Bậc tôpô của ánh xạ đa trị

L ỜI NÓI ĐẦU

1.4.1 Bậc tôpô của ánh xạ đa trị

Mệnh đề 1.4.1. Cho X là không gian Banach thực,  X là một tập mở bị chặn và F : 2 \X  là ánh xạ nửa liên tục trên, Fx lồi đóng với mọi x  .

Nếu F( ) là compact tương đối và x Fx với mọi x   thì tồn tại e 0 0 sao cho x  f xe( ) với mọi x   và e (0, ),e0 trong đó fe tồn tại từ Định lý 1.3.1.

Chứng minh. Giả sử rằng kết luận không đúng, khi đó tồn tại e j 0 và

j

x   sao cho xj  f xe( )j . Do Định lý 1.3.1 tồn tại yjvà zj Fyj sao cho:

|xj yj |ej (1.5) | ( ) | j j j f xe z e (1.6) Vì ( ) j j j x  f xe nên từ (1.6) ta được: |xj zj |ej (1.7)

Vì F( ) là tập compact tương đối nên dãy { }zj  F( ) có một dãy con hội tụ, do đó không mất tính tổng quát có thể giả sử rằng zj  z0. Từ đây và điều kiện (1.7) cho ta xj  z0 và bởi vậy do điều kiện (1.5) ta được yj  z0. Bây giờ do tính nửa liên tục trên của F và cũng do zj Fyj ta có z0 Fz0. Hơn nữa để ý rằng

{ }xj   là tập đóng và dãy xj z0 nên z0  . Điều này mâu thuẫn với sự kiện x Fx với mọi x  . 

Định nghĩa 1.4.1. Cho X là không gian Banach thực  X là một tập mở bị chặn và F : 2 \X  là ánh xạ nửa liên tục trên có giá trị lồi đóng. Giả sử rằng

( )

F  là tập compact tương đối và x  F( ) với mọi x  . Khi đó ta định nghĩa

bậc Leray-Schauder của ánh xạ đa trị F như sau:

0

deg(I F, , 0) lim deg(I fe, , 0)

e

với fe được xác định như trong Định lý 1.3.1.

Ta thấy rằng Định nghĩa 1.4.1 là hợp lý. Bởi do Mệnh đề 1.4.1 nên tồn tại

0 0

e  sao cho x  f xe( ) với mọi x   và e (0, )e0 . Khi đó rõ ràng fe( ) là compact. Do đó sự tồn tại của deg(I  fe, , 0) là hợp lý với mọi e (0, )e0 . Ta nhận xét rằng tồn tại số e1  e0 sao cho tf xe( ) (1 t f x) ( )d x với mọi

( , ) [0,1]t x   và e d, (0, )e1 . Thật vậy, giả sử tồn tại tj t0,ej  0,dj 0 và

j x   sao cho ( ) (1 ) ( ) j j j j j j j t f xe  t f xd x Do nhận xét của Định lý 1.3.1, tồn tại y y1j, 2j và zj1 Fy z1j, j2 Fy2j thỏa mãn: 1 2 1 2 | | , | | , | | , | | j j j j j j j j j j j j j j y x e y x d z f xe e z f xd d

Do F( ) là tập compact tương đối nên dãy { }xj có một dãy con hội tụ, không mất tính tổng quát giả sử rằng xj x0   bởi vậy 1

0

j

y x và y2j  x0. Kết quả là dãy { }z1j có một dãy con hội tụ, giả sử là 1

1 0

j

z z Fx và tương tự dãy

2

{ }zj cũng có một dãy con hội tụ và cũng giả sử là 2

2 0

j

z z Fx . Khi đó ta có

1 (1 ) 2 0 0

tz  t z x Fx , điều này mâu thuẫn với giả thiết x  F( ) với mọi

x  .

Từ Định nghĩa 1.4.1, ta thấy rằng bậc Leray-Shauder của ánh xạ đa trị được định nghĩa thông qua bậc Leray-Shauder của ánh xạ đơn trị compact trên một tập mở bị chặn cho nên cũng tương tự như đối với các ánh xạ đơn trị ta có các tính chất sau:

Mệnh đề 1.4.2.Bậc đã định nghĩa từ Định nghĩa 1.4.1, có các tính chất:

a) (Tính chuẩn tắc) deg( , , 0) 1I     0 ;

c) (Tính đồng luân) Cho : [0,1] 2 \X t

F    là ánh xạ compact, nửa liên tục trên, F xt lồi đóng và x  F xt với mọi ( , ) [0,1]t x  . Khi đó ta có

deg(I F t, , 0) không phụ thuộc t [0,1].

d) (Tính cộng tính) Nếu  1, 2 là hai tập com mở rời nhau của  và

1 2

0 ( I F)( \(   )) thì:

1 2

deg(I F , , 0) deg(I F , , 0) deg( I F , , 0)

Chứng minh.

a) Hiển nhiển từ tính chất bậc Leray-Shauder của các ánh xạ đơn trị.

b) Giả sử ngược lại, mọi x   ta đều có x Fx . Do Fx compact nên tồn tại

0

x

e  sao cho r( ,x Fx)ex. Suy ra với mọi e (0, )ex thì do Mệnh đề 1.4.1 nên

fe không có điểm bất động do vậy deg(I  fe, , 0) 0. Dẫn đến deg(I F , , 0) 0

lim(I fe, , 0) 0 e

    . Điều này dẫn đến mâu thuẫn với giả thiết. Như vậy nếu có

deg(I F , , 0)0 thì tồn tại x   sao cho x Fx. c) Với mỗi t u, [0,1] và e 0. Gọi

t

fe và

u

fe là các ánh xạ tồn tại từ Định lý 1.3.1, theo tính chất đồng luân của bậc Leray-Shauder của ánh xạ đơn trị ta có được:

deg( , , 0) deg( , , 0)

t u

I fe   I fe  . Suy ra

0 0

lim deg( , , 0) lim deg(

t t u I fe I e    e   , , 0) u

fe  . Hay deg(I F t, , 0)  deg(I F u, , 0).

d) Vì  1, 2 là hai tập com mở rời nhau của  và 0 ( I F )( \(   1 2)) hơn nữa Fx compact nên 0 ( I fe)( \(   1 2)), với e đủ nhỏ và fe là ánh xạ tồn tại từ Định lý 1.3.1. Ta có deg(I  fe, , 0) deg(I  fe, , 0) deg(1  I  fe, , 0).2

Suy ra 1 2

0 0 0

lim deg(I fe, , 0) lim deg(I fe, , 0) lim deg(I fe, , 0) e    e   e   Vậy deg(I F , , 0) deg(I F , , 0) deg(1  I F , , 0)2 . 

Bây giờ, với g là một độ đo phi compact trong 1.2.2, ta sẽ định nghĩa bậc tôpô của ánh xạ đa trị g - co trên một tập mở, bị chặn tại một điểm y bất kỳ.

Cho X là không gian Banach  X là mở, bị chặn F :  2 \X  là ánh xạ đa trị nửa liên tục trên và Fx lồi đóng với mọi x  . Cho g là một độ đo phi compact a hoặc b. Giả sử F là một ánh xạ đa trị g- co nghiêm ngặt, tức là

( ( ))F B ( )B

g g với mọi B   và với k 1.

Giả sử rằng 0 ( I F)( ) . Giống như định nghĩa bậc tôpô cho ánh xạ đơn trị đã biết trước đây, ta định nghĩa deg(I F , , 0) 0 nếu x Fx trên  và trong trường hợp (I F ) (0)1  , ta lại định nghĩa các tập C0 conv ( ),F 

1 conv ( ) n n C  F  C  với n 1 và 0 n n

C   C là tập compact lồi thỏa mãn

1

(I F ) (0) C   và F( C)C. Khi đó áp dụng Định lý 1.3.1 cho

D C   có lân cận mở Ve của D, trong đó Ve {x X :r( , )x D e} và một ánh xạ compact hữu hạn chiều f Ve : e  conv ( )F D C sao cho ta có

( ) ( ( , )) (0, )

f xe F D B x e B e trên Ve. Ta chứng tỏ rằng fe không có điểm bất động trên (Ve  ) nếu e 0 đủ nhỏ. Thật vậy:

Giả sử trái lại ( ) n n n x  f xe với e n 0 và ( ) ( ) n n n x  Ve    Ve    ( ) n Ve    . Trước tiên, ta chú ý rằng n n x    Ve vì nếu không sẽ dẫn đến ( ) n n n

x  f xe conv ( )F D C, tức là xn  D Ve. Bởi vậy ta có xn   với mọi n và xn Fyn B(0, )en với yn D và |xn yn |en. Do đó không mất tính tổng quát giả sử yn x0 và xn x0  , vì D là compact.

Do vậy x0 Fx0, bởi vì F là nửa liên tục trên và Fx0 là đóng, điều này mâu thuẫn với x Fx trên D. Do vậy deg(I f Ve, e  , 0) được xác định với mọi

0

e  đủ nhỏ và nó là một số nguyên độc lập với cách chọn của Ve và fe thỏa mãn các điều kiện ở trên.

Bởi vậy ta có thể đưa ra định nghĩa bậc tôpô của ánh xạ đa trị g - co trên một tập mở, bị chặn tại một điểm y bất kỳ như sau:

Định nghĩa 1.4.2. Cho X là không gian Banach,  X là tập mở, bị chặn,

: 2 \X

F    là ánh xạ đa trị nửa liên tục trên, g- co nghiêm ngặt với Fx lồi, đóng mọi x   và y  (I F)( ) . Khi đó:

Nếu (I F) ( )1 y   thì ta lấy deg(I F , , ) 0y  .

Nếu (I F ) ( )1 y   thì ta lấy deg(I F , , )y  deg(I   fe, V ye, ) với

Ve và fe có được bởi Định lý 1.3.1.

Cũng chú ý rằng trong Định nghĩa 1.4.2 ở trên ta đã sử dụng lập luận như đã trình bày nhưng lần này được tổng quát cho một điểm y bất kỳ, tức là:

0 conv( ( ) ); C  F  y Cn  conv( (F  Cn1)y); 0 n; n C   C D C   với n 1 và e e( , , ) 0F y  đủ nhỏ. Chú ý rằng Fx là compact thực sự vì Fx đóng và g( )Fx kg({ })x  0. Rõ ràng bậc này trùng với bậc đã được định nghĩa đối với ánh xạ đơn trị g- co nghiêm ngặt đã biết trước đây. Từ Định nghĩa 1.4.2 và tính chất của bậc, hiển nhiên rằng bậc tôpô đã định nghĩa có được các tính chất sau đây:

Mệnh đề 1.4.3. Với F và  được xác định như trong Định nghĩa 1.4.2, khi đó bậc tôpô của ánh xạ đa trị g- co nghiêm ngặt có các tính chất sau:

a) deg( , , ) 1I  y  với y  .

b) deg(I F , , )y deg(I F , , ) deg(1 y  I F , , )2 y với bất kỳ  1, 2

c) deg(I H t ( , ), , ) y là độc lập đối với t J [0,1] khi ta xét đồng luân

: 2 \X

H J   thỏa mãn H t x( , ) là lồi đóng, H là nửa liên tục trên và là g - co nghiêm ngặt với y  (I H J)( ).