Về ánh xạ tiếp xúc và đối tiếp xúc trong rn

Mục lục Mở đầu Chơng Liên thông tuyến tính ánh xạ tiếp xúc Rn Đ1 Liên thông tuyến tính Rn Đ2 ánh xạ tiếp xúc Rn Chơng Các dạng vi phân ánh xạ đối tiếp xúc Rn Đ3 1- dạng vi phân - dạng vi phân Rn Đ4 ánh xạ đối tiếp xúc Rn Kết luận Tài liệu tham khảo Trang 4 11 20 20 26 37 38 Lời mở đầu ánh xạ tiếp xúc ánh xạ đối tiếp xúc có nhiều ứng dụng hình học, giải tích , chẳng hạn sử dụng để tính thể tích miền đa tạp nhiều chiều Do vấn đề đợc trình bày nhiều tài liệu Hình học (xem [1], [3], [6], [7]) Vì vậy, đề tài không nhng hấp dẫn tác giả Mục đích khóa luận trình bày cách hệ thống khái niệm bản, chứng minh chi tiết tính chất đa số nhận xét ánh xạ tiếp xúc ánh xạ đối tiếp xúc Rn Khoá luận đợc chia làm chơng trình bày mục: Chơng 1: Liên thông tuyến tính ánh xạ tiếp xúc Rn Đ Liên thông tuyến tính Rn Đ ánh xạ tiếp xúc Rn Chơng 2: Các dạng vi phân ánh xạ đối tiếp xúc Rn Đ 3: - dạng vi phân - dạng vi phân Rn Đ 4: ánh xạ đối tiếp xúc Rn Trong Đ1, đa định nghĩa ví dụ liên thông tuyến tính Rn (mệnh đề 1.2; mệnh đề 1.6), tính chất đợc trình bày chứng minh chi tiết (định lý 1.3; định lý 1.4; mệnh đề 1.5, mệnh đề 1.7) Trong Đ2, trình bày định nghĩa vài tính chất ánh xạ tiếp xúc Rn Qua rút đợc số nhận xét (thể mệnh đề 2.5; mệnh đề 2.6; định lý 2.8; nhận xét 2.10, mệnh đề 2.11) Đồng thời qua ví dụ 2.3 nêu đợc cách tìm ánh xạ tiếp xúc dựa vào định nghĩa Ngoài mục đa khái niệm trờng véctơ bất biến trái số tính chất (thể định lý 2.13, nhận xét 2.14) Trong Đ3, hệ thống lại định nghĩa tính chất dạng vi phân - dạng vi phân làm sở cho phần sau Trong Đ4, mục cuối khoá luận, trớc hết trình bày định nghĩa số tính chất ánh xạ đối tiếp xúc phép tính vi phân (mệnh đề 4.3, mệnh đề 4.4, mệnh đề 4.5, mệnh đề 4.6) Sau nêu định nghĩa, ví dụ tính chất tích phân - dạng vi phân dọc đờng cong Rn (mệnh đề 4.8, mệnh đề 4.9) Tơng tự nh Đ3, mục đa khái niệm - dạng vi phân bất biến trái số tính chất (thể nhận xét 4.12, mệnh đề 4.13) Khoá luận đợc hoàn thành khoa Toán - Trờng Đại học Vinh Nhân dịp hoàn thành khoá luận, xin gửi đến thầy giáo PGSTS Nguyễn Hữu Quang lời cảm ơn chân thành hớng dẫn, dạy tận tình thầy giáo suốt trình làm khoá luận Đồng thời xin chân thành cảm ơn thầy giáo, cô giáo khoa Toán bạn bè giúp đỡ suốt trình học tập hoàn thành khoá luận Vinh, tháng năm 2004 Tác giả Chơng Liên thông tuyến tính ánh xạ tiếp xúc Rn Trong chơng này, trình bày khái niệm số tính chất liên thông tuyến tính tổng quát Rn Đồng thời trình bày số tính chất ánh xạ tiếp xúc ánh xạ khả vi Rn Đ1 liên thông tuyến tính Rn Trong mục xét Rn nh không gian Ơclit n chiều Ta ký hiệu: B(Rn) = {XX trờng vectơ khả vi Rn} Nh biết [xem 4] B(Rn) môđun vành f(Rn) = {ff ánh xạ khả vi: Rn R} 1.1 Định nghĩa ánh xạ : B(Rn) x B(Rn) B(Rn) (X, Y) XY đợc gọi liên thông tuyến tính Rn thoả mãn tính chất: (T1) ( X1 + X ) Y = X1 Y + X Y ; X1, X2, Y B(Rn) (T2) Y = X Y ; X, Y B(Rn); f(Rn) X (T3) X (Y1 + Y2 ) = X Y1 + X Y2 ; X, Y1, Y2 B(Rn) (T4) X (Y ) = X[].Y + X Y ; X,Y B(Rn), f (Rn) Ta nhận thấy từ (T1) (T2) suy đợc ánh xạ tuyến tính theo biến thứ Và theo (T4) ánh xạ có tính chất đạo hàm n 1.2 Mệnh đề Giả sử = E i sở B(Rn) Khi đó: x i i=1 ánh xạ D : B(Rn) x B(Rn) B(Rn) n (X, Y) DXY = X[ Yi ] E i i =1 liên thông tuyến tính Rn Chứng minh Giả sử X = n n i =1 i =1 X i E i ; Y = Yi E i Ta cần kiểm nghiệm điều kiện định nghĩa 1.1: (T1) X + X~ Y ( ) n ~ = X + X [Yi ] Ei i =1 n = n X[Yi] Ei + i =1 i =1 = XY + X~ Y ~ X[ Yi ] E i n (T2) XY = (X) [Yi] Ei i =1 n = X [Yi] Ei i =1 = XY (T3) ( ~ X Y + Y ) n X [Yi + Y~i ] Ei = i =1 n n i =1 i =1 X [Yi] Ei + X [ Y~i ] Ei = ~ = X Y + x Y n (T4) X(Y) X [Yi] Ei = i =1 n = (Yi X [] + X [Yi]) Ei i =1 n = i =1 n Yi X []Ei + i =1 X [Yi]) Ei = Y X[] + XY ~ B(Rn); (X ~ ), với Y 1.3 Định lý Giả sử X, X X ~ XYp = X~ Y p XP = X P Chứng minh ~ B(Rn); lúc ta có biểu diễn: Với X, X n ~ X = i E i ; X = i =1 n ~ i E i ; i =1 ~ Từ giả thiết: XP = X P suy ra: ~ f (Rn) i, i ~ ( p) i(p) = i Ta có: ; i =1.n B(Rn) Y = n i ( p ).Ei i =1 p (XY)|p i ( p ) ( E Y ) n = i i =1 p ~ i ( p ) ( E Y ) n = i i =1 p Y = n~ i ( P ).Ei i =1 p = ( X~ Y ) p Cho trớc vectơ p có trờng vectơ X mà Xp = p Từ định lý ta xây dựng đợc định nghĩa đạo hàm Y theo p cách sau: P = ( X Y ) P ; XP = P 1.4 Định lý ( X Y ) p phụ thuộc giá trị trờng vectơ Y lân cận điểm p Chứng minh Nh ta biết, Rn tồn hàm số khả vi đợc xác định nh sau: ( p ) = ; U lân cận mở p R n \ U = ( ) + Trớc hết, ta xét trờng vectơ Z thoả mãn: Z|U = Khi đó: Z = Z Ta có: ( X Z) P = ( X Z ) P = X[].Zp + (p) ( X Z ) P = XP [] + ( X Z ) P = ~ ~ B(Rn), cho : Y = Y + Bây giờ, ta giả sử Y, Y U U Lúc thì: Từ ta đợc: ( Y Y~ ) = nên ta có: ~ ~ .( Y Y ) = Y Y ( Y ) = ( Y~ ) U X X P P 1.5 Mệnh đề Giả sử ' hai liên thông tuyến tính Rn , ' f (Rn) Khi + ' ' liên thông tuyến tính Rn +'=1 Chứng minh Ta cần kiểm nghiệm điều kiện liên thông tuyến tính : (T1) ( + '') X1 + X2 Y = X1 + X Y + ' 'X1 + X Y = X1 Y + X Y + ' 'X1 Y' + ' 'X Y' = ( + '') X1 (T2) ( + '')XY Y + ( + '') X2 Y = XY + ''XY = .XY + .''XY = (.XY + ''XY) = ( + '')XY (T3) ( + '')X(Y1 + Y2) = X(Y1 + Y2) + ''X(Y1 + Y2) = XY1 + XY2 + ''XY1 + ''XY2 = (X + ''X) Y1 + (X + 'X)Y2 = ( + '')X Y1 + ( + ')XY2 (T4) ( + '')X( Y) = X( Y) + ''X(Y) = (X[] Y + XY) + '(X[] Y + 'XY) = ( + ') X[] Y + ( '')XY (T4) đợc thoả mãn + ' = Từ mệnh đề 1.5 ta có nhận xét: tổng liên thông tuyến tính nói chung liên thông tuyến tính 1.6 Mệnh đề Giả sử liên thông tuyến tính R3 Ta đặt: ~ X Y = X Y + ( X Y ) ; với n N* n ~ liên thông tuyến tính R3 Khi đó: Chứng minh Ta kiểm tra điều kiện liên thông tuyến tính: ~ (T1) X + X1 Y = X + X1 Y + [( X + X1 ) Y ] n = X Y + X Y + 1 ( X Y ) + ( X1 Y ) n n 1 = X Y + (X Y) + X Y + ( X1 Y) n n ~ ~ XY + n = X1 Y ; với X, X1, Y B(R ) ~ (T2) XY = XY + [(X) Y] n = XY + = [ XY + (X Y) n (X Y)] n ~ = XY ; với X, Y B(Rn), F(Rn) ~ X(Y1 + Y2) = X(Y1 + Y2) + [X (Y1 + Y2)] (T3): n = XY1 + X Y2 + 1 (X Y1) + (X Y2) n n 1 (X Y1)] + [ X Y2 + (X Y2)] n n ~ Y + ~ Y ; với X, Y , Y B(Rn) = X 1 X = [ X Y1 + ~ (T4) X(Y) = X(Y) + [X (Y)] n = X[] Y + XY + = X[] Y + [ XY + (X Y) n (X Y)] n ~ = X[] Y + XY ; với X, Y B(Rn), F(Rn) Ta biết rằng: Tích Lie hai trờng vectơ X Y trờng vectơ đợc ký hiệu: [X, Y] xác định bởi: [X, Y](f) = X[Y(f)] - Y[X(f)]; f F(Rn) 1.7 Mệnh đề Liên thông tuyến tính D Rn có tính chất sau: 1) DXY - DYX = [X, Y] ; X, Y B(Rn) 2) Z[X Y] = X DZY + Y DZX; X, Y, Z B(Rn) n Chứng minh 1) Với f F (R ) X = X i E i ; Y = n i =1 n Yi E i ; ta có i =1 (DXY - DYX) [f] = (DxY) [f] - (DYX) [f] = n X[ Yi ] E i [ f ] i =1 n Y[ X i ] E i [ f ] i =1 n n Yi f X i f Yj = X j x x x x i j i j i , j =1 i , j =1 Yi X i f X Y j x j x j j x i i , j =1 Mặt khác: [X, Y] [f] = X[Y[f]] - Y[X[f]] = n (1) n n f f = X Yi Y X i i = i x i i =1 x i n n n Yi f f2 X i f f2 + X jYi Yj X i Yj = Xj x x x x x x x i x j j i i j j i i , j =1 i , j =1 i , j =1 i , j =1 n = Yi X i f X Y j x j x j j x i i , j =1 n (2) Từ (1) (2), ta suy ra: (DXY - DYX) [f] = [X, Y] [f]; f F (Rn) Vậy: DXY - DYX = [X, Y] 2) Ta có: X.DZY + Y.DZX = n X i Z[ Yi ] + i =1 = n n Yi Z[ X i ] i =1 (X i Z[ Yi ] + Yi Z[X i ]) i =1 = n Z[ X i Yi ] i =1 = Z[X Y] { } Chú ý Giả sử liên thông tuyến tính E i tự nhiên Rn Khi ta có biểu diễn: E j Ei = F(Rn) Các số Cijk n n i =1 trờng mục tiêu Cijk E k k =1 C ijk đợc gọi số cấu trúc Trong trờng hợp = D ta có: C ijk = 0; i, j, k = 1, n 10 (Xp ,Yp) p (Xp ,Yp) Với X, Y B (Rn) ta xác định ánh xạ: (X ,Y) : Rn R p (X ,Y)(p) = p (Xp ,Yp) Do ta có định nghĩa sau: dạng vi phân bậc hai khả vi với X,Y B (Rn) (X,Y) hàm khả vi Ta ký hiệu : (Rn) = { - dạng vi phân khả vi Rn} 3.5 Ví dụ Trong R2 Oxy, ta xét trờng vectơ X(X1,X2); Y(Y1, Y2); Khi đó: (X,Y) = X1 Y2 - X2 Y1 Thật vậy: : p p :(Xp ,Yp) X1 p Y2 p X p Y1 p Chẳng hạn với: X(x,y); Y(2x, y2); p(1,1) thì: p :(Xp ,Yp) = x p y p y p 2x p = 1- = - * Bây trang bị phép toán cho (Rn): Giả sử 1, (Rn) , F (Rn), R Khi ta định nghĩa: 1) Phép cộng: 1+ : p (p) + (p) ; p Rn 2) Phép nhân: 1: p (p).1 (p); p Rn Nếu = const = , có: 1: p (p); p Rn 3) Giả sử 1, (Rn) ; X,Y B (Rn) Khi tích 1, 2là đợc xác định nh sau: (1 2) (X,Y) = 1(X) (Y) - 1(Y) 2(X) Ta nhận thấy rằng, với 1, (Rn) thì: = = - 3.6 Mệnh đề 23 1) (Rn) với phép toán cộng nhân lập thành môdun vành F (Rn) 2) {dxi dxj }1 i < j n sở (Rn) Chứng minh 1) Chúng ta dễ dàng chứng minh đợc phép toán cộng nhân đợc xác định nh thoả mãn tiên đề môdun 2) Để chứng minh ta cần bổ đề sau: Bổ đề: dxi dxj (X,Y) = XiYj - Xj Yi ; với i < j Thật vậy: dxi dxj (X, Y) = dxi (X) dxj (Y) - dxi (Y) dxj (X) = Xi Yj - Yi Xj Bây ta chứng minh + Chứng minh {dxi dxj}1 i < j n hệ độc lập tuyến tính n Thật vậy: giả sử: ij dx i dx j = 0; đó: ij hàm số Rn R i , j=1 ( ij dx i dx j )( E k , E l ) n Từ ta có: i , j=1 = 0; với k < l n ij [dx i ( E k ).dx j ( E l ) dx i ( E l ).dx j ( E k ) ] = n i , j=1 ij ( ik jl il jk ) = ; với n i , j=1 1k[...]... 2y Đ4 ánh xạ đối tiếp xúc trong Rn Trong mục này, chúng tôi sẽ trình bày định nghĩa và một số tính chất của ánh xạ đối tiếp xúc trong Rn Đồng thời chúng tôi cũng trình bày định nghĩa và tính chất của tích phân 1 - dạng vi phân dọc đờng cong trong Rn Cũng trong mục này, ta quy ớc rằng: 0 (Rn) = { là hàm số khả vi: Rn R} 4.1 Định nghĩa ánh xạ đối tiếp xúc của ánh xạ khả vi f : Rm Rn là ánh xạ f* đợc... p Rn Z = X + àY = () + à() Trong đó X|0 = ; Y|0 = 19 Chơng 2 Các dạng vi phân và ánh xạ đối tiếp xúc trong Rn Trong chơng này, chúng tôi trình bày các khái nệm cơ bản và một số tính chất của 1- dạng vi phân, 2- dạng vi phân và ánh xạ đối tiếp xúc của một ánh xạ khả vi xác định trên Rn Đồng thời chúng tôi cũng trình bày một số tính chất của tích phân 1 - dạng vi phân dọc theo 1 đờng cong trong Rn. .. xét 4.12) Với những hạn chế về mặt thời gian và năng lực nên có một số vấn đề liên quan đến ánh xạ tiếp xúc và đối tiếp xúc chúng tôi cha trình bày trong khoá luận này Với đề tài trên chúng tôi hy vọng có điều kiện nghiên cứu bài toán về ánh xạ tiếp xúc và đối tiếp xúc trên đa tạp nhiều chiều Tài liệu tham khảo 1 H Cartan Phép tính vi phân và các dạng vi phân, Nxb Đại học và trung học chuyên nghiệp...Đ2 ánh xạ tiếp xúc trong Rn Trong mục này chúng tôi trình bày các khái niệm cơ bản và một số tính chất của ánh xạ tiếp xúc của một ánh xạ khả vi f: Rm Rn Giả sử ánh xạ f: Rm Rn; x(x1, , xm) f(x1, , xm) thì f đợc đồng nhất với bộ n hàm số (f1, , fn) với fj : Rm R; (x1, , xm) fj (x1, , xm) Chúng ta đã biết rằng f khả vi khi và chỉ khi fj khả vi j = 1, n 2.1 Định nghĩa Giả sử f là ánh xạ khả... 1 - dạng vi phân và 2 - dạng vi phân trong Rn Trong mục này ta ký hiệu Tp* Rn là không gian vectơ đối ngẫu của không gian tiếp xúc Tp Rn nghĩa là Tp* Rn = {f| f là ánh xạ tuyến tính: Tp Rn R} 3.1 Định nghĩa Một dạng vi phân bậc 1 hay còn gọi là 1 - dạng vi phân trên Rn là ánh xạ: : Rn Tp*R n pR n * p p Tp Rn Ta chú ý rằng: (Xp) R, với Xp Tp Rn Vậy với X B (Rn) thì (X) F (Rn) đợc gọi là 1-... (Rn) n Vậy: = i i =1 dxi Từ (1) và (2) ta suy ra : { dx i } in=1 là cơ sở của 1 (Rn) Do đó: dim 1 (Rn) = n 3.4 Định nghĩa Ký hiệu ( R ) = 2 n n2 (Tp R n ) PR Dạng vi phân bậc hai hay còn gọi là 2 - dạng vi phân trên Rn là ánh xạ: : Rn 2( Rn) p p 2(TpRn) Với p là ánh xạ song tuyến tính, phản xứng: p: Tp Rn x Tp Rn R 22 (Xp ,Yp) p (Xp ,Yp) Với X, Y B (Rn) ta xác định ánh xạ: (X ,Y) : Rn. .. xạ d đợc xác định: d : 0 (Rn) 1 (Rn) n d = x i =1 dx i i + Giả sử 1 (Rn) Vi phân ngoài của là ánh xạ: d : 1 (Rn) 1 (Rn) d n Trong đó: d = di dx i i =1 với = n i dx i i =1 + Giả sử 1 (Rn) ; đợc gọi là 1 - dạng đóng nếu d = 0 + Giả sử 1 (Rn) ; là 1 - dạng khớp nếu : d = 4.4 Mệnh đề 1 d là ánh xạ tuyến tính d d 2 Giả sử d2: 0 (Rn) 1 (Rn) 2 (Rn) ta có d2 = 0 3 d f* = f* d; với d : 1 (Rn) ... toán vào 1 (Rn) : 20 Giả sử 1, 2 1 (Rn) , F (Rn) , R Khi đó, ta định nghĩa: 1) Phép cộng: 1+ 2: p 1(p)+ 2(p); p Rn, 1, 2 1 (Rn) 2) Phép nhân: .1: p (p).1(p); p Rn, 1 1 (Rn) Khi = const = , thì có: 1: p 1(p); p Rn, 1 1 (Rn) 3.3 Mệnh đề 1 (Rn) cùng với hai phép toán trên lập thành một môdun trên vành F (Rn) và dim 1 (Rn) = n Chứng minh: Ta dễ kiểm tra đợc hai phép toán trên của 1 (Rn) ... vi từ Rm vào Rn ánh xạ tiếp xúc của f tại p đợc ký hiệu là f*|p : TpRm Tf(p) Rn và đợc xác định nh sau: nếu vp TpRm là vectơ tiếp xúc của đờng cong (t) tại p ((t0) = p) thì f*|p (v) là vectơ tiếp xúc với đờng cong f (t) tại f(p) 2.2 Chú ý + Khi không chú ý tới điểm p, ta thờng viết f* thay cho f*|p + Nếu f* đơn ánh thì f đợc gọi là dìm + Nếu f* toàn ánh thì f đợc gọi là ngập + Nếu f* song ánh thì... thuộc 2 điểm A và B 4.10 Mệnh đề ánh xạ: : 1 (Rn) R là ánh xạ tuyến tính Chứng minh Giả sử 1, 2 1 (Rn) và , à R ta có: ( 1 + à2 ) = ( 1 + à 2 ) b * * a b b = 1 + à * 2 * a a = 1 + à 2 4.11 Định nghĩa Giả sử La: Rn Rn x a+x 34 1 - dạng vi phân đợc gọi là 1 - dạng vi phân bất biến trái nếu và chỉ ( ) * a Rn (La* = nghĩa là: L a nếu: La* = ; p p = a + p; p Rn) 4.12 Nhận xét ... nhận xét ánh xạ tiếp xúc ánh xạ đối tiếp xúc Rn Khoá luận đợc chia làm chơng trình bày mục: Chơng 1: Liên thông tuyến tính ánh xạ tiếp xúc Rn Đ Liên thông tuyến tính Rn Đ ánh xạ tiếp xúc Rn Chơng... Chơng 2: Các dạng vi phân ánh xạ đối tiếp xúc Rn Đ 3: - dạng vi phân - dạng vi phân Rn Đ 4: ánh xạ đối tiếp xúc Rn Trong Đ1, đa định nghĩa ví dụ liên thông tuyến tính Rn (mệnh đề 1.2; mệnh đề... rằng: 0 (Rn) = { hàm số khả vi: Rn R} 4.1 Định nghĩa ánh xạ đối tiếp xúc ánh xạ khả vi f : Rm Rn ánh xạ f* đợc xác định nh sau: f* : 1 (Rn) 1(Rm) f* Trong đó: f*(X) = (f*X) ; X B (Rn) ta định