Một số thuật toán tìm bao lồi của họ hữu hạn điểm trong mặt phẳng

ộ ụ t rờ ọ ễ ứ ột số tt t tì ủ ọ ữ ể tr t t sĩ t ọ ộ ụ t rờ ọ ễ ứ ột số tt t tì ủ ọ ữ ể tr t ì ọ số t sĩ t ọ ộ ọ P ọ ộ P ụ ụ ụụ ụ ì ẽ ế tứ ổ s ị ĩ ề t tí t ủ ột t ể ự ể ự ể ể ự ự t tt t tì t t tì ể ự t t tì ể ể ự t t tì ự t t ó q t t tt t t t ó q t t t t ỷ tt t t t t t t tt t t trú tt t t ị tr t t s s tì ý tở s s t t s s ết ệ t ụ ì ẽ ụ ì ẽ ì ẽ ì ẽ ì ẽ ì ẽ ì ẽ ì ẽ ì ẽ ì ẽ ì ẽ ụ ị sử ề ì ọ tí t ột ọ ợ ứ ụ rt rộ r tr tự tế tờ t tr ì ọ tí t tì ủ ọ ữ ể t ột ệ q trọ t ệ từ tr ề t ọ tí ì ọ tố ệ t út q t ủ ề t ọ rtér r s ứ ề t ọ tì r ữ tt t tố tì t ợ ữ ể r ú t ứ ột số tt t tì t t r r q trì ứ tì ủ ọ ữ ể tr t ỏ t r ó tể tì ợ số ể rt tr tờ t ó tể ụ tr ề ề ợ s ĩ tế ú t qết ị ọ ề t ứ ột số tt t tì ủ ọ ữ ể tr t trì ột số tt t tì ết từ ó ứ trì ề ý tết ột tt t s tì í ụ ọ tt t ết q í ủ ợ trì tr t í ọ ọ trú ớ ứ trì ế tứ ộ ị ĩ ề t ể ự trì ột số tt t tì tr t ộ t t tì ể ự t t ó q t t t t t t t t s s tì í ụ ọ ợ t trự tế t tì ủ P ọ ộ P tỏ ò ết s s ế t ữ ú ỡ t tì t ết tr sốt q trì ọ t ũ tr tờ ỳ ì t t ệt P ễ ữ ễ ì P ễ ỳ P ó ữ ý ế qý tr q trì ọ t t t t tr t ọ ị ọ ọ ữ ú ỡ ộ ỉ tr sốt tờ ọ ọ ũ t tớ ì ù t ú ỡ ù qý tr q trì ọ t tờ t t ế tứ ổ s r ú t ệ tố ột số tí t q trọ ủ t ể ự ự ị ĩ ề t r ú t ỉ ét tr m ề Em tí t ị ĩ (xem [9]) sử x, y Em t [x, y] t ợ { x + (1 )y, } ế x = y tr ủ [x, y] t ợ { x + (1 )y, < < } í ệ ]x, y[ ế x = y tr ủ [x, y] ứ ể x t ợ { x + (1 )y, < } í ệ [x, y[ ế x = y tr ủ [x, y] ứ ể y t ợ { x + (1 )y, < 1} í ệ ]x, y] ị ĩ (xem [9]) sử S Em S ợ ọ ế ọ x S, y S tì [x, y] S í ụ S = {(x, y) E2 : x 1} \ {(x, y) E2 : y > x} t tr E2 ị ĩ (xem [6]) ổ ợ ữ ủ ể x1 , x2 , , xm Em ột ể ủ Em ó tể ể ể m i x i , i=1 t ỷ tt t ủ tt t t ề y ể t ề tr ủ t n ể tr t ó ủ t t QuickHull tì ể ự x ể n ể ợ t r từ ủ t ể [x, y] t ể t [y, x] r ể t ể t ể ự [x, y] tì ể ự a, b t S t [a, b] S ó tể t rỗ t tì S a, b ủ S ột ể c S s ể t s t ab c ể ự tứ ỏ tt ể tr tr abc trừ a, b í ể ct ổ ề ọ A t ể t [a, c] B t ể t ủ [c, b] tế tụ q trì ó tr t A B ì ẽ ì ét ợ ể ó ế ab t s ể t ề ab ể tr t ể ự a, b ủ S tt ể ự c t ề ù tt t tì tr (a, c) (c, b) t ý ệ ể t é ố ể ể ự t t tì ợ S (a) + QuickHull(a, b, S) + (b) t t sử a, b ể ự S t ợ ể t [ab] ó t ó QuicHull(a, b, S) S = t rtr (trở (a, b)) s c ể t từ ab ể t ủ [a, c] ể t ủ [c, b] rtr (a, c, A) (c) (c, b, B) t ể ự ủ t ét {a, b} S r tt t tr tt t tì A ể t ủ [a, c1 ] B ể t ủ [c2 , b] tr ó c1 , c2 ể út ủ ọ t ể tr ó ó t ế ab tế ể ủ S tr ì t ac1 c2 b ị ỏ(ề ể tr í ụ abc) r t t P = {p0 , p1 , p2 , , p17 , p18 } (tr ó p0 (1; 3), p1 (2; 1), p2 (4; 4), p3 (3; 2), p4 (4; 3), p5 (3; 1), p6 (1; 1), p7 (2; 2), p8 (3; 3), p9 (2; 4), p10 (1; 3), p11 (3; 5), p12 (2; 1), p13 (2; 2), p14 (4; 4), p15 (3; 0), p16 (5; 2), p17 (1; 1), p18 (1; 2) ) ù tt t QuickHull tì P r t ể p0 , p1 , , p18 ủ P tì p2 ể t ề ì ó ộ t p11 ể ự tứ ủ S ì ó t ộ t ì ọ {p3 , p5 , p6 , p7 , p8 , p9 , p10 } t ể t [p2 , p11 ] {p0 , p1 , p4 , p12 , p13 , p14 , p15 , p16 , p17 , p18 } t ể t [p11 , p2 ] a) ì ó + p8 ể ó ế t p2 p11 t + ó ể [p2 , p8 ] + ể p9 ể t ủ [p8 , p11 ] p9 ể ó t ế t p8 p11 t S = {p3 , p5 , p6 , p7 , p8 , p9 , p10 } ó A= B = {p9 } QuckHull(p2 , p11 , S) = QuckHull(p2 , p8 , ) + {p8 } + QuckHull(p8 , p11 , B) = {p2 , p8 } + {p8 } + {p8 , p11 , p9 } = {p2 , p8 , p11 , p9 } b) ì ể ự ủ t ể {p0 , p1 , p4 , p12 , p13 , p14 , p15 , p16 , p17 , p18 } + p16 ể ó t ế t p11 p2 + p14 ể t t [p11 , p16 ] + p0 , p1 , p18 t [p16 , p2 ] t S = {p0 , p1 , p4 , p12 , p13 , p14 , p15 , p16 , p17 , p18 } ó A = {p14 }, B = {p0 , p1 , p15 , p18 } QuckHull(p11 , p2 , S) = QuckHull(p11 , p16 , A) + {p16 } + QuckHull(p16 , p2 , B) = {p2 , p8 , p14 } + {p16 } + QuckHull(p16 , p2 , B) = {p2 , p8 , p14 , p16 } + QuckHull(p16 , p0 , ) + {p0 } + QuckHull(p0 , p2 , ) = {p2 , p8 , p14 , p16 } + {p16 , p0 } + {p0 } + {p0 , p2 } = {p2 , p8 , p14 , p16 , p0 , p2 } tì ợ ể ự ủ P {p2 , p8 , p9 , p11 , p14 , p16 , p0 } t t t ú t ứ t tt t ét tr ề rộ r ề ó t t t ợ O Rouke trì tr [8] t tt t t sử S = {p1 , p2 , , pn } t ữ ể tr t ể tì S t tì ủ k ể t ọ Hk = Sk tr ó Sk = {p1 , p2 , , pk } ó tì Hk+1 = Sk+1 Sk+1 = {p1 , p2 , , pk , pk+1 } s a) ế pk+1 Hk tì s r Sk+1 = Sk t ệ ề b) ế pk+1 / Hk ố ể pk+1 ể p1 , p2 , , pk t t t , tr ú s Sk ề ột í ủ t ự ết q ó t tì ợ {Hk {pk+1 }} s ì sử t ết Hk ì ỉ ủ ó tộ h1 , h2 , , hk r t ó ột số ỉ ủ t tự ọ h2 ỉ ủ Hk tr ủ Hk ọ h1 ỉ ủ Hk pk+1 pk+1 t ỉ Hk tr t (h1 , pk+1 , h2 ) ó h3 , h4 , , hr ó ì ỉ r ể pk+1 , h1 , h2 , , hr Hk+1 ú ý h3 t (pk+1 , h1 , h2 ) (pk+1 , h1 , h2 , h3 ) = (pk+1 , h1 , h2 ) trú tt t t sử H2 r Hk {p0 , p1 , p2 } (n 1) t { Hk1 pk } r r ó H2 t t Hk ề tì {Q {p}} tr ó trờ ợ Q p ột ỉ ét p Q p / Q rờ ợ ế p Q p tr t ủ Q ú ó (Q {p}) = Q ệ ề rờ ợ r ụ p / Q 2.4.3 t ét tì (Q {p}) ị tr sử Q ợ ị ể ự {p0 , p1 , , pn1 } ọ pi ể tế ú ủ t ppi ế tt ể ự ò ủ Q ù ề t tr ù ề tr t tr [p, pi ] ì [7] ế pi pj ỉ tế ú tì ể ự ủ (Q {p}) p0 , , pi , p, pj , , pn1 [7] pi ể tế ú ế + p ề tr tr [pi1 , pi ] + p ề tr [pi , pi+1 ] [7] pj ể tế ú ế + p ề tr [pj1 , pj ] + p ề tr tr [pj , pj+1 ] t t tì tế ể tứ t r i=0 t n1 p tr tr [pi1 , pi ] p tr [pi , pi+1 ] t pi tế ể r t t tì tế ể tứ r j=0 t n1 p tr [pj1 , pj ] p tr tr [pj , pj+1 ] t pj tế ể r ét ú trì tự t tt t t t t ó tể tì tr ề ể ữ ì tr qú trì tì tế ể ó tể tự ệ ợ tr ề í ụ r t t S = {p1 , p2 , p3 , , p19 , p20 } (tr ó p1 (1; 2), p2 (2; 3), p3 (2; 2), p4 (1; 1), p5 (5; 1), p6 (1; 2), p7 (3; 1), p8 (4; 5), p9 (4; 3), p10 (4; 6), p11 (3; 3), p12 (2; 4), p13 (1; 5), p14 (4; 2), p15 (5; 1), p16 (3; 3), p17 (2; 2), p18 (3; 3), p19 (1; 2), p20 (3; 4)) ự tt t t tì S ì ể p1 , p2 , p3 t t {p1 , p2 , p3 } ể p4 , p6 tr ị ó ét tế ể p5 ì {p1 , p2 , p3 } {p5 } ét ể p2 p1 tế ể + ét t ể p1 p5 tr [p3 , p1 ] p5 [p1 , p2 ] ó p1 ột tế ể ủ ể p5 + ét t ể p2 p5 [p1 , p2 ] tr [p2 , p3 ] ó p2 ột tế ể ủ ể p5 ợ t t {p1 , p5 , p2 , p3 } ể p7 tr ị ó ét ể p8 tt t tì ữ {p1 , p5 , p2 , p3 } {p8 } + p5 tế ể ì p8 tr [p1 , p5 ] [p5 , p2 ] + p3 tế ể ì p8 [p2 , p3 ] tr [p3 , p1 ] ợ t t {p1 , p5 , p8 , p3 , } ể p2 , p9 , p11 tr ị ét ể p10 tt t tì ữ {p1 , p5 , p8 , p3 } {p10 } + p8 tế ể ì p10 tr [p5 , p8 ] [p8 , p3 ] + p3 tế ể ì p10 [p8 , p3 ] tr [p3 , p1 ] t t {p1 , p5 p8 , p10 , p3 } ể p12 , p13 tr ị ó ét ể p15 tt t tì ữ {p1 , p5 , p8 , p10 } {p15 } + p10 tế ể ì p15 tr [p8 , p10 ] [p10 , p3 ] + p1 tế ể ì p15 [p3 , p1 ] tr [p1 , p5 ] t t {p1 , p5 p8 , p10 , p15 } ể p14 , p16 , p3 tr ị ó ét ể p20 tt t tì ữ {p1 , p5 , p8 , p10 , p15 } {p20 } + p15 tế ể ì p20 tr [p10 , p15 ] [p15 , p1 ] + p5 tế ể ì p20 [p1 , p5 ] tr [p5 , p8 ] t t {p5 , p8 , p10 , p15 , p20 } ể p18 , p17 , p19 , p1 tr ị ó q ột số ữ tt t tì ợ {p5 , p8 , p10 , p15 , p20 } ét r qú trì ù ố tt t t ó q ể tì ủ ữ ể tr ề t t ợ ết q s t t ó q t ó ó ó rộ r ề t t s s tì ú t ứ ột số tt t tì ủ ọ ữ ể tr t ụ tt t ó tt t tì ợ ủ ọ ữ ể tr ề tì số ể rt tì tt t tự ệ tờ t t r ế s s tt tr ữ trờ ợ ể rút tờ từ tt t ý ét tở s s S t n + ể tr t sử tr S tì ợ ể t ph t t pl ó t pl ph t ữ ể pl ph pl ph S t t A B ữ ể tr ý tở s s tt t tì tờ ủ A B tt t ết ó rút r ợ S ì t t s s r t t S = {p0 , p1 , , pn } ó tt t s s tì S ề t ý tết s ì ể t t sử pl ể t sử ph ủ S r S tì ể t ủ [pl , ph ] sử ể {a1 , a2 , , ak1 } r S tì ể tr t [pl , ph ] sử ể {b1 , b2 , , bt1 } t A = {a0 , a1 , , ak } a0 := pl , ak := ph B = {b0 , b1 , , bt } b0 := ph , bt := pl ì tờ A A sử ể ự ủ A {q0 , q1 , , qm } ể ự ủ B {qm+1 , qm+2 , , qr } ì q0 := a0 , qm := q h , qm+1 := q h , qr := q l {q0 , q1 , q2 , , qm , qm+2 , , qr1 } ể ự ủ S ét r ể tì A B t ó tể ù tt tì ể ự ó q t t í ụ r t t S = {p0 , p1 , p2 , , p29 , p25 } (tr ó p0 (0; 1), p1 (1; 1), p2 (2; 2), p3 (3; 1), p4 (5; 3), p5 (4; 0), p6 (4; 1), p7 (1; 5), p8 (1; 1), p9 (1; 4), p10 (1; 6), p11 (2; 3), p12 (1; 5), p13 (0; 2), p14 (1; 3), p15 (1; 4), p16 (2; 6), p17 (3; 4), p18 (4; 4), p19 (4; 2), p20 (5; 1), p21 (2; 1), p22 (4; 3), p23 (1; 3), p24 (2; 4), p25 (0; 4) ) ù tt t s s tì S ì p7 ể ó t ộ é t p7 ể t t p16 ể ó t ộ t p16 ể t ì ể ủ t p7 p12 ì A = {p7 , p0 , p1 , p2 , p3 , p4 , p5 , p6 , p8 , p9 , p10 , p11 , p12 , p13 , p14 , p15 , p16 } ể ủ t p7 p16 B = {p16 , p17 , p18 , p19 , p20 , p21 , p22 , p23 , p24 , p25 , p7 } ể tr ủ t p7 p16 ì ù tt t ó q t tì A B tờ tì ụ 2.2.2 t tì ợ ể ự ủ A {p7 , p4 , p6 , p10 , p16 } ể ự ủ B {p16 , p18 , p20 , p22 , p24 , p7 } ể ự tì ủ S {p7 p4 p6 a10 p16 p18 p20 p22 p24 } í ụ tết tr í ụ ù tt t s s tì P ì p2 ể ó t ộ é t p2 ể t t p11 ó t ộ t p11 ể t ì ể ủ t p2 p11 ì A = {p2 , p3 , p5 , p6 , p7 , p8 , p9 , p10 , p11 } ể ủ t p2 p11 B = {p0 , p1 , p2 , p4 , p13 , p11 , p14 , p15 , p16 p17 , p18 } ể tr ủ t p2 p11 ù tt t tì A B tờ tì ụ t tì ợ ể ự ủ A {p2 , p8 , p9 , p11 } B {p11 , p14 , p16 , p0 , p11 } ể ự tì ủ P {p2 , p8 , p9 , p11 , p14 , p16 , p0 } ết ết q ủ ế t ợ tì ể ự ó q t í rì tt t tì ủ ọ ữ ể ụ ọ từ tt t ề t ề t ý tết ột tt t s s tì ủ ọ ữ ể tr t í ụ ữ ề tế tụ ứ ứ ứ ụ t t ủ ọ ữ ể tr t tr ề ề ù ý tở ủ tt t ó q t tì ủ ọ ữ ể tr ề ề ệ t ế ệt [1] P ì ọ tí t ệ ọ [2] ễ ữ ể ột số ề ề tt t t ọ r ọ ệ ộ [3] ễ ữ ể ột số ề ì ọ tổ ợ t ụ [4] ù ễ ứ t t r tì ột t ữ ể tr t ị t í ọ ọ [5] ỗ P tí t ọ ỷ tt ộ ế [6] J J trt t Pr rts ss Ps P [7] V L Klee t r tt t Pr s [8] J ORourke t tr r rst Prss t [9] J V Tiel ss trs tr sttt [10] F A Valentine ts r r [...]... b]( t ó ớ từ a ế b) ế ệ tí số ủ t abc b) ọ ể c t ủ t [a, b]( t ó ớ từ a ế b) ế ệ tí số ủ t abc c) ọ ể c tr t [a, b]( t ó ớ từ a ế b) tì ệ tí ủ t abc t t tt S ét S t n ể tr t ừ ệ ề ồ tì ợ ủ ọ ữ ể tr t ó ột tr s (1) ọ ể ủ ồ t tứ tự tỳ ý (2) ể ự t tứ tự tỳ ý (3) ọ ể ồ t tứ tự tr (4) ể ự t tứ tự tr tt t tì ồ r ú t trì tết ột số tt t tì ồ tr tr t s s... , p8 , p10 , p15 , p20 } ể p18 , p17 , p19 , p1 tr ồ ị ó q ột số ữ ớ tt t tì ợ ồ {p5 , p8 , p10 , p15 , p20 } ét r qú trì ù ố tt t t ờ ó q ể tì ồ ủ ữ ể tr ề t t ợ ết q s t t ờ ó q t ó ó ó ở rộ r ề t t s s tì ồ ú t ứ ột số tt t tì ồ ủ ọ ữ ể tr t ụ tt t ó tt t tì ợ ồ ủ ọ ữ ể tr ề 8 tì ồ số ể rt ớ tì tt t tự ệ ớ tờ t t r ế s s tt tr ữ trờ ợ ể... S ề tr ủ [c, d] trì ết tú s ữ ớ ì số ể ữ ọ ờ t q ự [a, b] [b, c] t t ột ó ì ố ể ủ S ớ ể b tì t t ó ớ t ề ợ ề ồ ồ ó ỏ t q ớ ự [a, b] ừ ý ó r r tt t ó qù t t t ó q t tết S = {p0 , p1 , p2 , , pn1 } sử t tì ột ự ủ S ọ p ột ể ự tứ ủ ó t ù tr t ù ó ỏ t tì ợ ự tế t ủ S t t ó q t ì ể t t ủ t xem S sử i0 ỉ số ủ ó i i0 t r ỗ ột j = i í ó ợ ề... tt t tì ồ tự tế t ọ r 1970 ột ộ r tt tó ó q t ý tở sử ụ ể ự t ố ể ự tì ợ ột ồ ó tể n ỉ tì số ợ ể ự tế tí t n t tt t tết S t n ể ù tt t 2.1.2 tì ợ ột ự [a, b] ủ S s S ở tr ủ [a, b] t ớ từ a ế b ị rớ ết tì ột ự ủ S [a1 , b1 ] ột ể v S ét ệ tí số s ủ t (a1 , b1 , v) ế s > 0 tì S ở tr [a1 , b1 ] ó t a = a1 , b = b1 ợ ế s < 0 tì S ở [a1 , b1 ] t t a =... ỗ ột k = i = j r r t t tr ể tr ý tứ ủ ổ ề 1.1 ì pi ột ỉ t ỳ ủ t ì ể í ụ r t t t S := {p0 , p1 , p2 , p3 , p4 } (tr ó p0 (0; 3); p1 (1, 2); p2 (2; 3); p3 (1; 1); p4 (3; 4)) ì tr số ể ể ự ủ S ự tt t 2.1.1 t ó q trì tì ể ể ự ủ S s ể p0 ỉ p1 , p2 , p3 , p4 t t t p0 p1 p3 , p0 p1 p4 , p0 p2 p3 , p0 p2 p4 , p0 p1 p2 , p0 p3 p4 + ét ể p3 , p4 ì p3 , p4 / p0 p1... ột ự ủ S ọ p ột ể ự tứ ủ ó t ù tr t ù ó ỏ t tì ợ ự tế t ủ S t t ó q t ì ể t t ủ t xem S sử i0 ỉ số ủ ó i i0 t r ỗ ột j = i í ó ợ ề ồ ồ từ ồ trớ ớ [pi , pj ] r sử k ỉ số ủ ể t t ó ỏ t tt i=k t i = i0 [pi , pk ] ột ự ủ ồ ét tt ( ồ) ó (3) (4) ét í ự ù tr t ề tờ ì ó tí tt ể ủ S tr ó ù ó ỏ t tì ề í ụ r t t S = {p0 , p1 , p2 , , p9 , p10... s r Sk+1 = Sk t ệ ề b) ế pk+1 / Hk ố ể pk+1 ớ ể p1 , p2 , , pk t t ờ t , tr ú s Sk ề ột í ủ ờ t ự ết q ó t tì ợ {Hk {pk+1 }} s ì sử t ết Hk ì ỉ ủ ó tộ h1 , h2 , , hk r ờ t ó ột số ỉ ủ t tự ọ h2 ỉ ủ Hk tr ủ Hk ọ h1 ỉ ủ Hk pk+1 pk+1 t ỉ Hk tr t (h1 , pk+1 , h2 ) ó h3 , h4 , , hr ó ì ỉ r ể pk+1 , h1 , h2 , , hr Hk+1 ớ ú ý h3 t (pk+1 , h1 , h2 ) (pk+1 ,... tt t ể tì ồ ủ ột ọ ữ ể tr t trớ ết t tì ể ự ự ụ s tì ể ự ự ủ ọ ữ ể tr t t t ờ tì ể ự t t tì ể ể ự t tt t ét t 1.2.4 sử S := {p0 , p1 , p2 , , pn1 } ớ tết ể tì tr số ể p0 , p1 , , pn1 ợ ữ ể ể ự ữ ể ò ể ự ủ S ự ổ ề t ó t tt t s ột ể t ỳ tr S p0 ét ể tr S ó ợ ớ ể p0 ột t p0 pi pj ể pl S ớ p0 , pi , pj ể tr pl p0 pi pj ế pl p0 pi ... ứ ột số tt t tì t t r r q trì ứ tì ủ ọ ữ ể tr t ỏ t r ó tể tì ợ số ể rt tr tờ t ó tể ụ tr ề ề ợ s ĩ tế ú t qết ị ọ ề t ứ ột số tt t tì ủ ọ ữ ể tr t trì ột số tt...ộ ụ t rờ ọ ễ ứ ột số tt t tì ủ ọ ữ ể tr t t sĩ t ọ ộ ụ t rờ ọ ễ ứ ột số tt t tì ủ ọ ữ ể tr t ì ọ số t sĩ t ọ ộ ọ P ọ ộ P ụ ụ ụụ... trì ột số tt t tì tr t ộ t t tì ể ự t t ó q t t t t t t t t s s tì í ụ ọ ợ t trự tế t tì ủ P ọ ộ P tỏ ò ết s s ế t ữ ú ỡ t tì t ết tr sốt q trì ọ t