Về hệ nghiệm của một đại số

mục lục Trang Mở đầu Chương Đại số I Đại số 1.1 Định nghĩa, ví dụ đại số 1.2 Đồng cấu đại số 1.3 ánh xạ vi phân II Dạng tuyến tính dạng song tuyến tính 2.1 Dạng tuyến tính .9 2.2 Dạng song tuyến tính 11 Chương Hệ nghiệm 15 I Phép phản xạ 15 II Các dạng toàn phương bất biến vị trí tương đối nghiệm 23 Kết luận 30 Tài liệu tham khảo 31 Mở đầu Hệ nghiệm đại số ứng dụng nhiều nghiên cứu lý thuyết hệ động lực, vật lý lượng tử ngành khác toán học Hệ nghiệm công cụ quan trọng lý thuyết biểu diễn đại số Lie nửa đơn Hệ nghiệm trình bày nhiều tài liệu viết nhiều nhà toán học tiếng như: Serr, Helgason, phần mở đầu trình bày giảng Đại số Lie nhóm Lie lớp cao học chuyên ngành Hình học - Tôpô Đại học Vinh Nội dung chủ yếu Luận văn tập hợp cách hệ thống, trình bày chứng minh chi tiết số tính chất hệ nghiệm đại số Luận văn chia làm hai chương: Chương Đại số Trong chương 1, trình bày khái niệm đại số, đồng cấu đại số, ánh xạ vi phân tính chất liên quan.ở phần khái niệm tính chất không gian đối ngẫu, dạng song tuyến tính trình bày Nội dung chương phần chuẩn bị để phục vụ cho việc trình bày hệ nghiệm Chương Hệ nghiệm đại số chương này, trình bày khái niệm hệ nghiệm, dạng toàn phương bất biến vị trí tương đối nghiệm Luận văn hoàn thành vào tháng 12 năm 2007 trường Đại học Vinh hướng dẫn Thầy giáo PGS.TS Nguyễn Hữu Quang Nhân dịp xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy, người hướng dẫn suốt trình học tập thực hiện, cảm ơn thầy giáo tổ hình học giảng dạy bảo vấn đề có liên quan đến đề tài nghiên cứu Chúng xin chân thành cảm ơn thầy giáo, cô giáo Khoa Toán, khoa Sau Đại học Ban giám hiệu Trường Đại học Vinh, Phòng khảo thí KĐCLGD Sở Giáo dục - Đào tạo Nghệ An, đồng nghiệp, bạn bè gia đình tạo điều kiện thuận lợi cho suốt trình hoàn thành luận văn Vinh, tháng 12 năm 2007 Tác giả Chương Đại số I Đại số 1.1 Định nghĩa, ví dụ đại số 1.1.1 Định nghĩa Giả sử G môđun trường IK Nếu ta trang bị vào G ánh xạ song tuyến tính: G×G→G (x, y) → xy gọi phép nhân, lúc G gọi đại số 1.1.2 Ví dụ Ta ký hiệu M n(IK) tập hợp tất ma trận vuông cấp n trường IK, với phép cộng cộng ma trận, phép nhân vô hướng nhân ma trận với số, phép nhân nhân hai ma trận Khi M n(IK) đại số Giả sử G môđun IK Ta ký hiệu EndG tập tất ánh xạ tuyến tính G Ta đưa vào EndG ba phép toán sau: Với f, g ∈ EndG thì: ∗ (f + g)(x) = f(x) + g(x) với x thuộc G ∗ (λf )(x) = λ.f (x) với x thuộc G λ ∈ IK ∗ f.g phép hợp thành ánh xạ Khi EndG đại số 1.2 Đồng cấu đại số 1.2.1 Định nghĩa Giả sử G1 , G2 hai đại số trường IK Một ánh xạ tuyến tính f từ môđun G1 sang môđun G2 gọi ánh xạ đồng cấu đại số G1 sang đại số G2 , ∀x1 , x2 f (x1 x2 ) = f (x1 ).f (x2 ) Nếu f sóng ánh f gọi đẳng cấu 1.2.2 Mệnh đề (Xem [1]) Cho f : G1 → G2 toàn cấu Khi đó: a f −1 (0 ) Iđêan G1 , với ∈ G2 b G1 /f −1 (0 ) ∼ = G2 Chứng minh a Ta biết f −1 (0 ) môđun G1 , ∀x ∈ f −1 (0 ), y ∈ G1 ta có: f (xy) = f (x).f (g) = f (y) = ( x ∈ f −1 (0 )) Từ suy xy ∈ f −1 (0 ) Tương tự yx ∈ f −1 (0 ) Vậy f −1 (0 ) Iđêan G1 b Xét ánh xạ h : G1 /f −1 (0 ) → G2 a + f −1 (0 ) → f (a) - Ta h ánh xạ tuyến tính đồng cấu Thật vậy: Với a, b ∈ G1 , với α, β ∈ IK, ta có: h(α(a + f −1 (0 )) + β(b + f −1 (0 ))) = h(α.a + β.b + f −1 (0 )) = f (α.a + β.b) (Vì f ánh xạ tuyến tính) = α.h(a + f −1 (0 )).h(b + f −1 (0 )) Vậy h đồng cấu - Ta chứng minh h song ánh Thật vậy: Với a, b ∈ G1 mà h(a + f −1 (0 )) = h(b + f −1 (0 )) ⇒ f (a) = f (b) ⇒ f (a − b) = ⇒ a − b ∈ f −1 (0 ) ⇒ a + f −1 (0 ) = b + f −1 (0 ) Vậy h đơn ánh Với x ∈ G2 , f toàn ánh nên tồn a ∈ G1 để f (a) = x Khi h(a + f −1 (0 )) = f (a) = x Vậy h toàn ánh Do h đẳng cấu đại số Vậy G1 /f −1 (0 ) ∼ = G2 1.2.3 Mệnh đề (Xem [3]) Cho G đại số, H K hai Iđêan G H ⊂ K Khi G/K ∼ = (G/H)/(K/H) Chứng minh Trước hết ta chứng minh K/H Iđêan G/H Với x + H ∈ K/H y + H ∈ G/H, ta có: (x + H)(y + H) = xy + H ∈ K/H (vì xy ∈ K) (y + H)(x + H) = yx + H ∈ K/H (vì yx ∈ K) Vậy K/H Iđêan G/H Đặt h : G/H → G/K x + h → x + K Khi đó: ∗ h ánh xạ tuyến tính Thật ∀x, y ∈ G; ∀α, β ∈ K, ta có: h(α(x + H) + β(y + H)) = h((α.x + β.y) + H) = α.x + β.y + K = α(x + K) + β(y + K) = α.h(x + H) + β.h(y + H) Vậy h ánh xạ tuyến tính ∗ h đồng cấu Thật ∀x, y ∈ G, ta có: h((x + H)(y + H)) = h(xy + H) = xy + K = (x + K)(y + K) = h(x + H).h(y + H) Vậy h đồng cấu ∗ h toàn ánh Thật với ∀x + K ∈ G/K x ∈ G nên h(x + H) = x + K Vậy h toàn ánh Ta có Kerh = {x + H|h(x + H) = K} = {x + H|x + K = K} = {x + H|x ∈ K} = K/H áp dụng kết ý b Mệnh đề 1.2.2 ta suy điều cần chứng minh 1.3 ánh xạ vi phân 1.3.1 Định nghĩa Giả sử G đại số K, D phép biến đổi tuyến tính D:G→G x → D(x) D gọi ánh xạ vi phân nếu: D(xy) = D(x)y + xD(y), ∀x, y ∈ G 1.3.2 Mệnh đề (Xem [2]) Ký hiệu DerG tập tất ánh xạ vi phân G Khi DerG đại số với phép nhân [f, g] = f g − gf Chứng minh ∗ Ta chứng minh [f, g] thuộc DerG Thật vậy: + ánh xạ [f, g] : G → G x → [f, g](x) ánh xạ tuyến tính ∀x, y ∈ G; ∀α, β ∈ K, ta có: [f, g](α.x + β.y) = (f g − gf )(α.x + β.y) = f g(α.x + β.y) − gf (α.x + β.y) = α.f g(x) + β.f g(y) − α.gf (x) − β.gf (y) = α(f g − gf )(x) + β(f g − gf )(y) = α[f, g](x) + β[f, g](y) Vậy [f, g] ánh xạ tuyến tính + Với x, y ∈ G, ta có: [f, g](xy) = (f g − gf )(xy) = f [g(xy)] − g[f (xy)] = f (xg(y) + yg(x)) − g(xf (y) + yf (x)) = xf g(y) + f (x)g(y) + yf g(x) + f (y)g(x) − x.gf (y) − g(x)f (y) − y.gf (x) − g(y)f (x) = x(f g − gf )(y) + y(f g − gf )(x) = x[f, g](y) + y[f, g](x) Vậy [f, g] ∈ DerG ∗ Ta chứng minh DerG đại số: Thật vậy, rõ ràng DerG môđun K, lại ta phép nhân DerG × DerG → DerG (f, g) → [f, g] ánh xạ song tuyến tính + Với f1 , f2 , g ∈ DerG, ta có: [f1 + f2 , g] = (f1 + f2 )g − g(f1 + f2 ) = (f1 g − gf1 ) + (f2 g − gf2 ) = [f1 , g] + [f2 , g] + Với f1 , f2 , g ∈ DerG, với λ ∈ K, ta có: [λf, g] = (λf )g − g(λf ) = λ(f g) − λ(gf ) = λ(f g − gf ) = λ[f, g] Hoàn toàn tương tự ta có: [f, g1 + g2 ] = [f, g1 ] + [f, g2 ] [f, λg] = λ[f, g] Vậy DerG đại số với phép nhân [f, g] = f g − gf II Dạng tuyến tính dạng song tuyến tính 1.2.1 Dạng tuyến tính 1.2.1.1 Định nghĩa Giả sử G không gian vectơ Ơclit thực, n− chiều Khi ánh xạ tuyến tính f : G → R gọi dạng tuyến tính G Ta ký hiệu: G∗ = {f : G → R|f tuyến tính} Bây ta đưa vào G∗ ba phép toán sau: ∗ Phép cộng: f +g :G→R x → f (x) + g(x); ∀x ∈ G ∗ Phép nhân: Với α ∈ R αf : G → R x → αf (x); ∀x ∈ G 17 Vậy: [id+ϕ(f ⊗α)].[id+ϕ(g⊗β)] = [id+ϕ(f ⊗α)+ϕ(g⊗β)+f (α)ϕ(g⊗β)] 2.1.3 Mệnh đề (Xem [6]) Giả sử s ∈ L(V ) Thì mệnh đề sau tương đương i s phép phản xạ α, với siêu phẳng phản xạ H ii s = id − ϕ(α∗ ⊗ α) Trong α∗ ∈ V ∗ , α∗ (α) = α∗ (H) = iii s2 = id Im(id − s) = kα Ta nhận thấy α∗ xác định phép phản xạ α Chứng minh i ⇒ ii Giả sử s phép phản xạ α H siêu phẳng phản xạ Thì tồn α∗ ∈ V ∗ cho H = ker α∗ α∗ (α) = Khi đó, ta có: (id − ϕ(α∗ ⊗ α))(α) = α − α∗ (α)α = α − 2α = −α (id − ϕ(α∗ ⊗ α))(h) = h − α∗ (h)α = h, ∀h ∈ H Như vậy, ta có: s = id − ϕ(α∗ ⊗ α) ii ⇒ iii Ta có: id − s = ϕ(α∗ ⊗ α) ⇒ Im(id − s) = α∗ (x)α = ka ( α∗ = 0) Mặt khác s2 = [id − ϕ(α∗ ⊗ α)].[id − ϕ(α∗ ⊗ α)](v) = id − 2ϕ(α∗ ⊗ α) + α∗ (α)ϕ(α∗ ⊗ α) = id iii ⇒ i ∀v ∈ V (id − s)(v) = f (v)α với f ∈ V ∗ , f = 18 Nên ta có s(v) = (id − ϕ(f ⊗ α))(v) Suy id = s2 = [id − ϕ(f ⊗ α)].[id − ϕ(f ⊗ α)] = id − 2ϕ(f ⊗ α) + f (α)ϕ(f ⊗ α) = id + (f (α) − 2)ϕ(f ⊗ α) Do f = ϕ(f ⊗ α) = nên f (α) = Đặt H = ker f ta có: dim H = dim V − s(h) = h, ∀h ∈ H Mặt khác s(α) = (id − ϕ(f ⊗ α))(α) = α − f (α)(α) = α − 2α = −α Vậy s phản xạ α 2.1.4 Mệnh đề (Xem [4]) Giả sử α vectơ khác V, R tập hữu hạn vectơ V sinh V Giả sử phép phản xạ s α cho s(R) ⊆ R s Chứng minh Giả sử s s hai phép phản xạ thoả mãn yêu cầu Đặt u = s ◦ s u tự đẳng cấu u(R) = R Vì R hữu hạn nên ta có u : R → R song ánh, nên u cảm sinh phép hoán vị R un : R → R ánh xạ đồng với n ∈ Z+ đủ lớn Do R sinh V nên un = id Giả sử s = id−ϕ(f ⊗α) s = id−ϕ(f ⊗α) với f (α) = f (α) = 19 Thì ta có: u = s ◦ s = [id − ϕ(f ⊗ α)].[id − ϕ(f ⊗ α)] = id − ϕ(f ⊗ α) − ϕ(f ⊗ α) + f (α)ϕ(f ⊗ α) = id − ϕ(f ⊗ α) − ϕ(f ⊗ α) + 2ϕ(f ⊗ α) = id − ϕ(f ⊗ α) + ϕ(f ⊗ α) = id − ϕ((f − f ) ⊗ α) Đặt g = f − f Ta có u = id + ϕ(g ⊗ α) g(α) = f (α) − f (α) = Ta chứng minh up = id + pϕ(g ⊗ α), ∀p ∈ IN Thật ta chứng minh quy nạp: Với p = ta có u = id + ϕ(g ⊗ α) Với p = m ta có um = id + mϕ(g ⊗ α) đẳng thức đúng, ta chứng minh p = m + Ta có um+1 = um u = [id + mϕ(g ⊗ α)].[id + ϕ(g ⊗ α)] = id + mϕ(g ⊗ α) + ϕ(g ⊗ α) + mg(α)ϕ(g ⊗ α) = id + (m + 1)ϕ(g ⊗ α) Vậy id = un = id + nϕ(g ⊗ α) với n ∈ Z+ ⇒ ϕ(g ⊗ α) = ⇒ u = id ⇒s=s 2.1.5 Định nghĩa Một tập hữu hạn R vectơ V gọi hệ nghiệm V nếu: i Vectơ không thuộc R ii R sinh V iii ∀α ∈ R tồn phép phản xạ sα α cho sα (R) = R 20 iv ∀α, β ∈ R ta có: sα (β) = β + nα, ∀n ∈ Z 2.1.6 Chú ý ∗ Các phần tử thuộc R gọi nghiệm V R ∗ Từ Mệnh đề 2.1.4, chứng tỏ α có sα (Ta gọi sα phép phản xạ nghiệm α.) ∗ Số chiều V gọi hạng R ký hiệu rank(R) ∗ ∀α ∈ R ta có: sα = id − ϕ(α∗ ⊗ α) với α∗ ∈ V ∗ Vectơ α∗ gọi nghiệm đối ngẫu α ∗ Tính chất iv tương đương với tính chất iv’ sau: iv’ ∀α, β ∈ R ta có: α∗ (β) ∈ Z n(α, β) = α∗ (β) ∗ α ∈ R ⇒ −α = sα ∈ R 2.1.7 Bổ đề Giả sử R hệ nghiệm V, α β hai nghiệm cộng tuyến β = tα Khi t ∈ {± , ±1, ±2} Chứng minh Giả sử β nghiệm cộng tuyến với α β = tα với t ∈ R \ {0} Khi α∗ (β) = tα∗ (α) = 2t ∈ Z ⇒ 2t = z ∈ Z ⇒ t = z Ta giả thiết t > (nếu cần ta thay −β cho β) Đặt γ = qα, với q ∈ Q số lớn cho γ nghiệm Như vậy, ta có q ∈ N q ≥ Do 1 γ ∗ (α) = γ ∗ ( γ) = γ ∗ (γ) = ∈ Z q q q Suy q = q = ⇒ γ = α γ = 2α + Nếu t ≤ 2t ∈ Z ⇒ t = { , 1} 21 + Nếu t ≥ thay β γ ta suy t = t = ⇒ β = α β = 2α Vậy t ∈ {± 12 , ±1, ±2} 2.1.8 Nhận xét Từ bổ đề ta thấy α nghiệm bất kỳ, nghiệm cộng tuyến với α {−α, α} {−α, − α2 , α2 , α} {−2α, −α, α, 2α} 2.1.9 Định nghĩa ⊕ Một nghiệm α gọi không chia 12 α ∈ R ⊕ Một hệ nghiệm R gọi rút gọn nghiệm R không chia 2.1.10 Nhận xét Giả sử α nghiệm không chia cho 2α ∈ R Khi sα phép phản xạ 2α Từ Mệnh đề 2.1.4 ta có sα = s2α nên: s2α = id − ϕ((2α∗ ) ⊗ (2α)) = id − ϕ(2(2α)∗ ⊗ α) Mà sα = id − ϕ(α∗ ⊗ α) ∗ ⇒ (2α) = α∗ Bây ta ý tới tự đẳng cấu tuyến tính R, nghĩa tự đẳng cấu tuyến tính u V cho u(R) = R ký hiệu Aut(R) nhóm tự đẳng cấu R 2.1.11 Định nghĩa Nhóm Aut(R) sinh sα , α ∈ R gọi nhóm Weyl 22 R ký hiệu W (R) 2.1.12 Mệnh đề (Xem [4]) Giả sử α nghiệm R u ∈ Aut(R) thì: i u ◦ sα ◦ u−1 = su(α) ii (u(α))∗ = α∗ ◦ u−1 Chứng minh i Giả sử u ∈ Aut(R) ⇒ u ◦ sα ◦ u−1 ∈ Aut(R), tức (u ◦ sα ◦ u−1 )(R) = R Ta có u ◦ sα ◦ u−1 (u(α)) = u ◦ sα (α) = −u(α) u ◦ sα ◦ u−1 (u(h)) = u ◦ sα (h) = u(h); ∀h ∈ H Do u ◦ sα ◦ u−1 cố định siêu phẳng u(H) phản xạ nghiệm u(α) Từ Mệnh đề 2.1.3 ta có u ◦ sα ◦ u−1 = su(α) ii Từ i, ta có: su(α) (v) = (u ◦ sα ◦ u−1 )(v) = u ◦ sα ◦ (u−1 (v)) = u ◦ (id − ϕ(α∗ ⊗ α))(u−1 (v)) = u[u−1 (v) − α∗ (u−1 (v))α] = v − α∗ (u−1 (v))u(α) = v − (α∗ ◦ u−1 (v))u(α) = [id − ϕ(α∗ ◦ u−1 ⊗ u(α))](v), ∀v ∈ V ⇒ (u(α))∗ = α∗ ◦ u−1 2.1.13 Mệnh đề (Xem [6]) 23 i Aut(R) W (R) nhóm hữu hạn ii W (R) ước chuẩn Aut(R) Chứng minh i Mỗi phần tử Aut(R) phép hoán vị R Do R sinh V , R hữu hạn nên có đơn cấu từ Aut(R) nhóm phép phần tử R Như Aut(R) hữu hạn, W (R) hữu hạn ii Với α ∈ R u ∈ Aut(R) ta có: u ◦ sα ◦ u−1 = su(α) nên hợp thành ánh xạ u với phần tử sinh W (R) phần tử sinh W (R) Do uW (R)u−1 ⊆ W (R), ∀u ∈ Aut(R) Hay W (R) ước chuẩn Aut(R) II Các dạng toàn phương bất biến vị trí tương đối nghiệm 2.2.1 Mệnh đề (Xem [4]) Giả sử R hệ nghiệm V ánh xạ: | : V × V → R (v, v ) → v|v xác định sau: α∗ (v)α∗ (v ); ∀v, v ∈ V v|v = α∈R dạng song tuyến tính đối xứng bất biến Aut(R) Chứng minh Dễ thấy v|v dạng song tuyến tính đối xứng Ta chứng minh v|v bất biến Aut(R) 24 Nếu u ∈ Aut(R) từ Mệnh đề 2.1.12 ta có: α∗ (u(v))α∗ (u(v )) u(v)|u(v ) = α∈R (u−1 ◦ α)∗ (v)(u−1 ◦ α)∗ (v ) = α∈R α∗ (v)α∗ (v ) = v|v = α∈R 2.2.2 Bổ đề Giả sử U không gian bất biến Aut(R) Khi phần bù trực tiếp U U bất biến với Aut(R) Chứng minh Giả sử P phép chiếu từ V lên U Ta đặt = |Aut(R)| u−1 Pu u∈Aut(R) Với v ∈ V , ta có: u−1 P u(v) ∈ U ; ∀u ∈ Aut(R) ⇒ (u) ∈ U Mặt khác u−1 P u(ω) = u−1 u(ω) = ω; ∀ω ∈ U Suy (ω) = Hay |Aut(R)| u−1 P u(ω) = ω; ∀ω ∈ U u∈Aut(R) phép chiếu lên U Do ta có: ◦u = = |Aut(R)| h−1 P h ◦ u h∈Aut(R) |Aut(R)| =u◦ uh−1 P h ( cách thay h với hu−1 ) h∈Aut(R) 25 Như vậy, ta có Im = U Ker Aut(R) V = U ⊕ Ker không gian bất biến =U ⊕U 2.2.3 Hệ Dạng song tuyến tính đối xứng | Mệnh đề 2.2.1 xác định dương không suy biến Chứng minh Giả sử U trực giao với V dạng song tuyến tính trên, U bất biến Aut(R) tồn phần bù trực tiếp U U bất biến với Aut(R) Giả sử α ∈ R, U U bất biến sα Do không gian chiều sinh vectơ riêng α phải nằm U trung U Hay α ∈ U α ∈ U Khi ta có: (β ∗ (α))2 = (α∗ (α))2 + α|α = β∈R (β ∗ (α))2 β∈R\{α} (β ∗ (α))2 > =4+ β∈R\{α} Do số hạng sau tổng số nguyên không âm Do α ∈ U ⇒ α ∈ U Vì V = R ⇒ U = V U = {0} Suy dạng song tuyến tính đối xứng | xác định dương không suy biến 2.2.4 Nhận xét Giả sử α ∈ R, đặt H = Kerα∗ với u ∈ H ta có: α|u = α|sα (u) = sα (α)|u = − α|u ⇒ α|u = Tức H trực giao với Rα Do dạng song tuyến tính không suy biến nên H phần bù trực giao với Rα 26 Từ α|α = ⇒ H = {v ∈ V | α|v = 0} Giả sử s xạ tuyến tính xác định bởi: s(v) = v − α|v α|α α; ∀v ∈ V Khi s ánh xạ đồng H s(α) = −α Hay sα = s α|v Từ sα (v) = v − α = v − α∗ (v)α ta suy dạng song tuyến α|α tính | cảm sinh đẳng cấu từ V tới V ∗ Dưới phép đẳng cấu vectơ α tương ứng với α∗ , ∀α ∈ V α|α 2.2.5 Nhận xét a Với hai nghiệm α, β ∈ R, ta có n(α, β) = β ∗ (α) = α|β β|β b α, β hai nghiệm trực giao, n(α, β) = c ∀α, β ∈ R n(α, β)n(β, α) = α|β α 2 β = cos2 (α, β) ∈ Z Với (α, β) góc nghiệm α β Do ≤ cos2 (α, β) ≤ Ta suy ra: ≤ cos2 (α, β) ≤ cos2 (α, β) ∈ Z ⇒ n(α, β)n(β, α) ∈ {0, 1, 2, 3, 4} d Nếu α, β hai nghiệm không trực giao thì: n(β, α) n(α, β) = β α 27 Giả sử α nghiệm ngắn ta có |n(α, β)| ≤ |n(β, α)| e Giả sử α, β hai nghiệm tỷ lệ trực giao, cos2 (α, β) = n(α, β)n(β, α) = cos(α, β) = Ta có xem (Bảng 1) n(α, β) -2 -1 n(β, α) -2 -4 β=α β = −α β = 2α β = −2α α⊥β Bảng 1: Bảng nghiệm thứ f Giả sử α, β hai nghiệm trực giao không tỷ lệ, thì: ≤ cos2 (α, β) ≤ Ta có xem (Bảng 2) n(α, β) n(β, α) 1 -1 -1 -1 -2 -1 -3 (α, β) π 2π 2π 3π π 5π β = α β = α β = β = β = β = √ √ √ √ α α α α Bảng 2: Bảng nghiệm thứ hai Dựa vào bảng ta thấy α β hai nghiệm không tỷ lệ R cho α ≤ β n(α, β) ∈ {−1, 0, 1} 2.2.6 Mệnh đề (Xem [4]) Giả sử α, β ∈ R thì: i Nếu n(α, β) > α = β α − β nghiệm 28 ii Nếu n(α, β) < α = −β α + β nghiệm Chứng minh i Giả sử n(α, β) > α = β ta có: n(α, β) = n(β, α) = - Nếu n(α, β) = sβ (α) = α − n(α, β)β = α − β ∈ R - Nếu n(β, α) = sα (β) = β − n(β, α)α = β − α ∈ R ii Tương tự thay β −β ta có ii 2.2.7 Hệ Giả sử α, β ∈ R thì: i Nếu α|β > α = β α − β nghiệm ii Nếu α|β < α = −β α + β nghiệm iii Nếu α − β α + β ∈ R \ {0} α trực giao với β 2.2.8 Mệnh đề (Xem [7]) Giả sử α, β hai nghiệm không không tỷ lệ với thì: i Tập I = {j ∈ Z|β + jα ∈ R} đoạn [−p, q] Z chứa ii Giả sử s = {β + jα|j ∈ I} sα (s) = s sα (β + pα) = β − qα với p − q = −n(β, α) Chứng minh i Ta có ∈ I β + 0α = β ∈ R Giả sử p, −q tương ứng số lớn nhỏ I, khẳng định không Khi tồn r, s ∈ [−p, q]; r, s ∈ I cho r > s + r + k ∈ I, s − k ∈ I với ≤ k ≤ s − r − Do β + rα nghiệm β + (r + 1)α không nghiệm Theo Hệ 2.2.10 ta có α|β + sα ≤ 29 Ta có ≥ α|β + sα = α|β + s α|α > α|β + r α|α = α|β + rα ≥ Điều mâu thuẫn Vậy I = {j ∈ Z|β + jα ∈ R} = [−p, q] ⊂ Z ii Ta có sα (β + jα) = [id + ϕ(α∗ ⊗ α)](β + jα) = β + jα − α∗ (β + jα)α = β + jα − α∗ (β)α − 2jα = β − (j + n(β, α))α; ∀j ∈ Z Do j + n(β, α) ∈ Z ⇒ sα (s) = s Xét hàm số j → j − n(β, α) song ánh giảm từ I lên I nên −p − n(β, α) = −q ⇒ p − q = n(β, α) Ta có sα (β + pα) = β − (p + n(β, α))α = β − qα 30 Kết luận Luận văn đạt kết sau : + Trình bày cách hệ thống khái niệm chứng minh chi tiết số tính chất đại số (mệnh đề 1.2.3, mệnh đề 1.3.2) + Trình bày cách hệ thống dạng tuyến tính, dạng song tuyến tính chứng minh số tính chất (định lý 1.2.2.3, mệnh đề 1.2.1.2) + Chứng minh tính chất hệ nghiệm (mệnh đề 2.1.4, mệnh đề 2.1.12) + Trình bày tính chất dạng toàn phương bất biến vị trí tương đối nghiệm (mệnh đề 2.2.1, nhận xét 2.2.5, mệnh đề 2.2.8) + Chứng minh tính xác định dương không suy biến dạng song tuyến tính đối xứng | (mệnh đề 2.2.1) Trong thời gian tới tiếp tục nghiên cứu : Hệ nghiệm đại số Lie nửa đơn ứng dụng 31 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Việt Dũng (1997), Bài giảng cao học, tài liệu lưu hành Đại học Vinh [2] Trần Việt Dũng (1995), Đại số Lie, Bài giảng chuyên đề cao học chuyên ngành Hình học - Tôpô Đại học Vinh [3] Ngô Thúc Lanh (1970), Đại số tuyến tính NXB Đại học Trung học chuyên nghiệp Hà Nội [4] Nguyễn Hữu Quang (2005), Bài giảng Đại số Lie Nhóm Lie Đại học Vinh [5] Claude Chevalley (1946), Theory of Lie Groups Princeton University Press [6] Helgason.S (1978), Differential Geometry Lie Groups, and Symmetrie Space Academic Press New York [7] Serre (1965), Algebreset Groups de Lie, Benjamin New York [...]... yi xj aij 15 Chương 2 Hệ nghiệm Trong chương này, chúng tôi trình bày một cách hệ thống các khái niệm cơ bản và các tính chất của hệ nghiệm Cũng trong phần này chúng ta luôn giả thiết G là đại số hữu hạn chiều trên trường số thực R.L(V ) là không gian vectơ gồm tất cả các ánh xạ tuyến tính: V − V I Phép phản xạ 2.1.1 Định nghĩa Giả sử α ∈ G, một tự đồng cấu s : G → G được gọi là một phép phản xạ đối... bổ đề trên ta thấy nếu α là nghiệm bất kỳ, thì các nghiệm cộng tuyến với α là hoặc {−α, α} hoặc {−α, − α2 , α2 , α} hoặc {−2α, −α, α, 2α} 2.1.9 Định nghĩa ⊕ Một nghiệm α được gọi là không chia được nếu 12 α ∈ R ⊕ Một hệ nghiệm R được gọi là rút gọn nếu mọi nghiệm của R là không chia được 2.1.10 Nhận xét Giả sử α là một nghiệm không chia được sao cho 2α ∈ R Khi đó sα cũng là một phép phản xạ đối với 2α... gian tới chúng tôi tiếp tục nghiên cứu : Hệ nghiệm trong đại số Lie nửa đơn và các ứng dụng của nó 31 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Việt Dũng (1997), Bài giảng cao học, tài liệu lưu hành tại Đại học Vinh [2] Trần Việt Dũng (1995), Đại số Lie, Bài giảng chuyên đề cao học chuyên ngành Hình học - Tôpô Đại học Vinh [3] Ngô Thúc Lanh (1970), Đại số tuyến tính NXB Đại học và Trung học chuyên nghiệp Hà Nội... ∈ Z ⇒ sα (s) = s Xét hàm số j → j − n(β, α) là song ánh giảm từ I lên I nên −p − n(β, α) = −q ⇒ p − q = n(β, α) Ta có sα (β + pα) = β − (p + n(β, α))α = β − qα 30 Kết luận Luận văn chúng tôi đã đạt được những kết quả sau : + Trình bày một cách hệ thống các khái niệm cơ bản và chứng minh chi tiết một số tính chất của đại số (mệnh đề 1.2.3, mệnh đề 1.3.2) + Trình bày một cách hệ thống dạng tuyến tính,... nghĩa Một tập hữu hạn R các vectơ của V được gọi là một hệ nghiệm trong V nếu: i Vectơ 0 không thuộc R ii R sinh ra V iii ∀α ∈ R tồn tại phép phản xạ sα đối với α sao cho sα (R) = R 20 iv ∀α, β ∈ R ta có: sα (β) = β + nα, ∀n ∈ Z 2.1.6 Chú ý ∗ Các phần tử thuộc R được gọi là các nghiệm của V đối với R ∗ Từ Mệnh đề 2.1.4, chứng tỏ mỗi α có duy nhất sα (Ta gọi sα là phép phản xạ đối với nghiệm α.) ∗ Số. .. dạng song tuyến tính và chứng minh một số tính chất của nó (định lý 1.2.2.3, mệnh đề 1.2.1.2) + Chứng minh các tính chất cơ bản của hệ nghiệm (mệnh đề 2.1.4, mệnh đề 2.1.12) + Trình bày các tính chất cơ bản các dạng toàn phương bất biến và vị trí tương đối giữa các nghiệm (mệnh đề 2.2.1, nhận xét 2.2.5, mệnh đề 2.2.8) + Chứng minh tính xác định dương và không suy biến của dạng song tuyến tính đối xứng... xạ đối với nghiệm α.) ∗ Số chiều của V gọi là hạng của R và được ký hiệu rank(R) ∗ ∀α ∈ R ta có: sα = id − ϕ(α∗ ⊗ α) với α∗ ∈ V ∗ là duy nhất Vectơ α∗ gọi là nghiệm đối ngẫu của α ∗ Tính chất iv có thể tương đương với tính chất iv’ như sau: iv’ ∀α, β ∈ R ta có: α∗ (β) ∈ Z và n(α, β) = α∗ (β) ∗ α ∈ R ⇒ −α = sα ∈ R 2.1.7 Bổ đề Giả sử R là hệ nghiệm trong V, α và β là hai nghiệm cộng tuyến 1 β = tα Khi... ⊗ α) ∗ ⇒ (2α) = α∗ 2 Bây giờ ta chú ý tới các tự đẳng cấu tuyến tính của R, nghĩa là các tự đẳng cấu tuyến tính u của V sao cho u(R) = R và ký hiệu Aut(R) là nhóm tự đẳng cấu của R 2.1.11 Định nghĩa Nhóm con của Aut(R) sinh bởi sα , α ∈ R được gọi là nhóm Weyl 22 của R và ký hiệu là W (R) 2.1.12 Mệnh đề (Xem [4]) Giả sử α là một nghiệm trong R và u ∈ Aut(R) thì: i u ◦ sα ◦ u−1 = su(α) ii (u(α))∗ =... Aut(R) là một phép hoán vị của R Do R sinh ra V , và R là hữu hạn nên có một đơn cấu từ Aut(R) và nhóm các phép thế các phần tử của R Như vậy Aut(R) là hữu hạn, và do đó W (R) cũng hữu hạn ii Với mỗi α ∈ R và u ∈ Aut(R) ta có: u ◦ sα ◦ u−1 = su(α) nên hợp thành các ánh xạ u với phần tử sinh của W (R) cũng là phần tử sinh của W (R) Do đó uW (R)u−1 ⊆ W (R), ∀u ∈ Aut(R) Hay W (R) là ước chuẩn của Aut(R)... α) = 1 thì sα (β) = β − n(β, α)α = β − α ∈ R ii Tương tự thay β bởi −β ta có ii 2.2.7 Hệ quả Giả sử α, β ∈ R thì: i Nếu α|β > 0 và α = β thì α − β cũng là một nghiệm ii Nếu α|β < 0 và α = −β thì α + β cũng là một nghiệm iii Nếu α − β và α + β ∈ R \ {0} thì α trực giao với β 2.2.8 Mệnh đề (Xem [7]) Giả sử α, β là hai nghiệm không không tỷ lệ với nhau thì: i Tập I = {j ∈ Z|β + jα ∈ R} là đoạn [−p, q] trong ...1 Mở đầu Hệ nghiệm đại số ứng dụng nhiều nghiên cứu lý thuyết hệ động lực, vật lý lượng tử ngành khác toán học Hệ nghiệm công cụ quan trọng lý thuyết biểu diễn đại số Lie nửa đơn Hệ nghiệm trình... xạ Khi EndG đại số 1.2 Đồng cấu đại số 1.2.1 Định nghĩa Giả sử G1 , G2 hai đại số trường IK Một ánh xạ tuyến tính f từ môđun G1 sang môđun G2 gọi ánh xạ đồng cấu đại số G1 sang đại số G2 , ∀x1... trình bày hệ nghiệm Chương Hệ nghiệm đại số chương này, trình bày khái niệm hệ nghiệm, dạng toàn phương bất biến vị trí tương đối nghiệm Luận văn hoàn thành vào tháng 12 năm 2007 trường Đại học