Về ánh xạ đóng và tập compact

Trờng đại học vinh Khoa toán -------------------------- Nguyễn thị huyền nga Về ánh xạ đóng và tập compact Khóa luận tốt nghiệp đại học Vinh-2004 1 Trờng đại học vinh Khoa toán ------------------------------ về ánh xạ đóng và tập compact khóa luận tốt nghiệp đại học ngành học: cử nhân s phạm toán Chuyên ngành: Giải tích Cán bộ hớng dẫn khóa luận : pgs.ts. Trần Văn ân Sinh viên thực hiện : Nguyễn Thị Huyền Nga Lớp : 41A 2 Vinh - 2004 2 Mục lục Trang Lời mở đầu 3 Chơng I Một số kiến thức chuẩn bị 5 1.1. Tính paracompact .5 1.2. Một số tính chất của ánh xạ đóng .7 Chơng II ánh xạ đóng và tập compact 10 2.1. Một số tính chất của q-không gian .10 2.2. ảnh đóng của không gian paracompact và tính compact.12 Chơng III ảnh đóng của các không gian Mêtric 17 3.1. K-lới và họ HCP.17 3.2. Một đặc trng của ảnh đóng của các không gian mêtric 24 Kết luận 31 Tài liệu tham khảo 32 3 Lời Mở ĐầU ánh xạ đóng, tập compact, không gian mêtric là những khái niệm quen thuộc đối với chúng ta. Nghiên cứu mối quan hệ giữa chúng đã cho ta những kết quả hay và các không gian đặc biệt. Một vài kết quả liên quan giữa ánh xạ đóng và tập compact đối với không gian khả mêtric đã đợc các nhà bác học I. A. Vainstein, A. Argangel'skii đề cập đến. ở luận văn này các kết quả đó đợc chứng minh cho một không gian tổng quát hơn, không gian paracompact. Ngoài ra, đối với ảnh cuả không gian mêtric qua ánh xạ đóng (còn gọi là không gian lasnev), luận văn này đa ra một đặc trng của nó liên quan đến k-lới -HCP nh sau: Một không gian Hausdorff là không gian Lasnev nếu và chỉ nếu nó là không gian Frechet với một k-lới -HCP. Trong khuôn khổ của một luận văn, chúng ta chỉ nghiên cứu đợc một số vấn đề nh: Cho : X Y là ánh xạ liên tục, đóng thì khi nào -1 (y) là tập compact, với mọi yY; khi nào mọi tập con compact (tơng ứng compact đếm đợc) của Y đều là ảnh của một tập con compact (tơng ứng compact đếm đợc) nào đó của X; khi nào thì một không gian Frechet trở thành không gian Lasnev, Cụ thể ngoài phần mục lục, mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn có bố cục nh sau: Chơng I trình bày một số kiến thức nh: khái niệm không gian paracompact, khái niệm ánh xạ đóng và các tính chất của chúng nhằm mục đích chuẩn bị cho việc trình bày các phần tiếp theo. Chơng II đa ra khái niệm q-không gian và một số tính chất của nó mà đợc áp dụng để chứng minh các định lý quan trọng liên quan đến ảnh của không gian paracompact, tính compact qua ánh xạ đóng đợc trình bày ở phần sau 4 Chơng III trình bày các khái niệm nh k-lới, họ HCP, các tính chất của chúng và một đặc trng của không gian Lasnev liên quan đến k-lới -HCP. Trong luận văn này các ánh xạ đều đợc giả thiết là liên tục, toàn ánh, các không gian nhắc đến trong chơng II đều là T 1 -không gian, các không gian trong chơng III đều là T 2 -không gian, các khái niệm cha đợc định nghĩa đề nghị xem trong [2]. Cuối cùng cho tôi gửi lời cảm ơn sâu sắc nhất tới PGS.TS. Trần Văn Ân, ng- ời trực tiếp hớng dẫn tôi hoàn thành luận văn. Đồng thời cho tôi gửi lời cảm ơn tới các thầy cô giáo trong khoa Toán và bạn bè đã giúp đỡ tôi trong quá trình làm luận văn. Mặc dù đã cố gắng nhiều nhng do điều kiện về thời gian và hạn chế về mặt trình độ, luận văn chắc không tránh khỏi thiếu sót, tác giả kính mong các thầy cô giáo và bạn đọc góp ý để luận văn hoàn chỉnh hơn. Vinh, tháng 4 năm 2004. Tác giả 5 Chơng I Một số kiến thức chuẩn bị 1.1. Tính Paracompact 1.1.1. Định nghĩa. i) Họ p các tập con của không gian tôpô X đợc gọi là một phủ của tập con A trong X nếu A { } P P:P . Ta viết P thay cho { } P P:P . ii) Họ p các tập con của không gian tôpô X đợc gọi là một phủ của X nếu X = P . 1.1.2. Định nghĩa. Họ p các tập con của không gian tôpô X đợc gọi là một họ hữu hạn địa phơng nếu với mỗi điểm Xx tồn tại lân cận U của x sao cho U chỉ giao với hữu hạn phần tử của p. 1.1.3. Định nghĩa. Họ p các tập con của không gian tôpô X đợc gọi là một họ rời rạc nếu với mỗi điểm Xx tồn tại một lân cận U của x sao cho U có giao với nhiều nhất một phần tử của p. 1.1.4. Nhận xét. Một họ các tập con rời rạc là họ hữu hạn địa phơng. 1.1.5. Mệnh đề. Với mỗi họ hữu hạn địa phơng { A s } s S , ta có Ss s A = Ss s A . Chứng minh. Ta có s A Ss s A , với mọi s S. Do đó Ss A s Ss s A (1) Với mỗi x Ss s A , vì {A s } s S là họ hữu hạn địa phơng nên tồn tại một lân cận U của x sao cho tập S 0 = {s S : U A s } là hữu hạn và khi đó 6 U 0 \s s A SS = . Suy ra x S o s s A . Nh vậy, từ x Ss s A = S o \Ss s A S o s s A ta có x S o s s A = S o s s A Ss s A hay Ss s A Ss s A (2) Từ (1) và (2) suy ra Ss s A = Ss s A . Điều phải chứng minh. 1.1.6. Định nghĩa. Phủ B của tập hợp X đợc gọi là cái mịn của phủ p khi và chỉ khi mỗi phần tử của phủ B đợc chứa trong một phần tử nào đó của phủ p. 1.1.7. Định nghĩa. Không gian tôpô X đợc gọi là không gian paracompact khi và chỉ khi nó là không gian Hausdorff và mỗi phủ mở đều có cái mịn hữu hạn địa phơng mở. 1.1.8. Nhận xét ([6]). Mọi không gian compact đều là không gian paracompact. 1.1.9. Bổ đề. Cho X là không gian paracompact, A và B là hai tập đóng con của X. Nếu với mỗi x B đều tồn tại các tập mở U x , V x sao cho U x A, x V x và U x V x = thì tồn tại các tập mở U, V sao cho A U, B V và U V = . Chứng minh. Họ { } ( ) B\XV Bx x là một phủ mở của không gian paracompact X, do đó có một cái mịn hữu hạn địa phơng mở {W s } s B . 7 Gọi S 0 = {s S : W s B }, ta có A W s = , với mọi s S 0 và B S o s s W . Theo mệnh đề 1.1.5, tập U = X \ 0 Ss s W mở. Khi đó rõ ràng tập U và V= S o s s W thoã mãn yêu cầu. 1.1.10. Mệnh đề. Mọi không gian paracompact đều là không gian chuẩn tắc. Chứng minh. áp dụng bổ đề 1.1.9 cho trờng hợp A = {x} là tập một điểm và B là tập đóng không chứa x ta đợc không gian paracompact là không gian chính quy. áp dụng bổ đề 1.1.9 cho không gian chính quy một lần nữa ta đợc điều phải chứng minh. 1.1.11. Mệnh đề ([6]). Mọi không gian compact đếm đợc và paracompact là không gian compact. 1.1.12. Mệnh đề. Tập con đóng của không gian paracompact là không gian paracompact. Chứng minh. Giả sử A là tập con đóng bất kỳ của không gian paracompact X. Gọi u là phủ mở bất kỳ của A. Khi đó thêm vào phủ u tập X \ A mở ta đợc phủ mở v của X. Do X là không gian paracompact nên phủ v có cái mịn hữu hạn địa phơng mở b, tức là b = {B mở: B U u hoặc B X \ A}. Khi đó họ a ={B b: B U u } là cái mịn mở hữu hạn địa phơng của u. Vậy mọi phủ mở u của A đều có cái mịn hữu hạn địa phơng mở. Hơn nữa A là tập con đóng của không gian Hausdorff X nên A cũng là không gian Hausdorrf. Vậy A là không gian paracompact. 1.2. Một số tính chất của ánh xạ đóng 8 1.2.1. Định nghĩa. ánh xạ : X Y đợc gọi là ánh xạ đóng nếu với mọi tập đóng A X, ảnh (A) là tập đóng trong Y. 1.2.2. Mệnh đề. ánh xạ f : X Y là ánh xạ đóng khi và chỉ khi )()( AfAf = với mọi A X. Chứng minh. Cần. Giả sử : X Y là ánh xạ đóng, A X. Ta có )A(f đóng và )A()A( ff nên A . Mặt khác liên tục nên (A)f . Do đó )A()A( ff = . Đủ. Giả sử )A()A( ff = , với mọi A X. Khi đó với liên tục và AA = thì f(A) = )A()A( ff = là tập đóng trong Y. Do đó là ánh xạ đóng . 1.2.3. Mệnh đề. Nếu f : X Y là ánh xạ đóng và f -1 (y) là tập compact với mọi y Y thì với mọi tập compact Z Y ta có f -1 (Z) là tập compact. Chứng minh. Giả sử {U } I là một phủ mở bất kỳ của -1 (Z) thì với mỗi z Z, {U } I cũng là một phủ mở của -1 (z). Vì -1 (z) là một tập compact nên tồn tại phủ con hữu hạn { U z 1 , U z 2 , ., U z z n } phủ -1 (z). Đặt V z = n z i i 1 = U z . Khi đó V z mở và -1 (z) V z . Đặt W z =Y \ (X \ V z ). Vì là ánh xạ đóng, V z mở trong X nên W z mở trong Y. Mặt khác, -1 (z) V z suy ra -1 (z)(X \ V z ) = . Hay {z} (X \ V z ) = nên zW z . Do đó {W z } z Z là phủ mở của Z. Vì Z compact nên tồn tại phủ con hữu hạn { W 1 z , W 2 z , ., W k z } phủ Z, nghĩa là ta có Z k 1i W z i = .Vì vậy ( ) ( ) k i z i ffZf 1 1 k 1i 11 W W z i = = = = ( )( ) i z k 1i 1 V\X\Y f f = k 1i V z i = = k 1i z 1j n i U = = i j z , trong đó U z i j {U } I , với i = 1 , ., k; j = 1, ., n z i . 9 Vậy phủ {U } I có phủ con hữu hạn là { U z i j }. Do đó -1 (z) là tập compact. 1.2.4. Mệnh đề. Nếu f: X Y là ánh xạ đóng và f -1 (y) là compact đếm đ- ợc với mọi y Y, thì với mọi tập compact đếm đợc Z Y, ta có f -1 (Z) là tập compact đếm đợc. Chứng minh. Giả sử Z Y, Z là tập compact đếm đợc. Gọi { } U n 1n = là phủ mở đếm đợc của -1 (Z). Khi đó với mỗi z Z, { } U n 1n = cũng là phủ mở đếm đợc của -1 (z). Vì -1 (z) là compact đếm đợc nên tồn tại phủ con hữu hạn {U 1 , U 2 , ., U n z }. Đặt V n z = n z 1i i U = , ta có V n z mở và -1 (z) V n z . Đặt W n z = Y \ (X \ V n z ). Do là ánh xạ đóng, V n z mở nên W n z mở. Từ -1 (z) V n z ta có -1 (z) (X \ V n z ) = nên z f(X \ V n z ) = . Do đó z V n z . Vậy Z Zz W n z .Vì Z compact đếm đợc nên tồn tại phủ con hữu hạn { W n 1 z , W n 2 z , ., W n k z } của { W n z } z Z phủ Z. Suy ra Z k 1i n W z i = , do đó -1 (Z) -1 = k 1i n W z i = ( ) W n 1 z i k 1i = f = ( )( ) V \X\Y n z k 1i 1 f f = k 1i n V z = = k 1i n 1j j z i U = = , trong đó U j { } U n 1n = với mọi j = 1, 2, ., n z i ; i =1, 2, ., k. Vậy -1 (Z) là compact đếm đợc. 10