3.2.1. Định nghĩa. Không gian tôpô X đợc gọi là không gian Lasnev nếu nó là ảnh của một không gian mêtric qua ánh xạ đóng.
3.2.2. Định nghĩa. Họ P những tập con của không gian tôpô X gọi là một lới
tại x ∈ X nếu x ∈P và mọi lân cận của x đều chứa ít nhất một phần tử của P.
3.2.3. Mệnh đề ([3 ]).Mọi không gian mêtric đều có cơ sở σ-rời rạc.
3.2.4. Định lý. Giả sử X là không gian Lasnev Hausdorff. Khi đó X là không Frechet với một k-lới đóng σ-HCP.
Chứng minh. Giả sử X là không gian Lasnev Hausdorff. Theo định nghĩa không gian Lasnev ta có tồn tại không gian mêtric M và ánh xạ ƒ: M→ X đóng, liên tục, toàn ánh.
Từ mệnh đề 3.2.3, gọi B là cơ sở σ-rời rạc của M. Khi đó theo nhận xét 3.1.5 B'={B:B∈ B} là họ σ-HCP trong M, kết hợp mệnh đề 3.1.6 ta có
{ (fB):B∈ B} là họ σ-HCP trong X.
Theo mệnh đề 3.1.2 thì {B : B ∈B} là k-lới đóng của M. Nhờ mệnh đề 3.1.3 ta có { (fB):B∈ B} là một k-lới đóng của X.
Vậy X có một k-lới σ-HCP là { (fB):B∈ B}. Mặt khác M là một không gian mêtric nên M là không gian Frechet. Từ mệnh đề 1.2.7 thì X cũng là không gian Frechet. Vậy X là không gian Frechet với một k-lới đóng σ-HCP.
3.2.5. Nhận xét. Từ mệnh đề 3.1.16, nếu bỏ đi điều kiện đòi hỏi k-lới bao gồm những tập đóng thì không gian Lasnev X luôn có một k-lới là hợp đếm đợc của những họ HCP và họ điểm hữu hạn.
3.2.6. Định lý. Giả sử X là không gian Frechet với một k-lới đóng σ-HCP
P =
N
∈
n Pn thì X là không gian Lasnev.
Chứng minh. Giả sử P =
N
∈
n Pn là k-lới đóng σ-HCP trong không gian Frechet X. Từ bổ đề 3.1.13, ta có thể giả sử Pn⊂Pn+1 với mọi n∈N. Vì P =
N
∈
n Pn là k-lới đóng σ-HCP nên Pn là họ HCP những tập con đóng của X. Vì
vậy áp dụng bổ đề 3.1.7 với mỗi n∈N thì Pn đóng kín với phép giao hữu hạn.
Với P∈Pn, ta đặt
Rn(P) = P \ int {Q∈Pn: P ⊄ Q}.
3.2.7. Bổ đề. Giả sử Z={zn : n ∈ N} hội đến x ∈ X và n0 ∈ N. Đặt R*={R∈
Rno:R∩Z vô hạn}. Nếu U là một lân cận mở của x và {zn:n≥n1, n1∈N} ⊂ int
{P∈Pno:P⊂ U} thì tồn tại M∈N {zn:n≥M} ⊂ int R* và R*⊂ U.
Chứng minh.
Theo giả thiết ta có số n1 ∈ N sao cho {zn: n ≥ n1} ⊂ int {P ∈Pno: P ⊂ U}
(1)
Theo bổ đề 3.1.8 thì tồn tại M1 để {zn: n≥ M1} ∩ P ≠φ với chỉ hữu hạn phần tử P ∈ Pno. Suy ra {zn: n ≥ M1} ∩ Q ≠ φ chỉ với hữu hạn phần tử Q∈Pno∪
Rno (do R ∈Rno thì tồn tại P ∈Pno sao cho R ⊂ P). Do đó chỉ có hữu hạn phần tử của Z ={zn: n ∈ N} thuộc {Q∈Pno∪Rno: Q∩Z hữu hạn}. (2)
Từ (1), (2) suy ra tồn tại số M∈N sao cho
{zn: n ≥ M}⊂ int {P ∈Pno: P ⊂ U}\ {Q∈Pno∪Rno : Q ∩ Z hữu hạn} ⊂ int Pno \ {Q ∈Pno∪Rno: Q ∩ Z hữu hạn}.
Nh vậy tồn tại số M∈N sao cho{zn : n ≥ M}⊂ V với V= int Pno \ {Q∈Pno Rno: Q∩Z hữu hạn}.
Bây giờ chúng ta chỉ ra rằng V⊂ R*. Thật vậy, nếu y∈V, thì y∈Q∈Pno
mà Q∩Z vô hạn nên theo bổ đề 3.1.8 suy ra chỉ tồn tại hữu hạn phần tử Q∈Pno
để Q∩Z vô hạn. Do đó Pno là phủ điểm hữu hạn tại y. Vì Pno đóng kín với phép giao hữu hạn nên P(y)= {Q∈Pno : y∈ Q}∈Pno. Hơn nữa y∈X\
{Q∈Pno: P(y)⊄Q}. Vì vậy y∈P(y)\ {Q∈Pno: P(y)⊄Q}⊂ P(y)\ int {Q∈
Pno: P(y)⊄ Q}= Rno(P(y)). Suy ra y∈Rno(P(y)). Vì y∈V nên Rno(P(y))∩Z vô hạn dẫn đến y∈Rno(P(y)) ⊂ R*. Vậy V ⊂ R*.
Để thấy đợc R*⊂ U ta chú ý rằng nếu Rno(P)∈R*thì Rno(P)⊂ P⊂ Q với Q nào đó, Q∈Pno và Q⊂ U. Thật vậy, giả sử với mọi Q∈Pno mà Q⊂ U ta đều có P⊄Q, {Q∈Pno: Q⊂ U}⊂{Q∈Pno: P⊄ Q} suy ra int{Q∈Pno: Q⊂ U}⊂
int{Q∈Pno: P⊄Q}. Mặt khác {zn: n ≥ M}⊂int{Q∈Pno: Q⊂ U}. Do đó {zn: n≥
M}⊂ int{Q∈Pno: P⊄ Q } suy ra Z ∩Rno(P) không thể vô hạn (vì Rno(P) = P \
int{Q∈Pno: P ⊄ Q}). Điều này dẫn đến Rno(P) ∉R*, mâu thuẫn. Nh vậy nếu
Rno(P)∈R* thì tồn tại Q∈P mà Q⊂ U sao cho Rno(P) ⊂ P ⊂ Q. Do đó R*⊂
U. Bổ đề đợc chứng minh.
Bây giờ với mỗi n∈N, đặt R'
n=Rn {X \ int Rn} = {Rα : α∈ In}. Ký hiệu
A ={σ∈ ∏ ∈N
n In : {Rσ(n) : n ∈N} là một lới tại x nào đó thuộc X}. Đa vào A tôpô cảm sinh từ tôpô tích Tikhônôp của các không gian rời rạc In, n∈N. Ta định nghĩa hàm ƒ: A → X cho bởi ƒ(σ) = x nếu và chỉ nếu {Rσ(n): n ∈
N} là một lới tại x.
3.2.8. Bổ đề.f là một ánh xạ.
Chứng minh. Giả sử tồn tại σ∈A sao cho ƒ(σ) = x và ƒ(σ) = y nhng x ≠ y. Khi đó {Rσ(n): n ∈N} là một lới tại x và cũng là một lới tại y. Suy ra
x ∈ {Rσ(n): n ∈N} và y ∈ {Rσ(n): n ∈N}
và mọi lân cận U của x đều tồn tại n0 sao cho U⊃Rσno,suy ra y∈{Rσ(n): n∈N}⊂Rσno⊂ U.
Do đó mọi lân cận của x đều chứa y. Mâu thuẫn với giả thiết X là không gian Hausdorff. Vậy với mỗi σ∈A thì tồn tại duy nhất x∈X sao cho ƒ(σ) = x. Hay
ƒ là ánh xạ.
3.2.9. Bổ đề.f (A) = X.
Chứng minh. Do P là k-lới đóng nên với mỗi n∈N ta có với mọi P∈Pn
thì P đóng, suy ra Rn(P) cũng là tập đóng. Do đó Rnlà họ các tập đóng. Mặt khác X\ int Rnđóng. Vì vậy Rα đóng với mọi α∈ In. Với mỗi x∈X ta có
Nếu x là điểm cô lập thì {x} là tập mở, {x} lại là tập compact mà P là k-lới nên tồn tại P ∈ P sao cho {x} = P. Suy ra tồn tại n0∈N sao cho {x}∈Pn0 và Rno({x}) =
{x}. Khi đó lấy σ∈A sao cho σ(n) = n0, với mọi n∈N thì {Rσ(n): n∈N}={Rno: n∈N} là một lới tại x.
Nếu x không phải là điểm cô lập, thì x ∈X \{ }x . Do X là không gian Frechet nên có một dãy Z trong X \ {x} mà hội tụ đến x. Với mỗi n ∈N,
lấy Rσ(n)= Rα nếu tồn tại Rα∈ Rn sao cho Rα ∩ Z vô hạn. Lấy Rσ(n)= X\ intRn nếu Rα∩Z hữu hạn với mọi Rα∈R .
Trong trờng hợp nào ta cũng có x ∈ Rσ(n). Thật vậy, nếu Rσ(n)∈Rnsao cho
Rσ(n)∩ Z vô hạn nhng x ∉ Rσ(n) thì x ∈ X \ Rσ(n)- là tập mở. Vì Z ={zn: n∈
N} hội tụ đến x nên tồn tại n0 sao cho với mọi n > n0 thì zn ∈ X\ Rσ(n), nghĩa là
{zn: n ≥ n0} ⊂ X \ intRn, suy ra Z ∩Rσ(n)⊂ {z1, z2,.., zno}. Điều này mâu thuẫn mâu thuẫn với Rσ(n)∩Z vô hạn. Vậy x∈Rσ(n). Nếu Rα∩Z hữu hạn với mọi Rα
∈ Z(*). Khi đó Rσ(n)=X\ intRn.Từ mệnh đề 3.1.8, tồn tại M∈N sao cho {zn: n ≥ M} chỉ giao với hữu hạn phần tử P∈Pn. Suy ra cũng chỉ tồn tại hữu hạn phần tử của
Rncó giao khác rỗng với {zn: n ≥M}, giả sử đó là Rα1, Rα2 ,..., Rαk, αi∈In, với mọi i =1, 2, ..., k. Khi đó ( ) Rn ∩Z = =k i i 1Rα ∩Z = k ( ) 1 i R Z = αi
là tập hữu hạn (vì theo (*)Rαi ∈Rn nên Rαi ∩Z hữu hạn). Từ ( ) Rn ∩ Z vô hạn suy ra ( )X \ Rn ∩ Z vô hạn. Do đó ( X \int Rn) ∩ Z vô hạn.
Lập luận tơng tự trờng hợp trên, áp dụng X\ int Rn đóng, Z hội tụ đến x ta có x ∈ X \ int Rn. Nh vậy x ∈ Rσ(n)với mọi n∈N, suy ra x ∈ {Rσ(n)
: n∈N}.
Vì Z = {zn: n∈ N}, hội tụ đến x ∈ X\Z nên theo mệnh đề 3.1.10 thì với U là tập mở chứa x ta có số n0, n1∈ N sao cho {zn: n≥ n1}⊂ int {P∈Pno: P⊂ U}. Tiếp tục áp dụng bổ đề 3.2.7 ta có tồn tại M∈N sao cho {zn: n≥ M}⊂ int R*⊂ R*⊂
U. Nh vậy tồn tại M ∈N sao cho {zn: n ≥ M}⊂ {R ∈Rno: R ∩ Z vô hạn}⊂ U. Mặt khác theo mệnh đề 3.1.8 ta suy ra chỉ có hữu hạn phần tử R ∈Rno sao cho R ∩ Z ≠φ. Do đó phải tồn tại phần tử R ∈Rno sao cho R ∩Z vô hạn. Do vậy phần tử R (n )
0
σ đợc lấy trong chứng minh trên sẽ thoả mãn R (n )
0
σ ⊂ U.
Vậy mọi lân cận U của x đều tồn tại phần tử của {Rσ(m): m ∈N} chứa trong U. Do đó {Rσ(m): n∈N} lập thành một lới tại x, nghĩa là tồn tại σ∈A sao cho ƒ(σ) = x với mọi x∈X, hay ƒ(A) = X.
Chứng minh. Giả sử U là tập mở trong X, x∈U và σ∈ƒ-1(x). Khi đó x=ƒ(σ) nên {Rσ(n): n∈ N} là một lới tại x. U là lân cận mở của x nên theo định nghĩa l- ới thì phải tồn tại n ∈ N sao cho Rσ(n)⊂ U. Khi đó xét τ ∈ A sao cho τ(n) =
σ(n). Vì {Rτ(n): n ∈ N} là một lới tại ƒ(τ) nên ƒ(τ) ∈ {Rτ(n): n ∈ N}. Suy ra
ƒ(τ) ∈Rτ(n)=Rσ(n) (do τ(n) = σ(n)). Nh vậy với mọi τ∈ A sao cho τ(n) = σ(n) thì
ƒ(τ)∈Rσ(n). Do đó ƒ({τ∈A: τ(n) = σ(n)}) ⊂ Rσ(n)⊂ U.
Suy ra σ∈{τ∈A: τ (n) = σ(n)} ⊂ƒ-1(U). Mặt khác {τ∈A: τ(n) = σ(n)} là một tập mở trong A, nghĩa là mọi σ ∈ ƒ-1(U) đều tồn tại một tập mở {τ∈A: τ(n) = σ(n)}
sao cho σ∈V⊂ƒ-1(U). Vậy ƒ-1(U) mở trong A với mọi U mở trong X, hay ƒ liên tục.
3.2.11. Bổ đề. f là ánh xạ đóng.
Chứng minh. Xét tập đóng bất kỳ F ⊂ A, giả sử Z ={zn :n∈ N} là một dãy trong ƒ(F) hội tụ đến x ∈ X\Z. Với mỗi n∈N, lấy một σn ∈ F ∩ f-1(zn).
Đặt S0 = N và với mỗi m∈ N chúng ta chọn bằng phơng pháp quy nạp các tập vô hạn Sm ⊂ Sm+1 và τ(m) ∈ Im nh sau: Nhờ mệnh đề 3.1.8, ta có M∈Nsao cho
R* = {R ∈R''
m:R∩ Z vô hạn} = {R ∈R''
m:R∩{zn: n ≥M}≠ φ}}
là họ hữu hạn. Vì với mỗi n ∈ N, σn ∈ F∩ƒ-1(zn) suy ra ƒ(σn)=zn. Do đó {Rσn(m): m∈
N} là một lới tại zn, suy ra zn∈Rσn(m). Bởi vậy khi n ≥ M thì zn∈Rσn(m), nghĩa là Rσn(m)∩{zn: n ≥M}≠φ, suy ra Rσn(m)∈R*. Mặt khác chỉ có hữu hạn Rσn(m) sao cho Rσn(m) ∩{zn: n ≥M}≠φ, nghĩa là chỉ có hữu hạn Rσn(m) sao cho Rσn(m)∈R*. Do đó phải có vô hạn chỉ số n để các σn(m) trùng nhau, khi đó với mỗi m ta gọi Sm ={n ∈
N: các σn(m) đó trùng nhau} và gọi τ ∈ ∏
∈N
m Im sao cho τ(m)= σn(m) với mọi n∈Sm.
Chúng ta sẽ chỉ ra rằng τ∈ ∏
∈N
Với mỗi m∈ N, zn ∈ Rσn(m) = Rτ(m) với mọi n∈Sm nên x ∈ N
∈
m Rτ(m).
Nếu U là tập mở chứa x thì theo mệnh đề 3.1.10 và bổ đề 3.2.7 lập luận tơng tự phần f(A) = X sẽ cho ta n0∈N sao cho Rτ(no)∈Rno và Rτ(no)⊂ U. Vậy
{Rτm : m∈N} là một lới tại x nên f(τ) = x.
Với mỗi m ∈ N lấy n(m) ∈ Sm, n(m) < n(m+1). Khi đó nếu m ≥ k thì n(m)∈Sm⊂Sk, hay n(m)∈Sk nên σn(m)(k) = τ(k). Do đó dãy {σn(m): m∈ N}⊂F, mà F đóng nên τ∈F. Suy ra x ∈ƒ(τ)∈ƒ(F). Vậy ƒ(F) đóng. Do đó ƒ là ánh xạ đóng.
Từ bổ đề 3.2.8, 3.2.9, 3.2.10, 3.2.11 ta có 3.2.6 đợc chứng minh. Từ định lý 3.2.4 và 3.2.6 ta có một đặc trng của không gian Lasnev.
3.2.12. Định lý. Một không gian Hausdorff là không gian Lasnev nếu và chỉ nếu nó là không gian Frechet với k-lới đóng σ-HCP.
Luận văn đã giải quyết một số vấn đề sau:
1. Giới thiệu một số khái niệm về phủ, các không gian, ánh xạ đóng trên cơ sở đó trình bày một số tính chất của chúng.
2. Chứng minh chi tiết các kết quả đợc đa ra trong [1] và [4] cha đợc chứng minh hoặc chứng minh còn vắn tắt.
3. Một số vấn đề mở.
a) Khi mở rộng kết quả liên quan giữa ánh xạ đóng và tập compact trên không gian paracompact thì có hạn chế gì không? Tìm phản ví dụ .
b) Ngoài không gian compact địa phơng, không gian thoả mãn tiên đề đếm đợc thứ nhất là q-không gian thì các không gian khác nh không gian compact đếm đợc, M-không gian, k-không gian, không gian paracompact có phải là q - không gian không?
c) Một không gian Hausdorff Frechet với một k-lới đếm đợc có phải là không gian Lasnev không?
Tài liệu tham khảo
[1]. E. Michael, A note on close maps and compact sets, Israel J.Math, 2(1964), 173-176.
[2]. G. L. Cain, Introduction to General to Topology, Addison-Weslay Publishing Company, 1993.
[3]. J. Kelli, Tôpô đại cơng, (Hồ Thuần, Hà Huy Khoái, Đinh Mạnh Tờng dịch), Nxb Đại học và Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội 1973.
[4]. L. Fogel, A characterization of closed images of metric space, volume 95, 1985, 487-490.
[5]. Nguyễn Xuân Liêm, Tôpô đại cơng- độ đo và tích phân, Nxb Giáo dục, 1994.