Khi đó tập hợp các điểm bất động của T là lồi, đóng và không rỗng.
Chứng minh. Vì X lồi đều nên phản xạ, do đó C là compact yếu và có cấu trúc chuẩn tắc. Vậy theo định lý Kirk, tập hợp các điểm bất động của T không rỗng. Gọi H = {x* ∈ C: Tx* = x*} là tập các điểm bất động của T. Ta phải chứng minh tập các điểm bất động đó đóng và lồi.
i) H đóng. Giả sử { * n
x } là một dãy hội tụ bất kỳ trong H, n
lim
→∞ * n x = x*. Ta sẽ chứng minh x* ∈ H. Thật vậy, x* = nlim x*n nlim Tx do x*n *n →∞ = →∞ là điểm bất động của T.Mặt khác, T liên tục theo bổ đề 3.3.1 nên ta có x* = nlim Tx*n T(lim x ) Txn *n *
→∞ = →∞ =
hay
x* = Tx* nên x* ∈ H. Vậy H đóng.
ii) H lồi. Cho u, v bất kỳ thuộc H, u = Tu, v = Tv, và m = λu + (1 - λ)v với λ ∈ [0, 1] nào đó. Ta cần chứng minh m ∈ H hay m = Tm.
Ta có u - m = u - λu - (1 - λ) v = (1 - λ) (u - v) và v - m = v - λu - (1 - λ) v = λ(v - u).
Vì T là ánh xạ không giãn nên ta có
u Tm− + Tm v− ≤ −u m + m v− = −u v . (11) Do u - v = (u - Tm) + (Tm - v) nên
u v− ≤ −u Tm + Tm v− . (12) Từ (11) và (12) ta đợc u v− = −u Tm + Tm v− .
Đặt x = u - Tm, y = Tm - v ta có u v− = +x y . Lúc đó x + y = +x y . Vì X lồi đều thì cũng lồi chặt nên đẳng thức trên chứng tỏ tồn tại α > 0 để cho u - Tm = α(Tm - v). Từ đây ta có
u - Tm = αTm - αu ⇔ u + αv = (1 + α) Tm ⇔ Tm = 11 u+1α v +α +α = βu + (1 - β)v với β = 1+α1 . Ta sẽ chứng minh β = λ bằng phản chứng. Giả sử β > λ. Khi đó ta có Tv Tm− = −u Tm =β −u v >λ − = −u v v m , mâu thuẫn với tính không giãn của T.
Tơng tự, nếu β < λ, khi đó ta có Tu Tm− = −u Tm u u (1 ) v u v (u v) (1 ) u v (1 ) u v u m = −β − −β = − − β − = −β − > > −λ − = −
hay Tu Tm− > −u m mâu thuẫn với tính không giãn của T. Vậy β = λ nên Tm = m hay m ∈ H. Vì mọi điểm trên đoạn nối hai điểm bất động cũng là điểm bất động nên tập hợp các điểm bất động H là tập hợp lồi. Định lý đợc chứng minh.
Kết luận
Nhìn lại một cách tổng thể khoá luận chúng tôi đã đạt đợc những kết quả chính nh sau:
1. Chứng minh lại một cách đầy đủ chi tiết hơn so với tài liệu hiện có các định lý về điểm bất động của các ánh xạ co và các ánh xạ không giãn, thể hiện ở Định lý 2.1.3 [Nguyên lý ánh xạ co Banach, 1922]
2.2.4 [Nadler, 1969] 2.3.3 [Meir -Keeler, 1969] 2.5.3 [Caristi, 1976] 2.6 [Ekeland, 1974] 3.3.2 [Kirk, 1965] 3.3.3[Browder - Gohde, 1965] 2. Đa ra và chứng minh Mệnh đề 2.1.5, Mệnh đề 2.1.6, Định lý 2.4.2.
Các ánh xạ co và các ánh xạ không giãn là ánh xạ liên tục. Do đó luận văn có thể mở rộng theo hớng xét điểm bất động của các ánh xạ liên tục. Trong thời gian tới nếu có điều kiện tôi sẽ tiếp tục nghiên cứu đề tài này.
Tài liệu tham khảo
[1]. Phan Đức Chính, Giải tích hàm, cơ sở và lý thuyết, tập 1 Nxb Trung học và chuyên nghiệp - Hà Nội 1978.
[2]. Nguyễn Văn Khuê, Cơ sở lý thuyết hàm và giải tích hàm, tập 1, Nxb GD, Hà Nội 2001.
[3]. Đỗ Văn Lu, Giải tích Lipschitz, Nxb KHKT, Hà Nội, 1999.
[4]. Hoàng Tuỵ, Giải tích hiện đại, Tập I, II, Nxb GD, Hà Nội, 1979.
[5]. J.Dugundji and A. Granas, Fixed point theory, Monografie Matem - atyczne (1982), Polish Scientific Publishers, Warsaw.
[6]. Ekeland, On the variational Principle, J. Math. Anal. Appl (1974). [7]. W.A.Kirk, A fixed point theorem for mappings which do not increase distances, Amer.Math. Monthly(1965)
[8]. A. Meir and E. Keeler, A theorem on contractive mapping, J Math.Anal. Appl (1969).
