Về thuật toán đường thẳngđịnh hướng tìm bao lồi các điểm trong mặt phẳng

Với một tập hữu hạn các điểm trong mặt phẳngthuật toán này đã có thực nghiệm tốt hơn thuật toán Graham.. Thuật toán đường thẳng định hướngTrong chương này chúng tôi trình bày thuật toán

bộ giáo dục và đào tạo trƯờng đại học vinh

======= =======

hoàng thị ngân

về thuật toán đƯờng

thẳng định hƯớng tìm bao lồi các điểm trong mặt phẳng

luận văn thạc sĩ toán học

vinh-2007

bộ giáo dục và đào tạo trƯờng đại học vinh

Mục lục

Mục lục 1

Mở đầu 2

ChƯơng 1 Kiến thức cơ sở 1.1 Tập lồi 4

1.2 Bao lồi của một tập 7

1.3 Điểm cực biên, cạnh cực biên 11

ChƯơng 2 Thuật toán Graham 2.1 Thuật toán Graham 13

2.2 Ví dụ 16

ChƯơng 3 thuật toán đƯờng thẳng định hƯớng 3.1 Một số khái niệm 19

3.2 Thuật toán 23

3.3 Ví dụ 26

3.4 So sánh thuật toán Graham và thuật toán đường thẳng định hướng 29 3.5 Kết quả tính toán 31

Kết luận 32

Phụ lục 1 33

Phụ lục 2 36

Tài liệu tham khảo 39

mở đầu

Hình học tính toán là một ngành học có ứng dụng rất rộng rãi trongthực tế và được rất nhiều nhà khoa học quan tâm như: Chand, Kapur,Preparata, Shamos, Graham, O' Rourke (xem [4], [5], [6] và [7]), Cùng vớiviệc nghiên cứu về bao lồi, các nhà khoa học đã tìm ra các thuật toán hữuhiệu để tìm bao lồi cho tập hữu hạn điểm trong mặt phẳng Cụ thể năm 1970Chand và Kapur đã đưa ra thuật toán "gói quà", năm 1972 Graham đã đưa

ra thuật toán "Graham" và năm 1998 O'Rourke đã cải tiến thuật toánGraham

Trong luận văn này, chúng tôi nghiên cứu một thuật toán hiệu quả đểxác định bao lồi của một tập hữu hạn điểm trong mặt phẳng do TS PhanThành An đưa ra, dựa vào ý tưởng của phương pháp đường định hướng đã

được GS.TSKH Hoàng Xuân Phú đề xuất năm 1987 để giải bài toán điều

khiển tối ưu Bao lồi được xác định bởi các phần của các đường thẳng định

hướng và đường thẳng cuối Với một tập hữu hạn các điểm trong mặt phẳngthuật toán này đã có thực nghiệm tốt hơn thuật toán Graham Luận vănchứng minh chi tiết một số tính chất liên quan, nêu các ví dụ minh hoạ chothuật toán này, So sánh thuật toán Graham và thuật toán đường thẳng địnhhướng Luận văn được chia làm ba chương:

Chương 1 Kiến thức cơ sở

Trong chương này, chúng tôi hệ thống lại một số tính chất quan trọngcủa tập lồi, bao lồi, điểm cực biên, cạnh cực biên Phát biểu và trình bày lạichi tiết một số định lý nhằm thuận lợi cho việc nghiên cứu các chương sau

Chương2 Thuật toán Graham.

Trong chương này chúng tôi mô tả lại thuật toán Graham, tìm bao lồicủa tập các điểm trong mặt phẳng Bên cạnh đó chúng tôi đưa ra ví dụminh hoạ cho thuật toán Graham

Chương 3 Thuật toán đường thẳng định hướng

Trong chương này chúng tôi trình bày thuật toán đường thẳng địnhhướng tìm bao lồi của tập hữu hạn điểm trong mặt phẳng (xem [4]) Cụ thểcác nội dung sau:

3.1 Một số tính chất: Mệnh đề 3.1.4 trong [4] không chứng minh chitiết, trong luận văn này chúng tôi chứng minh

3.2 Thuật toán đường thẳng định hướng: Trong [4] đã trình bày, trongphần này chúng tôi trình bày chi tiết hơn

3.3 Đưa ra ví dụ cụ thể minh hoạ thuật toán này

3.4 So sánh thuật toán Graham và thuật toán đường thẳng định hướng

về thời gian tính toán và độ chính xác của thuật toán.

3.5 Đ-a ra bảng kết quả tính toán cụ thể, về thời gian chạy thuật toán

và số điểm cực biên của quá trình chạy thuật toán Graham và thuật toán

đường thẳng định hướng cho các bộ điểm ngẫu nhiên với số l-ợng lớn

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo

TS Phan Thành An Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy,

người đã trực tiếp hướng dẫn, dành cho tác giả sự giúp đỡ tận tình và tâmhuyết trong suốt quá trình học tập cũng nhưtrong thời kỳ hình thành vàhoàn thành luận văn Tác giả cũng cảm ơn các thầy giáo trong tổ hình học

đã giảng dạy và đóng góp những ý kiến quý báu trong quá trình học tập vàhoàn thành luận văn

Tác giảxin chân thành cảm ơn tới gia đình cùng bạn bè đã dành cho tác

giả sự giúp đỡ vô cùng quý báu trong suốt quá trình học tâp

Vinh, tháng 12 năm 2007.

Tác giả

ChƯơng 1 Kiến thức cơ sở

Để thuận lợi cho việc nghiên cứu và trình bày các chương sau Trong chương này, chúng tôi hệ thống lại một số tính chất quan trọng của tập lồi,

điểm cực biên, cạnh cực biên và của bao lồi.

1.1 tập lồi

Giả sử En là không gian Ơclit n - chiều,ℝlà tập các số thực

1.1.1 Định nghĩa (xem [3]) Tập A En được gọi là lồi nếu:

A x

 1, 2 ,  0,1 suy ra x1 (1 )x2 A

Chú ý: Theo định nghĩa, tập được xem là tập lồi

1.1.2 Định nghĩa (xem [3]) Đoạn nối x1, x2 được định nghĩa nhưsau:Vớix1, x2 En,  0,1

Ngoài ra, ta ký hiệu intA là phần trong của A, clA là bao đóng của A.

1.1.3 Nhận xét (xem [3]) Tập A lồi, nếu: x1, x2 A suy ra [x1,x2] A

1.1.4 Ví dụ Các tam giác, hình tròn trong mặt phẳng là các tập lồi Hình

cầu đơn vị trong không gian Banach là tập lồi Các nửa không gian là cáctập lồi

1.1.5 Mệnh đề (xem [3]) Giả sử A En (  I) là các tập lồi, với I là tập

chỉ số bất kỳ Khi đó, tập A = 

 A I

Chứng minh Ta chứng minh bằng quy nạp

Nếu m = 2: Với mọi 1,2 0, 1 + 2 = 1; x1, x2 A, theo định nghĩa

1.1.1 ta luôn có:

1x1 + 2x2  A.Giả sử khẳng định của mệnh đề là đúng với m k, ta cần chứng minh

rằng khẳng định đó đúng vớim = k+1, nghĩa là:

x1, x2, …, x k+1 A,  i 0 (i = 1, 2, …, k + 1), 

 1

1

k

i

i= 1thì x := 1x1 + …+ k x k + k+1 x k+1 A.

Không mất tính tổng quát ta giả sử k+1 < 1 (vì nếu k+1 = 1 suy ra

1,2, …,k = 0 thì ta có ngay xA) Khi đó

1.1.8 Mệnh đề (xem [6]) Giao của một họ các tập lồi là tập lồi.

Chứng minh Giả sử Ai(i I) là các tập lồi Đặt A =

I

i A i.Lấy x1,x2 A  x1, x2 A i, iI.

Do Ailồi với iI, nên ta có:

x1 + (1-)x2 A i,    [ 0 , 1 ],i I

suy ra x1+ (1-)x2 A ,    [ 0 , 1 ]

Vậy A là tập lồi.

1.2 bao lồi của một tập.

-convA là tập lồi Đó là tập lồi nhỏ nhất chứa A.

-A là tập lồi khi và chỉ khi A = convA.

-convA là tập lồi đóng Đó là tập lồi đóng nhỏ nhất chứa A

1.2.3 Mệnh đề (xem [7]) convA là tập hợp tất cả các tổ hợp lồi của A.

Chứng minh Giả sử T là tập tất cả các tổ hợp lồi của A Vì convA là tập lồi

(nhận xét 1.2.2) vàA convA nên theo (nhận xét 1.1.8) suy ra T convA.

Để chứng minhconvA T trước tiên ta chứng minh T là tập lồi.

Thậy vậy, lấyx; yT, khi đó:



) 1 ( i a i + 



) 1 ( i+

Do đó 





I i



) 1 ( i a i + 

Từ mệnh đề 1.2.3 ta suy ra kết quả sau

1.2.4 Bổ đề (xem [7]) Tập A là lồi khi và chỉ khi A chứa tất cả các tổ hợp lồi

x + (1-)y A B,

do đó x + (1-)y conv(A B),

suy ra C  conv(A B).

Để chứng minh bao hàm thức ngược lại ta sẽ chứng minh C là tập lồi

Thật vậy, lấy u, v C, giả sử

u = 1x1 + (1-1)y1

và v = 2x2 + (1-2)y2

trong đó x1, x2 A; y1,y2 B và 0  1, 2 1

Nếu = 0 hoặc = 1 thì z = u hoặc z = v, nên hiển nhiên z C.

Nếu 1 = 0 hoặc 1 = 1 và 2 = 0 hoặc 2 = 1 thì ta có ngay z A hoặc

2 1

2 1

1

) 1 (

) 1 ( )

1 ( x   x

2 1

2 1

1

) 1 )(

1 ( ) 1 (

) 1 )(

1 ( )

1 )(

1 ( ) 1 (

) 1 (

y y

1 )

( 1 )][

( 1 [ ) )(

y A x x

1 )

( 1

2 1

1.2.7 Định lí (định lý Caratheodory) (xem [3]) Mỗi điểm của tập convA là

tổ hợp lồi của không quá n + 1 điểm khác nhau của A.

1.2.8 Mệnh đề (xem [7]) Bao lồi của một tập compact là một tập compact.

Chứng minh Giả sử M là tập compact và dãy {x k} convM.

i k

1.2.9 Mệnh đề (xem [2]) Bao lồi của họ hữu hạn điểm trong mặt phẳng là

hình đa giác lồi có các đỉnh thuộc họ điểm đã cho

1.2.10 Bổ đề (xem [3]) Nếu A là tập lồi thì intA cũng là tập lồi.

Chứng minh Lấy x1 intA, x2 A Khi đó, tồn tại lân cận U của x1 sao cho

Đặt x = x1 + (1-)x2 (0 < < 1), ta có U + (1-)x2 là một lân cậncủax và U + (1-)x2 A  x intA Do đó intA lồi.

1.2.11 Mệnh đề (xem [7]) Bao lồi của một tập mở là một tập mở.

intA int(convA),

vì vậy A int(convA).

Từ bổ đề 1.2.10 suy ra int(convA) là tập lồi, mà nó chứa A, vì thế

convA int(convA).

Mặt khác ta luôn có int(convA) convA.

Suy raconvA là tập mở.

1.3 điểm cực biên, cạnh cực biên.

1.3.1 Định nghĩa (xem [8]) Ta gọi x M là điểm cực biên của tập lồi M

nếux [y, z]; y, z M thì x = y hoặc x = z.

1.3.2 Nhận xét Các điểm trong của một bao lồi M không phải là điểm cực

biên

1.3.3 Nhận xét Bao lồi của họ hữu hạn điểm là hình đa giác x i1, x i2 , ,x i k

trong đó các đỉnh của hình đa giác lồix i

1.3.4 Định lý Krein-Milman (xem [7]) M En compact, x convM khi

và chỉ khix là tổ hợp lồi của n + 1 điểm cực biên của M.

1.3.5 Bổ đề (xem [6]) Một điểm không phải là điểm cực biên của tập lồi

nếu và chỉ nếu điểm này nằm trong hoặc trên các cạnh của tam giác nào đó

có các đỉnh là các điểm của tập lồi và điểm này không phải là một đỉnh củatam giác kể trên

Chứng minh Giả sử rằng nếu một điểm nằm trong một tam giác thì nó

không phải là điểm cực biên Do đó đỉnh của một tam giác có thể là điểmcực biên

Mặt khác một điểm nằm trên cạnh của một tam giác mà không phải là đỉnhthì không phải là điểm cực biên.

1.3.6 Chú ý (nhận dạng điểm cực biên).

Các điểm sau luôn luôn là điểm cực biên

a) Ta gọi điểm cao nhất của A là điểm có tung độ lớn nhất Trong những

điểm cao nhất thì điểm có hoành độ lớn nhất và điểm có hoành độ bé nhất

là các điểm cực biên của convA.

b) Ta gọi điểm thấp nhất của A là điểm có tung độ nhỏ nhất Trong những

điểm thấp nhất thì điểm có hoành độ lớn nhất và điểm có hoành độ bé nhất

là các điểm cực biên của convA.

c) Ta gọi điểm xa nhất về bên phải của A là điểm có hoành độ lớn nhất.

Trong những điểmxa nhất về bên phải thì điểm có tung độ lớn nhất và điểm

có tung độ bé nhất là các điểm cực biên của convA

d) Ta gọi điểm xa nhất về bên trái của A là điểm có hoành độ nhỏ nhất.

Trong những điểmxa nhất về bên trái thì điểm có tung độ lớn nhất và điểm

có tung độ bé nhất là các điểm cực biên của convA.

1.3.7 Định nghĩa (xem [6]) Cạnh cực biên của convA là cạnh mà mọi điểm

1.3.8 Định nghĩa Ta ký hiệu dt(a, b, c) là diện tích đại số của tam giác

CHƯƠNG 2 THUậT TOáN GRAHAM

Trong chương này chúng tôi mô tả lại thuật toán Graham, tìm bao lồi của tập các điểm trong mặt phẳng (xem [5]) Bên cạnh đó chúng tôi đưa ra

ví dụ minh hoạ thuật toán Graham.

2.1 THUậT TOáN GRAHAM.

Bài toán: Cho tập Q gồm n điểm trong mặt phẳng, Q = {p0, p1, ,p n - 1}.Hãy tìm tập các điểm cực biên (có thứ tự) củaconvQ.

2.1.1 Mô tả thuật toán.

Ta dùng một tập có thứ tự ký hiệu là S để lưu các điểm của Q mà có

thể là điểm cực biên Tập này có tính chất là điểm thêm vào luôn được đặt ở

vị trí đầu (có thứ tự lớn nhất), để loại một điểm ra khỏi tập này ta phải loạitất cả các điểm có thứ tự lớn hơn Số thứ tự lớn nhất của tập tại một thời

điểm được gọi là chỉ số đỉnh của tập này Nhưvậy, thêm (bớt) điểm vào thìchỉ số đỉnh tăng lên (giảmxuống) tương ứng.

Xét ví dụ sau:

Trong mặt phẳng cho tậpQ = {(-3; -2), (-8; 0), (-7; -4), (-5; 2), (-1; 8),

(-6; 5), (1; 5), (3; -6), (8; -3), (5; 1), (9; 3), (6; 7)} Hãy tìm tập các điểmcực biên (có thứ tự) của convQ.

Bước 1 Sắp xếp.

Đánh số thứ tự các điểm của Q Lấy điểm x(3; -6) là điểm có tung độ

thấp nhất về bên phải và đặt là p0 Lúc đó p0 thuộc biên bao lồi

- Ta nối p0 với tất cả các điểm đã cho (nếu có ba điểm thẳng hàng taloại điểm nằm giữa).

- Sắp thứ tự các điểm theo góc ngược chiều kim đồng hồ, và lần lượt

- Để kiểm tra điểm p2 có phải là điểm cực biên không ta xét tiếp theo

điểm p3: Vì p3 nằm bên trái tia p1p2 nên S được mở rộng Thêm p3 vào S:

NênS tạm thời là S = (p3,p2, p1,p0)

- Để kiểm tra điểm p3 có phải là điểm cực biên hay không ta xét tiếptheo điểmp4 Vìp4 nằm bên phải tiap2p3 nên S không được mở rộng Do đó

loại p3 ra khỏi tậpS, nhưvậy tập S = (p2,p1, p0)

- Tiếp tục tương tự nhưthế ta được S = (p11, p10, p7, p6, p4, p2, p1, p0) làcác điểm nằm trên bao lồi của tập gồm 12 điểm đã cho có dạng nhưhình vẽ(Hình 1.2)

Hay bao lồi của tập các điểm {p0,p1, p2,p3, p4, p5,p6, p7,p8, p9, p10,p11}cho trước là tập {p0, p1, p2,p4, p6,p7, p10,p11}

2.1.2 Các điều kiện biên.

- Tìm điểm ban đầu để sắp thứ tự

- Ba điểm cùng nằm trên một cạnh của bao lồi ta loại điểm nằm giữa

- Tính thẳng hàng sắp xếp thứ tự các điểm theo điểm p0: Nếu p1, p2

cùng góc so vớip0 Định nghĩa p1 < p2 nếu: p1 p0 p2 p0 lúc đó ta loại

p1

2.1.3 Thuật toán.

Thuật toán dùng để cho một điểm p vào tập S hoặc loại điểm đó ra khỏi

tập S và sử dụng điểm thấp nhất theo tung độ về bên phải để nối với tất cả

các điểm đã cho, xem hình vẽ (Hình 2.2)

1) Tìm điểm thấp nhất x về bên phải và đặt là p0

2) Sắp xếp các điểm khác theo góc ở đỉnh p0 (trong trường hợp thẳng hàng

ta loại những điểm gầnp0 ) và lần lượt đặt tên là p1,p2, p3, , pn-1

2.2 Ví Dụ minh hoạ.

Bài toán: Trong mặt phẳng cho tập P = {(-6; -5), (6; -2), (3 ;3), (0; 4),

(-2; -6), (-5; -3), (-7; 2), (-5; 6), (2; 7), (8; 2), (3; -2)}

Hãy tìm tập các điểm cực biên (có thứ tự) củaP.

Để tìm các điểm cực biên của P ta làm nhưsau:

Sử dụng thuật toán trên, ta chọn điểm thấp nhất về bên phải theo tung

độ làm điểm xuất phát, và đặt là p0(-2; -6) Khi đó ta tiến hành làm nhưsau:

Ta nối điểm p0 với tất cả các điểm đã cho (nếu có ba điểm thẳng hàng

ta loại điểm nằm giữa) Trong ví dụ này, kiểm tra thấy ba điểm có toạ độ(-2; -6), (3; -2), (8; 2) thẳng hàng và điểm (3; -2) nằm giữa hai điểm(-2; -6), (8; 2) nên loại điểm (3; -2)

- Sắp xếp thứ tự các điểm còn lại theo góc hợp với trục hoành theo

Trong đó p0, p1, p2, p3, p4, p5, p6, p7, p8, p9 được đặt xác định theo góc hợp

với trục hoành Ox theo thứ tự tăng dần.

- Cho S là một tập có thứ tự để lưu các điểm đã cho mà có thể là điểm

cực biên, ban đầu S đã có hai điểm cực biên là S = (p1, p0), xem hình vẽ(Hình 2) ta có:

Với i = 2, ta có S = (p1,p0), thêm p2 vào S Khi đó ta thấy p2 nằm bêntrái tia p0p1 nênp2 chấp nhận được Vậy tạm thời ta có S = (p2,p1, p0)

Với i = 3, điểm tiếp theo p3 để kiểm tra p2 Ta thấy p3 nằm bên tráitiap1p2 nên p2 được đẩy vào tập S, suy ra tập S = (p2, p1, p 0) Thêm p3 vào tatạm thời được tập S =(p3,p2, p1, p0)

Với i = 4, điểm tiếp theo p4 để kiểm tra p3 Ta thấy p4 nằm bên phảitia p2p3 nên loại p3 ra khỏi tập S, suy ra tập S = (p2, p1, p0) Thêm p4 vào tatạm thời được tập S = (p4,p 2, p1,p0)

Vớii = 5, điểm tiếp theo p5 để kiểm trap4 Ta thấy p5 nằm bên trái tia

p2p4 nênp4 được đẩy vào tậpS, suy ra tập S = (p4, p2, p1, p0) Thêmp5 vào tatạm thời được tập S = (p5,p4, p2, p1,p0)

Với i = 6, điểm tiếp theo p6 để kiểm tra p5 Ta thấy p6 nằm bênphải tia p4p5 nên loại p5 ra khỏi tập S, suy ra tập S = (p4, p2, p1, p0).Thêm p6 vào ta tạm thời được tập S = (p6, p4, p2, p1, p0).Với i = 7, điểm tiếp theo p7 để kiểm tra p6 Ta thấy p7 ở bên tráitia p4p6 nên p6 được đẩy vào tập S, suy ra tập S = (p6, p4, p2, p1, p0).Thêm p7 vào ta tạm thời được tậpS = (p 7, p6, p 4,p2, p1, p0)

Với i = 8, điểm tiếp theo p8 để kiểm tra p7 Ta thấy p8 ở bên trái tia

p6p7 nên p7 được đẩy vào tậpS, suy ra tập S = (p7, p6, p 4,p 2, p 1,p0) Thêm p8

vào ta tạm thời được tập S = (p8,p7, p6, p4,p2, p1,p0)

Với i = 9, điểm tiếp theo p9 để kiểm tra p8 Ta thấy p9 ở bên phải tia

p7p8 nên loại p8 ra khỏi tập S, suy ra tập S = (p7, p6, p4, p2, p1, p0) Thêm p9

vào ta tạm thời được tập S = (p9,p7, p6, p4,p2, p1,p0)

-5

4

-6-7

ChƯơng 3 Thuật toán đƯờng thẳng định hƯớng

Trong chương này chúng tôi trình bày thuật toán đường thẳng định hướng tìm bao lồi của tập hữu hạn điểm trong mặt phẳng, phương pháp này lần đầu tiên đưa ra trong [4] Bên cạnh đó chúng tôi chứng minh một số tính chất, đưa ra ví dụ minh hoạ về cách tìm bao lồi cho tập các điểm hữu hạn trong mặt phẳng Từ đó ta thấy được thuật toán này chạy nhanh hơn và chính xác hơn thuật toán Graham.

3.1 Một số khái niệm.

chúng ta chỉ xét những điểm của Q trong bốn tam giác vuông được bao

quanh bởi hình chữ nhật abcd (Hình 3) (tức là hình chữ nhật nhỏ nhất chứa

Q) và có các cạnh song song với trục toạ độ Những tam giác vuông này

được xác định bởi các điểm thấp nhất bên phải nhất (a1), cao nhất bên phảinhất (a2), bên phải nhất cao nhất (b1), bên trái nhất cao nhất (b2), thấp nhấtbên trái nhất (c1), cao nhất bên trái nhất (c2), bên phải nhất thấp nhất (d1),bên trái nhất thấp nhất (d2) Dĩ nhiên chúng là những điểm cực biên của