Điểm bất động của các ánh xạ co và các ánh xạ không gian

Lời nói đầu Một trong các hớng nghiên cứu mạnh mẽ của giải tích là lý thuyết điểm bất động. Các định lý điểm bất động liên quan đến các điều kiện mà nó khẳng định sự tồn tại của một điểm x * trong C (C X) sao cho Tx * = x * với :T C C . Điểm x * nh vậy gọi là điểm bất động của ánh xạ T. Bài toán tồn tại này đợc đặt ra thờng xuyên trong giải tích, việc giải một phơng trình đợc quy về việc tìm điểm bất động của một ánh xạ thích hợp. Chẳng hạn, nếu X là một không gian tuyến tính, S là một ánh xạ trong X, y là một phần tử cố định của X thì nghiệm của phơng trình Sx = y chính là điểm bất động của ánh xạ T xác định bởi Tx = Sx + x - y với mọi x X. Nh vậy các định lý điểm bất động đợc ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực. Trong luận văn này chỉ nghiên cứu sự tồn tại điểm bất động, đa ra một số định lý về điểm bất động của ánh xạ co và các ánh xạ không giãn. Luận văn gồm ba chơng: Chơng I. Các kiến thức chuẩn bị . Chơng này đa ra một số định nghĩa, khái niệm về không gian metric, không gian Banach, không gian Hilbert, các ký hiệu về tập sắp thứ tự bộ phận, các định nghĩa về ánh xạ liên tục, tập đóng, liên quan đến các trình bày ở phần sau. Chơng II. Điểm bất động của ánh xạ co. Sau khi trình bày định nghĩa ánh xạ co, một số kết quả liên quan đến ánh xạ co từ nguyên lý ánh xạ co Banach đến định lý Caristi, nguyên lý biến phân Ekeland, đợc đa ra và chứng minh. 1 Chơng III. Điểm bất động của ánh xạ không giãn. Sau khi trình bày những khái niệm liên quan đến cấu trúc hình học của các không gian Banach, các định lý của Browder - Gohde và Kirk đã đ- ợc đa ra và chứng minh. Sau thời gian làm việc nghiêm túc dới sự hớng dẫn nhiệt tình của Tiến sĩ Tạ Khắc C, luận văn đã đợc hoàn thành và thu đợc những kết quả nh trên. Tôi gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hớng dẫn TS Tạ Khắc C. Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy giáo: PGS.TS Đinh Huy Hoàng, PGS.TS Trần Văn Ân, PGS.TS Tạ Quang Hải, thầy giáo Trần Văn Hữu, Thầy giáo Trần Văn Tự cùng các thầy, cô giáo trong tổ Giải tích đã giúp đỡ tôi trong quá trình học tập cũng nh trong quá trình làm khoá luận. Đây là lần đầu tập dợt nghiên cứu nên còn có nhiều thiếu sót, rất mong đợc các thầy, cô giáo cùng bạn đọc chỉ bảo và cho ý kiến. Vinh, tháng 05 năm 2006 Tác giả 2 Chơng I. Kiến thức chuẩn bị 1.1. Định nghĩa. Một hàm d có giá trị thực đợc xác định với mọi cặp phần tử x, y của một tập hợp X, đợc gọi là mêtric trên X nếu nó thoả mãn các điều kiện sau (với mọi x, y, z X): i) d(x, y) 0, d(x, y) = 0 x = y, ii) d(x, y) = d(y, x), iii) d(x, z) d(x, y) + d(y, z) (bất đẳng thức tam giác). Một tập hợp X cùng với mêtric xác định trên nó đợc gọi là một không gian mêtric và d(x, y) đợc gọi là khoảng cách giữa x và y. Các phần tử của không gian mêtric (X, d) đợc gọi là điểm. 1.2. Định nghĩa.Ta nói dãy {x n } là Cauchy hay cơ bản trong không gian mêtric X nếu với mọi > 0, tồn tại n sao cho d(x n , x m ) < , với mọi n, m n . Nếu mọi dãy Cauchy trong X đều hội tụ thì X đợc gọi là không gian mêtric đầy đủ. 1.3. Định nghĩa. Dãy hình cầu {B n } với dãy bán kính tơng ứng {r n }đợc gọi là thắt dần nếu B n+1 B n , n 1 và lim r n = 0. 1.4. Nguyên lý Cantor. Trong không gian mêtric đầy đủ mọi dãy hình cầu đóng thắt dần đều có một điểm chung duy nhất. 1.5. Định nghĩa. Giả sử x 1 , x 2 , , x n , là dãy các điểm trong không gian mêtric (X, d). Dãy {x n } đợc gọi là hội tụ đến điểm x X nếu: n lim d(x n , x) = 0 Lúc đó ta ký hiệu: n lim x n = x. 3 1.6. Mệnh đề i) Trong không gian mêtric, mỗi dãy hội tụ chỉ có một giới hạn duy nhất. ii) Trong không gian mêtric (X, d) điều kiện cần và đủ để một tập hợp F X đóng là: Nếu {x n } F và x n x thì x F. 1.7. Định nghĩa. Cho hai không gian mêtric (X, d) và (Y, ). Một ánh xạ T từ X vào Y gọi là liên tục tại điểm x 0 X nếu với mọi > 0, tồn tại > 0 sao cho với mọi x X thì d(x, x 0 ) < kéo theo (Tx, Tx 0 ) < . ánh xạ T đợc gọi là liên tục nếu nó liên tục tại mọi điểm x X. 1.8. Định nghĩa. ánh xạ T: (X, d) (Y, ) của các không gian mêtric thoả mãn: (Tx, Tz) M d(x, z) với một hằng số cố định M nào đó và mọi x, z X đợc gọi là ánh xạ Lipsit. Số nhỏ nhất trong các số M nh thế đợc gọi là hằng số Lipsit của ánh xạ T và ký hiệu L(T). 1.9. Định nghĩa. Một tập hợp không rỗng L các phần tử x, y, z, đợc gọi là không gian tuyến tính (hoặc không gian vectơ) nếu nó thoả mãn các điều kiện sau: I. Với hai phần tử bất kỳ x, y của L, ta có theo một quy tắc nào đó, một phần tử thứ ba z L, gọi là tổng của x với y và đợc ký hiệu là x + y trong đó: 1) x + y = y + x (tính giao hoán) 2) x + (y + z) = (x + y) + z (tính kết hợp) 3) Trong L tồn tại phần tử 0 sao cho x + 0 = x với mọi x L (tồn tại phần tử 0) 4) Với mọi x L, tồn tại phần tử (-x) sao cho: x + (-x) = 0 (tồn tại phần tử đối) II. Với bất kỳ số R và bất kỳ phần tử x L, xác định đợc phần tử x L (tích của phần tử x với số ) sao cho: 4 1) (x) = ()x 2) 1. x = x III. Phép cộng và phép nhân liên hệ với nhau bằng quy luật phân phối 1) ( + )x = x + x 2) (x + y) = x + y 1.10. Định nghĩa. Một hàm số f xác định trên một không gian tuyến tính L nào đó là một phiếm hàm. 1.11. Chuẩn, không gian định chuẩn và không gian Banach + Định nghĩa. Trong một không gian tuyến tính L, một phiếm hàm hữu hạn đợc gọi là chuẩn nếu nó thoả mãn ba điều kiện sau: 1) p(x) 0 trong đó p(x) = 0 chỉ khi x = 0 2) p(x + y) p(x) + p(y), x, y L 3) p(x) = p(x) với bất kỳ số R. + Định nghĩa. Không gian tuyến tính L đợc gọi là không gian định chuẩn nếu trong nó cho một chuẩn nào đó, ký hiệu chuẩn của phần tử x L là x Mọi không gian định chuẩn đều là không gian mêtric nếu với phần tử bất kỳ x, y L ta đặt d(x, y) = x y . + Định nghĩa. Không gian định chuẩn đủ đợc gọi là không gian Banach. 1.12. Không gian Hilbert + Định nghĩa. Cho L là một không gian vectơ trên trờng K. Một dạng Hecmit trên L là hàm : L x L K thoả mãn các điều kiện sau: 1) (x 1 + x 2 , y) = (x 1 , y) + (x 2 , y) 2) (x, y 1 + y 2 ) = (x, y 1 ) + (x, y 2 ) 3) (x, y) = (y,x) 4) (x, y) = (x, y) K 5) (x, y) = (x, y) K 5 + Định nghĩa. Một dạng Hecmit trên L đợc gọi là xác định dơng nếu (x, x) > 0. Khi đó (x, y) đợc gọi là tích vô hớng trên L. Không gian vectơ L cùng với một tích vô hớng trên nó đợc gọi là không gian tiền Hilbert. Một không gian tiền Hilbert đầy đủ đợc gọi là không gian Hilbert (nghĩa là không gian L với chuẩn x = (x, x) đầy đủ). 1.13. Tập sắp thứ tự bộ phận + Định nghĩa. Giả sử M là một tập hợp tuỳ ý, ký hiệu M 2 là tập tất cả các cặp đợc sắp thứ tự (a, b) trong đó a, b M 2 . Ta nói rằng trong M đã cho quan hệ nhị nguyên nếu trong M 2 rút ra đợc tập con R nào đó. Chính xác hơn, ta nói rằng phần tử a có quan hệ với phần tử b, ký hiệu a b khi và chỉ khi (a, b) thuộc R. + Định nghĩa. Giả sử M là một tập hợp tuỳ ý và là một quan hệ nhị nguyên trong M. Ta gọi đó là quan hệ thứ tự bộ phận nếu nó thoả mãn các điều kiện: i) Phản xạ nếu (a, a) R ii) Bắc cầu: Nếu (a, b) R ; (b, c) R thì (a, c) R iii) Phản xứng: Nếu a b và b a thì a = b . Nếu (a, b) R ta sẽ ký hiệu a b. Lúc đó ta nói a không vợt quá b hay a chứa trong b. Một tập hợp trong đó đã cho một quan hệ thứ tự bộ phận đợc gọi là tập hợp đợc sắp thứ tự bộ phận. 1.14. Định nghĩa. Cho tập các số thực E. Nếu tồn tại số thực M sao cho x M với mọi x E thì ta bảo tập E bị chặn trên và M là một cận trên của E . Nếu tồn tại số thực m sao cho x m thì ta bảo tập E bị chặn dới và m là một cận dới của E. 6 1.15. Định nghĩa. Giả sử a là cận trên (dới) của B. Nếu a B thì a đợc gọi là phần tử lớn nhất (tơng ứng nhỏ nhất) của B. 1.16. Định nghĩa. Giả sử M là một tập hợp đợc sắp một phần. Một tập con A của nó đợc gọi là một dây chuyền nếu trong A hai phần tử tuỳ ý so sánh đợc với nhau. 1.17. Bổ đề Zorn. Nếu S là một tập sắp thứ tự bộ phận và mọi dây chuyền C S đều có cận trên trong S thì S có phần tử cực đại. 7 Chơng II. Điểm bất động của ánh xạ CO 2.1. Nguyên lý ánh xạ co Banach Định lý điểm bất động đợc sử dụng rộng rãi nhất là nguyên lý ánh xạ co Banach (1922). Trớc khi phát biểu định lý này chúng ta sẽ định nghĩa ánh xạ co. 2.1.1. Định nghĩa. ánh xạ T từ không gian mêtric (X, d) vào không gian mêtric (Y, ) đợc gọi là ánh xạ co nếu tồn tại số k [0, 1) sao cho (Tx, Ty) kd(x, y) với mọi x, y X , ( k là hệ số co ) . 2.1.2. Bổ đề. Nếu T là ánh xạ co thì T liên tục. Chứng minh. Giả sử T: X Y là ánh xạ co thì với x, y X ta có T(x) - T(y) k x - y. (1) Ta sẽ chứng minh với mọi > 0 tồn tại > 0 để x - y < kéo theo T(x) - T(y) < . Thật vậy, chọn = k khi đó k x - y < . (2) Từ (1) và (2) suy ra T(x) - T(y)< . Vậy T liên tục. 2.1.3. Nguyên lý ánh xạ co [ Banach, 1922]. Cho (X, d) là một không gian mêtric đầy đủ và T là một ánh xạ co trong X. Khi đó, tồn tại duy nhất x * X mà Tx * = x * . Ngoài ra, với mọi x 0 X ta có T n x 0 x * khi n . Chứng minh. Lấy x 0 là một điểm tuỳ ý trong X và đặt x n+1 = Tx n với n = 0, 1, 2, Ta có: d(x 1 , x 2 ) = d(Tx 0 , Tx 1 ) k d(x 0 , x 1 ) d(x 2 , x 3 ) = d(Tx 1 , Tx 2 ) k 2 d(x 0 , x 1 ) . Bằng quy nạp ta đợc d(x n , x n+1 ) = d(Tx n-1 , Tx n ) kd(x n-1 , x n ) k 2 d(x n-2 , x n-1 ) k n d(x 0 , x 1 ). Lấy m > n ta có d(x n , x m ) d(x n , x n+1 ) + d(x n+1 , x n+2 ) + + d(x m-1 , x m ) 8 (k n + k n+1 + + k m-1 ) d(x 0 , x 1 ) = k n (1 + k + + k m-n-1 ) d(x 0 , x 1 ) = n k 1 k d(x 0 , x 1 ). Điều đó chứng tỏ rằng {x n } là một dãy Cauchy trong không gian mêtric đầy đủ X và x n x * X. Với mỗi n ta có 0 d(x * , Tx * ) d(x * , x n ) + d(x n , Tx * ) d(x * , x n ) + kd(x n-1 , x * ). Cho n và do tính liên tục của T ta đợc d(x * , Tx * ) = 0, tức là Tx * = x * . Giả sử còn có y * X mà Ty * = y * thì ta có d(x * , y * ) = d(Tx * , Ty * ) kd(x * , y * ). Vì 0 k < 1 nên d(x * , y * ) = 0 và x * = y * . Vậy điểm bất động của T là duy nhất và nguyên lý đợc chứng minh. Tuy điều kiện co là khá ngặt, nguyên lý ánh xạ co có những u điểm nổi bật: ngoài sự tồn tại, nó còn cho ta tính duy nhất, phơng pháp tìm điểm bất động. Nguyên lý ánh xạ co đợc dùng để chứng minh sự tồn tại duy nhất nghiệm của phơng trình vi phân với điều kiện ban đầu. 2.1.4.Ví dụ. Xét phơng trình vi phân dx (t) dt = T(t, x(t)) (tR) (3) với điều kiện ban đầu x(t 0 ) = x 0 , (4) trong đó t 0 , x 0 là hai số cho trớc, và T(t, u) là một hàm liên tục cho trớc của hai biến t, u (t, u R). Giả thiết rằng hàm T(t, u) thoả mãn điều kiện Lipsit theo biến u, theo nghĩa sau đây: với mỗi số nguyên dơng n tồn tại một hằng số L = L(n) > 0 sao cho với mọi t [-n, n] ta đều có T(t, u 1 ) - T(t, u 2 ) L u 1 - u 2 . Chứng minh rằng phơng trình (3) với điều kiện (4) có một và chỉ một nghiệm x(t) xác định và liên tục trên đờng thẳng thực. 9 Chứng minh. Vì hàm T liên tục nên phơng trình (3) với điều kiện (4) tơng đơng với phơng trình tích phân x(t) = x 0 + 0 t t T(s,x(s))ds . (5) Lấy một số nguyên dơng n khá lớn sao cho t 0 [-n, n] và gọi C n = C[-n, n] là không gian các hàm x(t) xác định và liên tục trên đoạn [- n, n]. Với > 1 là một số cố định tuỳ ý, ta hãy đặt d n (x, y) = 0 L t t t n max e x(t) - y(t) , (x, y C n ). Lúc đó d n là một mêtric trong C n . Thật vậy, với mọi x, y, z C n ta có, d n (x, y) = 0 L t t t n max e x(t) - y(t) 0 d n (x, y) = t n max 0 L t t e x(t) - y(t) = 0 x(t) - y(t) = 0 x = y. d n (x, y) = t n max 0 L t t e x(t) - y(t) = t n max 0 L t t e x(t) - y(t) = d n (y, x). d n (x, z) = t n max 0 L t t e x(t) - z(t) = t n max 0 L t t e x(t) - y(t) + y(t) - z(t) t n max 0 L t t e x(t) - y(t) + max 0 L t t e y(t) - z(t) = d n (x, y) + d n (y, z). Do đó d n là một mêtric trong C n , hơn nữa nếu d(x, y) = t n max x(t) - y(t) (x, y C n ) 10