Định lý [Kirk, 1965] Cho C là một tập hợp lồi, compact yếu, có cấu trúc chuẩn tắc trong không gian định chuẩn X và T: C → C là một ánh xạ

Từ đây suy ra một kết luận quan trọng là: không gian lồi đều có cấu trúc chuẩn tắc. Điều này đợc dùng trong mục sau.

3.3. Định lý cơ bản về điểm bất động cho ánh xạ không giãn3.3.1. Bổ đề. Nếu T là ánh xạ không giãn thì T liên tục. 3.3.1. Bổ đề. Nếu T là ánh xạ không giãn thì T liên tục.

Chứng minh. Giả sử T: C → X không giãn thì với x, y ∈ C ta có

T(x) T(y)− ≤ −x y . (9)

Ta sẽ chứng minh với mọi ε > 0 tồn tại δ > 0 để x y− < δ kéo theo

T(x) T(y)− < ε.

Thật vậy, chọn δ = ε khi đó x y− < δ . (10) Từ (9) và (10) suy ra T(x) T(y)− ≤ε. Vậy T liên tục.

3.3.2. Định lý [Kirk, 1965]. Cho C là một tập hợp lồi, compact yếu, có cấutrúc chuẩn tắc trong không gian định chuẩn X và T: C → C là một ánh xạ trúc chuẩn tắc trong không gian định chuẩn X và T: C → C là một ánh xạ không giãn. Khi đó T có điểm bất động trong C.

Chứng minh. Đặt F = {L ⊂ C: L lồi, đóng, không rỗng, T(L) ⊂ L}.F ≠ φ vì C ∈ F. Với quan hệ thứ tự là bao hàm thức, (F, ⊂) trở thành tập hợp đợc sắp thứ tự bộ phận.

Đặt G = {L_α} với các L_α ∈ F và lồng nhau. Khi đó ^Lα α

I

I

I

I

Ta chứng minh H chỉ gồm một điểm bằng phản chứng. Giả sử d = diamH > 0 . Do C có cấu trúc chuẩn tắc nên tồn tại z ∈ H sao cho

r = sup{ z x− : x ∈ H} < d.

Vậy tập hợp D = {z ∈ H: H ⊂ B(z, r)} ≠ φ, trong đó B(z, r) là hình cầu đóng tâm z bán kính r. Lấy z bất kỳ trong D, do T là không giãn, ta có T(H) ⊂ B(Tz, r), vì vậy coT(H) ⊂ B(Tz, r), trong đó co ký hiệu là bao lồi, đóng của một tập hợp. Vì _coT(H) là một tập hợp lồi, đóng trong C nên cũng compact yếu và vì _coT(H) ⊂ coH = H nên T(_coT(H)) ⊂ T(H) ⊂ coT(H), vậy coT(H) ∈F. Vì coT(H) ⊂ H và H là cực tiểu nên coT(H) = H. Từ đây ta có H ⊂ B(Tz, r), chứng tỏ Tz ∈ D, vậy T(D) ⊂ D vì z bất kỳ trong D.

Ta sẽ kiểm tra D lồi và đóng. Cho z1, z2 ∈ D và z = αz1 + (1 - α) z2 với α ∈ [0,1]. Ta cần chứng minh z ∈ D. Thật vậy, ta có x z− ≤ =i r,i 1,2 _,

với mọi x ∈ H. Từ đó x z− ≤ r với mọi x ∈ H nên z ∈ D. Vậy D lồi.

Mặt khác, nếu zn ∈ D và zn → z thì do x z− n ≤ r với mọi x ∈ H, suy ra x z− ≤ r với mọi x ∈ H nên z ∈ D, vậy D đóng.

Tóm lại D ⊂ C là tập hợp lồi, đóng và bất biến đối với T, vậy D ∈ F. Vì D ⊂ H và H là cực tiểu nên D = H. Khi đó, với mọi u, v ∈ D = H ta có

u v− ≤ r, từ đây d = diamH = diamD ≤ r < d, ta gặp mâu thuẫn. Vậy H chỉ gồm một điểm, tức là H = {x*}.

3.3.3. Định lý [Browder - Gohde, 1965]. Cho C là một tập hợp lồi, đóng,bị chặn trong không gian lồi đều X và T: C → C là một ánh xạ không giãn.