Về đường chính khúc trên mặt

1 trờng đại học vinh khoa toán Lê thị thơm Về đờng khúc mặt Khoá luận tốt nghiệp đại học Ngành cử nhân khoa học toán Vinh - 2007 Mục lục Tra ng Lời mở đầu Chơng một: Các độ cong độ cong pháp dạng mặt E3 I Độ cong II Độ cong pháp dạng III Phơng trình phơng mặt E3 Chơng hai: Đờng khúc mặt S E3 I Đờng khúc 3 10 14 17 17 II Một số đờng khúc mặt quen biết Mặt trụ Eliptic Mặt trụ Hyperbolic Mặt trụ Parabolic Mặt đinh ốc đứng 25 25 26 26 27 Kết luận Tài liệu tham khảo 29 30 Mở đầu Lý thuyết đờng cong có nhiều ứng dụng Toán học, nh giải tích, hình học, phơng trình vi phân, Vật lý có nhiều ứng dụng thực tiễn Lý thuyết đờng cong đợc trình bày nhiều giáo trình hình học giải tích Khoá luận nhằm trình bày tính chất ứng dụng đờng khúc mặt S Khoá luận đợc chia làm chơng Chơng 1: Trong chơng chủ yếu trình bày tính chất độ cong độ cong pháp dạng mặt S E3 Chơng 2: Trong chơng chủ yếu trình bày tính chất đờng khúc phơng trình số đờng khúc mặt quen biết Khoá luận đợc hoàn thành trờng Đại Học Vinh vào tháng năm 2007 dới hớng dẫn thầy giáo PGS TS Nguyễn Hữu Quang Tôi xin chân thành bày tỏ lời biết ơn sâu sắc đến thầy, ngời hết lòng hớng dẫn thực khoá luận Tôi xin chân thành cảm ơn thầy, cô giáo môn Hình học thầy, cô giáo giảng dạy khoa Toán quan tâm, dạy bảo suốt trình học tập hoàn thành khoá luận Tôi xin chân thành cảm ơn bạn bè ngời thân gia đình động viên, giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho học tập việc hoàn thành khóa luận Vinh, tháng năm 2007 Tác giả chơng độ cong độ cong pháp dạng mặt E3 Trong khoá luận này, ta giả thiết S mặt định hớng trờng véctơ pháp tuyến đơn vị n E S đợc cho tham số hoá r: U E (u,v) r(u,v) ( U tập mở R r dìm) Ta ký hiệu TpS không gian vectơ tiếp xúc với S p với sở { Ru = ru, Rv = rv} p Khi pháp tuyến đơn vị p np = Ru Ru p Rv p p Rv p I Độ cong 1.1 Định nghĩa ánh xạ h p : Tp S Tp S Dn , đợc gọi ánh xạ Weingarten p S 1.2 Nhận xét a) Định nghĩa ánh xạ h p nh kiểu Thật vây, n.n = [ ] n = [ n n] = ( D n ) n + n D n = ( D n ) n = D n n D n T p S D n T p S b) Giả sử cung tham số : J S t (t) ( J = ( a, b) R ) p = (t ) , to J (t0 ) = h p ( ) = ( n ) ( t0 ) c) Với p S , ánh xạ h p tự đồng cấu tuyến tính, đối xứng Trớc tiên, ta chứng minh h p tự đồng cấu tuyến tính Thật vậy, với , T p S k , l R ta có: ( ) h p k + l = Dk+l n = kD n lD n = kh p ( ) + lh p ( ) Suy h p tự đồng cấu tuyến tính (1) Tiếp theo, ta chứng minh tính đối xứng h p ru( u, v ) = Ru ( u, v ) rv( u, v ) = Rv ( u, v ) Ta ký hiệu: Khi { Ru ( u, v ) , Rv ( u, v )} p sở TpS Ta chứng minh h p ( R u p ) R v p = R u p h p ( R v p ) Từ định nghĩa, ta có: ( ) = D h (R ) = D p Ru p = nu v p Rv p = nv hp R u p Vì: ( nRv = nu Rv + nRvu = nu Rv = nRvu h p R u Tơng tự: ( p nRu = nv Ru + nRuv = nv Ru = nRuv h p R v Từ tính khả vi r nên Ruv = Rvu , ta suy ra: ( hp R u p )R v p )R = nRvu v p )R u ( ) = nRuv = R u p hp R v p Bây ta xét với , T p S Ta có biểu diễn: = Ru + Rv = Ru + Rv Khi đó: h p ( ) = h p ( Ru + Rv ) ( Ru + Rv ) = h p ( Ru + Rv ) Ru + h p ( Ru + Rv ) Rv = h p ( Ru ) Ru + h p ( Rv ) Ru + h p ( Ru ) Rv + h p ( Rv ) Rv = 1nu Ru nv Ru 1nu Rv nv Rv = nRuu + ( + ) nRuv + nRvv (2) Tơng tự, ta có: ( ) h p = h p ( Ru + Rv ) ( Ru + Rv ) = h p ( Ru + Rv ) Ru + h p ( Ru + Rv ) Rv = h p ( Ru ) Ru + h p ( Rv ) Ru + h p ( Ru ) Rv + h p ( Rv ) Rv = 1nu Ru nv Ru 1nu Rv nv Rv = nRuu + ( + ) nRuv + nRvv (3) Từ (2) (3), ta suy ra: h p ( ). = h p ( ). ; , T p S (4) Kết hợp (1) (4) ta suy ra, ánh xạ h p tự đồng cấu tuyến tính, đối xứng với p S d) Đối với sở trực chuẩn T p S ma trận h p ma trận đối xứng Giả sử T p S ta xét sở trực chuẩn { e1 ,e2 } ma trận p ánh xạ tuyến tính h p có dạng: Thật vậy,ta có: a b b d r r r r e1 = h ( e1 ) = ae1 + be2 (5) r r r r e2 = h ( e2 ) = ce1 + de2 (6) , với a, b, c, d R Nhân (5) với e ta có: h ( e1 ) e2 = ae1 e2 + be2 e2 = b Nhân (6) với e1 ta có: h ( e2 ) e1 = ce1 e1 + de2 e1 = c r r r r Vì h p ánh xạ đối xứng nên h ( e1 ) ìe2 = h ( e2 ) ìe1 b = c a b Vậy p = ma trận h p b d 1.3 Mệnh đề Các giá trị riêng h p không phụ thuộc vào việc chọn sở T p S Chứng minh: Giả sử hai sở khác nhau, hp có ma trận A B Khi B = PAP-1 ( P ma trận chuyển hai sở nói trên) Với I ma trận đơn vị, ta có: B kI = PAP kI = PAP kPIP = P ( A kI ) P = P A kI P = A kI = Ta suy ra: B kI = A kI = Vậy giá trị riêng h p không phụ thuộc vào việc chọn sở TpS Từ sau, sử dụng sở trực chuẩn TpS để thuận lợi cho việc xét độ cong S p 1.4 Hệ h p có hai giá trị riêng Chứng minh: Giả sử A ma trận h p sở trực chuẩn T p S Với I ma trận đơn vị, ta có: k = ak b b =0 d k ( a k )( d k ) b = k ( a d ) k b + ad = Ta có: = ( a + d ) + ( b ad ) = ( a d ) + 4b ; a, b, d R Ta suy ( ) có hai nghiệm k , k ( ) Vậy h p có hai giá trị riêng 1.5 Định nghĩa Mỗi giá trị riêng tự đồng cấu h p đợc gọi độ cong mặt S p chúng đợc ký hiệu k1(p), k2(p) Mỗi vectơ riêng hp đợc gọi phơng S p Nh ta biết ( xem [ 4] ) Độ cong Gauss p S ( p ) = k1 ( p ) k ( p ) , độ cong trung bình p S H ( p ) = (k1 ( p ) + k ( p )) Và mặt S E3 có H(p) = 0, p S đợc gọi mặt cực tiểu 1.6 Nhận xét Mặt cực tiểu S có độ cong ( p ) Thật vậy, xét điểm p S Khi k1 ( p ), k ( p ) nghiệm phơng trình X2 2H(p)X + K(p) = Do S cực tiểu, nên X2 + K(p) = K(p) 1.7 Ví dụ Giả sử mặt trụ E3 đợc xác định tham số: r: R2 E3 ( u, v ) a ( a cos u, a sin u, bv ) k1 ( p ) = 0, k ( p ) = Khi a ; a, b > p Thật vậy, ta có: Ru = ( a sin u, a cos u, 0) , Rv = ( , , b) a cos u 0 a sin u a sin u a cos u ; ; b b 0 o Ru Rv = = (abcosu ; absinu ; 0) Ta suy { Ru , Rv } độc lập tuyến tính Và Ru Rv = a b (cos u + sin u ) = ab (Do a,b > 0) Khi đó, ta có: n= Ru Rv ( ab cos u, ab sin u, 0) = = ( cos u, sin u, 0) Ru Rv ab Do h p ( Ru ) = nu p = ( sin u , cos u, 0) p = Ru p + Ru p a ( ) ( ) Rv p + Rv p h p Rv = nv p = , , p = Ta suy ra: p = a k1(p), k2(p) nghiệm phơng trình đặc trng sau : A kI = k a 0 k =0 1 ( + k )( k ) = + k k = a a k1 = k = a (I ma trận đơn vị) a Vậy với p S , ta có k1 ( p ) = 0; k ( p ) = Mệnh đề ( xem [ 4] ) a) Nếu hai độ cong k1 ( p ) k ( p ) hai phơng S p vuông góc với b) Nếu k 1= k T p S ( 0) phơng S Chứng minh: a) Ta ký hiệu hai phơng S p , Ta có: h p ( ) = h p ( ) Mặt khác r r hp ( ) = k1 ì1 r r hp ( ) = k2 ì Ta suy ra: 10 r r r r ( k1 ( p) ì1 ) ì = ( k2 ( p) ì ) ì1 r r ( k1 ( p ) k2 ( p ) ) ì1 = r r ì = (Do k1 ( p ) k ( p ) ) Vậy b) Với sở trực chuẩn { e1 , e } TpS , ma trận h p là: a b A= b d Do h p có hai giá trị riêng kép nên A kI = ak b có nghiệm kép b =0 d k k ( a + d )k b + ad = có nghiệm kép =0 ( a + d ) + 4(b ad ) = ( a d ) + 4b = a = d b = Ta suy ra: a A= a Khi h p ( ) = a Vậy phơng S p 1.9 Chú ý i) Điểm p mà k = k , p đợc gọi điểm rốn mặt S ii) Điểm p mà k = k = , p đợc gọi điểm dẹt mặt S iii) Điểm p mà k = k , p đợc gọi điểm cầu mặt S 1.10 Ví dụ a) Xét S mặt phẳng Ta có trờng véctơ pháp tuyến đơn vị S trờng véctơ song song, nên Dn = , p T p S Ta suy ra, h p đồng cấu với p S , k = k = Vậy p S điểm dẹt Nh vậy, mặt phẳng E3 gồm toàn điểm dẹt 15 (u, v) r(u, v) tham số hoá mặt S E Khi aRu (p) + bRv (p) , (a, b R a + b ) xác định phơng S r(u,v) = p b2 ab a2 L( u , v ) M ( u , v ) N ( u , v ) = E ( u, v ) F (u, v ) G (u, v ) Trong đó: E, F, G L, M, N theo thứ tự hệ số dạng I II S tham số hoá r Để chứng minh Mệnh đề ta cần có Bổ đề sau 1.15 Bổ đề Giả sử a, b hai số thực không đồng thời số thực aE + bF; aF + bG không đồng thời Chứng minh: ( Ta chứng minh phản chứng) Giả sử aE + bF = aF + bG = E F F a = G b Do a, b không đồng thời nên E F =0 F G EG F = EG = F ( Ru Ru ) ( Rv Rv ) = ( Ru Rv ) Ru // Rv Điều vô lý ( r dìm nên { Ru , Rv } độc lập tuyến tính, p S ) Từ đó, ta suy số thực aE + bF ; aF + bG không đồng thời a, b số thực không đồng thời Ta trở lại chứng minh Mệnh đề 1.12 Ta có aRu (p) + bRv (p) phơng có số ~k để h p ~ (aRu + bRv ) = k ( aRu + bRv ) (u, v) tức hệ hai phơng trình sau (có đợc nhân vô hớng lần lợt với R u R v ) có nghiệm ~k ~ h p ( aRu + bRv ) Ru = k ( aRu + bRv ) Ru ~ h p ( aRu + bRv ) Rv = k ( aRu + bRv ) Rv (u, v) 16 ~ ah p ( Ru ) Ru + bh p ( Rv ) Ru = k ( aRu Ru + bRv Ru ) ~ ah p ( Ru ) Rv + bh p ( Rv ) Rv = k ( aRu Rv + bRv Rv ) ~ aL + bM = k ( aE + bF ) ~ aM + bN = k ( aF + bG ) (u, v), (u,v) Theo bổ đề 1.15, số thực aE + bF, aF + bG không đồng thời không, điều kiện có nghĩa là: aL + bM aE + bF b2 L E aM + bN =0 aF + bG ab a M N = F G (u, v) (u, v) (7) Suy điều phải chứng minh 1.16 Ví dụ Ta xét mặt S cho tham số r : R ( u, v ) ( cos u, sin u, v ) Khi đó: Ru = ru = ( sin u, cos u , ) , Rv = rv = ( 0, 0,1) , cos u 0 sin u sin u cos u , , 1 0 Ru Rv = = (cos u, sin u, 0) Ru Rv = cos u + sin u = Suy n= Ru Rv = (cos u , sin u, 0) Ru Rv Ruu = ( cos u , sin u , ) , Ruv = ( 0, 0, ) , Rvv = ( 0, 0, 0) Do đó, ta có: E = Ru Ru = L = nRuu = N = nRvv = M = nRuv = , F = Ru Rv = G = Rv Rv = Giả sử = xRu + yRv phơng mặt S ( x, y ) R nghiệm phơng trình: 17 y2 L E xy M F x2 N = G x = xy = y = Vậy phơng mặt S là: = Rv = R u CHƯƠNG Đờng khúc mặt S E Trong chơng này, trình bày tính chất đờng khúc mặt S E3 tìm số đờng khúc mặt quen biết I Đờng khúc 2.1 Định nghĩa Một đờng cong quy mặt S E mà phơng tiếp xúc điểm phơng S điểm đợc gọi đờng khúc S 2.2 Nhận xét Giả sử đờng cong đợc cho tham số hoá: :J S t (t) ; (J = ( a , b) R ) ; p Khi đó: a) đờng khúc h p ( ( t ) ) song song với ( t ) Vì đờng khúc ( t ) vectơ riêng , t h ( ( t ) ) = ( t ) ( t ) h ( ( t ) ) // ( t ) t J b) Nếu điểm S điểm rốn đờng cong S đờng khúc Thật vậy, với { e1 , e2 } sở trực chuẩn TpS a b Khi đó, Ap = b d Ta xét phơng trình đặc trng A kI = ( ) Do S gồm toàn điểm rốn k1 = k = p ( ) k ( a + d ) k b + ad = 18 = ( a + d ) + 4b = a d = a Ap = = aI a b=0 (I ma trận đơn vị) h p phép vị tự r r r hp ( ) = a ì ; h p ( ) // , hay h p ( ( t ) ) // ( t ) đờng khúc Nh vậy, đờng cong mặt phẳng, mặt cầu đờng khúc 2.3 Mệnh đề a) Định nghĩa (2.1) không phụ thuộc vào việc chọn tham số đờng cong b) Nếu ( p ) = ( p ) , p S đờng mặt S đờng khúc Trong H, K theo thứ tự độ cong trung bình độ cong Gauss S Chứng minh: a) Giả sử đợc cho hai tham số hoá: :J S t (t) , đờng khúc, có tham số hoá thứ hai là; r:I S u r(u) Khi có vi phôi : I J u (u) = t cho r = Ta có: r (u) = ( ) (u) = ( (u )) (u ) (8) D( n r ) D( n ) = (u ) du du (9) D(n ) D( n r ) // ( t ) // ( (u )) (u ) // r ( u ) ì (u ) dt du b) Ta có ( p ) = ( p ) ( k1 + k ) = k1k 2 ( k1 k2 ) = k1 = k2 , p S Do điểm S điểm rốn Vậy theo nhận xét (2.2) ta có điều phải chứng minh 19 2.4 Mệnh đề Giả sử S mặt E3 điểm rốn Khi đờng toạ độ mặt S đờng khúc F = M = ( F, M tơng ứng hệ số dạng I II) Chứng minh: Giả sử mặt S E3 đợc cho tham số hoá: r: U S (u,v) x ( u, v ) r(u,v) = y (u, v ) ; ( u, v ) U mở , U R z ( u, v ) Khi đờng cong toạ độ , mặt S qua điểm p(u0,v0) S là: = r ( u, v0 ) = r ( u0 , v ) Bây ta chứng minh đờng toạ độ , đờng khúc F = M = Thật vậy, giả sử đờng , đờng khúc qua p Vì S điểm rốn nên hai phơng S trực giao Hay F = 0, p S Mặt khác: Ru = 1.Ru + 0.Rv , từ (7) ta suy ra: L E M F N = LF EM = G EM = M = (Vì E = Ru Ru ) Vậy F = M = Đảo lại, F = M = , ta chứng minh , đờng khúc Thật vậy, ta có: F = RuRv , M = nRuv = nRvu Do F = RuRv = Ru Rv (10) Từ M = nRuv = nu Rv = nu Rv Từ (10) (11), ta suy ra: (11) Ru // nu Ru // h ( Ru ) Vậy khúc Tơng tự, ta có: M = nRvu = nv Ru = nv Ru Từ (10) (12), ta suy ra: 2.5 Mệnh đề Rv // nv Rv // h ( Rv ) Vậy khúc (12) 20 Giả sử mặt S E3 đợc cho tham số hoá: r : R2 E3 ( u ) 0; u (u, v) r(u, v) = ( ( u ) cos v, ( u ) sin v, ( u ) ) ; Trong + = Khi đờng vĩ tuyến đờng kinh tuyến đờng khúc Chứng minh : Ru = ( (u ) cos v, (u ) sin v, (u )) Ta có : Rv = ( (u ) sin v, (u ) cos v, 0) Ruv = ( sin v, cos v, 0) ( u ) sin v ( u ) ( u ) ( u ) cos v ( u ) cos v ( u ) sin v Ru Rv = , , 0 ( u ) sin v ( u ) sin v ( u ) cos v ( u ) cos v = ( ( u ) ( u ) cos v , ( u ) ( u ) sin v , ( u ) ( u ) ) Ru Rv = = ( ( u ) ( u ) cos v ) + ( ( u ) ( u ) sin v ) + ( ( u ) ( u ) ) ( ( u ) ( u ) ) (cos 2 v + sin v ) + ( u ) ( u ) = ( u ) ( u ) + ( u ) ( u ) ( Do cos2v + sin2v = 1) = ( u ) ( ( u ) + ( u ) ) = ( u ) ( Do ( u ) + ( u ) = ) Ta suy ra: n= ( ( u ) ( u ) cos v , ( u ) ( u ) sin v , ( u ) ( u ) ) Ru Rv = Ru Rv ( u) = ( ( u ) cos v , ( u ) sin v , ( u ) ) R R = F = u v n R = M = uv Vậy đờng kinh tuyến đờng vĩ tuyến mặt S đờng khúc 2.6 Mệnh đề Giả sử mặt S E3 đợc cho tham số hoá: r : R2 E3 ( u , v) r (u, v) = (3u + 3uv u , 3v + 3u v v , 3(u v )) Khi đờng toạ độ mặt S đờng khúc ( Mặt S đợc cho tham số hoá nh đợc gọi mặt Enneper) Chứng minh: Ta có: 21 Ru = (3 + 3v 3u , 6uv, 6u ) Rv = (6uv, + 3u 3v , 6v ) Ruv = ( 6v, 6u , 0) ( Ru Rv = 2u + 2uv + 2u , ( 2v + 2u v + 2v ) , ( u + v ) ( 2u Ru Rv = R Rv n= u = Ru Rv Ta có: ( ) ( + 2uv + 2u ) + ( 2v + 2u v + 2v ) + ( u + v ) 2 ) ( 2u + 2uv + 2u, ( 2v + 2u v + 2v ), (u + v ) 9) ( 2u + 2uv + 2u ) + ( 2v 2u v 2v ) + ((u + v ) 9) ) ( ) F = Ru Rv = + 3v 3u 6uv + 6uv + 3u 3v 36uv = M = n.Ruv = (2u ( 2u 3 ( )( ) 9) 2u v 2v ) + (( u + v ) ) + 2uv + 2u , 2v + 2u v + 2v , u + v ) ( + 2uv + 2u + 2v 2 2 2 = Vậy đờng toạ độ mặt Enneper đờng khúc 2.7 Mệnh đề Các đờng mặt S E đờng khúc S điều kiện sau đợc thoả mãn i) Các vectơ tiếp tuyến mặt dọc đờng phơng ii) Độ cong pháp dạng điểm đờng độ cong iii) Mặt kẻ tạo pháp tuyến mặt dọc theo cung mặt khả triển Chứng minh: Theo định nghĩa đờng khúc, ta suy điều kiện (i) tơng đơng với đờng khúc S (i) (ii): Giả sử vectơ tiếp tuyến mặt dọc đờng p Vì phơng nên tồn số thực k cho h p ( ) = k Khi độ cong pháp dạng điểm p là: h ( ) k ~ k ( ) = p = =k ~ k ( ) = k (ii) (iii): Giả sử (vì 0) 22 : J E3 s ( s) (J = (a,b) R ) tham số hoá tự nhiên Mặt kẻ tạo pháp tuyến mặt dọc cung xác định bởi: r : U E3 ( s, v ) r ( s, v ) = ( s ) + v ( n )( s ) Trong đó, U mở R gồm (s,v) mà s J với s J , tập { v R : ( s, v ) U } khoảng R Với p S, vectơ tiếp xúc với S dọc p Theo (ii), ta có k~( ) = k (k độ cong chính) h p ( ) = k Hay n ( s ) = k (s ) Do n ( s ) // Ta suy Vì vậy: { ( s ), n( s ) , n ( s )} ba vectơ phụ thuộc tuyến tính Chứng tỏ mặt kẻ xác định nh mặt khả triển (iii) (i): Vì ( s, v ) ( s ) + v (n )( s ) xác định mặt khả triển nên ba { ( s ), n( s ) , n( s )} phụ thuộc tuyến tính Do n ( s ) vuông góc với (s) n ( s ) , ( s ) // n( s ) Vì vậy, vectơ n ( s ) = k ( s ) , ( k 0) hay h p ( ) = k (với = (s ) ) 2.8 Mệnh đề Giả sử hai mặt S1 S2 E cắt theo đờng dới góc không đổi Khi đờng khúc S1 đờng khúc S2 Chứng minh: Giả sử S1 S2 lần lợt có tham số hoá dạng: (u, v ) r (u, v ) (u, v ) ~ r (u, v ) Ta ký hiệu n ( t ) n~( t ) lần lợt pháp tuyến đơn vị S1 S2 dọc Ta có đờng khúc S1 nên: ( t ) // n ( t ) Mặt khác n ( t ) n~( t ) = a n ( t ) n~ ( t ) + n ( t ) n~ ( t ) = Hơn ( t ) n~( t ) nên n ( t ) n~( t ) Từ (17) , (18), ta suy ra: n~ ( t ) n( t ) Nh n~( t ) n~( t ) n~ ( t ) // ( t ) ~ n ( t ) n ( t ) (17) (18) 23 Vậy đờng khúc S2 Bây ta sử dụng trờng mục tiêu Darboux để xét tính chất đờng khúc mặt S Giả sử đờng cong S T trờng vectơ tiếp xúc đơn vị dọc n trờng vectơ pháp tuyến đơn vị S Y= n Hệ trờng vectơ { , , n} đợc gọi trờng mục tiêu Darboux dọc đờng cong S Và {, , } trờng mục tiêu Frenet dọc đờng cong S Ta có Mệnh đề sau 2.9 Mệnh đề khúc + = ( tơng ứng độ xoắn góc N n) Để chứng minh Mệnh đề 2.9 ta cần có Bổ đề sau : 2.10 Bổ đề Giả sử góc N n Khi n = ( sin + cos ) + ( cos sin ) Chứng minh: Với { , , n} trờng mục tiêu Darboux Khi đó, ta có: = cos + sin n = sin + cos Suy n = sin + cos + cos sin n = ( sin + cos ) + ( cos sin ) Ta trở lại chứng minh Mệnh đề 2.9 Theo Bổ đề 2.10, ta có: n = ( sin + cos ) + ( cos sin ) 24 n = ( sin + ( k + ) cos ) + ( cos sin ) = sin k cos + cos ( cos + sin ) = k cos + cos sin ( cos + sin ) = k cos ( cos + sin ) ( cos + sin ) = k cos = k cos ( + ) Vậy n = ( k cos ) ( + ) Từ để ( t ) đờng khúc n( t ) // ( t ) , hay n( t ) // Nh ( p ) + ( p ) = 2.11 Mệnh đề (Joachimstal) Nếu đờng khúc hai mặt S1, S2 góc tạo hai mặt dọc (góc hai pháp tuyến dọc ) không đổi Chứng minh : Gọi n1, n2 lần lợt trờng vectơ pháp tuyến đơn vị S1, S2 Và , lần lợt góc N1 với n1 góc N2 với n2 Khi đó, ta có : n1 = k cos n2 n1 = k cos n2 Và (19) n2 = k cos n1 n2 = k cos n1 (20) Cộng vế với vế (19) (20) ta có : n2 n1 + n1 n2 = k cos n2 k cos n1 ( n2 n1 ) = ( n2 = n1 = ) n2 n1 = a Vậy, đờng khúc hai mặt S , S2 góc tạo hai pháp tuyến hai mặt dọc góc không đổi II số đờng khúc mặt quen biết Trong phần ta sử dụng kết có để tìm số đờng khúc mặt biết 1) Mặt trụ Eliptic Tham số hoá mặt trụ Eliptic có dạng: (u, v) r(u, v) = (acosu, bsinu, v) ; a, b > Khi đó: 25 R u = (-asinu, bcosu, 0), R v = (0, 0, 1), b cos u Ru Rv = 0 , 1 asivu a sin u , 0 b cos u = (bcosu, asinu, 0), R u R v = a sin u + b cos u Vậy n= Ru Rv = Ru Rv (b cos u , a sin u,0) a sin u + b cos u , R uv = (0, 0, 0) F = Ru Rv = ( ainsu , b cos u , 0) ( 0, 0,1) F = Do M = nRuv = ( b cos u, a sin u, 0) a sin u + b cos u ( 0, 0, ) = M = Vậy mặt trụ Eliptic đờng toạ độ đờng khúc 2) Mặt trụ Hyberbolic Tham số hoá mặt trụ hyberbolic có dạng: (u, v) r(u, v) = (achu, bshu, v), a,b > Khi đó: R u = (ashu, bchu, 0), R v = (0, 0, 1), bchu 0 ashu ashu bchu = (bchu, - ashu, 0), Ru Rv = , , 1 0 n= Ru Rv (bchu , ashu , 0) = , Ru Rv a sh u + b ch u R uv = (0, 0, 0) Do F = Ru Rv = ( ashu, bchu, 0) ( 0, 0, 0) = F = M = nRuv = ( bchu, ashu, 0) a sh u + b ch u = M = Vậy mặt trụ Hyberbolic đờng toạ độ đờng khúc 3) Mặt trụ Parabolic Tham số hoá mặt trụ Parabolic có dạng: (u, v) r(u, v) = (2pu, 2pu , v) Ta có: (p 0) 26 R =(2p, 4pu, 0), R u v = (0, 0, 1), pu 0 p p pu = ( pu , p, 0) Ru Rv = , , 1 0 Ru Rv = 16 p u + p = p 4u + Ru Rv (4 pu , p, 0) ( 2u , 1, 0) = = ( p 0) Ru Rv p 4u + 4u + n= R uv = (0, 0, 0) Do đó: F = Ru Rv = ( p, pu , 0) ( 0, 0,1) = F = = nRuv = ( 2u, 1, 0) ( 0, 0, 0) = = 4u + Vậy đờng toạ độ mặt trụ Parabolic đờng khúc 4) Mặt đinh ốc đứng Tham số hoá mặt đinh ốc đứng có dạng (u, v) r(u, v) = (vcosu, vsinu, u) Khi đó: Ru = ru = (-vsinu, vcosu, ), Rv = rv = (cosu, sinu, 0), v cos u 1 v sin u v sin u v cos u , , sin u 0 cos u cos u sin u Ru Rv = = (-sinu, cosu -v), Ru Rv = sin u + cos u + v = + v Vậy Ru Rv ( sin u, cos u, v ) , Ru Rv + v2 n= Ruu = (-vcosu, -vsinu, 0), Ruv = (-sinu, cosu, 0), Rvv = (0, 0, 0) Do đó: E = R u R u = + v , L = nR uu = , F = R u R v = , M = nRuv = 1 + v2 , G = R v R v = , N = nR vv = Phơng trình vi phân đờng khúc là: 0du + dv 1+ v2 + v du + 0dv ( ) du + 0dv =0 1+ v2 0du + dv 27 dv 1+ v2 + v du ( 1+ v2 dv ) 1+ v d 2v ( ) v = (1+ v ) d du (1 + v ) d 1+ v 2 =0 u=0 d v + v d 2u = d2 2 u dv = 1+ v du du = 1+ v2 dv u = ln v + + v + C0 ( C số) Vậy mặt đinh ốc đứng đờng khúc đợc xác định phơng trình: u = ln v + + v + C0 ( C số) 28 Kết luận Khoá luận đạt đợc kết sau: - Trình bày cách hệ thống chứng minh chi tiết tính chất độ cong chính, độ cong pháp dạng mặt tính chất đờng khúc - Chứng minh mệnh đề 1.3, mệnh đề 1.10, mệnh đề 1.11, mệnh đề 1.12, mệnh đề 2.8 bổ đề 1.13, bổ đề 2.9 - Chỉ ví dụ cụ thể : Ví dụ 1.6, ví dụ 1.8, ví dụ 1.9, ví dụ 1.14 - Chỉ số đờng khúc mặt quen biết nh mặt trụ Eliptic, mặt trụ Hyberbolic, mặt trụ Parabolic, mặt đinh ốc đứng 29 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Thúc Ho (1968), Hình học vi phân, NXB Giáo dục, H Nội [2] Trơng Đức Hinh, Trần viết Dũng (1995), Đa tạp khả vi, Trờng Đại học Vinh [3] Nguyễn Hữu Việt Hng (2001) , Đại số tuyến tính, NXB ĐHQG H Nội [4].Đon Quỳnh (2001), Hình học vi phân, NXB Giáo dục [5].Đon Quỳnh, Trần Đình Viện, Trơng Đức Hinh, Nguyễn Hữu Quang (1993), Bi tập Hình học vi phân, NXB Giáo dục [6].B O Neill (1996), Elementary Differentail Geometry, Academic Press New York_ London [...]... xRu + yRv là phơng chính của mặt S thì ( x, y ) R 2 là nghiệm của phơng trình: 17 y2 L E xy M F x2 N = 0 G x = 0 xy = 0 y = 0 Vậy phơng chính của mặt S là: 1 = Rv = R u 2 CHƯƠNG 2 Đờng chính khúc trên mặt S trong E 3 Trong chơng này, chúng tôi trình bày các tính chất của đờng chính khúc trên mặt S trong E3 và tìm một số đờng chính khúc trên các mặt quen biết I Đờng chính khúc 2.1 Định nghĩa... ( vì n2 = 0 và n1 = 0 ) n2 n1 = a Vậy, nếu là đờng chính khúc của cả hai mặt S 1 , S2 thì góc tạo bởi hai pháp tuyến của hai mặt dọc là một góc không đổi II một số đờng chính khúc trên các mặt quen biết Trong phần này ta sử dụng các kết quả đã có để tìm một số đờng chính khúc trên các mặt đã biết 1) Mặt trụ Eliptic Tham số hoá của mặt trụ Eliptic có dạng: (u, v) r(u, v) = (acosu, bsinu, v)... các đờng toạ độ của mặt Enneper là các đờng chính khúc 2.7 Mệnh đề Các đờng trên mặt S trong E 3 là đờng chính khúc của S khi và chỉ khi một trong các điều kiện sau đây đợc thoả mãn i) Các vectơ tiếp tuyến của mặt dọc đờng là phơng chính ii) Độ cong pháp dạng tại mỗi điểm của đờng bằng một trong các độ cong chính iii) Mặt kẻ tạo bởi các pháp tuyến của mặt dọc theo cung đó là một mặt khả triển Chứng... đờng chính khúc Nh vậy, các đờng cong trên mặt phẳng, mặt cầu đều là đờng chính khúc 2.3 Mệnh đề a) Định nghĩa (2.1) không phụ thuộc vào việc chọn tham số của đờng cong b) Nếu 2 ( p ) = ( p ) , p S thì mọi đờng trên mặt S là đờng chính khúc Trong đó H, K theo thứ tự là độ cong trung bình và độ cong Gauss của S Chứng minh: a) Giả sử đợc cho bởi hai tham số hoá: :J S t (t) , là một đờng chính khúc, ... các tính chất về độ cong chính, độ cong pháp dạng của mặt và các tính chất của đờng chính khúc - Chứng minh mệnh đề 1.3, mệnh đề 1.10, mệnh đề 1.11, mệnh đề 1.12, mệnh đề 2.8 và bổ đề 1.13, bổ đề 2.9 - Chỉ ra các ví dụ cụ thể : Ví dụ 1.6, ví dụ 1.8, ví dụ 1.9, ví dụ 1.14 - Chỉ ra một số đờng chính khúc trên các mặt quen biết nh mặt trụ Eliptic, mặt trụ Hyberbolic, mặt trụ Parabolic, mặt đinh ốc đứng... n R = 0 M = 0 uv Vậy đờng kinh tuyến và đờng vĩ tuyến của mặt S là các đờng chính khúc 2.6 Mệnh đề Giả sử mặt S trong E3 đợc cho bởi tham số hoá: r : R2 E3 ( u , v) r (u, v) = (3u + 3uv 2 u 3 , 3v + 3u 2 v v 3 , 3(u 2 v 2 )) Khi đó các đờng toạ độ của mặt S là các đờng chính khúc ( Mặt S đợc cho bởi tham số hoá nh trên đợc gọi là mặt Enneper) Chứng minh: Ta có: 21 Ru = (3 + 3v 2 3u 2 , 6uv,... khúc 2.1 Định nghĩa Một đờng cong chính quy trên mặt S trong E 3 mà phơng tiếp xúc tại mọi điểm là phơng chính của S tại điểm đó đợc gọi là một đờng chính khúc của S 2.2 Nhận xét Giả sử là đờng cong đợc cho bởi tham số hoá: :J S t (t) ; (J = ( a , b) R ) ; p Khi đó: a) là một đờng chính khúc nếu và chỉ nếu h p ( ( t ) ) song song với ( t ) Vì là đờng chính khúc khi và chỉ khi ( t ) là vectơ... 1 , 2 là các đờng chính khúc khi và chỉ khi F = M = 0 Thật vậy, giả sử các đờng 1 , 2 là các đờng chính khúc qua p Vì S không có điểm rốn nên hai phơng chính của S trực giao Hay F = 0, p S Mặt khác: Ru = 1.Ru + 0.Rv , từ (7) ta suy ra: 0 L E 0 M F 1 N = 0 LF EM = 0 G EM = 0 M = 0 (Vì E = Ru Ru 0 ) Vậy F = M = 0 Đảo lại, nếu F = M = 0 , ta chứng minh 1 , 2 là các đờng chính khúc Thật vậy, ta... theo một đờng dới một góc không đổi Khi đó nếu là đờng chính khúc của S1 thì nó cũng là đờng chính khúc của S2 Chứng minh: Giả sử S1 và S2 lần lợt có tham số hoá dạng: (u, v ) r (u, v ) và (u, v ) ~ r (u, v ) Ta ký hiệu n ( t ) và n~( t ) lần lợt là pháp tuyến đơn vị của S1 và S2 dọc Ta có là đờng chính khúc của S1 nên: ( t ) // n ( t ) Mặt khác n ( t ) n~( t ) = a n ( t ) n~ ( t ) + n (... đờng chính khúc của S2 Bây giờ ta sử dụng trờng mục tiêu Darboux để xét các tính chất của đờng chính khúc trên mặt S Giả sử là đờng cong của S T là trờng vectơ tiếp xúc đơn vị dọc n là trờng vectơ pháp tuyến đơn vị của S Y= n Hệ các trờng vectơ { , , n} đợc gọi là trờng mục tiêu Darboux dọc đờng cong S Và {, , } là trờng mục tiêu Frenet dọc đờng cong S Ta có Mệnh đề sau 2.9 Mệnh đề chính ... đờng khúc hai mặt S , S2 góc tạo hai pháp tuyến hai mặt dọc góc không đổi II số đờng khúc mặt quen biết Trong phần ta sử dụng kết có để tìm số đờng khúc mặt biết 1) Mặt trụ Eliptic Tham số hoá mặt. .. bày tính chất đờng khúc mặt S E3 tìm số đờng khúc mặt quen biết I Đờng khúc 2.1 Định nghĩa Một đờng cong quy mặt S E mà phơng tiếp xúc điểm phơng S điểm đợc gọi đờng khúc S 2.2 Nhận xét Giả sử... đờng khúc Nh vậy, đờng cong mặt phẳng, mặt cầu đờng khúc 2.3 Mệnh đề a) Định nghĩa (2.1) không phụ thuộc vào việc chọn tham số đờng cong b) Nếu ( p ) = ( p ) , p S đờng mặt S đờng khúc Trong