Phương pháp monte carlo nghiên cứu một số tính chất của hệ vật liệu từ với mô hình Hubbard

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 NGUYỄN THỊ HOA PHƢƠNG PHÁP MONTE CARLO NGHIÊN CỨU MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA HỆ VẬT LIỆU TỪ VỚI MÔ HÌNH HUBBARD Chuyên ngành: Vật lí chất rắn Mã số: 60440104 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT Người hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Thế Lâm HÀ NỘI, 2013 2 LỜI CẢM ƠN Để có thể hoàn thành đề tài luận văn thạc sĩ một cách hoàn chỉnh, bên cạnh sự cố gắng nỗ lực của bản thân còn có sự hướng dẫn nhiệt tình của quý Thầy Cô, cũng như sự động viên ủng hộ của gia đình và bạn bè trong suốt thời gian học tập nghiên cứu và thực hiện luận văn thạc sĩ. Xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn đến TS. Nguyễn Thế Lâm, người đã hết lòng giúp đỡ và tạo mọi điều kiện tốt nhất cho tôi hoàn thành luận văn này. Xin gửi lời tri ân nhất của tôi đối với những điều Thầy đã dành cho tôi. Xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn đến toàn thể quý Thầy Cô giảng dạy chuyên ngành Vật lí chất rắn và quý Thầy Cô trong trường Đại học Sư phạm Hà nội 2 đã tận tình truyền đạt những kiến thức quý báu cũng như tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất cho tôi trong suốt quá trình học tập nghiên cứu và cho đến khi thực hiện đề tài luận văn. Xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn đến gia đình, bạn bè, những người đã không ngừng động viên, hỗ trợ và tạo mọi điều kiện tốt nhất cho tôi trong suốt thời gian học tập và thực hiện luận văn này. Mặc dù tôi đã rất cố gắng hoàn thiện luận văn của mình, tuy nhiên không thể tránh khỏi những thiếu sót hoặc có phần nghiên cứu chưa sâu. Rất mong nhận được sự chỉ bảo của các Thầy, các Cô. Tôi xin chân thành cảm ơn! 3 LỜI CAM ĐOAN Luận văn thạc sĩ “Phương pháp Monte Carlo nghiên cứu một số tính chất của hệ vật liệu từ với mô hình Hubbard”, chuyên ngành Vật lí chất rắn là công trình của riêng tôi. Luận văn đã sử dụng thông tin từ nhiều nguồn dữ liệu khác nhau, các thông tin có sẵn đã được trích rõ nguồn gốc. Tôi xin cam đoan kết quả nghiên cứu trong luận văn này là trung thực, không trùng lặp với các đề tài khác và chưa được sử dụng để bảo vệ một học vị nào. Tôi xin cam đoan mọi sự giúp đỡ trong việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn đều đã được chỉ rõ nguồn gốc. Vĩnh Phúc, ngày tháng năm 2013 Tác giả luận văn Nguyễn Thị Hoa 4 MỤC LỤC Trang Trang bìa phụ…………………………………………………………. 1 Lời cảm ơn……………………………………………………………. 2 Lời cam đoan…………………………………………………………. 3 Mục lục……………………………………………………………… 4 Danh mục các kí hiệu, các chữ viết tắt……………………………… 6 MỞ ĐẦU…………………………………………………………… 7 NỘI DUNG…………………………………………………………… Chương 1: Mô hình Hubbard cho hệ vật liệu từ……………………… 9 1.1 Giới thiệu……………………………………………………… 9 1.2 Mô hình Hubbard cho hệ vật liệu từ……………………………. 9 Chương 2: Phương pháp Monte Carlo cho lí thuyết trường lượng tử 13 2.1 Cơ sở hình thành phương pháp Monte Carlo cho lí thuyết trường lượng tử……………………………………………………… 13 2.2 Vấn đề về dấu của hàm sóng…………………………………… 19 2.3 Sự không ổn định tại nhiệt độ thấp…………………………… 26 2.3.1 Sự kết hợp không gian – thời gian………………………… 27 2.3.2 Sự ổn định ma trận phân hủy…….………………………… 30 Chương 3: Phương pháp Monte Carlo với mô hình Hubbard cho hệ vật liệu từ…………………………………………………………… 34 3.1 Phương pháp Monte Carlo với mô hình Hubbard cho hệ vật liệu từ…………………………………………………………………… 34 3.2 Kết quả và thảo luận……………………… ………………… 40 3.2.1 Sự phụ thuộc của mô men từ vào nhiệt độ - chuyển pha sắt từ thuận từ…………… …………………………………………… 40 3.2.2 Sự phụ thuộc của năng lượng tương tác lân cận vào nhiệt độ 41 5 3.2.3 Sự phụ thuộc của năng lượng của hệ vào nhiệt độ………… 43 3.2.4 Sự phụ thuộc của nhiệt dung vào nhiệt độ………………… 44 3.2.5 Sự phụ thuộc của tổng thống kê Z vào nhiệt độ…………… 45 KẾT LUẬN………………………………………………………… 47 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO…………………………… 48 PHỤ LỤC…………………………………………………………… 51 6 DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT BCS: Mô tả lí thuyết thông thường CPU: Máy tính HS: Hamiltonian – Stratonovich HST: Khai triển Hubbard – Stratonovich QMC: Monte Carlo lượng tử Ref: Tài liệu tham khảo Tr: Trace 7 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Trong lịch sử nghiên cứu Vật lý con người đã sử dụng nhiều phương pháp nghiên cứu như: phương pháp vật lý lý thuyết, phương pháp thực nghiệm, phương pháp mô hình hóa,…trong đó phương pháp mô hình hoá là phương pháp được xây dựng để mô tả hệ Vật lý bằng máy tính có mức chi phí và thời gian tiết kiệm đáng kể. Trong quá trình nghiên cứu Vật lý, chúng ta gặp phải rất nhiều hệ hạt vật lý mà đặc biệt là các tính chất của hệ hạt. Chúng ta có thể nghiên cứu bằng các phương pháp ở trên nhưng phương pháp mô hình hoá đưa ra kết quả bằng mô hình phù hợp tốt với thực nghiệm. Trước đây, phương pháp mô hình hoá đã được áp dụng cho nghiên cứu các hệ hạt theo mô hình cổ điển đã mô tả khá tốt các tính chất điện, từ và các tính chất nhiệt động của hệ hạt. Trên thế giới, phương pháp trên đã được sử dụng tuy nhiên còn rất ít, còn đối với Việt Nam thì phương pháp này còn rất mới lạ, ít người biết đến và hầu hết các tài liệu được viết bằng tiếng Anh. Phương pháp mô hình hoá trên thế giới đã nhiều năm tiếp cận với hệ cổ điển, nhưng với lý thuyết trường lượng tử còn rất ít. Do đó tôi đã chọn phương pháp mô hình hoá các tính chất của hệ hạt Vật lý theo mô hình lý thuyết trường lượng tử làm đề tài nghiên cứu chuyên ngành của mình. Trên cơ sở đó tôi đã chọn đề tài nghiên cứu “Phương pháp Monte Carlo nghiên cứu một số tính chất của hệ vật liệu từ với mô hình Hubbard ”. Phương pháp Monte Carlo là một lớp thuật toán để giải quyết nhiều bài toán trên máy tính và thường sử dụng các số ngẫu nhiên. Phương pháp này tính bằng số hiệu quả cho nhiều bài toán liên quan đến nhiều biến số mà không dễ dàng giải được bằng các phương pháp khác, chẳng hạn bằng tính 8 tích phân. Kết quả của phương pháp này càng chính xác (tiệm cận về kết quả đúng) khi số lượng lặp các bước tăng. 2. Mục đích nghiên cứu - Nghiên cứu các tính chất từ, các tính chất nhiệt động của hệ sắt từ bằng phương pháp mô hình hóa. - Kết quả bằng phương pháp mô hình hoá sẽ được so sánh với kết quả tìm được với các phương pháp nghiên cứu trước đó như các phương pháp nghiên cứu bằng lý thuyết và thực nghiệm. - Trên cơ sở các kết quả tìm được, sẽ mở rộng bài toán cho các trường hợp tổng quát mà lý thuyết và thực nghiệm có thể chưa thực hiện được do tính phức tạp trong lý thuyết hoặc tốn kém về chi phí khi thực hiện nghiên cứu bằng thực nghiệm. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu các tính chất từ và các tính chất nhiệt động của hệ sắt từ bằng các phương pháp nghiên cứu lý thuyết và thực nghiệm. - Xây dựng chương trình mô hình tính toán để mô tả các tính chất nói trên. 4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu - Nghiên cứu các chuyển pha trong hệ sắt từ. 5. Phƣơng pháp nghiên cứu - Phương pháp lý thuyết. - Phương pháp mô hình hoá. 6. Dự kiến đóng góp mới - Xây dựng được chương trình máy tính để mô hình hoá các hệ vật lý dạng tổng quát, mở rộng hơn, so sánh với các phương pháp khác trước đó. 9 Chƣơng 1: MÔ HÌNH HUBBARD CHO HỆ VẬT LIỆU TỪ 1.1 Giới thiệu Chúng tôi xem xét và quyết định phương pháp Monte Carlo lượng tử cho hệ fermionic, sử dụng mô hình Hubbard như một trường hợp nghiên cứu. Bắt đầu với thành phần cơ bản của mô phỏng Monte Carlo cho hệ cổ điển. Chúng ta giới thiệu các khía cạnh như tầm quan trọng của việc lấy mẫu, nguyên nhân lỗi, và giới hạn kích thước. Sau đó, chúng ta thiết lập các bước sơ bộ để chuẩn bị cho các mô phỏng, thực sự chúng được thực hiện bằng việc lấy mẫu rời rạc của trường Hubbard – Stratonovich. Trong phương pháp này hàm Green xuất hiện như một công cụ cơ bản, từ khi hàm Green được sử dụng trong cập nhật các quá trình, và, trong cùng một thời điểm, hàm Green trực tiếp liên quan các đại lượng như từ, điện, kim loại và siêu dẫn. Chúng ta cũng thảo luận việc chưa được giải quyết đó là vấn đề về dấu của hàm sóng, và hai cách để ổn định các thuật toán tại nhiệt độ thấp. 1.2 Mô hình Hubbard cho hệ vật liệu từ Trong việc xử lí với hệ nhiều fermion tương tác, nói chung ta sẽ thấy thú vị trong một số tính chất tập thể, điều này là phù hợp được mô tả trong cơ học thống kê. Không giống như nam châm điện, mà bậc tự do của spin được chỉ ra, tương tác giữa điện và spin tương ứng cho một hiện tượng thú vị (trong đó số bậc tự do của quỹ đạo cũng có thể được tính đến, nhưng chúng kèm theo vô cùng những phức tạp, và không được xem xét ở đây). Những câu hỏi bình thường về một hệ có liên quan đến trạng thái từ tính của nó (Nó có từ tính không? Nếu có, sắp xếp như thế nào?), đến phân bố điện tích, và liệu nó là điện môi, kim loại hay siêu dẫn. 10 Một cách hiểu sâu hơn của tương tác giữa spin và các bậc tự do điện tích có thể đạt được thông qua các mô hình, trong khi đó để có cơ chế vật lí cơ bản tương ứng với cái quan sát được, nên để đơn giản để cho việc tính toán đại lượng có thể so sánh với thực nghiệm. Mô hình đơn giản nhất được mô tả trong các tương tác fermion trên một mạng tinh thể là mô hình Hubbard đơn nhánh [16], được xác định bằng Hamiltonian lớn kinh điển.     ,, . ij i i i i i j i i t c c H c U n n n n                   (1.1) Trong đó: t là năng lượng đơn hạt (nó xác định độ lớn của năng lượng vì vậy chúng ta cho 1t  trong suốt trang này). U là lực đẩy Coulomb tại các nút,  là thế hóa học được kiểm soát bằng mật độ fermion, i chạy từ vị trí của một mạng không gian d – chiều; Tiếp theo, chúng ta xem xét tương tác giữa các lân cận gần nhất, như được kí hiệu bằng . Toán tử i c   và i c  tương ứng là toán tử sinh và hủy một fermion với spin  trên (đơn) orbital trung tâm tại i , khi đó i i i n c c      . Mô hình Hubbard mô tả sự cạnh tranh giữa xu hướng đối lập của lưu động (điều khiển bằng các đại lượng tương tác) và định xứ hóa (điều khiển bằng lực đẩy tại các nút mạng). Đối với miền năng lượng điền đầy một nửa (một fermion trên một nguyên tử), nó có thể được làm rõ ở [36], trong giới hạn của lực đẩy mạnh thì Hubbard Hamiltonian trở thành mô hình Heisenberg phản sắt từ đẳng hướng với một năng lượng tương tác 2 4J t U . Nếu chúng ta cho năng lượng tương tác U một giá trị âm thì ta có một mô hình Hubbard hút. Về mặt vật lí, lực hút địa phương có thể là nguồn gốc [...]... Chƣơng 3: PHƢƠNG PHÁP MONTE CARLO VỚI MÔ HÌNH HUBBARD CHO HỆ VẬT LIỆU TỪ 3.1 Phƣơng pháp Monte Carlo với mô hình Hubbard cho hệ vật liệu từ Mục tiêu của chúng ta là viết mã QMC của mô hình Hubbard Hamiltonian: 垐 H  K V ˆ K   tij ci c j  c  ci    ni  j ij   (3.1) i 1  1  ˆ V  U   ni   ni   2  2 i  Trong đó: chỉ số i vàj chạy từ 1 đến N trong không gian của mạng tinh... nghịch đảo của  ngay lập tức ta thu được kết quả ma trận không gian – thời gian của hàm Green ˆ ˆ g       1 (2.31) Kết hợp không gian – thời gian được giá trị trung bình thu hẹp khoảng ˆ giá trị riêng của  : tỉ số giữa giá trị riêng lớn nhất và nhỏ nhất là lớn và tuyến tính với M , do đó thành số ổn định [15] Thông qua phương pháp này được sử dụng để nghiên cứu tính chất từ của tạp chất [33],... tích của định thức là dương    với tất cả các hàm 21 Tương tự đối số được áp dụng để biểu thị định thức fermionic là luôn luôn dương cho mô hình Holstein của tương tá electron – phonon [7, 22] c Trong một số trường hợp khác, định thức fermionic trở thành âm của một vài cấu hình Để phá vỡ vấn đề này, nhớ lại rằng hàm riêng có thể được viết bằng một tổng của các cấu hình, c  s , của „trọng số Boltzmann‟,... xác trong không gian một chiều, thông qua vành Bethe; hàm tương quan, tuy nhiên, không có tác dụng trực tiếp Ở bài toán nhiều chiều ta phải dùng đến phương pháp gần đúng, và kĩ thuật tính số, giống như mô phỏng Monte Carlo lượng tử (QMC) đã được chứng minh là quan trọng trong việc giải quyết những thông tin về các fermion tương tác mạnh Kể từ lần đầu tiên phương pháp Monte Carlo của hệ cổ điển được phát... qua hình thành polaron) hoặc các phonon địa phương (như mô hình dao động của các phức hóa học) [23] Trong giới hạn liên kết cặp yếu tố mô tả lý thuyết BCS thông thường, và kết cặp trong không gian thực thuận lợi hơn để tính toán bằng số, mô hình này rất hiệu quả để là m sáng tỏ nhiều tính chất ở cả siêu dẫn nhiệt độ thường và siêu dẫn nhiệt độ cao [23] Môhì Hubbard [là công thức đơn giản nhất, phương. .. được số PM dương    sẽ thừa ra số PM âm bằng một số ở tại nhiệt độ thấp, theo cấp số nhân nhỏ Trong thực tế chỉ có một số giới hạn của cấu hình Hamiltonian Stratonovich được lấy mẫu, điều này không ngạc nhiên rằng ta tìm thấy các trường mà cấu hình đưa đến trọng số âm nhiều hơn những trường cấu hình đưa đến trọng số dương Quan điểm này giúp chúng ta hiểu tại sao chỉ đơn giản là loại bỏ những cấu hình. .. thành phần về bậc của sign sign 2 để thu được đại lượng như nhau của cùng dữ liệu như cho 1 Trong hì 2.1a, chúng ta thể hiện điều kiện của sign như một hàm của nh miền năng lượng điền đầy, cho mô hình Hubbard trên một mạng tinh thể hình 22 vuô 4  4 với U  4 , và cho ba nhiệt độ khác nhau Ta thấy rằng, từ n  1 , ng sign chỉ các điều kiện tại điền đầy nhất định, tương ứng để đóng cấu hình; như vậy trạng... lớn của thời gian máy tính; Điều này nên được so sánh với Ns3M thực hiện ban đầu, và  N s M  3 cho thuật toán của tạp chất Sau đó, để giữ M 0 20 vàcho p tăng khi nhiệt độ hạ xuống Với thuật toán này, giá trị của  20  30 đã đạt được trong nhiều nghiên cứu của mô hình Hubbard; xem, ví dụ, Refs [12, 24, 5, 26, 27, 11, 25, 28, 35] Nó cần được đề cập đến hàm Green thời gian không bằng nhau được tính. .. được vấn đề về dấu của hàm sóng Do đó có vẻ như vấn đề này có tính chất cơ bản Hì 2.2: Đối số của dấu trung bình của tích các định thức fermionic như một hàm nh nghịch đảo của nhiệt độ, cho mạng tinh thể vuông 4  4 của mô hình Hubbard, với ng n) nh n  0.625 và cho giá trị lực đẩy Coulomb khác nhau: U  4 (vò trò và 8 (hì vuông) Đường nối là đường nối thông qua các điểm được chuyển thể từ Ref [7] Để tìm... 0   0     1  (2.32) Các đại lượng của hàm phân bố được tính như trong phương trình ˆ (2.30) Nhã 1 của  chỉ rằng tích của B bắt đầu ở lát cắt thời gian đầu tiên n M 0 của mỗi nhóm p Như một hệ quả, hàm Green phụ thuộc thời gian là một ma trận nhỏ, G  l1 ; l2  , kết hợp lát cắt thời gian đầu tiên của mỗi nhóm với chính nó hoặc với lát cắt thời gian của các nhóm tiếp theo, dễ dàng được cho . ngành của mình. Trên cơ sở đó tôi đã chọn đề tài nghiên cứu Phương pháp Monte Carlo nghiên cứu một số tính chất của hệ vật liệu từ với mô hình Hubbard ”. Phương pháp Monte Carlo là một lớp. 30 Chương 3: Phương pháp Monte Carlo với mô hình Hubbard cho hệ vật liệu từ ………………………………………………………… 34 3.1 Phương pháp Monte Carlo với mô hình Hubbard cho hệ vật liệu từ …………………………………………………………………. PHƢƠNG PHÁP MONTE CARLO NGHIÊN CỨU MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA HỆ VẬT LIỆU TỪ VỚI MÔ HÌNH HUBBARD Chuyên ngành: Vật lí chất rắn Mã số: 60440104 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT