Ánh xạ xạ ảnh và các vấn đề về đường cônic trong mặt phẳng xạ ảnh thực p2 r

Trên cơ sở lí thuyết về hình học xạ ảnh và đặc biệt là ánh xạ xạ ảnh, chúng tôi đã nghiên cứu và vận dụng ánh xạ xạ ảnh của đờng cônic trong mặt phẳng xạ ảnh thực P 2 R để giải các bài t

Đ 3 Vận dụng ánh xạ xạ ảnh đối với đờng cônic để giải các bài toán…23

1

Lời nói đầu

Xạ ảnh và các vấn đề nghiên cứu xạ ảnh đã đợc nghiên cứu khá nhiều từtrớc tới nay, đó là một trong những vấn đề khiến nhiều ngời làm khoa học trăntrở, tìm tòi và nghiên cứu Trên cơ sở lí thuyết về hình học xạ ảnh và đặc biệt là

ánh xạ xạ ảnh, chúng tôi đã nghiên cứu và vận dụng ánh xạ xạ ảnh của đờng

cônic trong mặt phẳng xạ ảnh thực P 2 (R) để giải các bài toàn hình học sơ cấp rất

hiệu quả

Khoá luận này đợc trình bày với 3 mục chính:

Đ 1 Các kiến thức cơ bản

Mục này đa ra một số kiến thức cơ bản phục vụ cho Đ 2 và Đ 3

Đ 2 ánh xạ xạ ảnh và các vấn đề về đờng cônic trong mặt phẳng xạ ảnh

thực P 2 (R).

Mục này đa ra các khái niệm, các định lí, một số đối ngẫu của định lí, hệquả và một số đối ngẫu của hệ quả các tính chất có liên quan đến đờng cônic

trong P 2 (R).

Đ 3 Vận dụng ánh xạ xạ ảnh đối với cônic trong P 2 (R) để giải toán

Mục này đa ra các bài toán sơ cấp dùng các tính chất, hệ quả, định lí ở Đ2 để giải

Để hoàn thành khoá luận này, ngoài sự cố gắng, nỗ lực của bản thân, tôicòn nhận đợc sự hớng dẫn tận tình, chu đáo của thầy giáo TS Phạm Ngọc Bộicũng nh các thầy cô trong tổ hình - khoa Toán, sự góp ý chân thành của bạn bè

và những lời động viên quý báu của gia đình, ngời thân Nhân dịp này, cho phéptôi đợc bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các thầy cô giáo và toàn thể mọi ngời

Do sự hạn chế về thời gian cũng nh năng lực nên khoá luận không tránhkhỏi những thiếu sót, tôi rất mong đợc sự đánh giá, phê bình và góp ý của cácthầy cô giáo cùng toàn thể các bạn Tôi xin chân thành cảm ơn

1.1.1 Định nghĩa Cho hai không gian xạ ảnh Pn và P'n tơng ứng liên kếtvới không gian các véc tơ Vn + 1, V'n + 1 ánh xạ f: Pn  P'n đợc gọi là ánh xạ xạ

ảnh nếu có đẳng cấu tuyến tính : Vn + 1 V'n + 1 sao cho với mọi A  Pn nếu a

là véc tơ đại diện cho điểm A thì  (a ) là véc tơ đại diện cho điểm f(A)

Đẳng cấu tuyến tính  đợc gọi là ánh xạ đại diện của ánh xạ xạ ảnh f, hay f là ánh xạ xạ ảnh cảm sinh bởi đẳng cấu tuyến tính 

1.1.2 Ví dụ ánh xạ đồng nhất của Pn là một ánh xạ xạ ảnh, ánh xạ cảmsinh của nó là một phép vị tự với tỷ số khác 0 tuỳ ý (nói riêng phép đồng nhất)của Vn+1

1.1.3 Chú ý

1) Nếu  là ánh xạ đại diện của ánh xạ xạ ảnh f thì với một   R\ {0},

.

  cũng là ánh xạ đại diện của ánh xạ f

2) Nếu cho hai không gian xạ ảnh (Pn, p , Vn+1) và (P’n, p’ , V’n+1) thì códuy nhất ánh xạ xạ ảnh f cảm sinh bởi  ánh xạ xạ ảnh f đợc xác định nh sau:với mỗi A Pn, giả sử a là véc tơ đại diện cho điểm f(A) (Kí hiệuaA) thì lấyf(A) là điểm mà (a) là véc tơ đại diện cho điểm f(A) (kí hiệu (a)  f(A))

3) ánh xạ xạ ảnh là một song ánh

4) Cho ba không gian xạ ảnh (Pn, p, Vn+1), (P'n, p', V'n+1), (P''n, p'', V''n+1) Giả sử ánh xạ xạ ảnh f: Pn P'n cảm sinh bởi đẳng cấu tuyến tính : Vn+1

V’n+1 và ánh xạ xạ ảnh g: P’n P”n cảm sinh bởi đẳng cấu tuyến tính

’: V’n+1 V”n+1 Khi đó ánh xạ tích g0f: P’n  P”n là ánh xạ xạ ảnh cảm sinhbởi đẳng cấu tuyến tính ’0: V’n+1V”n+1

i

a

3

Gọi f là ánh xạ xạ ảnh cảm sinh bởi đẳng cấu tuyến tính  (chú ý 1.1.3).Vì f(Ai)  (ai )  A’i nên A’i = f(Ai) Gọi e , e' tơng ứng là véc tơ đại diện

n i i

n i i

a =e'.Vậy f(E)   (e ) = e'  E’ cho nên E' = f(E)

1.1.5 Định lý. ánh xạ xạ ảnh biến hệ điểm độc lập (phụ thuộc) thành hệ

điểm độc lập (phụ thuộc).

Chứng minh Giả sử ánh xạ xạ ảnh f: Pn P’n cảm sinh bởi đẳng cấutuyến tính : Vn+1 V’n+1 Nếu hệ {Ai} (i = 1, 2, 3,…,n) là hệ điểm độc lập thì

hệ véc tơ {ai } (i = 1, 2, 3,…,n) trong đó ai đại diện cho Ai là hệ véc tơ độc lậptuyến tính Do  là đẳng cấu tuyến tính nên {(ai )}, (i =1, 2, 3,…,m) độc lậptuyến tính, nhng (ai ) đại diện cho f(Ai) Vậy {f(Ai)} (i = 1, 2, 3,…, n) độc lập

Trờng hợp đối với hệ điểm phụ thuộc {Ai} (i = 1, 2, 3,…,m) thì cũngchứng minh tơng tự

1.1.6.Hệ quả ánh xạ xạ ảnh biến mặt phẳng thành mặt phẳng Nói

riêng, ánh xạ xạ ảnh biến 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng.

Chứng minh Từ nội dung và chứng minh định lý 6, Đ 3 chơng I [2], ta có

mỗi một mặt phẳng đợc xác định duy nhất bởi m + 1 điểm độc lập thuộc nó Giả sử mặt phẳng Pm đợc xác định bởi m + 1 điểm độc lập

{A1, A2,…, Am+1} Theo định lý (1.1.5.) ta có hệ điểm {f(Ai)} (i = 1, 2, 3,…,m+1) độc lập Nên dễ thấy f(Pm) chính là m - phẳng đi qua hệ điểm {f(Ai)} (i =

1, 2, 3,…, m+1) Thật vậy, gọi P'm là m - phẳng đi qua {A’i = f(Ai)} ( i = 1, 2, 3,, m+1) Ta chứng minh f(P

… m) = P’m bằng cách lấy điểm Y bất kì thuộc f(Pm) thì

Y = f(X), X  Pm Hệ điểm {A1, A2,…, Am+1, X} là hệ phụ thuộc Do đó, hệ điểm{A’1, A’2,…, A’m+1, Y} phụ thuộc Suy ra Y  P’ m Vậy f(Pm)  P’m Chứng minhhoàn toàn tơng tự, ta có P’m  f(Pm)

1.1.7 Biểu thức toạ độ (hay phơng trình) của ánh xạ xạ ảnh

Cho 2 không gian xạ ảnh (Pn, p, Vn+1) và (P’n, p’, V’n+1) Giả sử f là ánh xạxạ ảnh của Pn Pn cảm sinh bởi  : Vn+1V’n+1 Trong Pn cho mục tiêu {Ai; E},(i =1, 2, …, n+1) có cơ sở đại diện là {ai }, trong P’n cho mục tiêu {A’i ; E}, (i

= 1, 2,…, n+1) có cơ sở đại diện là {ai ’}, (i = 1, 2, …, n+1) Với mỗi một X 

Pn gọi X’ = f(X) Giả sử x là véc tơ đại diện cho điểm X thì (x) là véc tơ đạidiện cho điểm X'.

Kí hiệu [x] là ma trận toạ độ của véc tơ x đối với cơ sở {ai}, [( x)] là

ma trận toạ độ cột của véc tơ (x) đối với cơ sở {a'i} Biểu thức toạ độ của 

là [(x)] = A[x] ,trong đó detA  0 Do x, (x) tơng ứng là véc tơ đại diệncho điểm X, X' nên toạ độ [X] của điểm X đối với mục tiêu {Ai; E} thỏa mãnphơng trình [x] = k1 [X], tọa độ [X’] của điểm X’ đối với mục tiêu {Ai; E} thỏamãn

phơng trình [(x)] = k2[X’] với k1 và k2  0 Từ đó ta có:

k[X’] = A[X], k0, (*) (detA  0).

Biểu thức (*) đợc gọi là biểu thức toạ độ (hay phơng trình) của ánh xạ xạ

ảnh f đối với cặp mục tiêu {Ai; E} và {Ai’; E’} Ma trận A đợc gọi là ma trận của

ánh xạ xạ ảnh f đối với cặp mục tiêu trên

Từ đó ta dễ thấy hai ma trận A và B cũng là ma trận của ánh xạ xạ ảnh f

đối với cặp mục tiêu {Ai; E} và {Ai’; E’} khi và chỉ khi A = kB , trong đó k  0

1.1.8 Định lý Tỷ số kép của 4 điểm thẳng hàng không thay đổi qua

ánh xạ xạ ảnh.

Chứng minh Giả sử ánh xạ xạ ảnh f có biểu thức toạ độ k[X’] = A[X] đối

với cặp mục tiêu {Ai; E} và {A'i; E'} Kí hiệu [M], [N], [P], [Q] lần lợt là ma trậntoạ độ cột các điểm M, N, P, Q đối với mục tiêu {Ai; E}

k[P’] = A[P] = 1 A[M] + 1 A[N] = 1k1[M’] + 1k2[N’]

k[Q’] = A[Q] = 2 A[M] + 2 A[N] = 2k1[M’] + 2k2[N’]

Vậy (MNPQ) =

2

2 1

= (M’ N’ P’Q’) Hay tỷ số kép của 4 điểm M, N,

P, Q không thay đổi qua ánh xạ xạ ảnh f

1.2 Định lý Mác – Lôranh ( Mac – Laurin). Lôranh ( Mac – Lôranh ( Mac – Laurin). Laurin).

5

1.2.1 Định lý Tập hợp tất cả các siêu phẳng tiếp xúc với một siêu mặt

bậc hai không suy biến là một siêu mặt lớp hai không suy biến Ngợc lại, mỗi siêu mặt lớp hai không suy biến gồm tất cả những siêu phẳng tiếp xúc với một siêu mặt bậc hai không suy biến.

Chứng minh Xem [3]

1.2.2 Hệ quả Đối ngẫu của khái niệm điểm thuộc siêu mặt bậc hai

không suy biến là khái niệm siêu phẳng tiếp xúc với siêu mặt bậc hai không suy biến.

Từ định lý và hệ quả trên, áp dụng cho P 2 (R) ta có cặp mệnh đề đối ngẫu

sau:

1.2.3 Mệnh đề 1 Có một đờng cônic duy nhất đi qua 5 điểm cho trớc,

trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng.

1.2.4 Mệnh đề 2 (mệnh đề đối ngẫu của mệnh đề 1).

Có một đờng cônic tiếp xúc với 5 đờng thẳng cho trớc, trong đó không

có 3 đờng nào đồng quy.

Từ hệ quả 1.2.2 và hai mệnh đề trên ta suy ra hệ quả sau

1.2.5 Hệ quả Trong P 2 (R), đối ngẫu với khái niệm hàng điểm là khái niệm chùm đờng thẳng.

Đ 2 ánh xạ xạ ảnh và các vấn đề về đờng

cônic trong mặt phẳng

2.1 Định nghĩa Trong mặt phẳng xạ ảnh thực P 2 (R) Phơng trình:

x1 + x2 - x3 = 0 đợc gọi là phơng trình chuẩn tắc của đờng cônic.

Nhận xét: Cônic là một đờng bậc 2 không suy biến vì det A  0

2.2 ánh xạ xạ ảnh giữa hai hàng điểm trong P 2 (R).

Trong P 2 (R), tập hợp các điểm cùng thuộc một đờng thẳng gọi là hàng

điểm Giả sử m và m' là hai đờng thẳng trong P 2 (R), vì mỗi đờng thẳng này là

không gian xạ ảnh một chiều nên có các ánh xạ xạ ảnh từ m lên m'

2.2.1 Định nghĩa ánh xạ xạ ảnh f từ đờng thẳng m lên đờng thẳng m' (kí

hiệu f: m m') đợc gọi là ánh xạ xạ ảnh từ hàng điểm m lên hàng điểm m'.

Phép chiếu xuyên tâm f: mm' với O là tâm chiếu còn đợc gọi là phép

phối cảnh tâm O giữa hai hàng điểm m và m'.

2.2.2 Định lý ánh xạ f: m m' là ánh xạ xạ ảnh khi và chỉ khi f bảo

tồn tỉ số kép của 4 điểm bất kì.

Chứng minh Nếu f là ánh xạ xạ ảnh, theo tính chất của ánh xạ xạ ảnh thì

tỷ số kép của 4 điểm bất kì đợc bảo tồn

Ngợc lại, nếu f là ánh xạ giữa hai hàng điểm m và m' có tính chất bảo tồn

tỷ số kép của 4 điểm bất kỳ Lấy 3 điểm A, B, C phân biệt thuộc m và ảnh củachúng qua f là A' = f(A), B' = f(B), C' = f(C) là 3 điểm phân biệt thuộc m' Khi

đó, các hệ điểm {A, B, C} và {A', B', C'} tơng ứng là mục tiêu của m và m' nêntồn tại duy nhất ánh xạ xạ ảnh g: m m' sao cho g(A) = A', g(B) = B', g(C) = C'.Lấy điểm M bất kỳ thuộc m, khi đó (ABCM) = (A'B'C'g(M))

Nhng do (ABCM) = (A'B'C'g(M)), từ đó suy ra: g(M) = f(M),  M  m,hay f = g, tức f là ánh xạ xạ ảnh

ff

Từ định lý này, ta có thể suy ra hệ quả sau:

2.2.3 Hệ quả Cho 2 hàng điểm m và m' ánh xạ f: m m' là ánh xạ xạ

ảnh nếu nó bảo tồn tỷ số kép của 4 điểm bất kì.

Đặt M1 = m'  SM, theo định lý về quan hệ về tỷ số kép của 4 điểm thuộc hàng

và 4 siêu phẳng thuộc chùm, ta có: (OABM) = (SO, SA, SB, SM) = (OA'B'M1) Tức là (OABM) =(OA'B'M1) Suy ra, M'  M1, tức là M, M', S thẳng hàng Ngợc lại, giả sử ánh xạ xạ ảnh

f: m  m là phép phối cánh tâm S, khi

đó dễ thấy giao điểm của 2 đờng thẳng

m và m' là O sẽ biến nó thành chính

nó, tức f(O) = O

2.3 ánh xạ xạ ảnh giữa hai chùm đờng thẳng trong P 2 (R).

Trong P 2(R), tập hợp tất cả các đờng thẳng đi qua điểm S đợc gọi là chùm

đờng thẳng tâm S Kí hiệu {S}

Kí hiệu chùm đờng thẳng tâm S là {S} {S}

2.3.1 Định nghĩa

a) Trong P 2 (R), cho 2 chùm đờng thẳng {S} và {S'} (S  S')

Lấy 3 điểm A, B, O thuộc m, khi

đó ảnh của chúng qua f là A' = f(A); B' =

f(B) và O = f(O) Đặt S = AA'  BB', lấy

điểm M bất kỳ thuộc m, đặt M' = f(M)

ánh xạ f: {S}{S'} biến mỗi đờng thẳng thuộc {S} thành mỗi đờng thẳng

thuộc {S'} đợc gọi là ánh xạ xạ ảnh nếu nó bảo tồn tỷ số kép của 4 đờng thẳng

bất kỳ

b) Trong P 2 (R), cho hai chùm đờng thẳng {S} và {S’} (S  S’) và đờng thẳng

d không đi qua điểm nào trong chúng ánh xạ f:{S}{S’} đợc xác định nh sau:với đờng thẳng m  {S} thì ảnh f(m) = m’  {S’} đi qua giao điểm của m và d,

đợc gọi là phép phối cảnh ( hay phép chiếu xuyên trục) và đờng thẳng d đợc gọi là trục phối cảnh Kí hiệu:{S} {S}.

2.3.2 Định lý:

1) Trong P 2 (R) , cho hai chùm {S} và {S } (S ’  S ) Khi dó tồn tại duy’

nhất phép ánh xạ f: {S}  {S } sao cho với 3 đ’ ờng thẳng a, b ,c, thuộc {S} có

ảnh là 3 đờng thẳng a , b , c ’ ’ ’ {S }.’

đờng thẳng SS tự ứng ( tức là f(SS ) = SS ).’ ’ ’

Nhận xét : 1) Là đối ngẫu của định lý 2.2.2.

2) Là đối ngẫu của định lý 2.2.4

2.3.3 Định lý Steine:

a) Trong mặt phẳng xạ ảnh cho hai chùm {S 1 } và {S 2 } (S 1  S 2 ), nếu

ánh xạ f: {S 1 }  {S 2 } mà không phải là phép phối cảnh thì quỹ tích giao

điểm các cặp đờng thẳng ảnh và tạo ảnh tơng ứng là một đờng cônic đi qua S 1 và S 2 Cônic này tiếp xúc với đờng thẳng f(S 1 S 2 ) tại S 2 và tiếp xúc với đờng thẳng f 1 (S 1 S 2 ) tại S 1

b) Nếu S 1 và S 2 là hai điểm phân biệt cố định trên một cônic(C) thì ánh xạ f:{S 1 }  {S 2 } từ chùm {S 1 } lên chùm {S 2 } xác định bởi f(S 1 M) = (S 2 M) là một ánh xạ xạ ảnh ( nhng không là phép phối cảnh).

(Khi M  S 1 , coi S 1 M là tiếp tuyến của (C) tại S 1 ; khi M  S 2 thì coi S 2 M

là tiếp tuyến của (C) tại S 2 )

Chứng minh

9

d3S

3

M2

E2

d1M

1

f

a) Gọi d3 là đờng thẳng đi qua S1S2, gọi d2, d1 tơng ứng là tạo ảnh của d3: f(d2) = d3, f(d3) = d1 Do f không phải là phép phối cảnh nên theo định lý 2.3.2thì đờng thẳng d3 không tự ứng, vậy d3  d1, d3  d2.

Suy ra d1  d2 ( vì nếu d1  d2  S1S2 = d3) Do đó d1, d2, d3 là 3 đờngthẳng phân biệt Gọi S3 là ba giao điểm của d1 và d2 thì S1, S2, S3 là các điểm phânbiệt Lấy d là đờng thẳng thuộc chùm {S1} tùy ý khác d2, d3 và d’ là ảnh của đ-ờng thẳng d (tức f(d) = d’) gọi E là giao điểm của 2 đờng thẳng d và d’, khi đóchọn mục tiêu trong mặt phẳng xạ ảnh là{S1, S2, S3; E} (1)

Giả sử đờng thẳng m bất kỳ {S1} khác với d,d2,d3 và ảnh f(m).Vì f là

Gọi (C) là đờng cônic có phơng trình (5) đối với mục tiêu (1) Rõ ràng

m (C), bằng cách viết phơng trình tiếp tuyến của cônic (C) tại hai điểm S1 và S2

ta thấy đó chính là đờng thẳng x2= 0, x1 = 0, tức là hai đờng thẳng d2, d1

Khi m trùng với d, d2 hoặc d3 thì điểm M chính là điểm E, S1 hoặc S2 thuộc (C)

Ngợc lại, lấy điểm M bất kỳ thuộc cônic (C) Khi đó từ (3), (4) ,(5) ta suy

ra (2) tức (d3d2,d,m) = (d1,d3,d’,m’) (2)

b) Bây giờ ta chứng minh rằng nếu ánh xạ f thỏa mãn điều kiện trên thì nó

là ánh xạ xạ ảnh nhng không phải là phép phối cảnh Gọi d3 là đờng thẳng đi qua

S1, S2 gọi d1, d2 lần lợt là các tiếp tuyến của (C) tại S1, S2 và gọi giao điểm của d1

và d2 là S3 Lấy E  (C) E S1 , E S2 Chọn mục tiêu của mặt phẳng xạ ảnh là{S1,S2,S3;E} thì (C) có phơng trình là: x3 – Lôranh ( Mac – Laurin) x1x2 = 0

Với mỗi điểm M  (C), M(x1,x2,x3) thì x3 -x1x2 = 0 hay x x32 =

1

3

x x

( với x3 0, x10) (6) Gọi d,d’,m,m’ lần lợt là đờng thẳng qua S1E, S2E, S1M,S2M, khi đó chứng minh tơng tự nh phần a) ( cho định lý thuận) ta có:

Ta có các định lý sau là định lý đối ngẫu của định lýSteine

2.3.4 Định lý :

a) Nếu f: {m 1 }  {m 2 } là ánh xạ xạ ảnh giữa hai hàng điểm không phải

là phép phối cảnh thì các đờng thẳng nối với các cặp điểm ảnh tơng ứng sẽ tiếp xúc với một đờng cônic Cônic này tiếp xúc với m 1 , m 2 lần lợt tại

m’

M2

E2

E1

E

md

là tiếp điểm của m với cônic (C), khi m trùng m 2 thì ta coi mm 2 là tiếp điểm

của m với cônic (C)).

2.4 Sự xác định đờng cônic trong mặt phẳng xạ ảnh.

2.4.1 Định lý Trong mặt phẳng xạ ảnh cho 5 điểm trong đó không có

3 điểm nào thẳng hàng Khi đó có duy nhất đờng cônic đi qua chúng.

Chứng minh Giả sử 5 điểm đã cho là A,B,C,D,E Xét hai chùm đờng

thẳng {A}, {B} có ánh xạ xạ ảnh duy nhất f: {A}{B} sao cho f(AC) = BC ;f(AD) = BD ; f(AE) = BE Vì các điểm C,D,E không thẳng hàng nên f khôngphải là phép phối cảnh Theo định lý Steine 2.3.3 thì có duy nhất một đờngcônic qua giao điểm của các cặp đờng thẳng tơng ứng, đó là 5 điểm nói trên Sau đây là các trờng hợp đặc biệt của định lý trên, khi trong số 5 điểm trên cócác điểm trùng nhau Cách chứng minh tơng tự trên

2.4.1.1 Hệ quả 1 Trong mặt phẳng xạ ảnh cho 4 điểm A,B,C,D trong

đó không có 3 điểm nào thẳng hàng và đờng thẳng a chứa điểm A nhng không chứa các điểm B,C,D , khi đó có duy nhất một đờng cônic đi qua A,B,C,D và tiếp xúc với a tại A.

2.4.1.2 Hệ quả 2 Trong mặt phẳng xạ ảnh cho 3 điểm A,B,C không

thẳng hàng và đờng thẳng a chứa A nhng không chứa các điểm B,C Khi đó

có duy nhất đờng cônic đi qua A,B,C và tiếp xúc với a tại A, tiếp xúc với b tại B.

Các định lý sau là đối ngẫu của định lý 2.4.1 và hai hệ quả trên.

2.4.2 Định lý Trong mặt phẳng xạ ảnh có 5 đờng thẳng trong đó

không có 3 đờng nào đồng quy Khi đó có duy nhất đờng cônic tiếp xúc với chúng.

2.4.2.1 Hệ quả 1 ( Đối ngẫu với hệ quả 2.4.1.1)

Trong mặt phẳng xạ ảnh cho 4 đờng thẳng a,b,c,d trong đó không có 3

Khi đó có duy nhất đờng cônic đi qua A,B,C,D và tiếp xúc với a tại A.

2.4.2.2 Hệ quả 2 ( Đối ngẫu với hệ quả 2.4.1.2)

Trong mặt phẳng xạ ảnh cho 3 đờng thẳng a,b,c không đồng quy và 2

duy nhất đờng cônic tiếp xúc với a tại A, tiếp xúc với b tại B và tiếp xúc c.

2.5.Định lý Paxcan trên đờng cônic.

2.5.1 Định nghĩa hình 6 đỉnh Trong P 2 (R) một tập hợp 6 điểm phân biệt

kế theo ký tự A1, A2, A3, A4, A5, A6 đợc gọi là một hình 6 đỉnh

Trong đó:

a) 6 điểm phân biệt đó gọi là các đỉnh.

b) Các đờng thẳng A1A2, A2A3, A3A4, A4A5, A5A6, A6A1 đợc gọi là các

cạnh.

c) Mỗi cặp cạnh A1A2 và A4A5; A2A3 và A5A6; A3A4 và A6A1 đợc gọi là

cặp cạnh đối diện.

2.5.2 Định lý Paxcan Nếu một hình 6 đỉnh nội tiếp một cônic (tức là

các đỉnh của nó cùng thuộc một cônic) thì 3 giao điểm của 3 cặp cạnh đối diện nằm trên một đờng thẳng (gọi là đờng thẳng Paxcan của hình 6 cạnh

đó).

Chứng minh

Gọi A1A2A3A4A5A6 là hình 6 đỉnh nội tiếp cônic

Gọi Q, I, R lần lợt là giao điểm của các cặp cạnh

áp dụng định lý Steine đảo cho 2 chùm tâm A1 và A5 , ta có

(A1A2, A1A3, A1A4, A1A6) = (A5A2,A5A3,A5A4,A5A6) (*)

Cắt chùm tâm A1 bởi đờng thẳng A3A4 và cắt chùm tâm A5 bởi đờng thẳngA2A3

Ta có: (A1A2, A1A3, A1A4, A1A6) = (MA3A4Q)

(A5A2, A5A3, A5A4, A5A6) = (A2A3 NR)

Kết hợp với (*) ta có (MA3A4Q) = (A2A3 NR) nên ánh xạ xạ ảnh giữa haihàng điểm {M, A3, A4, Q} và {A2, A3, N, R) Nhng trong ánh xạ đó MA2, A4N,

R

A4

A

3

A5

A2A

6

Ta định nghĩa các hình 5 đỉnh, 4 đỉnh, 3 đỉnh tơng tự hình 6 đỉnh khi thay

6 bởi 5, 4, 3 Xem hình 5 đỉnh, 4 đỉnh, 3 đỉnh là một hình 6 đỉnh trong đó lần l ợt

có hai đỉnh, 3 đỉnh, 4 đỉnh trùng nhau Từ đó ta có các trờng hợp đặc biệt của

định lý Paxcan

Định lý:

điểm của các cặp đờng thẳng cạnh A 1 A 2 và A 4 A 5 , cạnh A 2 A 3 và A 5 A 1 , cạnh

A 3 A 4 và tiếp tuyến của (S) tại A 1 nằm trên một đờng thẳng (hình a)

b) Nếu 4 điểm A,B,C,D nằm trên một đờng cônic (S) thì 3 giao điểm của tiếp tuyến tại A và cạnh BC, cạnh AB và AD, tiếp, tuyến tại B và cạnh AD nằm trên một đờng thẳng (hình b)

c) Nếu 3 điểm A, B, C cùng nằm trên một cônic (S) thì 3 giao điểm của tiếp tuyến tại mỗi đỉnh và cạnh đối diện nằm trên một đờng thẳng (hình c)

2.6 Định lý Briăngsông.

DB

A1A6

A3

2.6.1 Hình 6 cạnh Trong mặt phẳng xạ ảnh, một tập hợp 6 đờng thẳng

phân biệt kẻ theo thứ tự a1, a2, a3, a4, a5, a6, đợc gọi là hình 6 cạnh, 6 đờng thẳng

đó đợc gọi là các cạnh Các giao điểm A1= a6  a1, A2 = a1 a2, A3 = a2  a3, A4

= a3  a4, A5 = a4  a5, A6 = a5  a6 đợc gọi là các đỉnh của hình 6 cạnh Mỗicặp A1 và A4 , A2 và A5 , A3 và A6 gọi là một cặp đỉnh đối diện

Suy ra định lý Briăngsông sau đây là đối ngẫu của định lý Paxcan

2.6.2 Định lý Briăngsông.

Nếu một hình 6 cạnh nội tiếp một cônic (tức là các cạnh của nó cùng tiếp xúc với một cônic) thì 3 đờng thẳng nối 3 cặp đỉnh đối diện của nó đồng quy tại một điểm (gọi là điểm briăngsông của hình 6 cạnh ấy).

2.6.3 Các trờng hợp đặc biệt của Định lý Briăngsông.

Ta có thể gọi hình 6 cạnh theo cạnh hoặc theo đỉnh của nó Tơng tự các

khái niệm hình 6 cạnh, ta đi xây dựng khái niệm hình 5 cạnh, hình 4 cạnh,

hình 3 cạnh Ký hiệu tiếp điểm thuộc cạnh A1A5 là A6 Coi A1 A2 A3 A4 A5 A6 là

hình 6 cạnh suy biến Từ đó ta có các trờng hợp đặc biệt của hình 5 cạnh, 4

cạnh, 3 cạnh nh sau:

2.6.3.1 Định lý:

a) Nếu một hình 5 cạnh A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 ngoại tiếp đợc một hình cônic, thì các đờng thẳng A 1 A 4 , A 2 A 5 , đờng thẳng qua A 3 và tiếp điểm của cạnh A 1 A 5 với cônic đồng quy tại 1 điểm (hình a)

15

A6

a5

A1

a1

A2

a2

a3

A4

a4A5

a6