Đường chính khúc và đường tiệm cận trên siêu mặt trong En

0 MỤC LỤC Trang MỤC LỤC…………………………………………………………………………… MỞ ĐẦU …………………………………………………………………………… NỘI DUNG CHƯƠNG 1: ÁNH XẠ WEINGARTEN TRÊN SIÊU MẶT TRONG En 1.1 Một số kiến thức siêu mặt En …………………….………… 1.2 Ánh xạ Weingarten siêu mặt En ………………………… CHƯƠNG 2: ĐƯỜNG CHÍNH KHÚC TRÊN SIÊU MẶT TRONG E n 15 2.1 Đường khúc siêu mặt En 15 2.2 Một số tính chất đường khúc siêu mặt 17 2.3 Đường khúc số mặt thường gặp E3 25 CHƯƠNG 3: ĐƯỜNG TIỆM CẬN TRÊN SIÊU MẶT TRONG En 31 3.1 Đường tiệm cận siêu mặt En 31 3.2 Một số tính chất đường tiệm cận siêu mặt 32 3.3 Đường tiệm cận số mặt E3 38 KẾT LUẬN 41 TÀI LIỆU THAM KHẢO 42 MỞ ĐẦU Trong môn Hình học vi phân, lí thuyết đường mặt nói vấn đề quan trọng, có nhiều ứng dụng không toán học, vật lý, thực tiễn sống mà ngành khoa học khác có liên quan Vì vậy, việc tiếp tục tìm hiểu nội dung liên quan đến kiến thức toán đường mặt siêu mặt không gian Euclid n-chiều cần quan tâm, nghiên cứu nhiều Trên sở kiến thức đường mặt hình học vi phân cổ điển, với mục đích tập dượt nghiên cứu khoa học, đề tài sâu vào nghiên cứu số đường đặc biệt mặt không gian chiều tổng quát siêu mặt không gian nhiều chiều Xuất phát từ lí trên, chọn nghiên cứu đề tài: “Đường khúc đường tiệm cận siêu mặt En” Trong luận văn này, trình bày làm sáng tỏ vấn đề đường khúc đường tiệm cận siêu mặt không gian Euclid n-chiều số ví dụ đường khúc đường tiệm cận mặt không gian Euclid E3 Nội dung luận văn trình bày chương: Chương Ánh xạ Weingarten siêu mặt En Chương Đường khúc siêu mặt En Chương Đường tiệm cận siêu mặt En - Chương 1: Trình bày số kiến thức siêu mặt, khái niệm liên quan đến siêu mặt En như: mảnh tham số, mảnh hình học, tích  n có hướng không gian vectơ E , ánh xạ Weingarten, độ cong Gauss, độ cong trung bình, dạng I, II, công thức Meusnier, Euler siêu mặt En chứng minh số tính chất liên quan để tạo thuận lợi cho việc trình bày chương - Chương 2: Trình bày định nghĩa xây dựng phương trình dạng vi phân họ đường khúc siêu mặt En Chứng minh số tính chất đường khúc siêu mặt Minh họa số ví dụ cụ thể Từ áp dụng để tìm đường khúc để viết phương trình đường khúc En số mặt thường gặp E3 - Chương 3: Trình bày định nghĩa phương trình dạng vi phân họ đường tiệm cận siêu mặt Chứng minh số tính chất đường tiệm cận siêu mặt Minh họa số ví dụ cụ thể Từ áp dụng để tìm đường tiệm cận để viết phương trình đường tiệm cận En số mặt thường gặp E3 Mặc dù có nhiều cố gắng, luận văn không tránh khỏi hạn chế, thiếu sót, mong nhận ý kiến đóng góp Quý thầy, cô giáo bạn đọc để đề tài hoàn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn! Tháng năm 2013 Tác giả CHƯƠNG ÁNH XẠ WEINGARTEN TRÊN SIÊU MẶT TRONG En 1.1 Một số kiến thức siêu mặt En 1.1.1 Mảnh tham số k - chiều En Định nghĩa: Ánh xạ r từ tập U mở Rk (k ≤ n-1) vào không gian Euclid n chiều En r: U  En (u1 , u2 , , uk )  r (u1 , u2 , , uk ) gọi mảnh tham số k-chiều En  Với điểm (u10 , u 20 , , u n01 )  U , ui  i  1, n  1 thay đổi khoảng J  R  u i0  J  cung tham số u i  r ( u10 , , u i0 , , u n01 ) gọi đường tọa độ u i qua ( u10 , u 20 , , u n01 )  Điểm (u10 , u 20 , , u n01 )  U gọi điểm quy mảnh tham số r điểm r dìm, tức r u ' u1  , u 20 , , u no1  , ru'2  u10 , u 20 , , u n01  , , ru'n 1  u10 , u 20 , , u n01  độc lập tuyến tính  Điểm ( u 10 , u 20 , , u n0  )  U gọi điểm không quy (điểm kỳ dị) mảnh tham số r r  u ' u1  , u 20 , , u no1  , ru'2  u10 , u 20 , , u n01  , , ru'n 1  u10 , u 20 , , u n01  phụ thuộc tuyến tính  Mảnh tham số r gọi quy điểm điểm quy  Tại điểm quy ( u 10 , u 20 , , u n0  )  U mảnh tham số r, siêu phẳng qua điểm p0  u10 , u20 , , un01  với không gian vectơ phương sinh hệ vectơ ' ' ' r u1  u10 , u20 , , uno1  , r u2  u10 , u20 , , un01  , , r un1  u10 , u20 , , un01  gọi siêu phẳng tiếp xúc S P 1.1.2 Mảnh hình học k - chiều En Định nghĩa: Tập S En gọi mảnh hình học k-chiều En ảnh dìm, đồng phôi lên ảnh r: U  E n từ tập mở U Rk (k ≤ n-1) vào En , r gọi tham số hóa mảnh hình học S Mảnh hình học gọi mảnh đơn quy 1.1.3 Siêu mặt En Tập không rỗng S En gọi đa tạp n-1 chiều En điểm p  S có lân cận mở S (tức giao S với tập mở En chứa điểm đó) mảnh hình học n-1 chiều Mỗi tham số hóa mảnh hình học gọi tham số hóa địa phương S Ta gọi đa tạp n-1 chiều (được định nghĩa trên) siêu mặt En hay siêu mặt  n 1.1.4 Tích có hướng không gian vectơ E 1.1.4.1 Định nghĩa    Hệ e1 ,e2 , , en sở trực chuẩn    n E n  n 1 E vectơ , biểu diễn tọa độ vectơ a i  qua n 1   i 1 i 1    sở e1 , e , , e n là:       a1  a11 e1  a12 e2   a1n en ;     a2  a21 e1  a22 e2   a2 n en ; ……………………………….…… ;     an1  an1 e1  an1 e2   an1 n en n Tích có hướng n-1 vectơ E vectơ, ký hiệu là:     a  a1  a2   an 1 , xác định sau:  a12 a13   a a23 a   22    an12 an13 a1n a2n an1n , a11 a12 a13 a23 a1n a2n an11 an13 an1n , ,(1)n1 a11 a21 a12 a22 an11 an12 a1n1   a2n1    an1n  1.1.4.2 Các tính chất  Tích có hướng n-1 vectơ có tính chất tuyến tính thành phần  n  Tích có hướng n-1 vectơ  có tính chất phản giao hoán      n  Giả sử a1 , , an 1 n-1 vectơ  Hệ a1 , , an 1 phụ thuộc      tuyến tính a  a1  a   an 1         n  Giả sử a1 , , a n 1 n-1 vectơ  a  a1  a2   an 1     Khi a trực giao với vectơ a i , i  1, n  (hay a  a i )   1.1.5 Vectơ tiếp xúc với siêu mặt S p  n Cho S siêu mặt E , p điểm S Cung tham số  : I  S t   t  đường cong S t0  I ( I  R)   t0   p , ta gọi vectơ tiếp xúc với  p ánh xạ: Vp : F( p )  R f  d f   (t ) dt t  t0 gọi vectơ tiếp xúc với siêu mặt (hay đa tạp) S p, ký hiệu  '  t0  , F( p ) tập hàm siêu mặt S khả vi p Nếu r:U  S  u1 , u2 , , un1   r  u1 , u2 , , un1  tham số hóa siêu mặt S  En   r  u  i    Ru i   n 1 R  ui i 1 ( đó: ru'  R u  r ), i i trường mục tiêu tiếp xúc S n 1        ui  i 1 trường mục tiêu tắc U  R n 1 Khi đó: n  r  ru'1  ru'2  .ru'n 1 ru'1  ru'2  .ru'n 1 trường vectơ pháp tuyến đơn vị S Không gian vectơ tiếp xúc S p ký hiệu TpS Đường thẳng qua điểm p0 thuộc S vuông góc với siêu phẳng tiếp xúc S p0 gọi pháp tuyến S p0 1.1.6 Mặt định hướng Mặt định hướng không gian tiếp xúc điểm xác định hướng cho mặt phủ họ mảnh hình học với tham số hóa địa phương r : U  R k  E n ,   I mà ánh xạ tiếp xúc chúng ánh xạ hướng tắc Rk thành hướng xác định không gian tiếp xúc mặt Một mặt định hướng xác định hướng không gian tiếp xúc gọi mặt định hướng Ta có tính chất sau: Siêu mặt S En định hướng tồn trường pháp vectơ đơn vị khả vi S 1.2 Ánh xạ Weingarten siêu mặt En 1.2.1 Định nghĩa Giả sử S đa tạp n-1 chiều định hướng En (hay siêu mặt định hướng En ) có hướng xác định trường vectơ pháp tuyến đơn vị n S Với   Tp S ta có:   n.n    1    n.n   n.D n  n.D n  2n.D n Suy : 2n.D n  ;  n  D n ;  D n  Tp S Ta có ánh xạ hp: Tp S  Tp S   h p     D n (TpS không gian vectơ tiếp xúc S p) gọi ánh xạ Weingarten p Lưu ý: Cho cung tham số  : J  S t    t   '  to      ' hp   vectơ tiếp xúc với S E p hp     n     to  n 1.2.2 Mệnh đề Ánh xạ h p xác định ánh xạ tuyến tính, đối xứng Chứng minh: i) hp ánh xạ tuyến tính: Với a1 , a2  R; 1 ,   Tp S , ta có: h p ( a1  a 2 )   D a1  a 2 n =   Da  n  Da  n  1 2 =   a1D n  a2 D n  = a1D n  a2 D n = a1hp 1   a2 hp   Vậy hp ánh xạ tuyến tính ii) hp đối xứng: Ta cần chứng minh: với 1 ,  , ,  n1  Tp S h p  i   j   i h p  j  (1), với i, j  1, n  i  j Thật vậy, lấy tham số hóa địa phương r :U  S  u1 , u2 , , un1   r  u1 , u2 , , un1  Đặt: ru'1  u1 , u , , un 1   Ru1  r  u1 , u2 , , u n 1   ; ru'2  u1 , u2 , , u n1   Ru2  r  u1 , u2 , , un 1   ; …………………………………….; ru'n1  u1 , u , , un 1   Run1  r  u1 , u , , un 1   R u1 , R u , , R u n 1  sở TpS Ta cần chứng minh đẳng thức (1) với vectơ sở   TpS, tức ta cần chứng minh: h p  Ru  Ru  Ru h p Ru i ui    h p Ru i R u j   nên suy  D n  r  d ui i D n  r  ; d ui Ta có: h p  Ru    D R n   i j ( n  r ).ru'  ; ru' j j D n  r  ' ru j   n  r  ru''j u i  d ui ;    h p Ru i R u j    n  r  ru''i u j   Chứng minh tương tự, ta có: h p Ru Ru    n  r  ru'' u j i j i '' '' Do r hàm khả vi nên ru j ui  ruiu j   Vậy hp  Ru  Ru  hp Ru Ru hay hp đối xứng∎ i j j i 1.2.3 Định nghĩa: n  Cho S siêu mặt định hướng E , điểm p  S , hp: T p S  T p S   hp     D n , j ánh xạ Weingarten p Vì hp ánh xạ tuyến tính, đối xứng nên có giá trị riêng số thực  Các giá trị riêng hp gọi độ cong S p Mỗi vectơ riêng hp xác định phương gọi phương S p  Nếu hp có n-1 giá trị riêng thực khác đôi k1, k2, , kn-1, (ki kj , i ≠ j ) n-1 phương hoàn toàn xác định đôi vuông góc với nên tồn {e1, e2, ,en-1} hệ (n-1) vectơ riêng trực chuẩn TpS: h p h p e1   e   k e1 ; k 2e2 ; ; h p e n    k n 1e n 1  Nếu hp có giá trị riêng thực bội n-1, k1 = k2 =… = kn-1 vectơ TpS vectơ riêng hay phương phương Khi đó, với sở trực chuẩn {e1, e2, ,en-1} TpS thì: h p h p e1   e   k 1e1 ; k 2e2 ; ; h  vê 't hp n 1 p e n 1   k n 1e n 1 gọi độ cong trung bình S p ký hiệu H(p)  Định thức hp gọi độ cong Gauss S p ký hiệu K(p) Giả sử hp có n-1 giá trị riêng k1, k2,….,kn-1 thì: H(p)= k1 k k n 1 n 1 K(p) = k1k2 .kn 1 28  u  C1   v  C2 (với C1 , C2 số) Vậy mặt Eliptic, đường khúc đường tọa độ: (với C1 , C2 số) u = C1 v = C2 2.3.3 Mặt trụ Parabolic Tham số hóa mặt có dạng: (u, v)  r (u, v)  (2 pu, pu , v)  p  0 Ta có: ru'  (2 p, pu, 0) ; rv'  (0, 0,1) ; ruu''  (0, p,0) ; ruv''  (0,0, 0) ; rvv''  (0, 0,0) ; (n  r )  ru'  rv'  2u , 1,   ru'  rv' 4u  Do đó: E  ru' ru'  p  16 p 2u ; F  ru' rv'  ; G  rv' rv'  ; L  ( n  r ).ruu"  4 p 4u  ; M  ( n  r ).ruv"  ; N  ( n  r ).rvv"  Phương trình vi phân đường khúc có dạng là: Ldu  Mdv Edu  Fdv Mdu  Ndv Fdu  Gdv 0 29 4p  4 p du 4u   16 p 2u  du  0; dv  du.dv  ;  du   ;  dv  u  C1  v  C2 (với C1 , C2 số) Vậy mặt Parabolic, đường khúc đường tọa độ: u = C1 v = C2 (với C1 , C2 số) 2.3.4 Mặt trụ Hyperbolic Tham số hóa mặt có dạng: (u, v)  r (u, v)  ( achu, bshu, v) Ta có: ru'  (ashu, bchu, 0) ; rv'  (0, 0,1) ; ruu''  ( achu, bshu,0) ; ruv''  (0,0, 0) ; rvv''  (0, 0,0) ; ru'  rv'  bchu, ashu,0 (n  r )  ' '  ru  rv a2 sh2u  b2ch2u Do đó: E  ru' ru'  a2sh2u  b2ch2u ; F  ru' rv'  ; G  rv' rv'  ; L  (n  r ).ruu"  a sh2u  b2 ch2u ; 30 M  ( n  r ).ruv"  ; N  ( n  r ).rvv"  Phương trình vi phân đường khúc có dạng là: Ldu  Mdv Edu  Fdv Mdu  Ndv Fdu  Gdv  2 2 du a sin u  b cos u 0; a sin u  b cos2 u  du 0; dv  du.dv  ;  du  ;   dv   u  C1   v  C2 (với C1 , C2 số) Vậy mặt Hyperbolic, đường khúc đường tọa độ: u = C1 v = C2 (với C1 , C2 số) 31 CHƯƠNG ĐƯỜNG TIỆM CẬN TRÊN SIÊU MẶT TRONG En 3.1 Đường tiệm cận siêu mặt En 3.1.1 Định nghĩa Phương xác định α  TpS - {0} gọi phương tiệm cận S p độ cong pháp dạng S theo phương 0, tức k    Đường siêu mặt S En mà phương tiếp xúc điểm phương tiệm cận S điểm gọi đường tiệm cận S 3.1.2 Phương trình dạng vi phân họ đường tiệm cận tham số hóa địa phương siêu mặt S Giả sử r : U → S (u1, u2, ,un-1)  r (u1, u2, ,un-1) tham số hóa địa phương siêu mặt S En Khi đó:   a1Ru1  a2 Ru2   an1Run1 với a1, a2, ,an-1  R; a1  a2   an 1  ; Ru1  ru'1 ; Ru2  ru'2 ; .; Run1  ru'n1 ; xác định phương tiệm cận S p = r (u1, u2, ,un-1) k    ;  II    ;  hp     ;   h p a1 Ru1  a2 Ru   an 1 Ru n 1   a R u1   a Ru   a n 1 Ru n 1  ;    a1hp ( Ru1 )  a2 hp ( Ru2 )   an 1hp ( Run1 ) a1Ru1  a2 Ru2   an 1Run1  ;   a1 (n  r )'u1  a2 (n  r )'u2   an 1 (n  r )u' n1  a r ' u1   a2ru'2   an 1ru'n1  ;  a12 (n  r )u' ru'1  a1a2 ( n  r )u' ru'2   a1an 1 (n  r ) 'u1 ru'n1  a1a2 ( n  r )'u2 ru'1  a22 ( n  r )'u2 ru'2   a2 an 1 (n  r )u' ru'n1 + …………………………………………………… 32 ' ' ' ' ' ' aa n1(n  r)un1 ru1  a2an1(n  r)un1 ru2   (an1) (n  r)un1 run1  ;  a12 h11  a1 a h1   a1 a n 1 h1 ( n 1) ;  a1 a h21  a 22 h2   a a n 1 h2 ( n 1) + ……………………………………………  a1a n 1h( n 1)1  a2 a n 1h( n 1)   ( a n 1 ) h( n 1)( n 1)  ;  a12 h11  a1 a h1   a1 a n 1 h1 ( n 1)  a 22 h22  a a n 1 h2 ( n 1)   ( a n 1 ) h( n 1)( n 1)  Đặt: a1  du1 , dt a2  du n 1 du , ., a n 1  dt dt đẳng thức viết lại là:  (du1 )2 h11  2du1du2 h1   2du1dun1h1 ( n1)  (du2 )2 h22  du du n 1 h2 ( n 1)   ( du n 1 ) h( n 1)( n 1)  (*) (*) gọi phương trình dạng vi phân họ đường tiệm cận siêu mặt S En 3.2 Một số tính chất đường tiệm cận siêu mặt 3.2.1 Mệnh đề Gọi hii hệ số dạng II siêu mặt S tham số hóa địa phương (u1, u2, ,un-1)  r (u1, u2, ,un-1) Khi đó: hii = đường tọa độ ui đường tiệm cận Chứng minh:    Vì hii =  II rui'  0;   k rui'  ;    rui' phương tiệm cận S (u1, u2, ,un-1);  ui đường tiệm cận S, i 1, n 1∎ 33 3.2.2 Mệnh đề Dọc đường tiệm cận γ siêu mặt S, tồn độ cong không âm độ cong không dương, P   Chứng minh: Gọi {e1, e2, .,en-1} sở trực chuẩn TpS gồm vectơ riêng hp Từ công thức Euler: α = a1e1 + a2e2 + .+ an-1en-1 n 1 với a12  a22   an21  (hay a i  ); i 1 k    k a12  k a 22   k n 1 an21 (trong k , k , , k n1 độ cong S p) Dọc đường tiệm cận γ S, độ cong pháp dạng theo phương tiếp xúc γ 0: k     k 1a12  k a22   k n 1an21  ;  Tồn độ cong không âm độ cong không dương∎ 3.2.3 Mệnh đề Mỗi cung thẳng nằm siêu mặt S đường tiệm cận S Chứng minh: Giả sử γ cung nằm siêu mặt S γ cho tham số hóa:  :J  S t   t  Vì γ cung thẳng nên k(t0) = Mặt khác, theo công thức Meusnier thì: k  t  N  t  n    t    k T  t    k T  t     γ đường tiệm cận siêu mặt S∎ 34 3.2.4 Mệnh đề Nếu đường cong γ siêu mặt S En có độ cong khác điểm γ đường tiệm cân S 2-phẳng mật tiếp γ thuộc vào siêu phẳng tiếp xúc S Chứng minh: () Giả sử γ đường tiệm cận S γ cho tham số hóa:  :J  S t   t  Vì γ đường tiệm cận nên k T  s0    Theo công thức Meusnier thì: k  s  N  s  n    t    k T  t    Mặt khác, k  s   nên N  s  n    t    ;  N  s   n   t  Mà n    t     '  s  ;  n   t   vuông góc với 2-phẳng mật tiếp γ s0 ;  2-phẳng mật tiếp γ s0 thuộc vào siêu phẳng tiếp xúc với S s0 () Giả sử 2-phẳng mật tiếp γ s0 thuộc vào TpS  N  s  n    t    0;  k T  s0    ;  γ đường tiệm cận siêu mặt S∎ 3.2.5 Mệnh đề Siêu mặt S mà độ cong dấu đường tiệm cận Chứng minh: 35 Giả sử S siêu mặt có độ cong dấu: Gọi {e1, e2, .,en-1} sở trực chuẩn TpS gồm vectơ riêng hp Từ công thức Euler: α = a1e1 + a2e2 + .+ an-1en-1 n 1 với a12  a22   an21  (hay i a  ); i 1 k    k 1a12  k a22   k n 1an21 (trong k , k , , k n1 độ cong S p) Vì k i , i  1, n  dấu nên k   dấu với ki , i  1, n  ;  k    với α  TpS – {0};  α không phương tiệm cận S;  siêu mặt S đường tiệm cận∎ 3.2.6 Hệ Trong E3, mặt S mà điểm điểm Eliptic đường tiệm cận Thật vậy: Giả sử S mặt E3 mà điểm điểm Eliptic k k > ( k , k độ cong S p) Lấy sở trực chuẩn {e1, e2} TpS gồm vectơ riêng hp tương ứng với giá trị riêng k , k Với   cos  e1  sin  e2  Tp S  0 , độ cong pháp dạng S theo phương xác định α là: k ( )  k cos   k sin  Vì k i , i  1, n  dấu; Từ đó, k , k dấu k   dấu với α  TpS –{0}  k    với α  TpS – {0}; 36  α không phương tiệm cận S;  mặt S đường tiệm cận 3.2.7 Hệ Trong E3, điểm mặt cầu điểm eliptic Thật vậy: Giả sử S mặt cầu bán kính R, n trường vectơ pháp tuyến đơn vị hướng S Với α  TpS - {0}  :J  S (J  R) t    t  cung tham số S Đặt    '  t0    o n  R Ta có   Do đó: hp ( )   D n nên    n      n  '  '  R '  t   '  t0    R R Ta gọi {e1, e2} sở trực chuẩn TpS gồm vectơ riêng hp ứng với độ cong S p thì:   h p e1   R e1  h e   e  p R  Độ cong Gauss mặt cầu S p là: K  p  > 0, R2 p  S ;  Mọi điểm S điểm eliptic 3.2.8 Ví dụ Trong E3, mặt S mà điểm điểm Parabolic mà không 37 điểm dẹt điểm S có đường tiệm cận qua Thật vậy: Giả sử S mặt E3 mà điểm pS điểm Parabolic k  k  ( k , k độ cong S p) Lấy sở trực chuẩn {e1, e2} TpS gồm vectơ riêng hp tương ứng với giá trị riêng k , k Với   cos  e1  sin  e2  Tp S  0 , độ cong pháp dạng S theo phương xác định α là: k ( )  k cos  ; k     cos   với α  TpS – {0} Vậy pS phương xác định α =e2 phương tiệm cận S Do siêu mặt S có đường tiệm cận qua 3.2.9 Ví dụ Trong E3, mặt S mà điểm điểm Hyperbolic điểm S có hai đường tiệm cận Thật vậy: Giả sử S mặt E3 mà điểm pS điểm Hyperbolic k k < ( k , k độ cong S p) Lấy sở trực chuẩn {e1, e2} TpS gồm vectơ riêng hp tương ứng với giá trị riêng k , k Theo công thức Euler, tồn   cos  e1  sin  e2  Tp S  0 để độ cong pháp dạng S theo phương xác định α là: k ( )  k cos   k sin   Thật vậy, với  k 1  cos 1e1  sin 1e1  Tp S  0 ,  sin 1     k1  k   ;   38  k   cos 2 e2  sin 2 e2  Tp S  0 ,  sin 2      k1  k      Thì k 1   k    ;  1 ,  hai phương tiệm cận S p Vậy điểm pS, siêu mặt S có hai phương tiệm cận 3.3 Đường tiệm cận số mặt E3 Trong E3, mặt S có tham số hóa địa phương là: r:U  S (u, v)  r (u, v) phương trình vi phân họ đường tiệm cận tham số hóa địa phương mặt S là: ( du1 ) h11  du1 du h1  ( du ) h22  (*) Nếu tất hij 0, tức đọ cong pháp dạng đường điểm đường mặt S đường tiệm cận Đặt: h11 = L; h12 = M h22 = N; du1 = du du2 = dv Vậy phương trình (*) trở thành: L(du)2 + 2Mdudv + N(dv)2 = 3.3.1 Đường tiệm cận mặt trụ Trong E3, mặt trụ có phương trình biểu diễn là: x   y  z   a cos u a sin u v Tham số hóa mặt có dạng: (u, v)  r (u, v)  (a cos u, a sin u, v) Ta có: ru'  (a sin u, a cos u ,0) ; rv'  (0, 0,1) ; 39 ruu''  ( a cos u,  a sin u, 0) ; ruv''  (0,0, 0) ; rvv''  (0, 0,0) ; (n  r )  ru'  rv'  ru'  rv'  a cos u , a sin u,  2 2   a cos u, a sin u ,  a sin u  a cos u a Do đó: L  ( n  r ).ruu"   a cos u , a sin u ,  ; a M  ( n  r ).ruv"  ; N  (n  r ).rvv"  Phương trình vi phân họ đường tiệm cận mặt trụ có dạng: Ldu2 + 2Mdudv + Ndv2 =   a du  ;   a du  ;  du  ;  u  C , với C = const, a R Vậy mặt trụ, đường tiệm cận đường tọa độ: u  C , với C = const, a R 3.3.2 Đường tiệm cận mặt nón Trong E3, mặt nón có phương trình biểu diễn là:  x  v cos u   y  v sin u z  v  Tham số hóa mặt có dạng: (u, v)  r (u, v)  (v cos u, v sin u, v) Ta có: ru'  (v sin u, v cos u ,0) ; 40 rv'  (cos u,sin u,1) ; ruu''  ( v cos u, v sin u,0) ; ruv''  ( sin u,cos u,0) ; rvv''  (0, 0,0) ; (n  r )  ru'  rv'  v cos u , v sin u , v   ' ' ru  rv v Do đó: L  ( n  r ).ruu"   v; M  ( n  r ).ruv"  ; N  (n  r ).rvv"  Phương trình vi phân họ đường tiệm cận mặt nón có dạng: Ldu2 + 2Mdudv + Ndv2 = 0;  v du  ; v 0  u  C (với C = const) Vậy mặt nón, đường tiệm cận đường tọa độ: v =0 u = C, với C = const 41 KẾT LUẬN Trong luận văn này, trình bày kết sau đây: - Trình bày cách hệ thống chứng minh tính chất ánh xạ Weingarten độ cong chính, độ cong pháp dạng (Mệnh đề 1.2.2, Ví dụ 1.2.4) - Chứng minh chi tiết tính chất số ví dụ cụ thể đường khúc (Mệnh đề 2.2.1, Mệnh đề 2.2.3, Mệnh đề 2.2.6, Mệnh đề 2.2.7, Mệnh đề 2.2.8, Mệnh đề 2.2.9, Mệnh đề 2.2.10, Ví dụ 2.2.2, Ví dụ 2.2.4, Ví dụ 2.2.5) - Chỉ số đường khúc mặt thường gặptrong E3 như: mặt đinh ốc đứng, mặt trụ Eliptic, mặt trụ Parabolic, mặt trụ Hyperbolic - Chứng minh chi tiết tính chất số ví dụ cụ thể đường tiệm cận (Mệnh đề 3.2.1, Mệnh đề 3.2.2, Mệnh đề 3.2.3, Mệnh đề 3.2.4, Mệnh đề 3.2.5, Hệ 3.2.6, Hệ 3.2.7, Ví dụ 3.2.8, Ví dụ 3.2.9) - Tìm phương trình tiệm cận số mặt E3 như: mặt trụ, mặt nón 42 TÀI LIỆU THAM KHẢO TIẾNG VIỆT [1] Văn Như Cương, Tạ Mân (1998) , Hình học Afin Ơclit, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Nguyễn Thúc Hào (1968), Hình học vi phân (Tập I, II), NXB Đại học Giáo dục [3] Nguyễn Hữu Quang, Ngô Đình Quốc, Nguyễn Văn Bồng (2008), Hình học vi phân, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [4] Đoàn Quỳnh (2009), Hình học vi phân, NXB Đại học Sư phạm [5] Đoàn Quỳnh, Trần Đình Viện, Trương Đức Hinh, Nguyễn Hữu Quang (1993), Bài tập Hình học vi phân, NXB Giáo dục TIẾNG ANH [6] Gray, Alfred (1998) Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica (ấn 2) [7] M.P.do Carmo (1976), Differential Geometry of Curves and Surfaces, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ [8] Theodore Shifrin (2012), Differential geometry: a first course in curves and surfaces, University of Georgia [...]... độ cong chính k 1 , k 2 , , k n  1 khác dấu thì có α  TpS – {0} để k    0 ∎ 15 CHƯƠNG 2 ĐƯỜNG CHÍNH KHÚC TRÊN SIÊU MẶT TRONG En 2.1 Đường chính khúc trên siêu mặt trong En 2.1.1 Định nghĩa Đường trên siêu mặt S trong En mà phương tiếp xúc tại mọi điểm là phương chính của S tại điểm đó gọi là một đường chính khúc của S Cụ thể:  : J  S t   t  xác định một đường chính khúc khi và chỉ khi...  '   k  ' ;   ' là phương chính tại siêu mặt của điểm đang xét hay γ là đường chính khúc của siêu mặt S∎ 2.2.9 Mệnh đề Trong En cho 2 siêu mặt S và S có hướng xác định tương ứng bởi các trường vectơ pháp tuyến đơn vị n và n Nếu đường chính khúc γ thuộc vào S  S thì góc tạo bởi 2 siêu mặt S và S dọc γ là không đổi Chứng minh: 24 Giả sử γ là đường chính khúc của S, γ được xác định bởi cung... En 3.1 Đường tiệm cận trên siêu mặt trong En 3.1.1 Định nghĩa Phương xác định bởi α  TpS - {0} gọi là phương tiệm cận của S tại p nếu độ cong pháp dạng của S theo phương đó là 0, tức k    0 Đường trên siêu mặt S trong En mà phương tiếp xúc tại mọi điểm là phương tiệm cận của S tại điểm đó gọi là một đường tiệm cận của S 3.1.2 Phương trình dạng vi phân của họ các đường tiệm cận trong tham số... không đồng thời bằng 0, nên ta có: H H i j Gi  0 G j với ij và i , j  1, n  1 là phương trình dạng vi phân họ các đường chính khúc của siêu mặt S trong En 2.2 Một số tính chất của đường chính khúc trên siêu mặt 2.2.1 Mệnh đề Nếu mọi điểm của siêu mặt S đều là điểm rốn thì mọi đường trên S là đường chính khúc Chứng minh: Vì mọi điểm của siêu mặt S là điểm rốn;  hp có đúng một giá trị riêng thực bội... phương chính;  Mọi đường trên S đều là đường chính khúc 2.2.2 Ví dụ a) S là siêu phẳng thì mọi đường trên S đều là đường chính khúc Thật vậy, vì S là siêu phẳng nên trường vectơ pháp tuyến đơn vị n của S là trường vectơ song song nên hp = 0, với pS  Mọi điểm của S đều là điểm rốn Do đó, theo mệnh đề 2.2.1 thì mọi đường trên S là đường chính khúc 18 b) S là siêu cầu thì mọi đường trên S đều là đường. .. thẳng nằm trên siêu mặt S là một đường tiệm cận của S Chứng minh: Giả sử γ là cung nằm trên siêu mặt S và γ được cho bởi tham số hóa:  :J  S t   t  Vì γ là cung thẳng nên k(t0) = 0 Mặt khác, theo công thức Meusnier thì: k  t 0  N  t 0  n    t 0    k T  t 0    k T  t 0    0  γ là đường tiệm cận của siêu mặt S∎ 34 3.2.4 Mệnh đề Nếu đường cong γ trên siêu mặt S trong En có độ... đó: hii = 0 khi và chỉ khi các đường tọa độ ui là các đường tiệm cận Chứng minh:    Vì hii = 0  II rui'  0;   k rui'  0 ;    rui' là phương tiệm cận của S tại (u1, u2, ,un-1);  ui là đường tiệm cận của S, i 1, n 1∎ 33 3.2.2 Mệnh đề Dọc đường tiệm cận γ của siêu mặt S, tồn tại độ cong chính không âm và độ cong chính không dương, P   Chứng minh: Gọi {e1, e2, . ,en- 1} là một cơ sở... các đường tọa độ của mặt S là đường chính khúc 21 2.2.6 Mệnh đề Trong E 4 , với mục tiêu trực chuẩn (O; e1, e2, e3, e4), xét siêu mặt tròn xoay tạo thành khi quay mặt phẳng X  u1, u2    u1 , u2 , au1  bu2 ,0 quanh mặt phẳng  O , e1 , e2  Khi đó, các đường tọa độ của siêu mặt tròn xoay đã cho là đường chính khúc khi và chỉ khi a=0 hoặc b=0, với a, b là các hằng số Chứng minh: Gọi S là siêu mặt. .. tiếp của γ tại s0 thuộc vào siêu phẳng tiếp xúc với S tại s0 () Giả sử 2-phẳng mật tiếp của γ tại s0 thuộc vào TpS  N  s 0  n    t 0    0;  k T  s0    0 ;  γ là đường tiệm cận của siêu mặt S∎ 3.2.5 Mệnh đề Siêu mặt S mà trên nó các độ cong chính cùng dấu thì không có đường tiệm cận Chứng minh: 35 Giả sử S là siêu mặt có các độ cong chính cùng dấu: Gọi {e1, e2, . ,en- 1} là một cơ sở trực... thì đẳng thức trên được viết lại là:  (du1 )2 h11  2du1du2 h1 2   2du1dun1h1 ( n1)  (du2 )2 h22  2 du 2 du n 1 h2 ( n 1)   ( du n 1 ) 2 h( n 1)( n 1)  0 (*) và (*) được gọi là phương trình dạng vi phân họ các đường tiệm cận của siêu mặt S trong En 3.2 Một số tính chất của đường tiệm cận trên siêu mặt 3.2.1 Mệnh đề Gọi hii là các hệ số của dạng cơ bản II của siêu mặt S trong tham số ...    ∎ 15 CHƯƠNG ĐƯỜNG CHÍNH KHÚC TRÊN SIÊU MẶT TRONG En 2.1 Đường khúc siêu mặt En 2.1.1 Định nghĩa Đường siêu mặt S En mà phương tiếp xúc điểm phương S điểm gọi đường khúc S Cụ thể:  : J... vi phân họ đường tiệm cận siêu mặt Chứng minh số tính chất đường tiệm cận siêu mặt Minh họa số ví dụ cụ thể Từ áp dụng để tìm đường tiệm cận để viết phương trình đường tiệm cận En số mặt thường... (với C1 , C2 số) Vậy mặt Hyperbolic, đường khúc đường tọa độ: u = C1 v = C2 (với C1 , C2 số) 31 CHƯƠNG ĐƯỜNG TIỆM CẬN TRÊN SIÊU MẶT TRONG En 3.1 Đường tiệm cận siêu mặt En 3.1.1 Định nghĩa Phương