Thông tin tài liệu
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH VÕ CÔNG DANH ĐẠO HÀM ÁNH XẠ KIỂU WEIGARTEN VÀ ỨNG DỤNG CHUN NGÀNH : HÌNH HỌC- TƠPƠ Mã số: 60.46.10 luận văn thạc sĩ toán học Ngi hng dn khoa học : PGS TS NGUYỄN HỮU QUANG VINH - 2011 MỤC LỤC Trang LỜI NÓI ĐẦU ……………………………………………………… CHƯƠNG I: ÁNH XẠ KIỂU WEIGARTEN…………………………… I Đa tạp Riemann…………………………………………………… II Liên thông Levi-Civita……………………………………………… III Ánh xạ đẳng cự…………………………………………………… 13 IV Ánh xạ kiểu Weigarten…………………………………………… 17 CHƯƠNG II: ĐẠO HÀM ÁNH XẠ KIỂU WEIGARTEN…………… 22 I Đạo Hàm ánh xạ kiểu Weigarten…………………………………… 22 II Độ cong đa tạp Riemann con……………………………… 26 KẾT LUẬN…………………………………………………… 37 TÀI LIỆU THAM KHẢO…………………………………… 38 LỜI NÓI ĐẦU Hình học Riemann đời từ kỉ 19 quan tâm độ cong không gian mà chủ yếu độ cong điểm khơng gian Như biết ánh xạ Weigarten đóng vai trị quan trọng nghiên cứu hình dạng mặt S E Từ đó, nhà tốn học mở rộng nghiên cứu ánh xạ kiểu Weigarten siêu mặt S đa tạp Riemann, tìm nhiều tính chất hình học đặc trưng mặt S Trong luận văn này, chúng tơi trình bày số tính chất ánh xạ kiểu Weigarten đa tạp Riemann m -chiều đa tạp Riemann n m k chiều, số ứng dụng Ngồi ra, việc sử dụng cơng cụ “ Đạo hàm ánh xạ kiểu Weigarten ” để tìm số tính chất độ cong đa tạp Riemann Do vậy, luận văn mang tên : Đạo hàm ánh xạ kiểu Weigarten ứng dụng Luận văn trình bày hai chương: Chương1 Ánh xạ kiểu Weigarten Trong chương này, trình bày khái niệm chứng minh chi tiết số tính chất quan trọng ánh xạ kiểu Weigarten Chương trình bày kiến thức sở chuẩn bị cho việc trình bày chương sau Chương I chia làm bốn phần: V Đa tạp Riemann VI Liên thông Levi-Civita VII Ánh xạ đẳng cự VIII Ánh xạ kiểu Weigarten Chương Đạo hàm ánh xạ kiểu Weigarten Trong chương này, chúng tơi trình bày định nghĩa số tính chất ánh xạ đạo hàm ánh xạ kiểu Weigarten, ứng dụng nghiên cứu số tính chất độ cong đa tạp Riemann Chương II chia làm hai phần: III Đạo Hàm ánh xạ kiểu Weigarten IV Độ cong đa tạp Riemann Luận văn hoàn thành vào tháng 12 năm 2011 trường Đại Học Vinh với hướng dẫn PGS.TS Nguyễn Hữu Quang Nhân dịp tác giả xin chân thành gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy, người dẫn cho tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Tác giả xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo môn Hình học-Tơpơ, thầy giáo khoa Tốn, khoa đào tạo Sau Đại học – Trường Đại học Vinh, nhiệt tình giảng dạy, góp ý tạo điều kiện cho tác giả trình học tập thực luận văn Vinh, ngày 15 tháng 12 năm 2011 Tác giả Chương1 ÁNH XẠ KIỂU WEIGARTEN Trong chương này, nêu số kiến thức sở trình bày tài liệu ([1],[2])về ánh xạ kiểu Weigarten Cũng chương này, ln giả thiết M đa tạp có sở tôpô đếm I Đa tạp Riemann 1.1 Định nghĩa Một cấu trúc Riemann g đa tạp khả vi M ánh xạ g : p gp ; p M , g p thỏa mãn: - g p tích vơ hướng Tp M , - g phụ thuộc khả vi vào p ( nghĩa g ( X , Y )( P) g p ( X p , Yp ) g hàm khả vi theo p ) Khi M , g gọi đa tạp Riemann 1.2 Ví dụ Xét nửa mặt phẳng : M H x, y R2 / y 0 Với ánh xạ gp: TpH x TpH R xác định g: p g p X p ,Y p X p Y p ; p( x; y) , p ( x, y ) M y2 Trong X p Y p tích vơ hướng thơng thường R Khi đó, gp tích vơ hướng TpH, p Thật vậy, với X p , Y p , Z p Tp M ; R, p( x, y) + Tính song tuyến tính : p H, ta có : gp(X p Y p, Z p) X p Y p,Z p y ( p) 1 X p Z p Yp Z p y ( p) y ( p) g p ( X p , Z p ) g p (Y p , Z p ) g p ( X p , Y p ) X p Y p y ( p) g p ( X p ,Y p ) Suy gp tuyến tính với X p Tương tự, gp tuyến tính với Y p Vậy gp song tuyến tính + Tính đối xứng : p H, ta có : g p ( X p ,Y p ) X p Y p y ( p) Y p X p y ( p) 2 g p (Y p , X p ) + Tính xác định dương : p H, ta có : g p ( X p ,Y p ) X p Y p y ( p) Xp y ( p) 2 0; X p g p ( X p ,Y p ) X p Mặt khác: g ( X , Y ) y2 XY i i i Do X, Y khả vi nên gp khả vi Vậy (H,g) đa tạp Riemann 2–chiều, gọi nửa phẳng Poincare Giả sử hàm số khả vi dương E n Ta đặt g ( X , Y ) .XY , X , Y B( E n ) Khi E n , g đa tạp Riemann Thật vậy, ta cần kiểm tra điều kiện để g cấu trúc Riemann +) g p tích vơ hướng Tp E n ; p E n Thật vậy, X p , Yp , Z p Tp E n ; , F( E n ) ta có: + g p ( X p , Yp ) ( p) X pYp ( p)Yp X p g p (Yp , X p ) + g p ( X p Yp , Z p ) ( p)( X p Yp )Z p ( p) X p Z p ( p)Yp Z p g p ( X p , Z p ) g p (Yp , Z p ) + g p ( X p , X p ) ( p) X p X p ( p) X p + gp (X p, X p ) X p +) g p khả vi theo p ; p E n ( Ta chứng minh g ( X , Y ) hàm số khả vi X , Y B( E n ) ) Thật vậy, X , Y B( E n ); n n i 1 i 1 X X i Ei , Y Yi Ei với Ei i 1 n trường mục tiêu trực chuẩn B( E n ) Khi ta có n g ( X , Y ) X iYi i 1 Do X , Y khả vi nên X i , Yi ; i 1, n Do hàm số khả vi E n nên g ( X , Y ) hàm số khả vi X , Y B( E n ) Vậy E n , g đa tạp Riemann 1.3 Mệnh đề Mọi đa tạp khả vi M trang bị cấu trúc Riemann Chứng minh: Giả sử M đa tạp có cấu truc khả vi U , I Ei i 1 sở tắc n ( Ei ) B(U) Khi với X, Y B(M) ta có biểu diễn: xi n X U X i Ei , i 1 n Y U Yi Ei i 1 Ta xét n g / p ( X p , Yp ) X i ( p)Yi ( p); p U i 1 Dễ thấy g / p tích vơ hướng TpM g khả vi theo p U Đặt g p ( X p , Y p ) ( p).g p ( X p , Y p ) với X, Y B(M) Ở I I phân hoạch đơn vị khả vi ứng với phủ U I Khi đó, g cấu trúc Riemann M Thật vậy, ta kiểm tra điều kiện: + g p ( X p , Y p ) ( p).g p ( X p , Y p ) I ( p) X i ( p).Yi ( p) I ( p)Yi ( p) X i ( p) I ( p).g p (Y p , X p ) I g / p (Yp , X p ); X p , Yp Tp M + g p (X p Y p , Z p ) ( p).g p (X p Y p , Z p ) I ( p).g p (X i ( p) Yi ( p), Z i ( p)) I ( p). g p ( X i ( p), Z i ( p)) ( p). g p (Yi ( p), Z i ( p)) I I g p ( X p , Z p ) g p (Y p , Z p ) + g p ( X p , X p ) ( p).g p ( X p , X p ) I ( p) X i ( p) X i ( p) ,i ( p).X i ( p) ,i + g p ( X p , X p ) ( p).X i ( p)2 ,i X i ( p) 0; p M ; i 1, n X ( p) Tiếp theo, ta chứng minh g hàm số khả vi theo p với pM, tức ta cần chứng minh g(X,Y) hàm số khả vi với X, Y B(M) Ta lại có khả vi với I Từ suy g(X,Y) hàm số khả vi với X, Y B(M) Vậy tồn cấu trúc Riemann g M II Liên thông Lêvi-Civita 1.4 Định nghĩa (xem [1 ]) Giả sử M đa tạp Riemann với cấu trúc Riemann g liên thơng tuyến tính M Ta nói liên thơng Riemann đường khả vi c : J M ( J R ) X , Y trường véc tơ song song dọc c , ta có g ( X , Y ) hàm J 1.5 Định lý (xem [1 ]) Giả sử M đa tạp Riemann, liên thơng tuyến tính M liên thơng Riemann g = (Nghĩa Z g ( X , Y ) g (Z X , Y ) g ( X , ZY ) , X , Y , Z B( M )) 1.6 Định nghĩa Liên thông tuyến tính gọi liên thơng Lêvi-Civita thỏa mãn hai tiên đề sau: T ( X , Y ) X Y Y X X , Y , X , Y Z X , Y Z X Y Z Y X , X , Y , Z B( M ) B( M ) Trong X , Y tích vơ hướng B( M ) 1.7 Ví dụ Cho M Rn = D : B( M ) B( M ) B( M ) ( X ,Y ) DX Y Từ tính chất D R n ta thấy liên thông Levi-Civita R n m Giả sử M đa tạp khả song với trường mục tiêu E1 , , En , Y Yi Ei , i 1 m đặt X Y X Yi Ei Khi liên thơng Lêvi-Civita M i 1 1.8 Mệnh đề (xem [1 ]) Liên thông Lêvi-Civita đa tạp Riemann M tồn Chứng minh: + Sự tồn : Giả sử X, Y B(M), ta xác định phương trình sau : X Y.Z 1 X Y, Z Y Z, X Z X, Y Z X, Y Y. Z, X X.Y, Z , (1) 2 với Z trường véc tơ tuỳ ý B(M) 24 h21 h21 2 1 (sin u.cos v) sin(u v) sin u (sin 2v.sin v.sin u sin 2u cos v ) , u v 1 (sin u.cos v)2 h22 h22 1 (sin u.cos v) u v h23 h23 1 (sin u.cos v) u v sin v.sin 2u (sin u) cos v (sin u) (cos v) sin 2u sin 2v.sin u , 1 (sin u.cos v) 2 2 2 sin 2v.sin 2u 2(sin u) cos2v (sin u) sin 2u.(cos v) 1 (sin u.cos v) 2 2 sin 2u.sin 2v 2 , 2 h24 h24 2 1 (sin u.cos v) cos u sin u (.2(sin u ) sin 2v sin 2u cos v ) u v 1 (sin u.cos v)2 Từ (1),(2),(3) ta có T h2 (Y ) T h2 (Y ) h2 (T Y ) = X1 , X , X , X , đó, 2 1 (sin u.cos v)2 sin(u v) sin u (sin 2v.sin v.sin u sin 2u cos v ) 2sin u.tan v.sin v X1 1 (sin u.cos v) 2 X2 1 (sin u.cos v) 2 + X3 1 (sin u.cos v)2 sin v.sin 2u (sin u )2 cos v (sin u )2 (cos v)2 sin 2u sin 2v sin u , 2 sin u.sin v sin u.cos v , 1 (sin u.cos v)2 sin 2v.sin 2u 2(sin u )2 cos2v (sin u )2 sin 2u.(cos v)2 sin 2u.sin 2v 1 (sin u.cos v) 2 2 sin u tan v + sin u.cos v , 2 1 (sin u.cos v)2 cos u sin u (.2(sin u )2 sin 2v sin 2u cos v ) tan v.sin v X4 1 (sin u.cos v) 2 25 2.4 Mệnh đề m Với X , Y B( M ), E i trường véc tơ sở B( M ), ta có i1 h (Y ) X Y h (E ) E E .Y h (E ) X j j i i X i j i X Y h j ( Ei ) Ei , với i m Chứng minh: Thật vậy, X h j (Y ) X (h j (Y )) h j ( X Y ) Suy h (Y ).E X j i X (h j (Y )) Ei h j ( X Y ) Ei X h j (Y ).Ei X Ei h j (Y ) X Y h j ( Ei ) X Y h j ( Ei ) X Ei h j (Y ) X Y h j ( Ei ) Do h (Y ) X Y h (E ) .E E h (Y ) .E Y h (E ) .E X j j i i X i j i X j i i X Y h j ( Ei ) Ei X Ei h j (Y ).Ei X Y h j ( Ei ) Ei X Y h j ( Ei ) Ei X Ei Y h j ( Ei ) X Y h j ( Ei ) Ei 2.5 Nhận xét Giả sử M đa tạp khả song, E1 , E2 , , Em trường mục tiêu M Khi ta có Ei E j Tijk Ek , k h j ( Es ) Es N j C T k sj Ek k Giả sử E h j ( Es ) Risk Ek Ta có E h j ( Es ) E h j ( Es ) h j ( E Es ) i i i k Ei Csjk Ek h j ( Tisk Ek ) k Ei ( C kji ) Ek Csjk Ei Ek Tisk h j ( Ek ) k k k Ei Csjk Ek Csjk Tikr Er Tijk Er C jkr Er k r k r k i 26 Ei Csjk Ek Csjk Tikr Ek Tijk Er C rjk Ek k ,r k ,r k Ei Csjk Ek Csjk Tikr Ek Tijk Er C rjk Ek k Suy k ,r R E E C k is k k k sj i k k ,r Ek Csjk Tikr Ek Tijk Er C rjk Ek k ,r k ,r Ei Csjk Csjk Tikr Tijk Er C rjk Ek k r r Vì Risk Ei Csjk Csjk Tikr Tijk Er C rjk r r II Độ cong đa tạp Riemann Bây ta xét ánh xạ B : B( M ) B( M ) NM ; X ,Y Y N X ta biết B gọi ánh xạ dạng Như ta biết B ánh xạ song tuyến tính đối xứng Thật B ánh xạ song tuyến tính tính song tuyến tính liên thơng Lêvi- Civata Ánh xạ B ánh xạ đối xứng Thật vậy, với X,Y B X ,Y = X Y B( M ) ta có: N = Y X [ X , Y ] N = Y X X , Y = B Y , X N N X , Y B( M ) nên X , Y N Ta ký hiệu H P tạp M p Trace BP , H p gọi véc tơ độ cong trung bình đa m 27 2.6 Định nghĩa Trace B gọi trường véc tơ độ cong trung bình đa tạp M m H 2.7 Ví dụ Đa tạp hai chiều M R cho tham số hóa: r : R2 R4 (u, v) x cos u y sin v z v t u với p(u, v) R2 , theo Ví dụ 1.16 sở B( M ) E1 r ( sin u, 0, 0,1) , u E2 r (0, cos v,1, 0) v sở N M là: N1 (1,0,sin u,0) , N2 (0,1,0, cos v) r r r Bp ( E1 , E1 ) = Bp ; r u u u u Khi ( sin u N E1 E1 , 0, 0, 0) N (2cos u,0,0,0) N x t Biểu diễn (2cos u,0,0,0) theo E1 , E2 , N1 , N2 ta có (2cos u,0,0,0) 2sin u.(cos v)2 sin 2u 2cos u sin 2u.cos v E E N1 N2 2 2 (cos u cos v) (cos u cos v) (cos u cos v) (cos u cos v) Vậy Bp ( E1 , E1 ) (2cos u,0,0,0) N 2cos u sin 2u.cos v N1 N2 (cos u cos v) (cos u cos v) 2cos u sin 2u.cos v sin 2u sin 2u.(cos v)2 , , , 2 2 (cos u cos v) (cos u cos v) (cos u cos v) (cos u cos v) Tương tự 28 r r r BP ( E2 , E2 ) = Bp ; r v v v v sin u.sin 2v sin u.cos v N1 2sin v sin u.cos v N 0, 2sin v, 0, N N2 sin u.sin 2v sin u sin 2v 2sin v sin 2v , , , sin u.cos v 2 sin u.cos v 2 sin u.cos v 2 sin u.cos v 2 Vec tơ độ cong trung bình M p 1 H p traceBp Bp ( E1 , E1 ) Bp ( E2 , E2 ) 2 2cos u sin u.sin 2v sin 2u.cos v 2sin v sin 2u sin u sin 2v sin 2u.(cos v) sin 2v , , , (cos u cos v) (cos u cos v) (cos u cos v) (cos u cos v) 2.8 Mệnh đề (xem [6 ]) Với i = 1, …,k ta có B X , Y = hi ( X ).Y Ni ; X , Y B( M ) Chứng minh: Thật vậy, với X , Y B( M ), ta có Y Ni ; i 1, k Suy ra: Y .N Y N X X i Y .N X i i Y X Ni X Y X Y .Ni T N XY Y T X N Ni N N T X X i hi ( X ).Y (Vì N i N X i N .Y X Y Ni hi ( X ).Y (Vì X Y Ni ) N N M X Ni T B X , Y = hi ( X ).Y Ni ; X , Y B( M ) ; i 1, k N Y ) 29 2.9 Nhận xét i) Từ Mệnh đề ( 2.8) ta có : B E j , E j = hi ( E j ).E j Ni B E j , E j Ni = hi ( E j ).E j B E j , E j Ni = hi ( E j ).E j = Trace(hi ) Hi m m j 1 j 1 H i B E j , E j Ni m j 1 ii) Cũng từ Mệnh đề ( 2.8) ta thấy M siêu mặt đa tạp M với trường véc tơ pháp tuyến N ta có: B X , Y = h( X ).Y N ; X , Y B( M ) iii) Từ đẳng thức XY Y T X N Ni N N .Y T X i N X i Suy X Y Ni Y X Ni N Do T N T X i Y X Y N Ni 2.10 Mệnh đề (xem [2 ]) Cho M1 , M hai đa tạp m - chiều M N1 , N2 , , Nk , N1, N2 , , Nk tuơng ứng sở N M1 , N M , giả sử ánh xạ F : M1 M vi phôi đẳng cự bảo tồn hướng F (M1 ) M Khi F H1 H H1 , H tương ứng trường véc tơ độ cong trung bình M1 , M Chứng minh: Giả sử N N M1 , N N M Ta có 30 k k i 1 i 1 N i Ni , N i Ni F Ni F Ni , i 1, , k Vì F N F N Mặt khác F : M1 M vi phôi đẳng cự nên F ( X Y ) F X FY Gọi hN , hN ánh xạ kiểu Weigarten theo hướng N , N tương ứng M1 , M Ta có F (hN ( X )) F ( X N )T F X F N F X ( N ) T T hN ( F X ) (1) Nhân vô hướng hai vế (1) với FY ta thu g F (hN ( X )), FY g hN ( F X ), FY g hN X , Y g hN ( F X ), FY g hN X , Y N g hN ( F X ), FY N F ( g hN X , Y N ) g hN ( F X ), FY ( F N ) (2) Mặt khác X , Y B M1 ta có B X , Y = h( X ).Y N (3) Từ (2) (3) , ta suy F ( B X , Y )= B F X , FY m m F B( Ei , Ei ) B F Ei , F Ei m i 1 m i 1 1 m m F B( Ei , Ei ) B F Ei , F Ei m i 1 m i 1 F H1 H 31 2.11 Mệnh đề Giả sử E1 , E2 , , Em N1 , N2 , , Nk sở trực chuẩn B( M ) N M , Ta có: H k Trace(h j ).N j Trong H trường véc tơ độ cong m j 1 trung bình theo định nghĩa 2.6 Chứng minh: Ta có H k 1 m Trace B = B( Ei , Ei ) = H j N j , m j 1 m m i 1 m m i 1 H j B( Ei , Ei ) N j B( Ei , Ei ).N j i 1 ( Theo NX 2.9) Mặt khác X Nj T Y X Y N N j Ei Ei Ei N j E N j Ei Ei Ei N j Ei Ei T N ( Theo NX 2.9) N N j T i B( Ei , Ei ).N j Ei N j T (*) Thay vào H j ta m H j Ei N j i 1 T Ei = m h ( E ).E = Trace(h ) i 1 j i j i (**) Vì H k Trace(h j ).N j m j 1 2.12 Mệnh đề Với N N M , ánh xạ kiểu Weigarten theo hướng N , xác định hN : B( M ) X B( M ) ; X B( M ) X N T 32 Trace(hN ) H N m Khi đó: Chứng minh: k Giả sử N j N j ta có: j 1 1 m Trace(hN ) hN ( Ei ).Ei m m i 1 T m Ei N Ei m i 1 T k m Ei ( j N j ) Ei m i 1 j 1 T m k Ei ( j N j ) Ei m i 1 j 1 m k j Ei ( N j ) m i 1 j 1 m k ( j ( B( Ei , Ei )N j )) m i 1 j 1 m k ( j ( B( Ei , Ei )N j )) m i 1 j 1 m k (( B( Ei , Ei ). j N j )) m i 1 j 1 m B( Ei , Ei ).N H N m i 1 E T i 2.13 Mệnh đề Trace X h j X H j 2 h j (Ei ). X Ei , X m i 1 với H j Trace(h j ) theo (**) Chứng minh: Trace( X h j ) X h j ( Ei ).Ei m i 1 B( M ) 33 ( X (h j ( Ei ))) Ei h j ( X Ei ).Ei m i 1 X h j ( Ei ).Ei h j ( Ei ). X Ei h j ( Ei ). X Ei m i 1 m i 1 m m X h j ( Ei ).Ei 2 (h j ( Ei ). X Ei ) i 1 i 1 X H j 2 h j ( Ei ). X Ei , X m B( M ) , i 1 Trong trường hợp E1 , E2 , , Em trường véc tơ song song Trace( X h j ) X H j 2.14 Mệnh đề X H m Trace X h j (hi ( Ei ). X Ei ) m m i 1 Chứng minh : Ta có 1 m Trace X h j X h j ( Ei ).Ei m m i 1 m X (h j ( Ei )) h j ( X Ei ) Ei m i 1 m ( X (hj ( Ei ))) Ei hj ( X Ei ).Ei m i 1 m X (h j ( Ei ).Ei ) h j ( Ei ). X Ei h j ( X Ei ).E m i 1 m X (hj ( Ei ).Ei ) 2.hj ( Ei ). X Ei m i 1 1 m m X h j ( Ei )Ei h j ( Ei ). X Ei m i 1 m i 1 m X ( Traceh j ) (h j ( Ei ) X Ei ) m m i 1 X H m (h j ( Ei ) X Ei ) m i 1 j 1, , k 34 Suy X H m Trace X h j (hi ( Ei ). X Ei ) m m i 1 Bây ta kí hiệu R, R tương ứng độ cong lấy theo liên thơng tuyến tính ( ) M M Ta biết R( X , Y , Z ).W R( X , Y , Z ).W B( X ,W ).B(Y , Z ) B( X , Z ).B(Y ,W ) X , Y , Z ,W B( M ) 2.15 Định nghĩa Ánh xạ : B M N M N M X , N X N X N N gọi liên thông pháp dạng M 2.16 Định nghĩa Ánh xạ R : B M B M N M N M ( X ,Y , N ) R ( X ,Y , N ) Xác định R ( X , Y ) N X (Y N ) Y (X N ) [X,Y] N , X , Y B( M ), N N M , gọi độ cong pháp dạng M Ta có nhận xét N1 , N2 , , Nk sở trực chuẩn N M ta có X Ni X Ni N T X i N Đặt X Ni X Ni xét ánh xạ N h j : B( M ) N M X hj ( X ) X N j 2.17 Định nghĩa Ánh xạ X hj : B( M ) N M Y X hj (Y ) X (hj (Y )) hj ( X Y ) 35 gọi ánh xạ đạo hàm ánh xạ h j dọc trường véc tơ X 2.18 Mệnh đề i) X hj (Y Z ) ( X hj )(Y ) ( X hj )(Z ) ; ii) X hj (Y ) X hj (Y ) , F( M ) Chứng minh: i) X hj (Y Z ) X hj (Y Z ) hj X (Y Z ) X hj (Y ) hj (Z ) hj X (Y ) X (Z ) X hj (Y ) X hj (Z ) hj X (Y ) hj X (Z ) X hj (Y ) hj X (Y ) X hj (Z ) hj X (Z ) X hj (Y ) X hj (Z ) ii) X hj (.Y ) X hj (.Y ) hj X (.Y ) X .hj (Y ) hj . X (Y ) Y X [ ] .X hj (Y ) hj (Y ) X [ ] .hj X Y hj (Y ) X [ ] X hj (Y ) hj X Y X hj (Y ) 2.19 Mệnh đề Với X , Y B( M ), N j N M R ( X , Y ) N j X h j (Y ) X h j ( X ) Chứng minh: Với X , Y B( M ), N j N M , ta có R ( X , Y ) N X (Y N j ) Y (X N j ) [X,Y] Nj X (hj (Y )) Y (hj ( X )) hj ([X,Y]) 36 ( X hj )(Y ) hj ( X Y ) Y hj ( X ) hj (Y X ) h j ([X,Y]) ( X hj )(Y ) Y hj ( X ) hj ( X Y Y X [X,Y]) ( X hj )(Y ) Y hj ( X ) 37 KẾT LUẬN Luận văn đạt kết sau: Trình bày chứng minh chi tiết số tính chất liên thông Lêvi-Civita (Mệnh đề 1.8) ánh xạ kiểu Weigarten (Mệnh đề 1.17) Trình bày chứng minh số tính chất véc tơ độ cong trung bình đa tạp (Mệnh đề 2.11, Mệnh đề 2.12) Phát biểu chứng minh số tính chất ánh xạ đạo hàm ánh xạ kiểu Weigarten (mệnh đề 2.4), số ứng dụng cuả ánh xạ đạo hàm vào việc khảo sát độ cong đa tạp Riemann (Mệnh đề 2.13, Mệnh đề 2.14, mệnh đề 2.19) Chỉ số ví dụ xác định véc tơ độ cong trung bình cua đa tạp 2chiều R (Ví dụ 2.7) Trong thời gian tới chúng tơi tiếp tục nghiên cứu ứng dụng ánh xạ kiểu Weigarten để nghiên cứu độ cong thiết diện, độ cong Rici đa tạp Riemann 38 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tài liệu tiếng Việt [1] Khu Quốc Anh, Nguyễn Dỗn Tuấn (2011), Lý thuyết liên thơng Hình học Riemann, NXB Đại học sư phạm [2] Nguyễn Hữu Quang (2005), Mở đầu Hình học Rieman, Bài giảng chuyên đề Sau đại học, Vinh [3] Đoàn Quỳnh (2000), Hình học vi phân, NXB Giáo dục [4] Đồn Quỳnh (2000), Bài tập hình học vi phân, NXB Giáo dục [5] Gromoll.D, Klingenberg.W, Meyer.W(1971), Hình học Rieman tồn cục, Bản dịch từ tiếng Nga, người dịch Trương Đức Hinh [6] Hà Thị Tý (2010), Về độ cong pháp dạng đa tạp Rieman con, luận văn thạc sĩ toán học [7] Lê Thị Thơm(2009), Độ cong độ xoắn đa tạp Rieman, luận văn thạc sĩ Tài liệu Tiếng Anh [8] Neill.B.O(1966), Elementary Differential Geometry Academic preess, New York-London [9] Jeong-Sik Kim (2007), Mohit Kumar Dwivedi, and Mukut Mani Tripathi, Rici curvature of integral submanifolds of an s-space form, Bulletin of the Korean Mathematical Society ... Chương ĐẠO HÀM ÁNH XẠ KIỂU WEIGARTEN Trong chương này, chúng tơi trình bày khái niệm đạo hàm ánh xạ kiểu Weigarten, phát biểu chứng minh cụ thể số tính chất, nêu chứng minh số ứng dụng I Đạo hàm ánh. .. đẳng cự VIII Ánh xạ kiểu Weigarten Chương Đạo hàm ánh xạ kiểu Weigarten Trong chương này, chúng tơi trình bày định nghĩa số tính chất ánh xạ đạo hàm ánh xạ kiểu Weigarten, ứng dụng nghiên cứu số... (Mệnh đề 2.11, Mệnh đề 2.12) Phát biểu chứng minh số tính chất ánh xạ đạo hàm ánh xạ kiểu Weigarten (mệnh đề 2.4), số ứng dụng cuả ánh xạ đạo hàm vào việc khảo sát độ cong đa tạp Riemann (Mệnh
Ngày đăng: 03/10/2021, 12:23
Xem thêm:
