Về góc hôlônômi trên một số mặt trong e3

Mục lục lời mở đầu Chơng I: Đa tạp Riemann hai chiều I Đa tạp Riemann hai chiều II Dạng liên kết đa tạp Riemann hai chiều III Đạo hàm dọc đờng cong đa tạp Riemann hai chiều Chơng II: Phép chuyển dịch song song đa tạp Riemann hai chiều I Phép chuyển dịch song song 18 II Góc Hôlônômi 23 III Các ứng dụng 26 Phần kết luận 31 Tài liệu tham khảo 32 lời nói đầu Phép chuyển dịch song song góc Hôlônômi có nhiều ứng dụng việc khảo sát tính chất hình học, giải tích có nhiều ứng dụng thực tế Bài toán đặt việc khảo sát tính chất phép chuyển dịch song song tính góc Hôlônômi phép chuyển dịch song song số mặt E3 Trong khoá luận này, trình bày phép chuyển dịch song song, tính chất phép chuyển dịch song song đa tạp Riemann hai chiều Và ứng dụng việc tính góc Hôlônômi số mặt quen thuộc E3 Khoá luận đợc chia làm hai chơng: Chơng I: Đa tạp Riemann hai chiều Trong chơng này, trình bày vấn đề khái niệm tính chất đa tạp Riemann hai chiều, dạng liên kết đa tạp Riemann hai chiều, phép toán lấy đạo hàm dọc đờng cong Mục đích chơng chuẩn bị kiến thức phục vụ cho chơng II Chơng II: Phép chuyển dịch song song đa tạp Riemann hai chiều Trong chơng này, trình bày phép chuyển dịch song song đa tạp Riemann hai chiều ứng dụng tính góc Hôlônômi số mặt E3 Khoá luận đợc hoàn thành vào tháng năm 2007 trờng Đại học Vinh dới hớng dẫn thầy giáo PGS.TS Nguyễn Hữu Quang Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy tận tình hớng dẫn trình thực khoá luận Tôi xin chân thành cảm ơn ban giám hiệu trờng Đại học Vinh, ban chủ nhiệm khoa Toán, thầy cô tổ môn, thầy cô, bạn bè giúp đỡ, tạo điều kiện cho suốt trình hoàn thành khoá luận Vinh, tháng năm 2007 Tác giả chơng I đa tạp Riemann hai chiều Trong chơng này, trình bày số nội dung đa tạp Riemann hai chiều nh phép vi phôi đẳng cự, liên thông Lêvi-sivita; dạng liên kết đạo hàm dọc đờng cong I Đa tạp Riemann hai chiều Trong mục ta giả thiết M đa tạp khả song hai chiềuvới trờng mục tiêu{X1, X2} 1.1 Định nghĩa: Một cấu trúc Riemann M ánh xạ g đặt tơng ứng với điểm p M với gp thoả mãn: 1/ gp tích vô hớng T p M , p M 2/ g khả vi phụ thuộc vào p ( nghĩa g(X, Y) hàm số khả vi M; X , Y B ( M )) Đa tạp khả vi hai chiều M với cấu trúc Riemann g đợc gọi đa tạp Riemann hai chiều 1.2 Ví dụ: Ví dụ 1: M = R2 với tích vô hớng thông thờng đa tạp Riemann hai chiều Thật vậy: Giả sử { E1 , E2 } trờng mục tiêu trực chuẩn khả vi T p M ; X,Y trờng vectơ tiếp xúc khả vi Khi đó: X= f1 E1 + f2 E2 Y= g1 E1 + g2 E2 gp(Xp, Yp) = f1(p) g1(p) + f2(p) g2(p) hàm số khả vi R2 Vậy M = R2 với tích vô hớng thông thờng đa tạp Riemann hai chiều Ví dụ 2: Kí hiệu nh sau: g : p gp H= { ( x, y ) R } y>0 Ta đa vào H cấu trúc Riemann Trong gp(Xp, Yp) = y ( X p , Yp ) với p ( x, y ) H Khi H với g đa tạp Riemann hai chiều Thật vậy, ta kiểm tra cấu trúc Riemann g Trớc hết, ta chứng minh g tích vô hớng H, p( x, y ) H ta có: gp(Xp, Yp) = y ( X p , Yp ) = y (Yp , X p ) = gp(Yp, Xp) p( x, y ) H 1 2 gp (Xp, Xp) = y X p gp (Xp,Xp) =0 y X p = Xp = g p ( X p + X p ' , Y p ) = y ( X p + X p ' , Y p ) 1 = y ( X p , Yp ) + y ( X p ' , Y p ) = g p ( X p , Y p ) + g p ( X p ' , Yp ) Tơng tự ta có: gp (Xp, Yp + Yp' ) = gp(Xp, Yp) + gp(Xp, Yp' ) Ta tiếp tục kiểm tra tính khả vi g Giả sử X(X1, X2), Y(Y1, Y2) hai trờng vectơ khả vi với toạ độ tự nhiên H Khi đó, ta có X1, X2, Y1, Y2 hàm số khả vi H, ta có: g(X, Y) = y (X,Y) = y (X1Y1 + X2Y2) Vì tổng tích hai hàm số khả vi hàm số khả vi nên g(X,Y) khả vi Chú ý: - Giả sử {U1,U } trờng mục tiêu M Ta nói hệ {U1,U } trờng mục tiêu trực chuẩn g(Ui,Uj) = ij - Ta xét H X(X1, X2), Y(Y1, Y2) Khi ta có: g(X, Y) = ( X1Y1 + X2Y2) y2 Khi { E1 , E } trờng mục tiêu tự nhiên H, ta xét U1= yE1, U2=yE2 {U ,U } trờng mục tiêu trực chuẩn H 1.3 Phép vi phôi đẳng cự 1.3.1 Định nghĩa: 1/ Cho ánh xạ f khả vi từ (M,g) ~ (N, g) f đợc gọi ánh xạ đẳng cự nếu: p M ~ Ta có: g f ( p ) (f*Xp, f*Yp) = gp(Xp, Yp) , X , Y ( M ) nghĩa là: f ánh xạ đẳng cự f*p bảo tồn tích vô hớng 2/ f đợc gọi vi phôi đẳng cự f ánh xạ đẳng cự f song ánh 1.3.2 Nhận xét: a, f ánh xạ đẳng cự f bảo tồn góc phơng tiếp xúc Thật vậy, trớc hết ta chứng minh f bảo tồn góc phơng tiếp xúc gọi : , TP M Ta có: ~ g f ( p ) ( f ( ), f ( ) = g p ( , ) = f ( ) = Tơng tự: Ta lại có: f ( ) = ~ g f ( p ) ( f ( ) f ( ) = g p ( , ) f * ( ) f * ( ) cos( f * ( ), f * ( )) = cos( , ) cos(f*(), f*()) = cos(, ) (f*(), f*()) = (, ) b, f bảo toàn độ dài cung Gọi cung M đợc xác định tham số hoá: : (a, b) M b Độ dài cung : l() = g ( ' , ' ) dt a f (b ) Độ dài ảnh qua f là: l = Từ đó, suy l = l() 1.4 Liên thông Lêvi_sivita f (a) g (( f )' , ( f )' ) dt 1.4.1 Liên thông tuyến tính 1.4.1.1 Định nghĩa: ánh xạ : (M) x (M) (M) (X, Y) X Y Đợc gọi liên thông tuyến tính đa tạp M thoả mãn tính chất: 1/ X + X Y = X Y + X Y 2/ XY = .XY X1, X2, X, Y (M) , hàm khả vi M 3/ X(Y1 + Y2) = XY1 + XY2 4/ X(Y) = X[]Y + .XY X,Y1, Y2, Y (M), hàm khả vi M XY đợc gọi đạo hàm thuận biến trờng vectơ Y dọc (theo) trờng vectơ X Ví dụ : M=R2 Khi =D liên thông tuyến tính R2 1.4.1.2 Nhận xét: XYp phụ thuộc vào giá trị X p Nghĩa là: Xp = Xp , (X, X (M)) XYp= XYp ( ) Thật vậy, với Y cố định.Ta ký hiệu X Y = ( X Y ) p p Khi đó: X : T p M T p M ánh xạ tuyến tính Ta xét Z =X - X Zp = p Z Y = 0Y = Y = Y p Xp Xp ( X Y ) p = (X Y ) p 1.4.2 Định nghĩa: Một liên thông tuyến tính đa tạp Riemann (M, g) đợc gọi liên thông Lêvi_sivita thoả mãn điều kiện sau: 1/ [ X ,Y ] = 2/ X , Y , Z M thì: X Y Y X X , Y ( M ) Z [ X ,Y ] = Z X ,Y + X , Z Y Tức: Z ( M ) Ta có Ví dụ: M=R2 ; D: (M) x (M) (X,Y) Khi đó: Z g = với =g(X, Y) (M) DX Y D liên thông lêvi_sivita M II Dạng liên kết đa tạp Riemann hai chiều 2.1 Định nghĩa: Nếu {U1, U2} trờng mục tiêu trực chuẩn M liên thông lêvi_sivita M X (M) Ta có: X U i = i =1 k i ( X ).U k k= 1, Các ik 1_ dạng vi phân ta gọi ik dạng liên kết trờng mục tiêu trực chuẩn {U1, U2} đa tạp Riemann hai chiều M Ví dụ: Với =D Lấy {Ui } trờng mục tiêu tự nhiên R2 M= R2 Suy DXUi = hay với i=1,2 ij = i,j =(0) 2.2 Mệnh đề: Cho (M,g) đa tạp Riemann hai chiều với trờng mục tiêu trực chuẩn {U1, U2} M, gỉa sử { , } trờng đối mục tiêu i i (tức dạng vi phân bậc V thoả mãn: (U j ) = j ), có dạng vi phân bậc 21 V thoả mãn: d1 = - 21 ; d2 = - 12 (Trong đặt 12 = - 21 ) Và 21 dạng liên kết mà ta định nghĩa trờng mục tiêu cho Chứng minh: Giả sử 21 1_ dạng vi phân cần tìm: Ta có: 21 = 11 + 22 ; 1, hàm số M Để tìm 21 ta cần xác định 1, 21(U1) = 11(U1) + 22(U1) 21(U1) = 21(U2 ) = 12(U2) + 22(U2) 21(U2 ) = Ta lại có: d1 = - 21 212 = - (11 + 22) = -2 d1(U1,,U2) = -21(U2) = -2 d2 = 211 = (11 + 22) = =21(U1) = d Nh vậy: = d ~ ~ 2.3 Mệnh đề: Giả sử {U1,U2}và {U1,U2} Là hai trờng mục tiêu trực chuẩn M ~ ~ ~ Gọi lần lợt dạng liên kết {U1,U2}và {U1,U2} Khi đó: ~ = C-1C +C-1dC = (ij) ~ ~ ~ ị j j =(i ) C= (Ci ) ma trận xác định Ui = Ci U j j =1 ~ ~ ~ Thật , { U1, U2 } , { U1, U2} trờng mục tiêu trực chuẩn thoả mãn: ~ ị Ui = C i U j j =1 Gọi { 1, 2} trờng đối mục tiêu { U1, U2} V ~ ~ ~ ~ Giả sử { 1, 2} trờng đối mục tiêu { U1, U2} V ~ i k Ta có : Giả sử i = k (1) k =1 ~ ~ ta có i (Uj) = 2 k =1 p =1 ki k C pjU p = ji i p k = k C j (U p ) = k , p =1 Vậy suy : hay C.B = I k =1 i k k , p =1 Clk ji (2) ( I ma trận đơn vị ) ~ Từ (1) (2) suy : = C-1. Từ ta có: ~ d = dC -1 + C-1 d ~ = dC-1 C + C-1 d ~ ~ -1 -1 = dC C - C C i k C jp pk Do C-1.C=I suy dC-1.C + C-1.dC = ~ ~ ~ -1 -1 d = - C dC - C C ~ ~ -1 -1 d = - (C dC + C C) ~ ~ = - ~ Vậy = C-1dC + C-1C 2.4 Chú ý: Giả sử f : (M,g) ~ ~ (M, g ) ánh xạ đẳng cự đa tạp Riemann hai chiều { U1, U2} trờng mục tiêu trực chuẩn M ~ ~ ~ ~ chuẩn M Gọi 21 21 { U1 =f*U1, U2= f*U2}là trờng mục tiêu trực ~ dạng liên kết theo thứ tự (M, g) trờng mục tiêu {U1, U2} ~ ~ ~ ~ (M, g ) trờng mục tiêu {U1, U2} ~ ~ ~ ~ ~ ~ : f*1 = ; f*2 = Do d1= df*1 = f* d1 = f*(-21 2) ~ ~2 * = - f (2 ) ~ ~ Tơng tự : d2 = -f*(12 1) ~ Từ ta có: 21 = f*21 III Đạo hàm dọc đờng cong cung tham số Trong mục này, giả thiết cung tham số: : ( a, b ) M với cung tham số khả vi, ta gọi ảnh M đờng cong M Trờng vectơ X dọc việc đặt tơng ứng (t) vectơ tiếp xúc X(t) T(t)M Giả sử {U1, U2} trờng mục tiêu M Thì X (M) ta có biểu diễn nhất: X(t) = (t ).U ( (t )) + (t ).U ( (t )) 1, hàm số khả vi 3.1 Định nghĩa: Cho cung tham số : I M; t (t) đa tạp Riemann hai chiều (M, g) với trờng vectơ X dọc , quy tắc sau xác định trờng vectơ dọc : 10 d (t ) d (t ) X (t ) = ( + (t ). 21 ( (t )).U ( (t )) + ( + (t ).12 ( (t )).U ( (t )) dt dt dt Trong đó: 21= - 12 dạng liên kết (M, g) trờng mục tiêu trực chuẩn chọn * Để biểu thức đợc đơn giản ta sử dụng kí hiệu hình thức nh sau: U= (U1, U2) , với : = ( 2) , 1' ' = ( ' ) = ( 21 ) X= U ta có : X = (U ) ( ' + ( ' ). ) dt 3.2 Nhận xét: Định nghĩa không phụ thuộc trờng mục tiêu chọn ~ ~ Thật vậy, đổi từ trờng mục tiêu {U1, U2} sang trờng mục tiêu {U1, U2}, ~ U = U.C ~ ~ ~ Khi : X(t) = ( U ). , = (C ) ( Trong C ma trận trực giao cấp ) ~ ~ ~ ~ -1 Ta có: U =U ; =C , U = UC , = (') , Khi theo mệnh đề 2.3 ta có: ~ = C-1dC + C-1C ~ ~ ~ X ~ = U (' + (') ) dt ~ ~ ~ ~ X = U (' + ) dt = (UC) [ (C )' + (C 1C + C 1C ' ) ] = U [ C ( C-1'. + C-1.' ) + C.C-1 (C +C')] = U.[ (' + ) + (C.C-1)' ] = U (' + ) = (U ) (' + ) Nh định nghhĩa không phụ thuộc trờng mục tiêu chọn ~ ~ = (') 20 , R Ta xét trờng vectơ dọc sau: X + Y Ta có: X ( X ) ( Y ) (X + Y) = + dt dt dt = X dt + Y dt = Vậy X+Y V 1.4 Mệnh đề: Giả sử X trờng vectơ song song dọc , X(t) , t J hàm khả vi M Khi X trờng vectơ song song dọc khi: hàm Chứng minh: Thật vậy, X song song dọc khi: (X) = dt d X + X =0 dt dt d X =0 dt (Mà X(t) , t I ) d = 0, t I dt hàm dọc 1.5 Mệnh đề: Cho : [a, b] M , t (t) cung đoạn tham số nhẵn đa tạp hai chiều (M, g) Khi đó, với T(a)M có trờng vectơ X song song dọc mà X(a) = Chứng minh: Ta chia đoạn [a, b] thành số hữu hạn đoạn J (J) V, V tập mở M Trên V có trờng mục tiêu tiếp xúc trực chuẩn { U1, U2} ta chứng minh định lí cho đoạn J này, ta giả sử J = [a, b] Nếu X trờng vectơ song song dọc ta có: X = dt ( X ,X)= dt 21 2( X ,X)= dt Hàm số t (X(t), X(t)) hàm Đặt C2 = < X(t), X(t) > X(t) (C số không âm) = C ( cos (t) 1((t)) + sin (t) U2((t)) 1(t) = C cos (t) , 2(t) = C Sin (t) Để X = dt d dt + (t ) ( ' (t ) = d + (t ) 12 ( ' (t ) = dt ' (t ) C Sin (t ) + C Sin (t ) 21 ( ' (t )) = ' (t ) C cos (t ) C cos (t ) ( ' (t )) = '(t) - 21('(t) = '(t) = 21('(t)) t (t) = ( ' (t )) + (a) a Xác định trờng vectơ X = C (cos (t) U1 (t) + Sin (t) U2 (t)) song song dọc thoả mãn X(a) = C (cos (a) U1 (a) + Sin (a) U2 (a)) = 1.6 Ví dụ: Xác định trờng vectơ song song X(t) dọc cung (t) = (x0+t, y0) đa tạp Riemann hai chiều (H, can) y2 chơng trớc với ví dụ ta xác định: 21(') = - y0 12(') = -21(') = y0 áp dụng mệnh đề 1.5 ta có: X(t) = C (cos (t) U1 (t) + Sin (t) U2 (t)) 22 Với (t) đợc xác định nh sau: t (t) = (a) + ( ' (U ) dU a t (t) = (a) + a du y0 = (a ) Đặt B = (a) + X(t) = C( cos (B - a y0 t a + y0 y0 (t) = B - t y0 t t ) (U1 (t)) + sin(B )(U2 (t)) y0 y0 Trong C, B số 1.7 Định nghĩa: ánh xạ : TAM TBM XA XB (ở X trờng vectơ tiếp xúc song song dọc ) đợc gọi phép chuyển dời song song dọc 1.8 Mệnh đề: Phép chuyển dịch song song bất biến qua vi phôi đẳng cự đa tạp Riemann hai chiều Chứng minh: Giả sử cho tham số hoá : (a, b) M; cung tham số khả vi đa tạp Riemann hai chiều (M, g) ~ ~ f : (M, g) (M, g) vi phôi đẳng cự X Nếu X trờng vectơ song song dọc suy =0 dt ~ ~ Kí hiệu: X trờng vectơ song song dọc cung f M và: ~ X(t) = f*X(t) Vì đạo hàm trờng vectơ bất biến qua vi phôi đẳng cự nên ta có: ~ X X (t) = f*(t)( (t)) = dt dt ~ Suy X trờng vectơ song song dọc f ~ t (t) 23 Bây ta xác định dạng X(t) qua trờng mục tiêu trực chuẩn tơng ứng Giả sử: X(t) = 1(t) U1 (t) + 2(t) U2 (t) ~ X(t) = f*(X(t)) = f* [1(t) U1 (t) + 2(t) U2 (t)] ~ X(t) = 1(t) f*(U1 (t)) + 2(t) f*(U2 (t)) ~ ~ ~ X(t) = 1(t) U1(f (t)) + 2(t) U2(f (t)) Với phép chuyển dời song song dọc thì: XA XB (tức = XA , = XB ) TAM , TBM qua vi phôi đẳng cự f có phép chuyển dịch song song dọc f mà: ~ ~ ~ ~ = X(a) = X(b) ~ ~ ~ ~ Tf M , T (a) f (b)M 1.9 Mệnh đề: Phép chuyển dịch song song f : T(a)M T(b)M dọc đ- ờng cong cho tham số hoá : (a, b) M đa tạp Riemann hai chiều ánh xạ tuyến tính trực giao Chứng minh: Ta có : f T(a)M T(b)M : ' ' Giả sử X, Y trờng vectơ song song dọc cho X(a) = , Y(a) = ' , Y(b) = ' Do X, Y song song dọc suy X + Y song song dọc Ta có: f( + ') = f(X(a) + Y(a)) = f(X + Y) (a) = (X + Y) (b) = X(b) + Y(b) = + ' = f() + f(') R suy X trờng song song dọc Ta có: f(X) (a) = (X) (b) = X(b) = . = f(a) Vậy f ánh xạ tuyến tính * f trực giao: Thật vậy, giả sử f song song dọc ta có: X dt = (X, X ) dt = X(b) = , 24 (X, X) hàm Suy (X(a), X(a)) = (X(b), X(b)) hay X (a ) = X (b) = = f ( ) 1.10 Ví dụ: Phép chuyển dời song song dọc cung tham số E2 phép tịnh tiến Thật vậy, (E2, can) với trờng mục tiêu song song trực chuẩn {U1, U2} Mỗi trờng vectơ X(t) E2 biểu diễn đợc X(t) = 1(t) (U1 (t)) + 2(t) (U2 (t)) X d = U1 (t) + dt dt X =0 dt d U2 (t) dt d dt = (t ) = a1 d (t ) = a2 =0 dt a1, a2 số không phụ thuộc t Suy X(t) = (a1, a2) = const = , t (a, b) f : T(a)E2 T(b)E2 XA XB , XA = , XB = Vậy f phép tịnh tiến 1.11 Mệnh đề: Nếu hai mặt S1, S2 E3 tiếp xúc với dọc đờng cong Thì chuyển dịch song song dọc S1 S2 trùng Chứng minh: Vì S1, S2 tiếp xúc với theo đờng cong ảnh cung tham số nên: T(t)S1 T(t)S2 Ta xem mặt S1, S2 đa tạp Riemann hai chiều với mêtric cảm sinh từ E3, đó, với trờng vectơ tiếp xúc với S1( S2) dọc ta có: X DX T =( ) dt dt ( Theo mệnh đề 3.7 chơng I) hình chiếu vuông góc lên T(t)S1 T(t)S2 DX dt 25 Từ ta có đạo hàm trờng vectơ dọc S1 S2 trùng X dt Giả sử T(t)S1 suy T(t)S2 Khi ta có trờng X song song dọc cho X(a) = Nên phép chuyển dời song song dọc S1 S2 trùng II Góc Hôlônômi phép chuyển dịch song song dọc Trong mục ta xét trờng hợp đặc biệt phép chuyển dịch song song Đó đợc cho bởi: : (a, b) M ; t (t) với (a) = (b) (Tức đờng cong kín đa tạp M) 2.1 Định nghĩa: Giả sử : T(a)M T(b)M ; phép chuyển dịch song song dọc Khi = (, ) đợc gọi góc Hôlônômi phép chuyển dịch song song dọc 2.2 Ví dụ: Trong (E2, can) góc Hôlônômi phép chuyển dịch song song dọc đờng cong kín Thật vậy, theo ví dụ 1.10 phép chuyển dịch song song (E2, can) phép tịnh tiến Khi đó, Xa = , Xb = (Xa, Xb) = (, ) = Vậy = 2.3 Nhận xét: Vì biến đổi tuyến tính trực giao bảo toàn hớng suy ra: : T(a)M T(b)M ' ' Suy (, ) = (', ') = = , ' = ' , , T(a)M Từ ta có: phép chuyển dời song song thực chất phép quay tâm (a) với góc quay = (, ) 26 2.4 Mệnh đề: Góc Hôlônômi phép chuyển dời song song dọc đờng cong kín đợc cho tham số hoá: : (a, b) M , (a) = (b) b là: = ( ' (u ))du a Trong 21 dạng liên kết (M, g) trờng mục tiêu {U1, U2} Do X song song dọc nên (X, X) hàm Ta biểu Chứng minh: diễn X nh sau: X(t) = c (cos (t) U1 (t) + sin (t) U2 (t)) t Trong đó: (t) = (a) + a ( ' (u ))du X(a) = c cos (a) U1 (a) + c sin (a) U2 (a)) Suy X(b) = c cos (b) U1 (b) + c sin (b) U2 (b)) Vì (a) = (b) U1 (a) = U1 (b) , U2 (a) = U2 (b) Vì {U1, U2} trờng mục tiêu trực chuẩn nên ta có: g(X(a), X(b)) = c2(cos(a) cos(b) + sin(a) sin(b)) = c2cos((a) - (b)) (1) g(X(a), X(b)) = X (a) X (b) cos Mà g(X(a), X(b)) = C2 cos Từ (1) (2) cos = cos((a) - (b)) (a) - (b) = t ( ' (u )du (t) = (a) + Mà b (b) = (a) + ( ' (u )du a b ( ' (u )du (b) - (a) = a b = ( ' (u )du a (2) 27 2.5 Mệnh đề: Giả sử S1, S2 mặt tiếp xúc với dọc đờng cong kín E3 Khi góc Hôlônômi phép chuyển dời song song dọc S1 S2 Chứng minh: áp dụng mệnh đề 1.11 ta có phép chuyển dời song song dọc đờng cong kín S1 S trùng Mà T(a)S1 = T(a)S2 T(a)S1 T(a)S2 phép chuyển dời song song = (, ) =2 , T(a)S1 T(a)S2 Vậy góc Hôlônômi dọc đờng cong kín S1,S2 III Các ứng dụng: Trong mục này, tính góc Hôlônômi số chuyển dịch song song mặt E3 3.1 Bài toán 1: Giả sử mặt tròn xoay S E3 đợc cho tham số hoá: r : U (u, v) E3 r(u, v) = (x = (v)cosu , y = (v)sinu , z = (v)) (v) > 0, u '2 + '2 > , ( u, v ) U U mở R2 Khi góc Hôlônômi S dọc vĩ tuyến v= v0 : = 'v (v0 ) 'v2 (v0 ) + 'v2 (v0 ) Thật vậy, ta xét trờng mục tiêu trực chuẩn: Ru U = ( Sinu , Cosu , ) = Ru 'v 'v 'v R U = ( cos u, sin u , )= v 2 2 2 Rv 'v + 'v 'v + 'v 'v + 'v Trong Ru = r'u , Rv = r'v Giả sử {E1, E2} trờng mục tiêu trực chuẩn U thoả mãn : r*E1 = U1 , r*E2 = U2 Gọi {1, 2} trờng đối mục tiêu trực chuẩn tơng ứng {U1, U2} 28 1(U1) = , Khi đó: 1(U2) = 2(U1) = , Ta có: 1(U1) = 1( Ru 1 * )= 1(r*E1) = r (E1) Ru (v ) (v ) * r (E1) = duE1 (v ) r*1 2(u1) = , 2(u2) = ( 2(U2) = = (v).du 1(u2) = Rv ) = Rv 'v + 'v 2 r*2(E2) = dv(E2) r*2 = 'v + 'v dv Ta lại có: dr*1 = r*d1 = r*(-21 2) = - r*21r*2 Mà d(r*1) = d((v) du) = 'v dv du -r*21 'v + 'v dv = 'vdv du 'v r*21 = 'v + 'v 2 du Khi xét phép chuyển dịch song song dọc vĩ tuyến v = v0 tức xét chuyển dịch song song dọc cung tham số: : [0, ] S u ( (0) = (2 )) r(u, v0) Ta có: (u) = ((v0)cosu , (v0)sinu , (v0)) '(u) = (-(v0)sinu , (v0)cosu , ) = Ru 21('(u)) = 21(Ru) = 21(r*E1) = r*21(E1) ('(u)) = ' v (v ) ' v (v ) + ' v (v ) 2 Góc Hôlônômi chuyển dịch song song dọc vĩ tuyến v=v0 là: 29 ' v (v ) 2 = ( ' (u)du = ' v (v ) + ' v (v ) 2 du ' v (v ) = ' v (v ) + ' v (v ) 2 Khi mặt tròn xoay mặt cầu đơn vị lúc đó: (v) = cosv ; 3.2 Nhận xét: (v) = sinv với cosv > Ta có: 'v(v0) = -sinv0 , 'v(v0) = cosv0 = - sinv0 Suy Khi v0= nghĩa (u, v0) đờng xích đạo mặt cầu đơn vị Khi sinv0 = Suy = Từ suy đợc góc Hôlônômi chuyển dịch song song đờng vĩ tuyến mặt trụ 3.3 Bài toán 2: Giả sử mặt trụ E3 đợc cho tham số hoá: r : U E3 (u, v) (x= acosu , y= asinu , z= v); a > Khi góc Hôlônômi phép chuyển dịch song song dọc đờng cong cho tham số hoá: : [0, ] u Tức là: E3 (acosu , asinu , asinu) v = asinu =0 Thật vậy, ta xét trờng mục tiêu trực chuẩn: Ru U = = ( sin u, cos u , 0) Ru R U = v = (0, 0, 1) Rv Trong Ru = r'u Rv = r'v Giả sử {E1, E2} = { , } trờng mục tiêu tiếp xúc trực chuẩn U u v 30 r*E1 = Ru , r*E2 = Rv Do đó: Nếu {1, 2} trờng đối mục tiêu {U1, U2} ta có: 1(U1) = 1( Ru 1 ) = 1(r*E1) = r*.1(E1) = du(E1) Ru a a Suy r*1 = adu 2(U2) = 2( Rv ) = 2(r*E2) = r*2(E2) = Rv dv(E2) Suy r*2 = dv 2(U1) = 1(U2) = Ta lại có: d(r*1) = r*d1) = r*(-21 2) = -r*21 r*2 Mà r*2 = dv Ta có d(r*1) = d(du) = Suy -r*21 = Xét : (u) = (acosu, asinu, asinu) Ta có: '(u) = (-asinu, acosu, acosu) = Ru+ aRv cosu Từ đó: 21('(u)) = 21(Ru+ aRv cosu) = 21(Ru) + acosu 21(Rv) = r*21(E1) + acosu r*21(E2) = Vậy 21('(u)) = Vậy góc Hôlônômi chuyển dịch song song dọc đờng cong là: = ( ' (u))du = 0 Bây ta sử dụng tính chất phép chuyển dời song song bất biến qua vi phôi đẳng cự để tính góc Hôlônômi vĩ tuyến mặt nón tròn xoay E cách trải mặt nón lên mặt phẳng 31 3.4 Bài toán 3: Góc Hôlônômi vĩ tuyến mặt nón tròn xoay có góc đỉnh là: = (1 sin ) Thật vậy, ta cắt mặt nón theo phơng đờng sinh Lấy có phơng đờng sinh mặt nón tròn xoay nh hình vẽ, TpS (S mặt nón) Phép chuyển dời song song dọc vĩ tuyến (t) đợc vectơ có điểm đặt trùng điểm đặt , TpS Trải mặt nón lên mặt phẳng cách cắt mặt nón theo phơng đờng sinh chứa vectơ Khi chuyển dịch song song đờng cong (t) (sau trải ) phép tịnh tiến E2 Lúc góc Hôlônômi góc O góc hình vẽ S Ta cú: t OP = OQ = l , QS = r P Q QOS = Din tớch hỡnh trũn bỏn kớnh l l: S1 = l Din tớch xung quanh mt nún vi ng sinh cú di l l S1 = rl Din tớch hỡnh qut cú gúc nh - l: ( Ta cú: ) l2 ( ) l2 = 2 - = O r l r = l Mt khỏc sin = - sin rl P Q 32 = (1 - sin ) Vy gúc Hụlụnụmi chuyn dch song song dc v tuyn ca mt trũn xoay l: = (1 - sin ) phần kết luận Kết khoá luận thu đợc là: 1/ Trình bày cách hệ thống tính chất đa tạp Riemann hai chiều đạo hàm dọc đờng cong đa tạp 2/ Chứng minh chi tiết mệnh đề phép chuyển dịch song song (mệnh đề 1.8; 1.9; 1.11) 3/ Chứng minh tờng minh công thức tính góc Hôlônômi 4/ Tính góc Hôlônômi dọc đờng cong số mặt E3 (bài toán 1, 2, 3) 33 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Hữu Quang, Đa tạp khả vi, ĐHV2004 [2] Nguyễn Hữu Quang, Mở đầu hình học Riemann, ĐHV2005 [3] Đoàn Quỳnh , Hình học vi phân , Đại học Quốc Gia Hà Nội_2001 [4] Đoàn Quỳnh - Trần Đình Viện - Trơng Đức Hinh Nguyễn Hữu Quang Bài tập hình học vi phân, NXBGD 1993 [5] M.Xpivak, Giải tích đa tạp, Hoàng Hữu Đờng (Bản dịch tiếng Việt)_ NXBGD_199 34 [...]... cong kín trên S1,S2 là bằng nhau III Các ứng dụng: Trong mục này, chúng tôi tính góc Hôlônômi của một số chuyển dịch song song trên mặt trong E3 3.1 Bài toán 1: Giả sử mặt tròn xoay S trong E3 đợc cho bởi tham số hoá: r : U (u, v) E3 r(u, v) = (x = (v)cosu , y = (v)sinu , z = (v)) (v) > 0, u và '2 + '2 > 0 , ( u, v ) U ở đây U mở trong R2 Khi đó góc Hôlônômi của S dọc vĩ tuyến v= v0 là : = 2 'v (v0... kết luận Kết quả chính trong khoá luận này chúng tôi thu đợc đó là: 1/ Trình bày một cách hệ thống các tính chất cơ bản về đa tạp Riemann hai chiều và đạo hàm dọc đờng cong trên đa tạp 2/ Chứng minh chi tiết các mệnh đề về phép chuyển dịch song song (mệnh đề 1.8; 1.9; 1.11) 3/ Chứng minh tờng minh công thức tính góc Hôlônômi 4/ Tính góc Hôlônômi dọc đờng cong trên một số mặt trong E3 (bài toán 1, 2, 3)... góc Hôlônômi của chuyển dịch song song dọc đờng cong là: 2 1 = 2 ( ' (u))du = 0 0 Bây giờ ta sử dụng tính chất về phép chuyển dời song song bất biến qua vi phôi đẳng cự để tính góc Hôlônômi của vĩ tuyến của mặt nón tròn xoay trong E 3 bằng cách trải mặt nón lên mặt phẳng 31 3.4 Bài toán 3: Góc Hôlônômi của vĩ tuyến của mặt nón tròn xoay có góc ở đỉnh là: = 2 (1 sin ) 2 Thật vậy, ta cắt mặt. .. đờng sinh mặt nón tròn xoay nh hình vẽ, TpS (S là mặt nón) Phép chuyển dời song song dọc vĩ tuyến (t) đợc vectơ có điểm đặt trùng điểm đặt , TpS Trải mặt nón lên mặt phẳng bằng cách cắt mặt nón theo phơng đờng sinh chứa vectơ Khi đó chuyển dịch song song trên đờng cong (t) (sau khi trải ) chính là phép tịnh tiến trong E2 Lúc này góc Hôlônômi chính là góc giữa và O và là góc trên hình... S2 là 2 mặt tiếp xúc với nhau dọc đờng cong kín trong E3 Khi đó góc Hôlônômi của phép chuyển dời song song dọc trên S1 và trên S2 bằng nhau Chứng minh: áp dụng mệnh đề 1.11 ta có phép chuyển dời song song dọc đờng cong kín trên S1 và S 2 trùng nhau Mà T(a)S1 = T(a)S2 T(a)S1 T(a)S2 và phép chuyển dời song song 1 = (, ) =2 , T(a)S1 T(a)S2 Vậy góc Hôlônômi dọc đờng cong kín trên S1,S2... 2 2 1 Khi mặt tròn xoay là mặt cầu đơn vị lúc đó: (v) = cosv ; 3.2 Nhận xét: (v) = sinv với cosv > 0 Ta có: 'v(v0) = -sinv0 , 'v(v0) = cosv0 = - 2 sinv0 Suy ra 2 Khi v0= 0 nghĩa là (u, v0) là đờng xích đạo của mặt cầu đơn vị Khi đó sinv0 = 0 Suy ra = 0 Từ đó cũng suy ra đợc rằng góc Hôlônômi của chuyển dịch song song đờng vĩ tuyến trên mặt trụ bằng 0 3.3 Bài toán 2: Giả sử mặt trụ trong E3 đợc cho... chơng I) là hình chiếu vuông góc của lên T(t)S1 hoặc T(t)S2 DX dt 25 Từ đó ta có đạo hàm của trờng vectơ dọc trên S1 và S2 trùng nhau và bằng X dt Giả sử T(t)S1 suy ra T(t)S2 Khi đó ta có một trờng duy nhất X song song dọc sao cho X(a) = Nên phép chuyển dời song song dọc trên S1 và S2 trùng nhau II Góc Hôlônômi của phép chuyển dịch song song dọc Trong mục này ta sẽ xét một trờng hợp đặc biệt của... 3.3 Ví dụ: cho bởi tham số hoá: : I R4 t 0I R (t+1, t2, t2, t2-2) và X(t) = tE1 +t2E2 + t 3E3 + t4E4 Trong R4 với trờng mục tiêu tự nhiên ta có = 0 suy ra 4 X (t 0 ) = i ' (t 0 ).Ei (t 0 ) dt i =1 X = E1 + 2tE2 + 3t 2E3 + 4t3E4 dt 3.4 Một số tính chất a X, Y là trờng vectơ : I M , t (t) thì (X + Y) = X+ Y dt dt dt Thật vậy, gọi U là trờng mục tiêu trực chuẩn xác định trên tập mở V (I) , VM... Giả sử mặt trụ trong E3 đợc cho bởi tham số hoá: r : U E3 (u, v) (x= acosu , y= asinu , z= v); a > 0 Khi đó góc Hôlônômi của phép chuyển dịch song song dọc đờng cong cho bởi tham số hoá: : [0, 2 ] u Tức là là: E3 (acosu , asinu , asinu) v = asinu =0 Thật vậy, ta xét trờng mục tiêu trực chuẩn: Ru U = = ( sin u, cos u , 0) 1 Ru R U 2 = v = (0, 0, 1) Rv Trong đó Ru = r'u Rv = r'v Giả sử {E1,... (t) với (a) = (b) (Tức là đờng cong kín trên đa tạp M) 2.1 Định nghĩa: Giả sử : T(a)M T(b)M ; là phép chuyển dịch song song dọc Khi đó = (, ) đợc gọi là góc Hôlônômi của phép chuyển dịch song song dọc 2.2 Ví dụ: Trong (E2, can) góc Hôlônômi của phép chuyển dịch song song dọc đờng cong kín bằng 0 Thật vậy, theo ví dụ 1.10 thì phép chuyển dịch song song trong (E2, can) chính là phép tịnh tiến ... T(a)S2 Vậy góc Hôlônômi dọc đờng cong kín S1,S2 III Các ứng dụng: Trong mục này, tính góc Hôlônômi số chuyển dịch song song mặt E3 3.1 Bài toán 1: Giả sử mặt tròn xoay S E3 đợc cho tham số hoá:... song số mặt E3 Trong khoá luận này, trình bày phép chuyển dịch song song, tính chất phép chuyển dịch song song đa tạp Riemann hai chiều Và ứng dụng việc tính góc Hôlônômi số mặt quen thuộc E3 Khoá... đờng xích đạo mặt cầu đơn vị Khi sinv0 = Suy = Từ suy đợc góc Hôlônômi chuyển dịch song song đờng vĩ tuyến mặt trụ 3.3 Bài toán 2: Giả sử mặt trụ E3 đợc cho tham số hoá: r : U E3 (u, v) (x=