Một số lớp ánh xạ đa trị với giá trị không lồi

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Giang Tuyết Loan MỘT SỐ LỚP ÁNH XẠ ĐA TRỊ VỚI GIÁ TRỊ KHÔNG LỒI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Giang Tuyết Loan MỘT SỐ LỚP ÁNH XẠ ĐA TRỊ VỚI GIÁ TRỊ KHÔNG LỒI Chuyên ngành : Toán Giải Tích Mã số : 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS NGUYỄN BÍCH HUY Thành phố Hồ Chí Minh – 2014 LỜI CẢM ƠN Tôi xin chân thành cảm ơn tất Thầy Cô tận tình dạy dỗ suốt trình học Tôi xin chân thành cảm ơn Phòng Sau Đại Học tạo điều kiện cho học tập tốt Tôi xin kính gởi lời cảm ơn chân thành đến PGS TS Nguyễn Bích Huy , người thầy nhiệt tình hướng dẫn thực đề tài Trong suốt thời gian học tập thực khóa luận, học tập nhiều kiến thức bổ ích nhiều kinh nghiệm bảo ân cần Thầy Mặc dù cố gắng hoàn thiện đề tài không tránh khỏi nhiều sai sót Kính mong nhận xét đánh giá Thầy Cô Tôi xin kính chúc Thầy Cô khỏe mạnh, tiếp tục đạt nhiều thành công nghiệp giảng dạy nghiên cứu khoa học nghiệp trồng người Tôi xin chân thành cảm ơn MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC LỜI MỞ ĐẦU BẢNG KÍ HIỆU CHƯƠNG ÁNH XẠ ĐA TRỊ CO VÀ ÁNH XẠ ĐA TRỊ KHÔNG GIÃN 1.1 Một số định nghĩa tính chất ánh xạ đa trị co ánh xạ đa trị không giãn 1.2 Một số định lí điểm bất động 1.3 Một số kết đồng luân ánh xạ đa trị co .14 CHƯƠNG ÁNH XẠ ĐA TRỊ TĂNG 25 2.1 Liểm bất động ánh xạ tăng đa trị 25 2.1.1 Nguyên lí Entropy 25 2.1.2 Một số khái niệm 26 2.2 Lát cắt ánh xa tăng đa trị 31 2.2.1 Các khái niệm liên quan .31 2.2.2 Một số định lí tồn lát cắt đơn điệu ánh xạ đa trị tăng 33 CHƯƠNG ÁNH XẠ ĐA TRỊ CÓ GIÁ TRỊ PHÂN TÍCH ĐƯỢC 45 3.1 Một số khái niệm liên quan 45 3.2 Tập phân tích được, tính chất 46 3.3 Sự tồn lát cắt ánh xạ đa trị có giá trị phân tích .60 KẾT LUẬN 73 TÀI LIỆU THAM KHẢO 74 LỜI MỞ ĐẦU Các ánh xạ đa trị nghiên cứu cách hệ thống Toán học năm 1950 -1960 nhu cầu phát triển nội Toán học nhu cầu mô tả nghiên cứu mô hình phát sinh từ khoa học Tự nhiên Xã hội Chúng ứng dụng rộng rãi nghiên cứu bao hàm thức vi phân, tích phân, Lý thuyết điều khiển tối ưu, Tin học lý thuyết… Các ánh xạ đa trị nghiên cứu ban đầu có giá trị tập lồi Nhờ tính chất ta chứng minh tồn lát cắt đơn trị ánh xạ đa trị nhờ nhiều kết ánh xạ đơn trị mở rộng lên ánh xạ đa trị với giá trị lồi Các ánh xạ đa trị với giá trị lồi nghiên cứu đầy đủ Cùng với phát triển khoa học kĩ thuật mà nhu cầu nghiên cứu ánh xạ đa trị với giá trị không lồi đặt Việc nghiên cứu ánh xạ phức tạp nhiều ta cần tìm tính chất ánh xạ thay tính chất lồi, ví dụ tính co ánh xạ, tính tăng ánh xạ thứ tự, tính phân tích tập ảnh,… Lớp ánh xạ đa trị với giá trị không lồi chưa nghiên cứu nhiều Các kết nhận chưa đầy đủ nhiều vấn đề chờ nghiên cứu Luận văn nghiên cứu ba dạng ánh xạ đa trị không lồi ánh xạ co đa trị, ánh xạ tăng đa trị ánh xạ đa trị có giá trị phân tích Gồm có ba chương : Chương 1: “Ánh xạ đa trị co ánh xạ đa trị không giãn”.Trong chương này, khái niệm ánh xạ đa trị co ánh xa đa trị không giãn định nghĩa dựa vào khái niệm metric Hausdorff Tôi trình bày vài kết điểm bất động lớp ánh xạ đa trị Chương 2: “Ánh xạđa trị tăng” Chương trình bày số khái niệm quan hệ thứ tự hai tập hợp Từ định nghĩa kiểu tăng ánh xạ đa trị Trong chương này, có trình bày định lý điểm bất động điều kiện đề có lát cắt đơn điệu loại ánh xạ Chương 3: “Ánh xạ đa trị có giá trị phân tích được”.Chương giới thiệu khái niệm ánh xạ đa trị có giá trị phân tích số tính chất Ngoài trình bày số điều kiện để tồn lát cắt liên tục loại ánh xạ Kết chương định lí điểm bất động ánh xạ đa trị có giá trị phân tích BẢNG KÍ HIỆU N : tập hợp số tự nhiên R : tập hợp số thực N ( X ) : tập hợp tập khác rỗng X cl ( X ) : tập hợp tập đóng khác rỗng X bcl ( X ) : tập hợp tập đóng, bị chặn, khác rỗng X co ( X ) : tập hợp tập lồi khác rỗng X X * : không gian đối ngẫu không gian X M (T , X ) : tập hợp ánh xạ đo từ T vào X Lp (T , X ) : không gian ánh xạ khả tích Bochner với chuẩn pp  = u p  ∫ u ( t )  , ≤ p < +∞ , u   T  ∞ B( x, r ) : cầu mở tâm x bán kính r U : bao đóng U = ess sup u ( t ) CHƯƠNG ÁNH XẠ ĐA TRỊ CO VÀ ÁNH XẠ ĐA TRỊ KHÔNG GIÃN Trong chương trình bày vài kết điểm bất động ánh xạ co ánh xạ đa trị không giãn Các kết trích dẫn từ tài liệu [1] 1.1 Một số định nghĩa tính chất ánh xạ đa trị co ánh xạ đa trị không giãn Cho ( X , d ) không gian metric Với C ⊂ X , r > ta định nghĩa B (C , r ) =  B ( x, r ) x∈C ĐỊNH NGHĨA 1.1.1 [1]:Với C , K hai tập đóng khác rỗng X Ta định nghĩa khoảng cách hai tập hợp C , K D(C= , K ) : inf {ε > :C ⊆ B( K , ε ), K ⊆ B(C , ε ) } ∈ [ 0, +∞ ] D gọi metric Hausdorff Ví dụ 1.1.1 : Trong R ,C = {( x, y ) :0 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ 1}, K = {( x, y ) : y = 2,1 ≤ x ≤ 2} Khi D ( C , K ) = Thật vậy, với ε > thỏa mãn C ⊆ B( K , ε ) ta có ( 0,0 ) ∈ K ⇒ ( 0,0 ) ∈ B ( C , ε ) ⇒ ∃( a, b ) ∈ C : mà ≤ a ≤ 2, b = nên ε > a + b ≥ ( a − 0) + (b − 0) < ε Với δ > ta chứng minh C ⊆ B( K , + δ ), K ⊆ B(C , + δ ) Với ( a, b ) ∈ C , ∃(1, ) ∈ K , (1 − a ) + ( − b ) ≤ 12 + 22 = ( c,2 ) ∈ K , ∃(1,1) ∈ C , ( c − 1) + ( − 1) 2 ≤ ( c − 1) < +δ +1 ≤ < +δ Vậy inf {ε > :C ⊆ B ( K , ε ), K ⊆ B (C , ε ) } = = C Nhận xét 1.1.1: Nếu x} , K { y} D ( C , K ) = d ( x, y ) {= Nếu C = { x} , K có phần tử d ( x, K ) D ( C , K ) nói chung không MỆNH ĐỀ 1.1.1:Với C , K tập đóng, bị chặn, khác rỗng không gian metric ( X , d ) ta có định nghĩa khoảng cách hai tập sau = d ( c, K ) inf {d ( c, k ) , k ∈ K } ρ ( C , K )= sup {d ( c, K ) , c ∈ C} , ρ ( K , C )= sup {d ( k , C ) , k ∈ K } D ( C , K ) = max { ρ ( C , K ) , ρ ( K , C )} Khi định nghĩa tương đương với định nghĩa 1.1.1 Chứng minh Đặt α = inf {ε > :C ⊆ B ( K , ε ), K ⊆ B (C , ε ) } β = max { ρ ( C , K ) , ρ ( K , C )} Chứng minh β ≤ α Lấy ε > thỏa mãn C ⊆ B ( K , ε ), K ⊆ B (C , ε ) Với c ∈ C , C ⊆ B ( K , ε ) nên ∃k ∈ K : c ∈ B (k , ε ) Do d ( c, k ) < ε Suy d ( c, K ) < ε ⇒ ρ ( C , K ) ≤ ε Lập luận tương tự ta có ρ ( K , C ) ≤ ε Vậy β ≤ α Chứng minh α < β + ε , ∀ε > Với c ∈ C , ta có ρ ( C , K ) ≤ n ⇒ d ( c, K ) ≤ n ⇒ ∃k ∈ K : d ( c, k ) < n + ε Do c ∈ B (k , β + ε ) ⇒ C ⊆ B ( K , β + ε ) Lập luận tương tự ta có K ⊆ B (C , β + ε ) Do định nghĩa α nên ta có α < β + ε , ∀ε > Suy α ≤ β Vậy α = β Nhận xét 1.1.2 *) C , K tập đóng, bị chặn, khác rỗng, x ∈ X ta có d ( x, C ) ≤ d ( x, K ) + D ( K , C ) *) với A, B hai tập đóng , bị chặn, khác rỗng không gian Banach X số t > Khi D ( tA, tB ) = tD ( A, B ) Thật= , đặt α D= ( tA, tB ) , β D ( A, B ) +) Với ε > thỏa mãn tA ⊂ B ( tB, ε ) , tB ⊂ B ( tA, ε ) Với a ∈ A, ∃b ∈ B : ta − tb < ε ( tA ⊂ B ( tB, ε ) ) Do a − b < ε  ε ⇒ A ⊂ B  B, t  t    ε   Chứng minh tương tự ta có B ⊂ B  A,  Suy β ≤ t ε ⇒ βt ≤ ε t Mà α = inf {ε > : tA ⊂ B ( tB, ε ) , tB ⊂ B ( tA, ε )} nên β t ≤ α +) Với δ > bất kì, ta chứng minh α ≤ β t + δ   Với mọi= y ta, a ∈ A Do A ⊂ B  B, β + δ δ  nên có b ∈ B : a − b < b + t t Suy ta − tb < t b + δ nên ⇒ tA ⊂ B ( tB, t β + δ ) Chứng minh tương tự tB ⊂ B ( tA, t β + δ ) Suy α ≤ β t + δ Vậy α ≤ β t ĐỊNH NGHĨA 1.1.2 [1] Cho C tập khác rỗng X Ánh xạ đa trị F : C → X có giá trị đóng, bị chặn, khác rỗng gọi co tồn số k ,0 ≤ k < thỏa mãn D ( F ( x), F ( y ) ) ≤ kd ( x, y ) , ∀x, y ∈ C Và F gọi không giãn D ( F ( x), F ( y ) ) ≤ d ( x, y ) , ∀x, y ∈ C     B 0, x , x ≠ O(0,0) Ví dụ 1.1.2 Cho F : R → R định F ( x) =    , O(0,0) , x = O(0,0)  xét với chuẩn Euclide Với x, y ∈ R ta có     1  D ( F ( x), F ( y ) ) = D  B  0, x  , B  0, y   = x − y ≤ x− y      Vậy F ánh xạ co với hệ số k =     Ví dụ 1.1.3 : F :[0,1] → R định F ( x) = 0, x  Với ( x, y ) ∈ [0,1] ta có    3 D ( F ( x), F (= y ) ) D  0, x  , 0, y= x − y3       1 = ( x − y ) ( x + xy + y ) ≤ x − y = x − y 3 Vậy F ánh xạ ánh xạ co 1.2 Một số định lí điểm bất động ĐỊNH LÍ 1.2.1 [ Sam B Nadler, Multip-valued Contraction Mappings, trang 479, định lí ] Cho ( X , d ) không gian metric đầy đủ , F : X → X ánh xạ đa trị co với giá trị đóng, bị chặn, khác rỗng Khi F có điểm bất động Chứng minh Gọi k hệ số co F Lấy p0 ∈ X Chọn p1 ∈ F ( p0 ) ( F ( p0 ) ≠ ∅ ) Vì F ( p1 ) , F ( p0 ) tập đóng bị chặn p1 ∈ F ( p0 ) nên tồn p2 ∈ F ( p1 ) ( ) cho d ( p1 , p2 ) ≤ D F ( p0 ) , F ( p1 ) + k Thật , D ( F ( p0 ) , F ( p1 ) ) := inf {ε > : F ( p0 ) ⊆ B( F ( p1 ) , ε ), F ( p1 ) ⊆ B( F ( p0 ) , ε ) } ( ) Do F ( p1 ) , F ( p0 ) tập đóng bị chặn nên D F ( p0 ) , F ( p1 ) hữu hạn ( ) ( ) Do tính chất infimun nên có D F ( p0 ) , F ( p1 ) ≤ ε < D F ( p0 ) , F ( p1 ) + k cho ( F ( p0 ) ⊆ B ( F ( p1 ) , ε ) ⇒ p1 ∈ B ( F ( p1 ) , ε ) ⊆ B F ( p1 ) , D ( F ( p0 ) , F ( p1 ) ) + k ( ) ) suy p2 ∈ F ( p1 ) cho d ( p1 , p2 ) ≤ D F ( p0 ) , F ( p1 ) + k Tương tự ta chọn p3 ∈ F ( p2 ) cho d ( p2 , p3 ) ≤ D ( F ( p1 ) , F ( p2 ) ) + k Tiếp tục trình ta xây dựng dãy { pi } thỏa mãn pi +1 ∈ F ( pi ) ( ) i cho d ( pi , pi +1 ) ≤ D F ( pi −1 ) , F ( pi ) + k vói i ≥ ( ) i i Ta có d ( pi , pi +1 ) ≤ D F ( pi −1 ) , F ( pi ) + k ≤ kd ( pi −1 , pi ) + k i −1 ≤ k ( kd ( pi −2 , pi −1 ) + k= ) + k i k 2d ( pi−1, pi ) + 2k i ≤ ≤ k i d ( p0 , p1 ) + ik i ) ( ( Do d pi , pi + j ≤ d ( pi , pi +1 ) + d ( pi +1 , pi + ) + + d pi + j −1 , pi + j ) ≤ k i d ( p0 , p1 ) + ik i + k i +1d ( p0 , p1 ) + ( i + 1) k i + + k i + j −1d ( p0 , p1 ) + ( i + j − 1) k i = i + j −1 ∑ k i+n d ( p0 , p1 ) + i + j −1 ∑ (i + n) k i+n = n 0= n ∞ Chuỗi ∑ ( i + n )α n =0 i + j −1 ∑ ( i + n )α n =0 i+n i+n i + n + 1)α i + n+1 ( hội tụ lim = α < Suy n→∞ ( i + n )α i + n → i, j → +∞ Do d ( pi , pi + j ) → i, j → +∞ 10 Như { pi } dãy Cauchy Mà ( X , d ) không gian metric đầy đủ nên { pi } { } hội tụ x0 ∈ X Do F ( pi ) hội tụ F ( x0 ) ( ) ( ) ( Ta có d x0 , F ( x0 ) ≤ d ( x0 , pn ) + d pn , F ( pn−1 ) + D F ( pn−1 ) , F ( x0 ) ) ≤ d ( x0 , pn ) + D ( F ( pn−1 ) , F ( x0 ) ) ( pn ∈ F ( pn−1 ) ) ( ) Cho n → ∞ ta d x0 , F ( x0 ) =0 ⇒ x0 ∈ F ( x0 ) ( F ( x0 ) đóng ) Vậy F có điểm bất động Nhận xét 1.2.1 [Sam B Nadler, Multip-valued Contraction Mappings,trang 480] Trong chứng minh định lí 1.1.1 ta thấy với C , K hai tập đóng, bị chặn, khác rỗng với c ∈ C , α > tồn k ∈ K cho d ( c, k ) ≤ D ( C , K ) + α Tuy nhiên lúc có cho d ( c, k ) ≤ D ( C , K ) ( K tập compact hiển nhiên tồn ) Ví dụ :     n không gian l ( không gian dãy số thực ) xét a =  −1, − , , − ,  , tập = C a, e1 , e2 , , en , } , K {e1 , e2 , , en , } ei {= có tất thành phần   0, trừ thành phần thứ I Ta có a − e= n  a +1+ D ( C , K )= inf { a − en , n ∈ N }= (a ) (a ) 2 2  Khi n + , ei để + = a − ei Nhận xét 1.2.2: Ta biết điểm bất động ( có ) ánh xạ đơn trị co Nhưng điều không với ánh xạ đa trị co Trong ví dụ 1.1.2, F có điểm bất động O ( 0,0 ) Thật vậy, 11 x ∈ R điểm bất động F ⇔ x ∈ F ( x ) ⇒ x ≤ x ⇔ x≡O Nhưng điểm bất động ánh xạ đa trị co xét ví dụ không   Ví dụ 1.2.1 : F :[0,1]2 → [0,1]2 , F= ( a, b ) ( x, y ) : ≤ x ≤ 1− a 1− b ,0 ≤ y ≤  2   − a1 − a2   − b1 − b2  − − D ( F (a1 , b1 ), F (a2 , b2 ) )=   +    2   1 2 = ( a2 − a1 ) + ( b2 − b1 )= d ( ( a1, b1 ) , ( a2 , b2 ) ) 2 Vậy F ánh xạ co với hệ số k = Ta có ( a, b ) điểm bất động F ⇔ ( a, b ) ∈ F ( ( a, b ) ) ⇔ ≤ a ≤ 1− a 1− b 1 ,0 ≤ b ≤ ⇔ ≤ a ≤ ,0 ≤ b ≤ 2 3   1 3 Vậy tập hợp điểm bất động F ( a, b ) : ≤ a ≤ ,0 ≤ b ≤  ĐỊNH LÍ 1.2.2 [1] Cho ( X , d ) không gian metric đầy đủ với x0 ∈ X r > Giả sử F : B ( x0 , r ) → X ánh xạ đa trị co với giá trị đóng, bị chặn, khác rỗng thỏa mãn d ( x0 , F ( x0 ) ) < (1 − k ) r (1) Trong ≤ k < số co Khi F có điểm bất động, nghĩa tồn x ∈ B ( x0 , r ) thỏa mãn x ∈ F ( x ) 12 Chứng minh Bằng quy nạp, ta xây dựng dãy { xn } ⊂ B ( x0 , r ) thỏa mãn xn ∈ F ( xn−1 ) ( a )n d ( xn , xn−1 ) < k n−1 (1 − k ) r ( b )n Do (1) định nghĩa inf nên có x1 ∈ F ( x0 ) cho d ( x1 , x0 ) < (1 − k ) r Giả sử tồn xn thỏa mãn tính chất ( a )n , ( b )n ( ) n Khi ta có D F ( xn ) , F ( xn−1 ) ≤ kd ( xn , xn−1 ) < k (1 − k ) r (do F co ( a )n , ( b )n ) Do tồn xn+1 ∈ F ( xn ) cho d ( xn , xn−1 ) < k n (1 − k ) r ( ) Ta có d ( x0 , xn ) < − k n r , ∀n ∈ N suy { xn } ⊂ B ( x0 , r ) ( ) ( ) ( ) Mặt khác d xn+ p , xn < + k + + k p −1 k n (1 − k ) = r kn 1− k p r Suy { xn } dãy Cauchy không gian metric đầy đủ Vậy { xn } hội tụ x ∈ B ( x0 , r ) ( ) ( ) Ta có D F ( xn ) , F ( x ) ≤ kd ( xn , x ) ⇒ d xn+1 , F ( x ) ≤ kd ( xn , x ) Cho n → +∞ ta d ( x, F ( x ) ) = ⇒ x ∈ F ( x ) ( F ( x ) đóng ) Nhận xét 1.2.3 định lí 1.2.2 tồn điểm bất động ánh xạ đa trị co mà vùng chứa điểm bất động 13 Ta sử dụng định lí 1.2.2 để trực tiếp suy kết định lí 1.2.1 ( ) sau: Lấy x0 ∈ X , cố định lại Chọn r > cho d x0 , F ( x0 ) < (1 − k ) r ( k hệ số co).Theo định lí 1.2.2, F có điểm bất động 1.3 Một số kết đồng luân ánh xạ đa trị co ĐỊNH NGHĨA 1.3.1 [1] Cho U tập mở khác rỗng X , F : U → X , G : U → X hai ánh xạ đa trị với giá trị đóng, bị chăn, khác rỗng ( U bao đóng U ) đồng luân tồn H : U × [0,1] → X ánh xạ đa trị có giá trị đóng, bị chăn, khác rỗng, thỏa mãn tính chất sau : = H (.,1) F= , H (.,0 ) G (a) (b) x ∉ H ( x, t ) ∀x ∈ ∂U , t ∈ [0,1] (c) ∃α ,0 ≤ α < thỏa mãn D ( H ( x, t ) , H ( y, t ) ) ≤ α d ( x, y ) , ∀t ∈ [0,1], x, y ∈U (d) Tồn hàm tăng, liên tục φ :[0,1] → R ( ) thỏa mãn D H ( x, t ) , H ( x, s ) ≤ φ ( t ) − φ ( s ) , ∀t , s ∈ [0,1], x ∈U Khi H gọi phép đồng luân F G Nhận xét 1.3.1 ( X , d ) không gian metric C tâp hợp khác rỗng X Anh xạ đa trị F : C → X có giá trị đóng, khác rỗng gọi liên tục liên tục theo metric Haudorff D Nghĩa ( F : C → X liên tục x0 ∈ C ) ( ) ⇔ ∀ε > 0, ∃dd > : ∀x ∈ C , d ( x, x0 ) < ⇒ D ( F ( x ) , F ( x0 ) ) < ε Như phép đồng luân H : U × [0,1] → X định nghĩa 1.3 liên tuc.( U × [0,1] xét metric κ ( ( x, t ) , ( y= , s ) ) d ( x, y ) + t − s ) 14 Thật vậy, ( x, t ) ∈U × [0,1] , với Do φ liên tục t nên tồn ε >0 δ ' > cho với s ∈ [ 0,1] , s − t < δ ' ε φ ( s ) − φ (t ) <   Chọn δ = δ ', ε   Khi với ( y, s ) ∈U × [0,1], d ( x, y ) + s − t < d 2α  ε  ε  D H x , t , H y , t d x , y α ≤ < ( ) ( ) ( ) ( )  d ( x, y ) <  2α ⇒  ⇒ t − s [...]... d x0 , F ( x0 ) < (1 − k ) r ( k là hệ số co).Theo định lí 1.2.2, F có điểm bất động 1.3 Một số kết quả về đồng luân của ánh xạ đa trị co ĐỊNH NGHĨA 1.3.1 [1] Cho U là tập mở khác rỗng của X , F : U → X , G : U → X là hai ánh xạ đa trị với giá trị đóng, bị chăn, khác rỗng ( U là bao đóng của U ) là đồng luân nếu tồn tại H : U × [0,1] → X là ánh xạ đa trị có giá trị đóng, bị chăn, khác rỗng, thỏa mãn... + xy + y 2 ) ≤ 3 x − y = x − y 3 3 Vậy F là ánh xạ không phải ánh xạ co 1.2 Một số định lí về điểm bất động ĐỊNH LÍ 1.2.1 [ Sam B Nadler, Multip-valued Contraction Mappings, trang 479, định lí 5 ] Cho ( X , d ) là không gian metric đầy đủ , F : X → X là ánh xạ đa trị co với giá trị đóng, bị chặn, khác rỗng Khi đó F có điểm bất động Chứng minh Gọi k là hệ số co của F Lấy p0 ∈ X Chọn p1 ∈ F ( p0 )... + 1 , nhưng không có ei nào để 1 2 + 1 = a − ei Nhận xét 1.2.2: Ta đã biết điểm bất động ( nếu có ) của ánh xạ đơn trị co là duy nhất Nhưng điều này không đúng với ánh xạ đa trị co Trong ví dụ 1.1.2, F có duy nhất điểm bất động là O ( 0,0 ) Thật vậy, 11 x ∈ R 2 là điểm bất động của F ⇔ x ∈ F ( x ) ⇒ x ≤ 1 x ⇔ x≡O 2 Nhưng điểm bất động của ánh xạ đa trị co xét trong ví dụ tiếp theo là không duy nhất... 2 Vậy F là ánh xạ co với hệ số k = 2 1 2 Ta có ( a, b ) là điểm bất động của F ⇔ ( a, b ) ∈ F ( ( a, b ) ) ⇔ 0 ≤ a ≤ 1− a 1− b 1 1 ,0 ≤ b ≤ ⇔ 0 ≤ a ≤ ,0 ≤ b ≤ 2 2 3 3   1 3 1 3 Vậy tập hợp điểm bất động của F là ( a, b ) : 0 ≤ a ≤ ,0 ≤ b ≤  ĐỊNH LÍ 1.2.2 [1] Cho ( X , d ) là không gian metric đầy đủ với x0 ∈ X và r > 0 Giả sử rằng F : B ( x0 , r ) → X là ánh xạ đa trị co với giá trị đóng, bị... trong không gian Banach X ,0 ∈U , ( ) và F : U → X là ánh xạ đa trị co với giá trị đóng, khác rỗng , F U bi chặn Khi đó F đồng luân với ánh xạ G ≡ 0 Chứng minh Đặt H : U × [0,1] → X định bởi H ( x, t ) = tF ( x ) và G ≡ 0 Ta chứng minh H là phép đồng luân giữa F và G (a) (b) = H (.,1) F= , H (.,0 ) G H ( x, t ) ( do giả thuyết Với mọi ∀x ∈ ∂U , t ∈ [0,1] , ta có x ∉ tF ( x ) = phản chứng ) (c) Với. .. ( tF ( x ) , sF ( x ) ) ≤ r t − s Chọn hàm số φ :[0,1] → R xác định như sau φ ( t ) = tr Khi đó D ( H ( x, t ) , H ( x, s ) ) ≤ φ ( t ) − φ ( s ) , ∀t , s ∈ [0,1], x ∈U ĐỊNH LÍ 1.3.1 [1] Cho ( X , d ) là không gian metric đầy đủ và U là tập con mở của X Giả sử F : U → X và G : U → X là hai ánh xạ đa trị co với giá trị đóng, bị chặn, khác rỗng đồng luân với nhau và G có điểm bất động trong U Khi... (mâu thuẫn ) F ( x0 ) Vậy F có điểm bất động trong Như vậy t0 = 1 Suy ra x0 ∈ H ( x0 ,1) = U Nhận xét 1.3.2 Cho ( X , d ) là không gian metric đầy đủ và U là tập con mở của X Giả sử F : U → X và G : U → X là hai ánh xạ đa trị co với giá trị đóng, bị chặn, khác rỗng đồng luân với nhau , H là phép đồng luân giữa F và G Nếu G 18 ... ( ) thỏa mãn D H ( x, t ) , H ( x, s ) ≤ φ ( t ) − φ ( s ) , ∀t , s ∈ [0,1], x ∈U Khi đó H được gọi là phép đồng luân của F và G Nhận xét 1.3.1 ( X , d ) là không gian metric và C là tâp hợp con khác rỗng của X Anh xạ đa trị F : C → X có giá trị đóng, khác rỗng được gọi là liên tục nếu nó liên tục theo metric Haudorff D Nghĩa là ( F : C → X liên tục tại x0 ∈ C ) ( ) ⇔ ∀ε > 0, ∃dd > 0 : ∀x ∈ C , d... 480] Trong chứng minh định lí 1.1.1 ta thấy với C , K là hai tập đóng, bị chặn, khác rỗng thì với mọi c ∈ C , mọi α > 0 tồn tại k ∈ K sao cho d ( c, k ) ≤ D ( C , K ) + α Tuy nhiên không phải lúc nào cũng có sao cho d ( c, k ) ≤ D ( C , K ) ( nếu K là tập compact thì hiển nhiên tồn tại ) Ví dụ : trong   1 2   1 n không gian l 2 ( không gian các dãy số thực ) xét a =  −1, − , , − ,  , tập =... 1− k p r Suy ra { xn } là dãy Cauchy trong không gian metric đầy đủ Vậy { xn } hội tụ về x ∈ B ( x0 , r ) ( ) ( ) Ta có D F ( xn ) , F ( x ) ≤ kd ( xn , x ) ⇒ d xn+1 , F ( x ) ≤ kd ( xn , x ) Cho n → +∞ ta được d ( x, F ( x ) ) = 0 ⇒ x ∈ F ( x ) ( do F ( x ) đóng ) Nhận xét 1.2.3 định lí 1.2.2 không những chỉ ra sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ đa trị co mà còn chỉ ra vùng chứa điểm bất động