Về ánh xạ tiếp xúc và đối tiếp xúc trong rn

Mục đích của khóa luận là trình bày một cách hệ thống các khái niệmcơ bản, chứng minh chi tiết các tính chất và đa ra một số nhận xét về ánh xạtiếp xúc và ánh xạ đối tiếp xúc trong Rn..

Môc lôc

Trang

Ch¬ng 1 Liªn th«ng tuyÕn tÝnh vµ ¸nh x¹ tiÕp xóc trong R n 4

Lời mở đầu

ánh xạ tiếp xúc và ánh xạ đối tiếp xúc có nhiều ứng dụng trong hìnhhọc, giải tích , chẳng hạn sử dụng nó để tính thể tích của các miền trên đatạp nhiều chiều Do đó vấn đề này đã đợc trình bày trong nhiều tài liệu Hìnhhọc (xem [1], [3], [6], [7]) Vì vậy, đây là một đề tài tuy không còn mới nhngvẫn rất hấp dẫn đối với tác giả

Mục đích của khóa luận là trình bày một cách hệ thống các khái niệmcơ bản, chứng minh chi tiết các tính chất và đa ra một số nhận xét về ánh xạtiếp xúc và ánh xạ đối tiếp xúc trong Rn

Khoá luận đợc chia làm 2 chơng và trình bày trong 4 mục:

Chơng 1: Liên thông tuyến tính và ánh xạ tiếp xúc trong Rn

Đ 1 Liên thông tuyến tính trong Rn.

Đ 2 ánh xạ tiếp xúc trong Rn

Chơng 2: Các dạng vi phân và ánh xạ đối tiếp xúc trong Rn

Đ 3: 1 - dạng vi phân và 2 - dạng vi phân trong Rn.

Đ 4: ánh xạ đối tiếp xúc trong Rn.

Trong Đ1, chúng tôi đa ra định nghĩa và 2 ví dụ về liên thông tuyến tínhtrong Rn (mệnh đề 1.2; mệnh đề 1.6), các tính chất đợc chúng tôi trình bày vàchứng minh khá chi tiết (định lý 1.3; định lý 1.4; mệnh đề 1.5, mệnh đề 1.7)

Trong Đ2, chúng tôi trình bày định nghĩa và một vài tính chất của ánhxạ tiếp xúc trong Rn Qua đó đã rút ra đợc một số nhận xét (thể hiện ở mệnh

đề 2.5; mệnh đề 2.6; định lý 2.8; nhận xét 2.10, mệnh đề 2.11) Đồng thời qua

ví dụ 2.3 đã nêu đợc cách tìm ánh xạ tiếp xúc dựa vào định nghĩa Ngoài ratrong mục này chúng tôi đã đa ra khái niệm trờng véctơ bất biến trái và một sốtính chất (thể hiện ở định lý 2.13, nhận xét 2.14)

Trong Đ3, chúng tôi hệ thống lại định nghĩa và các tính chất của 1 dạng vi phân và 2 - dạng vi phân làm cơ sở cho phần sau

-Trong Đ4, là mục cuối của khoá luận, trớc hết chúng tôi trình bày địnhnghĩa và một số tính chất của ánh xạ đối tiếp xúc và phép tính vi phân ngoài(mệnh đề 4.3, mệnh đề 4.4, mệnh đề 4.5, mệnh đề 4.6) Sau đó chúng tôi nêu

định nghĩa, ví dụ và tính chất của tích phân 1 - dạng vi phân dọc đờng cong Γ

trong Rn (mệnh đề 4.8, mệnh đề 4.9)

Tơng tự nh ở Đ3, trong mục này chúng tôi đa ra khái niệm 1 - dạng viphân bất biến trái và một số tính chất (thể hiện ở nhận xét 4.12, mệnh đề4.13).

Khoá luận đợc hoàn thành tại khoa Toán - Trờng Đại học Vinh

Nhân dịp hoàn thành khoá luận, chúng tôi xin gửi đến thầy giáo

PGS-TS Nguyễn Hữu Quang lời cảm ơn chân thành nhất vì sự hớng dẫn, chỉ dạytận tình của thầy giáo trong suốt quá trình chúng tôi làm khoá luận Đồng thờichúng tôi cũng xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trong khoa Toán

và bạn bè đã giúp đỡ chúng tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thànhkhoá luận

Vinh, tháng 4 năm 2004.

Tác giả

Chơng 1

Trong chơng này, chúng tôi trình bày những khái niệm cơ bản và một sốtính chất của liên thông tuyến tính tổng quát trong Rn Đồng thời chúng tôicũng trình bày một số tính chất của ánh xạ tiếp xúc của một ánh xạ khả vitrong Rn

Đ1 liên thông tuyến tính trong Rn

Trong mục này chúng ta xét Rn nh là một không gian Ơclit n chiều Ta

ký hiệu: B(Rn) = {XX là trờng vectơ khả vi trong Rn} Nh chúng ta đã biết

[xem 4] B(Rn) là một môđun trên vành f(Rn) = {ff là ánh xạ khả vi: Rn→

Ta nhận thấy từ (T1) và (T2) suy đợc ∇ là ánh xạ tuyến tính theo biến thứnhất Và theo (T4) thì ∇ là một ánh xạ có tính chất đạo hàm

1.2 Mệnh đề Giả sử

n

1 i

i i

EYX

iEX

∑

=

; Y = n i

1 i

iEY

X[Yi] Ei + [ ]i i

n 1 i

EY

X~

∑

=

= ∇XY + ∇X~Y.

(T2) ∇ϕ XY = ∑

=

n 1

i (ϕX) [Yi] Ei

= ϕ ∑

=

n 1

i X [Yi + Y~i] Ei

= ∑

=

n 1 i

X [Yi] Ei +∑

=

n 1 i

i X [ϕYi] Ei

= ∑

=

n 1 i

(Yi X [ϕ] + ϕ X [Yi]) Ei

= ∑

=

n 1 i

Yi X [ϕ]Ei + ∑

=

n 1 i

i

iE ; X~= ∑

=

ϕn 1 i

(∇XY)|p =

p E p

i n 1

1

Yp

i

∇ϕ

∑

=

= ( ) ( )

p E n

1 i

~

i

∇ϕ

∑

=

=

p E P (

i n 1

có thể xây dựng đợc định nghĩa đạo hàm của Y theo αp bằng cách sau:

=ϕ

1U

Lúc đó thì: (Y−Y~) U =0 nên ta có:

ϕ.(Y−Y~)=Y −Y~

Từ đó ta đợc: (∇XY)P =(∇XY~)P .

1.5 Mệnh đề Giả sử ∇ và ∇ ' là hai liên thông tuyến tính trên R n và ϕ, ϕ' ∈ f

(R n ) Khi đó ϕ∇ + ϕ'∇ ' là một liên thông tuyến tính trên R n ⇔ϕ +ϕ'=1.

Chứng minh Ta cần kiểm nghiệm 4 điều kiện của liên thông tuyến tính :

= γ.ϕ∇XY + γ.ϕ'∇'XY

= γ (ϕ.∇XY + ϕ'∇'XY)

= γ (ϕ∇ + ϕ'∇')XY

(T3) (ϕ∇ + ϕ'∇')X(Y1 + Y2) = ϕ∇X(Y1 + Y2) + ϕ'∇'X(Y1 + Y2)

= ϕ∇XY1 + ϕ∇XY2 + ϕ'∇'XY1 + ϕ'∇'XY2

~

X

Khi đó: ∇~ là liên thông tuyến tính trong R 3

Chứng minh Ta kiểm tra các điều kiện của liên thông tuyến tính:

n

1YY

~

1 X

X X

1Y

YX(n

= ϕ ∇XY + ϕ

n

1(X ∧ Y)

= ϕ[∇XY +

n

1(X ∧ Y)]

(T4) ∇~X(ϕY) = ∇X(ϕY) +

n

1[X ∧ (ϕY)]

= X[ϕ] Y + ϕ ∇XY + ϕ

n

1(X ∧ Y)

= X[ϕ] Y + ϕ [∇XY +

n

1(X ∧ Y)]

= X[ϕ] Y + ϕ ∇~XY ; với X, Y ∈ B(Rn), ϕ∈ F(Rn) .

Ta đã biết rằng: Tích Lie của hai trờng vectơ X và Y là một trờng vectơ

đợc ký hiệu: [X, Y] và xác định bởi:

[X, Y](f) = X[Y(f)] - Y[X(f)]; ∀ f ∈F(Rn)

1.7 Mệnh đề Liên thông tuyến tính D trong R n có các tính chất sau:

E

Y ; ta có(DXY - DYX) [f] = (DxY) [f] - (DYX) [f]

= ∑ [ ] [ ]

=

n 1

fEY

X - ∑ [ ] [ ]

=

n 1

fEXY

=

i j i n

1 j

i ji

j i n

1 j

f.x

XYx

f.x

YX

i j j

i

f.x

XYx

Y

n

i

fXYx

fY

X

=

j i

2 f n

1 j

i i ji

j i n

1 j

i jj

i

2 f n

1 j

i j ii

j i

XYx

xYXx

f.x

i

f.x

XYx

Y

Từ (1) và (2), ta suy ra: (DXY - DYX) [f] = [X, Y] [f]; ∀f ∈F (Rn)

Vậy: DXY - DYX = [X, Y]

2) Ta có: X.DZY + Y.DZX = ∑ [ ]

=

n 1

YZ

=

n 1

XZY

= ∑ [ ]

=

n 1 i

i

i.YXZ = Z[X Y] .

1 8 Chú ý Giả sử ∇ là một liên thông tuyến tính và { }n

1 i i

E = là trờng mục tiêu

tự nhiên trong Rn Khi đó ta có sự biểu diễn:∇EjEi = ∑

=

n 1 k

đã biết rằng f khả vi khi và chỉ khi fj khả vi ∀j = n1,

2.1 Định nghĩa Giả sử f là ánh xạ khả vi từ Rm vào Rn ánh xạ tiếp xúc của f tại p đợc ký hiệu là f*|p : TpR m → Tf(p) Rn và đợc xác định nh sau: nếu vp ∈

TpRm là vectơ tiếp xúc của đờng cong ρ(t) tại p (ρ(t0) = p) thì f*|p (v) là vectơtiếp xúc với đờng cong f  ρ(t) tại f(p)

2.2 Chú ý + Khi không chú ý tới điểm p, ta thờng viết f* thay cho f*|p.

+ Nếu f* đơn ánh thì f đợc gọi là dìm

+ Nếu f* toàn ánh thì f đợc gọi là ngập

+ Nếu f* song ánh thì f đợc gọi là trải

+

=

++

+

=

n m nm 1

n

1 m m 1 1

11 1

bxa

a'x

bxa

xa'x

p

dt

d'

+++

=

= (a11v1 + + a1mvm, , an1v1 + + anmvm) .

2.4 Mệnh đề Ta ký hiệu Jf p là ma trận Jacobi của f tại p Khi đó ta có:

,t

x,

,t

i i

n 0

t n

1

i

i i

x

f, ,)

t('x

)t('xx

f

0 t m

1 i

f là vi phôi: Rn → Rn thì f*p là đẳng cấu tuyến tính; ∀p ∈ Rn.

2.6 Mệnh đề Giả sử f: R m→ R n ; g : R n → R p là các ánh xạ khả vi Khi đó:

(g  f) *p = g *f(p)  f *p ; ∀p∈ R m

Chứng minh ∀ h ∈ F (Rn) và αP ∈ TP Rm, ta có:

((g  f)*p (αp)) (h) = αp(h  (g  f))Mặt khác:

(g*f(p) o f*p (αp)) (h) = (g*f(p) (f*P (αp))) (h)

= (f*p (αp) (h  g) = αp ((h  g)  f) = αp (h  (g  f))Vậy ((g  f)*p (αp)) (h) = (g*f(p)  f*p (αp)) (h)

∀αp ∈ Tp Rm, ∀ h ∈F (Rn)

Do đó: (g  f)*p = g*f(p)  f*p .

2.7 Định nghĩa Giả sử f là vi phôi Rn → Rn, ∇ là một liên thông tuyến tính.

f đợc gọi là bảo toàn ∇ nếu và chỉ nếu:

f*( ∇XY ) = fXf*Y

*

∇ ; ∀ X, Y ∈B(Rn)

2.8 Định lý f là vi phôi bảo toàn D nếu và chỉ nếu f là phép afin

Chứng minh Trớc khi chứng minh định lý ta chứng minh bổ đề sau:

X là trờng vectơ song song khi và chỉ khi DZX = 0; ∀ Z ∈B(Rn)

E]X[

1

0E]X[

Z ; ∀Z ∈B(Rn)

Do đó, lấy Z = Ej, ∀j = n1 thì: , ∑

=

=n

1 i

i i

⇒ Xi là hàm hằng; ∀i = n1 Vậy X là trờng vectơ song song.,

+ Bây giờ ta sẽ chứng minh định lý 2.7

Điều kiện cần: Giả thiết f vi phôi và bảo toàn D, ta chứng minh f làphép afin

Giả sử X là trờng vectơ song song Khi đó:

=

++

+

=

m m nm 1

1 n

m m 1 1

11 1

bxa

xa'

x

bxa

xa'

x



Vậy f là phép afin

Điều kiện đủ: Giả thiết f afin, ta chứng minh f vi phôi bảo toàn D

Thật vậy ta có: + Mọi phép afin là vi phôi

+ Lấy trờng mục tiêu song song {Ui}i = 1 và xét:,n

n 1 i

i i

p p

* i

= ∑ ( ) ( )

=

ϕn 1

pUf.p

= ∑ ( ) ( )

=

ϕn 1

E.p

= ( ) ( p )

n 1 i

1 i X

= ∑ [ ]

=

−

ϕn

1 i

i

1 i

2.10 Nhận xét Giả sử f là phép vi phôi: Rn → Rn Khi đó

2.12 Định nghĩa Giả sử La: Rn → Rn

x  a + xKhi đó: Trờng vectơ X đợc gọi là trờng vectơ bất biến trái khi và chỉ

Chứng minh + Giả sử X là trờng vectơ bất biến trái, ta cần chứng minh X là

trờng vectơ song song

01

J

0 p

10

01

XL

n

1 0

Vậy X là trờng vectơ song song

+ Giả sử X là trờng vectơ song song ta cần chứng minh X là trờng vectơbất biến trái

Do X(Xi) là trờng vectơ song song nên Xi là hàm hằng; ∀i = n1,

Ta có p 0 p [ ]Xp

10

01

Vậy: L *X = X Do đó X là trờng vectơ bất biến trái

2.14 Nhận xét 1) X là trờng vectơ bất biến trái thì λX + βY là trờng vectơbất biến trái

2) K = {X|X bất biến trái} Khi đó: K đẳng cấu tuyến tính với T0 Rn

Chứng minh: 1) ∀X, Y ∈ K , ∀λ, β ∈ R ta có:

* a

Giả sử có 2 trờng vectơ X, X~ mà ( )

=αϕ

X~

X Khi đó:

Chơng 2.

Trong chơng này, chúng tôi trình bày các khái nệm cơ bản và một sốtính chất của 1- dạng vi phân, 2- dạng vi phân và ánh xạ đối tiếp xúc của một

ánh xạ khả vi xác định trên Rn Đồng thời chúng tôi cũng trình bày một sốtính chất của tích phân 1 - dạng vi phân dọc theo 1 đờng cong trong Rn

Giả sử θ1, θ2∈Ω1 (Rn), ϕ ∈F (Rn), λ ∈ R Khi đó, ta định nghĩa:

Với mỗi θ∈ Ω1 (Rn) thì 1- dạng vi phân đối của θ là:

dx = là hệ độc lập tuyến tính (1)

Giả sử có ϕi : R n→ R sao cho ∑

=

=ϕ

n 1

0dx

n

1

i i

x

0x

dx ; ∀j = n1

x ; ∀j = n1

⇒ ∑

=

δϕn

1 i

i

dx = là hệ độc lập tuyến tính (1)

Ta sẽ tiếp tục chứng minh { }n

1 i i

dx = là hệ sinh (2) Thật vậy: ∀θ∈Ω1 (Rn) ; ∀ X ∈B (Rn) , ta có sự biểu diễn:

X = ∑

∂n

1

i. xX

i

x.X

= ∑

=  ∂ 

∂θn 1

1 i

i dxi

Từ (1) và (2) ta suy ra : { }n

1 i i

dx = là cơ sở của Ω1 (Rn)

Do đó: dim Ω1 (Rn) = n

3.4 Định nghĩa Ký hiệu Λ2( Rn) =  ( )

n R P

n p

ϖp: Tp R n x Tp Rn → R

(Xp ,Yp)  ϖp (Xp ,Yp)Với X, Y ∈B (Rn) ta xác định ánh xạ:

* Bây giờ chúng ta trang bị các phép toán cho Ω2 (Rn):

Giả sử ϖ1, ϖ2 ∈Ω2 (Rn) , ϕ∈F (Rn), λ∈ R Khi đó ta định nghĩa: 1) Phép cộng: ϖ1+ ϖ2 : p  ϖ1 (p) + ϖ2 (p) ; ∀ p ∈ Rn

1) Ω1 (R n ) cùng với 2 phép toán cộng và nhân lập thành một môdun trên vành F (R n )

2) {dx i ∧ dx j } 1≤ i < j ≤n là cơ sở của Ω2 (R n ).

Chứng minh 1) Chúng ta dễ dàng chứng minh đợc 2 phép toán cộng và nhân

đợc xác định nh trên thoả mãn các tiên đề về môdun

2) Để chứng minh 2 ta cần bổ đề sau:

Bổ đề: dxi ∧ dxj (X,Y) = XiYj - Xj Yi ; với i < j

Thật vậy: dxi ∧ dxj (X, Y) = dxi (X) dxj (Y) - dxi (Y) dxj (X)

= Xi Yj - Yi XjBây giờ ta chứng minh 2

+ Chứng minh {dxi ∧ dxj}1 ≤ i < j ≤ n là hệ độc lập tuyến tính

Thật vậy: giả sử: ∑

=

∧ϕ

n 1 j ,

dxdx

= 0; trong đó: ϕij là hàm số R n→ R

Từ đó ta có: ∑ ( ) ( )

=

∧ϕ

n 1 j , i

l k j i

ij.dx dx E ,E = 0; với 1 ≤ k < l ≤ n

=

−ϕ

n

1 j

,

i

k j l i l

j k i

=

δδ

−δδϕn

1 j

,

i

jk il jl ik

ij = 0 ; với 1 ≤ k < l ≤ n

⇒ϕkl = 0; với 1 ≤ k < l ≤ n

Vậy: {dxi ∧ dxj}1 ≤ i < j ≤ n là hệ độc lập tuyến tính (1)

+ Ta tiếp tục chứng minh {dxi ∧ dxj}1 ≤ i < j ≤ n là hệ sinh

EYY

;E

X là các trờng vectơ trong Rn

Ta có: ω(X,Y) = ω∑= ∑= 

n 1 i

j j n

1 i

iY E ,E

∑

=

= n j

1 j , i

i

ijX Ya

∑

=

; trong đó aij = ω(Ει , Ej)

Mặt khác: aii = ω(Ei, Ei ) = 0 và aij = - aji, nên ta có:

(X,Y) = ( i j j i)

j

i ij

YXYX

Y,Xdxdx

Từ đó suy ra: ω = ∑ ( )

<

∧j

dxdx

Từ (1) và (2) ta có: {dxi ∧ dxj}1 ≤ i < j ≤ n là cơ sở của Ω1(Rn) .

3.7 Ví dụ Trong R3 xét các trờng vectơ X(x, 1, 1) ; Y(1, y, 3) và giả sử θ1

= xydx + y2dy; θ2 = dx + ydz Ta tính θ1[X, Y] và θ2(X ∧ Y)

Ta có: X = xE1 + E2 + E3; Y = E1 + yE2 + zE3

Do đó: [X, Y] = DXY - DY X

3 1 i

i 3

1 i

1 j

j j

x

XX

1x,1z

x1,zy

11

= (z - y, 1 - xz, xy - 1) = (z - y)E1 + (1 - xz)E2 + (xy - 1) E3Vậy θ2(X ∧ Y) = (dx + ydz) ((z - y)E1 + (1 - xz)E2 + (xy - 1)E3)

= (z - y) dxE1+ y(xy – 1) dzE3 = (z - y) + xy2 - y

= xy2 + x - 2y

Đ4 ánh xạ đối tiếp xúc trong Rn

Trong mục này, chúng tôi sẽ trình bày định nghĩa và một số tính chấtcủa ánh xạ đối tiếp xúc trong Rn Đồng thời chúng tôi cũng trình bày địnhnghĩa và tính chất của tích phân 1 - dạng vi phân dọc đờng cong Γ trong Rn

Cũng trong mục này, ta quy ớc rằng: Ω0(Rn) = {ϕϕ là hàm số khả vi:

11

11

[X]

= (xdy + ydz)((X1 + X2)E1 + (X1 - X2) E2 +(vX1 + uX2) E3

Từ đó: f*θ(X) = x (X1 - X2) + y(vX1 + uX2)

= (x + yv)X1 + (yu - x)X2 = (u + v + (u - v).v)X1 + ((u - v) u - (u + v))X2

−++

=α

vuuvu

vuvvu

(g ° f) * = f *° g *

Chứng minh 1 Với θ1, θ2 ∈Ω1 (Rn); ∀α, β∈ R; ∀X ∈B(Rn); ta có:

f*(αθ1 +βθ2) (X) = (αθ1 + βθ2)f*X

= αθ1f*X + βθ2f*X = α.f*θ1(X) + β f*θ2(X) = (α.f*θ1 + β.f*θ2 ) (X); ∀X ∈B(Rn)Vậy: f*(αθ1 + βθ2) = α.f*θ1 + β.f*θ2

= f*

° (g*θ)(X) = (f*

° g*) θ(X); ∀X ∈ B(Rm)Vậy: (g ° f)* = f*

i i

dxx+ Giả sử θ ∈Ω1(Rn) Vi phân ngoài của θ là ánh xạ:

d : Ω1(Rn) →Ω1(Rn)

θ  dθ

Trong đó: dθ = i

n 1

1

dxx

∑

àψ+λϕ

∂

n 1

i n

1

dxx

∂

ϕ

∂λ

= λdϕ + àdψ

1 i

i i n

1 i

2 i

i.dx ; dx vµ víi λ, µ ∈ R, ta

cã:

d(λθ1 + µθ2) = λ∑= ϕ +µ∑= ψ 

n 1 i

i i n

1 i

1

dxd

2

dxdx

xx

Do ϕ∈ f(Rn) nªn:

i j

2

j i

2

xxx

= f*d(θ); ∀θ∈ Ω1 (Rn)Vậy : f*d = df*

4.5 Mệnh đề ánh xạ đối tiếp xúc f * bảo toàn tích ngoài

Chứng minh Giả sử θ1, θ2∈Ω1 (Rn) ta cần chứng minh:

f*(θ1 ∧θ2) = f *θ1 ∧ f*θ2Thật vậy: với X, Y ∈ B(Rn); ta có:

f*(θ1 ∧θ2) (X, Y) = f *(θ1 ∧θ2 (X, Y))

= f*(θ1 (X) θ2 (Y) - θ1(Y) θ2(X)) = f* (θ1 (X) θ2 (Y)) - f * (θ1 (Y) θ2(X)) = f*θ1(X) f *θ2(Y) - f*θ1(Y) f *θ2(X) (1)Mặt khác ta lại có:

f*θ1 ∧ f*θ2 (X, Y) = f *θ1(X) f *θ2(Y) - f *θ1(Y) f *θ2(X) (2)

Đối chiếu (1) và(2) ta đợc:

f*θ1 ∧ f*θ2 (X, Y) = f *θ1 ∧ f*θ2 (X, Y); ∀X, Y ∈B(Rn)

= f*(θ1 ∧θ2) = f *θ1 ∧ f*θ2Vậy ánh xạ đối tiếp xúc f* bảo toàn tích ngoài.

jj

n1

n1

j

Y j

Y

X i ϕ ϕ ; ∀ j = n1

Tơng tự ta có:

X j

i i

j i

x

X Y x

Y X

1 1

i i j

i x Y X x

X

1 1

ϕϕ

n

i i

Y X Y X

1 ,

i dx dx x

ϕϕ

i

x x

ϕϕ

; ∀i < j; i, j = n1,

⇔

i

j j

3 (X)

= (xdy + ydz) (3XE1 + 2t E2 + 15t2E3)

= 2t xX + 15 t2yX

= (2tx + 15t2y)X; ∀X ∈B(R)V× sù biÓu diÔn lµ duy nhÊt nªn:

α = 2tx + 15t2x = 6t2 + 45t4

1 2

1

5 3

4

5

45t

3

6dt.t45t

=

θ

Γ

= 293

4.9. Mệnh đề Giả sử θ là một dạng đóng trong R n , khi đó ∫

Γ

θ chỉ phụ thuộc

các điểm A, B mà không phụ thuộc vào việc chọn Γ.

Chứng minh Từ giả thiết θ là một dạng đóng trong Rn và theo bổ đề Poincaré

ta có: θ là 1 - dạng khớp trong Rn Khi đó ∃ϕ∈ f (Rn) sao cho: dϕ = θ

=θ

=àθ+

a

2

* 1

* 2

1

=λ∫ρ θ +à∫bρ θ

a 2

* b

a 1

*

= ∫ ∫

θà+θ

4.11 Định nghĩa Giả sử La: Rn→ Rn

x  a + x

1 - dạng vi phân θ đợc gọi là 1 - dạng vi phân bất biến trái nếu và chỉ

nếu: La*θ = θ; ∀a ∈ Rn (La*θ = θ nghĩa là: ( )p p

* a

Mà theo giả thiết: X là trờng vectơ bất biến trái nên Xp = Xa + p

Và θ là 1 - dạng vi phân bất biến trái nên θp(Xp) = θa + p (Xa + p)

Tức là θ(X) là một hàm hằng số

4.13 Mệnh đề 1 Giả sử θ1, θ2 là các dạng vi phân bất biến trái khi đó:

λθ1 + βθ2 là dạng vi phân bất biến trái.

a

L θ1 + β *

a

L θ2 = λθ1 + βθ2

Vậy λθ1 + βθ2 là dạng vi phân bất biến trái.

2 Ta có θ là dạng bất biến trái khi và chỉ khi

p

⇒ϕ1(p) = ϕ1(a + p); ∀a, p ∈ Rn; ∀i = n1,

⇔ϕi là hàm hằng; ∀i = n1 ,

- Chứng minh chi tiết và bổ sung một số tính chất của ánh xạ tiếp xúc(Mệnh đề 2.4; 2.5 ;2.6 và nhận xét 2.10) Đồng thời đã chứng tỏ đợc ánh xạtiếp xúc bảo toàn tích Lie (Mệnh đề 2.11)

- Kết luận đợc f là vi phôi thì f*P là đẳng cấu tuyến tính

- Đa ra điều kiện cần và đủ để vi phôi bảo toàn D (Định lý, 2.8)

- Trình bày định nghĩa và một số tính chất của trờng vectơ bất biến trái(Định nghĩa 2.13, định lý 2.14, nhận xét 2.15)

- Chỉ rõ kỹ thuật tính toán ánh xạ đối tiếp xúc (Ví dụ 4.2); chứng minhchi tiết các tính chất của nó (Mệnh đề: 4.3; 4.4; 4.5)

- Đa ra điều kiện cụ thể để 1- dạng vi phân là dạng đóng (Mệnh đề 4.6)

- Nêu cách tính tích phân 1 - dạng vi phân dọc đờng cong Γ trong Rn vàchứng minh tính chất của nó (Ví dụ 4.8; mệnh đề: 4.9; 4.10)

- Trình bày định nghĩa và tính chất của 1 - dạng vi phân bất biến trái(Định nghĩa 4.11; mệnh đề 4.13; nhận xét 4.12)

Với những hạn chế về mặt thời gian và năng lực nên có một số vấn đềliên quan đến ánh xạ tiếp xúc và đối tiếp xúc chúng tôi cha trình bày trongkhoá luận này Với đề tài trên chúng tôi hy vọng có điều kiện nghiên cứu bàitoán về ánh xạ tiếp xúc và đối tiếp xúc trên đa tạp nhiều chiều

Tài liệu tham khảo

1 H Cartan Phép tính vi phân và các dạng vi phân, Nxb Đại học và trung

học chuyên nghiệp 1980, Hà Nội