Luận văn, khóa luận, tiểu luận, báo cáo, đề tài
mục lục Lời nói đầu 1 Một số ký hiệu dùng trong luận văn Chơng 1. Vành các đa thức một biến trên trờng 3 4 1. Xây dựng dãy Stour của đa thức 4 2. Đa thức tách đợc và mở rộng tách đợc 7 3. Đa thức chia đờng tròn 11 4. Tiêu chuẩn bất khả quy của đa thức trên trờng số P-adic 18 Chơng 2. Một số dạng toán về đa thức 21 1. Phơng trình đại số 21 2. Đa thức nhận giá trị nguyên . 26 3. Phơng trình hàm đa thức 31 Kết luận 37 Tài liệu tham khảo . 38 1 Lời nói đầu Giải phơng trình đa thức là một vấn đề cơ bản của đại số và số học. Từ lâu, vấn đề này gắn liền với tên tuổi của các nhà toán học lớn có liên quan nh Abel, Galois, Fermat . Giải phơng trình đa thức còn có liên quan chặt chẽ đến các bài toán dựng hình cổ điển bằng thớc kẻ và compa. Luận văn này nhằm hệ thống lại và đi sâu nghiên cứu một số khái niệm và kết quả có liên quan đến lý thuyết đa thức: Đa thức bất khả quy, đa thức tách đ- ợc, đa thức chia đờng tròn, phơng trình đại số, phơng trình hàm đa thức, . Với ý nghĩa đó, luận văn đã tiến hành nghiên cứu các vấn đề về đa thức và phơng trình đa thức. Nội dung Luận văn đợc trình bày trong 2 chơng, ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo. Kết quả chính thu đợc của Luận văn: 1/ Xây dựng dãy Stour của đa thức. 2/ Dùng công cụ đa thức tách đợc để đa ra khái niệm trờng hoàn chỉnh và chứng minh đợc mọi trờng hữu hạn đều là trờng hoàn chỉnh. 3/ Chứng minh đợc tiêu chuẩn bất khả quy của các đa thức trên trờng p-adic Q p (một tròng hợp riêng của trờng định chuẩn không Acsimet, có thay đổi phép chứng minh so với trờng hợp tổng quát) 4/ Chứng minh mọi mở rộng hữu hạn của trờng đặc số 0, đều là mở rộng tách đợc trên trờng đó. 5/ Chứng minh đợc rằng : Đa thức chia đờng tròn trên trờng số hữu tỉ là đa thức bất khả quy. 6/ Dùng công thức biến đổi ngợc Mobius để tính tờng minh đa thức chia đờng tròn bậc n. Giới thiệu và chứng minh định lý mô tả cấu trúc trờng chia đờng tròn. 7/ Xét tính giải đợc bằng căn thức của các phơng trình đại số. 8/ Nghiên cứu một lớp các phơng trình hàm đa thức có nhiều ứng dụng trong giảng dạy toán phổ thông. 2 Luận văn đợc hoàn thành dới sự hớng dẫn của thầy giáo TS. Mai Văn T. Nhân dịp này, cho phép tôi đợc bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy giáo hớng dẫn vì sự giúp đỡ và chỉ dẫn hết sức nhiệt tình, chu đáo. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS.TS. Nguyễn Quốc Thi, PGS. TS. Nguyễn Quý Dy, PGS. TS Ngô Sĩ Tùng, PGS.TS. Nguyễn Thành Quang, PGS.TS. Lê Quốc Hán, PGS. TS Chu Trọng Thanh và các thầy cô giáo trong chuyên ngành Đại số và Khoa Toán, đã dạy bảo chúng tôi trong suốt thời gian học tập vừa qua. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS. TS. Nguyễn Trọng Văn, Ths. Nguyễn Văn Cam và các thầy cô giáo trong Khoa Đào tạo Sau đại học, đã giúp đỡ chúng tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu. Tác giả xin trân trọng gửi lời cảm ơn tới Ban Giám hiệu Trờng THPT Nguyễn Huệ, Sở Giáo dục & Đào tạo Nghệ An và các đồng nghiệp, bè bạn đã động viên giúp đỡ rất nhiều cho tác giả về tinh thần và vật chất, trong hai năm học tập cao học vừa qua. Luận văn không tránh khỏi nhiều thiếu sót. Tác giả kính mong nhận đợc sự chỉ bảo của các thầy cô giáo và sự góp ý của các anh chị học viên cao học. Tác giả luận văn Nguyễn Thị Thanh Hơng 3 Một số ký hiệu dùng trong luận văn Tập N các số tự nhiên. Vành Z các số nguyên. Vành Z p các số nguyên modp. Trờng Q các số hữu tỉ. Trờng R các số thực. Trờng C các số phức. Trờng C p các số p-adic. Vành đa thức K[x] của ẩn x trên trờng K. Vành đa thức K[x 1 , ., x n ] của ẩn x 1 , ., x n trên trờng K. Trờng phân thức K(x) của vành K[x] trên trờng K. Mở rộng đơn K(u) của trờng K sinh bởi phần tử u. Mở rộng đơn K(u, v, ., z) của trờng K sinh bởi phần tử u, v, ., z. Mở rộng đơn K() của trờng K sinh bởi căn nguyên thuỷ . Mở rộng E trên trờng K ký hiệu bởi E/K. Nhóm Galois G(E/K) mở rộng của E trên trờng K. Nhóm Galois G(f/K) mở rộng của f trên trờng K. W s (x) là số lần đổi dấu của dãy Stour của đa thức f(x). 4 Chơng i vành các đa thức một biến trên trờng Đ1. Xây dựng dãy Stour của đa thức 1.1 Định nghĩa. Đa thức một biến x trên trờng K là biểu thức có dạng: m m xaxaaxf +++= .)( 10 , trong đó Ka i , i = 0, ., m với m N. Tập hợp các đa thức một biến với hệ số thuộc trờng K đợc ký hiệu bởi K[x]. 1.2 Định nghĩa các phép toán trên các đa thức. Giả sử m m xaxaaxf +++= .)( 10 , n n xbxbbxg +++= .)( 10 . Khi đó phép cộng và phép nhân các đa thức đợc xác định bởi công thức: .)( .)()()()( 1100 +++++++=+ k kk xbaxbabaxgxf .)( .)()()()( 1100 ++++= k kk xbaxbabaxgxf =++++++= k k n n m m xcxbxbbxaxaaxgxf ) .)( .()().( 1010 , trong đó hệ số =+ = kji jik bac . 1.3 Định lý. Tập hợp K[x] các đa thức với hệ số thuộc trờng K cùng với hai phép toán cộng và nhân lập thành một miền nguyên vẹn. 1.4 Nhận xét. Ta có thể xây dựng vành các đa thức trên trờng K bằng phơng pháp dãy nh sau: Gọi { } 0010 ,0:,, .), .,( mmaNmKaaaaP mim == , nh vậy mỗi phần tử của P là dãy các phần tử thuộc trờng K bao gồm chỉ hữu hạn các phần tử khác 0. Trên P ta xây dựng hai phép toán cộng và nhân nh sau: , .), .,,(, .), .,,(, .), .,,( 11001010 mmmm babababbbaaa +++=+ , .), .,,(, .), .,,, .).(, .,,( 101010 mmm cccbbbaaa = , trong đó =+ = kji jik bac . Phần tử trung lập của phép cộng là , .)0, .0,0( , phần tử đối của phần tử , .), .,( 10 m aaa là , .), .,,( 10 m aaa , phần tử đơn vị là , .)0, .0,0,1( . Rõ ràng P là một vành giao hoán , có đơn vị và không có ớc của không. Ta xét , .)0, .0,0,1( 0 = x . , .)0, .0,1,0( 1 = x , .)0, .0,1,0,0( 2 = x , , .)0,0,1,0 .0,0,0,0( m m x = Ta xét tơng ứng .)0, .,0,0,()(,: aafaPKf = , dễ thấy f là một đơn cấu vành và mỗi một phần tử của P đều viết đợc dới dạng: 5 , .)0,,0, .,0( ., .),,0( .)0,0,(, .), .( 1010 mm aoaaaaa +++= )( . 2 2 1 1 0 0 xfxaxaxaxa m m =++++= . 1.5. Bậc của đa thức. Giả sử m m xaxaaxf +++= .)( 10 là một đa thức và 0 m a thì m đợc gọi là bậc của đa thức, ký hiệu bởi degf(x) = m, trong trờng hợp 0,0 0 = ma thì f(x) có bậc bằng 0, đa thức m m xaxaaxf +++= .)( 10 đợc gọi là đa thức không hay đồng nhất không nếu và chỉ nếu các hệ số của nó bằng 0. 1.6. Định lý (Định lý cơ bản của đại số). Mọi đa thức trên trờng số phức: f (x) = a n x n + a n-1 x n-1 + . + a 1 x + a 0 , n 1; a i C (i = n,1 ) đều có ít nhất một nghiệm phức. 1.7. Hệ quả 1. Mọi đa thức bậc n 1 trên trờng số phức đều có đúng n nghiệm phức, tính cả bội. 1.8. Hệ quả. Tồn tại duy nhất đa thức bậc n nhận n + 1 giá trị cho trớc tại n + 1 điểm cho trớc. Thật vậy giả sử y 1 , . , y n là n + 1 giá trị cho trớc và z 1 , . , z n+1 là n + 1 điểm khác nhau trong C khi đó đa thức (L): f(z) = + = + = 1 1 1 1 1 n i n k k ki k i zz zz y có bậc là n và f(z i ) = y i ; i = n,1 Đa thức thoả mãn đẳng thức trên là duy nhất. Công thức (L) gọi là công thức nội suy Lagrange. 1.9. Số nghiệm thực của đa thức Trong mục này ta trình bày thuật toán (định lý Stour) tính số nghiệm thực của đa thức với hệ số thực. Giả sử f(x) là đa thức với hệ số thực không có nghiệm bội.Ta định nghĩa dãy Stour đối với f trên [a,b] là một hệ thống có thứ tự đa thức (S) = { f = f 0 , f = f 1 , ., f m } Có các tính chất sau: ST1) Đa thức cuối cùng f m không có nghiệm thực. ST2) Với 0 j m - 1 đều không x [a,b] để f j (x) = f j+1 (x) = 0. ST3) Nếu x [a,b] và f j (x) = 0, với j nào đó: 1 j m-1 thì f j-1 (x)f j+1 (x)< 0. ST4) f j (a) 0 và f j (b) 0 với j = m,0 . Nếu dãy (S) chỉ thoả mãn (ST 1 ); (ST2 và ST3) thì S gọi là dãy Stour trên (- ,+ ) 1.10. Định lí. Mọi đa thức hệ số thực f không có nghiệm bội, có dãy Stour trên (- ,+ ) 6 Chứng minh. Theo định nghĩa dãy (S), ta đặt f 0 = f và f 1 = f. Để tìm f 2 ta chia f cho f 1 đợc phần d r 2 . Đặt f 2 = - r 2 . Tiếp tục ta xác định f k theo công thức quy nạp: (1) f k -1 (x) k = f k (x)q k (x) - f k+1 (x); k = 1,1 n Bởi vì thuật chia Euclide không thay đổi kết quả cuối cùng là UCLN của hai đa thức khi ta tiến hành chia các phần tử d liên tiếp sau khi đã đổi dấu chúng, nên tồn tại m để f m = (f, f). Xét dãy: (2) { f 0 = f, f 1 = f, . , f m } Do f không có nghiệm bội nên f m không có nghiệm thực có nghĩa (ST1) đợc thoả mãn. Giả sử f k và f k+1 có nghiệm thực chung , 0 k m. Do (1), đồng thời là nghiệm của f k+1 , và cũng do (1) với k thay bội k - 1, là nghiệm cung của f k-1 và f k . Do đó là nghiệm chung của f và f, trái với giả thiết. Vậy (ST2) thực hiện cuối cùng từ (1). Vì vậy, nếu f k ( ) = 0 thì f k-1 ( ) = - f k+1 ( ) 0 và do đó (ST3) thoả mãn. 1.11. Định lí . Cho {f 0 = f, f 1 = f, . , f m } là dãy Stour của f trên [a,b]. Khi đó số nghiệm thực của f trong [a,b] là W S (a) - W S (b). Chứng minh. Nếu 1 < 2 < . < r là dãy thứ tự tất cả các nghiệm thực của các đa thức f k trong [a,b], (k = m,0 ) thì W S (x) không đổi trong khoảng mở giữa các nghiệm. Ta cần chứng minh rằng nếu có đúng một nghiệm của một đa thức f k nào đó trong [a,b] thì: W S (a) - W S (b) = = .0)(,0 0)(,1 f f Giả sử là nghiệm của f k nào đó với 0 k m -1 thì theo (ST3): f k-1 ( )f k+1 ( ) < 0 và dấu không đổi khi thay bởi a và b. Vậy số lần thay đổi của 2 dãy: { f k-1 (a); f k (a); f k+1 (a)} { f k-1 (b); f k (b); f k+1 (b)} là bằng 1. Có nghĩa nếu f( ) 0 thì W S (a) = W S (b). Bây giờ giả sử f( ) = 0. Khi đó f(a). f(b) < 0 nhng f(a) và f(b) cùng dấu hay W S (a) = W S (b) + 1. 7 Đ2. Đa thức tách đợc và mở rộng tách đợc 2.1. Đặc số của trờng. Giả sử K là một trờng với phần tử đơn vị đợc ký hiệu là 1. Nếu ,01 n với mọi số tự nhiên n khác 0, thì ta nói trờng K có đặc số 0. Trong trờng hợp ngợc lại, ta gọi số nguyên dơng bé nhất n sao cho ,01 = n là đặc số của trờng K. Chúng ta chứng minh đợc rằng, mỗi trờng K tuỳ ý hoặc có đặc số 0, hoặc có đặc số là số nguyên tố. Chẳng hạn, các trờng Q, R, C là trờng có đặc số 0. Trờng Z p các số nguyên modp có đặc số là số nguyên tố .p 2.2. Trờng nguyên tố. Giả sử K là một trờng. Ta gọi là trờng con của K, một vành con khác không X của nó sao cho nếu 0, xXx thì . 1 Xx Ta gọi trờng K là trờng nguyên tố nếu nó không có một trờng con thực sự nào cả. Giao của tất cả các trờng con của một trờng đã cho hiển nhiên là một trờng nguyên tố. Vì vậy, mọi trờng đều chứa một và chỉ một trờng con nguyên tố. 2.3. Định lý về các kiểu trờng nguyên tố. (xem [6], trang 87) Giả sử P là trờng con nguyên tố của trờng K, khi đó: 1) Nếu trờng K có đặc số 0 thì trờng P đẳng cấu với trờng Q các số hữu tỉ. 2) Nếu trờng K có đặc số 0 p thì trờng P đẳng cấu với trờng Z p các số nguyên modp. 2.4. Mở rộng trờng. Giả sử K là một trờng con của trờng U, khi đó ta nói U là một mở rộng của trờng K. Chẳng hạn, mọi trờng đều có thể xem là một mở rộng của trờng con nguyên tố của nó. Giả sử U là một mở rộng đã cho của một trờng K và S là một tập con tuỳ ý của U. Họ trờng con của U chứa K và S là khác rỗng, vì U thuộc họ đó. Giao của họ này là một trờng con của U chứa K và S. Hiển nhiên đó là trờng con nhỏ nhất chứa K và S. Ta ký hiệu là K(S) và gọi nó là mở rộng thu đợc từ K bằng cách ghép thêm tập hợp S. Nếu S = { x 1 , . , x n } thì thay cho K(S) ta viết K( x 1 , . , x n ). Đặc biệt, với phần tử tuỳ ýthuộc U, ta gọi K( ) là mở rộng đơn của K ghép thêm phần tử . 2.5. Trờng phân rã (trờng nghiệm) của một đa thức. 8 Cho )(xf là một đa thức trên trờng K, với bậc 1 n . Ta gọi trờng phân rã của đa thức )(xf trên K là một mở rộng P của K sao cho )(xf có n nghiệm trong P và P là một trờng nhỏ nhất chứa K và n nghiệm của đa thức )(xf . Chú ý rằng, đối với mọi đa thức )(xf , bậc 1 n trên K, bao giờ cũng tồn tại ít nhất một trờng phân rã. Hơn nữa, trờng phân rã của một đa thức )(xf , bậc 1 n trên K là duy nhất, sai khác một đẳng cấu (xem [1]). 2.6. Định nghĩa. Cho K là một trờng tuỳ ý và đa thức )(0 xf K[x], với bậc 1 n . Ta nói đa thức )(xf là đa thức tách đợc trên K nếu và chỉ nếu f(x) có n nghiệm phân biệt trong trờng phân rã P của nó trên K. Trong trờng hợp ngợc lại, đa thức )(xf đợc gọi là không tách đợc trên K. Một mở rộng S của trờng K đợc gọi là mở rộng tách đợc trên K nếu mỗi phần tử u thuộc S là nghiệm của một đa thức tách đợc )(xf K[x]. Ta có mệnh đề sau đây. 2.7. Mệnh đề. Đa thức f(x) trên trờng K, là đa thức tách đợc trên K nếu và chỉ nếu f(x) và )(' xf nguyên tố cùng nhau. Chứng minh. Giả sử f(x) là đa thức tách đợc và (f(x), f(x)) = d(x). Nếu d(x) có bậc khác 0 thì d(x) sẽ có một nghiệm x 0 trong trờng nghiệm của f(x) trên K. Khi đó, ta sẽ có f(x 0 ) = 0 và f (x 0 ) = 0, hay f(x) có nghiệm bội. Điều này trái với giả thiết f(x) tách đợc. Đảo lại, giả sử (f(x), f (x)) = 1. Khi đó, f(x) tách đợc vì nếu không thế thì f(x) sẽ có nghiệm bội , do đó f(x) và f(x) có nhân tử chung bậc 1 . 2.8. Mệnh đề. Một đa thức bất khả quy f(x) trên trờng K, sẽ là đa thức không tách đợc trên K nếu và chỉ nếu )(' xf = 0. Chứng minh. Theo mệnh đề 2.2, đa thức f(x) không tách đợc nếu và chỉ nếu (f(x), )(' xf ) 1 . Vì f(x) bất khả quy trên K, nên điều kiện này tơng đơng với điều kiện (f(x), f (x)) = f(x). Vì )(' xf có bậc nhỏ hơn f(x) nên điều này tơng đơng với )(' xf = 0. 2.9. Định nghĩa. Một trờng K đợc gọi là trờng hoàn chỉnh (The perfect field) nếu và chỉ nếu mọi đa thức bất khả quy trên K đều là đa thức tách đợc trên K. Nói cách khác, K là trờng hoàn chỉnh nếu và chỉ nếu K là mở rộng tách đợc trên chính nó. 2.10. Hệ quả. Mọi trờng có đặc số 0 đều là trờng hoàn chỉnh. 9 Chứng minh. Giả sử = i i xaxf )( , ta có = .)(' 1i i xiaxf Do đó, 0)(' = xf nếu và chỉ nếu iia i = ,0 . Nếu K có đặc số 0 thì từ giả thiết f(x) bất khả quy, ta suy ra bậc của f(x) d- ơng và do đó 0)(' xf . Vì vậy, theo mệnh đề 2.8, ta có f(x) là đa thức tách đ- ợc. 2.11. Bổ đề. Cho trờng K có đặc số nguyên tố p. Khi đó, đa thức bất khả quy f(x) trên K, sẽ là đa thức không tách đợc nếu và chỉ nếu == )()()( pjp j xFxbxf . Chứng minh. Giả sử = i i xaxf )( , ta có = .)(' 1i i xiaxf Do đó, 0)(' = xf nếu và chỉ nếu iia i = ,0 . Vì K có đặc số p, cho nên 0)(' = xf nếu và chỉ nếu hệ tử 0 = i a , với các chỉ số i không chia hết cho p. Vì vậy, theo mệnh đề 2.8, ta suy ra f(x) không tách đ- ợc khi và chỉ khi f(x) có dạng trên. 2.12. Hệ quả. Mọi trờng hữu hạn đều là trờng hoàn chỉnh. Chứng minh. Vì ánh xạ p xx : là một tự đẳng cấu của trờng hữu hạn F q , (q = p n ), cho nên với mọi y thuộc F q tồn tại duy nhất phần tử x thuộc F q sao cho y = x p . Nói cách khác, mọi phần tử thuộc F q đều có căn bậc p. Giả sử có một đa thức f(x) bất khả quy không tách đợc trên F q . Khi đó, theo bổ đề 2.11, ta có f(x) = F(x) p = a 0 + a 1 x p + a 2 (x p ) 2 + . + a k (x p ) k . Vì a 0 = b 0 p , ., a k =b k p , cho nên ta có f(x) = b 0 p + b 1 p x p + b 2 p (x p ) 2 + . + b k p (x p ) k . = (b 0 + b 1 x + b 2 x 2 + . + b k x k ) p , b i K. Điều này mâu thuẫn với tính bất khả quy trên F q của f(x). 2.13. Xây dựng một phản ví dụ về trờng hoàn chỉnh. Ký hiệu E = Z p (u) là mở rộng đơn siêu việt của trờng Z p các số nguyên modp và ký hiệu K = Z p (t) là trờng con của E sinh trên Z p bởi phần tử = p ut E. Nh vậy, trờng K = Z p (t) gồm tất cả phân thức hữu tỉ theo biến t, có hệ số trong Z p , và biến t siêu việt trên Z p . Bây giờ, ta xét đa thức sau: = txxf p )( K[x]. Ta chứng minh rằng f(x) là đa thức bất khả quy trên K. Thật vậy, vì K = Z p (t) là trờng các thơng của miền nguyên Z p [t] các đa thức theo biến t, cho nên nếu f(x) là đa thức bất khả quy trên K, thì theo bổ đề Gauss, f(x) phải khả quy trên miền nguyên Z p [t]. Mặt khác, ta có 10