Chứng minh: Theo tính chất 21 thì MN vuông góc với hai tiếp tuyến của (H) tại M và N. Các đoạn thẳng khác nối hai điểm trên hai nhánh của (H) là các đờng xiên nên MN ngắn nhất (đpcm).
======================
Sau đây là những bài tập mà khi giải ta áp dụng trực tiếp các tính chất trên
Đ4/ một số bài tập đề nghị .
Bài tâp 1. Cho hàm số y = xx−+11 .Tìm trên đồ thị điểm M sao cho tổng khoảng cách từ M đến hai trục toạ độ là nhỏ nhất .
Bài tập 2. Cho hàm số y = 2 1
x
x− ,từ điểm M trên đồ thị hàm số kẻ đ- ờng thẳng vuông góc với tiệm cân xiên và tiệm cận đứng lần lợt cắt tiệm xiên và tiệm cận đứng tại A và B .
a. Chứng minh diện tích của tam giác ABM không phụ thuộc vào vị trí điểm M trên đồ thị.
b. Tìm vị trí điểm M sao cho chu vi của tam giác ABM nhỏ nhất.
Bài toán 3. Cho hàm số y= 2 2 1
x x
x
+ +
− . Tìm trên đồ thị điểm M sao cho tiếp tuyến tại đó vuông góc với IM ( điểm I là giao điểm của hai tiệm cận).
Bài toán 4. Cho hàm số y = 2 1
x
x− Tìm trên hai nhánh của đồ thị hàm số hai điểm M và N sao cho MN ngắn nhất.
Bài tập 5. Cho họ hàm số y = x + 1 + mx−+11 (Cm) , (m là tham số và m≠-1) Chứng minh rằng: Điểm M thuộc đồ thị hàm số thoả mãn
một trong các điều kiện sau thì luôn nằm trên hai đờng thẳng cố định khi m thay đổi . Viết phơng trình hai đờng thẳng cố đinh đó. a. Tiếp tuyến tại M tạo với hai tiệm cận một tam giác có chu vi bé nhất.
b. Hình bình hành AIBM có chu vi bé nhất(Hình bình hành AIBM thiết
lập bằng cách từ M kẻ các đờng thẳng song song với hai tiệm cân)
c. Khoảng cách từ M đến giao điểm I của hai đờng tiệm cận bé nhất
d. Tiếp tuyến tại M vuông góc với IM (I là giao điểm của hai đờng tiệm cận ).
e. Chu vi tam giác ABM nhỏ nhất
Bài tập 6. Cho họ hàm số y = 1 2 2 + − x m x , (m là tham số) . Chứng minh rằng: Điểm M thuộc đồ thị hàm số thoả mãn một trong các điều kiện sau thì luôn nằm trên
hai đờng thẳng cố định khi m thay đổi . Viết phơng trình hai đờng thẳng cố đinh đó.
a. Tiếp tuyến tại M tạo với hai tiệm cận một tam giác có chu vi bé nhất.
b. Hình bình hành AIBM có chu vi bé nhất (Hình bình hành AIBM thiết
lập bằng cách từ M kẻ các đờng thẳng song song với hai tiệm cân)
c. Khoảng cách từ M đến giao điểm I của hai đờng tiệm cận bé nhất
d. Tiếp tuyến tại M vuông góc với IM (I là giao điểm hai tiệm cận)
e. Chu vi tam giác ABM nhỏ nhất.
================