Độ cong trung bình trên siêu mặt trong En

1 LỜI NÓI ĐẦU Hình học vi phân môn có nhiều ứng dụng toán học thực tiễn, kiến thức độ cong mặt không gian Euclid 3-chiều trình bày chi tiết Vì vậy, với mục đích tập dượt nghiên cứu khoa học độ cong mà lý thuyết độ cong nói chung độ cong trung bình nói riêng trình bày không gian chiều, ta mở rộng số kết biết Hình học vi phân cổ điển cho không gian nhiều chiều không? Với lí trình bày trên, lựa chọn đề tài luận văn “Độ cong trung bình siêu mặt E n ” Trong luận văn này, tập hợp khái niệm chứng minh tính chất độ cong trung bình siêu mặt E n chứng minh số mặt mặt cực tiểu Luận văn trình bày với bố cục sau: Chương 1: Một số khái niệm ánh xạ Weingarten siêu mặt En Trong chương này, trình bày định nghĩa tính chất tích có hướng (n – 1) vectơ E n số khái niệm như: mảnh tham số, mảnh hình học, mặt định hướng, đa tạp k chiều E n , đạo hàm trường vectơ, ánh xạ Weingarten khái niệm siêu mặt E n để làm sở cho chương Chương 2: Độ cong trung bình siêu mặt không gian Euclid Đây chương thể kết luận văn, trình bày chi tiết định nghĩa dạng thứ I thứ II, công thức tính độ cong trung bình qua hai dạng bản, minh họa số ví dụ cụ thể, khái niệm tính chất độ cong trung bình siêu mặt E n , khái niệm siêu mặt cực tiểu chứng minh số mặt mặt cực tiểu Luận văn thực hoàn thành khoa toán trường Đại Học Vinh, hướng dẫn tận tình thầy giáo TS NGUYỄN DUY BÌNH Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy, người hướng dẫn tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Nhân dịp hoàn thành luận văn, tác giả xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo môn Hình học Tôpô, thầy cô khoa Toán nhiệt tình giảng dạy, góp ý tạo điều kiện cho tác giả trình học tập thực luận văn Vinh, tháng năm 2013 Tác giả Trương Hoàng Giang CHƯƠNG 1: MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VÀ ÁNH XẠ WEINGRTEN TRÊN SIÊU MẶT TRONG E n I.1 Tích có hướng (n – 1) vectơ E n I.1.1Định nghĩa ur ur uu r ur e , e , , e Cho sở trực chuẩn Ε n n { } ur Giả sử { } n−1 i =1 ur vectơ Ε n có tọa độ sở cho: ur a1 = (a11 , a12 , , a1n ) uu r a2 = (a21 , a22 , , a2 n ) uuur an −1 = (an −11, an −12 , , an −1n ) ur Tích có hướng (n-1) vectơ vectơ Ε n , ký hiệu r ur uu r uuur a = a1 ∧ a2 ∧ ∧ an−1 , có tọa độ sở cho:  r  a=    a12 a22 a13 a23 a1n a11 a2 n a , − 12 an−12 an−13 an−1n a13 a23 a1n a11 a2 n a , ,(− 1) n+1 21 an−11 an−13 an−1n a12 a22 a1n−1 a2 n−1 an−11 an−12 an−1n−1  ÷ ÷ ÷ ÷÷  I.1.2Các tính chất I.1.2.1 Mệnh đề (Xem [7]) Tích có hướng (n −1) vectơ có tính chất tuyến tính thành phần Tức là: ur r Giả sử u i (uij ) (i =1, n −1, j =1, n) ui' (u ij ) (i =1, n −1, j =1, n) vectơ E n , λ ∈ R thì: r r r r r r r r i) u1 ∧ u ∧ ∧ λ u i ∧ ∧ u n−1 = λ (u1 ∧ u ∧ ∧ u i ∧ ∧ u n −1 ) ; ur r r ur' r r r r r r ii) u1 ∧ ∧ (u i + ui ) ∧ ∧ u n −1 = (u1 ∧ ∧ u i ∧ ∧ u n −1 ) + (u1 ∧ ∧ ui' ∧ ∧ u n −1 ) Chứng minh: Bằng kiểm tra trực tiếp ta có kết I.1.2.2 Mệnh đề (Xem [7]) Tích có hướng (n −1) vectơ E n có tính chất phản giao hoán, tức là: r r r r u1 ∧ u ∧ ∧ u j ∧ ∧ u n −1 = r r r r = − u1 ∧ u ∧ u j ∧ ∧ u n −1 , ∀ u1 , u2 , , u n −1 ∈ E n , ∀i, j = 1, n − 1, i ≠ j Chứng minh: Bằng kiểm tra trực tiếp ta có kết I.1.2.3 Mệnh đề (Xem [7]) r r r r Giả sử u1 , , u n −1 (n − 1) vectơ E n Hệ vectơ u1 , , u n −1 phụ { } r r r ur thuộc tuyến tính khi: u = u1 ∧ ∧ u n −1 = Chứng minh: r u * Điều kiện cần: Giả sử i (uij ) (i =1, n − 1, j =1, n (n − 1) vectơ E n mà r r { u , , u } n −1 ur r hệ phụ thuộc tuyến tính u = (trong r r r u = u1 ∧ ∧ u n −1 ) ur uuur Thật vậy: Do { u1 , , un −1} hệ phụ thuộc tuyến tính nên ∃λk ∈ R (k = 2, n − 1) r r r r cho u1 = λ2 u + λ3 u + + λn −1 u n −1 Do đó: r r r r u = u1 ∧ u ∧ ∧ u n −1 r r r r r = (λ2 u + λ3 u + + λn −1 u n −1 ) ∧ u ∧ ∧ u n −1 r uu r r r r = λ2 u ∧ u2 ∧ ∧ u n −1 + + λn −1 u n −1 ∧ ∧ u n −1 (1) Theo định nghĩa tích có hướng (n −1) vectơ E n , ta có: r r r u ∧u ∧ ∧u n −1 =  u22 u23 .u2 n  u u23 u2 n = 22 ; ; (−1) n +1   u  n −12 un −13 .un −1n r = (0, 0) =0 u21 u22 .u2 n −1 u21 u22 u2 n −1 un −11 un −12 .un −1n −1  ÷ ÷ ÷ ÷ ÷  r r r r r r r r Vậy λ2 u ∧ u ∧ ∧ u n −1 = λ2 (u ∧ u ∧ ∧ u n −1 ) = λ2 = Tương tự ta có: r r r r r λ3 u ∧ u ∧ u ∧ ∧ u n −1 = r r r r λn −1 u n −1 ∧ u ∧ ∧ u n −1 = Thay đẳng thức vào (1) ta có: r ur r r ur u = + + + = r r r r Vậy u1 , , u n −1 phụ thuộc tuyến tính u = { } r r r r r r * Điều kiện đủ: Giả sử u = u1 ∧ ∧ u n −1 = u1 , , u n −1 hệ vectơ phụ { } thuộc tuyến tính r r Thật vậy, giả sử ngược lại hệ u1 , , u n −1 hệ độc lập tuyến tính { } r r hạng vectơ u1 , , u n −1 (n −1) tức hạng ma trận { } u11 u12 u1n    A =   (n −1) un −11 un −12 un −1n −1  ur r r r Do u ≠ , điều mâu thuẫn giả thiết u = r r r r r r r r Vậy u1 , u , , u n −1 phụ thuộc tuyến tính vectơ u = u1 ∧ u ∧ ∧ u n−1 = { } I.1.2.4 Mệnh đề (Xem [7]) r r r r r r r Giả sử u1 , u , , u n −1 vectơ E n u = u1 ∧ u ∧ ∧ u n −1 r r u trực giao với vectơ u i (i =1, n − 1) Chứng minh: r Giả sử u i (uij ) (i =1, n − 1, j =1, n) vectơ E n Theo định nghĩa tích có hướng (n −1) vectơ tích vô hướng vectơ, ta có: u12 u13 u1n u11 u13 u1n rr u u u2 n u u1 = 22 23 u11 − un −12 un −13 un −1n −1 u11 u12 u1n −1 u21 u23 u2 n u11 u12 u1n −1 u12 + + (−1) n +1 un −11 un −12 un −1n u21 u22 u2 n −1 u1n un −11 un −12 un −1n −1 u1n u21 u22 u2 n −1 u2 n = =0 un −11 un −12 un−1n −1 un −1n u11 u12 u1n −1 u1n (vì định thức có hai hàng nhau) Tương tự ta chứng minh được: rr rr rr u u = u u = = u u n −1 = r r r r Vậy u ⊥ u i (i =1, n −1) hay u trực giao với vectơ u i (i =1, n −1) I.2 Siêu mặt E n I.2.1Mảnh tham số k-chiều E n Ánh xạ r từ tập mở U R k → E n (k ≤ n − 1) vào không gian Euclid n chiều E n : r : U ⊂ Rk → E n (u1 , , uk ) a r (u1 , , uk ) gọi mảnh tham số E n 0 • Điểm (u1 , u2 , , un −1 ) ∈U gọi điểm quy mảnh tham số r điểm r dìm, tức là: { r ( u , u , , u ) , r ( u , u , , u ) , , r ( u , u , , u ) } ' u1 o n −1 ' u2 n −1 ' un−1 n −1 độc lập tuyến tính 0 • Điểm (u1 , u2 , , un −1 ) ∈U gọi điểm không quy (điểm kỳ dị) mảnh tham số r { r ( u , u , , u ) , r ( u , u , , u ) , , r ( u , u , , u ) } ' u1 tuyến tính o n −1 ' u2 n −1 ' un −1 n −1 phụ thuộc • Mảnh tham số r gọi quy điểm điểm quy 0 • Tại điểm quy (u1 , u2 , , un −1 ) ∈U mảnh tham số r, siêu phẳng 0 qua điểm p0 ( u1 , u2 , , un −1 ) với không gian vectơ phương sinh hệ { r' r' r' 0 o 0 0 0 vectơ: r u1 ( u1 , u2 , , un −1 ) , r u2 ( u1 , u2 , , un −1 ) , , r u n−1 ( u1 , u2 , , un −1 ) } gọi siêu phẳng tiếp xúc S P I.2.2Mảnh hình học k-chiều E n Tập S E n gọi mảnh hình học k-chiều E n ảnh dìm, đồng phôi lên ảnh r :U → E n từ tập mở U R k vào E n ; r gọi tham số hóa mảnh hình học S Mảnh hình học gọi mảnh đơn quy I.2.3Đa tạp k chiều E n Cho S tập E n , nhắc lại tập S gọi mở S giao S với tập mở E n ; với p ∈ S , tập S chứa tập mở S chứa p gọi lân cận p S Cho tọa độ afin ( x1 , x2 , , xn ) E n S E n đa tạp k chiều E n điểm p ∈ S có lân cận mở (trong S) mảnh hình học với tham số hóa kiểu đồ thị Đa tạp n-1 chiều không gian En gọi siêu mặt I.2.4Mặt định hướng Mặt định hướng không gian tiếp xúc điểm xác định hướng cho mặt phủ họ mảnh hình học với tham số hóa địa phương rα : U α ⊂ R k → E n , α ∈ I mà ánh xạ tiếp xúc chúng ánh xạ hướng tắc R k thành hướng xác định không gian tiếp xúc mặt Một mặt định hướng xác định hướng không gian tiếp xúc gọi mặt định hướng Một siêu mặt định hướng tồn trường pháp vectơ đơn vị khả vi I.2.5Đạo hàm trường vectơ I.2.5.1 Định nghĩa Cho cung tham số ρ : J → E n t a ρ (t ) cho trường vectơ X dọc ρ uur uu r uu r X xác định hàm vectơ X : J → E n , X (t ) = ( ρ (t ), X (t )) xét trường uur vectơ dọc ρ t → X ' (t ) = ( ρ (t ), X ' (t )) , gọi đạo hàm X dọc ρ E n , ký hiệu: DX dt 1.2.5.2 Định nghĩa ur Cho X trường vectơ tập mở U ⊂ E n , α p = ( p, α ) vectơ tiếp xúc p U ' Giả sử ρ : J → U cung tham số qua p cho α p = ρ (t0 ) , với ρ (t ) = ( x1 (t ); ; xn (t )) Đạo hàm trường vectơ X theo vectơ tiếp xúc α p , ký hiệu Dα X p D( X oρ ) (t0 ) vectơ tiếp xúc p ∈ u xác định bởi: Dα X = p I.2.6Vectơ tiếp xúc với siêu mặt S r Cho S siêu mặt E n , p điểm S Cung tham số ρ :I → S t a ρ ( t ) đường cong S t0∈ I ρ ( t0 ) = p , ta gọi vectơ tiếp xúc với ρ p ánh xạ: Vp : F( p ) → R dt f a d f oρ (t ) gọi vectơ tiếp xúc với siêu mặt (hay đa tạp) S dt t =t0 p, F( p ) tập hàm S khả vi điểm p Nếu r : U → S r ( u1 , u2 , , un−1 ) a r ( u1 , u2 , , un −1 ) tham số hóa siêu mặt S E n  ∂  ' r  ÷÷ = Ru (trong đó: ru = Ru or ), { Ru } i =1 trường mục tiêu tiếp xúc ∂u  i   ∂  ∂ ui S)  Khi đó: n = n −1 i i i i   , i = 1, n − trường mục tiêu tắc U ⊂ R n −1  ru'1 ∧ ru'2 ∧ .ru'n−1 ru'1 ∧ ru'2 ∧ .ru'n−1 trường vectơ pháp tuyến đơn vị S Không gian vectơ tiếp xúc S p ký hiệu TpS Đường thẳng qua điểm p thuộc S vuông góc với siêu phẳng tiếp xúc S p0 gọi pháp tuyến S p0 I.2.7Cung E n Hai cung tham số ρ : J → E n r : I → E n t a ρ (t ) u a r (u ) (I, J khoảng R; ρ r khả vi) gọi tương đương có vi phôi λ : J → I , t a u = λ (t ) cho ro λ = ρ Dễ thấy quan hệ tương đương Mỗi lớp tương đương quan hệ gọi cung E n ; cung tham số lớp tương đương gọi tham số hóa cung; vi phôi λ gọi phép đổi tham số cung I.3 Ánh xạ Weingarten Giả sử S siêu mặt E n , S cho tham số hóa địa phương: r : U ⊂ R n −1 → E n (u1 , u2 , un −1 ) a r (u1 , u2 , un −1 ) 10 ' với { Ru } ( Ru or = ru , i = 1, n − 1) xác định hướng S Tp S không gian i i i vectơ tiếp xúc S p có sở { Ru ( p), i = 1, n − 1} i I.3.1Nhận xét Xét: n = Ru1 ∧ Ru2 ∧ ∧ Run−1 Ru1 ∧ Ru2 ∧ ∧ Run−1 1) n xác định trường vectơ pháp tuyến siêu mặt S Thật vậy, theo (1.1.2.4) ta có: n ⊥ Ru , ∀i =1, n −1⇒ n ⊥ Tp S , n =1 i 2) − Dα n∈Tp S Chứng minh: Vì n trường vectơ pháp tuyến đơn vị ⇒ n =1 ⇒ α  n  = α [ n.n ] = 0; ⇒ ( Dα n) n + n.( Dα n) = ⇒ ( Dα n).n = 0; ⇒ Dα n ⊥ n ⇒ Dα n∈Tp S ⇒ − Dα n ∈Tp S I.3.2Định nghĩa Xét ánh xạ: hp :Tp S → Tp S ur ur α a hp (α ) = − D αur n gọi ánh xạ Weingarten S p Khi p thay đổi, ký hiệu chung ánh xạ hp h, ta có: h: TS → TS uu r ur α a h (α ) = − Dar n I.3.3Mệnh đề: hp tự đồng cấu, tuyến tính, đối xứng Tp S Chứng minh: hp ánh xạ tuyến tính ur ur Thật vậy, ∀ α , β ∈Tp S , ∀ λ ∈ R 26 uu r ru'1 = (1, 0, a cos u3 , a sin u3 ); uur ru'2 = (0,1, b cos u3 , b sin u3 ); uu r ' ru3 = (0, 0, −(au1 + bu2 )sin u3 , ( au1 + bu2 ) cos u3 ) Do vectơ pháp tuyến siêu mặt S là: r ru' ∧ ru' ∧ ru' cos u3 sin u3 −a −b n = '1 =( , , , ) ' ' ru1 ∧ ru2 ∧ ru3 (a + b + 1) (a + b + 1) (a + b + 1) (a + b + 1) Ta có: ru''1u1 = (0, 0, 0, 0); ru''1u2 = (0, 0, 0, 0); ru''1u3 = (0, 0, −a sin u3 , a cos u ); ru''2u1 = (0, 0, 0, 0); ru''2u2 = (0, 0, 0, 0); ru''2u3 = (0, 0, −b sin u3 , b cos u ); ru''3u1 = (0, 0, −a sin u3 , a cos u ); ru''3u2 = (0, 0, −b sin u3 , b cos u ); ru''3u3 = (0, 0, −(au1 + bu2 ) cos u , −( au1 + bu2 ) sin u ) Các hệ số dạng thứ I: g11 = ru'1 ru'1 = + a g12 = ru'1 ru'2 = a.b g13 = ru'1 ru'3 = 0; g 21 = ru'2 ru'1 = a.b g 22 = ru'2 ru'2 = + b g 23 = ru'2 ru'3 = 0; g31 = ru'3 ru'1 = g32 = ru'3 ru'2 = g 33 = ru'3 ru'3 = (au1 + bu2 ) Các hệ số dạng thứ II: 27 h11 = n.ru''1u1 = h12 = n.ru''1u2 = h13 = n.ru''1u3 = 0; h21 = n.ru''2u1 = h22 = n.ru''2u2 = h23 = n.ru''2u3 = 0; h31 = n.ru''3u1 = h32 = n.ru''3u2 = h33 = n.ru''3u3 = − (au1 + bu2 ) (a + b + 1) 2 Áp dụng công thức tính độ cong trung bình theo hệ số dạng I II ta được: H ( p) = −1 3(au1 + bu2 ) (a + b + 1) Vậy: độ cong trung bình siêu mặt H ( p) = −1 3( au1 + bu2 ) (a + b + 1) 2.2 Một số tính chất độ cong trung bình 2.2.1 Định nghĩa n S siêu mặt E , k1 , k2 , , kn −1 giá trị riêng ánh xạ tuyến tính hp Độ cong thứ i (i =1, n − 1) siêu mặt S, ký hiệu H i (i =1, n − 1) xác định từ hệ thức sau: k1 + k2 + + kn −1 = Cn1−1 H1  k1k + k2 k3 + + k n −1k1 = Cn −1 H   k k k = Cnn−−11 H n −1 n −1  (2.2.1) Độ cong thứ độ cong trung bình, độ cong thứ (n − 1) độ cong Gauss siêu mặt S 2.2.2 Mệnh đề (Xem [7]) Cho siêu mặt S E n Điều kiện cần đủ để điểm S điểm rốn là: H i = ( H1 )i (i = 1, n − 1) Chứng minh: *Điều kiện cần: Giả sử điểm P S điểm rốn suy : 28 H i = ( H1 ) i (i = 1, n − 1) Thật vậy: Điểm P S điểm rốn suy k1 = k2 = = kn −1 = k , thay vào (2.2.1) ta có:  (n − 1)  C k = H1  n −1  k = H1  (n − 1)(n − 2)  k = H2  k = H 2 Cn −1 ⇒      n −1 k = H n −1  n −1  C n −1 k = H n −1  n −1 (1) Từ (1) ⇒ H i =( H1 )i (i =1, n −1) * Điều kiện đủ: Giả sử p∈ S có H i = ( H1 )i (i = 1, n − 1) p điểm rốn  H = H1   H = H1 i ⇒ H = ( H ) ( i = 1, n − 1) Theo giả thiết i    H = H n −1  n −1 (2) Thay (2) vào (2.2.1) ta được:  k1 + k2 + + kn −1   k1k2 + k2 k3 + + k n −1k1    k k k n −1  = Cn1−1 H1 = Cn2−1H12 = Cnn−−11 H1n −1 Khi k1, k2,…, kn-1 nghiệm đa thức x n −1 − Cn1−1H1 x n −2 + Cn2−1H 12 x n −3 + + ( −1) n −1 Cnn−−11 H1n −1 = 0; ⇒( x − H ) n −1 (3) = 0; ⇒ k1 = k = = k n −1 = H1 nghiệm bội (n-1) đa thức Hay điểm p S điểm rốn 2.2.3 Mệnh đề (Xem [7]) Độ cong trung bình p đa tạp (n-1) chiều có hướng E n xác định công thức: 29 n −1 % H ( p) = ∑ k (αi ) n − i =1 với sở trực chuẩn { α1 , , α n−1} TpS r α i ∈ Tp S / II (α i , α i ) (α i ) = đó: k% I (α i , α i ) r r {} r Chứng minh: Với { e1 , e2 , , en −1 } sở trực chuẩn TpS gồm vectơ r riêng hp k1, k2, …., kn-1 giá trị riêng tương ứng, k%(ei ) = ki Thật vậy: r r r r r r h ( e ) e II ( e , e ) k e e r p i i i i i (ei ) = r r = r r = r ir i = ki Ta có: k% I (ei , ei ) ei ei ei ei r r r Với { α1 , α , , α n −1} sở trực chuẩn TpS ta có: uu r α1 = a11er1 + a12 er2 + + a1n −1ern −1  uur r r r α = a21e1 + a22 e2 + + a2 n −1en −1   αr = α er + a er + + α er n −11 n −12 n −1n n −1  n −11 với ma trận A = [aij ] (i, j = 1, n − 1) ma trận trực giao Mặt khác: n −1 n −1 i =1 k ,l =1 k% (αi ) = II (αi , αi ) = ∑ aii akl II (ei , ei ) = ∑ aik ail II (ek , el ) ⇒ n −1 ∑ k%(αi ) = i =1 =  n −1  ∑  ∑ aik ail ÷II (ek , el ) k ,l =1  i =1  n −1 n −1 n −1 k ,l =1 k =1 ∑ δkl II (ek , el ) = ∑ II (ek , ek ) n −1 = ∑ ki (4) i =1 A = [aij ] i, j = 1, n − ma trận trực giao k=l 30 ⇒ n −1 ∑a k ,l =1 ik ail = ( A* A) kl = δ kl = k≠l Mặt khác theo định nghĩa độ cong trung bình ta có: H ( p) = n −1 ∑ ki n − i =1 (5) Từ (4) (5) ta có: n −1 n −1 % % k ( α ) = ( n − 1) H ( p ) ⇒ H ( p ) = ∑ ∑ k (αi ) i n − i =1 i =1 2.2.4 Mệnh đề Cho z trường vectơ pháp tuyến xác định hướng đa tạp (n-1) chiều S E n {X1 ,…,Xn-1} trường mục tiêu tiếp xúc S Khi công thức tính độ cong trung bình S là: H= 1 ( Dx1 Z ∧ X ∧ ∧ X n −1 ) + + ( X ∧ X ∧ ∧ X n − ∧ DX −1Z ) (n − 1)( X ∧ ∧ X n −1 ) Z ( X ∧ X ∧ ∧ X n −1) ) Chứng minh: (xem [7]) 2.3 Siêu mặt cực tiểu 2.3.1 Định nghĩa Mặt E n mà có độ cong trung bình triệt tiêu thời điểm gọi siêu mặt cực tiểu 2.3.2 Một số mặt cực tiểu cổ điển 2.3.2.1 Mặt tịnh tiến Trong R3 với tọa độ Đềcác vuông góc (x,y,z) xét tập hợp điểm xác định phương trình e z cos x − cos y = Tập S tập hợp gồm điểm thỏa mãn điều kiện cos x.cos y > mặt cực tiểu Ta có: e z cos x − cos y = cos x.cos y > ⇒ ez = cos y cos y > ⇒ Z = ln cos x cos x Vậy S có tham số hóa r ( x, y ) = ( x, y, ln cos y ) cos x 31 Ta có: ur sin x rx' = (1;0; ); cos x ur sin y ry' = (0;1; − ); cos y uu r rxx'' = (0;0; ); cos x uu r rxy'' = (0;0;0); uur ryy'' = (0;0; − ) cos y Khi vectơ pháp tuyến S là: ur ur r rx' × ry' (tgx; tgy;1) n = ur ur = + tg x + tg y rx' × ry' Hệ số dạng thứ là: ur ur E ( x, y ) = rx' rx' = + tg x; ur ur F ( x, y ) = rx' ry' = tgx.tgy; ur ur G ( x, y ) = ry' ry' = + tg y; ⇒ EG − F = + tg x + tg y Hệ số dạng thứ là: r r uu ⇒ L( x y ) = n.rxx'' = r uur M ( x y ) = n.rxy'' = r uur N ( x y ) = n.ryy'' = ⇒H = (tgx; tgy;1) + tg x + tg y (tgx; tgy;1) + tg x + tg y (tgx; tgy;1) + tg x + tg y (0;0; tg x + ) = ; cos x + tg x + tg y (0;0;0) = ; (0;0; − −1 − tg y ) = ; cos y + tg x + tg y EN + GL − FM (1 + tg x)( −1 − tg y ) + (1 + tg x)(1 + tg y ) − 2tgxtgy.0 = =0 2( EG − F ) + tg x + tg y (1 + tg x + tg y ) H = Vậy S mặt cực tiểu 2.3.2.2 Mặt Enneper Trong E , mặt Enneper xác định tham số hóa là: 32 r (u , v) = (u − u3 v3 + uv ; v − + u 2v; u − v ) 3 Ta có: ur ru' = (1 − u + v ; 2uv; 2u ); ur rv' = (2uv;1 − v + 2uv;; −2v); uur ruu'' = (−2u; 2v; 2); uu r ruv'' = (−2u; 2v; 2); uu r rvv'' = (2u; − 2v; − 2) uur uu r ⇒ ruu'' = −rvv'' ⇒ E (u , v) = (1 − u + v ) + 4u v + 4u ; F (u , v ) = 0; G (u, v ) = 4u 2v + (1 − v + u ) + 2v ; ur ur uur ur ur uu r ur ur uu r ( ru' ∧ rv' )ruu'' ( ru' ∧ rv' )(−rvv'' ) ( ru' ∧ rv' )(rvv'' ) L(u, v ) = (u, v ) = (u , v) = − (u, v) = − N (u, v) ; EG − F EG − F EG − F ⇒ H or (u , v) = EN + GL − FM L(G − E ) (u, v ) = (u , v) 2( EG − F ) 2( EG ) Mà G − E = [4u 2v + (1 − v + u ) + 4v ] − [(1 − u + v ) + 4u 2v + 4u ] = [(1 − v + u ) − (1 − u + v ) ] + 4v − 4u = 2(2u − 2v ) + 4v − 4u = ⇒ H or (u , v) = ∀p = r (u , v ) ∈ S Vậy: H or = 2.3.2.3 Mặt đinh ốc đứng Trong E , tham số hóa mặt đinh ốc đứng là: r (u, v) = (u cos v; u sin v; av) Ta có: ur ru' (u , v) = (cos v;sin v;0) ; ur rv' (u , v) = (−u sin v; u cos v; a ) ; uur ruu'' (u , v) = (0;0;0) ; uu r ruv'' (u , v) = (− sin v;cos v;0) ; 33 uu r rvv'' (u , v) = (−u cos v; −u sin v;0) Các hệ số dạng thứ là: ur ur ⇒ E (u , v) = ru' (u , v).ru' (u, v) = cos v + sin v = ; ur ur F (u , v ) = ru' (u , v).rv' (u, v) = −u cos v.sin v + u sin v.cos v = ; ur ur G (u, v ) = rv' (u , v).rv' (u , v) = u sin v + u cos v + a = u + a ; ( EG − F )(u , v) = u + a Các hệ số dạng thứ hai là: L(u, v ) = uur ur uur ( ru' ∧ rv' )ruu'' cos v sin v −u sin v u cos v a 0 ; (u, v ) = =0 EG − F EG − F uur ur uu r (ru' ∧ rv' )ruv'' −a −a M (u , v) = (u , v) = (u, v) = ; EG − F EG − F u +a uur ur uu r (ru' ∧ rv' )rvv'' N (u , v) = (u , v) = ; EG − F ⇒ H ( r (u , v)) = EN + GL − FM (u , v) = 2( EG − F ) Vậy mặt đinh ốc đứng mặt cực tiểu 2.3.3 Mệnh đề (Xem [4]) Mặt E không phẳng mặt cực tiểu hai họ đường tiệm cận trực giao Chứng minh: Gọi tham số hóa địa phương mặt S là: r: U → E ( u, v ) a r ( u, v ) ur → Gọi α = a r ' + b r ' u v ur ur β = a2 ru' + b2 rv' a1 ; b1 ; a2 ; b2 ∈ R; a12 + b12 ≠ 0; a22 + b22 ≠ 0; a1 : b1 ≠ a2 : b2 ( phương tiếp xúc hai đường tiệm cận ) 34 Theo định nghĩa đường tiệm cận : k%( α ) = k%( β ) = h (α )α Từ k%( α ) = p ⇔ hp ( α ) α = với ∀ p ∈ S α α ur ur ur ur ⇔ h a1 ru' + b1 rv' a1 ru' + b1 rv' = ( )( ) ur ur ur ur ' '  '  ⇔ a1h ru + b1h rv a r + b r' =   u v ( ) ( )( ) ur ur ur ur ur ur ' ' ' ' ⇔ a h ru ru + 2a1b1h ru rv + b1 h rv' rv' = ( ) ( ) ( ) ⇔a12 L +2a1b1M +b12 N =0 (6) Tương tự ta có: a22 L +2a2b2 M +b22 N =0 (7) a  a Nếu b1 ≠ b2 ≠ (6) ⇔ ÷ L + M + N = b1  b1  a  a (7) ⇔ ÷ L + 2 M + N = b2  b2  Do a1:b1 ≠a2 : b2 nên a1 a2 ; hai nghiệm phân biệt phương trình: b1 b2 LX + MX + N = ( L ≠ mặt không phẳng) ⇒ a1 a2 −2M + = ; b1 b2 L a1 a2 N = b1 b2 L Xét αβ, ta có: ur ur ur ur ' ' ' αβ = (a1 ru + b1 rv ) (a2 ru + b rv' ) ⇔αβ =a1a2 E + ( a1b2 + a2b1 ) F +b1b2G ⇔ a a  αβ a a2 = E +  + ÷F + G b1b2 b1 b2  b1 b2  35 ⇔ αβ N −2 M = E+ F +G b1b2 L L ⇔ αβ EN + GL − FM = b1b2 L Vậy H = ⇔ EN + GL − FM = ⇔ αβ = ⇔ Hai họ đường tiệm cận vuông góc ⇒ điều phải chứng minh - Nếu a1 ≠ a2 ≠ : Chứng minh tương tự ur ur ' - Nếu a1 = b2 = ⇒ α = b1 r ; β = a2 r ' v u urur ⇒ αβ = a2b1 rv' ru' = a2b1 F Từ (6) (7) ⇒ N = L = EN + GL − FM Vậy αβ = ⇔ F = mà H = EG − F ( ) = − FM ( EG − F ) Vậy αβ = ⇔ F = ⇔ H = ⇒ điều phải chứng minh 2.3.4 Mệnh đề (Xem [4]) Mặt tròn xoay khác mặt phẳng mặt cực tiểu mặt catenoid Chứng minh: * Nếu S mặt Catenoid H = (chứng minh 2.1.5) * Nếu S mặt tròn xoay có H = Ta cần chứng minh S mặt Catenoid Thật vậy, gọi tham số hóa mặt tròn xoay S là: r(u,v)=( ϕ (u)cosv; ϕ (u) sinv; u) Ta cần xác định ϕ (u) cho H = ⇔ Xác định ϕ (u) cho: EN + GL - FM = Ta có: ur , ru' = ( ϕu (u ) cos v; (8) ϕu, (u ) sin v; 1); 36 ur r ′v = (−ϕ (u )sin v; ϕ (u ) cos v;0); r ′′ (u ) cos v; ϕuu ′′ (u ) sin v; 0); ruu′′ = (ϕuu r ruv′′ = (ϕu′ (u )sin v; ϕu′ (u ) cos v;0); r rvv′′ = (−ϕ (u )cosv; − ϕ (u )sin v; 0) ⇒ E (u, v) = (ϕ u′ (u )) + 1; F (u , v) = 0; G (u , v) = ϕ (u ); L(u, v ) = r r r (ru′ ∧ rv′)ruu′′ EG − F M (u , v) = 0; N (u , v) = = ϕ (u ) EG − F −ϕ (u ).ϕuv (u ) EG − F ; Thay hệ số dạng thứ dạng thứ hai vào (8) ta có: (8) ⇔(ϕu′2 (u ) +1) ϕ2 (u ) + ϕ2 (u )(−ϕ2 (u )).ϕ′′uu (u ) =0 ⇔ ϕ2 (u )[ ϕu′2 (u ) − ϕ(u ).ϕ′′uu (u ) + 1] = (9) + Nếu ϕ (u ) = ⇔ ϕ (u ) = ⇒r(u,v) ⇒ Mặt S mặt phẳng = (0; 0; u) ′′ (u ) + = (10) + Nếu ϕ (u ) ≠ (9) ⇔ϕu′2 (u ) − ϕ(u ).ϕuu ′′ (u ) = Đặt f (u ) =ϕu′ (u ) ⇒ϕuu (10) ⇔f (u ) −ϕ(u ).f (u ) df df dϕ df = =f (u ) du dϕ du dϕ df +1 =0 dϕ dϕ f df ⇔ = ϕ 1+ f ⇔ ln ϕ= ln f 2 +1 C ⇔ϕ2 =f +1 (chọn C = 1) 37 dϕ ⇔ = ϕ2 −1 du dϕ ⇔ =du ϕ2 −1 ⇔ ln ϕ + ϕ − = u + G u G = 0) ⇔ ϕ + ϕ − = (eChọn ⇔ ϕ − = eu − ϕ 1 + e 2u ⇔ ϕ = ( u ) = (eu + e −u ) = chu e Vậy H= tham số hóa S r(u,v) = (chu cosv; chu sinv; u) Đây tham số hóa mặt tròn xoay tạo thành quay đường ρ (u ) = (chu; 0; u) quanh trục OZ Hay phương trình tham số mặt Catenoid 2.3.5 Mệnh đề (Xem [4]) Cho S1 đa tạp hai chiều có hướng E , S2 mặt cầu đơn vị E3 Xét ánh xạ Gauss f : S → S2 uuuuuur r p a f ( p ) cho f ( p) = n( p) đó: tâm mặt cầu đơn vị S2 n trường vectơ pháp tuyến đơn vị mặt liên thông cung S1 Khi : f ánh xạ bảo giác S1 nằm mặt cầu hay mặt cực tiểu Chứng minh: Ta có: Tpf: TpS1 → T f ( p ) S2 α a Tp f(α) Gọi ρ cung tham số S1 : t a ρ (t ) cho ρ (t) = p; ρ ′(t ) = α Khi Tp f(α ) vectơ tiếp xúc với cung tham số f oρ điểm f(p) 38 uuuuuur uuuuuuur uuuuuur' uuuuuuur ⇒ Tp f (α ) = ( f ρ ) (t ) = (n0 ρ )' (t ) = − (h p (α ) (11) Ta có: f ánh xạ bảo giác ⇔ Tp f(α ).Tp f(β ) = ϕ ( p)αβ (ϕ ( p) > 0) ⇔ Tpf ánh xạ đồng dạng (12) Từ (11) (12) ⇔ hp ánh xạ đồng dạng ⇔ hp có giá trị riêng luôn đối ⇔ Hai độ cong S1 nhau đối p ( S1 liên thông) ⇔ S1 nằm mặt cầu S2 nằm mặt cực tiểu 39 KẾT LUẬN Luận văn đạt kết sau: - Trình bày cách hệ thống khái niệm siêu mặt không gian Euclid n-chiều - Đưa công thức tính độ cong trung bình (2.1.4) - Chứng minh chi tiết tính chất số ví dụ cụ thể tính độ cong trung bình thông qua dạng thứ I thứ II (Mệnh đề 3.1.3, Mệnh đề 2.1.4.1, Mệnh đề 2.1.4.2, ví dụ 2.1.5) - Trình bày chứng minh chi tiết số tính chất độ cong trung bình (Mệnh đề 2.2.2, Mệnh đề 2.2.3, Mệnh đề 2.2.4) - Trình bày khái niệm chứng minh số mặt mặt cực tiểu như: Mặt đinh ốc đứng, mặt Enneper, mặt tịnh tiến, mặt Catenoid 40 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Đỗ Ngọc Diệp – Nông Quốc Chính (2006), Hình học vi phân, Thái Nguyên [2] Nguyễn Thúc Hào (1996), Hình học vi phân, NXB Giáo dục [3] Trần Trọng Huệ (2002), Đại số tuyến tính hình học giải tích (tập 2), NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [4] Đinh Thị Thúy Nhung (2001), Về độ cong trung bình mặt cực tiểu, Luận văn tốt nghiệp toán học, Đại học Vinh [5] Đoàn Quỳnh – Trần Đình Viện – Trương Đức Hinh – Nguyễn Hữu Quang (1993), Bài tập hình học vi phân, NXB Giáo dục [6] Đoàn Quỳnh (2000), Hình học vi phân, NXB Giáo dục [7] Bùi Diệu Thủy (2007), Độ cong trung bình siêu mặt R n , Luận văn tốt nghiệp toán học, Đại học Vinh Tiếng Anh [8] Theodore Shifrin (2012), Differential geometry: a first course in curves and surfaces, University of Georgia [...]... định nghĩa ta có độ cong trung bình và độ cong Gauss của siêu trụ là: 1 2 H ( p ) = (−1 −1 + 0) = − ; 3 3 −1 0 0 K ( p) = 0 − 1 0 = 0 0 0 0 Vậy: độ cong trung bình của siêu trụ H ( p) = − 2 và độ cong Gauss K ( p) = 0 3 17 CHƯƠNG 2: ĐỘ CONG TRUNG BÌNH TRÊN SIÊU MẶT TRONG KHÔNG GIAN EUCLID 2.1 Các dạng cơ bản trên siêu mặt trong E n 2.1.1 Định nghĩa (Xem [7]) S là siêu mặt định hướng trong E n có tham... công thức tính độ cong trung bình theo các hệ số của dạng cơ bản I và II ta được: H ( p) = −1 3(au1 + bu2 ) (a 2 + b 2 + 1) Vậy: độ cong trung bình của siêu mặt H ( p) = −1 3( au1 + bu2 ) (a 2 + b 2 + 1) 2.2 Một số tính chất về độ cong trung bình 2.2.1 Định nghĩa n S là siêu mặt trong E , k1 , k2 , , kn −1 là các giá trị riêng của ánh xạ tuyến tính hp Độ cong thứ i (i =1, n − 1) của siêu mặt S, ký hiệu... n −1 n −1  1 2 (2.2.1) Độ cong thứ nhất chính là độ cong trung bình, độ cong thứ (n − 1) là độ cong Gauss của siêu mặt S 2.2.2 Mệnh đề (Xem [7]) Cho siêu mặt S trong E n Điều kiện cần và đủ để một điểm trên S là điểm rốn là: H i = ( H1 )i (i = 1, n − 1) Chứng minh: *Điều kiện cần: Giả sử điểm P trên S là điểm rốn suy ra : 28 H i = ( H1 ) i (i = 1, n − 1) Thật vậy: Điểm P trên S là điểm rốn suy ra... tính độ cong trung bình theo các hệ số của dạng cơ bản 1 3 I và II ta được: H ( p) = − ur r 3 ρ ( u ) = 0 + a ch i + uk ρ : J → E 2) Cho đường xích , a rr r trong đó i; j; k là cơ sở trực chuẩn của E 3 ; 0 ∈ E 3 { (a > 0) , } Mặt tròn xoay tọa thành do quay đường dây xích trên quanh trục OZ được gọi là mặt Catenoid Tính độ cong trung bình của mặt đó 25 Giải: Ta có tham số hóa của mặt tròn xoay trên. .. (xem [7]) 2.3 Siêu mặt cực tiểu 2.3.1 Định nghĩa Mặt trong E n mà có độ cong trung bình triệt tiêu tại mọi thời điểm gọi là siêu mặt cực tiểu 2.3.2 Một số mặt cực tiểu cổ điển 2.3.2.1 Mặt tịnh tiến Trong R3 với tọa độ Đềcác vuông góc (x,y,z) xét tập hợp điểm xác định bởi phương trình e z cos x − cos y = 0 Tập con S của tập hợp trên gồm những điểm thỏa mãn điều kiện cos x.cos y > 0 là một mặt cực tiểu... F 2 a 2ch 2 EN + GL − 2 FM =0 2( EG − F 2 ) 3) Trong không gian E4 với mục tiêu trực chuẩn (O; e 1,e2,e3,e4), xét siêu mặt tròn xoay tạo thành khi mặt phẳng có phương trình tham số x(u1,u2)=(u1,u2,au1+bu2,0), a, b là hằng số, quay xung quanh mặt phẳng tọa độ (O,e1,e2) Phương trình tham số của siêu mặt là r(u1,u2,u3)=(u1,u2,(au1+bu2)cosu3,(au1+bu2)sinu3) Tính độ cong trung bình của siêu mặt Giải: Ta... 2 n−1 hn −11 hn −12 hn −1n −1 (n − 1) gij Công thức H(p) là công thức tính độ cong trung bình của siêu mặt S thông qua dạng cơ bản thứ I và II 2.1.5 Các ví dụ 1) Siêu mặt S trong E 4 xác định bởi tham số hóa kiểu đồ thị r :(u , v, t ) a r (u , v, t ) = (u , v, t , 1 − u 2 − v 2 − t 2 ) Tính độ cong trung bình của siêu mặt S tại p (0, 0, 0, 1) ur r Giải: Ta có: u′ = (1, 0, 0, − ur rv′ = (0,1, 0,... trị riêng của hp được gọi là độ cong chính tại p của S mỗi vectơ riêng xác định một phương gọi là phương chính tại p của S - Định thức của tự đồng cấu tuyến tính hp gọi là độ cong Gauss của S tại p , ký hiệu: K ( p ) - 1 vết của tự đồng cấu tuyến tính hp gọi là độ cong trung bình của S n −1 tại p , ký hiệu: H ( p) I.4.2Mệnh đề (Xem [7]) Giả sử siêu mặt S có (n – 1) độ cong chính là k1 , k2 , , kn... 0 EN + GL − 2 FM Vậy αβ = 0 ⇔ F = 0 mà H = 2 EG − F 2 ( ) = − 2 FM 2 ( EG − F 2 ) Vậy αβ = 0 ⇔ F = 0 ⇔ H = 0 ⇒ điều phải chứng minh 2.3.4 Mệnh đề (Xem [4]) Mặt tròn xoay khác mặt phẳng là mặt cực tiểu khi và chỉ khi nó là mặt catenoid Chứng minh: * Nếu S là mặt Catenoid thì H = 0 (chứng minh 2.1.5) * Nếu S là mặt tròn xoay có H = 0 Ta cần chứng minh S là mặt Catenoid Thật vậy, gọi tham số hóa của mặt. .. 0 nếu k≠l Mặt khác theo định nghĩa độ cong trung bình ta có: H ( p) = 1 n −1 ∑ ki n − 1 i =1 (5) Từ (4) và (5) ta có: n −1 1 n −1 % % k ( α ) = ( n − 1) H ( p ) ⇒ H ( p ) = ∑ ∑ k (αi ) i n − 1 i =1 i =1 2.2.4 Mệnh đề Cho z là một trường vectơ pháp tuyến xác định hướng của đa tạp (n-1) chiều S trong E n {X1 ,…,Xn-1} là một trường mục tiêu tiếp xúc của S Khi đó công thức tính độ cong trung bình của