Độ cong trung bình trên siêu mặt trong En

LỜI NÓI ĐẦU Hình học vi phân là một bộ môn có nhiều ứng dụng trong toán học vàthực tiễn, trong đó các kiến thức cơ bản về độ cong và mặt trong không gianEuclid 3-chiều đã được trình bày

LỜI NÓI ĐẦU

Hình học vi phân là một bộ môn có nhiều ứng dụng trong toán học vàthực tiễn, trong đó các kiến thức cơ bản về độ cong và mặt trong không gianEuclid 3-chiều đã được trình bày khá chi tiết

Vì vậy, với mục đích tập dượt nghiên cứu khoa học về độ cong màtrong đó lý thuyết độ cong nói chung và độ cong trung bình nói riêng đượctrình bày trong không gian 3 chiều, vậy ta có thể mở rộng một số kết quả đãbiết trong Hình học vi phân cổ điển cho không gian nhiều chiều được không?

Với những lí do như đã trình bày trên, chúng tôi lựa chọn đề tài của

luận văn là “Độ cong trung bình trên siêu mặt trong E n”

Trong luận văn này, chúng tôi đã tập hợp các khái niệm và chứng minhcác tính chất về độ cong trung bình trên siêu mặt trong En và chứng minh một

số mặt là mặt cực tiểu

Luận văn này được trình bày với bố cục như sau:

Chương 1: Một số khái niệm cơ bản và ánh xạ Weingarten trên siêu mặt trong

En để làm cơ sở cho chương 2

Chương 2: Độ cong trung bình trên siêu mặt trong không gian Euclid

Đây là chương thể hiện các kết quả chính của luận văn, trình bày chitiết định nghĩa dạng cơ bản thứ I và thứ II, công thức tính độ cong trung bìnhqua hai dạng cơ bản, minh họa bằng một số ví dụ cụ thể, các khái niệm vàtính chất của độ cong trung bình trên siêu mặt trong En, khái niệm siêu mặtcực tiểu và chứng minh một số mặt là mặt cực tiểu

Luận văn này được thực hiện và hoàn thành tại khoa toán trường ĐạiHọc Vinh, dưới sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo TS NGUYỄN DUYBÌNH Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy, người đã hướng dẫntác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu.

Nhân dịp hoàn thành luận văn, tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy

cô giáo trong bộ môn Hình học Tôpô, các thầy cô trong khoa Toán đã nhiệttình giảng dạy, góp ý và tạo điều kiện cho tác giả trong quá trình học tập vàthực hiện luận văn

Vinh, tháng 7 năm 2013

Tác giả

Trương Hoàng Giang

CHƯƠNG 1: MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VÀ ÁNH

XẠ WEINGRTEN TRÊN SIÊU MẶT TRONG En

I.1 Tích có hướng của (n – 1) vectơ trong E n.

( , , ).

n n

i) u ur r1∧ ∧ ∧2 λuri∧ ∧ urn− 1=λ(u ur r1∧ ∧ ∧ ∧ ∧2 uri urn− 1);

1 ( i i) n 1 ( 1 i n 1) ( 1 i n 1)

ur ∧ ∧ + ∧ ∧u ur ur ur − = ∧ ∧ ∧ ∧ur ur ur − + ur ∧ ∧ ∧ ∧uur ur − Chứng minh: Bằng kiểm tra trực tiếp ta có được kết quả

trực giao với các vectơ u iri( 1, = n− 1).

I.2 Siêu mặt trong E n.

I.2.1Mảnh tham số k-chiều trong E n.

( ,u u , ,u n− ) ∈U được gọi là điểm chính quy của mảnh tham số r

nếu tại điểm đó r là một dìm, tức là:

(u u, , ,u n−) ∈U được gọi là điểm không chính quy (điểm kỳ

dị) của mảnh tham số r nếu

• Mảnh tham số r gọi là chính quy nếu mọi điểm của nó đều là điểm chínhquy

• Tại điểm chính quy 0 0 0

1 2 1

(u u, , ,u n−) ∈U của mảnh tham số r, siêu phẳng

gọi là siêu phẳng tiếp xúc của S tại P

I.2.2Mảnh hình học k-chiều trong E n.

Tập con S của E n gọi là một mảnh hình học k-chiều trong E n nếu nó làảnh của một dìm, đồng phôi lên ảnh r U: →E n từ một tập mở U trong R k

vào E n; r gọi là một tham số hóa của mảnh hình học S Mảnh hình học cònđược gọi là mảnh đơn chính quy

I.2.3Đa tạp con k chiều trong n

E .

Cho S là một tập con của n

E , nhắc lại rằng tập con của S gọi là mở trong

S nếu nó là giao của S với một tập mở trong E n; với p S∈ , mọi tập con

của S chứa một tập mở trong S chứa p gọi là một lân cận của p trong S Cho tọa độ afin ( , , , )x x1 2 x n trong E n thì S của E n là một đa tạp con kchiều trong E n khi và chỉ khi mỗi điểm p S∈ có lân cận mở (trong S) là

một mảnh hình học với tham số hóa kiểu đồ thị

Đa tạp con n-1 chiều trong không gian En còn gọi là siêu mặt

I.2.4Mặt định hướng.

Mặt định hướng được khi trên không gian tiếp xúc của nó tại mỗi điểm

có thể xác định một hướng sao cho mặt được phủ bởi một họ các mảnhhình học với tham số hóa địa phương rα :Uα ⊂ R k →E n, α ∈I mà ánh xạtiếp xúc của chúng ánh xạ hướng chính tắc trên R kthành hướng đã xácđịnh trên không gian tiếp xúc của mặt Một mặt định hướng được và khi đã

xác định hướng trên mỗi không gian tiếp xúc như ở trên được gọi là mặtđịnh hướng

Một siêu mặt là định hướng được khi và chỉ khi tồn tại trường phápvectơ đơn vị khả vi

I.2.5Đạo hàm của trường vectơ.

I.2.5.1 Định nghĩa

Cho cung tham số ρ :J →E n

t a ρ ( )t và cho trường vectơ X dọc ρ

X xác định hàm vectơ uurX J: → Euurn, X t( ) ( ( ), ( )) = ρ t X tuur thì có thể xét trường

Cho X là một trường vectơ trên tập mở U ⊂E n, αp = ( , )pαur là một vectơ

tiếp xúc tại p của U

Giả sử ρ: J→U là cung tham số đi qua p sao cho '

0 ( )

Đạo hàm của trường vectơ X theo vectơ tiếp xúc αp, ký hiệu D Xαp là

một vectơ tiếp xúc tại p u∈ và được xác định bởi: 0

I.2.6Vectơ tiếp xúc với siêu mặt S

Cho S là siêu mặt trong E rn

a o gọi là vectơ tiếp xúc với siêu mặt (hay đa tạp) S

tại p, F( )p là tập các hàm trên S khả vi tại điểm p

(I, J là những khoảng trong R; ρvà r khả vi) gọi là tương đương nếu có vi

phôi λ :J → I t, a u= λ ( )t sao cho r oλ ρ = .

Dễ thấy đó là một quan hệ tương đương Mỗi lớp tương đương củaquan hệ đó gọi là một cung trong n

E ; mỗi cung tham số của lớp tươngđương đó còn gọi là một tham số hóa của cung; vi phôi λ gọi là phép đổitham số của cung

I.3 Ánh xạ Weingarten

Giả sử S là siêu mặt trong n

E , S được cho bởi tham số hóa địa phương:

được gọi là ánh xạ Weingarten của S tại p.

Khi p thay đổi, ký hiệu chung các ánh xạ hp đó là h, ta có:

2 2

Hay {R Puuuru1 ( ); ; uuuurR u n−1 ( )P }

⇒h p( ) α αuur uuri j =k iα αuur uuri. j (11)

Nhân vô hướng hai vế của (10) với αuuri

( ) .

p j i j j i

⇒ uur uur= uur uur (12)

Vì h p có tính đối xứng nên: h p( ).α αuur uuri j =h p( ).α αuur uurj i

Từ (11) và (12) ⇒k iα αuur uuri. j=k jα αuur uurj. i⇔ (k i−k j) α αuur uuri j = 0.

Theo giả thiết k i ≠k j ( , ∀i j= 1,n− ⇒ − 1) k i k j ≠ ∀ 0( ,i j= 1,n− 1)

Do đó α αuur uuri. j= ⇔ ⊥o α αuur uuri j ( , ∀ =i j 1,n− 1)

I.4.3Mối quan hệ giữa các độ cong trên siêu mặt trong E n

Vì h p là tự đồng cấu đối xứng nên chỉ có một trong hai trường hợp sau:1) h p có (n− 1) giá trị riêng thực (không hoàn toàn trùng nhau) khi đó(n− 1) phương chính tại p hoàn toàn xác định và đôi một vuông góc với

nhau

Gọi (n− 1)giá trị riêng đó là k k1, , ,2 k n−1 thì có hệ (n− 1) vectơ trực chuẩn

của T S p là {e eur uur 1 , , , 2 euuurn−1}

p p

2) h p có đúng một giá trị riêng thực (bội (n− 1)), khi đó mọi phương là

phương chính nên mọi cơ sở trực chuẩn {eur1, ,euuurn−1}

của T S p

p p

k k= = =k − = điểm p gọi là điểm dẹt và khi k k1= = =2 k n−1≠0 điểm

p được gọi là điểm cầu.

I.4.4Ví dụ.

Trong R4giả sử cho siêu trụ S có phương trình x2 + y2 + z2 = 1

Hãy tính độ cong Gauss, độ cong trung bình của S

Giải:

Ta đặt:

cos sin sin sin ; 0 ,0 , ,

( sin sin , cos sin ,0,0);

(cos cos ,sin cos , sin , 0);

( cos sin , sin sin , cos , 0).

CHƯƠNG 2: ĐỘ CONG TRUNG BÌNH TRÊN SIÊU

MẶT TRONG KHÔNG GIAN EUCLID

2.1 Các dạng cơ bản trên siêu mặt trong E n.

2.1.1 Định nghĩa (Xem [7])

S là siêu mặt định hướng trong n

E có tham số hóa địa phương,

Khi pthay đổi ta ký hiệu là I và II

2.1.2 Các hệ số của dạng cơ bản I và II.

Trong tham số hóa địa phương,r u u:( , , ,1 2 u n−1)a ( , , ,u u1 2 u n−1) của siêumặt S ta xét các hàm số trên U sau: gij=rur r′u i.ruj

gij gọi là các hệ số của dạng cơ bản thứ nhất đối với tham hóa địa phương r

1 1 1 2 1 1 1 2 1 2 2 2 1 2 1 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 ( )

( )

( )

i n i n i n n n u u i u u i u u in u u u u i u u i u u in u u u u i u u i u u h R R a R R a R R a R R h R R a R R a R R a R R h R R a R R a R R − − − − − − − = + + + = + + + = + + a R R in−1 u n−1 u n−1       +  1 11 12 1 1 1 2 21 22 2 1 2 1 11 12 1 1 1

.

i n i i n i in n n n n in h g g g a h g g g a h g g g a − − − − − − − −       ÷  ÷ ÷  ÷  ÷ ÷ ⇔ ÷ = ÷ ÷  ÷  ÷ ÷      11 21 11 11 21 11 11 12 1 1 12 22 12 12 22 12 21 22 2 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 .

.

n n n n n n n n n n n n n n n h h h a a a g g g h h h a a a g g g h h h a a a g − − − − − − − − − − − − − − −      ÷  ÷  ÷  ÷ ⇔ ÷ = ÷  ÷  ÷     1 12 1 1

n n n g − g − −    ÷  ÷  ÷  ÷   ( ) ( )( ), ( ,h ij a ij g ij i j 1,n 1) ⇔ = = − (2)

Vì { } 1 1 i n u i R − = là cơ sở suy ra { } 1 1 i n u i R − = độc lập tuyến tính Do định thức Gram: det( ) 0,g ij ≠ ∀i j, = 1,n− 1 Từ (2), ta có: 1 ( ) ( ) ( ),a ij = g ij − h ij ∀i j, = 1,n− 1; 1

A P Q− ⇔ = 2.1.4 Công thức tính độ cong trung bình. Giả sử S là siêu mặt định hướng trong n E , lấy {α =i, 1,i n− 1} là một cơ sở của T S p , giả sử: 1 11 1 12 2 1 1 1 2 21 1 22 2 2 1 1 1 11 1 12 2 1 1 1 ( )

( )

( )

p n n p n n p n n n n n n h a a a h a a a h a a a α α α α α α α α α α α α − − − − − − − − − − = + + + = + + + = + + + Khi đó theo định nghĩa: 11 22 1 1 1 ( ) ( )

Cho {α =i,i 1,n− 1} là một cơ sở của T S p Khi đó, ta có công thức tính độ cong trung bình của siêu mặt S trong E n thông qua dạng cơ bản I và II là:

1 1 1 2 1 1

( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , ) ( , ) ( 1)

( , ) ( , ) ( , )

n n

( 1)

n n

t r

u v t

u t r

u v t

u t r

′′ =

− − −

uur

uur

Tính độ cong trung bình của mặt đó.

Giải: Ta có tham số hóa của mặt tròn xoay trên là:

u

a ch a

độ (O,e1,e2) Phương trình tham số của siêu mặt là

r(u1,u2,u3)=(u1,u2,(au1+bu2)cosu3,(au1+bu2)sinu3)

Tính độ cong trung bình của siêu mặt

Giải: Ta có

1 2 3

Do đó vectơ pháp tuyến của siêu mặt S là:

Độ cong thứ nhất chính là độ cong trung bình, độ cong thứ (n− 1) là độ

cong Gauss của siêu mặt S

1 ( )i ( 1, 1)

i

Thật vậy: Điểm P trên S là điểm rốn suy ra k1 = = =k2 k n−1 =k , thay vào

(2.2.1) ta có:

1 1

1

1

2

1

1

1 1

1 1

1

(1)

1 n n n n n n n n n k H C k H n n k H k H C k H k H C − − − − − − − − −  =    = − −  =  =  ⇒       =  =   Từ (1) ( 1)i ( 1, 1). i H H i n ⇒ = = − * Điều kiện đủ: Giả sử tại p S ∈ có ( 1) (i 1, 1) i H = H i= n− thì p là điểm rốn Theo giả thiết ( 1 ) (i 1, 1) i H = H i= n− 1 1 2 2 1 1 1 1 (2)

n n H H H H H H − − =   =  ⇒    =  Thay (2) vào (2.2.1) ta được: 1 1 2 1 1 1 2 2 1 2 2 3 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1

n n

− −











Khi đó k1, k2,…, kn-1 là nghiệm của đa thức

1 1

n

x H

−

k k kn− H

Hay điểm p trên S là điểm rốn

2.2.3 Mệnh đề (Xem [7])

Độ cong trung bình tại p của đa tạp (n-1) chiều có hướng trong E n được

xác định bởi công thức:

* , 1

1

1

n i i

Ta có:

' '

''

2 ''

''

2

sin (1;0; );

cos sin (0;1; );

cos 1 (0;0; );

cos (0;0;0);

1 (0;0; ).

cos

x y

xx xy yy

x r

x y r

y r

x r

( ; ;1) 1

Hệ số của dạng cơ bản thứ nhất là:

' ' 2 ' '

;

2 ''

F u v =r u v r u vur ur = −u v v u+ v v= ;

' ' 2 2 2 2 2 2 2 ( , ) v( , ) ( , )v sin cos

Theo định nghĩa của đường tiệm cận thì : k%( )α = 0 àv k%( )β = 0

Vậy H = 0 ⇔EN GL+ − 2FM= ⇔ 0 αβ = ⇔ 0 Hai họ đường tiệm cận vuông

góc ⇒điều phải chứng minh

- Nếu a1 ≠ 0 à v a2 ≠ 0 : Chứng minh tương tự

* Nếu S là mặt Catenoid thì H = 0 (chứng minh 2.1.5)

* Nếu S là mặt tròn xoay có H = 0 Ta cần chứng minh S là mặt Catenoid.Thật vậy, gọi tham số hóa của mặt tròn xoay S là:

r(u,v)=(ϕ(u)cosv; ϕ(u) sinv; u)

Ta cần xác định ϕ(u) sao cho H = 0 ⇔ Xác định ϕ(u) sao cho:

EN + GL - FM = 0 (8)

Ta có: '

u r

ur

= (ϕu,( ) cos ;u v ϕu, ( ) sin ;u v 1);

1 1

+

−

2 2 2

2

1 1

u u u

u

u G e

e e

Cho S1 là đa tạp hai chiều có hướng trong 3

E , S 2 là mặt cầu đơn vị trong

E 3

Xét ánh xạ Gauss f : S1 → S2

p a f p( ) sao cho 0 ( )uuuuuur rf p =n p( )

trong đó: 0 là tâm của mặt cầu đơn vị S2.

n là trường vectơ pháp tuyến đơn vị trên mặt liên thông cung S1.

Khi đó : f là ánh xạ bảo giác khi và chỉ khi S1 nằm trên một mặt cầu hay một mặt cực tiểu

Chứng minh:

Ta có: Tpf: TpS1 → T f p( ) 2S

α a T pf( ) αGọi ρ là cung tham số trên S1:t a ρ ( )sao cho (t) = p; ( )t ρ ρ ′ =t α Khi đó

T f( )p α là vectơ tiếp xúc với cung tham số f o ρ tại điểm f(p)

( Chọn G = 0)

⇔ hp có 2 giá trị riêng luôn luôn bằng nhau hoặc đối nhau.

⇔ Hai độ cong chính của S1 luôn bằng nhau bằng nhau hoặc đối nhau tại

p ( do S1 liên thông)

⇔ S1 nằm trên mặt cầu.

S2 nằm trên mặt cực tiểu

KẾT LUẬN

Luận văn đã đạt được những kết quả chính sau:

- Trình bày một cách hệ thống các khái niệm trên siêu mặt trong không gian

Euclid n-chiều

- Đưa ra công thức tính độ cong trung bình (2.1.4)

- Chứng minh chi tiết các tính chất và chỉ ra một số ví dụ cụ thể về tính độcong trung bình thông qua các dạng cơ bản thứ I và thứ II (Mệnh đề 3.1.3,Mệnh đề 2.1.4.1, Mệnh đề 2.1.4.2, ví dụ 2.1.5)

- Trình bày và chứng minh chi tiết một số tính chất về độ cong trung bình(Mệnh đề 2.2.2, Mệnh đề 2.2.3, Mệnh đề 2.2.4)

- Trình bày khái niệm và chứng minh một số mặt là mặt cực tiểu như: Mặtđinh ốc đứng, mặt Enneper, mặt tịnh tiến, mặt Catenoid

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tiếng Việt

[1] Đỗ Ngọc Diệp – Nông Quốc Chính (2006), Hình học vi phân, Thái

Nguyên

[2] Nguyễn Thúc Hào (1996), Hình học vi phân, NXB Giáo dục.

[3] Trần Trọng Huệ (2002), Đại số tuyến tính và hình học giải tích (tập 2), NXB Đại học Quốc gia Hà Nội.

[4] Đinh Thị Thúy Nhung (2001), Về độ cong trung bình và mặt cực tiểu, Luận văn tốt nghiệp toán học, Đại học Vinh.

[5] Đoàn Quỳnh – Trần Đình Viện – Trương Đức Hinh – Nguyễn Hữu

Quang (1993), Bài tập hình học vi phân, NXB Giáo dục.

[6] Đoàn Quỳnh (2000), Hình học vi phân, NXB Giáo dục.

[7] Bùi Diệu Thủy (2007), Độ cong trung bình của siêu mặt trong R n,Luận văn tốt nghiệp toán học, Đại học Vinh

Tiếng Anh

[8] Theodore Shifrin (2012), Differential geometry: a first course in curves and surfaces, University of Georgia.