hàm chọn của một số lớp ánh xạ đa trị và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Đức Dũng HÀM CHỌN CỦA MỘT SỐ LỚP ÁNH XẠ ĐA TRỊ VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Đức Dũng HÀM CHỌN CỦA MỘT SỐ LỚP ÁNH XẠ ĐA TRỊ VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ Người hướng dẫn: Nguyễn Bích Huy Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU Chương HÀM CHỌN LIÊN TỤC 1.1 Tính liên tục ánh xạ đa trị 1.1.1 Tính nửa liên tục liên tục ánh xạ đa trị 1.1.2 Các ví dụ 10 1.2 Hàm chọn liên tục 16 1.2.1 Sự tồn hàm chọn liên tục 16 1.2.2 Các ví dụ 18 1.3 Hàm chọn xấp xỉ 21 1.3.1 Khái niệm hàm chọn xấp xỉ 21 1.3.2 Sự tồn hàm chọn xấp xỉ 22 1.4 Bậc tôpô ánh xạ đa trị - điểm bất động 24 1.4.1 Bậc tôpô ánh xạ đa trị 24 1.4.2 Điểm bất động ánh xạ đa trị 29 Chương HÀM CHỌN ĐO ĐƯỢC 35 2.1 Sự tồn hàm chọn đo 35 2.1.1 Khái niệm ánh xạ đa trị đo 35 2.1.2 Sự tồn hàm chọn đo 40 2.2 Các ví dụ áp dụng 42 Chương HÀM CHỌN CỦA ÁNH XẠ TĂNG 42 3.1 Ánh xạ đa trị tăng 46 3.1.1 Các khái niệm 46 3.1.2 Ánh xạ đa trị tăng 48 3.2 Hàm chọn ánh xạ tăng 49 3.2.1 Sự tồn hàm chọn đơn điệu ánh xạ tăng 49 3.2.2 Các ví dụ áp dụng 60 KẾT LUẬN 64 TÀI LIỆU THAM KHẢO 64 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT 2Y : Lớp tập tập Y 2Y \ : Lớp tập khác rỗng tập Y (GF ) : Đồ thị ánh xạ F Fix(F ) : Tập hợp điểm bất động ánh xạ F r (x , A) : Khoảng cách từ điểm x đến tập A dH (A, B ) : Khoảng cách Hausdorff hai tập A, B B(x , r ) : Quả cầu mở tâm x bán kính r B(x , r ) : Quả cầu đóng tâm x bán kính r L(X ,Y ) : Tập hợp ánh xạ tuyến tính từ X vào Y R(T ) : Ảnh ánh xạ tuyến tính T N (T ) : Nhân ánh xạ tuyến tính T |x | : Chuẩn x h.k.n : Hầu khắp nơi convA : Bao lồi tập A m : Độ đo Lebesgue x n  x : Dãy x n hội tụ yếu x diamA : Đường kính tập A suppf : Giá hàm f D : Biên tập D A : s - đại số x y : Cận hai phần tử x , y x y : Cận hai phần tử x , y X : Tập phần tử cực đại X X : Tập phần tử cực tiểu X LỜI CẢM ƠN Trước tiên xin bày tỏ lòng biết ơn trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, phòng Sau Đại học, Khoa Toán – Tin trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, Sở giáo dục đào tạo tỉnh Ninh Thuận trường THPT Chu Văn An, tạo điều kiện thuận lợi để tham gia học tập khóa học Cao học hoàn thành luận văn Xin chân thành cám ơn quý cô thầy tham gia giảng dạy lớp Cao học chuyên ngành Toán Giải Tích khóa 21 trang bị cho kiến thức làm tảng giúp cho bước đầu làm quen với công việc nghiên cứu khoa học Đặc biệt, xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS TS Nguyễn Bích Huy, người thầy tận tình giảng dạy, hướng dẫn, sửa chữa góp ý cho suốt trình thực luận văn Cám ơn quý thầy cô Hội đồng chấm luận văn dành thời gian đọc đóng góp nhiều ý kiến quý báu cho luận văn Cám ơn bạn học viên lớp cao học chuyên ngành Toán Giải Tích khóa 21 nhiệt tình giúp đỡ, góp ý động viên tinh thần giúp hoàn thành tốt luận văn Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 30 tháng 08 năm 2012 Học viên thực Nguyễn Đức Dũng LỜI NÓI ĐẦU Lý thuyết ánh xạ đa trị bắt đầu quan tâm, nghiên cứu phát triển mạnh từ năm 1950 Xuất phát từ phát triển nội toán học nhu cầu mô tả nhiều mô hình tự nhiên xã hội Cho đến lý thuyết ánh xạ đa trị nghiên cứu, phát triển hoàn chỉnh tìm nhiều ứng dụng rộng rãi, có giá trị toán học lĩnh vực đời sống xã hội Chẳng hạn lý thuyết phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng, lý thuyết tối ưu điều khiển, toán kinh tế, lý thuyết trò chơi… Do phạm vi ứng dụng rộng rãi giá trị tầm quan trọng nó, việc nghiên cứu ánh xạ đa trị suốt thời gian dài đề tài hấp dẫn, thu hút nhiều nhà toán học giới Việc tiếp cận nghiên cứu phát triển theo nhiều hướng, nhiều phương pháp khác Tuy nhiên pháp tự nhiên hữu hiệu để nghiên cứu tính chất ánh xạ đa trị nghiên cứu ánh xạ đơn trị có chứa đầy đủ tính chất, thông tin ánh xạ đa trị Hàm chọn (hay lát cắt) ánh xạ đa trị ánh xạ đơn trị Chính lý trên, chọn đề tài: Hàm chọn số lớp ánh xạ đa trị ứng dụng làm đề tài trình bày luận văn Thạc sĩ Trong luận văn này, tham khảo tài liệu, tập hợp lại trình bày theo hiểu biết điều kiện tồn hàm chọn ánh xạ đa trị với tính chất tính liên tục, tính xấp xỉ, tính đo được, tính đơn điệu… Đồng thời thông qua hàm chọn xây dựng bậc tôpô cho ánh xạ đa trị ứng dụng việc nghiên cứu điểm bất động ánh xạ đa trị Kết cấu luận văn chia thành chương Chương Hàm chọn liên tục Trong chương trình bày tính nửa liên tục, liên tục Hausdorff – liên tục ánh xạ đa trị từ xem xét điều kiện tồn hàm chọn liên tục Đồng thời trình bày cấu trúc hàm chọn xấp xỉ liên tục từ xây dựng bậc tôpô cho ánh xạ đa trị ứng dụng vào việc nghiên cứu điểm bất động ánh xạ đa trị Các ví dụ chương điều kiện tồn nghiệm liên tục bao hàm thức vi phân, điều kiện tồn nghiệm tuần hoàn chu kỳ w toán giá trị đầu phương trình vi phân điểm bất động ánh xạ đa trị Poincaré Chương Hàm chọn đo Trong chương này, tập trung trình bày cấu trúc đo hàm chọn thông qua tính chất đo đo yếu ánh xạ đa trị Điều kiện tồn hàm chọn đo Các ví dụ chương giúp thấy ứng dụng quan trọng hàm chọn đo vào toán điển hình lý thuyết điều khiển tối ưu Chương Hàm chọn ánh xạ tăng Trong chương này, trình bày khái niệm ánh xạ đa trị tăng cách mở rộng quan hệ thứ tự tập X cho trước thành quan hệ thứ tự lớp tập hợp X Từ định nghĩa ánh xạ đa trị tăng xem xét điều kiện tồn hàm chọn đơn điệu ánh xạ tăng tập đích tập thứ tự phận, dàn hay dây chuyền Khác với hai chương đầu, chủ yếu xét hàm chọn ánh xạ đa trị không gian Banach Chương thứ ba, trình bày hàm chọn ánh xạ tăng không gian có thứ tự xét tập hợp phận trường hợp đặc biệt dàn hay dây chuyền Vì lý kiến thức sở sử dụng luận văn không nhiều, để tiện cho người đọc, không chia chương riêng để trình bày kiến thức sở, mà kiến thức sở trình bày trước phần có liên quan sử dụng đến luận văn Mặc dù cố gắng thời gian kiến thức hạn chế luận văn không tránh khỏi sai sót ý muốn Rất mong nhận bảo, góp ý thầy cô hội đồng phản biện góp ý bạn học viên Chương HÀM CHỌN LIÊN TỤC 1.1 Tính liên tục ánh xạ đa trị 1.1.1 Tính nửa liên tục liên tục ánh xạ đa trị Trước xét tính liên tục ánh xạ đa trị ta trình bày lại số khái niệm ký hiệu liên quan đến ánh xạ đa trị sử dụng phần Cho hai tập hợp khác rỗng X ,Y ánh xạ đa trị từ X vào Y phép đặt tương ứng phần tử x  X với tập hợp Y mà ta ký hiệu Fx Như vậy, ta ký hiệu 2Y lớp tất tập Y ánh xạ đa trị F từ X vào Y ký hiệu F : X  2Y Cũng định nghĩa ánh xạ đa trị F cho Fx  , x  X Khi ta ký hiệu F : X  2Y \ Trường hợp đặc biệt, ánh xạ F mà với x  X , tập Fx chứa phần tử ánh xạ F ánh xạ đơn trị biết từ X vào Y Cho ánh xạ đa trị F : X  2Y , với A  X , B  Y , ta có khái niệm sau: • Ảnh tập A qua ánh xạ F tập Y , ký hiệu F (A) , xác định bởi: F (A)   x A Fx • Ảnh ngược lớn tập B qua ánh xạ F tập X , ký hiệu F1(B ), xác định bởi: F1(B )  {x  X : Fx  B   • Ảnh ngược nhỏ tập B qua ánh xạ F tập X , ký hiệu F 1(B ) , xác định bởi: F 1(B )  {x  X : Fx  B } • Đồ thị ánh xạ F tập X Y , ký hiệu (GF ) , xác định bởi: (GF )  {(x , y )  X Y : y  Fx } • Nếu Y  X điểm x  X mà x  Fx gọi điểm bất động ánh xạ F Tập hợp điểm bất động ánh xạ F ký hiệu Fix(F ) • Khi có ánh xạ đơn trị f : X  Y thỏa mãn f (x )  Fx , x  X f gọi hàm chọn (hay lát cắt) ánh xạ đa trị F • Cho X không gian Banach, khoảng cách từ điểm x  X đến tập A  X r (x , A)  inf{| x  y |: y  A} Khoảng cách Hausdorff hai tập hợp A, B   X dH (A, B )  max sup r (x , B ); sup r (x , A) A B • Nếu dãy {x n } hội tụ yếu x , ta ký hiệu x n  x Bây ta trình bày khái niệm số tính chất ánh xạ đa trị nửa liên tục, liên tục Hausdorff – liên tục không gian Banach Định nghĩa 1.1.1 Cho X ,Y không gian Banach ánh xạ đa trị F : D  X  2Y \ , ta nói: a) F nửa liên tục trên D tập F 1(V ) mở D với V  Y mở b) F nửa liên tục D tập F1(V ) mở D với V  Y mở Từ Định nghĩa 1.1.1 ta có số tính chất sau: Mệnh đề 1.1.1 Cho X ,Y không gian Banach ánh xạ đa trị F : D  X  2Y \ Khi ta có: a) F nửa liên tục trên D F1(A) đóng D với A  Y đóng b) F nửa liên tục D F 1(A) đóng D với A  Y đóng Chứng minh a) Ta có F nửa liên tục trên D tập F 1(V )  {x  D : Fx  V } mở D với V  Y mở Điều tương đương với tập D \{x  D : Fx  V } đóng D với V  Y mở Hay có nghĩa tập D \{x  D : Fx  (Y \A)} đóng D với A  Y đóng Tương đương với tập {x  D : Fx  (Y \A)} đóng D với A  Y đóng Tức tập {x  D : Fx  A  }  F1(A) đóng D với A  Y đóng b) Ta có F nửa liên tục D tập hợp F1(V )  {x  D : Fx V  } mở D với V  Y mở Điều có nghĩa tương đương với tập {x  D : Fx V  } đóng D với V  Y mở Nói cách khác tập {x  D : Fx  (Y \A)  } đóng D với A  Y đóng Tương đương với tập {x  D : Fx  A}  F 1(A) đóng D với A  Y đóng  Trước tiếp tục trình bày thêm số tính chất ta có vài nhận xét sau: Đối với ánh xạ đơn trị F ta có {x  D : Fx  V }  F 1(V )  F1(V ) với tập mở V  Y trường hợp định nghĩa nửa liên tục trên, nửa liên tục F trùng có nghĩa liên tục Như vậy, hiển nhiên hàm nửa liên tục j : D  X   định nghĩa trước lim j(x n )  j(x ) với dãy {x n }  D x n  x  D quan hệ n  với Định nghĩa 1.1.1 j gián đoạn Tuy nhiên, có tương tự cho ánh xạ đa trị nửa liên tục F ta có lim Fx n  Fx n  với dãy x n  x với Fx đóng Thật vậy, theo định nghĩa ta có lim Fx n   n 1  k n Fx k ánh xạ F nửa liên tục x có nghĩa n  Fx n  Fx  B(0, e ) với n đủ lớn, từ lim Fx n  Fx  B(0, e ) với n  e  lim Fx n chứa Fx Fx đóng n  Ta định nghĩa ánh xạ đa trị F nửa liên tục điểm x  D sau: với tập mở V  Fx Y tồn d  d(x 0,V )  cho 51 chế F X * tồn hàm chọn đơn điệu f F cho f (x )  g(x ), x  X * Chứng minh Ta bắt đầu cách đặt f (x )  g(x ), x  X * Bởi x , x   X * không so sánh với nhau, tính đơn điệu f hiển nhiên thỏa mãn Tiếp theo ta đặt X1  X \X * với x  X1 ta ký hiệu: S (x )  {x   X * : x   x } Với x  X1 x   S (x ) ta đặt x(x , x )  Fx cho x(x , x )  f (x ) Khi với x  X1 , ta đặt f (x )  x(x , x ) (chú ý x(x , x ) x  S (x ) x  S (x ) xác định X hữu hạn S (x ) hữu hạn) Do định nghĩa ta có f hàm tăng X *  X1 Bây giờ, ta lại định nghĩa X  X1 \X1 tiếp tục trình tự bước Bởi X hữu hạn nên trình kết thúc sau số hữu hạn bước Như ta thu hàm chọn f F , rõ ràng f hàm đơn điệu X thỏa mãn điều kiện f (x )  g(x ), x  X *  Mệnh đề 3.2.4 Cho X dây chuyền hữu hạn, Y tập phận, F : X  2Y \ tăng thứ tự inf Khi F chứa hàm chọn đơn điệu Hơn với z  F (max X ) tồn f hàm chọn F cho f (max X )  z Chứng minh Do X dây chuyền hữu hạn nên ta đánh số phần tử X sau: x  x   x k   x n Rõ ràng x  max X Đặt f (x )  z  Fx Vì x  x mà F tăng inf nên Fx inf Fx Do với f (x )  Fx tồn y1  Fx cho y1  f (x ) Ta đặt f (x )  y1 Bởi x  x mà F tăng inf nên Fx inf Fx Do với f (x )  Fx tồn y2  Fx cho y2  f (x ) Ta đặt f (x )  y2 Tiếp tục 52 trình ta chọn yn  Fx n đặt f (x n )  yn Như ta xây dựng hàm f hàm chọn đơn điệu F thỏa mãn f (max X )  z  Mệnh đề 3.2.5 Cho X dây chuyền hữu hạn, Y tập phận, F : X  2Y \ tăng RS , x *  X z *  Fx * Khi F chứa hàm chọn đơn điệu f cho f (x *)  z * Chứng minh Vì X dây chuyền hữu hạn nên ta đánh số phần tử X sau: x  x   x k   x n Bởi ta có x *  X nên x *  x k với số k đó, k  {0,1, , n } Khi có hai khả sau xảy ra: • Nếu k  , chọn f (x )  f (x *)  z *  Fx  Fx * Sau tiếp tục trình chọn f (x ), , f (x n ) Mệnh đề 3.2.3 Bởi F tăng RS nên inf F tăng  • Nếu k  Fx k 1 RS Fx k Fx k RS Fx k 1 ta chọn f (x k 1 )  f (x k )  f (x k 1 ) Khi đó, có f (x k 1 ) sử dụng tính sup ta chọn f (x k 2 ), , f (x ) có f (x k 1 ) sử dụng tính inf ta chọn f (x k 2 ), , f (x n ) Như ta xây dựng hàm chọn đơn điệu f F thỏa mãn điều kiện f (x *)  z *  Định lý 3.2.1 Cho X ,Y tập thứ tự phận, F : X  2Y \ ánh xạ đa trị tăng RS Với x  X z  Fx Khi F chứa hàm chọn đơn điệu f (đối với thứ tự thích hợp Y ) cho f (x )  z Chứng minh Dựa vào Định lý Zermelo ta giả sử Y tốt thứ tự  Hiển nhiên (Y , ) dây chuyền Có thể giả sử z  minY 53 Bây ta định nghĩa f : X  Y xác định f (x )  Fx (min lấy  ) Thì f (x ) tồn với x  X Hiển nhiên f hàm chọn F , f (x )  z Ta chứng minh f hàm tăng Lấy x   x , F tăng RS nên Fx  RS Fx , với f (x )  Fx  tồn u  Fx cho u  f (x ) Mặt khác u  Fx nên u  f (x )  Fx Do tính bắc cầu thứ tự  nên ta có f (x )  f (x ) Vậy f hàm chọn đơn điệu F thứ tự   Phần tiếp theo, ta xem điều kiện tồn hàm chọn đơn điệu trường hợp tập đích Y dàn Mệnh đề 3.2.6 Cho X tập phận, Y dàn ánh xạ đa trị F : X  2Y \ tăng quan hệ  F x   với x  X Khi F chứa hàm chọn đơn điệu Chứng minh Trước tiên, ta chứng minh F tăng  F tăng Dn Thật vậy, với x , x   X , x   x ta có Fx   Fx Khi đó, với  y   Fx , y  Fx chọn z  y   y Fx   Fx nên z  y   y  Fx Rõ ràng z  y z  y  nên Fx  Dn Fx Do F tăng Dn Tiếp theo, ta áp dụng kết Mệnh đề 3.2.1 ta điều phải chứng minh  Định lý 3.2.2 Cho X tập hợp phận, Y dàn ánh xạ đa trị F : X  2Y \ tăng wV cho với x  X , Fx dây chuyền đầy đủ bên F x   Khi tồn hàm chọn đơn điệu f ánh xạ đa trị F Chứng minh Để chứng minh Định lý 3.2.2 trước tiên ta định nghĩa R tập hợp ánh xạ G : X  2Y \ cho: x  X : F x  Gx  Fx ; (3.11) 54 x  X , y, z  Fx : y  z y  Gx  z  Gx ; (3.12) x  X Gx dây chuyền đầy đủ bên Fx (3.13) wV G tăng  (3.14) Rõ ràng F  R   Ta định nghĩa G : X  2Y \ xác định Gx : G R Gx , x  X (3.15) Bây để chứng minh Định lý 3.2.2 ta cần số bổ đề sau đây: Bổ đề 3.2.1 Với G xác định (3.15) ta có G  R Chứng minh Ta kiểm tra điều kiện (3.11) – (3.14) thỏa mãn cho G • Kiểm tra điều kiện (3.11): x  X , ta có F x  Gx  Fx với G  R Suy F x  G R Gx  Fx hay F x  Gx  Fx • Kiểm tra điều kiện (3.12): x  X , y, z  Fx , y  z y  Gx dẫn đến y  G R Gx Suy y  Gx , với G  R Kéo theo z  Gx , G  R dẫn đến z  G R Gx Vậy z  Gx • Kiểm tra điều kiện (3.13): y, z  Gx dẫn đến y, z  Gx , G  R điều kéo theo y  z  Gx , G  R Do ta có y  z  G R Gx • Kiểm tra điều kiện (3.14): Lấy tùy ý x   x , ta chứng tỏ Gx  wV Gx y  Gx  z  Gx Khi y  Gx  z  Gx với G  R  Nếu y  z  Fx điều kiện (3.12) ta y  z  Gx với G  R, y  z  Gx  Nếu y  z  Fx y  z  Gx , G  R Do Gx  wV Gx , G  R nên ta phải có y  z  Gx  với G  R Vậy y  z  Gx  55 Vì y  Gx  z  Gx tùy ý nên Gx  wV Gx Do G  R Cuối (3.11) nên F x  Gx  Fx giả thiết F x  , x  X nên Gx  , với x  X Vậy G  R  Ta có nhận xét với G  R x  X , Gx dây chuyền đầy đủ bên nên ta có G x   Bổ đề 3.2.2 Nếu x   x , y  G x  z  F x y  z Chứng minh Giả sử ngược lại, ta có y  z  y y  z  z Do y  z  Gx  y  z  Fx Điều mâu thuẫn với Gx  wV Gx  Fx  Bây với G  R , ta định nghĩa phép biến đổi G * : X  2Y \ xác định sau: G *x : {z  Gx : x   x , y  G x   y  z } (3.16) Bổ đề 3.2.3 Mỗi G  R với G * xác định (3.16) ta có G *  R Chứng minh Ta kiểm tra G * thỏa điều kiện (3.11) – (3.14) • Kiểm tra điều kiện (3.11): x  X , z  F x  Gx kéo theo z  Gx x   x , y  G x  với z  F x theo Bổ đề 3.2.2 ta có y  z Do theo định nghĩa G *x ta có z  G *x Vậy F x  G *x  Gx  Fx • Kiểm tra điều kiện (3.12): x  X , y, z  Fx , y  z y  G *x Ta chứng minh z  G *x với x   x , u  G x  y  G *x nên u  y Do ta u  z Vậy z  G *x • Kiểm tra điều kiện (3.13): Cố định x  X xét dây chuyền Z  G *x Ta phải chứng tỏ sup Z  G *x Chú ý sup có nghĩa chặn nhỏ Fx phụ thuộc vào x 56 Giả sử z  sup Z  G *x , tức có x   x y  G x  cho y   z Khi ta có z  y  z y  y  z Mặt khác, Gx dây chuyền đầy đủ Fx nên z  sup Z  Gx z  Gx Do u  G x  nên y  Gx  Ta lại có Gx  wV Gx nên y  z  Gx  y  z  Gx Mà y  G x  y  y  z nên y  z  Gx  Vậy phải có y  z  Gx  Fx Bây với u  Z định nghĩa z ta có z  u y  u u  G *x Do u  y  z  z Điều mâu thuẫn với định nghĩa z  sup Z Như ta phải có z  G *x • Kiểm tra điều kiện (3.14): Lấy x   x , y  G *x  z  G *x Do Gx  wV Gx nên y  z  Gx y  z  Gx   Nếu y  z  Gx (3.12) nên y  z  G *x  Nếu y  z  Gx  Ta chứng tỏ y  z  G *x  Với x   x  u  G x  ta có u  z z  G *x u  y y  G *x  Do u  y  z Vì x  u tùy ý nên ta có y  z  G *x  Vậy G * thỏa điều kiện (3.11) – (3.14) nên với G  R G *  R  Bổ đề 3.2.4 Với G G * xác định (3.15) (3.16) ta có G  G * Chứng minh Ta có Gx : G R Gx ; G *x  G * R G *x G *x : {z  Gx : x   x , y  G x   y  z } Lấy tùy ý x  X , ký hiệu R *  {G * : G  R} Do Bổ đề 3.2.3, với G  R G *  R nên ta có R *  R Do G R G *x  G R Gx * * dẫn đến G *x  Gx Bởi x  X tùy ý nên G  G *  Điều 57 Bổ đề 3.2.5 Với G xác định (3.15) ta có G x  , x  X Chứng minh  y  Fx , y  z } Mặt khác F x  Gx  Fx , Với z  F x  {z  Fx :   y  Gx : y  z , G  R Vậy z  G x , G  R G  R nên dẫn đến z  Gx :  Dẫn đến F x  G x , G  R Do x  X F x  G R G x  G x Nên G x  , x  X  Bây Định lý 3.2.2 chứng minh sau: Mỗi x  X , Bổ đề 3.2.5 ta chọn tùy ý f (x )  G x Khi ta hàm f : X  Y hàm chọn F Ta chứng minh f hàm tăng Thật vậy: x   x Do f (x )  G x  G *x , f (x )  G x  Theo (3.16) f (x )  f (x ) Vậy f tăng nên hàm chọn đơn điệu F  Một cách tự nhiên, dạng đối ngẫu hợp lý Chú ý tính chất dây chuyền có tính đầy đủ bên Fx Định lý 3.2.2 thay tính Zorn bị chặn Mệnh đề 3.2.7 Cho X tập hợp phận hữu hạn, Y dàn, F : X  2Y \ ánh xạ đa trị tăng wV Khi tồn hàm chọn đơn điệu F Chứng minh Ta ký hiệu: Với x  X X (x )  {x   X : x   x } Với x  X , y *  Y F (x ; y *)  {y  Fx : y  y *} Bổ đề 3.2.6 Với x *  X , tồn y *  Fx * cho F (x ; y *)   với x  X (x *) Chứng minh Với y  Fx * , ta ký hiệu: Z  (y ) : {x  X (x *) : F (x ; y *)  }; 58 Z (y ) : X (x *) \ Z  (y ); Chọn tùy ý y  Fx * định nghĩa dãy y 0, y 1, truy hồi sau: Giả sử xác định y k  Fx * Khi đó: • Z  (y k )  X (x *) ta chọn y k  y * kết thúc tiến trình • Nếu Z  (y k )  X (x *) Z (y k )   , ta chọn tùy ý x  Z (y k ) dẫn đến x  x * Ta có F tăng wV nên Fx * wV Fx Chọn y  Fx tùy ý, y k  Fx * nên y  y k  Fx y  y k  Fx * Mặt khác F (x ; y k )   nên ta có y  y k  y k  y  y k  Fx , y  y k  Fx * Khi ta định nghĩa y k 1  y  y k  y k , rõ ràng Z  (y k )  Z  (y k 1 ) Bởi X hữu hạn nên dãy y 0, y 1, phải không đổi từ y m Chọn y *  y m ta có điều phải chứng minh  Bây ta chứng minh Mệnh đề 3.2.7, X tập thứ tự hữu hạn nên ta chia X thành hữu hạn lớp rời X1, , X m cho lớp X k dây chuyền hữu hạn Bằng quy nạp áp dụng Bổ đề 3.2.6 ta chứng tỏ tồn hàm chọn đơn điệu f F dây chuyền hữu hạn X k Thật Giả sử phần tử X k đánh số thứ tự x  x   x n Chọn y1  Fx tùy ý, x  max X k , Bổ đề 3.2.6 ta có F (x 2, y1 )   Chọn y2  F (x 2, y1 ) tùy ý, x  max X k \{x } , tương tự ta có F (x 3, y2 )   … Tiếp tục trình ta chọn dãy y1, , yn thỏa mãn yk  Fx k , k  {1, , n } yk  yk 1, k  {1, ,(n  1)} Đặt f (x k )  yk ta f hàm chọn đơn điệu F X k Tiến hành dây chuyền X1, , X m Bây với x   x rõ ràng x  59 x phải thuộc lớp Xk đó, với hai phần tử x , x  X mà không thuộc lớp không so sánh với tính đơn điệu f thỏa mãn Vậy f hàm chọn đơn điệu F X  Chú ý tính hữu hạn X Mệnh đề 3.2.2 thay tính dây chuyền đầy đủ Định lý 3.2.4 Cho X tập hợp phận, Y dàn tích Đêcác số hữu hạn dây chuyền F : X  2Y \ ánh xạ đa trị tăng quan hệ Vt Khi tồn hàm chọn đơn điệu f F Chứng minh Giả sử Y  m M C m C m dây chuyền Do M hữu hạn nên ta giả sử M  {1, , n } Khi dựa vào Định lý Zermelo ta giả sử C m tốt với thứ tự  m Cho y, z  Y , ta có y  (y1, , yn ) z  (z1, , z n ) Với y  z tồn m  M  {1, , n } cho ym  z m Do ta định nghĩa: D(y, z )  {m  M : ym  z m }; d  D(y, z ); y  z  yd d zd ; Để chứng minh định lý ta cần hai bổ đề sau: Bổ đề 3.2.7 Nếu Y dàn Y tích Đềcác hữu hạn dây chuyền Y tốt thứ tự  Chứng minh Rõ ràng  thứ tự Y Với A  2X \ ta định nghĩa c1  min{y1 : y  A}; c2  min{y2 : y  A y1  c1 } … Trong đó, định nghĩa cm thứ tự  m tương ứng C m Khi c  (c1, , cm )  A (là cực tiểu A ) thứ tự   Bổ đề 3.2.8 Cho y, z  Y y   z Khi z  y  z  y  z  y Chứng minh Ký hiệu D  : {m  M : ym  z m }; Ta dễ dàng kiểm tra D   D(y, y  z )  D(x , y  z ) Ta đặt d  D  Khi đó: 60 Nếu zd d yd z  y  z y  z  y Nếu yd d zd y  y  z y  z  z Như y   z Khi z  y  z  y  z  y  Bây giờ, để chứng minh Định lý 3.2.3 ta định nghĩa f (x )  Fx (đối với  ) f (x ) tồn và f hàm chọn F Ta chứng tỏ f hàm tăng Thật vậy, x   x F tăng Vt nên ta có f (x )  f (x )  Fx f (x )  f (x )  Fx  Khi đó, f (x )   f (x ) f (x )  f (x )  f (x ) f (x )  f (x )  f (x ) từ định nghĩa f ta có f (x )  f (x )  f (x ) f (x )  f (x )  f (x ) Điều dẫn đến mâu thuẫn với Bổ đề 3.2.8 Vậy f hàm chọn đơn điệu F  3.2.2 Các ví dụ áp dụng Ví dụ 3.2.1 Từ Mệnh đề 3.2.1 Bổ đề Zorn, ta có kết sau: Cho X ,Y tập hợp phận, F : X  2Y \ ánh xạ tăng Dn x  X Fx dây chuyền đầy đủ Y Khi F có hàm chọn đơn điệu Thật vậy, Fx dây chuyền đầy đủ Y nên theo Bổ đề Zorn ta có F x   Do theo Mệnh đề 3.2.1 F có hàm chọn đơn điệu Ta thấy tính dây chuyền đầy đủ Fx bỏ Hơn ta thấy rõ khác hai thứ tự Dn inf , ta thay thứ tự Dn thứ tự inf Để thấy rõ điều ta xét minh họa cụ thể sau đây: Cho X  Y  {(0, 0),(0,1),(1, 0),(1,1)}  2 với thứ tự (x , y )  (u, v ) x  u y  v Cho ánh xạ đa trị F : X  2Y \ định nghĩa sau: F (0, 0)  {(0,1),(1, 0)}; F (0,1)  {(0,1)}; F (1, 0)  {(1, 0)}; F (1,1)  {(1,1)} Khi rõ ràng F tăng inf không tăng Dn dễ dàng thấy F không chứa hàm chọn đơn điệu 61 Ví dụ 3.2.2 Trong Mệnh đề 3.2.5 giả thiết X dây chuyền hữu hạn cần thiết Để thấy rõ điều ta xét ví dụ minh họa cụ thể sau đây: Cho X  {(0, 0),(0,1),(1, 0),(1,1)}  2, Y :   [0, 5]3   ánh xạ F : X  2Y \ định nghĩa F (0, 0)  {(0, 2, 2),(2, 0, 0)}; F (1, 0)  {(1, 4, 3), (4,1, 3)}; F (0,1)  {(3, 4,1),(1, 3, 4)} F (1,1)  {(3, 5, 3),(5, 3, 5)} Dễ dàng kiểm tra F tăng RS , ta có F x   F x   với x  X Tuy nhiên X dây chuyền hàm chọn đơn điệu F Thật vậy, giả sử f hàm chọn đơn điệu F Khi f (0, 0)  (0, 2, 2) f (1, 0)  (1, 4, 3) f (0,1)  (1, 3, 4) Tuy nhiên z  F (1,1) cho z  f (1, 0) z  f (0,1) Nếu f (0, 0)  (2, 0, 0) ta điều trái ngược tương tự Ví dụ 3.2.3 Trong Định lý 3.2.2, ta thấy tính dây chuyền đầy đủ bên Fx cần thiết thay tính Zorn bị chặn Để thấy rõ điều ta xét minh họa cụ thể sau Cho X  [1,1] ánh xạ đa trị F : X  2X \ xác định bởi: F (0)  X \{0} Fx  x /2 x  Khi rõ ràng Fx Zorn bị chặn bị chặn dưới, F tăng wV Tuy nhiên, F (0) dây chuyền đầy đủ bên nên F không chứa hàm chọn đơn điệu đểm bất động Ví dụ 3.2.4 Để thấy rõ giả thiết F x   Định lý 3.2.2 bỏ, xét minh họa sau: Cho X  {(0, 0)}  {(x 1, x )  2 : x 1, x  0, x  x  1}  2 Y : [0,1]   Ánh xạ F : X  2Y \ xác định sau: F (0, 0)  (0,1], F (x 1, x )  {x } x  Khi F tăng quan hệ wV Thật vậy, (x 1, x 2 )  (x 1, x )  x 1  x x 2  x Khi đó: Nếu (x 1, x )  (0, 0) F (x 1, x )  (0,1] , F (x 1, x 2 )  {x 1} , với x 1  62 Nếu (x 1, x )  (0, 0) x 1, x  x  x  nên không tồn x 1, x 2  0, x 1  x 2  để x 1  x x 2  x Suy F (x 1, x 2 )  {x 1}; F (x 1, x )  F (0, 0)  (0,1] Lấy tùy ý y   F (x 1, x 2 )  y   x 1 y  F (x 1, x )  y  (0,1] Rõ ràng ta có y   y  min{x 1, y }  (0,1]  F (x 1, x ) Vậy F (x 1, x 2 ) wV F (x 1, x ) Hơn nữa, X tập phận dây chuyền vô hạn (vì dây chuyền đầy đủ) Y dây chuyền đầy đủ Fx dây chuyền đầy đủ bên Tuy nhiên F hàm chọn đơn điệu Ngoài ví dụ minh họa trên, ta thấy ứng dụng quan trọng Định lý 3.2.2 dựa vào định lý ta thu chứng minh xác khác Định lý Milgrom Shannon’s (1994) Để chứng minh định lý này, trước tiên ta cần nhắc lại khái niệm sau: Cho X dàn, hàm f : X   gọi tựa siêu môđun với x , y  X , f (x )  f (x  y ) dẫn đến f (x  y )  f (y ) f (x )  f (x  y ) dẫn đến f (x  y )  f (y ) Ví dụ 3.2.5 (Định lý Milgrom Shannon, 1994) Cho X dàn đầy đủ, hàm f : X   tựa siêu môđun cho với dây chuyền C  X ta có: lim sup f (x )  f (sup C ) (3.17) lim sup f (x )  f (inf C ) (3.18) x C ,x  sup C x C ,x  inf C Khi arg maxx X f (x )  {x  X : y  X  f (y )  f (x )} dàn đầy đủ khác rỗng X 63 Chứng minh Ta xét ánh xạ F : f (X )  2X \ xác định Fa : {x  X : f (x )  a } Hai điều kiện (3.17) (3.18) bảo đảm Fa dàn đầy đủ X Nếu x  Fa y  Fb y  x  Fa f (x )  f (y  x ) tính tựa siêu môđun f nên ta có f (y  x )  f (y ) Do ta có y  x  Fb Fb wV Fa Vậy F tăng wV , với thứ tự  trước chọn f (X ) Ta xét thứ tự f (X ) cảm sinh từ  Do Định lý 3.2.1, tồn hàm chọn đơn điệu g F Rõ ràng C : {g(a )}a  f (X ) dây chuyền X Ta ký hiệu x * : sup C ta có f (x *)  f (x ) với x  X (3.17) dẫn đến x *  arg maxx X f (x )   Bây tính tựa siêu môđun f bảo đảm arg maxx X f (x ) dàn X Vì dây chuyền đầy đủ, nên dàn đầy đủ X  64 KẾT LUẬN Trong trình tham khảo tài liệu, trình bày lại chứng minh chi tiết kết hàm chọn ánh xạ đa trị thấy điều kiện tồn hàm chọn phụ thuộc nhiều vào tính chất ánh xạ đa trị chứa tính chất không gian xét Chẳng hạn tồn hàm chọn liên tục phụ thuộc vào tính nửa liên tục ánh xạ đa trị với tính chất Fx lồi đóng với x Trong tồn hàm chọn xấp xỉ lại phụ thuộc vào tính nửa liên tục ánh xạ đa trị xác định tập compact tính chất Fx lồi với x Sự tồn hàm chọn đo lại phụ thuộc vào tính đo yếu ánh xạ đa trị, tính chất đầy đủ Fx đặc biệt tập đích ánh xạ đa trị không gian mêtric khả ly Sự tồn hàm chọn đơn điệu ánh xạ tăng lại phụ thuộc hoàn toàn vào quan hệ thứ tự mở rộng tập hợp Trong số ví dụ ta thấy tồn điểm bất động ánh xạ đa trị nghiên cứu phương pháp bậc tôpô phụ thuộc vào tồn hàm chọn liên tục Ngược lại, ánh xạ đa trị tăng điểm bất động tồn mà không cần đến tồn hàm chọn đơn điệu Điều giúp cho việc nghiên cứu trạng thái cân Nash khái niệm lý thuyết trò chơi Mặt khác ví dụ áp dụng cho thấy tồn hàm chọn liên tục dẫn đến tồn nghiệm bao hàm thức vi phân nghiệm tuần hoàn chu kỳ w cho toán giá trị đầu phương trình vi phân Sự tồn hàm cho đo dẫn đến kết thú vị cho tồn nghiệm toán điển hình lý thuyết điều khiển tối ưu Thông qua luận văn bước đầu tiếp cận với việc nghiên cứu khoa học thực nghiêm túc có hệ thống Tôi học tập nhiều cách đặt vần đề trình bày vấn đề, tìm ứng dụng cụ thể thông qua việc đọc, nghiên cứu tài liệu tham khảo làm việc với thầy hướng dẫn 65 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt: [1] Nguyễn Đông Yên (2007), Giáo trình Giải tích đa trị, Nhà xuất khoa học tự nhiên công nghệ, tr 18 – 89 Tiếng Anh: [2] C Castaing, M Valadier (1977), Convex Analysis and Measurable Multifunctions, Springer-Verlag, pp 65 – 71 [3] Donan O’regal, Yeol Je Cho, Yu-Qing Chen (2006), Topological Degree Theory And Applications, Chapman & Hall/CRC, pp 38 – 43 [4] G Teschl (2001), Nonlinear Function Analysis, Institute for Mathematics Nor Uni at Vien, Austria [5] K Deimling (1985), Nonlinear Function Analysis, Springer-Verlag [6] K Deimling (1978), Open problems for ordinary diffrerential equations in Banach spaces, in Proc “Equa Diff 78” Firenze: Centro, pp 127 – 137 [7] L Gasinskii, N.S Papageorgiou (2005), Nonlinear Analysis, Chapman & Hall /CRC [8] L Gorniewicz (1998), Topological Fixed Point Theory of Multivalued Mappings, Springer [9] N S Kukushkin (2009), Monotonicity Conditiions, Monotone selections and Enquilibra, Russian Academy of Sciences, Dorodnicyn Computing Center, Moscow, pp – 16 [10] N S Kukushkin (2010), On the existence of monotone selections, Russian Academy of Sciences, Dorodnicyn Computing Center, Moscow [11] R B Holmes (1972), A course on Optimization and Best Approximation, Springer-Verlag [12] R E Smithson (1971), Fixed points of order preserving multifunctions Proc Amer Math Soc, pp 304 – 310 [...]... dưới của ánh xạ đa trị F không được thỏa mãn hay Fx không đóng với mọi x  D Khi đó giả thiết về điều kiện tồn tại của hàm chọn liên tục không thỏa mãn cho nên ta không thể tìm chính xác một hàm chọn liên tục f của ánh xạ đa trị F Tuy nhiên, trong thực tế nhiều khi ta không cần thiết phải tìm một hàm chọn liên tục của ánh xạ 22 đa trị F Ví dụ khi nghiên cứu về lý thuyết bậc tôpô ta cần tìm lớp các ánh. .. “đẹp” của nó mà ta thường quan tâm là tính liên tục Theo tiên đề chọn ta biết rằng mọi ánh xạ đa trị đều có hàm chọn Tuy nhiên trong mục này, ta sẽ xét điều kiện tồn tại hàm chọn liên tục của ánh xạ đa trị Trước hết, ta nhắc lại một số khái niệm sau: • Cho X là một không gian tôpô và {Vi }i I là một họ phủ mở của X , tức là X   i I Vi Ta gọi một phân hoạch đơn vị đối với phủ này là một họ các hàm. .. liên tục trên và là g - co nghiêm ngặt với y  (I  H )(J ) 1.4.2 Điểm bất động của ánh xạ đa trị Trong phần này, ta sẽ sử dụng bậc tôpô của ánh xạ đa trị đã được xây dựng và tính chất bất biến đồng luân, ta sẽ xem xét điều kiện tồn tại điểm bất động của lớp các ánh xạ đa trị Định lý 1.4.2 Cho X là không gian Banach, D  X bị chặn, ánh xạ đa trị F : D  2X \ là nửa liên tục trên và là g - co nghiêm... ý nghĩa của hệ quả này dẫn đến một điều rất tự nhiên để định nghĩa bậc tôpô của ánh xạ đa trị F nửa liên tục trên với Fx lồi đóng 24 1.4 Bậc tôpô của ánh xạ đa trị - điểm bất động 1.4.1 Bậc tôpô của ánh xạ đa trị Mệnh đề 1.4.1 Cho X là không gian Banach thực,   X là một tập mở bị chặn và F :   2X \ là ánh xạ nửa liên tục trên, Fx lồi đóng với mọi x   Nếu F () là compact tương đối và x  Fx...  Khi đó có nhiều hàm chọn liên tục của ánh xạ đa trị Pt Tuy nhiên nghiệm đa trị nửa liên tục trên S của phương trình vi phân này trên đoạn [0, a ] nhận được chính xác một hàm chọn liên tục, cụ thể là hàm chọn liên tục này thu được bằng cách chọn nghiệm cực đại theo x với mỗi x Chú ý rằng S và Pt không là nửa liên tục dưới tại điểm x  0 1.3 Hàm chọn xấp xỉ 1.3.1 Khái niệm hàm chọn xấp xỉ Ta thấy... tôpô ta cần tìm lớp các ánh xạ đơn trị f là ánh xạ compact sao cho bậc Leray-Shauder deg(I  f , , y ) là giống nhau với mọi f Để giải quyết vấn đề này ta đưa ra khái niệm hàm chọn xấp xỉ Định nghĩa 1.3.1 Cho X ,Y là các không gian Banach, F : D  X  2Y \ là một ánh xạ đa trị và e  0 Khi đó một ánh xạ đơn trị liên tục f : D  Y được gọi là một hàm chọn xấp xỉ - e của F nếu r ( f (x ), Fx ) ... tục của ánh xạ đa trị trong Định nghĩa 1.1.2 được định nghĩa thông qua các khái niệm nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới, bởi vậy khi nghiên cứu các ánh xạ đa trị thì các khái niệm nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới sẽ là các khái niệm được quan tâm và sử dụng nhiều hơn khái niệm liên tục đã được giới thiệu trong Định nghĩa 1.1.2 Tuy nhiên, đối với các ánh xạ đa trị, bởi vì Fx là một tập con của. .. điều kiện nào của ánh xạ đa trị F thì ta có thể tìm được những hàm chọn xấp xỉ với một sai số tùy ý cho trước Ta thấy rằng điều kiện nửa liên tục dưới là tốt đối với các hàm chọn liên tục, nửa liên tục trên trên các tập hợp compact lại là tốt đối với cấu trúc của các hàm chọn xấp xỉ 1.3.2 Sự tồn tại của các hàm chọn xấp xỉ Định lý 1.3.1 Cho X ,Y là các không gian Banach,   X là mở và D   là compact,... 1.1.2 Các ví dụ Một số ví dụ sau đây sẽ phần nào giúp làm rõ hơn về các ánh xạ đa trị, các thuộc tính nửa liên tục, liên tục và Hausdorff - liên tục Đồng thời cũng giúp làm rõ thêm những giả thiết về các tính chất của Fx như đóng, lồi, compact… Ví dụ 1.1.1 Cho hai không gian Banach X ,Y và một toàn ánh T : X  Y trên đó Xét ánh xạ đa trị F : X  2Y \ được xác định bởi Fy  T 1y Khi đó với một tập bất... giá trị đầu của phương trình vi phân: u   f (t, u )     u(0)  x   (1.1) có nghiệm trên J Đặt X  C (J ) và xét ánh xạ đa trị S : n  2X \ định bởi Sx  {u  C (J ) : u là một nghiệm của (1.1)} Ta biết rằng Sx là compact, liên n thông Lấy t  (0,1] và xét ánh xạ đa trị - Poincaré Pt : n  2 \ được cho bởi Ptx  {u(t; x ) : u  Sx } Rõ ràng Pt  Rt  S , trong đó Rt : X  n là ánh xạ ... ánh xạ đa trị nghiên cứu ánh xạ đơn trị có chứa đầy đủ tính chất, thông tin ánh xạ đa trị Hàm chọn (hay lát cắt) ánh xạ đa trị ánh xạ đơn trị Chính lý trên, chọn đề tài: Hàm chọn số lớp ánh xạ. .. Tính liên tục ánh xạ đa trị 1.1.1 Tính nửa liên tục liên tục ánh xạ đa trị Trước xét tính liên tục ánh xạ đa trị ta trình bày lại số khái niệm ký hiệu liên quan đến ánh xạ đa trị sử dụng phần Cho... 35 2.1.1 Khái niệm ánh xạ đa trị đo 35 2.1.2 Sự tồn hàm chọn đo 40 2.2 Các ví dụ áp dụng 42 Chương HÀM CHỌN CỦA ÁNH XẠ TĂNG 42 3.1 Ánh xạ đa trị tăng