đường chính khúc và đường tiệm cận trên mặt trong e3 luận văn tốt nghiệp đại học

Trang 1

KHOA TOAN

TONG THI TU

DUONG CHINH KHUC VA DUONG TIEM CAN

TREN MAT TRONG E°

KHOA LUAN TOT NGHIEP DAI HOC

NGANH CU NHAN KHOA HOC TOAN

Trang 2

TRUONG DAI HOC VINH

KHOA TOAN

DUONG CHINH KHUC VA DUONG TIEM CAN

TREN MAT TRONG E°

KHOA LUAN TOT NGHIEP DAI HOC

NGANH CU NHAN KHOA HOC TOAN CHUYEN NGANH: HINH HOC

Trang 4

2

LOI M6 DAU

Lý thuyết về đường trên mặt là một nội dung quan trọng của hình hoc vi phân được trình bày trong nhiều tài liệu như: “Hình học vi phân” của Đoàn Quỳnh,

“Các dạng vi phân” của H.Cartan Lý thuyết này liên quan đến rất nhiều các kiến

thức của hình học tôpô Có 3 loại đường thường gặp trên mặt, đó là: "_ Đường chính khúc

"_ Đường tiệm cận

"Đường trắc địa

Trong phạm vi khoá luận này, chúng tôi trình bày các khái niệm và các tính chất của đường chính khúc và đường tiệm cận trên mặt trong EẺ

Cấu trúc của khoá luận và một số kết quả đạt được: §1 Ánh xạ Weingarten và các độ cong

Mục này trình bày và chứng minh chi tiết một số tính chất quan trọng của

ánh xạ Weingarten (Mệnh đề 1.4,1.6 ) Từ đó đi đến các khái niệm độ cong Gauss,

độ cong trung bình, các dang co ban I, II, công thức Meusnier, Euler và chứng minh một số tính chất liên quan (Mệnh đề 1.7,1.8.1,1.8.2) để sử dụng cho các chứng minh sau này

§2 Đường chính khúc

Mục này trình bày khái niệm đường chính khúc trên mặt trong E và xây

dựng phương trình vi phân của đường chính khúc Từ đó áp dụng để tìm đường

chính khúc trên một số mặt thường gặp Ngoài ra còn trình bày các tính chất của đường chính khúc (Mệnh đề 2.5.1, ,2.5.7)

§3 Đường tiệm cận

Trang 5

Khố luận được hồn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo - TS Nguyễn Duy Bình Nhân dịp này, tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến thầy Đồng thời cảm ơn các thầy cô trong Khoa Toán - Trường Đại học Vinh,

cảm ơn gia đình và bạn bè đã tạo điều kiện cho tôi trong suốt quá trình học tập và hồn thành khố luận

Do sự hạn chế về thời gian cũng như năng lực của bản thân nên khố luận

khơng tránh khỏi những thiếu sót, rất mong được sự đánh giá, phê bình và góp ý của các thầy cô

Tôi xin chân thành cảm ơn !

Vinh, thang 04 năm 2000

Trang 6

4

§1 ANH XA WEINGARTEN CUA MAT STRONG E°

1.1 Dinh nghia

S 1a một đa tạp hai chiều (mặt) có hướng trong £` và xác định trên trường vectơ pháp tuyến đơn vị ø trên S

Ánh xạ:

h„ : TpS —> TpS

œt>-D„n (D là đạo hàm của trường vectơ pháp tuyến don vi trong E*)

được gọi là ánh xa Weingarten tai p

Khi p thay đổi, kí hiệu chung các h, d6 là h và gọi là ánh xạ Weingarten trên S

1.2 Nhận xét

Trang 7

= -(D,,n+ Dyn)

=—kD,n—-ID,n

= kh,(a)+th,(B)

Dé ching minh h, d6i xting ta ching minh rang vi moi a, thudc TpS cé h,(a)B =ah,(B) v6i moi pes

Trang 8

1.5 Dinh nghia

Mỗi giá trị riêng của ø„ gọi là một độ cong chính tại p của S Méi vecto riêng của h„ xác định một phương gọi là phương chính tại p của S

Định thức của tự đồng cấu ?„ gọi là độ cong Gauss tại p cla S, ki hiệu là

K(p)

=e gọi là độ cong trung bình tại p của S, ki hiéu la A(p) Diém pe Sgoi Ia điểm eliptic, hyperbolic hay parabolic của s tuỳ theo K(p) dương, âm hay bằng 0

1.6 Nhận xét

Từ các tính chất của tự đồng cấu tuyến tính đối xứng z„ suy ra rằng ?„ luôn

có hai giá trị phân biệt thực hoặc có đúng một giá trị riêng thực Chứng minh:

Chọn cơ sở trực chuẩn đơn vị fe,,e,} trong 7pS h, (e, )= ae, + be, Gia su: {r (c, )= ce, + de; Suy ra: € (reece Từ tính đối xứng của ¡„ suy ra b=e 2 4 > b Do đó ma trận của ánh xạ ø„ là: Ap= | | d Xét định thức: ` “k0 =0 b d-k K? =(a+d)K —(b’ —ad)=0 * Ta có: (a+4) | ad) 6) A =(a-d}>0

- Nếu A >0 phương trình (*) luôn có hai nghiệm thực phân biệt, nghĩa là ?„

có hai giá trị riêng phân biệt, khi đó hai phương chính tại p hoàn toàn xác định

Trang 9

Độ cong trung bình tại p của % là #{p)= 2IẾ + &)

Nếu A=0 phương trình(*) có nghiệm kép thực tức là »„ có đúng một giá trị riêng thực Ế,=Ế, Khi đó với mọi cơ sở trực chuẩn Í@,Ẳ@&} của 7p§ có h,(e,)= Kye; h,(e,)= Kye); Ấ, =K, và K(p)=K?; H(p) = K, Điểm p như thế gọi

là điểm rốn của S

Khi Ế,=Ấ, =0 p còn gọi điểm đẹt K, =K, #0 pcon goi diém cau 1.7 Menh dé Mat Strong E* ma mọi điểm rốn thì độ cong Gauss hằng không âm Chứng minh: Giả sử: r: U"“(C R?)— S (u,v) Hr (u, V) là tham số hoá địa phương tuỳ ý của S { oF ; or } độc lập tuyến tính ôu ov

Goi n 1a trudng vecto phdp tuyến đơn vị của mặt S Vi moi điểm của S 1a

Trang 10

A(nF) _ Ẩ or Nên Ou Ou A(noF)_ K or ov Ov Lấy đạo hàm hai vế mỗi đẳng thức trên ta có: ô?(n7)_ g.ôF | e 077 Oudv "Ou “Audv 27 (mF )_ RF aR, ô“r Ovou 9y Øvôi OF OF Vi nyr khả vi nên: = Ơv Ơyều

Do { or or } độc lập tuyến tính nên K, = Kj =0 Suy ra Ế là hàm hằng Vậy K =K là hằng số không âm

1.8 Các dạng cơ bản / va // cua mat S (mat có hướng trong E`) Với mỗi PeS, I„: TpSxTpS->R

(z.8)—> ø.8 H„: - TpSxTpS>R

(z.8)t> ñ„(œ).8

Là những dạng song song tuyến tính đối xứng trên 7›S chúng được gọi theo

thứ tự là dạng cơ bản thứ nhất và thứ hai của S tại Người ta cũng kí hiệu:

Trang 12

10 (; ^=}'6.v)= (; ^ )( ^ ze.v) —|n(v)y(wv) - ry}y@,v Suvi) s@.v)z6„v) “lrs) oes) | = (eG _ F?\u,v)

Hay: In, Ar =VEG- F?

(ngr)r„„ = See Tin (u, v)

h9)

(uv)

Vay L(u,v)= (Garr) ris) VEG - F°*

Tương tự ta chứng minh được:

M (u, v)= Sintra) ứu v)

N(u, v)= đan bác v) EG -

1.9 Độ cong pháp dạng - Công thức Meusnier - Công thức Euler

Xét S là một mặt phẳng có hướng trong £°

1.9.1 Độ cong pháp dạng - Công thức Meusnier

Trang 13

- Nếu OF (s,)=0 thì /7(s,))=0 iS

- Nếu _ 0 ( Tức ứng với s„ là điểm song chính quy của z), thì từ IS

PE (55)=K(s)}N() td 66: K(5}.M(s5)n(o(s,))=2 Ímu2Js,} trong đó

K(s,)la dO cong cua p tai s,

N(s,) 1& vecto phdp tuyén chinh don vi cua p tai s, Từ đó ta duge: K(s, N(s, )n( p(s, )) = Z(T(s, ))

Công thức này dẫn đến định nghĩa:

Định nghĩa:

œ là vectơ khác 0 của 7ps thì đặt #(œ)= Ta) số đó không déi khi thay a

bằng 2z, 2 là số thực khác 0 tuỳ ý, được gọi là độ cong pháp dang của % theo phương xác định bởi z Khi đó công thức trên trở thành: K(s,)N(s,)s(ø(s,))= Ẽ(7É,,) và được gọi là công thức Meusnier 1.9.2 Công thức Euler

Với mỗi vectơ riêng e của h„,h„(e)= K.e ( K gọi là giá trị riêng của ø„)

Thì: R(e)- Ue) _h,(e)e _ Ree = =K

1 (e) ee ee

Từ đó nếu lấy một cơ sở trực chuẩn {e,,e,} của 7p gồm những vectơ riêng của h, thì K(e,)= #,.#(e,)= Ấ, là các độ cong chính của S tai p

Nếu @ =cosge, +singe, thi I(a@)=a.a=1

Nen Ra) Te)

=h, (ala

=h (cosge, +sin ge, \(cosge, +sin ge, ) =K,.cos’ 9+ K,.sin’ g

Trang 14

12

Vay ta c6é cong thttc: K(a)= K, cos’ y+ K, sin? g va dugc goi là công thức Euler

Nhan xét:

Từ công thức Euler ta thay:

- Nếu các độ cong chính K,,K, cing dấu thì £(øz) cũng có dấu đó với mọi

aeTpS — {o}

Trang 15

§2 DUONG CHINH KHUC

2.1 Dinh nghia

Đường trén mat Strong E* mà phương tiếp xúc tại mọi điểm là một phương

chính của $ tại điểm đó gọi là một đường chính khúc của s Cụ thể: p:J —S,t p(t) xác định một đường chính khúc khi và chỉ khi P62) song song

it

véip

2.2 Nhan xét

a) Định nghĩa này không phụ thuộc vào việc chọn tham số của đường Thật vật, giả

SỬ p:J >S,t p(t) xdc dinh mot đường chính khúc và zr:7 —> S,z+> r{z) cũng là

Trang 16

14 (*)© K?~(a+4)K—b? +ad =0 ( 7 là ma trận đơn vị) <h, 1a phép vi tự ©h,(a)=aa:Va > h„(œ)/!a.vø Hay Pu) =VFT' là đường chính khúc

Như vậy, các đường cong trên mặt phẳng, mặt cầu đều là đường chính khúc 2.3 Phương trình vi phân của họ các đường chính khúc trong tham số hoá địa

phương

Giả sử r:U —>S,(u,v)>r{u,v) là một tham số hoá của mat Strong £° Khi đó

a

phương của zR(p)+bR(p) với a,beR.|a+|D|#0 xác định một phương chính của S tại p=r{w,v) khi và chỉ khi:

Ib? —ab a

E(u,v) F(u,v) G(u,v) =0 L(u,v) M(u,v) N(uv

Trong đó E,F,Gvà L,M,N theo thứ tự là các hệ số của dạng cơ bản 7 và dang co ban JJ cla S trong tham số hoá r

Thật vậy aR,(u,v)+bR,(u,v) là một phương chính khi và chỉ khi tồn tai K sao

cho:

h,(aR, +bR,)=—K[aR, +bR,)

Tức là khi và chỉ khi hệ hai phương trình sau ( có được do nhân vô hướng lần

lượt với Ÿ„ và R,) có nghiệm K

h, (aR, +bR )R, =—K(ak, +bR)R,

Trang 17

(em (R,)R, =bh,(R,)R, =—KÍ(aR,.R, +bR,.R,) oS ah,(R,)R, =bh,(R,)R, =-R(aR,.R, +bRR,) ~ tai (w (uv) al +bM =-K(aE+bF) ~ tại (u,v) aM +bN =-K(aF +bG) aL+bM aE+bF : © =0 tại (u,v) aM +bN aF +bG lb? -ab a 32 F G|=0 tai (u,v) L M N Vậy phương trình vi phân của họ các đường chính khúc trong tham số hoá địa phương là: Ldu + Mdv Edu + Fdv\ _ |Mdu + Ndv Fdu + Gdv| dv? —dudv du? Hay |Z M N |=0 E F G 2.4 Đường chính khúc trên một số mặt thường gặp 2.4.1 Mặt trụ Eliptic

Tham số hoá của mặt có dạng:

Trang 18

16 —ab L=ngr#„ =—E=== SE Va’ sin’ u+b° cos u M=(sg)z =0 N=(ngr).7,, =0 Phương trình vi phân của đường chính khúc là: —ab Va’ sin’ u+b’ cos” „ 0 dv © dudv=0 du=0 © dv=0 du (@ sin? u +b? cos” udu =0 u=Uy ` ¿

S y=u (uy,v) 1a cdc hang s6)

Vậy trên mặt trụ Eliptic các đường toạ độ là các đường chính khúc 2.4.2 Mặt trụ Hyperbolic

Tham số hoá của mặt có dạng:

Trang 19

M= (mr) 1, =0 N= (nạ) =0 Phương trình vi phân của đường chính khúc là: m (@shu + ch”u Aa”®sh”u + b°ch”u =0 0 dv © dudv=0 đụ =0 = dv=0 uU=Uy » non he © v=ty ( _zạ,vạ là các hằng số) Vậy trên mặt trụ Hyperbolic các đường toạ độ là các đường chính khúc 2.4.3 Mặt trụ Parabolic

Tham số hoá của mặt có dạng:

Trang 20

18 Phương trình vi phân của đường chính khúc là: 4p ——— du V4u? +1 0 dv = dudv=0 du=0 2S dv=0 (4p? +16p°u? du 0 MU =1 - -© v=U ( zạ,vạ là các hằng số) Vậy trên mặt parabolic các đường toạ độ là các đường chính khúc 2.4.4 Mặt định ốc đứng

Tham số hoá của mặt có dạng:

Trang 21

Phương trình vi phân của đường chính khúc là: h dv yˆ +] Hu >, vv +h? ( i =0 h du dv oS (ay = ( +h? )(a„}Ÿ © &»=+\y? +]? du 1 vey? +h |+C, C Œ, là hằng số) = (du)=+ dv ©u„u=+ln Vậy trên mặt định ốc đứng các đường chính khúc được xác định bởi phương trình: u=tin v+xy +h] +C, ( Œ, là hằng số) 2.5 Một số tính chất của đường chính khúc 2.5.1 Mệnh đề

Mọi đường trên mặtS là đường chính khúc nếu Hˆ(p)= KÍp), VpeS, trong đó H,K

theo thứ tự là độ cong trung bình và độ cong Gauss của S Chứng minh: Ta có: 2 1 1*(/)=)3| SIK,+K)| =&, *K =(K,-K,} =0 =>K,=K, ;VpeS

Do đó mọi điểm của S đều là điểm rốn

Vậy theo nhận xét 2.2.b) ta có điều phải chứng minh 2.5.2 Mệnh đề

Các đường toạ độ của mặt ŠS là đường chính khúc khi và chỉ khi F = M =0

Trang 23

Khi đó các đường toạ độ của mặt S là đường chính khúc Chứng minh: Ta có: r= (3 +3vy?”— 3u” ,6uv,6u) „ = (6uv,3 +3„?—3y?,— 6v) r,, = (6v,6u,0) „ ^ „ = (20 +2uv? + 2u,—(2v° +2 ”y+ 2v),(u? +) -9) 2 rn | = (+ +2v?+ 2u} +(-2v° +2w2v+2v)} +((u? +v?)~9) (20 + 2uv? +2u,(-2v° +2uv? +2v),(u? +2} -9) LAN = (mr) = m1 AN 2

{ew + 2uv? +2u) +(-2v° + 2u?v+ 2v) NI +y? y -9)

>Ferr= (3+3v? ~3u?).6uy + 6uv.(3 +3” ~3v?)~36wy =0

(2u° + 2uv? + 2u).6v + (-2v° + 2uv? + 2v).6u +0 (ew +2uv? + 2} + (-2v° +2w”v+ 2v) + (( + vy -9) =0 Vậy theo 2.5.2 ta có điều phải chứng minh 2.2.5 Mệnh đê

Giả sử hai mặt S,,S, trong E` cắt nhan theo một đường T dưới một góc không đổi Khi đó nếu T là đường chính khúc của S, thì nó cũng chính là đường chính khúc của S, Chứng minh: Giả sử S,,S, lần lợt có tham số hoá dạng: (u, v) Bw ru, v) va (u, v)> F(u,v)

Ta ky hiéu n(s),7(r) lan luot 1a phdp tuyén don vi cua S,,S, doc T Ta có T là đường chính khúc của s, nên ø(/)//n ()

Trang 24

22 =n(0)ñ()+ n()ñ (t)=0 () Hơn nữa: ø(?)L(?) nên ø () L 7) (2) Từ () và (2) =ñ 0) L ñ() Vậy T là đường chính khúc của S, 2.5.6 Mệnh đề

Cho CC S là một đường chính quy và N là trường pháp vectơ đơn vị của S Với œ là một tham số hoá nào đó của C, Khi đó:

1) C là một đường chính khúc khi và chỉ khi N'(¿) và a (t) càng phương

2) Nếu C là một đường chính khúc thi dé cong chinh ting voi a(t) la

aa

Ching minh:

Trang 25

2.5.7 Ménh dé

Cho đường chính quy C là giao của mặt chính quy S với mặt phẳng p a la tham số hoá nào đó của C Nếu góc giữa S và p là hằng dọc theo œ thi a la đường chính khúc

Chứng minh:

* Trường hợp 1: Góc giữa § và p lớn hơn 0° và bé hơn 180°

Trang 26

24

§3 DUONG TIEM CAN

3.1 Dinh nghia

Phương xác định bởi @ € TpS—{0} goi 1a mot phuong tiém can claS tai p

néu do cong phap dang cia S theo phuong dé 14 0, K(a)=0

Đường trên $ mà phương tiếp xúc tại mọi điểm là một phương tiệm cận của

% tại điểm đó gọi là một đường tiệm cận của $

3.2 Ví dụ

Š là mặt phẳng thì mọi đường trên s là đường tiệm cận của S

Thật vậy vì $ là mặt phẳng nên trường vectơ pháp tuyến đơn vị n của § là trường

vectơ song song Do đó với mọi ø e 7»$~ {0} ta có D„n= 0 = II{œ)=0, Vø eTpS — {0}

> K(a)=0, Vae TpS — {0}

Vậy đường có phương xác định bởi @ 1a dudng tiém can cla S Do đó mọi đường trên Š là đường tiệm cận cua S

3.3 Phương trình vỉ phân của họ các đường tiệm cận trong tham số hoá địa phương

r:U->S

(wv) r(uv)

là một tham số hoá địa phương của mặt S trong ZE` thì phương của

a=aR,(p)+bR,(p) Ía=uj, b=, |a|+|b|z 0) xác định một phương tiệm cận của S

tại {u,v)= p khi và chỉ khi K(a)=0

= II(a)=0 =h,(a)a=0

° Km) + b(ny} )k + br )=0 tai(u,v)

© a (ar) 7 + abln,7'), Fit ab(nyr} z; +0? (7) # =0 tại (w,v)

© La? +2Mab+ Nb? =0 — tại (u,v)

ii som at ® yf & =0 dt dt dt dt

Trang 27

3.4 Các ví du

Vi du 1:Tim phương trình đường tiệm cận của mặt nón trong £`

Phương trình biểu diễn của mặt nón trong không gian #` là: X=ểYCOS// y=vsinu Z=yYy Xét ánh xạ: r:U>E?, U™ cE (uv) (vcosu, vsinu, v) Ta có:

r, =(-vsin u,v cos u,0)

r= (cos u,sin u,1)

r= (- sin w, cos u,0)

ro= (- vcos u,—vsin u,0) uu r„ = (0,0,0) Khi đó: _ (ycosz,vsin ,— v) „x2 1 L=-— +h) M=0 N=0 Phương trình vi phân của họ đường tiệm cận của mặt nón có dạng: 1 2 - |W? =0 42

=y=0 hoặc u=c, C=consl,

Trang 29

o-taa{-tec], C=const x lở 1 1 ˆ =©=-;=|_-_—+C|., C =const x Bỏ L I es4- 4 =C -2C.-, C=const yoy y s7-c-2!, C=const lở Từ (*) tương tự ta cũng có z = 2c.L—C®, C =const x Chọn C =1 tacé: z=1-2 y z=2-I x hay mm 7 l-z 2 x=—— l+z Vậy đường tiệm cận của S có phương trình dạng: 2 X=—— l+/ `_ 2 7 1-t Z=f

Ví dụ 3:Tìm phương trình đường tiệm cận của mặt trụ trong Z`

Trang 30

28 Ta có: r= (- asin u,acos „,0) r„ = (0,0,1) Tạ, = (— acos u,—asin u,0) r„> = (0,0,0) r„ = (0,0,0) Khi đó: „= (aeosu,asin,0) dị L=-a| M=0 N=0

Phương trình vi phân của họ đường tiệm cận của mặt trụ có dạng:

Lam? +2Mdudv+ Nâ? =0

= -|aldu? =0 ©adu„=0

©du=0

eu=C, C =const, aeR

Vậy đường tiệm cận của mặt trụ là các đường toạ độ:

u=C, C=const aeR

3.5 Cac tinh chat 3.5.1 Ménh dé

Trong tham số hoá (u.v)L>r{u, v) của S

L=0 khi và chỉ khi các đường toạ độ u là các đường tiệm cận của S

N=0 khi và chỉ khi các đường toạ độ v là các đường tiệm cận của S

Chứng minh:

Trong tham số hoá (u,v) L>ruv) của %, các hệ số , W được xác định:

tyr =n)

Trang 31

Ta có:

L=0œ1I')=0

= R(F)=0

<F 1a dudng tiém can cua S tai diém (w,v)

<= Duong toa do u 1a dudng tiém can cua S

N=0« II(£')=0

= R@)= 0

< F la phuong tiém can cita S tai diém (u,v)

© Đường toa độ u là đường tiệm cận của S 3.5.2 Mệnh đề Dọc đường tiệm cận y của S, độ cong Gauss k của y không dương: K(p)<0 voi Vpey Chứng minh: ke,„e;] là một cơ sở trực chuẩn của 7pS gồm các vectơ riêng của ”p a=cosge, +singe, €TpS Ta c6 cong thitc Euler: K(a)=K, cos? g+K,sin?g (K,.K, là các độ cong chính cua y tai P) Doc đường tiệm cận z của S thì K(z)=0 nên: K, cos ø+K, sin’ 9=0>K,K, <0 Vay K(p)=K,.K,<0, Vper 3.5.3 Hé qua

Mặt S trong E` mà mọi điểm là điểm rốn và có độ cong Gauss khác 0 thì không có đường tiệm cận

Chứng minh:

Theo 1.7 ta có: nếu mat S$ trong #` mà mọi điểm là điểm rốn thì độ cong

Gauss K là hằng, không âm

mặt khác, vì K(p)#0, VpeS nén K(p)>0, VpeS

Trang 32

30 3.5.4 Ménh dé

Đường trên mặt S trong E` là một đường tiệm cận của S khi và chỉ khi một

trong các điêu kiện sau được thoả mãn:

¡)_ Tại mỗi điểm của nó tiếp tuyến có phương là phương tiệm cận

ii) Đường là đường thẳng hay là tại mỗi điểm của nó mặt phẳng mật tiếp? trùng

với mặt phẳng tiếp xúc của mặt

iii) Tại mỗi điểm của nó độ cong pháp dạng theo phương tiếp tuyến bằng 0 Chứng minh:

)=—ii):Giả sử z là đường trên mặt $ mà tại mỗi điểm của nó tiếp tuyến có phương

là phương tiệm cận Khi đó z là một đường tiệm cận của S

Giả sử: ø: —› S là một tham số hoá tự nhiên của z, s„ là điểm song chính qui bất kỳ của z thi K(7(s,))=0 Từ đó theo công thức Meusnier thì K(s,)W(s,)z(o(s„))= 0 => K(s,)=0, Vsạcz>z là đường thẳng hoặc N{s,)z(ø(s, ))= 0 VSạ €7 > N(s,)L n(pls,)), Vs) €7

mà z(ø2(s¿)L ø(s) nên z(ø(s„)) vuông góc với mặt phẳng mật tiếp của z tại s„ Do đó mặt phẳng mặt tiếp của z tại s„ cùng phương với mặt phẳng tiếp xúc với Š

tại s„ nên chúng trùng nhau

1)=iii): z là một đường bất kỳ trên Š Ta xét các trường hợp sau:

a) z là đường thẳng:

Khi đó độ cong của z tại điểm s„ bất kỳ thuộc z là K(s,)=0 Giả sử z có tham số hoá tự nhiên ø: s> ø(s,)

Từ công thức Meusnier ta có: K(T(s,))=0, Vs, ey hay K(T)=0

b) Tại mỗi điểm của z mặt phẳng mật tiếp trùng với mặt phẳng tiếp xúc của mặt Khi đó, vì W(s,) nằm trong mật tiếp của z tại s„ nên N(p(s,)).N(s,)=90, Vs, e7

Trang 33

Hay K(T)=0

Vậy tại mỗi điểm của z độ cong pháp dạng bằng 0

iii) >i): Gia sit z là đường trên S sao cho tại mỗi thời điểm của nó độ cong pháp

dạng bằng 0, khi đó với s„ là điểm thuộc z thì Ấ(7(s„))=0

Do đó phương tiếp xúc của 7(s,) là phương tiệm cận, nên z là đường tiệm cận

cua S

3.5.4 Mệnh đề

Mặt S mà mọi điểm trên nó là điểm hyperbolic thì tại mỗi điểm của S có

hai phương tiệm cận

Chứng minh:

Goi p là điểm bất ký thuộc §$ Lấy ls„&lla cơ sở trực chuẩn của 7Š gồm

những vectơ riêng của ?„ ứng với các giá trị riêng ,,£,

Vì p là điểm hyperbolic nên £,.K, < 0 do đó từ công thức Euler suy ra tồn tai ø eTpS - {0} để độ cong pháp dạng của theo phương xác định bởi ø là K(z)=0 Thật vậy với a, =cospe, +singe, €TpS—{0} [sin = E-Ẽ | K

Q, =COSP,e, +SiNP,e, € TpS—{o} se =-l——— |

Thì K(ø,)= K(œ,)=0 nên z,,z, là hai phương tiệm cận của Š tại ?

Vậy tại mỗi điểm øe $ thì có hai phương tiệm cận của #S

3.5.5 Mệnh đề

Mặt S mà mọi điểm trên nó là điểm parabolic mà không là điểm det thì tại

mỗi điểm của S có duy nhất một đường tiệm cận

Chứng minh:

Trang 34

32 Lay {ee} là một cơ sở trực chuẩn của 7; gồm những vectơ riêng của ”„ tương ứng với K,,K, Với z=cosø, +sinœ, e7pS—{0} thì R(a)= K, cos? g K(a)=0<>cosp=0 Vậy tai pe S phuong xac định bởi @ =e, 14 phuong tiém cận 3.5.6 Ménh dé Mặt mà mọi điểm trên nó là điểm eliptic thì không có đường tiệm cận Chứng minh:

Gia sit SIA mat trong E> ma mọi điểm trên nó là điểm eliptic thì K,.K, >0(K,,K, la cdc do cong chinh tai pcta S)

Lấy cơ sở trực chuẩn {e,,e;} của 7ps gồm những vectơ riêng h„ tương ứng với các

gid tri riéng K,,K,

Trang 35

Dat a=p(t) Ta có: bia) nén bao) =f Do đó: h,(œ)=—D,n ——\ Ír 1 = n2|(u)=- 19 “Re Goi {e,,e,} 1a co sở trực chuẩn của 7p;s gồm những vectơ riêng của h, thi: 1 h,(e)=- Fe 1 h„(e;)= “RR?

= Độ cong Gauss cla mat cu S tai p 1a K(p)= = >0, VpeS

Vậy mọi diém trén S 14 diém eliptic, do đó theo 4.6 mặt cầu S khong có đường tiệm cận 3.5.8 Mệnh đề Trên một mặt mà mọi đường là đường tiệm cận thì mặt đó là mặt phẳng hoặc một phân mặt phẳng Ching minh:

Goi Slà mặt mà mọi đường trên nó là đường tiệm cận Khi đó mọi phương

xác định bởi ø e 7»$ - {0} là phương tiệm cận (p c9)

Trang 36

34 3.5.9 Ménh dé

Trên miền các diém hyperbolic cia mat S cdc duéng chính khúc tại môi điểm chia đôi góc giữa các đường tiệm cận

Chứng minh:

Giả sử p là một điểm hyperbolic bất kỳ thuộc Š;{e,,e,}]là cơ sở trực chuẩn của 7p gồm những vectơ riêng của h, ứng với các gid tri riéng K,,K,

Theo Š.4 ta có:

a, =cospe, +singe, c7ps~{0} v6i sing, = Ẽ

đ; = COSØ;e, +SỈn Ø;e; € TpS —{0} VỚI Sin/, =—

là hai phương tiệm cận cua S tai p

Giả sử z,,z; là hai đường tiệm cận của § có phương xác định bởi ø, va a,;

z là đường chính khúc của $ Để chứng minh y chia đôi góc giữa 7, và 7, ta

Trang 37

KET LUAN

Khóa luận đã đạt được các kết quả sau:

- Trình bày một cách hệ thống và chứng minh chi tiết các tính chất về độ

cong chính, độ cong pháp dạng của mặt và các tính chất của đường chính khúc,

đường tiệm cận

- Chứng minh Mệnh đẻ 1.7, Mệnh đẻ 2.5.2, Mệnh đề 2.5.6, Mệnh đề 2.5.7,

Mệnh đề 3.5.8

- Chỉ ra các ví dụ cụ thể: Ví dụ 1.3, Ví dụ 3.4

- Chỉ ra một số đường chính khúc trên các mặt quen biết như mặt trụ Eliptic,

mặt trụ Hyperbolic, mặt trụ Parabolic, mặt đinh ốc cứng

Trang 38

[1] [2] [3] [4] [5] 36

TAI LIEU THAM KHAO

Doan Quynh (2001), Hinh hoc vi phan, Nxb Giáo dục, Hà Nội

Đoàn Quỳnh, Trần Đình Viện, Trương Đức Hinh, Nguyễn Hữu Quang (1989), Bài tập hình học vi phân, Ñxb Giáo dục, Hà Nội

Lê Thị Nhung (2002), Về ánh xạ cầu trên siêu mặt, Luận văn Thạc sĩ

Toán học, Dai hoc Vinh

B.A.IVBPOBHHC, II HOBMKOB, A.T POMEMCO (1979),

COBPEMHHAA TEOMETPHA, MOCKBA

D Gromoll, W Klingerberg, W Meyer (1971), Hinh hoc Riemann