Ánh xạ xạ ảnh và các vấn đề về đường cônic trong mặt phẳng xạ ảnh thực p2 r

Mục lục Lời nói đầu Đ Một số kiến thức Đ ánh xạ xạ ảnh vấn đề đờng cônic mặt phẳng xạ ảnh thực P2(R) Đ Vận dụng ánh xạ xạ ảnh đờng cônic để giải toán 23 Tài liệu tham khảo 34 Lời nói đầu Xạ ảnh vấn đề nghiên cứu xạ ảnh đợc nghiên cứu nhiều từ trớc tới nay, vấn đề khiến nhiều ngời làm khoa học trăn trở, tìm tòi nghiên cứu Trên sở lí thuyết hình học xạ ảnh đặc biệt ánh xạ xạ ảnh, nghiên cứu vận dụng ánh xạ xạ ảnh đờng cônic mặt phẳng xạ ảnh thực P2(R) để giải toàn hình học sơ cấp hiệu Khoá luận đợc trình bày với mục chính: Đ Các kiến thức Mục đa số kiến thức phục vụ cho Đ Đ Đ ánh xạ xạ ảnh vấn đề đờng cônic mặt phẳng xạ ảnh thực P2(R) Mục đa khái niệm, định lí, số đối ngẫu định lí, hệ số đối ngẫu hệ tính chất có liên quan đến đờng cônic P2(R) Đ Vận dụng ánh xạ xạ ảnh cônic P2(R) để giải toán Mục đa toán sơ cấp dùng tính chất, hệ quả, định lí Đ2 để giải Để hoàn thành khoá luận này, cố gắng, nỗ lực thân, nhận đợc hớng dẫn tận tình, chu đáo thầy giáo TS Phạm Ngọc Bội nh thầy cô tổ hình - khoa Toán, góp ý chân thành bạn bè lời động viên quý báu gia đình, ngời thân Nhân dịp này, cho phép đợc bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy cô giáo toàn thể ngời Do hạn chế thời gian nh lực nên khoá luận không tránh khỏi thiếu sót, mong đợc đánh giá, phê bình góp ý thầy cô giáo toàn thể bạn Tôi xin chân thành cảm ơn Vinh, ngày 25 tháng năm 2004 Sinh viên: Lê Thị Liên Đ Một số kiến thức 1.1 ánh xạ xạ ảnh 1.1.1 Định nghĩa Cho hai không gian xạ ảnh Pn P'n tơng ứng liên kết với không gian véc tơ Vn + 1, V'n + ánh xạ f: Pn P'n đợc gọi ánh xạ xạ ảnh có đẳng cấu tuyến tính : Vn + V'n + cho với A véc tơ đại diện cho điểm A Đẳng cấu tuyến tính Pn a ( a ) véc tơ đại diện cho điểm f(A) đợc gọi ánh xạ đại diện ánh xạ xạ ảnh f, hay f ánh xạ xạ ảnh cảm sinh đẳng cấu tuyến tính 1.1.2 Ví dụ ánh xạ đồng Pn ánh xạ xạ ảnh, ánh xạ cảm sinh phép vị tự với tỷ số khác tuỳ ý (nói riêng phép đồng nhất) Vn+1 1.1.3 Chú ý 1) Nếu ánh xạ đại diện ánh xạ xạ ảnh f với R\ {0}, ánh xạ đại diện ánh xạ f 2) Nếu cho hai không gian xạ ảnh (Pn, p , Vn+1) (Pn, p , Vn+1) có ánh xạ xạ ảnh f cảm sinh ánh xạ xạ ảnh f đợc xác định nh sau: với A Pn, giả sử a véc tơ đại diện cho điểm f(A) (Kí hiệu a A) lấy f(A) điểm mà ( a ) véc tơ đại diện cho điểm f(A) (kí hiệu ( a ) f(A)) 3) ánh xạ xạ ảnh song ánh 4) Cho ba không gian xạ ảnh (Pn, p, Vn+1), (P'n, p', V'n+1), (P''n, p'', V''n+1) Giả sử ánh xạ xạ ảnh f: Pn P'n cảm sinh đẳng cấu tuyến tính : Vn+1 Vn+1 ánh xạ xạ ảnh g: Pn Pn cảm sinh đẳng cấu tuyến tính : Vn+1 Vn+1 Khi ánh xạ tích g0f: Pn Pn ánh xạ xạ ảnh cảm sinh đẳng cấu tuyến tính 0: Vn+1Vn+1 1.1.4 Định lý xác định phép ánh xạ xạ ảnh Định lý Cho {Ai; E}(1) {Ai; E} (2) , ( i = 1, 2, ,n+1) mục tiêu không gian xạ ảnh Pn Pn Khi tồn ánh xạ xạ ảnh f: Pn Pn cho f(Ai) = Ai, ( i = 1, 2,,n +1), f(E) = E Chứng minh Gọi { }, { ai' },(i = 1, 2,, n+1) sở V n+1, Vn+1 ứng với mục tiêu (1) (2) nói Theo định nghĩa ánh xạ xạ ảnh tồn ' đẳng cấu tuyến tính : Vn+1Vn+1 cho ( ) = Gọi f ánh xạ xạ ảnh cảm sinh đẳng cấu tuyến tính (chú ý 1.1.3) Vì f(Ai) ( ) Ai nên Ai = f(Ai) Gọi e , e ' tơng ứng véc tơ đại diện n +1 n +1 ' ' e cho điểm E E' ( ) = = a i = e i =1 i =1 Vậy f(E) ( e ) = e ' E E' = f(E) 1.1.5 Định lý ánh xạ xạ ảnh biến hệ điểm độc lập (phụ thuộc) thành hệ điểm độc lập (phụ thuộc) Chứng minh Giả sử ánh xạ xạ ảnh f: P n Pn cảm sinh đẳng cấu tuyến tính : Vn+1 Vn+1 Nếu hệ {Ai} (i = 1, 2, 3,,n) hệ điểm độc lập hệ véc tơ { } (i = 1, 2, 3,,n) đại diện cho Ai hệ véc tơ độc lập tuyến tính Do đẳng cấu tuyến tính nên {( )}, (i =1, 2, 3,,m) độc lập tuyến tính, nhng ( ) đại diện cho f(Ai) Vậy {f(Ai)} (i = 1, 2, 3,, n) độc lập Trờng hợp hệ điểm phụ thuộc {A i} (i = 1, 2, 3,,m) chứng minh tơng tự 1.1.6.Hệ ánh xạ xạ ảnh biến mặt phẳng thành mặt phẳng Nói riêng, ánh xạ xạ ảnh biến điểm thẳng hàng thành điểm thẳng hàng Chứng minh Từ nội dung chứng minh định lý 6, Đ chơng I [2], ta có mặt phẳng đợc xác định m + điểm độc lập thuộc Giả sử mặt phẳng Pm đợc xác định m + điểm độc lập {A1, A2,, Am+1} Theo định lý (1.1.5.) ta có hệ điểm {f(A i)} (i = 1, 2, 3,, m+1) độc lập Nên dễ thấy f(Pm) m - phẳng qua hệ điểm {f(A i)} (i = 1, 2, 3, , m+1) Thật vậy, gọi P'm m - phẳng qua {Ai = f(Ai)} ( i = 1, 2, 3,, m+1) Ta chứng minh f(Pm) = Pm cách lấy điểm Y thuộc f(Pm) Y = f(X), X Pm Hệ điểm {A1, A2,, Am+1, X} hệ phụ thuộc Do đó, hệ điểm {A1, A2,, Am+1, Y} phụ thuộc Suy Y Pm Vậy f(Pm) Pm Chứng minh hoàn toàn tơng tự, ta có Pm f(Pm) 1.1.7 Biểu thức toạ độ (hay phơng trình) ánh xạ xạ ảnh Cho không gian xạ ảnh (Pn, p, Vn+1) (Pn, p, Vn+1) Giả sử f ánh xạ xạ ảnh Pn Pn cảm sinh : Vn+1Vn+1 Trong Pn cho mục tiêu {Ai; E}, (i =1, 2, , n+1) có sở đại diện { }, Pn cho mục tiêu {Ai ; E}, (i = 1, 2,, n+1) có sở đại diện { }, (i = 1, 2, , n+1) Với X Pn gọi X = f(X) Giả sử x véc tơ đại diện cho điểm X ( x ) véc tơ đại diện cho điểm X' Kí hiệu [ x ] ma trận toạ độ véc tơ x sở { }, [( x )] ma trận toạ độ cột véc tơ ( x ) sở { a'i } Biểu thức toạ độ [( x )] = A[ x ] ,trong detA Do x , ( x ) tơng ứng véc tơ đại diện cho điểm X, X' nên toạ độ [X] điểm X mục tiêu {A i; E} thỏa mãn phơng trình [ x ] = k1 [X], tọa độ [X] điểm X mục tiêu {Ai; E} thỏa mãn phơng trình [( x )] = k2[X] với k1 k2 Từ ta có: k[X] = A[X], k0, (*) (detA 0) Biểu thức (*) đợc gọi biểu thức toạ độ (hay phơng trình) ánh xạ xạ ảnh f cặp mục tiêu {Ai; E} {Ai; E} Ma trận A đợc gọi ma trận ánh xạ xạ ảnh f cặp mục tiêu Từ ta dễ thấy hai ma trận A B ma trận ánh xạ xạ ảnh f cặp mục tiêu {Ai; E} {Ai; E} A = kB , k 1.1.8 Định lý Tỷ số kép điểm thẳng hàng không thay đổi qua ánh xạ xạ ảnh Chứng minh Giả sử ánh xạ xạ ảnh f có biểu thức toạ độ k[X] = A[X] cặp mục tiêu {Ai; E} {A'i; E'} Kí hiệu [M], [N], [P], [Q] lần lợt ma trận toạ độ cột điểm M, N, P, Q mục tiêu {Ai; E} Giả sử [P] = [M] + à1[N] [Q] = [M] + à2[N] Khi đó, tỉ số kép (MNPQ) = à1 : Gọi M', N', P', Q' lần lợt ảnh M, N, P, Q qua phép ánh xạ xạ ảnh f Khi đó, ma trận toạ độ cột [M'], [N'], [P'], [Q'] mục tiêu {A' i; E'} thỏa mãn phơng trình: k[P] = A[P] = A[M] + à1 A[N] = 1k1[M] + à1k2[N] k[Q] = A[Q] = A[M] + à2 A[N] = 2k1[M] + à2k2[N] Vậy (MNPQ) = à1 : = (M N PQ) Hay tỷ số kép điểm M, N, P, Q không thay đổi qua ánh xạ xạ ảnh f 1.2 Định lý Mác Lôranh ( Mac Laurin) 1.2.1 Định lý Tập hợp tất siêu phẳng tiếp xúc với siêu mặt bậc hai không suy biến siêu mặt lớp hai không suy biến Ngợc lại, siêu mặt lớp hai không suy biến gồm tất siêu phẳng tiếp xúc với siêu mặt bậc hai không suy biến Chứng minh Xem [3] 1.2.2 Hệ Đối ngẫu khái niệm điểm thuộc siêu mặt bậc hai không suy biến khái niệm siêu phẳng tiếp xúc với siêu mặt bậc hai không suy biến Từ định lý hệ trên, áp dụng cho P2(R) ta có cặp mệnh đề đối ngẫu sau: 1.2.3 Mệnh đề Có đờng cônic qua điểm cho trớc, điểm thẳng hàng 1.2.4 Mệnh đề (mệnh đề đối ngẫu mệnh đề 1) Có đờng cônic tiếp xúc với đờng thẳng cho trớc, đờng đồng quy Từ hệ 1.2.2 hai mệnh đề ta suy hệ sau 1.2.5 Hệ Trong P2(R), đối ngẫu với khái niệm hàng điểm khái niệm chùm đờng thẳng Đ ánh xạ xạ ảnh vấn đề đờng cônic mặt phẳng xạ ảnh thực P2(R) 2.1 Định nghĩa Trong mặt phẳng xạ ảnh thực P2(R) Phơng trình: x11 + x22 - x33 = đợc gọi phơng trình chuẩn tắc đờng cônic Nhận xét: Cônic đờng bậc không suy biến det A 2.2 ánh xạ xạ ảnh hai hàng điểm P2(R) Trong P2(R), tập hợp điểm thuộc đờng thẳng gọi hàng điểm Giả sử m m' hai đờng thẳng P2(R), đờng thẳng không gian xạ ảnh chiều nên có ánh xạ xạ ảnh từ m lên m' 2.2.1 Định nghĩa ánh xạ xạ ảnh f từ đờng thẳng m lên đờng thẳng m' (kí hiệu f: m m') đợc gọi ánh xạ xạ ảnh từ hàng điểm m lên hàng điểm m' Phép chiếu xuyên tâm f: mm' với O tâm chiếu đợc gọi phép phối cảnh tâm O hai hàng điểm m m' 2.2.2 Định lý ánh xạ f: m m' ánh xạ xạ ảnh f bảo tồn tỉ số kép điểm Chứng minh Nếu f ánh xạ xạ ảnh, theo tính chất ánh xạ xạ ảnh tỷ số kép điểm đợc bảo tồn Ngợc lại, f ánh xạ hai hàng điểm m m' có tính chất bảo tồn tỷ số kép điểm Lấy điểm A, B, C phân biệt thuộc m ảnh chúng qua f A' = f(A), B' = f(B), C' = f(C) điểm phân biệt thuộc m' Khi đó, hệ điểm {A, B, C} {A', B', C'} tơng ứng mục tiêu m m' nên tồn ánh xạ xạ ảnh g: m m' cho g(A) = A', g(B) = B', g(C) = C' Lấy điểm M thuộc m, (ABCM) = (A'B'C'g(M)) Nhng (ABCM) = (A'B'C'g(M)), từ suy ra: g(M) = f(M), M m, hay f = g, tức f ánh xạ xạ ảnh B A f A f B M C m f f m C f(M) Từ định lý này, ta suy hệ sau: 2.2.3 Hệ Cho hàng điểm m m' ánh xạ f: m m' ánh xạ xạ ảnh bảo tồn tỷ số kép điểm 2.2.4 Định lý ánh xạ xạ ảnh f: m m phép phối cảnh giao điểm hai đờng thẳng m m điểm tự ứng ( tức O = f(O)) Chứng minh Giả sử f: m m ánh xạ xạ ảnh O = m m' tự ứng, tức O = f(O) Cần chứng minh f phép phối cảnh, tức chứng minh đờng thẳng nối cặp điểm đồng quy S Lấy điểm A, B, O thuộc m, m ảnh chúng qua f A' = f(A); B' = f(B) M B O = f(O) Đặt S = AA' BB', lấy điểm M A thuộc m, đặt M' = f(M) Ta chứng O minh M', M, S thẳng hàng A M Vì f ánh xạ xạ ảnh nên (OABM) = (OA'B'M') (1) B mhàng Đặt M = m' SM, theo định lý quan hệ tỷ số kép điểm thuộc siêu phẳng thuộc chùm, ta có: (OABM) = (SO, SA, SB, SM) = (OA'B'M1) Tức (OABM) =(OA'B'M1) Suy ra, M' M1, tức M, M', S thẳng hàng Ngợc lại, giả sử ánh xạ xạ ảnh m m' O biến thành S f(O) = O m nó, tức f: m m phép phối cánh tâm S, dễ thấy giao điểm đờng thẳng O 2.3 ánh xạ xạ ảnh hai chùm đờng thẳng P2(R) m Trong P2(R), tập hợp tất đờng thẳng qua điểm S đợc gọi chùm đờng thẳng tâm S Kí hiệu {S} Kí hiệu chùm đờng thẳng tâm S {S} {S} f 2.3.1 Định nghĩa a) Trong P2(R), cho chùm đờng thẳng {S} {S'} (S S') ánh xạ f: {S}{S'} biến đờng thẳng thuộc {S} thành đờng thẳng thuộc {S'} đợc gọi ánh xạ xạ ảnh bảo tồn tỷ số kép đờng thẳng b) Trong P2(R), cho hai chùm đờng thẳng {S} {S} (S S) đờng thẳng d không qua điểm chúng ánh xạ f:{S}{S} đợc xác định nh sau: với đờng thẳng m {S} ảnh f(m) = m {S} qua giao điểm m d, đợc gọi phép phối cảnh ( hay phép chiếu xuyên trục) đờng thẳng d đợc gọi trục phối cảnh Kí hiệu:{S} {S} f 2.3.2 Định lý: 1) Trong P2(R) , cho hai chùm {S} {S} (S S) Khi dó tồn phép ánh xạ f: {S} {S} cho với đờng thẳng a, b ,c, thuộc {S} có ảnh đờng thẳng a, b, c {S} 2) ánh xạ xạ ảnh f: {S} {S} (S S) phép phối cảnh đờng thẳng SS tự ứng ( tức f(SS) = SS) Nhận xét : 1) Là đối ngẫu định lý 2.2.2 2) Là đối ngẫu định lý 2.2.4 2.3.3 Định lý Steine: a) Trong mặt phẳng xạ ảnh cho hai chùm {S 1} {S2} (S1 S2), ánh xạ f: {S1} {S2} mà phép phối cảnh quỹ tích giao điểm cặp đờng thẳng ảnh tạo ảnh tơng ứng đờng cônic qua S1 S2 Cônic tiếp xúc với đờng thẳng f(S1S2) S2 tiếp xúc với đờng thẳng f 1(S1S2) S1 b) Nếu S1 S2 hai điểm phân biệt cố định cônic(C) ánh xạ f:{S1} {S2} từ chùm {S1} lên chùm {S2} xác định f(S1M) = (S2M) ánh xạ xạ ảnh ( nhng không phép phối cảnh) (Khi M S1, coi S1 M tiếp tuyến (C) S 1; M S2 coi S2M tiếp tuyến (C) S2) Chứng minh d2 d m M2 E2 d3 S3 M E1 M M 1S d d1 m a) Gọi d3 đờng thẳng qua S1S2, gọi d2, d1 tơng ứng tạo ảnh d3: f(d2) = d3, f(d3) = d1 Do f phép phối cảnh nên theo định lý 2.3.2 đờng thẳng d3 không tự ứng, d3 d1, d3 d2 Suy d1 d2 ( d1 d2 S1S2 = d3) Do d1, d2, d3 đờng thẳng phân biệt Gọi S3 ba giao điểm d1 d2 S1, S2, S3 điểm phân biệt Lấy d đờng thẳng thuộc chùm {S1} tùy ý khác d2, d3 d ảnh đờng thẳng d (tức f(d) = d) gọi E giao điểm đờng thẳng d d, chọn mục tiêu mặt phẳng xạ ảnh là{S1, S2, S3; E} (1) Giả sử đờng thẳng m {S1} khác với d,d2,d3 ảnh f(m).Vì f ánh xạ xạ ảnh nên (d3,d2,d,m)=(d1,d3,d,m) (2) Gọi M giao điểm m m, giả sử điểm M(x 1,x2,x3) mục (1) Ta có tọa độ đơng thẳng sau: d1[1,0,0]; d2[0,1,0]; d3[0,0,1]; d[0.-1,1]; d[1,0,-1]; m[0,-x3,x2]; m[x3,0,-x1] x2 Vậy [d]=[d3] - [d2], [m]= x2[d3] - x3[d2] nên (d3,d2,d,m) = x 10 (3) N Q I A B I R M C M R 2.7.3 Chú ý Định lý trờng hợp đặc biệt M N, N Q (S) M đờng thẳng MN tiếp tuyến 2.7.4 Định lý Frêgiê: a) Định lý thuận Nếu f phép biến đổi xạ ảnh cônic (S) f phép đối hợp ( tức f = Id ) đờng thẳng nối hai điểm tơng ứng (S) qua điểm cố định (đợc gọi điểm Frêgiê f ) Chứng minh ( Xem [2]) b) Định lý đảo Cho F điểm cố định không nằm cônic(S) Nếu ánh xạ f: (S) (S) đợc xác định nh sau: Với điểm M (S), f(M), M F thẳng hàng F phép biến đổi xạ ảnh đối hợp (S) Chứng minh ( Xem [2]) 2.7.5 Đối ngẫu định lý Frêgiê Chú ý khái niệm tiếp tuyến đờng cônic đối ngẫu với khái niệm điểm thuộc cônic Vì hệ sau suy từ phép đối ngẫu khái niệm 2.6 Hệ Cho tiếp tuyến phân biệt a, b, c, d cônic (S) mà m tiếp tuyến (S) thay đổi cắt a, b, c, d lần lợt A, B, C, D Tỷ số kép (ABCD) không phụ thuộc vào vị trí m kí hiệu (ABCD) (S) Kí hiệu (S*) tập hợp tất tiếp tuyến cônic (S) Một ánh xạ F: (S *) (S*) đợc gọi ánh xạ xạ ảnh (S*) bảo tồn tỷ số kép đờng thẳng thuộc (S*) Sau định lý đối ngẫu định lý Frêgiê thuận đảo a) Định lý thuận Nếu ánh xạ xạ ảnh F: (S *) (S*) đối hợp ( tức F2 = Id) giao điểm đờng thẳng ( ảnh tạo ảnh) tơng ứng nằm đờng thẳng cố định ( đợc gọi đờng thẳng Frêgiê F) b) Định lý đảo Cho đờng thẳng cố định d không thuộc (S*) 18 ánh xạ F: (S*)(S*) đợc xác định nh sau: với a (S*), a F(a) cắt d Khi F ánh xạ xạ ảnh đối hợp (S*) 19 Đ Vận dụng ánh xạ xạ ảnh đờng cônic P2(R) để giải toán Qua vấn đề đợc trình bày phần trớc ánh xạ xạ ảnh vấn đề đờng cônic mặt phẳng xạ ảnh thực P2(R) Nhận thấy biết vận dụng khéo léo tính chất, định lý có liên quan đến đờng cônic nh định lý Steine, Paxcan, Briăngsông, Frêgiê ta giải đợc nhiều toán hình học có liên quan cách dễ dàng Sau số toán điển hình Bài toán Cho tam giác ABC cônic (S) tiếp xúc với BC, CA, AB theo thứ tự A, B, C Kí hiệu O = BB CC Chứng minh A, O, A nằm đờng thẳng A A B B C C C B O A Chứng minh B C A Gọi O giao điểm BB CC Với giả thiết cho ta cần chứng minh A, O, A thẳng hàng Tức chứng minh AA, BB, CC đồng quy O Thật vậy, xét hình đỉnh ABCABC ngoại tiếp cônic (S) mà BB CC = áp dụng định lý Briăngsông hình đỉnh ta có AA, BB, CC đồng quy O , hay điểm A, O, A thẳng hàng Bài toán Trong P2(R) cho cônic (S), hai điểm A, B cố định (S) điểm cố định P không nằm (S) Qua P vẽ đờng thẳng (thayđổi) cắt (S) M, N Tìm quỹ tích điểm I = AM BN K = AN BM Chứng minh 20 Q A A P R I B N Gọi A giao điểm cônic (S) với PA M d Q giao điểm AN với AM R giao điểm AM với AN Do (S), A, P cố định (giả thiết) nên suy QR đờng thẳng cố định Đặt QR = d, lúc d đờng thẳng cố định Theo định lý Steine đảo ta có: Chùm {A, AR} ^ chùm {A,AR} f Chùm {A, AM} ^ chùm {A,AN} f Chùm {A, AN} ^ chùm {B,BN} g Suy ra: chùm {A, AM} ^ chùm {B,BN}, chia làm trờng hợp: f Trờng hợp Khi AB không tự ứng (A, P, A không thẳng hàng) Theo định lý Steine thuận quỹ tích điểm I cônic chứa điểm A B Trờng hợp Khi AB tự ứng ( tức P, A, B thẳng hàng) => ánh xạ f phép phối cảnh quỹ tích điểm I đờng thẳng cố định ( tức đờng thẳng d) Chú ý: ánh xạ f: chùm {A, AR} chùm {A, AR} ARf(AB) = AR ánh xạ g: chùm {A, AN} chùm{B, BN} AN g(AN) = BN 21 Bài toán Trong mặt phẳng xạ ảnh cho điểm A, B, C, D điểm thẳng hàng (S) cônic biến thiên qua điểm Tiếp tuyến (S) B cắt AC điểm B, tiếp tuyến (S) C cắt BD C Chứng minh đờng thẳng BC luôn qua điểm cố định A B D C D B I C B A C C B Chứng minh Gọi I giao điểm hai cạnh AD BC Khi xét cônic(S) hình cạnh ADBBCC Theo định lý Paxcan ta gọi C giao điểm BD CC, B giao điểm BB CA, mà I giao AD BC Ta suy I, C, B thẳng hàng Hay BC qua I cố định ( Do I = AD BC mà AD, BC cố định => I điểm cố định) Bài toán Trong mặt phẳng xạ ảnh cho cônic(S) điểm A, B, C phân biệt S Các tiếp tuyến với S B C cắt D Một đờng thẳng biến thiên nhng luôn qua D Kí hiệu: P = AB, Q = AC, M = PC BQ Chứng minh quỹ tích điểm M cônic (S) A A B C C Chứng minh B M C B M P 22 D Q Thuận : Giả sử M điểm có tính chất cho, ta chứng minh M (S) Xét hình cạnh ABBMCC có giao điểm cặp cạnh đối diện AB CM = P, BB CC = D, BM CA = Q Suy P, D, Q điểm thẳng hàng thuộc đờng thẳng Theo định lý Paxcan (đảo) ABBMCC nội tiếp cônic, cônic xác định điểm (tức qua điểm): A, B, B, C, C Do cônic (S) Từ suy ABBMCC hình nội tiếp (S), tức M(S) Đảo: Lấy điểm MS Ta chứng minh điểm M có tính chất cho Muốn đặt P = AB CM, Q = AC BM chứng minh P, Q, D điểm thẳng hàng Thật vậy, xét hình cạnh ABBMCC nội tiếp Cônic(S) Theo định lý Paxcan (thuận) ta suy điểm P, D, Q thẳng hàng Vậy quỹ tích điểm M cônic (S) A C B M Q D Bài toán 5.PTrong mặt phẳng xạ ảnh P2(R), cho đờng thẳng d ABC (d không chứa3 điểm A, B, C) cố định cônic (S) biến thiên tiếp xúc với d D d (với D biến thiên), đồng thời (S) tiếp xúc với BC, AC, AB lần lợt A, B, C Chứng minh BC qua F điểm cố định D C K B A C 23 B E Chứng minh Gọi E giao điểm đờng thẳng d với cạnh AC, F giao điểm đờng thẳng d với cạnh AB Khi xét hình đỉnh BCBEFC ngoại tiếp cônic (S) Theo định lý Briăngsông suy BE, CF, BC đồng quy Gọi K giao điểm CF BE Khi BC qua K cố định ( Vì ABC cố định, d cố định) Bài toán Trong mặt phẳng xạ ảnh cho cônic (S) tiếp tuyến khác a, a, b, b, c, c Kí hiệu:A =a c, B = b c,A = a c,B = b c Chứng minh điểm:P = a a, Q = b b, R = AB BA thẳng hàng Chứng minh Xét hình đỉnh BQBAPA ngoại tiếp cônic (S) Theo định lý Briăngsông ta có BA, AB, QB đồng quy điểm R , hay R, P, Q điểm thẳng hàng R b a c P a A c B Q A b Q A B P A B 24 B Bài toán Chứng minh hai tam giác ABC IKM nội tiếp cônic chúng ngoại tiếp cônic Chứng minh A A C B M R P C M I Q M K I Ta chứng minhKPQ, BM, CI đồng quy, tức chứng minh hình lục giác PBCQIM ngoại tiếp cônic Thật vậy, xét hình cạnh ABMKIC nội tiếp (S) Gọi giao điểm : P = AB IK; R = BM IC; Q = MK CA Suy P, R, Q điểm thẳng hàng , tức BM, CI, PQ đồng quy R Xét hình đỉnh PBCQMI có đờng thẳng nối cặp đỉnh đối diện BM, CI, PQ đồng quy R áp dụng định lý Briăngsông đảo ta có hình cạnh PBCQMI nội tiếp cônic(S*), tức cạnh AB, BC, CA ABC cạnh IK, KM, MI IKM tiếp xúc với cônic (S*) Từ ta suy hai tam giác ABC IKM ngoại tiếp cônic(S*) Bài toán Cho đờng tròn (S) đờng kính AB tiếp tuyến d với (S) A Lấy điểm C đờng thẳng AB không trùng với AB Một đờng thẳng biến thiên qua C cắt (S) điểm N N Gọi M = d BN ; M = d BN Từ M, M dựng tiếp tuyến (S) không trùng với d giả sử tiếp điểm tơng ứng T T Chứng minh điểm D = MT MT biến thiên đờng thẳng cố định d M N A M C N T T B 25 D Chứng minh Xét ánh xạ f:{B}{B} có ảnh f(BN) = BN phép đối hợp, nên ánh xạ từ d d biến M thành Mcũng phép đối hợp Do ánh xạ F: {S *}{S*} biến MT thành MT phép đối hợp Theo định lý đối ngẫu định lý Frêgiê giao điểm MT MT D điểm cố định Bài toán Trong mặt phẳng xạ ảnh cho cônic(S) điểm A, B, C cố định (S) K điểm cố định không nằm (S) Các đờng thẳng KA, KB, KC tơng ứng cắt (S) tai điểm thứ hai A, B ,C P điểm biến thiên (S), đờng thẳng PA, PB, PC tơng ứng cắt BC, CA, AB A, B, C Chứng minh ba điểm A, B, C nằm đờng thẳng đờng thẳng qua điểm cố định Chứng minh áp dụng định lý Paxcan cônic(S) hình cạnh PBPCAA suy ra: K, A, B thẳng hàng (1) áp dụng định lý Paxcan cônic(S) hình cạnh PCCABB suy ra: K, B, C thẳng hàng (2) áp dụng định lý Paxcan cônic(S) hình cạnh PAABCC suy ra: K, C, A thẳng hàng (3) Từ (1), (2) (3) ta kết luận A, B, C nằm đờng thẳng qua điểm cố định K C B A B A C B K P A C 26 Bài toán 10 Trong mặt phẳng xạ ảnh cho cônic(S) điểm A, B, C, D, E, F thuộc (S) Chứng minh ba đờng thẳng Paxcan ba hình cạnh ABCDEF, ADCFEB, AFCBED đồng quy điểm Chứng minh Kí hiệu M = AB DE, M = CD FA, P = CF CA, P = DC EB, N = FC ED, N = AF BE, H = PM PM, I = NP NP, K = MN MN Xét hình cạnh ABCDEF có đờng thẳng Paxcan MM Xét hình cạnh ADCFEB có đờng thẳng Paxcan PP Xét hình cạnh AFCBED có đờng thẳng Paxcan NN Để chứng tỏ đờng thẳng MM, NN, PP đồng quy, ta chứng minh điểm H, I, K thẳng hàng Điều xét hình cạnh AFCDEB ta thấy đờng thẳng Paxcan hình đờng thẳng chứa điểm H, I, K Vậy MM, PP, NN đồng quy điểm M N A P F B I K H C P E N D M Bài toán 11 Trong mặt phẳng xạ ảnh cho hai đờng thẳng l1, l2 cắt điểm P Hai điểm A B theo thứ tự thuộc l1, l2 C điểm biến thiên đờng thẳng AC, R giao điểm hai đờng thẳng PQ BC Chứng minh quỹ tích giao điểm D AR BQ cônic qua C tiếp xúc với l1, l2 tơng ứng A, B Chứng minh Cách 1: chùm {B, BD} chùm{B, BQ} chùm {P, PQ} chùm{P, PR} chùm{A, AR} chùm {A, AD} Nh chùm{B, BD} liên hệ xạ ảnh với chùm{A, AD} Ta dễ thấy đờng thẳng l1 chùm thứ {A, AD} ứng với đ- 27 ờng thẳng BA chùm thứ hai {B, BD} đờng thẳng AB chùm thứ {A, AD} ứng với đờng thẳng l2 chùm thứ hai {A, BD} Vậy theo định lý Steine, quỹ tích điểm D cônic qua C tiếp xúc với l1 l2 theo thứ tự A B l1 R D A A Q A C C D B B P B 28 l2 Cách 2: Xét hình cạnh AACBBD ( xem AA l1, BB l2) có giao điểm cặp cạnh đới diện P, Q, R thẳng hàng Do theo định lý Paxcan đảo điểm D nằm cônic(S) xác định điểm A, A, C, B, B điều nói lên (S) qua điểm C tiếp xúc với l 1, l2 tơng ứng A B Đảo lại, sử dụng định lý Paxcan thuận ta chứng minh đợc với điểm thuộc cônic(S) điểm quỹ tích Bài toán 12 Trong mặt phẳng xạ ảnh cho cônic(S) đờng thẳng d cắt (S) hai điểm I1, I2; I1O, I2O tiếp tuyến (S), A C hai điểm thuộc (S) Kí hiệu B = AI1 CI2, D = AI2 CI1 Tiếp tuyến (S) điểm A cắt I1O A1 cắt I2O A2 Tiếp tuyến (S) điểm C cắt I1O C1 cắt I2O C2 Hai tiếp tuyến cắt điểm H Chứng minh đờng thẳng A1C2, A2C1 qua hai điểm B, D Chứng minh Xét cônic(S) hình cạnh AAI 1CCI2 theo định lý Paxcan ta có H, B, D thẳng hàng Tơng tự xét cônic(S) hình cạnh I1I1AI2I2C ta có O, B, D thẳng hàng Vậy O, H, B, D thẳng hàng áp dụng định lý Briăngsông (S) hình đỉnh OI 1A1HCC2 ta có A1C2, I1C, OH đồng quy Theo O, D, H thẳng hàng, A 1C2, I1C, OH đồng quy điểm D, nghĩa A1C2 qua D áp dụng định lý Briăngsông (S) hình đỉnh OI 1C1HAA2 ta có OH, I1A, C1A2 đồng quy điểm B, nghĩa C1A2 qua B I1 d A2 C1 C B O D A I2 29 C2 Tài liệu tham khảo [1] Khu Quốc An Phạm Binh Đô - Tạ Mân (1984) Bài tập Hình học cao cấp tập - NXB Giáo Dục- Hà Nội [2] Văn Nh Cơng Kiều Huy Luân (1976) Hình học cap cấp NXB Giáo Dục, Hà Nội [3] Văn Nh Cơng (1999) Hình học xạ ảnh NXB Giáo Dục, Hà Nội [4] Trơng Đức Hinh Hà Văn Sơn (1989) Bài tập hình học xạ ảnh , Trờng Đại học Vinh [5] Nguyễn Hữu Quang Trơng Đức Hinh (2000) Bài tập Hình học xạ ảnh, Trờng Đại học Vinh 30 31 32 [...]... xạ ảnh đối với đờng cônic trong P2( R) để giải toán Qua những vấn đề đã đợc trình bày ở phần trớc về ánh xạ xạ ảnh và các vấn đề về đờng cônic trong mặt phẳng xạ ảnh thực P2( R) Nhận thấy nếu biết vận dụng khéo léo các tính chất, các định lý có liên quan đến đờng cônic nh định lý Steine, Paxcan, Briăngsông, Frêgiê ta sẽ giải quyết đợc r t nhiều bài toán hình học có liên quan một cách dễ dàng Sau đây... Nếu ánh xạ xạ ảnh F: (S *) (S*) là đối hợp ( tức F2 = Id) thì giao điểm của các đờng thẳng ( ảnh và tạo ảnh) tơng ứng nằm trên một đờng thẳng cố định ( đợc gọi là đờng thẳng Frêgiê của F) b) Định lý đảo Cho đờng thẳng cố định d không thuộc (S*) 18 ánh xạ F: (S*)(S*) đợc xác định nh sau: với mỗi a (S*), a và F(a) cắt nhau trên d Khi đó F là ánh xạ xạ ảnh đối hợp của (S*) 19 Đ 3 Vận dụng ánh xạ xạ ảnh. .. Hệ quả 1 Trong mặt phẳng xạ ảnh cho 4 điểm A,B,C,D trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng và đờng thẳng a chứa điểm A nhng không chứa các điểm B,C,D , khi đó có duy nhất một đờng cônic đi qua A,B,C,D và tiếp xúc với a tại A 2.4.1.2 Hệ quả 2 Trong mặt phẳng xạ ảnh cho 3 điểm A,B,C không thẳng hàng và đờng thẳng a chứa A nhng không chứa các điểm B,C Khi đó có duy nhất đờng cônic đi qua A,B,C và tiếp... a tại A, tiếp xúc với b tại B Các định lý sau là đối ngẫu của định lý 2.4.1 và hai hệ quả trên 12 2.4.2 Định lý Trong mặt phẳng xạ ảnh có 5 đờng thẳng trong đó không có 3 đờng nào đồng quy Khi đó có duy nhất đờng cônic tiếp xúc với chúng 2.4.2.1 Hệ quả 1 ( Đối ngẫu với hệ quả 2.4.1.1) Trong mặt phẳng xạ ảnh cho 4 đờng thẳng a,b,c,d trong đó không có 3 đờng nào đồng quy và điểm A a nhng không thuộc... là ánh xạ xạ ảnh ( nhng không phải là phép phối cảnh) (Khi m trùng m 1 thì ta coi m m1 là tiếp điểm của m với cônic (C), khi m trùng m 2 thì ta coi m m2 là tiếp điểm của m với cônic (C)) 2.4 Sự xác định đờng cônic trong mặt phẳng xạ ảnh 2.4.1 Định lý Trong mặt phẳng xạ ảnh cho 5 điểm trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng Khi đó có duy nhất đờng cônic đi qua chúng Chứng minh Giả sử 5 điểm đã cho... f: {m1} {m2} là ánh xạ xạ ảnh giữa hai hàng điểm không phải là phép phối cảnh thì các đờng thẳng nối với các cặp điểm ảnh tơng ứng sẽ tiếp xúc với một đờng cônic Cônic này tiếp xúc với m1, m2 lần lợt tại f -1(Q) và f(Q) trong đó Q = m1 m2 b) Nếu m1, m2 là các tiếp tuyến khác nhau của đờng cônic (C) mà m là tiếp tuyến thay đổi của (C) thì ánh xạ biến m 1 m2 thành m m2 là ánh xạ xạ ảnh ( nhng không... điểm I, Q, R phân biệt thuộc (S) Gọi I = f(I), Q = R = f (R) áp dụng định lý Paxcan cho lục giác IQRIQR ta có các giao điểm A = IR IR, B = IQ IQ, C = QR QR nằm trên đờng thẳng d, ánh xạ giữa hai chùm {I} và {I} có I I tự ứng nên đó là phép phối cảnh, suy ra giao điểm của các cặp đờng thẳng tơng ứng thẳng hàng Giả sử M là điểm tùy ý thuộc (S) và ảnh M = f(M) Vì f bảo tồn tỷ số kép của 4 điểm trên (S)... Chứng minh Xét ánh xạ f:{B}{B} có ảnh f(BN) = BN là phép đối hợp, nên ánh xạ từ d d biến M thành Mcũng là phép đối hợp Do đó ánh xạ F: {S *}{S*} biến MT thành MT là phép đối hợp Theo định lý đối ngẫu của định lý Frêgiê thì giao điểm của MT và MT tại D là điểm cố định Bài toán 9 Trong mặt phẳng xạ ảnh cho cônic( S) và 3 điểm A, B, C cố định trên (S) K là một điểm cố định không nằm trên (S) Các đờng thẳng... có ánh xạ xạ ảnh duy nhất f: {A}{B} sao cho f(AC) = BC ; f(AD) = BD ; f(AE) = BE Vì các điểm C,D,E không thẳng hàng nên f không phải là phép phối cảnh Theo định lý Steine 2.3.3 thì có duy nhất một đờng cônic qua giao điểm của các cặp đờng thẳng tơng ứng, đó là 5 điểm nói trên Sau đây là các trờng hợp đặc biệt của định lý trên, khi trong số 5 điểm trên có các điểm trùng nhau Cách chứng minh tơng tự trên... nhất đờng cônic đi qua A,B,C,D và tiếp xúc với a tại A 2.4.2.2 Hệ quả 2 ( Đối ngẫu với hệ quả 2.4.1.2) Trong mặt phẳng xạ ảnh cho 3 đờng thẳng a,b,c không đồng quy và 2 điểm A,B; A a và A không thuộc b, c ; B b và B không thuộc a,c Khi đó có duy nhất đờng cônic tiếp xúc với a tại A, tiếp xúc với b tại B và tiếp xúc c 2.5.Định lý Paxcan trên đờng cônic 2.5.1 Định nghĩa hình 6 đỉnh Trong P2( R) một tập ... 1) Nếu ánh xạ đại diện ánh xạ xạ ảnh f với R {0}, ánh xạ đại diện ánh xạ f 2) Nếu cho hai không gian xạ ảnh (Pn, p , Vn+1) (Pn, p , Vn+1) có ánh xạ xạ ảnh f cảm sinh ánh xạ xạ ảnh f đợc... vấn đề đờng cônic mặt phẳng xạ ảnh thực P2( R) Mục đa khái niệm, định lí, số đối ngẫu định lí, hệ số đối ngẫu hệ tính chất có liên quan đến đờng cônic P2( R) Đ Vận dụng ánh xạ xạ ảnh cônic P2( R) ... đợc gọi ánh xạ đại diện ánh xạ xạ ảnh f, hay f ánh xạ xạ ảnh cảm sinh đẳng cấu tuyến tính 1.1.2 Ví dụ ánh xạ đồng Pn ánh xạ xạ ảnh, ánh xạ cảm sinh phép vị tự với tỷ số khác tuỳ ý (nói riêng phép