skkn những tính chất của giao điểm giữa hypebol với đường phân giác góc tạo bởi hai đường tiệm cận

4 Tiếp tuyến với H tại điểm M tạo với hai tiệm cận một tam giácIAB có diện tích của hình tròn nội tiếp lớn nhất Bán kính đờngtròn nôi tiếp lớn nhất5 Tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cậ

Sở giáo dục & đào tạo thanh hoá

Tr ờng thpt Hàm RồNG

Những tính chất của giao điểm giữa Hypebol với đờng phân giác góc tạo bởi hai đờng tiệm

cận

Sáng kiến kinh nghiệmNguyễn hồng quang

Thanh hoá năm học 2012 - 2013

đặt vấn đề

Cách đây mấy năm trong một đề tài SKKN tôi đã đề cập đến vấn

đề khai thác một số tính chất đặc trng của Hypebol y =

của chúng , đặc biệt tôi đã tìm ra 24 tính chất giao điểm của Hypebol và đờng phân giác góc tạo bởi hai đờng tiệm cận (có

thể coi đây là 24 bài toán về cực tri) Với phát hiện này ta có thể đa

ra một cách giải chung cho tất cả các bài toán dạng:

 Tìm trên đồ thị y = f(x) điểm M sao cho tiếp tuyến tại

đó tạo với hai đờng tiệm cận một tam giác có chu vi bé nhất ?

 Tìm trên đồ thị điểm M sao cho khoảng cách từ M đến

điểm I (giao điểm hai đờng tiệm cận ) ngắn nhất ?

 Tìm trên đồ thị điểm M sao cho khoảng cách từ tiếp tuyến tại M đến điểm I ( giao điểm hai đờng tiệm cận )lớn nhất

và còn nhiều bài toán tơng tự khác nữa Khi cha phát hiện ra 24tính chất nói trên thì mỗi bài toán dạng này đều có cách giải khác

nhau , nhng các cách giải đó cha nói lên một cách nhìn chung.

Khi phát hiện đợc 24 tính chất trên tôi đã hớng dẫn học sinh có mộtcách giải chung nhất cho tất cả các bài toán có dạng trên.Sau mộtthời gian áp dụng phơng pháp này học sinh đã có một cách nhìncác bài toán một cách đơn giản và tự tin hơn Nhân dịp này tôi xingiới thiệu với các thầy giáo và các em học sinh bài viết với nội

dung : Những tính chất của giao điểm giữa Hypebol với đờng phân giác góc tạo bởi hai đờng tiệm cận Với mong muốn giúp

các em học sinh tự tin và chủ động hơn khi gặp các bài toán dạngtrên!

Giải quyết vấn đề

Đ1/ Tính chất của giao điêm giữa

(d 2 ) là tiệm cận còn lại ( ngang hoặc xiên) của(H)

I là giao điểm hai tiệm cận



I là góc tạo bởi hai tiệm cân

(d) là phân giác của góc 

I

M , N là hai giao điểm của phân giác (d) với (H)

(T) là tiếp tuyến của (H) tại M

A là giao điểm của(T) và (d1)

B là giao điểm của (T) và(d2)

P là chu vi tam giác IAB

S là diện tich tam giác IAB

Tính chất: Giả sử đờng phân giác của góc hợp bởi hai đờng tiệm

cận của (H) cắt (H) tại hai điểm M, N thì điểm M và N có các tínhchất sau:

1) Tiếp tuyến với (H) tại điểm M cắt hai tiệm cận tại hai điểm A và

4) Tiếp tuyến với (H) tại điểm M tạo với hai tiệm cận một tam giácIAB có diện tích của hình tròn nội tiếp lớn nhất (Bán kính đờngtròn nôi tiếp lớn nhất)

5) Tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là nhỏ nhất

6) Tiếp tuyến với (H) tại điểm M có khoảng cách đến giao điểm Icủa hai tiệm cận là lớn nhất

7) Hai tiếp tuyến tại M và N song song với nhau và có khoảng cáchlớn nhất so với các khoảng cách giữa hai tiếp tuyến song song khác(M, N là hai giao điểm giữa Hypebol với Đờng phân giác của góc hợp bởi hai đờng tiệm cận của Hypebol )

8) Từ điểm M kẻ đờng thẳng song song với hai tiệm cận lần lợt cắtlại hai tiệm cận tại E và F , Khi đó chu vi tam giác IEF nhỏ nhất ( I

là giao điểm của hai đờng tiệm cận)

9) Từ điểm M kẻ đờng thẳng song song với hai tiệm cận lần lợt cắtlại hai tiệm cận tại E và F khi đó diện tích hình tròn ngoại tiếp tamgiác IEF là nhỏ nhất ( I là giao điểm của hai đờng tiệm cận)

10) Từ điểm M kẻ đờng thẳng song song với hai tiệm cận lần lợtcắt lại hai tiệm cận tại E và F khi đó diện tích hình tròn nội tiếptam giác IEF là lớn nhất ( I là giao điểm của hai đờng tiệm cận)

11) Từ điểm M kẻ đờng thẳng song song với hai tiệm cận lần lợtcắt lại hai tiệm tại E và F , Khi đó chu vi tam giác MEF nhỏ nhất

12) Từ điểm M kẻ đờng thẳng song song với hai tiệm cận lần lợtcắt lại hai tiệm cận tại E và F khi đó diện tích đờng tròn ngoại tiếptam giác MEF là nhỏ nhất (Bán kính đờng tròn ngoại tiếp tam giácMEF nhỏ nhất)

13) Từ điểm M kẻ đờng thẳng song song với hai tiệm cận lần lợtcắt lại hai tiệm cận tại E và F khi đó diện tích hình tròn nội tiếptam giác MEF là lớn nhất (Bán kính đờng tròn ngoại tiếp tam giácMEF nhỏ nhất)

14) Từ điểm M kẻ đờng thẳng song song với hai tiệm cận lần lợtcắt lại hai tiệm tại E và F , Khi đó chu vi hình bình hành EIFMnhỏ nhất ( I là giao điểm của hai đờng tiệm cận)

15) Gọi M1 , M2 là hình chiếu của M lên các tiệm cận khi đó M1M2

19) Gọi M1, M2 là hình chiếu của M lên các tiệm cận khi đó diệntích hình tròn nội tiếp tam giác MM1M2 lớn nhất (Bán kính đờngtròn nội tiếp lớn nhất)

20) Gọi M1, M2 là hình chiếu của M lên các tiệm cận khi đó diệntích hình tròn ngoại tiếp tam giác IM1M2 nhỏ nhất (I là giao điểmcủa hai đờng tiệm cận)

21) Tiếp tuyến với (H) tại điểm M vuông góc với đờng thẳng IM ( I

là giao điểm của hai tiệm cận)

22) Khoảng cách M đến tâm đối xứng I của (H) là nhỏ nhất so vớicác khoảng cách từ I đến một điểm khác trên (H)

23) Gọi M1, M2 là hình chiếu của M lên các tiệm cận khi đó tổngcác khoảng cách MM1+ MM2 + IM nhỏ nhất( I là giao điểm củahai đờng tiệm cận)

24) MN là đoạn thẳng ngắn nhất trong các đoạn thẳng nối hai điểmbất kỳ thuộc hai nhánh của Hypebol

* *

*

Trớc khi chứng minh các tính chất trên ta nêu và chứng minh lại

I / Mối quan hệ đặc biệt giữa tiếp tuyến và

đ-ờng tiệm cận của

Tính chất 1: Tích khoảng cách từ một điểm M bất kỳ trên (H)

đến hai đờng tiệm cận là một số không đổi.

Khi đó hai đờng tiệm cận của (H) là :y = a ( 1) và x = - d

khi đó hoành độ các điểm A,B là nghiệm của phơng trình:

Mặt khác hoành độ giao điểm C (Giao điểm cát tuyến với tiệm

cận xiên) là nghiệm của phơng trình: mx + n = ax + b  xC = n b

Mặt khác hoành độ giao điểm C (Giao điểm cát tuyến với tiệm cận

ngang) là nghiệm của phơng trình: mx + n = a  xC = a n

m



Hoành độ điểm D (Giao điểm cát tuyến với tiệm cận đứng) : xD = -

đ-Chứng minh:

1/ Đối với (H): y=ax+b+ k

cx d Khi đó hai đờng tiệm cận của (H)

II/ Nhận xét : Từ các tính chất trên ta rút ra các nhận xét sau

1 M là giao điểm của (H) và đờng phân giác của góc hợp bởi hai đờng tiệm cận Mặt khác theo các tính chất trên M là trung điểm của AB nên suy ra tam giác IAB cân tại I (IA = IB)

2 Theo các tính chất trên diện tích tam giác IAB không đổi và góc I không đổi nên tích IA.IB cũng không đổi

3 Tích IA.IB không đổi suy ra tổng IA + IB nhỏ nhất khi IA =

IB ( Tam giác IAB cân tại I )

4 Tacó AB2 IA2 IB2  2IA.IB cosI  2 ( 1  cosI).IA.IB

Vậy khi IA = IB thì AB cũng ngắn nhất

Sau đây ta áp dụng các nhận xét trên để chứng minh 24 tính chất ở Đ1/

1)TiÕp tuyÕn víi (H) t¹i ®iÓm M c¾t hai tiÖm cËn t¹i hai ®iÓm A

Chứng minh: Theo định lý sin trong tam giác IAB ta có

đờng tròn nôi tiếp lớn nhất)

Chứng minh: Ta có S IAB pr, mà S IAB không đổi Mặt khác theo tính chất 2 chu vi p tam giác IAB nhỏ nhất nên r ( Bán kính đờng tròn nội tiếp ) lớn nhất, do đó tam giác IAB có diện tích của hình tròn nội tiếp lớn nhất (đpcm)

5) Tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là nhỏ nhất.

Chứng minh:

Gọi M1, M2 là hình chiếu của M lên hai tiệm cận Khi đó tích khoảng cách MM1.MM2 là một số không đổi Mà MM1= MM2

Nên tổng hai khoảng cách MM1+ MM2 là nhỏ nhất (đpcm)

6) Tiếp tuyến với (H) tại điểm M có khoảng cách đến giao điểm

Chứng minh: Theo các tính chất trên thì diện tích tam giác IAB

không đổi và AB là ngắn nhất nên khoảng cách từ I đến AB ( Đờngcao thuộc cạnh AB của tam giác IAB ) là lớn nhất (đpcm)

7) Hai tiếp tuyến tại M và N song song với nhau và có khoảng cách lớn nhất so với các khoảng cách giữa hai tiếp tuyến song song khác của (H)

(M, N là hai giao điểm giữa Hypebol với Đờng phân giác của góc hợp bởi hai đờng tiệm cận của Hypebol )

Chứng minh Vì I là tâm đối xứng của (H) nên khoảng cách giữa

hai tiếp tuyến tại M và N bằng 2 lần khoảng cách từ I đến tiếp tuyến tại M Mà theo chứng minh trên thì khoảng cách từ I đến

AB là lớn nhất , vậy khoảng cách giữa hai tiếp tuyến tại M và N lớn nhất (đpcm)

8)Từ điểm M kẻ đờng thẳng song song với hai tiệm cận lần lợt cắt lại hai tiệm cận tại E và F , Khi đó chu vi tam giác IEF nhỏ nhất

( I là giao điểm của hai đờng tiệm cận)

Chứng minh: Nhận thấy tam giác IEF có chu vi bằng nữa chu vi

tam giác IAB mà ta đã chứng minh đợc chu vi tam giác IAB nhỏ nhất nên ta có chu vi tam giác IEF nhỏ nhất (đpcm)

9)Từ điểm M kẻ đờng thẳng song song với hai tiệm cận lần lợt cắt lại hai tiệm cận tại E và F khi đó diện tích đờng tròn ngoại tiếp tam giác IEF là nhỏ nhất ( I là giao điểm của hai đờng tiệm cận)

Chứng minh: Tam giác IEF đồng dạng với tam giác IAB với tỷ số

10) Từ điểm M kẻ đờng thẳng song song với hai tiệm cận lần

l-ợt cắt lại hai tiệm cận tại E và F khi đó diện tích hình tròn nội tiếp tam giác IEF là lớn nhất ( I là giao điểm của hai đờng tiệm cận)

Chứng minh: Ta có S IEF pr, mà S IEF không đổi Mặt khác theo

ờng tròn nội tiếp ) lớn nhất, do đó tam giác IEF có diện tích của hình tròn nội tiếp lớn nhất (đpcm).

11)Từ điểm M kẻ đờng thẳng song song với hai tiệm cận lần

l-ợt cắt lại hai tiệm tại E và F , Khi đó chu vi tam giác MEF nhỏ nhất.

Chứng minh: Nhận thấy tam giác MEF có chu vi bằng nữa chu

vi tam giác IAB mà ta đã chứng minh đợc chu vi tam giác IAB nhỏnhất nên ta có chu vi tam giác MEF nhỏ nhất (đpcm)

12)Từ điểm M kẻ đờng thẳng song song với hai tiệm cận lần

l-ợt cắt lại hai tiệm cận tại E và F khi đó diện tích hình tròn ngoại tiếp tam giác MEF là nhỏ nhất

Chứng minh: Tam giác MEF đồng dạng với tam giác IAB với tỷ

13) Từ điểm M kẻ đờng thẳng song song với hai tiệm cận lần

l-ợt cắt lại hai tiệm cận tại E và F khi đó diện tích hình tròn nội tiếp tam giác MEF là lớn nhất (Bán kính đờng tròn ngoại tiếp tam giác MEF nhỏ nhất)

Chứng minh: : Ta có S MEF pr, mà S MEF không đổi Mặt khác theotính chất 11 chu vi p của tam giác MEF nhỏ nhất nên r ( r bán kính

đờng tròn nội tiếp ) lớn nhất, do đó tam giác MEF có diện tích của hình tròn nội tiếp lớn nhất (đpcm)

14)Từ điểm M kẻ đờng thẳng song song với hai tiệm cận lần

l-ợt cắt lại hai tiệm tại E và F , Khi đó chu vi hình bình hành EIFM nhỏ nhất ( I là giao điểm của hai đờng tiệm cận)

Chứng minh: Nhận thấy hình bình hành EIFM có chu vi bằng 2

lần tổng IA + IB mà ta đã chứng minh đợc IA + IB nhỏ nhất nên

ta có chu vi hình bình hành EIFM cũng nhỏ nhất (đpcm)

15) Gọi M 1 , M 2 là hình chiếu của M lên các tiệm cận khi đó

M 1 M 2 nhỏ nhất.

Chứng minh:

2 1 2

1

2 2

2 1

2 2

1M ( 2 2 cosM)MM .MM

Mà MM1= MM2 nên dấu bằng (*) xảy ra khi đó M1M2 nhỏ nhất

16) Gọi M 1 , M 2 là hình chiếu của M lên các tiệm cận khi đó tổng

MM1+ MM2 nhỏ nhất

Chứng minh: Gọi M1, M2 là hình chiếu của M lên hai tiệm cận

Khi đó tích khoảng cách MM1.MM2 là một số không đổi Mà

MM1= MM2 Nên tổng hai khoảng cách đó MM1+ MM2 là nhỏ nhất.(đpcm)

17) Gọi M 1 , M 2 là hình chiếu của M lên các tiệm cận khi đó chu

vi tam giác MM 1 M 2 nhỏ nhất

Chứng minh: Kết hợp tính chất 15 và 16 suy ra chu vi tam giác

MM1M2 nhỏ nhất (đpcm)

18) Gọi M 1 , M 2 là hình chiếu của M lên các tiệm cận khi đó diện tích hình tròn ngoại tiếp tam giác MM 1 M 2 nhỏ nhất.

Chứng minh:

2 1 2

1

2 2

2 1

2 2

1M MM MM M M cosM ( 2 2 cosM).M M

2 1

2 2

19) Gọi M 1 , M 2 là hình chiếu của M lên các tiệm cận khi đó diện tích hình tròn nội tiếp tam giác MM 1 M 2 lớn nhất (Bán kính đờng tròn nội tiếp lớn nhất)

Chứng minh: Ta có S MM M1 2 pr, mà S MM M1 2 không đổi Mặt khác theo tính chất 17 chu vi p của tam giác MM1M2 nhỏ nhất nên r ( r bán kính đờng tròn nội tiếp ) lớn nhất, do đó tam giác MM1M2 có diện tích của hình tròn nội tiếp lớn nhất (đpcm)

20) Gọi M 1 , M 2 là hình chiếu của M lên các tiệm cận khi đó diện tích hình tròn ngoại tiếp tam giác IM 1 M 2 nhỏ nhất (I là giao điểm của hai đờng tiệm cận)

Chứng minh: Nhận thấy đờng tròn ngoại tiếp tam giác MM1M2 là

đờng tròn ngoại tiếp tam giác IM1M2( Vì tứ giác IM1 MM2 nội tiếp

đờng tròn)

Mà theo tính chất 18 thì diện tích hình tròn ngoại tiếp tam giác

MM1M2 nhỏ nhất vậy ta có (đpcm)

21) Tiếp tuyến với (H) tại điểm M vuông góc với đờng thẳng

IM ( I là giao điểm của hai tiệm cận)

Chứng minh: Ta có M là trung điểm của AB và M nằm trên

phân giác góc AIB nên tam giác IAB cân tại I suy ra tiếp tuyến AB vuông góc với IM (đpcm)

22) Khoảng cách M đến tâm đối xứng I của (H) là nhỏ nhất so với các khoảng cách từ I đến một điểm khác trên (H)

Chứng minh: Theo tính chất 21 thì IM vuông góc với tiếp tuyến

AB Các đoạn khác nối I với một điểm khác điểm M trên (H) là ờng xiên nên IM là ngắn nhất (đpcm)

đ-23) Gọi M 1 , M 2 là hình chiếu của M lên các tiệm cận khi đó tổng các khoảng cách MM 1 + MM 2 + IM nhỏ nhất( I là giao

điểm của hai đờng tiệm cận)

Chứng minh:

Theo tính chất 16 và tính chất 22 ta có tổng MM1+ MM2 + IM nhỏ nhất

24) MN là đoạn thẳng ngắn nhất trong các đoạn thẳng nối hai

điểm bất kỳ thuộc hai nhánh của Hypebol

Chứng minh: Theo tính chất 21 thì MN vuông góc với hai tiếp

tuyến của (H) tại M và N Các đoạn thẳng khác nối hai điểm trên hai nhánh của (H) là các đờng xiên nên MN ngắn nhất (đpcm)

======================

Sau đây là những bài tập mà khi giải ta áp dụng trực tiếp các tính chất trên

Đ4/ một số bài tập đề nghị

Bài tâp 1 Cho hàm số y = 1

1

x x

a Chứng minh diện tích của tam giác ABM không phụ thuộc vào

vị trí điểm M trên đồ thị

b Tìm vị trí điểm M sao cho chu vi của tam giác ABM nhỏ nhất

Bài toán 3 Cho hàm số y= 2 2

Bài toán 4 Cho hàm số y = 2

1

x

x  Tìm trên hai nhánh của đồ thị hàm số hai điểm M và N sao cho MN ngắn nhất

Bài tập 5 Cho họ hàm số y = x + 1 + 1

1

m x



 (Cm) , (m là tham số và

m-1) Chứng minh rằng: Điểm M thuộc đồ thị hàm số thoả mãn một trong các điều kiện sau thì luôn nằm trên hai đờng thẳng cố

định khi m thay đổi Viết phơng trình hai đờng thẳng cố đinh đó

a Tiếp tuyến tại M tạo với hai tiệm cận một tam giác có chu vi bé nhất

b Hình bình hành AIBM có chu vi bé nhất(Hình bình hành AIBMthiết

lập bằng cách từ M kẻ các đờng thẳng song song với hai tiệm cân)

c Khoảng cách từ M đến giao điểm I của hai đờng tiệm cận bé nhất

d Tiếp tuyến tại M vuông góc với IM (I là giao điểm của hai đờngtiệm cận )

e Chu vi tam giác ABM nhỏ nhất

, (m là tham số) Chứng minh rằng: Điểm M thuộc đồ thị hàm số thoả mãn một trong các

điều kiện sau thì luôn nằm trên

hai đờng thẳng cố định khi m thay đổi Viết phơng trình hai đờng thẳng cố đinh đó

a Tiếp tuyến tại M tạo với hai tiệm cận một tam giác có chu vi

24 tính chất giao điểm của Hypebol và đờng phân giác góc tạo bởi hai đờng tiệm cận (có thể coi đây là 24 bài toán về cực tri).

Với phát hiện này ta có thể đa ra một cách giải chung cho tất cả cácbài toán dạng:

 Tìm trên đồ thị y = f(x) điểm M sao cho tiếp tuyến tại đótạo với hai đờng tiệm cận một tam giác có chu vi bé nhất ?

 Tìm trên đồ thị điểm M sao cho khoảng cách từ M đến điểm

I (giao điểm hai đờng tiệm cận ) ngắn nhất ?

 Tìm trên đồ thị điểm M sao cho khoảng cách từ tiếp tuyếntại M đến điểm I ( giao điểm hai đờng tiệm cận )lớn nhất

và còn nhiều bài toán tơng tự khác nữa

Trong thực tế giảng dạy tôi đã truyền thụ phơng pháp này cho cáclớp học sinh và đã thu đợc một số kết quả đáng kể đó là học sinh cómột cách nhìn đơn giản và tự tin hơn, đặc biệt các em đã khôngcòn ngại hoặc lúng túng mà tìm ra đáp số bài toán nhanh và chínhxác hơn khi gặp các bài toán dạng này Tôi xin đợc giới thiệu với

các thầy giáo và các em học sinh bài viết với nội dung : Những tính chất của giao điểm giữa Hypebol với đờng phân giác góc tạo bởi hai đờng tiệm cận , với mong muốn giúp các em học sinh

tự tin và chủ động hơn khi gặp bài toán dạng trên, và một mục đíchnữa là muốn đợc cùng các đồng nghiệp trao đổi và mở rộng hơnnữa đề tài này