Về ánh xạ cầu trên siêu mặt

Lời nói đầu Một siêu mặt đợc xác định thông qua trờng vectơ pháp tuyến đơn vị nó, mà trờng pháp vectơ đơn vị siêu mặt lại đợc thể thông qua ánh xạ cầu Vì khảo sát ánh xạ cầu để rút kết luận tính chất siêu mặt, vấn đề đợc nhiều tác giả quan tâm nh: Đoàn Quỳnh Hình học vi phân, S.M.Singer S.A.Thorpe Leetrue Notes on Elemtary Topology and Geometry Trong phạm vi Luận văn mở rộng khái niệm ánh xạ cầu cho siêu mặt không gian Euclid E n khảo sát tính chất siêu mặt mối liên hệ với ánh xạ cầu.Ngoài số tính chất khác đợc thể E3.Để khảo sát ánh xạ cầu đồng thời với việc mở rộng khái niệm ánh xạ Weingarten, khái niệm độ cong Gaus khái niệm liên quan xây dựng khái niệm tích có hớng n-1 vectơ không gian vectơ Euclid En Cấu trúc Luận văn số kết đạt đợc Đ1 Một số kiến thức chuẩn bị Mục trình bày khái niệm tích có hớng n-1 vectơ không gian vectơ Euclid En nhắc lại số tính chất vectơ tiếp xúc, ánh xạ tiếp xúc Đ2 ánh xạ Weingarten Mục trình bày khái niệm ánh xạ Weingarten siêu mặt, khái niệm độ cong Gaus K(p) điểm p siêu mặt, khái niệm dạng thứ nhất, dạng thứ hai số tính chất để từ đa công thức tính độ cong Gaus Đ3 Định nghĩa số tính chất ánh xạ cầu Mục trình bày khái niệm ánh xạ cầu g siêu mặt định hớng En chứng minh tính chất det(g *p) = K(p) Từ áp dụng tính chất để tính độ cong Gaus điểm siêu mặt Đ4 ánh xạ cầu đờng siêu mặt Mục trình bày liên hệ đờng siêu mặt ảnh qua ảnh xạ cầu Đ5 Siêu mặt mối quan hệ với ảnh qua ánh xạ cầu Mục trình bày mối liên hệ siêu mặt, ánh xạ cầu ảnh siêu mặt qua ánh xạ cầu, nh : tích độ cong Gaus dạng thể tích siêu mặt ảnh dạng thể tích siêu cầu qua ánh xạ đối tiếp xúc (định lý 5.4), mặt kẻ E3 có ảnh qua ánh xạ cầu đờng mặt khả triển (mệnh đề 5.6), mặt kẻ E có ảnh qua ánh xạ cầu đờng tròn lớn mặt trụ (mệnh đề 5.7) Luận văn đợc hoàn thành Khoa đào tạo sau Đại học, Trờng đại học Vinh, dới hớng dẫn thầy giáo, Tiến sỹ Nguyễn Duy Bình Tôi xin chân thành gửi lời cảm ơn tới thầy giáo hớng dẫn Tiến sỹ Nguyễn Duy Bình tận tình bảo hớng dẫn học tập, nghiên cứu Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu Trờng Đại học Vinh, Ban chủ nhiệm khoa đào tạo sau Đại học, Ban chủ nhiệm khoa toán, thầy giáo môn hình học bạn bè giúp đỡ, tạo điều kiện cho suốt trình học tập hoàn thành Luận văn Vinh, tháng 11 năm 2002 Tác giả: Lê Thị Nhung Đ1 Một số khái niệm Trong mục đa khái niệm tích có hớng không gian vectơ Euclid E n nhắc lại số tính chất vectơ tiếp xúc, ánh xạ tiếp xúc 1.1 E n không gian vectơ Euclid n chiều Tích vô hớng hai vectơ , đợc ký hiệu En không gian Euclid n chiều tức không gian { } afin liên kết với không gian vectơ Euclid n chiều E n Hệ e1 , e2 , , en sở trực chuẩn En , {a } n i i =1 vectơ En , Với: a1 = a11 e1 + a12 e2 + + a1n en a2 = a21 e1 + a22 e2 + + a2 n en an1 = an11 e1 + an12 e2 + + an1n en Tích có hớng E n ký hiệu n = a1 a a n xác định nh sau: e1 e2 en n = a11 a12 a1n a n11 a n 12 ,là định thức khai triển theo dòng đầu a n 1n Nhận xét: 1) Khái niệm tích có hớng cho nh không phụ thuôc vào việc chọn sở { } 2) Nếu hệ n i =1 phụ thuộc tuyến tính n = 3) n , i = 1, n Thật vậy: a12 a1n a11 a13 a1n a11 a1n n = e1 e2 + + ( 1) n+1 en a n12 a n 1n a n 11 a n 13 a n1n a n11 a n1n { Vì e1 , , en } sở trực chuẩn nên ei e j = ij đó: a12 a1n a11 a13 a1n a11 a1n n +1 n.ai = ai1 + + ( 1) ain an 12 an 1n a n 11 a n 13 an 1n a n 11 an 1n a i1 a11 n.ai = a i1 a n 11 a12 a n 12 ain a1n = với i = 1, n ain a n 1n Vậy nai với i = 1, n { } Nếu hệ n i =1 { } độc lập tuyến tính, E n1 không gian vectơ sinh n i =1 , n = a1 a2 an E không gian vectơ sinh n E bù trực giao với E n1 E n { } 4/ Cho hai hệ véc tơ (a a {} n bi i =1 )( an b1 b2 bn1 ) n i =1 E n , ta có: a1 b1 a1 bn = an1 b1 an bn Thật vậy, sử dụng tính chất đa tuyến tính hai vế nên cần chứng (e minh: i1 )( ei ei e j e j e j n 2 n ) ei e j = ei e j n { ei e j ei e j 1 n 1 n n } e1 , e2 , , en sở trực chuẩn E n , 1 (2) Từ (1) (2) suy mâu thuẫn Nên M nằm mặt cầu, K(p)=1 nên M nằm mặt cầu có bán kính 5.4 Định lý Cho M siêu mặt En+1, K độ cong Gaus M, g ánh xạ cầu từ siêu mặt M vào siêu cầu đơn vị S n , d n tơng ứng dạng thể tích M Sn Khi K d = g*(n) Chứng minh: Trong En+1 chọn hệ toạ độ Euclid với gốc p cho TPM trùng với phẳng toạ độ En có phơng trình xn+1=0 đợc định hớng phù hợp với hớng tự nhiên En Khi mặt đợc cho lân cận điểm p thạm số hoá kiểu đồ thị: r(x1, ,xn) = (x1, ,xn, f(x1, ,xn)) f x'1' x1 f x'1' x n Với df P = 0, ta có K(p) = (theo ví dụ 2.6.3) f x''n x1 f x''n x n ' ' gij = ij điểm p ( f x = = f x = ) n Trên mặt cầu Sn lấy hệ toạ độ cho (p) = q trục x n +1 vuông góc với Sn x1 , , x n tiếp xúc Sn , dang thể tích q là: n = d x1 .d x n Còn mặt cầu đợc cho lân cận điểm q phơng trình x n +1 = 2 x1 x n , mêtric mặt cầu q có dạng gij = ij Các toạ độ pháp véc tơ đơn vị P' thuộc lân cận điểm P f x'1 f x'n , , , n= n n n '2 '2 1+ f + f + f x'i2 xi xi i =1 i =1 i =1 ' ' (ngoài f x = = f x = p) n Cho nên lân cận p ánh xạ cầu g đợc cho dới dạng: 28 x = f x' 1 f x' , , x = n n n + f x' n + f x' i i i =1 i =1 Điểm p' với toạ độ x1, ,xn đợc chuyển thành điểm q' với toạ độ x , , x n Theo định nghĩa g*() ta có: g*() p = g*(d x1 d x n ) p = g*d x1 g*d x n = d(g* x1 ) d(g* x n ) p = d( x1 g) d( x n g) p n xn i n x i = i dx i dx i =1 x i =1 x x1 x1 x x n xn xn x x n = = J p p p dx dx n P dx1 dx n ' ' J ma trận Jacobi g p Vì f x = = f x = p nên n f x" x f x" x 1 J p n = = K ( p ) f x" x f x" x n n n Vì p gij = ij nêngij= Vậy hệ toạ độ chọn p ta có công thức: K g ij dx1 dx n = d x1 d x n K.d = g * ( n ) *) Với n = 2: K.dl = g () *) Với n = 3: K g ij dx1 dx = g ( ) * 29 5.5 Định nghĩa Xét cung quy :J E3 (Jlà khoảng R) hàm vectơ A : J E , A(u ) 0, u J Xét tập mở U R ,U={(u,v): u J ,v I} (I khoảng R2 ) mảnh E3 xác định r : UE3, r(u,v)= (u)+v A(u ) gọi mặt kẻ { } Mặt kẻ có ' (u ), A(u ), A' (u ) phụ thuộc tuyến tính với u J đợc gọi mặt khả triển 5.6 Mệnh đề Mặt kẻ E3 có ảnh qua ánh xạ cầu đờng mặt khả triển Chứng minh Mặt kẻ M E3 có ảnh qua ánh xạ cầu đờng Theo định lý 5.4 K.d=g*() Với pM ta có K(p) dp=g*(p) Với {e1,e2} sở TpM đối ngẫu với dạng thể tích p ta có: K(p).dp(e1,e2)=g*(p)(e1,e2) K(p)= p(g*p(e1),g*p(e2)) Vì ảnh qua ánh xạ cầu M đờng nên g*p(e1)= g*p(e2)=k. Do p(g*p(e1),g*p(e2))= p(, k.)=0 Suy K(p)=0 Vậy K(p)=0, p M Với tham số hoá mặt kẻ M r(u,v)= (u)+v A(u ) ,ta có {r'u,r'v} sở TpM.Vì r'v= A(u ) r''vv=0 K(p)=II(r'u,r'v) r'u= '(u)+v A' (u ) ; n r = r 'u r 'v = ( ' (u ) + v A' (u )) A(u ) = ' (u ) A(u ) + v A' (u ) A(u ) II(r'u,r'v)= n r.r 'v = ( ' (u ) A(u ) + v A' (u ) A(u )) A(u ) = ' (u ) A(u ) A(u ) + v A' (u ) A(u ) A(u ) = ' (u ) A(u ) A(u ) { } Từ K(p)=0 ' (u ) A(u ) A(u ) =0 ' (u ), A' (u ), A(u ) thuộc tuyến tính Vậy M mặt khả triển 30 phụ { } Ngợc lại, với M mặt khả triển,khi ' (u ), A' (u ), A(u ) phụ thuộc tuyến tính ' (u ) A(u ) A' (u ) A(u ) phụ thuộc tuyến tính Do với u cố định trờng pháp vectơ n có phơng không đổi v thay đổi, nên qua ánh xạ cầu đờng sinh u=u0 có ảnh điểm Suy ảnh mặt khả triển qua ánh xạ cầu đờng 5.7 Mệnh đề Mặt kẻ có ảnh qua ánh xạ cầu đờng tròn lớn mặt trụ Chứng minh Ta có phơng trình tham số mặt kẻ r(u,v)= (u)+v A(u ) r 'u = ' (u ) + v A' (u ) ; r 'v = A(u ) n trờng vectơ pháp tuyến đơn vị mặt kẻ Vì ảnh mặt kẻ qua ánh xạ đờng tròn lớn nên tồn véctơ a cho n p a, p M Do đó: r 'u r 'v a = 0, (u, v) U ( ' (u ) A(u ) + v A' (u ) A(u ) ) a = ' (u ) A(u ).a + v A' (u ) A(u ).a = (u, v) U (1) Xét (u,0) ta có: r 'u r 'v = ' (u ) A(u ) r 'u r 'v a = ' (u ) A(u ).a = (2) Từ (1) (2) A' (u ) A(u ).a = (3) Ta chọn a vectơ đơn vị chọn hệ toạ độ trực chuẩn { 0; e1 , e2 , e3 } E3 cho a = e1 =(1, 0, 0) Trong sở { e1 , e2 , e3 } A(u ) = (u )e1 + (u )e2 + (u )e3 (u ) = x(u )e1 + y (u )e2 + z (u )e3 31 ' ' ' ' ' = (4) (3) = 0 Đặt E (u ) = (u )e2 + (u )e3 E ' (u ) = ' (u )e2 + ' (u )e3 Từ (4) E (u ) E ' (u ) phụ thuộc tuyến tính * Nếu u0 mà E (u ) = A(u0 ) = (u0 )e1 (1) * Nếu u0 mà E (u ) tồn lân cận J u0 cho E (u0 ) 0u J , mà E (u ) E ' (u ) phụ thuộc tuyến tính với u J E (u ) có phơng không đổi u J E (u ) =f(u) với véc tơ u J Từ (2) x' y ' z ' y' z' ' (u ) A(u ).a = = = (5) 0 Đặt (u ) = y (u ).e2 + z (u )e3 (5) ' (u ) E (u ) phụ thuộc tuyến tính ' (u ) =k(u).(f(u) ) (u ) = ' (u )du = k (u ) f (u ) du + với véc tơ (u ) = x(u )e1 + ( k (u ) f (u ).du ). + (u ) = o + + x(u )e1 + ( k (u ) f (u ).du ). (u ) = I + x(u )e1 + ( k (u ) f (u ).du ). (I = o + ) Vậy J cung phẳng thuộc mặt phẳng qua I có hai vectơ phơng e1 Mà A(u ) = (u ).e1 + f (u ). 32 nên A(u ) thuộc không gian vectơ sinh e1 Mảnh kẻ phẳng { r(u,v)= (u)+v A(u ) , u J } có phơng đờng thẳng sinh qua (u ) thay A(u0 ) vectơ Từ (1) (2) suy A(u ) e1 (2) có phơng không đổi với u cố định, nên mặt kẻ cho mặt trụ Vậy mặt kẻ có ảnh qua ảnh xạ cầu đờng tròn lớn mặt trụ 33 kết luận Nhìn lại tổng thể luận văn đạt đợc số kết nh sau: - Mở rộng khái niệm tích có hớng E n , khái niệm ánh xạ Weingarten, khái niệm độ cong Gaus, khái niệm dạng bản, hai dạng siêu mặt - Đa công thức tính độ cong Gaus thông qua dạng bản, hai dạng (1.6) - Mở rộng khái niệm ánh xạ cầu siêu mặt - Đa công thức tính độ cong Gaus thông qua định thức ánh xạ tiếp xúc ánh xạ cầu (mệnh đề 3.4) - Mối quan hệ qua lại đờng siêu mặt ảnh qua ánh xạ cầu (mệnh đề 4.2 , mệnh đề 4.4) - Dựa vào tính chất ảnh siêu mặt qua ánh xạ cầu để suy tính chất siêu mặt (hệ 5.2 , hệ 5.3 , mệnh đề 5.6 , mệnh đề 5.7) - Mối liên hệ độ cong Gaus , dạng thể tích siêu mặt siêu cầu qua ánh xạ đối tiếp xúc ánh xạ cầu (định lý 5.4) Hớng nghiên cứu mới: Đi sâu vào số tính chất ánh xạ cầu mở rộng cho k_mặt 34 Tài liệu tham khảo [1] Đoàn Quỳnh Hình học vi phân NXBGD 2001 [2] S.Kobayashi, K.Nomizu Foundations of Differential Geometri NewYork-London 1963 [3] H.B.Laine Lanson Lectures on Mininal Subnanifolds Volunel University of California, Berkeley, New York [4] J.M.Singer, J.A.Thonrpe.Lecture Notes on Elemetary Topology and Geometry, Springer_Verlag New York, Heidelberg, Berlin 1967 [5] .A.,..,.. 1979 35 [...]... g(x(t)) trên Sn 25 Đ5 Siêu mặt và mối quan hệ với ảnh của nó qua ánh xạ cầu Mục này trình bày mối quan hệ giữa siêu mặt, ánh xạ cầu và ảnh của siêu mặt qua ánh xạ cầu Từ đó ta thấy dựa vào tính chất của ánh xạ cầu hay tính chất của ảnh của siêu mặt qua ánh xạ cầu có thể suy ra tính chất của siêu mặt 5.1 Mệnh đề Nếu g là ánh xạ cầu từ siêu cầu S vào siêu cầu đơn vị Sn trong En+1 thì g là ánh xạ bảo... của ánh xạ cầu Trong Đ3 này chúng tôi trình bày khái niệm ánh xạ cầu trên siêu mặt trong En+1 , xét mối liên hệ giữa ánh xạ tiếp xúc của ánh xạ cầu với ánh xạ Weingarten để từ đó chứng minh tính chất định thức của ánh xạ tiếp xúc của ánh xạ cầu tại một điểm trên siêu mặt bằng độ cong Gaus tại điểm đó của siêu mặt Do đó có thể thông qua ánh xạ tiếp xúc của ánh xạ cầu để tính độ cong Gaus tại mỗi điểm trên. .. ánh xạ tiếp xúc của ánh xạ cầu (mệnh đề 3.4) - Mối quan hệ qua lại giữa các đờng trên siêu mặt và ảnh của nó qua ánh xạ cầu (mệnh đề 4.2 , mệnh đề 4.4) - Dựa vào tính chất ảnh của siêu mặt qua ánh xạ cầu để suy ra tính chất của siêu mặt (hệ quả 5.2 , hệ quả 5.3 , mệnh đề 5.6 , mệnh đề 5.7) - Mối liên hệ giữa độ cong Gaus , dạng thể tích trên siêu mặt và siêu cầu qua ánh xạ đối tiếp xúc của ánh xạ. .. 2 a +u a + u2 a +u Do đó ánh xạ cầu g: M S2 a sin v a cos v u p g ( p) = 2 , , 2 a2 + u2 a2 + u2 a +u ảnh qua ánh xạ cầu của mặt đinh ốc đứng là nửa mặt cầu không kể cực đợc lấy vô số lần 3.4 Mệnh đề Cho ánh xạ cầu g từ đa tạp định hớng n chiều M vào mặt cầu đơn vị Sn trong En+1 khi đó mỗi điểm p M ta có det (g*p) =K(p) Chứng minh ánh xạ cầu g: M Sn có ánh xạ tiếp xúc tại p M là g*p: TpM... =2(11 +22) Mặt khác . = (1e1 +2e2) (1e1 +2e2) = 11 +22 Nên hp().hp () =2, , TPS với p bất kỳ S Tức là g*P()g*P() =2, , TPS , pS Vậy g là ánh xạ bảo giác 5.3 Hệ quả Trong E3 nếu ánh xạ cầu g là đẳng cự thì đa tạp M nằm trên mặt cầu bán kính một Chứng minh Vì g đẳng cự g bảo giác M nằm trên mặt cầu hay mặt tối tiểu Nếu M nằm trên mặt cầu tối tiểu H(p) = 0 k1=-k2 K(p) = -k12 < 0 (1) 27 Mặt khác... đẳng cự g bảo tồn độ cong Gau K(p) = 1 > 0 (2) Từ (1) và (2) suy ra mâu thuẫn Nên M nằm trên mặt cầu, và do K(p)=1 nên M nằm trên mặt cầu có bán kính 1 5.4 Định lý Cho M là siêu mặt trong En+1, K là độ cong Gaus của M, g là ánh xạ cầu từ siêu mặt M vào siêu cầu đơn vị S n , d và n tơng ứng là dạng thể tích trên M và Sn Khi đó K d = g*(n) Chứng minh: Trong En+1 chọn hệ toạ độ Euclid với gốc tại... , p 0 g ( p ) = nP là khả vi Do đó g là ánh xạ khả vi 3.3 Ví dụ 3.3.1 M là mặt cầu tâm 0 bán kính R trong E3 , có tham số hoá r: (u,v) r (u,v) = (Rcosu.cosv, R cosu.sinv, Rsin u ) Khi đó ánh xạ cầu g: M S2 18 P g(p) với p=r(u,v) đợc xác định bởi: g(p) =( cosu.cosv, cosu.sinv, sinu) Ta có, ảnh qua ánh xạ cầu của mặt cầu là toàn bộ mặt cầu đơn vị 3.3.2 M là mặt trụ trong E3 có tham số hoá là r:(u,v)... +u 2 2 a a +u 2 2 3 rv, rv, Vậy độ cong Gaus : a 0 K ( p ) = det( g * p ) = a2 + u2 a a + u2 2 0 3 = a2 (a2 + u2 )2 Đ4 ánh xạ cầu và các đờng trên siêu mặt 22 Trong Đ4 này, chúng tôi xét mối liên hệ giữa các đờng trên siêu mặt và ảnh của nó qua ánh xạ cầu 4.1 Định nghĩa Đờng trên siêu mặt M trong Em mà phơng tiếp xúc tại mọi điểm là một phơng chính của M tại điểm đó gọi là một đờng chính khúc trong M... là mặt khả triển 30 phụ { } Ngợc lại, với M là mặt khả triển,khi đó ' (u ), A' (u ), A(u ) phụ thuộc tuyến tính ' (u ) A(u ) và A' (u ) A(u ) phụ thuộc tuyến tính Do đó với mỗi u cố định trờng pháp vectơ n có phơng không đổi khi v thay đổi, nên qua ánh xạ cầu mỗi đờng sinh u=u0 có ảnh chỉ là một điểm Suy ra ảnh của mặt khả triển qua ánh xạ cầu là một đờng 5.7 Mệnh đề Mặt kẻ có ảnh qua ánh xạ cầu. .. hP() hP() =2 , TPS Hay g*P () g*P () =2 , TPS vì g *P = h p Vậy g là ánh xạ bảo giác 5.2 Trong E3 ta có mệnh đề: Nếu g là ánh xạ cầu từ mặt liên thông (cung) S vào mặt cầu đơn vị S2 thì g bảo giác khi và chỉ khi S nằm trên mặt cầu hay mặt tối tiểu Chứng minh g là ánh xạ bảo giác g*P là đồng dạng (tuyến tính) vì g *P = h p hp là đồng dạng (tuyến tính) Nếu đồng dạng này có hệ số là 2 tức là ...Đ4 ánh xạ cầu đờng siêu mặt Mục trình bày liên hệ đờng siêu mặt ảnh qua ảnh xạ cầu Đ5 Siêu mặt mối quan hệ với ảnh qua ánh xạ cầu Mục trình bày mối liên hệ siêu mặt, ánh xạ cầu ảnh siêu mặt. .. Siêu mặt mối quan hệ với ảnh qua ánh xạ cầu Mục trình bày mối quan hệ siêu mặt, ánh xạ cầu ảnh siêu mặt qua ánh xạ cầu Từ ta thấy dựa vào tính chất ánh xạ cầu hay tính chất ảnh siêu mặt qua ánh. .. chất ánh xạ cầu Trong Đ3 trình bày khái niệm ánh xạ cầu siêu mặt En+1 , xét mối liên hệ ánh xạ tiếp xúc ánh xạ cầu với ánh xạ Weingarten để từ chứng minh tính chất định thức ánh xạ tiếp xúc ánh xạ