Đạo hàm cảm sinh trên đại số và ứng dụng

1 MỤC LỤC Mục lục Lời nói đầu Đại số đạo hàm đại số 1.1 Đại số 1.2 Đạo hàm đại số 11 Đạo hàm cảm sinh đại số ứng dụng 16 2.1 Đại số cảm sinh 16 2.2 Đạo hàm cảm sinh đại số 22 2.3 Đại số Lie B Kết luận Tài liệu tham khảo 26 30 31 LỜI NÓI ĐẦU Hiện lý thuyết đại số trình bày nhiều tài liệu viết nhiều nhà toán học tiếng như: Serre, Helgason, phần mở đầu trình bày giảng đại số Lie nhóm Lie cho lớp học chun ngành Hình học-Tơpơ trường đại học Đại số đạo hàm đại số, có nhiều ứng dụng lý thuyết Toán học đại Đạo hàm cảm sinh đại số nghiên cứu A.Ya.Sultanov Trong luận văn chúng tơi trình bày số tính chất đạo hàm cảm sinh đại số Vì luận văn mang tên "Đạo hàm cảm sinh đại số ứng dụng" Luận văn trình bày hai chương Chương Đại số đaọ hàm đại số Chương xem phần trình bày kiến thức sở để tạo điều kiện cho việc trình bày kiến thức chương Vì chúng tơi trình bày khái niệm đại số, đồng cấu đại số tính chất Chương Đạo hàm cảm sinh đại số ứng dụng Đây chương thể kết luận văn: chương này, chúng tơi trình bày chi tiết khái niệm tính chất đại số cảm sinh, đạo hàm cảm sinh đại số; phát biểu, chứng minh số tính chất đạo hàm cảm sinh đại số Ngoài ra, chúng tơi trình bày số ứng dụng đạo hàm cảm sinh đại số vào đại số Lie B Luận văn hoàn thành vào tháng 12 năm 2011 trường Đại học Vinh, hướng dẫn thầy giáo PGS -TS Nguyễn Hữu Quang Nhân dịp xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy, người hướng dẫn chúng tơi q trình học tập nghiên cứu, cảm ơn Thầy giáo tổ Hình học giảng dạy bảo vấn đề có liên quan đến đề tài Chúng tơi xin chân thành cảm ơn Thầy giáo, Cô giáo khoa toán, khoa sau đại học Ban giám Hiệu trường Đại học Vinh, cán giáo viên trường THPT DTNT Tương Dương 2, tập thể K17 Hình học-Tơpơ, gia đình, bạn bè, đồng nghiệp giúp đỡ động viên chúng tơi suốt q trình học tập nghiên cứu Vinh, tháng 12 năm 2011 Tác giả CHƯƠNG ĐẠI SỐ VÀ ĐẠO HÀM TRÊN ĐẠI SỐ Trong chương này, chúng tơi trình bày định nghĩa, ví dụ số tính chất đại số, đạo hàm đại số; đồng cấu đại số, ánh xạ vi phân đại số 1.1 Đại số Như ta đạ biết (xem [3]), mơđun G vành K giao hốn, có đơn vị (1 = 0) khác khơng, nhóm cộng Aben G với phép nhân với vơ hướng K × G −→ G (a, x) −→ a.x Thỏa mãn tiên đề a(x + y) = ax + ay; ∀a ∈ K; x, y ∈ G (a + b)x = ax + bx; ∀a, b ∈ K; x ∈ G (a.b)x = a(bx); ∀a, b ∈ K; x ∈ G 1.x = x; ∀x ∈ G Ta nhận thấy trường hợp K trường G không gian véctơ trường K 1.1.1 Định nghĩa (Xem [1]) Giả sử G môđun trường K G gọi đại số K, G trang bị phộp toỏn mi ã : G ì G → G, xác định (a, b) → ab, (phép tốn ” • ” : gọi tích trong) có tính chất song tuyến tính Nghĩa là: +) a(b + c) = ab + ac; ∀a, b, c ∈ G +) (a + b)c = ac + bc; ∀a, b, c ∈ G +) (αa)b = a(αb) = α(ab); ∀a, b ∈ G, α ∈ K Ta ý tích có tính chất giao hốn G gọi đại số giao hốn; Nếu tích có tính chất kết hợp G gọi đại số kết hợp; Nếu ab = 0; ∀a, b ∈ G, G gọi đại số tầm thường 1.1.2 Ví dụ Ta ký hiệu L(G) tập hợp tất dạng tuyến tính mơđun G, với phép tốn trang bị L(G) sau: a (f + g)x = f (x) + g(x); ∀f, g ∈ L(G), ∀x ∈ G b (αf )x = αf (x); ∀f, g ∈ L(G), ∀x ∈ G c (f g)x = f (x)g(x); ∀f, g ∈ L(G), ∀x ∈ G Khi L(G) đại số R Thật vậy: Với hai phép tốn a.,b L(G) mơđun ∀f, g, h ∈ L(G); ∀x ∈ G ta có (f (g + h))(x) = f (x)(g + h)(x) = f (x)(g(x) + h(x)) = f (x)g(x) + f (x)h(x) = (f g)(x) + (f h)(x) = (f g + f h)(x); ∀x ∈ G ∀f, g, h ∈ L(G) Vậy f (g + h) = f.g + f.h; ((f + g)h)(x) = (f + g)(x)h(x) = (f (x) + g(x))h(x) = f (x)h(x) + g(x)h(x)) = (f h)(x) + (gh)(x) = (f h + gh)(x); ∀x ∈ G ∀f, g, h ∈ L(G) Vậy (f + g)h = f.h + g.h; ((α.f )g)(x) = (α.f )(x)g(x) = α.f (x)g(x) = f (x).α.g(x)) = f (x)(α.g)(x) = (f (α.g))(x) = (α(f.g))(x); ∀x ∈ G ∀f, g, h ∈ L(G); ∀α ∈ R Vậy (α.f )g = f (α.g) = α(f g); Do L(G) đại số R Giả sử M đa tạp khả vi thực n chiều Khi đó, tập hợp hàm số khả vi M đại số R +) Thật ta ký hiệu F(M ) = {f |f : M −→ R, f khả vi} tập hàm khả vi đa tạp M Các phép toán trang bị F(M ) là: - Phép cộng (f + g) : M −→ R x −→ f (x) + g(x) - Phép nhân R × F(M ) : M −→ F(M ) (a, f ) −→ af - Phép tích F(M ) × F(M ) : M −→ R (f, g)(x) −→ f (x).g(x), ∀f, g ∈ F(M ) Ta kiểm tra F(M ) đại số R Thật vậy: ∗)[f (g + h)](x) = f (x)(g + h)(x) = f (x)[g(x) + h(x)] = f (x)g(x) + f (x)h(x) = (f g)(x) + (f h)(x) ∀x ∈ M = (f g + f h)(x); ⇒ [f (g + h)] = f g + f h; ∀f, g, h ∈ F(M ) ∗)[(f + g)h](x) = (f + g)(x)h(x) = [f (x) + g(x)]h(x) = f (x)h(x) + g(x)h(x) = (f h)(x) + (gh)(x) = (f h + gh)(x); ⇒ [(f + g)h] = f h + gh; ∀x ∈ M ∀f, g, h ∈ F(M ) ∗)[(α.f )g](x) = (α.f )(x)g(x) = α.f (x).g(x) = α(f g)(x); ∀x ∈ M ⇒ (α.f )g = α(f g) = f (α.g); ∀f, g, ∈ F(M ); ∀α ∈ R Vậy F(M ) đại số R ∗) Như ta biết (Xem [2]) giả sử G đại số K, A môđun G Khi A gọi đại số G ∀a, b ∈ A a.b ∈ A ∗) Đại số A G gọi Iđêan trái (phải) G A môđun với a ∈ A; x ∈ G ax ∈ A(xa ∈ mathbbA) ∗) A gọi Iđêan G A vừa Iđêan trái, vừa Iđêan phải ∗) Bây ta ký hiệu G/H = {g + H|g ∈ G}; H Iđêan G, ta đưa vào G/H phép cộng (g1 + H) + (g2 + H) = (g1 + g2 ) + H phép nhân vô hướng (g1 + H)(g2 + H) = (g1 g2 ) + H; với g1 + H ∈ G/H g2 + H ∈ G/H; G/H gọi đại số thương đại số G theo Iđêan H 1.1.3 Định nghĩa Giả sử G1 , G2 hai đại số trường K Một ánh xạ tuyến tính f từ môđun G1 sang môđun G2 gọi ánh xạ đồng cấu đại số G1 sang đại số G2 Nếu với x1 , x2 ∈ G1 f (x1 x2 ) = f (x1 )f (x2 ) 1.1.4 Mệnh đề (Xem[2]) Cho f : G1 −→ G2 tồn cấu đại số Khi đó: f −1 (0 ) Iđêan G1 G1 /f −1 (0 ) ∼ = G2 Chứng minh: Ta biết f −1 (0 ) môđun G1 ∀x ∈ f −1 (0 ), ∀y ∈ G1 ta có: f (xy) = f (x)f (y) = f (y) = (do x ∈ f −1 (0 )) Từ suy xy ∈ f −1 (0 ) Tương tự yx ∈ f −1 (0 ) Vậy f −1 (0 ) Iđêan G1 Xét ánh xạ h : G1 /f −1 (0 ) → G2 a + f −1 (0 ) → f (a) − Ta h đồng cấu Thật vậy: Với a, b ∈ G1 , với ∀α, β ∈ K Ta có h(α(a + f −1 (0 )) + β(b + f −1 (0 ))) = h(αa + βb + f −1 (0 )) = f (αa + βb) = αf (a) + βf (b) = α.h(a + f −1 (0 )) + βh(b + f −1 (0 )) ((a + f −1 (0 ))(b + f −1 (0 ))) = h(ab + f −1 (0 )) = f (ab) = f (a)f (b) = h(a + f −1 (0 )).h(b + f −1 (0 )) Vậy h đồng cấu đại số − Ta chứng minh h song ánh Thật với x ∈ G1 mà h(a + f −1 (0 )) = h(b + f −1 (0 )) ⇒ f (a) = f (b) ⇒ f (a − b) = ⇒ a − b ∈ f −1 (0 ) ⇒ a + f −1 (0 ) = b + f −1 (0 ) Vậy h đơn ánh Với x ∈ G2 , f toàn ánh nên tồn a ∈ G1 để f (a) = x, h(a + f −1 (0 )) = f (a) = x Suy h tồn ánh Do h đẳng cấu đại số Vậy G1 /f −1 (0 ) ∼ = G2 1.1.5 Mệnh đề (xem [2]) Cho G đại số, H K hai Iđêan G H ⊂ K Khi G/K ∼ = (G/H)/(K/H) 10 Chứng minh: Trước hết ta chứng minh K/H Iđêan G/H Thật vậy, ta biết K/H môđun G/H Với (x + H) ∈ K/H y + H ∈ G/H, ta có (x + H)(y + H) = xy + H ∈ K/H (vì xy ∈ K) (y + H)(x + H) = yx + H ∈ K/H (vì yx ∈ K Vậy K/H Iđêan G/H Đặt h : G/H → G/K x+H → x+K G K H Khi - h ánh xạ tuyến tính Thật vậy, ∀x, y ∈ G, ∀α, β ∈ K, ta có: h(α(x + H) + β(y + H)) = h((αx + βy) + H) = αx + βy + K = α(x + K) + β(y + K) = αh(x + H) + βh(y + H) Vậy h ánh xạ tuyến tính - h bảo tồn phép tốn tích Thật vậy: ∀x, y ∈ G, ta có 17 +) (a∗ + b∗ ).c∗ (x) = (a∗ + b∗ )(x).c∗ (x) = (a∗ (x) + b∗ (x)).c∗ (x) = a∗ (x).c∗ (x) + b∗ (x).c∗ (x) = (a∗ c∗ + b∗ c∗ )(x) ∀x ∈ A ; ⇒ (a∗ + b∗ ).c∗ = a∗ c∗ + b∗ c∗ +) (ka∗ ).b∗ (x) = (ka∗ )(x).b∗ (x) = ka∗ (x).b∗ (x) = a∗ (x).kb∗ (x) = a∗ (x).(kb∗ )(x) = k(a∗ b∗ )(x) ; ∀x ∈ A, k ∈ P ⇒ (ka∗ ).b∗ = a∗ (kb∗ ) = k(a∗ b∗ ) Bây ta tiếp tục trang bị cho A∗ thêm phép toán sau: Với a ∈ A, a∗ ∈ A∗ ta xét ánh xạ: (4) a∗ a : A −→ P x −→ a∗ a(x) = a∗ (a.x); ∀x ∈ A Ta nhận thấy a∗ a ∈ A∗ , thật vậy: +) (a∗ a)(x + y) = a∗ (a.(x + y)) = a∗ (a.x + a.y) = a∗ (a.x) + a∗ (a.y) = a∗ a(x) + a∗ a(y) ; ∀x, y ∈ A +) (a∗ a)(kx) = a∗ (a.(kx)) = a∗ (ka.x) = ka∗ (a.x) = k(a∗ a)(x) ; ∀x ∈ A, k ∈ P 18 2.1.1 Mệnh đề Với ba phép tốn (1), (3), (4) A∗ lập thành đại số giao hoán, kết hợp, có đơn vị A Chứng minh Dễ thấy A∗ với hai phép tốn (1), (4) mơđun A Giả sử a∗ , b∗ ∈ A∗ ; a, b, c ∈ A; k ∈ A ta có +) (a∗ + b∗ ).a(x) = (a∗ + b∗ )(a.x) = a∗ (a.x) + b∗ (a.x) = a∗ a(x) + b∗ a(x) = (a∗ a + b∗ a)(x) ∀x ∈ A ; ⇒ (a∗ + b∗ ).a = a∗ a + b∗ a +) a∗ (b + c)(x) = a∗ ((b + c).x) = a∗ (b.x) + a∗ (c.x) = a∗ b(x) + a∗ c(x) = (a∗ b + a∗ c)(x); ∀x ∈ A ⇒ a∗ (b + c) = a∗ b + a∗ c +) (a∗ ).a(kx) = (ka∗ )(a.x) = ka∗ a(x) = a∗ k(a(x)) = a∗ (ka(x)) = a∗ (ka)(x) ; ∀x ∈ A ⇒ (ka∗ ).a = k(a∗ a) = a∗ (ka) +) a∗ b∗ (x) = a∗ (x).b∗ (x) = b∗ (x).a∗ (x) = b∗ a∗ (x) ⇒ a∗ b∗ = b∗ a∗ ; ∀x ∈ A 19 +) a∗ δ(x) = a∗ (δ.x) = a∗ (x); ∀x ⇒ a∗ δ = a∗ ; δ đơn vị A∗ 2.1.2 Định nghĩa Đại số A∗ thỏa mãn tính chất gọi đại số cảm sinh A Ta ký hiệu A Giả sử A có sở εα = {ε1 , ε2 , , εn } A∗ có sở đối ngẫu với sở {εi } εβ = {ε1 , ε2 , , εn }   i = j j j ; 0, ∈ P Nghĩa εi (ε ) = δi =   i = j ij σ n i j Ta ln có ε ε = k=1 γk ε , hay εi εj = γ1ij ε1 + γ2ij ε2 + + γnij εn 2.1.3 Mệnh đề Ta có: εi εβ = βσ n i=1 γi εσ Chứng minh Thật cho trước εσ , εβ Ta cần chứng minh εi εβ = γ1βσ εσ + γ2βσ εσ + + γnβσ εσ ta có với , ετ εi εβ (ετ ) = εi (εβ ετ ) = εi [γ1βτ ε1 + γ2βτ ε2 + + γnβτ εn ] = γ1βτ εi (ε1 ) + γ2βτ εi (ε2 ) + + γnβτ εi (εn ) = γiβτ Mặt khác n γiβσ εσ (ετ ) = γ1βσ εσ (ετ ) + γ2βσ εσ (ετ ) + + γnβσ εσ (ετ ) i=1 = γiβτ Vậy εi εβ = γ1βσ εσ 20 Giả sử B đại số A có tính giao hốn, kết hợp có đơn vị, B đại số trường P có tính giao hốn, kết hợp có đơn vị Xác định ánh xạ τ : A∗ × B → B (a∗ , f ) → τ (a∗ , f ) có tính chất sau: với a∗ , b∗ ∈ A∗ , b ∈ A, f, g ∈ B τ song tuyến tính P tức τ (a∗ + b∗ , f ) = τ (a∗ , f ) + τ (b∗ , f ) τ (λ.a∗ , f ) = λ.τ (a∗ , f ) ; với λ ∈ P τ (a∗ , λ.f ) = λτ (a∗ , f ) τ (a∗ b, f ) = τ (a∗ , bf ) ; ∀b ∈ A n ∗ α n=1 τ (a ε , f ).τ (εα , g) τ (a∗ , f g) = Nếu τ (a∗ , f ) = ; ∀a∗ ∈ A∗ f = (b) ký hiệu: τ (a∗ , f ) = f(a∗ ) ; τ (a∗ b, f ) = f(a∗ ) (∗) Nếu a∗ = εα b = εα (εα ) (α) ta đặt: f(εα ) = f(α) f(a∗ ) = f(a∗ ) Từ ký hiệu ta có: τ (εα , f ) = f(εα ) = f(α) (b) f(a∗ ) = f(a∗ b) (α) (εα ) τ (a∗α εα , f ) = f(a∗ ) = f(a∗ ) (**) 2.1.4 Mệnh đề Với f, g ∈ B; a∗ ∈ A∗ ; b ∈ A ta có: • f(a∗ b) = bf(a∗ ) (1) n • (α) (f g)(a∗ ) = f(a∗ ) g(α) α=1 (2) 21 Chứng minh (1) (2) (b) Theo (*) ta có τ (a∗ b, f ) = f(a∗ ) = f(a∗ b) = τ (a∗ , bf ) = bf(a∗ ) Theo tính chất (3) (**) ta có n ∗ ∗ (α) α τ (a , f g) = τ (a ε , f ).τ (εα , g) ⇔ (f g)(a∗ ) = f(a∗ ) g(α) α=1 2.1.5 Mệnh đề Với f, g ∈ B; b∗ ∈ A∗ ; a ∈ A ta có: (δ) (1) f(a∗ ) = f(a∗ ) ; δ đơn vị A∗ n (a) (f g)(b∗ ) (2) = (α) (a) (a) (α) f(b∗ ) g(α) α=1 n (a) (f g)(b∗ ) (3) = f(α) g(b∗ ) α=1 n (a) (f g)(b∗ ) (4) = (aεα ) f(α) g(b∗ ) α=1 Chứng minh (δ) (1) Theo (*), ta có f(a∗ ) = τ (a∗ , f ) mà f(a∗ ) = τ (a∗ δ, f ) = τ (a∗ , f ); (δ) Suy f(a∗ ) = f(a∗ ) (2) Ta có: (a) (f g)(b∗ ) = τ (b∗ a, f g) = τ (b∗ , af g) = τ (b∗ , f.(ag)) n τ (b∗ εα , f ).τ (εα , ag) = α=1 n (α) = fb∗ (ag)(α) α=1 n (α) = (a) fb∗ g(α) α=1 22 (3) Áp dụng (2) với f, g ∈ B ta có (a) (a) (f g)(b∗ ) = (gf )(b∗ ) n = (α) (a) (a) (α) g(b∗ ) f(α) α=1 n = f(α) g(b∗ ) α=1 (3) Áp dụng định nghĩa (**) ta có (a) (f g)(b∗ ) = τ (b∗ , a.f g) = τ (b∗ , (ag).f ) n (α) = (ag)(b∗ ) f(α) α=1 n (aε ) f(α) g(b∗ )α = α=1 2.2 Đạo hàm cảm sinh đại số Giả sử B đại số A B đại số trường P B giao hoán, kết hợp, có đơn vị Trong mục ta ln giả thiết rằng, : Xf(a∗ ) = 0; ∀X ∈ DerB, ∀a∗ ∈ A∗ , f ∈ B, X = với a ∈ A, X ∈ DerB, ln có X(a) ∈ DerB, cho: (a) X(a) f(b∗ ) = (Xf )(b∗ ) ; ∀f ∈ B, ∀b∗ ∈ A∗ 2.2.1 Định nghĩa X(a) gọi đạo hàm cảm sinh X theo a 2.2.2 Mệnh đề X(a) với X ∈ DerB a ∈ A 23 Thật giả sử có X (a) ta có: (a) X (a) f(b∗ ) = (Xf )(b∗ ) ⇒ (X (a) − X(a) )f(b∗ ) = ; ∀f ∈ B, ∀b∗ ∈ A∗ ⇒ X (a) − X(a) = ⇒ X (a) = X(a) Vậy X(a) 2.2.3 Mệnh đề Xét ánh xa: A × DerB → DerB (a, X) → X(a) Khi ánh xạ có tính chất sau: (X + Y)(a) = X(a) + Y(a) (λX)(a) = λ(X)(a) , với λ ∈ P (bX)(a) = X(ba) [X(a) , Y(b) ] = [X, Y](ab) , với a, b ∈ A Chứng minh Với b∗ ∈ A∗ f ∈ B ta có (a) (X + Y)(a) f(b∗ ) = ((X + Y)f )(b∗ ) = ((X + Y)f )(b∗ a) = (Xf + Yf )(b∗ a) = (Xf )(b∗ a) + (Yf )(b∗ a) (a) (a) = (Xf )(b∗ ) + (Yf )(b∗ ) = X(a) f(b∗ ) + Y(a) f(b∗ ) 24 = (X(a) + Y(a) )f(b∗ ) , ∀f ∈ B ⇒ (X + Y)(a) = X(a) + Y(a) Với λ ∈ P, X ∈ DerB, ∀a ∈ A, b∗ ∈ A∗ , f ∈ B (a) (λX)(a) f(b∗ ) = [(λX)f ](b∗ ) = (λ(Xf ))(b∗ a) = λ(Xf )(b∗ a) = λX(a) f(b∗ ) ; ∀f ∈ B ⇒ (λX)(a) = λX(a) ∀a, b ∈ A Ta có (a) (bX)a f(b∗ ) = ((bX)f )(b∗ ) = X(bf )(b∗ a) = (b(Xf ))(b∗ a) = (Xf )(b∗ ab) = X(ba) f(b∗ ) , ∀f(b∗ ) ⇒ (bX)(a) = X(ba) Với c∗ ∈ A∗ , f ∈ B ta có [X(a) , Y(b) ]f(c∗ ) = (X(a) Y(b) − Y(b) X(a) )f(c∗ ) = X(a) (Y(b) f(c∗ ) ) − Y(b) (X(a) f(c∗ ) ) = X(a) (Yf )(c∗ b) − Y(b) (Xf )(c∗ a) (a) (b) = (X(Yf ))(c∗ b) − (Y(Xf ))(c∗ a) = (X(Yf ))((c∗ b)a) − (Y(Xf ))((c∗ a)b) = (X(Yf ))(c∗ (ba)) − (Y(Xf ))(c∗ (ab)) 25 = (X(Yf ) − Y(Xf ))(c∗ (ab)) = ([X, Y]f )(c∗ (ab)) = [X, Y](ab) f(c∗ ) ; ∀f(c∗ ) ⇒ [X(a) , Y(b) ] = [X, Y](ab) α Bây ta ký hiệu X(ε ) = X(α) ta có mệnh đề sau 2.2.4 Mệnh đề Với X ∈ DerB; a, b ∈ A, f ∈ B m (a) (f X) σ f(σ) X(aε = ) σ=1 m (a) (f X) (a) f(σ) X(σ) = σ=1 m (f X)(δ) = f(σ) X(σ) σ=1 Chứng minh Với b∗ ∈ A∗ f, g ∈ B ta có: (a) (f X)(a) g(b∗ ) = ((f X)g)(b∗ ) (a) = (f (Xg))(b∗ ) m = (aεσ ) f(σ) (Xg)(b∗ ) σ=1 m σ (f(σ) X(aε ) )g(b∗ ) ; = ∀g(b∗ ) σ=1 m (a) ⇒ (f X) f(σ) X(aε = σ=1 (a) (f X)(a) g(b∗ ) = ((f X)g)(b∗ ) (a) = (f (Xg))(b∗ ) m (a) = (σ) f(σ) (Xg)(b∗ ) σ=1 σ ) 26 m (a) f(σ) (X(σ) g(b∗ ) ) = σ=1 m (a) (f(σ) X(σ) )g(b∗ ) ; = ∀g(b∗ ) σ=1 m (a) ⇒ (f X) (a) f(σ) X(σ) = σ=1 Thay a = δ vào (1) mệnh đề (2.2.3)ta có: m (δ) (f X) σ f(σ) X(δε = ) σ=1 m f(σ) X(ε = σ ) σ=1 m f(σ) X(σ) , = σ=1 2.3 Đại số Lie B Ta đặt F ={Tập tất tổ hợp tuyến tính hữu hạn đạo hàm dạng X(a) } ý tới ánh xạ: ω(b∗ ) : F → B (a) X(a) → ω(b∗ ) (X(a) ) = (ω(X))(b∗ ) ; vớiω ∈ F ∗ , b∗ ∈ A∗ (a) Và ta ký hiệu: ω(b∗ a) = ω(b∗ ) (εα ) (α) ω(b∗ ) = ω(b∗ ) (a) ω(εα a) = ω(α) Khi ta có mệnh đề sau 2.3.1 Mệnh đề Với λ ∈ P, f ∈ B, b∗ ∈ A∗ ta có: (ω + θ)(b∗ ) = ω(b∗ ) + θ(b∗ ) (λω)(b∗ ) = λω(b∗ ) 27 ω(b∗ +c∗ ) = ω(b∗ ) + ω(c∗ ) ω(λ.b∗ ) = λω(b∗ ) (f ω)(b∗ ) = (σ) m σ=1 f(σ) ω(b∗ ) Chứng minh Cho tuỳ ý a ∈ A X ∈ DerB, ta có (a) (ω + θ)(b∗ ) (X(a) ) = [(ω + θ)X](b∗ ) = [(ω + θ)X](b∗ a) = [ω(X + θ(X)](b∗ a) = (ω(X))(b∗ a) + (θ(X))(b∗ a) (a) (a) = (ω(X))(b∗ ) + (θ(X))(b∗ ) = ω(b∗ ) (X(a) ) + θ(b∗ ) (X(a) ) = (ω(b∗ ) + θ(b∗ ) )(X(a) ); ∀X(a) ⇒ (ω + θ)(b∗ ) = ω(b∗ ) + θ(b∗ ) Với λ ∈ P ta có (a) (λω)(b∗ ) (X(a) ) = ((λω)(X))(b∗ ) = ((λω)(X))(b∗ a) = (λ(ω(X)))(b∗ a) = λ(ω(X))(b∗ a) (a) = λ(ω(X))(b∗ ) = λω(b∗ ) (X(a) ), ⇒ (λω)(b∗ ) = λω(b∗ ) , ∀X(a) ∀λ ∈ P 28 (a) ω(b∗ +c∗ ) (X(a) ) = (ω(X))(b∗ +c∗ ) = (ω(X))(b∗ a+c∗ a) = (ω(X))(b∗ a) + (ω(X))(c∗ a) = ω(b∗ ) (X(a) ) + ω(c∗ ) (X(a) ) = (ω(b∗ ) + ω(c∗ ) )(X(a) ); ∀(X(a) ) ⇒ ω(b∗ +c∗ ) = ω(b∗ ) + ω(c∗ ) (a) ω(λ.b∗ ) (X(a) ) = (ω(X))(λ.b∗ ) = (ω(X))(λ.b∗ a) = (λω(X))(b∗ a) (a) = λ(ω(X))(b∗ ) = λω(b∗ ) (X(a) ); ∀(X(a) ) ⇒ ω(λ.b∗ ) = λω(b∗ ) (a) (f ω)(b∗ ) (X)(a) = ((f ω)(X))(b∗ ) (a) = (f ω(X))(b∗ ) m (aεσ ) f(σ) (ω(X))(b∗ ) = σ=1 m (a) = f(σ) (ω(X))(b∗ εσ ) σ=1 m f(σ) ω(b∗ εσ ) (X(a) ) = σ=1 m (εσ ) f(σ) ω(b∗ ) (X(a) ) = σ=1 m (σ) (f(σ) ω(b∗ ) )(X(a) ); = σ=1 m (σ) ⇒ (f ω)(b∗ ) = f(σ) ω(b∗ ) σ=1 ∀X(a) 29 Như biết LX phép lấy đạo hàm đại số Lie và: LX ω(Y) = LX (ω(X)) − ω(LX Y) ta có mệnh đề sau 2.3.2 Mệnh đề Với a ∈ A, b∗ ∈ A∗ , X ∈ DerB := F ω ∈ F ∗ ta có: (LX ω)(b∗ a) = LX (a) ω(b∗ ) Chứng minh (c) (LX ω)(b∗ a) (Y(c) ) = [LX ω(Y)](b∗ a) (c) = [LX (ω(Y)) − ω(LX Y)](b∗ a) (c) (c) = (X(ω(Y)))(b∗ a) − (ω([X, Y]))(b∗ a) = Xa ((ω(Y))(b∗ c) ) − ω(b∗ ) ([X, Y](ac) ) = Xa (ω(b∗ ) (Y(c) )) − ω(b∗ ) ([X(a) , Y(c) ]) = LX (a) (ω(b∗ ) (Y(c) )) − ω(b∗ ) (LX (a) Y(c) ) = LX (a) ω(b∗ ) (Y(c) ); ⇒ (LX ω)(b∗ a) = LX (a) ω(b∗ ) ∀Y(c) ∈ F 30 KẾT LUẬN Luận văn đạt số kết sau đây: Hệ thống số khái niệm bản, chứng minh chi tiết số mệnh đề đại số, đạo hàm đại số (Mệnh đề 1.1.4, Mệnh đề 1.2.3) Trình bày cách xây dựng đại số cảm sinh Phát biểu chứng minh số tính chất đại số cảm sinh (Mệnh đề 2.1.1) Trình bày số ứng dụng ánh xạ τ vào đại số B(Mệnh đề 2.1.4, Mệnh đề 2.1.5) Chứng minh số tính chất đạo hàm cảm sinh đại số (Mệnh đề 2.2.2, Mệnh đề 2.2.3, Mệnh đề 2.2.4) Trình bày ứng dụng đạo hàm cảm sinh đại số vào đại số Lie B (Mệnh đề 2.3.1, Mệnh đề 2.3.2) Trong thời gian tới, tiếp tục nghiên cứu thêm ứng dụng đạo hàm cảm sinh đại số đa thức 31 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng việt [1] Nguyễn Việt Dũng (1997), Lý thuyết đại số Lie nhóm Lie, Đại học Vinh [2] Ngô Thúc Lanh (1982), Đại số (giáo trình sau đại học), Nhà xuất giáo dục [3] Nguyễn Hữu Quang (2005), Bài giảng đại số Lie nhóm Lie, Đại học Vinh [4] Nguyễn Hữu Quang (2007), Bài giảng đa tạp khả vi, Đại học Vinh [5] M.Xpivak (1985), Giải tích tốn học đa tạp, NXB đại học trung học chuyên nghiệp [6] Thái Viết Thảo (2005),Về đại số Lie lũy linh đại số Lie giải được, Luận văn thạc sỹ toán học, Đại học Vinh Tiếng anh [7] T.Y Lam (1998), Lectures on Modules and Rings, Grad.Texts in Math, vol.189, Springer-Verlag, Berlin [8] A.Ya.Sultanov (2010), Derivations of linear algebras and linear connections,Journal of Mathematical Sciences ... hàm cảm sinh đại số; phát biểu, chứng minh số tính chất đạo hàm cảm sinh đại số Ngồi ra, chúng tơi trình bày số ứng dụng đạo hàm cảm sinh đại số vào đại số Lie B Luận văn hoàn thành vào tháng... giả CHƯƠNG ĐẠI SỐ VÀ ĐẠO HÀM TRÊN ĐẠI SỐ Trong chương này, chúng tơi trình bày định nghĩa, ví dụ số tính chất đại số, đạo hàm đại số; đồng cấu đại số, ánh xạ vi phân đại số 1.1 Đại số Như ta đạ... học Đại số đạo hàm đại số, có nhiều ứng dụng lý thuyết Toán học đại Đạo hàm cảm sinh đại số nghiên cứu A.Ya.Sultanov Trong luận văn chúng tơi trình bày số tính chất đạo hàm cảm sinh đại số Vì luận