Đạo hàm lie của liên thông tuyến tính

Bộ giáo dục đào tạo Tr-ờng đại học vinh tạ thị liên đạo hàm lie liên thông tun tÝnh CHUN NGÀNH: HÌNH HỌC - TƠPƠ Mã số: 60.46.10 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS TS NGUYỄN HỮU QUANG VINH - 2011 MỤC LỤC Trang LỜI NÓI ĐẦU CHƢƠNG I ĐA TẠP KHẢ VI I.ĐA TẠP KHẢ VI II.LIÊN THƠNG TUYẾN TÍNH TRÊN ĐA TẠP KHẢ VI III ÁNH XẠ TIẾP XÚC 14 CHƢƠNG II ĐẠO HÀM LIE CỦA LIÊN THƠNG TUYẾN TÍNH 19 I.ĐỘ CONG TRÊN ĐA TẠP 19 II ĐẠO HÀM LIE CỦA LIÊN THƠNG TUYẾN TÍNH 22 KẾT LUẬN 31 TÀI LIỆU THAM KHẢO 32 LỜI NÓI ĐẦU Lý thuyết nhóm Lie đại số Lie ứng dụng nhiều nghiên cứu lý thuyết hệ động lực, vật lý lượng tử ngành khác tốn học Đặc biệt xem cơng cụ quan trọng để nghiên cứu tính chất hình học đa tạp Riemann Trong vài thập niên gần nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu đạo hàm Lie đại số, đại số Lie (xem [3]) Trên sở số kết nhà toán học A.Ya.Sultanov số tài liệu nghiên cứu đạo hàm Lie (xem [3], [7], [8]), nghiên cứu đề tài:“ Đạo hàm Lie liên thông tuyến tính Lun trình bày hai chương: Chƣơng I: Đa tạp khả vi Trong chương này, chúng tơi trình bày định nghĩa, ví dụ số tính chất đa tạp khả vi, liên thơng tuyến tính, ánh xạ tiếp xúc đa tạp Đây kiến thức sở chuẩn bị cho việc trình bày chương sau Chương I chia làm ba phần I Đa tạp khả vi II Liên thơng tuyến tính đa tạp khả vi III Ánh xạ tiếp xúc Chƣơng II Đạo hàm Lie liên thơng tuyến tính Đây chương thể kết luận văn Trong chương này, chúng tơi trình bày chi tiết khái niệm tính chất, ví dụ độ cong đa tạp, đạo hàm Lie liên thông tuyến tính xét mối quan hệ ánh xạ tiếp xúc với đạo hàm Lie Chương chia thành phần I Độ cong đa tạp II Đạo hàm Lie liên thơng tuyến tính Luận văn hoàn thành vào tháng 12 năm 2011 Trường Đại học Vinh hướng dẫn thầy giáo PGS TS Nguyễn Hữu Quang Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy, người hướng dẫn tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Nhân dịp hoàn thành luận văn, tác giả xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo mơn Hình học – Tơpơ, thầy giáo khoa Toán, khoa đào tạo Sau đại học – Trường Đại học Vinh, nhiệt tình giảng dạy, góp ý tạo điều kiện cho tác giả trình học tập thực luận văn Cũng này, tác giả xin chân thành cảm ơn bạn bè, gia đình động viên, giúp đỡ tác giả suốt q trình học tập hồn thành luận văn Vinh, tháng 12 năm 2011 Tác giả CHƢƠNG I ĐA TẠP KHẢ VI Trong chương này, chúng tơi trình bày khái niệm đa tạp khả vi liên thơng tuyến tính, ánh xạ tiếp xúc đa tạp I.ĐA TẠP KHẢ VI 1.1.1.Định nghĩa.(Xem [4]) Giả sử M T2 - không gian với sở đếm được, U tập mở M, V tập mở Rn ánh xạ  : U  V đồng phơi (U ,  ) gọi đồ M Chú ý Với p  U,  ( p)  ( x1 , x2 , , xn ) Khi ( x1 , x2 , , xn ) gọi tọa độ địa phương p (U ,  ) ( (U ,  ) gọi hệ tọa độ địa phương M) Một điểm p thuộc nhiều đồ M, p có nhiều tọa độ địa phương khác 1.1.2.Ví dụ Trong R2, ta lấy M  S  ( x; y) / x  y  1 Ta xét U1  ( x; y)  S / y  0; Rõ ràng U1 tập mở S1 V1=(-1; 1); tập mở R Khi  : U1  V1 , ánh xạ đồng phôi ( x, y)  x1 Như vậy, (U1 , 1 ) đồ S1 Thật vậy: * 1 song ánh:  Ta lấy hai điểm A( x1 ,  x12 ) , B( x2 ,  x22 ) thuộc U1 Từ A ≠ B, ta suy x1 ≠ x2 Do 1 ( A)  1 ( B) Vậy 1 đơn ánh  Với x  V1, ta xét điểm A( x,  x )  U1 , ta có: 1 (A) ≠ 1 (B) Vậy 1 tồn ánh * Vì 1 phép chiếu lên trục hoành nên 1 liên tục Mặt khác, 11 : V1  U1 ,  x  x;  x  11  ( , ) ; với  ( x)  x  ( x)   x , x  (1;1) Từ  , liên tục, ta suy 11 liên tục Như vậy, (U1 , 1 ) đồ S1 1.1.3 Định nghĩa (xem [4]) Giả sử (U1 , 1 ) (U ,  ) hai đồ M W 1 U1  U   Khi (U , 1 ) (U ,  ) gọi phù hợp ánh xạ  o1 vi phôi Chú ý  Ta ký hiệu W1 = 1 (W), W2=  (W) Khi (U1 , 1 ) (U ,  ) phù hợp ánh xạ  o11 : W1  W2 vi phôi  Nếu U1  U2 =  , ta quy ước (U1 , 1 ) (U ,  ) phù hợp   U  ( x; y )  S / x   Ta trở lại ví dụ 1.2 xét thêm đồ V2  (1;1)  : U  V 2  (x;y)  y Ta kiểm tra tính phù hợp (U1 , 1 ) (U ,  )   W  U  U  x; y   S / x  0, y     Ta xét W1  1 (W )  (0;1) W   (W )  (0;1)  Khi đó, ta có: f   o11 : W1  W2 x   x song ánh khả vi Mặt khác, với y  (0;1), ta có: f 1 ( y)  ( o11 ) 1 ( y)  (1o 21 )( y)  1 ( 21 ( y)) Do f-1 liên tục Vậy f vi phơi hay (U1 , 1 ) (U ,  ) hai đồ phù hợp S1 1.1.4 Định nghĩa (xem [4])  Một hệ đồ U  ;  I ; thỏa mãn: + U   M I + (U  ,  ) (U  ,   ) phù hợp; với  ,   I , gọi cấu trúc khả vi M  Tập M với trúc khả vi gọi đa tạp khả vi n – chiều Ta tiếp tục xét M = S1, thêm đồ sau: Trở lại với ví dụ 1.4 Ta đặt:   U  ( x; y)  S / x  V3  (1;1)  : U  V3   1 y2 ; y  y   U  ( x; y)  S / y  V4  (1;1)  : U  V4 x,  x   x Dễ thấy, 1U  M hai đồ phù hợp Do (U  ,  )4 1 cấu trúc khả vi S1 Vậy S1 đa tạp khả vi - chiều II.LIÊN THÔNG TUYẾN TÍNH TRÊN ĐA TẠP KHẢ VI Trong mục này, ta giả thiết M đa tạp khả vi thực với hệ đồ (U  ,  )I Ta ký hiệu: F(U) = {f: U  R, khả vi} B(M) =  X | X trường véc tơ tiếp xúc, khả vi M  TpM =  Không gian véc tơ tiếp xúc với M p  M  1.2.1.Định nghĩa: (Xem [5]) Ánh xạ : B(M) x B(M)  B(M) (X,Y) XY gọi liên thơng tuyến tính M  thoả mãn điều kiện sau: T1  x Y  Z    xY   x Z ; X , Y , Z  B(M) T2  x y Z   x Z   y Z T3  xY   xY ; X , Y , Z  B(M) ; ; X  B(M),  F(M) T4  xY  X  .Y  . xY ; X , Y  B(M),  F(M)  xY gọi đạo hàm trường véc tơ Y dọc theo X  1.2.2 Ví dụ : M = Rn với trường mục tiêu tự nhiên,  = D, : B(M) x B(M)  B(M) (X,Y)  DxY = (XY1, …, XYn) Trong Y có toạ độ (Y1,…,Yn) Khi  liên thơng tuyến tính Thật vậy,  thoả mãn điều kiện định nghĩa liên thơng tuyến tính: X(Y+Z) = DX (Y+Z) = DXY + DXZ X+YZ = DX+YZ = DXZ + DYZ XY = DX Y = DXY X (Y) = DX(Y) = X.Y +  DXY M đa tạp khả song với trường mục tiêu  E1 , , En  Y = n Y E i 1 XY = n  X Y E i i 1 i Khi  liên thơng tuyến tính Thật vậy, ta có: n T1  X (Y  Z )   ( X Yi  Z i ) Ei i 1 n   ( X Yi Ei  X Z i Ei ) i 1 n = n  X Y E   X Z E i i 1 i i 1 = XY + XZ n T2  X Y Z   ( X  Y )Z i Ei i 1 n =  ( X Z E i i 1 i  Y Z i Ei ) n n i 1 i 1 =  X Z i Ei   Y Z i Ei = XZ + YZ n T3.XY = X Y E i 1 n i i =   X Yi Ei i 1 i i i i , ta đặt =XY n T4.X (Y) =  X Y E i 1 i n =  ( X  .Y i 1 i i  X Yi Ei ) n =  X  .Yi +  i 1 n  X Y E i i 1 i = X.Y +  XY Vậy  liên thơng tuyến tính 1.2.3 Mệnh đề (Xem [5]) Trên M tồn liên thông tuyến tính  Chứng minh: Trước hết ta chứng minh U ln tồn liên thơng tuyến tính  Thật vậy, giả sử X, Y  B(U) Ta ý tới vi phôi  : U   V , (V tập mở Rn) ~ ~ ~ Ta đặt  ( X , Y )  ( ) X~ Y ), X  (1 ).( X ) Y  (1 ).(Y ) Khi   liên thơng tuyến tính U Giả sử {g}I phân hoạch đơn vị liên kết với {U}I Ta đặt    g   I Khi  liên thơng tuyến tính M 1.2.4 Mệnh đề (xem [1]) Giả sử M  N,  liên thơng tuyến tính N X ,Y B(M), đặt  X Y  ( X Y )T  liên thơng tuyến tính M Chứng minh X ,Y , Z B(M) ta kiểm tra điều kiện: T1  X (Y  Z )  ( X (Y  Z ))T = ( X Y   X Z )T 18  1J f | p [v]   J f | p [u]  1[ f*| p (v)]   2[ f*| p (u)] Vậy f*| p ánh xạ tuyến tính Nếu f vi phơi J f | p  , f*| p đẳng cấu tuyến tính;  p  M 1.3.7 Mệnh đề (Xem [4]) Giả sử f : M  N g : N  R ánh xạ khả vi p  M Khi đó:  go f  */ p  g*/ f ( p) f*/ p Chứng minh: Ta có:  g f  *| p (v)(h)  v(h g f ) Mặt khác:  g *| f ( p )  (1);  h F(G) f*| p  (v) (h)  g*/ f ( p )  f (v) (h) */ p   f*/ p  v    h g   v(h g f  v TpM; Từ (1) (2), ta suy ra:  g f  *| p  g*| f ( p ) f*| p (2) 19 CHƢƠNG II ĐẠO HÀM LIE CỦA LIÊN THƠNG TUYẾN TÍNH Trong chương này, chúng tơi trình bày độ cong đa tạp, đạo hàm Lie liên thơng tuyến tính, tìm hiểu chứng minh số tính chất đạo hàm Lie, xét mối quan hệ ánh xạ tiếp xúc f* với đạo hàm Lie Ta ký hiệu: M đa tạp khả vi thực n – chiều với sở đếm B(M) = { Tập trường véc tơ khả vi M} F(M) = {f: M  R, khả vi} : Liên thơng tuyến tính I.ĐỘ CONG TRÊN ĐA TẠP 2.1.1 Định nghĩa độ cong đa tạp (xem [1]) Giả sử  liên thông đa tạp M  X, Y, Z  B(M) Khi ánh xạ: R: B(M) x B(M) x B(M)  B(M) (X, Y, Z)  XYZ - YX Z - [X,Y]Z R gọi độ cong đa tạp M 2.1.2 Bổ đề (xem [7]) a Độ cong R ánh xạ tam tuyến tính n    b Trong trường mục tiêu  X i   đồ địa phương (U, X) M ta xi 1  có [Xi, Xj] = 0; i, j  1, n Chứng minh a Độ cong R ánh xạ tam tuyến tính Thật vậy, ta kiểm tra R tuyến tính X + X, X’, Y, Z  B(M) Ta có R(X+X’, Y, Z) = X+X’YZ - YX+X’Z - [X+X’,Y]Z 20 = XyZ + X’yZ - Y(XZ + X’Z) - [X,Y] + [X’+Y]Z = XYZ - YXZ - [X,Y]Z + X’YZ - YX’Z - [X’,Y]Z = R(X, Y, Z) + R(X’, Y, Z) + X, Y, Z  B(M),   F(M) R(X, Y, Z) = XYZ - YXZ - [X,Y]Z Trong XyZ = XyZ (1) YXZ = Y(XZ) = Y[].XZ + YXZ (2) [X,Y] = XY - YX = XY – (Y[].X + YX] Suy [X,Y]Z = [X,Y]Z – Y[].XZ (3) Lấy đẳng thức (1) trừ (2) trừ (3) ta R(X, Y, Z) = XYZ - YXZ – Y[].XZ - [X,Y]Z + Y[] XZ = (XYZ - YXZ - [X,Y]Z) = R(X, Y, Z) Tương tự, ta kiểm tra R tuyến tính Y Bây ta kiểm tra R tuyến tính Z + X, Y, Z, Z’  B(M) Ta có R(X, Y, Z + Z’) = XY(Z + Z’) - YX(Z + Z’) - [X,Y](Z + Z’) = XyZ - XyZ’ - YXZ - YXZ’ - [X,Y]Z -  [X,Y]Z’ = R(X, Y, Z) + R(X, Y, Z’) + X, Y, Z  B(M),   F(M) R(X, Y, Z) = XYZ - YXZ - [X,Y] Z Trong XyZ = X(Y[].Z + yZ) = X(Y[].Z + X(YZ) = X[Y[]] Z + Y[] XZ + X[] YZ + XYZ (1) 21 Tương tự, ta tính YXZ = Y[X[].Z + X[].YZ + Y[]XZ + .YXZ (2) [X,Y]Z = [X,Y][].Z + [X,Y]Z = X[Y[]].Z – Y[X[]].Z + [X+Y].Z (3) Lấy đẳng thức (1) trừ (2) trừ (3) ta R(X, Y, Z) = R(X, Y, Z) n    b Trong trường mục tiêu  X i   đồ địa phương (U, X) M ta xi 1  có [Xi, Xj] = 0; i, j  1, n Thật  F(M), X i    ,Xj  ; i, j  1, n , ta có xi x j           ,      f    x  x  x  i j  i   x j  x j    f    xi  2.1.3 Mệnh đề (xem [5]) Giả sử X, Y, Z trường véc tơ M a R(X, Y, Z) = - R(Y, X, Z) b R(X, Y, Z) + R(Y, Z, X) + R(Z, X, Y) = Chứng minh a.Từ định nghĩa độ cong ta có R(X, Y, Z) = XYZ - YXZ - [X,Y]Z = - (YXZ - XYZ + [X,Y]Z) = - (YXZ - XYZ - [Y,X]Z) = - R(Y, X, Z) b Áp dụng bổ đề 1.2 ta có R tam tuyến tính nên ta cần chứng minh b) n     trường mục tiêu đồ địa phương (U,X);   X i     xi 1    22 Mặt khác, ta có [Xi, Xj] = 0; i, j  1, n X, Y, Z B(M), ta có [X, Y] = [Y, Z] = [Z, X] = Suy XY = YX; ZY = YZ; ZX = XZ Vậy R(X, Y, Z) + R(Y, Z, X) + R(Z, X, Y) = XYZ - YXZ - [X,Y]Z + YZX - ZYX - [Y,Z]X + ZXY - XZY - [Z,X]Y = 2.1.4 Mệnh đề (xem [7]) Ánh xạ R F(M) – đa tuyến tính Chứng minh + R(fX, Y, Z) = fXYZ - YfXZ - [fX,Y]Z = fX(YZ) - Y(fXZ) - f[X,Y]-(Yf)XZ = fX(YZ) – (Yf)XZ - fY(XZ) - f[X,Y]Z + (Yf)XZ = f(XYZ - YXZ - [X,Y]Z) = fR(X, Y, Z) + R(X, Y, fZ) = XY(fZ) - YX(fZ) - [X,Y]fZ = X((Yf)Z + fYZ) - Y((Xf)Z + fXZ) – ([X,Y]f)Z - f[X,Y]Z = X(Yf)Z +(Yf)XZ +(Xf)YZ + fXYZ – Y(Xf)Z – (Xf)YZ - (Yf)XZ - fYXZ – (X(Yf) – Y(Xf))Z - f[X,Y]Z = f(XY(Z) - YX(Z) - [X,Y]Z = fR(X, Y, Z) II ĐẠO HÀM LIE CỦA LIÊN THƠNG TUYẾN TÍNH 2.2.1 Định nghĩa tích Lie Tích Lie hai trường véc tơ X, Y đa tạp M ký hiệu [X, Y]; trường véc tơ xác định [X, Y][f] = X[Y[f]] – Y[X[f]]; f F(M) 2.2.2 Nhận xét M = Rn, [X,Y] = DXY - DYX Thật 23 f F(M) (DXY – DYX)[f] = (DXY)[f] – (DYX)[f];  n     i 1  n =   X [Yi ]Ei  f     Y [ X i ]Ei  f   i 1   n   n   i 1   i 1  =  X  Yi Ei  f    Y  X i Ei  f   X [Y [ f ]]  Y [ X [ f ]]  [ X , Y ][ f ] 2.2.3 Mệnh đề (xem [3]) Tích Lie thỏa mãn tính chất Jacôbi, nghĩa [[X,Y],Z] + [[Y,Z],X] + [[Z,X],Y] = Chứng minh Ta có [[X,Y],Z][f] = [X,Y][Z[f]] – Z[[X,Y][f]] = X[Y[[Z[f]]] – Y[X[Z[f]]]-Z([X[Y[f]] – Y[X[f]]]) = X[Y[[Z[f]]] – Y[X[Z[f]]] - Z[X[Y[f]]] + Z[Y[X[f]]] (1) Tương tự [[Y,Z],X][f] =Y[Z[[X[f]]] – Z[Y[X[f]]] – X[Y[Z[f]]] + X[Z[Y[f]]] (2) [[Z,X],Y][f] = Z[X[[Y[f]]] – X[Z[Y[f]]] - Y[Z[X[f]]] + Y[X[Z[f]]] (3) Từ (1), (2), (3) suy [[X,Y],Z] + [[Y,Z],X] + [[Z,X],Y] = 2.2.4 Định nghĩa đạo hàm Lie liên thơng tuyến tính Cho X, Y, Z  B(M) Ký hiệu LX(Y) : = [X, Y] Ánh xạ LX  : B(M)   B(M)   B(M) gọi đạo hàm Lie liên thơng tuyến tính  ( LX  )(Y, Z) = LX(  Y Z) -  Y ( LXZ) - X , Y Z 2.2.5 Ví dụ Trong R2, với X(2x;y), Y(x;xy) Z(xy,x2y) Tính (LX)(Y,Z) với = D thông thường Giải Áp dụng công thức  = D, XY = DXY, [X,Y] = DXY – DYX DXY = (X[Y1], X[Y2]) với (LXD)(Y,Z) = LX(DYZ) – DY(LXZ) – D[X,Y]Z 24 = [X, YZ] – DY[X,Z] - D[X,Y]Z Ta có + DYZ = (xy +x2y; 2x2y + x3y) nên [X, yZ] = (xy +3x2y; 8x2y + 6x3y) + [X, Y] = (0; 2xy) nên D[X,Y]Z = (2x2y; 2x3y) + [X, Z] = (xy; 4x2y) nên DY([X,Z]) = (x2y + xy; 8x2y + 4x3y) Vậy: ( LX )(Y , Z )  2.2.6 Nhận xét M = Rn,  = D (LXD)(Y, Z) = Chứng minh Thật vậy, theo Định nghĩa 2.4 ta có ( LX D)(Y , Z )  LX ( DY Z )  DY ( LX Z )  D( X ,Y ) Z  [ X , DY Z ]  DY [ X , Z ]  D[ X ,Y ] Z  DX ( DY Z )  DDY Z X  DY ( DX Z  DZ X )  D( DX Y DY X ) Z  DX ( DY Z )  DY ( DZ X )  DY ( DX Z )  DY ( DZ X )  DDX Y Z  DDY X Z  DX ( DY Z )  DY ( DZ X )  DY ( DX Z )  DY ( DZ X )  DX ( DY Z )  DY ( DX Z ) = 2.2.7 Các mệnh đề a Mệnh đề Đạo hàm Lie LX thỏa mãn điều kiện (LX)(Y,Z) tuyến tính thực  Y, Z  B(M) LX  Y   LX   LX  , với X, Y  B(M); ,  R Chứng minh ( LX)(Y,Z) tuyến tính thực  Y, Z  B(M) +) Ta kiểm tra LX tuyến tính Y * Y, Y’, ZB(M), ta có 25 (LX)(Y+Y’, Z) = LX(Y+Y’Z) - Y+Y’(LXZ) - [X,Y+Y’]Z = LX(YZ+Y’Z) - Y(LXZ) - Y’(LXZ) - [X,Y]Z -[X,Y’]Z = [X, YZ+Y’Z] - Y(LXZ) - Y’(LXZ) - [X,Y]Z -[X,Y’]Z =[X, YZ] + [X,Y’Z] - Y(LXZ) - Y’(LXZ) - [X,Y]Z -[X,Y’]Z = LX(YZ) + LX(Y’Z)- Y(LXZ) - Y’(LXZ) - [X,Y]Z -[X,Y’]Z = LX(YZ) - Y(LXZ) - [X,Y]Z + LX(Y’Z) - Y’(LXZ) -[X,Y’]Z = (LX)(Y, Z) + (LX)(Y’,Z) * Y, ZB(M),   R, ta có (LX)(Y, Z) = LX(YZ) - Y(LXZ) -  [X, Y]Z = LX(YZ) - Y(LXZ) -  [X,Y]Z = [X, YZ] - Y(LXZ) -  [X,Y]Z = [X, YZ] - Y(LXZ) -  [X,Y]Z =  [X, YZ] - Y(LXZ) -  [X,Y]Z =  (LX)(Y, Z) +) Ta kiểm tra LX tuyến tính Z * Y, Z, Z’B(M), ta có (LX)(Y, Z+Z’) = LX(Y(Z+Z’)) - Y(LX(Z+Z’)) - [X,Y](Z+Z’) = LX(YZ+Y Z’) - Y[X,Z+Z’] - [X,Y]Z - [X,Y]Z’ = [X,YZ+Y Z’] - Y[X,Z+Z’] - [X,Y]Z - [X,Y]Z’ = [X,YZ]+[X,Y Z’] - Y[X,Z] - Y[X, Z’] - [X,Y]Z - [X,Y]Z’ = [X,YZ] - Y[X,Z] - [X,Y]Z +[X,Y Z’]] - Y[X, Z’] - [X,Y]Z’ = LX(YZ) - Y[X,Z] - [X,Y]Z + LX(YZ’) - Y[X, Z’] - [X,Y]Z’ = (LX)(Y, Z) + (LX)(Y,Z’) * Y, ZB(M),   R, ta có (LX)(Y, Z) = LX(YZ) - Y(LXZ) -  [X, Y] Z 26 = LX(YZ) - Y(LXZ) - [X,Y]Z = LX(YZ) - Y(LXZ) - [X,Y]Z = (LX(YZ) - Y(LXZ) - [X,Y]Z) = (LX)(Y,Z) (LX+Y)(Z,W) = LX+Y(ZW) - Z(LX+YW) - [X+Y,Z]W = [X+Y, ZW] - Z[X+Y,W] - [X,Z]W -[Y,Z]W = [X, ZW] - Z[X,W] + [Y, ZW] - Z[Y,W]- [X,Z]W -[Y,Z]W = [X, ZW] - Z[X,W] - [X,Z]W + [Y, ZW] - Z[Y,W] -[Y,Z]W =  ([X, ZW] - Z[X,W] - [X,Z]W) + ([Y, ZW] - Z[Y,W] -[Y,Z]W) = (LX) + (LY) b MƯnh ®Ị ( LX )(Y , Z )  R( X , Y , Z )  Y (T ( X , Z ))  Y Z X  T ( X , Y Z )  Y (Z X ) Chứng minh Ta có [Y , Z ]  Y Z  Z Y  T (Y , Z ) R( X , Y , Z )   X (Y Z )  Y ( X Z )  [ X ,Y ] Z Suy ( LX )(Y , Z )  LX (Y Z )  Y ( LX Z )  [ X ,Y ] Z  [X , Y Z ]  Y [X , Z ]-[ X ,Y ] Z   X (Y Z )  Y Z X  T ( X , Y Z )  Y ( X Z   Z X  T ( X , Z ))  [ X ,Y ] Z  ( X (Y Z )  Y ( X Z )  [ X ,Y ] Z )  Y (T ( X , Z ))  Y Z X  T ( X , Y Z )  Y ( Z X )  R( X , Y , Z )  Y (T ( X , Z ))  Y Z X  T ( X , Y Z )  Y ( Z X ) Như ta biết, với  Y, Z  B(M) ( LX T )(Y , Z )  LX (T (Y , Z ))  T ( LX Y , Z )  T (Y , LX Z ) (xem [8]) 27 Từ đó, ta có mệnh đề sau c Mệnh đề ( LX T )(Y , Z )  ( LX )(Y , Z )  ( LX )( Z , Y ) Chứng minh ( LX T )(Y , Z ))  LX (T (Y , Z ))  T ( LX Y , Z )  T (Y , LX Z )  LX (Y Z  Z Y  [Y , Z ])  [X ,Y ] Z  Z ( LX Y )  [[X , Y ], Z ] Y ( LX Z )  [X ,Z ]Y  [Y ,[X , Z ]]  LX  Y Z   LX (Z Y )  LX ([Y , Z ])  [X ,Y ] Z  Z [X , Y ]  [[X , Y ], Z ] Y [X , Z ]  [X ,Z ]Y  [Y ,[X , Z ]]  ( LX  Y Z   Y [X , Z ]  [X ,Y ] Z )  ( LX (Z Y )  Z [X , Y ]  [X ,Z ]Y ) ([[X , Y ], Z ]+[[Y , Z ], X ]+[[Z , X ], Y ])  ( LX )(Y , Z )  ( LX )(Z , Y ) 2.2.8 Quan hệ ánh xạ tiếp xúc f* với đạo hàm Lie liên thơng tuyến tính Giả sử f: M  N vi phơi  : Liên thơng tuyến tính M f* : B(M)  B(N) X f* X  X Y f*Y  Y a Định nghĩa f* : B(N) x B(N)  B(N) gọi ánh xạ tiếp xúc liên thơng tuyến tính ( f*)( X , Y )  f* ( X Y ) Để xét mối quan hệ f* đạo hàm Lie liên thơng tuyến tính ta cần bổ đề sau b Bổ đề (xem [2]) Nếu  liên thơng tuyến tính M Ta đặt   f* Khi  liên thơng tuyến tính N Chứng minh Ta có f* : B(M)  B(N) đẳng cấu tuyến tính 28 Với X , X1 , X , Y , Y1, Y2 B(M) mà X , X , X , Y , Y1 , Y  B(M) T1  X (Y  Y )  f*[ X (Y1  Y2 )]  f* ( X Y1   X Y2 )  f* ( X Y1 )  f* ( X Y2 )  X Y1  X Y T2  X  X Y  f* ( X  X Y ) 1  f* ( X1Y   X Y )  f* ( X1Y )  f* ( X Y )  X1 Y  X Y T3 Ta có nhận xét: Với F(N) f*X = f*(of)X Thật vậy, (f*X)f(p) = (f(p))(f*X)f(p) =(of)pf*p(Xp) = f*p((of)(p) Xp) = f*(of)X(f(p)); p  M  .( f* X )  f* (( f ) X ) Trở lại chứng minh T3, ta có  X Y   f* X f*Y   f* (o f ) X f*Y  f* ((o f ) X Y )  f* (o f  X Y ) 29   f* ( X Y )  X Y T4  X (Y )   f X ( f*Y ) *  f* ( X (o f ).Y )  f* ( X [o f ].Y  (o f ) X Y )  ( f* X )[ ] f*Y   f* ( X Y )  X [ ].Y  . X Y c Bổ đề f*[X , Y ]  [f* X , f*Y ] Chứng minh ( f*[X , Y ])[ ]  [X , Y ][ f ]  X [Y [ f ]]  Y [ X [ f ]]  X [f*Y [ ] f ]  Y [ f* X [ ] f ]  f* X [f*Y [ ]]  f*Y [ f* X [ ]]  [f* X , f*Y ][ ]  f*[X , Y ]  [f* X , f*Y ] d Định nghĩa (f*(LX)) : B(N) x B(N)  B(N) xác định : ( f* ( LX ))( X , Y )  f* (( LX )(Y , Z )) Khi đó, ta có mệnh đề sau e.Mệnh đề 2.2.8 f* bảo tồn đạo hàm Lie liên thơng tuyến tính, nghĩa f* ( LX )  LX  Chứng minh Thật vậy, ( f* ( LX ))(Y , Z )  f* (( LX )(Y , Z ))  f*[ LX (Y Z )  Y ( LX Z )  [ X ,Y ]Z ]  f*[ LX (Y Z )]  f*[Y ( LX Z )]  f* ([ X ,Y ] Z )  f*[ X , Y Z ]   f*Y ( f* LX Z )   f* [ X ,Y ] f*Z 30  [ f* X , f* (Y Z )]   f*Y ( f*[ X , Z ])  [ f* X , f*Y ] f*Z  [ f* X ,  f*Y f*Z ]  Y [ f* X , f*Z ]  [ X ,Y ] Z  [ X , Y Z ]  Y [ X , Z ]  [ X ,Y ] Z  L X (Y Z )  Y ( LX Z )  [ X ,Y ] Z  LX (Y , Z ) Vậy f* ( LX )  LX  31 KẾT LUẬN Luận văn đạt đƣợc kết sau: - Chứng minh chi tiết số tính chất đa tạp khả vi, liên thông tuyến tính, ánh xạ tiếp xúc đa tạp (mệnh đề 1.2.4 nhận xét 1.2.6) - Chứng minh chi tiết tính chất độ cong đa tạp M (mệnh đề 2.1.3) - Chứng minh chi tiết tính chất tích Lie (mệnh đề 2.2.3) - Phát biểu chứng minh tính chất đạo hàm Lie liên thơng tuyến tính (các mệnh đề 2.2.7a,b,c) - Trình bày mối quan hệ f* với đạo hàm Lie (Mệnh đề 2.2.8) Trong thời gian tới, tiếp tục tìm hiểu đạo hàm Lie hàm độ cong Ricci đa tạp Riemann 32 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt: [1] Khu Quốc Anh, Nguyễn Dỗn Tuấn (2003), Lý thuyết liên thơng hình học Rieman, NXB Đại học Sư phạm [2] Nguyễn Thị Dung (2001), Mối liên hệ liên thông Lêvi – Civita độ cong trung bình siêu mặt đa tạp Rieman Luận văn thạc sĩ toán học, Đại học Vinh [3] Nguyễn Hữu Quang(2000), Bài giảng đại số Lie nhóm Lie, Đại học Vinh [4] Nguyễn Hữu Quang(2007), Bài giảng đa tạp khả vi, Đại học Vinh [5] Nguyễn Hữu Quang (2005), Mở đầu hình học Rieman, Đại học Vinh [6] Đồn Quỳnh(2001), Hình học vi phân, NXB giáo dục [7] Lê Thị Thơm (2009), Độ cong độ xoắn đa tạp Riemann, Luận văn thạc sỹ toán học, Đại học Vinh [8] Bùi Cao Vân (2010), Đạo hàm Lie dòng đa tạp, Luận văn thạc sĩ toán học, Đại học Vinh [9] M.Xpivak(1985), Giải tích tốn học đa tạp, NXB đại học trung học chuyên nghiệp Tiếng Anh: [10] A.Ya.Sultanov(2010), Derivations of linear algebras and linear connections, Journal of Mathematical Sciences,Vol.169, No.3,2010 ... 19 CHƢƠNG II ĐẠO HÀM LIE CỦA LIÊN THÔNG TUYẾN TÍNH Trong chương này, chúng tơi trình bày độ cong đa tạp, đạo hàm Lie liên thông tuyến tính, tìm hiểu chứng minh số tính chất đạo hàm Lie, xét mối... Chƣơng II Đạo hàm Lie liên thơng tuyến tính Đây chương thể kết luận văn Trong chương này, chúng tơi trình bày chi tiết khái niệm tính chất, ví dụ độ cong đa tạp, đạo hàm Lie liên thông tuyến tính. .. [[Z,X],Y] = 2.2.4 Định nghĩa đạo hàm Lie liên thơng tuyến tính Cho X, Y, Z  B(M) Ký hiệu LX(Y) : = [X, Y] Ánh xạ LX  : B(M)   B(M)   B(M) gọi đạo hàm Lie liên thông tuyến tính  ( LX  )(Y, Z)