ điển giải quyết một cách trọn vẹn Nhưng những quy luật vĩ mô thì vật lý cổ điển bất lực Cùng với điều đó thì toán học ngày càng phát triển kể cả bề rộng lẫn bề sâu Vì thế một ngành vật

lý mới đã ra đời có tên vật lý lý thuyết để giải quyết những vấn đề chưa được giải quyết

Sử dụng phương pháp toán học tìm ra các quy luật mới Những quy luật này tổng quát hơn quy luật đã biết, đoán trước được những mối quan hệ giữa những hiện tượng vật lý mà thực tế chưa quan sát được Nó tìm được những quy luật tổng quát nhất, phản ánh được nhiều bản chất vật lý của nhiều hiện tượng xét một cách tổng quát hơn

Các phương pháp toán học dùng cho vật lý học rất hiện đại và phong phú,

nó thuộc một khối kiến thức lớn với nhiều ngành như: hàm phức, hàm thực, các phương trình vi phân Các kiến thức ấy rất cần thiết cho sinh viên khi ra trường

và có nhu cầu nâng cao trình độ sau này

Chọn đề tài: “Nghiên cứu, tìm hiểu các công cụ toán học dùng cho vật lý nói chung và vật lý lý thuyết nói riêng”, tôi muốn giúp giải quyết một cách đơn giản nhất các bài toán của vật lý sử dụng các công cụ toán học cần thiết được nhắc đến trong đề tài này

-Tìm hiểu phép biến đổi Laplace trong hệ tọa độ cong, đặc biệt là hai hệ tọa độ thường gặp trong vật lý: hệ tọa độ trụ, hệ tọa độ cầu

3.Đối tượng nghiên cứu

-Các phép biến đổi Laplace và ý nghĩa của chúng

4.Phương pháp nghiên cứu

-Vật lý lý thuyết

-Phương pháp giải tích toán học

-Đọc tài liệu và tra cứu

5.Cấu trúc khóa luận

Đề tài nghiên cứu gồm:

-Chương 1:Phép biến đổi Laplace trong hệ tọa độ Descartes

-Chương 2:Phép biến đổi Laplace trong hệ tọa độ cong

-Chương 3: Bài tập

PHẦN II NỘI DUNG CHƯƠNG 1 PHÉP BIỂN ĐỔI LAPLACE TRONG HỆ TỌA ĐỘ DESCARTES

1.1 Gradient của trường vô hướng

1.1.1 Khái niệm trường vô hướng

Trường vô hướng là một phần của không gian mà mỗi điểm M của nó ứng vơi một giá trị của một đại lượng vô hướng nào đó f(M) Cho một trường vô hướng có nghĩa là một hàm vô hướng u = f(M) có giá trị phụ thuộc vào từng điểm M của miền V Trong tọa độ Descartes Oxyz ta có:

Trong đó m là khối lượng của miền nhỏ bao quanh điểm M, còn V là thể tích của miền này

Nếu mật độ của vật thể tại tất cả các điểm là như nhau thì vật thể được coi là đồng nhất, còn ngược lại là không đồng nhất

1.1.2 Gradien của trường vô hướng

Ta xét trường vô hướng u = f(x,y,z) và tính đạo hàm của u theo vectơ j Người ta gọi đạo hàm theo hướng của vectơ j tại điểm M là đạo hàm theo cung

bất kì đi qua M và tiếp xúc với j Đạo hàm riêng u



 là

đạo hàm theo hướng vectơ k Trước hết ta hãy tìm cosin theo hướng của vectơ



 =

gradu j j

hay là:

gradu j c gradu j u

 

vậy:

u gradu c gradu j j

 

Ta thấy vế phải của (1.3) là hình chiếu của gradu lên hướng j Từ đây ta suy ra đạo hàm tại điểm M theo hướng gradu là lớn nhất Như vậy gradu j là vectơ hướng của nó hàm u tăng theo hướng lớn nhất

Ví dụ 1: Cho trường vô hướng

2 3

z

y

x xuất phát từ M(1 , 2 , 1) theo hướng nào

hàm u tăng nhanh nhất

Mặt đã cho có thể coi như mặt mức của hàm u = z - x2 -y2

a, Grad(u + v) = grad u + grad v (1.4)

b grad(u.v) = ugradv + vgradu (1.5)

1.1.4 Ý nghĩa vật lý của gradien

Từ (1.3) ta thấy gradien của một đại lượng vô hướng cho ta một vectơ, nên trong vật lý tường dùng phương pháp trong đó tính một đại lượng vô hướng ( không đơn trị) một cách đơn giản hơn, nhưng gradien của nó lại cho ta một đại

lượng vật lý thực dưới dạng vectơ đơn thể đo trên thực nghiệm Thí dụ trong điện động lực học người ta tính thế vô hướng  ( không đơn trị), nhưng E =

grad  là cường độ điện trường có thể đo trên thực nghiệm

1.2.Dive của trường vectơ

1.2.1 Khái niệm trường vectơ-đường vectơ

1.2.1.1 Trường vectơ-trường vectơ

Trong vật lý ta tiếp xúc với các trường vectơ như trường lực, trường từ

hay trường điện từ như E = grad nêu ở trên Để biểu diễn hình học trường vectơ ta dùng các đường vectơ, là các đường trong không gian mà các điểm của

nó vecto A nằm dọc theo tiếp tuyến của trường tại điểm này

Nếu trường vectơ là trường lực hấp dẫn, thì các đường vectơ ( được gọi

là các đường lực) là các tia xuất phát từ các gốc tọa độ

Trong trường gradien A = grad  đường vectơ của trường là đường mà khi chuyển động dọc theo nó, đại lượng u tăng với vận tốc lớn nhất

Để tìm vecto của trường

A = P(x , y , z) i + Q( x , y , z ) j + R(x , y , z) k

Ta tiến hành như sau:

Giả sử phương trình tham số của trường vectơ là:

x = x (t), y = y( t ), z = z( t ) khi đó vectơ tiếp xúc tại điểm tùy ý của đường này có dạng:

x y z t x y z dt

dz

x y z t x y z dt

1.2.1.2.Thông lượng của trường vectơ qua một mặt

-Khái niệm thông lượng của trường vectơ:

Ta xét một mặt trơn, hữu hạn S đặt trong một trường vectơ A nào đó Ta chọn trên mặt này một hướng xác định và gọi đó là hướng dương, hướng ngược lại ta gọi là hướng âm Ta nói mặt như vậy được gọi là mặt định hướng

Ta kí hiệu vectơ pháp tuyến đơn vị tại điểm M của mặt S sao cho vectơ này hướng từ âm sang dương là vectơ n Vị trí vectơ n phụ thuộc vào vị trí điểm

M trên mặt

Xét hàm f(M) = ( ,A n ) được xác định tại mọi điểm của mặt S

Nếu A = Pi + Q j + Rk và các góc chỉ phương của veato tương ứng với

, ,

   tức là n = cos  i + cos  j + cos  k thì f(M) = P cos  + Q cos  +

R cos  , hàm này liên tục trên mặt S, do đó tồn tại tích phân của hàm f(M) trên mặt S

Tích phân này được gọi là thông lượng của trường vectơ qua mặt S và được kí hiệu bằng :

Nếu mặt S là mặt kín thì ta thường định hướng như sau: hướng bên ngoài của mặt là hướng dương , hướng bên trong của mặt là hướng âm

-Ý nghĩa vật lý của thông lượng của trường vectơ:

Trong trường hợp thủy động học, thông lượng qua mặt được dịnh hướng bằng khối lượng chất lỏng chảy qua mặt này trong một đơn vị thời gian

Ta xét trường hợp mặt kín S Nếu thông lượng qua S là mặt dương điều này có nghĩa là lượng chất lỏng chảy qua từ một phần không gian được giới hạn bởi mặt S lớn hơn lượng chất lỏng chảy vào nó Ngược lại nếu thông lượng âm thì lượng chảy vào S lớn hơn lượng chảy ra từ S

Ví dụ1: Cho trường vecto: A(xy i) (yx j) zk

Tính thông lượng của trường này qua bề mặt của hình cầu bán kính 1 với tâm tại gốc tọa độ

Giải : Trong trường hợp này pháp tuyến tại điểm bất kỳ của mặt S hướng theo bán kính vectơ tại điểm này Vì thế vectơ pháp tuyến đơn vị:

 

thay vào các biểu thức trên ta có:

0 2 0 2

1.2.2.Dive của trường vectơ

1.2.2.1 Dive của trường vectơ

Dive (divergent) của trường vectơ A tại điểm M là giới hạn của tỉ số thông

lượng qua mặt kín bao quanh M và thể tích của miền được giới hạn bởi bề mặt này

Div A =

( )lim S

V M

A n ds V





(1.10) Những điểm của trường vectơ tại đó dive mang dấu dương được gọi là điểm nguồn Những điểm mà tại đó dive mang dấu âm được gọi là những điểm hút

Giả sử trường vectơ:

( , )

A n ds div AdV

Như vậy thông lượng của trường vecto A qua bề mặt kín bằng tích phân

ba lớp của div A trên miền mà bề mặt này giới hạn Chú ý rằng công thức này chỉ được nghiệm đúng trong trường hợp khi div A liên tục bên trong miền V

Ví dụ 1:Tính thông lượng của trường vectơ :

Nếu tại tất cả các điểm của miền G nào đó dive của trường A bằng 0, thì

ta nói A là trường hình ống trong miền này

Ví dụ 1: Cho trường hấp dẫn F = m3R

R





trong miền G nào đó không chứa

gốc tọa độ Hãy tính dive F

Giải

Bằng cách tính trực tiếp ta thấy rằng :

Div F =0

Tại điểm bất kì khác gốc tọa độ Vậy F là trường hình ống trong miền G

Bây giờ ta tính dive tại gốc tọa độ

Ta thấy thông lượng qua mặt cầu bán kính a bằng 4m, tỉ số thông lượng và thể tích hình cầu chứa bên trong bề mặt này bằng:

43

a a



m F

1.2.2.3 Ý nghĩa vật lý của dive

Phép tính dive có nhiều ứng dụng trong vật lý như tính thông lượng của một trường theo vectơ (1.14).Ngoài ra, qua biến dổi của tích phân khi tính thông lượng người ta còn dẫn đến phương trình Maxwell trong điện động lực học

div D =  (1.15)

trong đó D là vectơ cảm ứng điện từ ,còn  là mật độ điện tích tự do

1.3 Rota của trường vectơ

1.3.1 Lưu thông trường vectơ theo chu tuyến

là lưu thông của trường vectơ A theo chu tuyến

Ta hiểu ngầm rằng lưu thông phụ thuộc không chỉ vào A và , mà còn

phụ thuộc vào cả hướng của chu tuyến Khi thay đổi hướng của đường cong, lưu thông thay đổi dấu

Ví dụ 1: Nếu A là trường lực, thì lưu thông của trường theo chu tuyến

bằng công khi dịch chuyển chất điểm trong trường lực dọc theo chu tuyến

Ta hiểu rằng lưu thông không chỉ phụ thuộc vào A và , mà còn cả hướng của

chu tuyến Khi thay đổi hướng của đường cong, lưu thông thay đổi dấu

Ví dụ 2: Nếu A là trường lực, thì lưu thông của trường theo chu tuyến

bằng công khi dịch chuyển chất điểm trong trường lưu dọc theo chu tuyến Giả sử đường cong cho dưới dạng tham số:

x=(t) , y=(t), z = (t) với t0 t T

như vậy ,để tính lưu thông trường vectơ ta có thể áp dụng công thức Stockes:

1.3.2.Rota của trường vectơ

Trong không gian oxyz cho bề mặt S nào đó Ta xét trường vectơ:

Tỉ số lưu thông theo chu tuyến và diện tích  của bề mặt S được giới

hạn bởi chu tuyến trên được gọi là mật độ lưu thông trung bình

Adl





Chú ý: Trong một số tài liệu, tích phân đường:

PdxQdyRdz được gọi là lưu số

Vectơ này chỉ phụ thuộc vào trường vectơ đã cho A ta kí hiệu rot A

Như vậy mật độ lưu thông của trường vectơ A theo hướng n bằng rot A n

rota của trường vectơ A

Ví dụ 2: Xét trường vận tốc tại các điểm vật thể rắn quay với vận tốc góc

không đổi W0 quanh trục Oz

trong đó rot A là hình chiếu của vectơ rot A lên pháp tuyến của mặt S

Như vậy, lưu thông của trường vecto theo chu tuyến đóng bằng thông lượng

của rot A của trường này trên bề mặt với biên là chu tuyến

1.3.4.Ý nghĩa vật lý của rota

Từ rot A có nghĩa là xoáy,cho nên nó mô tả nhiều hiện tượng điện từ quan trọng như rota thông thường của trường H thì sinh ra dòng điện mật độ j

Rot H = j (1.22)

Còn rota của thông lượng trường điện từ E thì sinh ra sự biến thiên của

vecto cảm ứng từ B theo thời gian

Rot E =- B

t



 (1.23) Các phương trình (1.22) và (1.23) là các phương trình Maxwell

1.4: Các phép toán đối với dive và rota

a,Dive và rota của vectơ hằng số bằng không:

b,Dive và Rota có tính chất tuyến tính:

Điều này nghĩa là nếu C = A B trong đó ,A B là các vectơ  , là các hằng số thì:

div C = div A + div B rot C = rot A + rot B

Grduv = ugrad v + v grad u

-Giả sử u là trường vô hướng , A là trường vectơ Khi đó u A là trường vectơ

và:

Divu A = (gradu, A ) + udiv A Rotu A = (gradu) A + u rot A

Để chứng minh ta hãy viết vecto A dưới dạng:

APiQ jRk

-Giả sử ,A B là các trường vectơ Khi đó( , A B ) là trường vô hướng,còn

tích vecto A B là trường vectơ và ta có:

Div( A B )= B rot A - A rot B

1.5 Toán tử nabla và toán tử vi phân cấp 2

Dùng kí hiệu toán tử nabla  ta có:

grad ,div A A rot A,   A

Nếu dùng toán tử  lên chúng một lần nữa ta được toán tử vi phân cấp hai Ta có lược đồ sau:

divgrad grad

Trong đó a là một số thực bất kì lớn hơn S0 Tích phân trong công thức trên

được hiểu theo nghĩa giá trị chính, và công thức này có tên là công thức Mellin

Định lý 2: Cho hàm gốc f,g trơn từng khúc trên nửa trục t 0 có chỉ số tăng lần lượt là S S1, 2 Giả sử f(t)= F(p); g(t)= G(p) Khi đó f,g cũng là hàm gốc với chỉ

Giả sử F(p) là một hàm biến phức thỏa mãn điều kiện sau:

1,F(p) giải tích trong nửa mặt Rep > S0

2,Fp0 khi p   trong nửa mặt phẳng Rep > So đều đối với argp

 

  hội tụ tuyệt đối

Khi đó :Fp là ảnh của hàm gốc f(t) cho bởi công thức:

1

2

a i pt

KẾT LUẬN CHƯƠNG 1

Chương chúng ta đã nghiên cứu những khái niệm quan trọng về trường

và những đặc trưng cơ bản của trường vectơ và trường vô hướng Cùng với nó

là phép tính cơ bản của trường như: phép tính gradient của trường vô hướng, phép tính dive của trường vectơ, phép tính rota của trường vectơ, đồng thời ta tìm hiểu toán tử nabla và toán tử vi phân cấp 2 Trong phạm vi chương chúng

ta chỉ tìm hiểu các phép tình này trong tọa độ Descarest vuông góc

CHƯƠNG 2 PHÉP BIỂN ĐỔI LAPLACE

TRONG HỆ TỌA ĐỘ CONG

2.1 Hệ tọa độ cong

2.1.1 Định nghĩa

Vị trí điểm M trong không gian được xác định bằng bán kính vecto

rOM Trong hệ tọa độ Descartes vuông góc Oxyz:

r xi y jzk

Trong đó : x là hoành độ, y là tung độ,z là cao độ của điểm M Nhưng việc cho hoành độ, tung đô, cao độ của một điểm không phải là phương pháp duy nhất để xác định vị trí của điểm đó trong không gian Trong nhiều bài toán

để xác định vị trí của điểm M , thay cho bộ 3 x,y,z người ta dùng bộ ba số khác

q q q ứng với bán kính vectơ r , do đó ứng với một điểm M nào đó

của không gian Các đại lượng

q q q được gọi là tọa độ cong của điểm M

Vì mỗi điểm M ứng với tọa độ:

x y z

x y z

x y z

r r r

Tập hợp tất cả các điểm trong không gia sao cho trên tập này

1

q không đổi được gọi là mặt tọa độq1 Tương tự ta có mặt tọa độ: q q2, 3

Tập hợp tất cả các điểm sao cho trên tập này chỉ có tọa độ

và hình chiếu của nó lên mặt phẳng Oxyz có tọa độ r và  Rõ ràng rằng mỗi bộ

3 tương ứng với một điểm M và ngược lại mỗi điểm M tương ứng với bộ ba số:r , z trong đó: r0,0  2,   z

(Trừ trường hợp khi điểm M nằm trên trục Oz, r và z được xác định đơn trị còn góc  có thể nhận giá trị tùy ý)

Những số: r, , z được gọi là tọa độ trụ của điểm M

3

1 r,q2 ,q z

ta có thể dễ dàng thiết lập sự liên hệ giữa tọa độ trụ và tọa độ Descartes

x=r cos, y=r sin, z=z

Các mặt tọa độ : Mặt tọa độ r = const là mặt tọa độ trục Oz, mặt tọa độ

=const là nửa mặt phẳng giới hạn bởi trục Oz, mặt z = const là mặt phẳng song song trục Oxy

Các đường tọa độ : đường z là đường thẳng song song với trục Oz, đường

 là đường tròn có tâm nằm trên trục Oz trong mặt phẳng vuông góc với trục

Oz, đường r là nửa đường thẳng xuất phát từ trục Oz và song song với mặt Oxy

2.1.2.3 Hệ tọa độ cầu

Cho bộ ba số: , ,   đặc trưng cho điểm M trong không gian như sau:

 là khoảng cách từ gốc tọa độ đến điểm M,  là góc giữa chiều dương của trục

Oz và bán kính vecto OM,  là góc hợp bởi chiều dương của trục Ox và hình chiếu của bán kính vecto lên mặt phẳng Oxy

Rõ ràng rằng mỗi điểm trong không gian tương ứng với bộ ba , ,  

Và ngược lại 3 số này tương ứng với một điểm xác định trong không gian

sự liên hệ giữa tọa độ cầu và tọa độ Descarets:

Các mặt tọa độ , mặt  = const là mặt cầu với tâm đặt tại gốc tọa độ, mặt

 = const là nửa mặt giới hạn bởi trục Oz, mặt  = const là nửa mặt nón có đỉnh O, trục là Oz

Các đường tọa độ : đường  là nửa đường thẳng xuất phát từ gốc O, đường  là đường tròn vĩ tuyến trên mặt cầu, đường  là đường kinh tuyến trên mặt cầu

2.1.3.HỆ TỌA ĐỘ CONG TRỰC GIAO